Mathematics & Statistics (Commerce)
March 2024 Board Paper Solution (Marathi Medium)
Max. Marks: 80 | Time: 3 Hrs.
विभाग - १ (SECTION - I)
प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या पर्यायातून योग्य पर्याय निवडा व लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :
(i) खालील पैकी कोणते विधान नाही?
उत्तर: (ड) इकडे ये
कारण: हे आज्ञार्थी वाक्य (Imperative sentence) आहे, म्हणून हे तार्किक विधान नाही.
(ii) जर \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तर \((y,z) =\)
उत्तर: (ब) (1, 0)
(iii) जर \(y = \log(\frac{e^x}{x^2})\), तर \(\frac{dy}{dx} = ?\)
उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
(iv) \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) ची किंमत ______ आहे.
उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)
(v) \(\int \frac{dx}{(x-8)(x+7)} = \_\).
उत्तर: (क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)
(vi) \(y = k_1 e^x + k_2 e^{-x}\) चे विकलनीय समीकरण ______ आहे.
उत्तर: (अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)
प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :
- (i) \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt\)
उत्तर: सत्य (True) - (ii) \(\int \frac{x-1}{(x+1)^3} e^x dx = e^x f(x) + c,\) साठी \(f(x) = (x+1)^2\)
उत्तर: असत्य (False) - (iii) विकलनीय समीकरणाचे क्रम (Order) आणि कोटी (Degree) नेहमी धन पूर्णांक (Positive Integers) असतात.
उत्तर: सत्य (True)
प्र. १. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :
- (i) कोणत्याही बिंदू (a, b) च्या स्पर्शिकेच्या उतारास प्रवणता (Gradient) म्हणतात.
- (ii) जर \(f'(x) = \frac{1}{x} + x\) आणि \(f(1) = \frac{5}{2}\) तर \(f(x) = \log x + \frac{x^2}{2} + \) 2.
- (iii) विकलनीय समीकरणाची उकल जी सामान्य उकलमधून अनियंत्रित स्थिरांकाला विशिष्ट मूल्ये देऊन मिळवता येतात त्याला विशिष्ट (Particular) उकल म्हणतात.
प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):
(i) विधान \( \sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q) \) हे पुनरुक्ती (tautology), परस्पर विरोध (contradiction) किंवा त्यापैकी कोणतेही नाही (contingency) ते तपासा.
उकल:
सत्यता सारणी (Truth Table) खालीलप्रमाणे आहे:
शेवटच्या स्तंभातील सर्व सत्यता मूल्ये 'T' आहेत.
म्हणून, दिलेले विधान पुनरुक्ती (Tautology) आहे.
सत्यता सारणी (Truth Table) खालीलप्रमाणे आहे:
| \(p\) | \(q\) | \(\sim p\) | \(\sim q\) | \(p \rightarrow \sim q\) | \(\sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
म्हणून, दिलेले विधान पुनरुक्ती (Tautology) आहे.
(ii) जर \( x = e^{3t} \), \( y = e^{(4t+5)} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.
उकल:
दिले आहे: \( x = e^{3t} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. t):
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{3t}) = e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t} \)
दिले आहे: \( y = e^{4t+5} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t+5}) = e^{4t+5} \cdot 4 = 4e^{4t+5} \)
आता, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4e^{4t+5}}{3e^{3t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{(4t+5) - 3t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{t+5} \)
दिले आहे: \( x = e^{3t} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. t):
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{3t}) = e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t} \)
दिले आहे: \( y = e^{4t+5} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t+5}) = e^{4t+5} \cdot 4 = 4e^{4t+5} \)
आता, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4e^{4t+5}}{3e^{3t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{(4t+5) - 3t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{t+5} \)
(iii) जर \( A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{bmatrix} \) आणि \( B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix} \) तर \( A^T + 4B^T \) शोधा.
उकल:
दिलेल्या मॅट्रिक्सचे परिवर्त (Transpose) काढू:
\( A^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)
\( B^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)
आता \( 4B^T \) काढू:
\( 4B^T = 4 \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)
आता \( A^T + 4B^T \) काढू:
\( A^T + 4B^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 7+0 & 0+8 \\ 3-8 & 4+4 \\ 0+12 & -2-16 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -5 & 8 \\ 12 & -18 \end{bmatrix} \)
दिलेल्या मॅट्रिक्सचे परिवर्त (Transpose) काढू:
\( A^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)
\( B^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)
आता \( 4B^T \) काढू:
\( 4B^T = 4 \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)
आता \( A^T + 4B^T \) काढू:
\( A^T + 4B^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 7+0 & 0+8 \\ 3-8 & 4+4 \\ 0+12 & -2-16 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -5 & 8 \\ 12 & -18 \end{bmatrix} \)
प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :
(i) खालील विधाने विचारात घ्या :
(अ) जर D कुत्रा असेल तर D खूप चांगला आहे.
(ब) जर D खूप चांगला असेल तर D हा कुत्रा आहे.
(क) जर D खूप चांगला नसेल तर D हा कुत्रा नाही.
(ड) जर D कुत्रा नाही तर D खूप चांगला नाही.
समान अर्थ असलेल्या विधानांच्या जोड्या ओळखा आणि समर्थन करा (Justify).
(अ) जर D कुत्रा असेल तर D खूप चांगला आहे.
(ब) जर D खूप चांगला असेल तर D हा कुत्रा आहे.
(क) जर D खूप चांगला नसेल तर D हा कुत्रा नाही.
(ड) जर D कुत्रा नाही तर D खूप चांगला नाही.
समान अर्थ असलेल्या विधानांच्या जोड्या ओळखा आणि समर्थन करा (Justify).
उकल:
समजा \( p \): D कुत्रा आहे.
समजा \( q \): D खूप चांगला आहे.
दिलेल्या विधानांचे प्रतीकात्मक रूप:
(अ) \( p \rightarrow q \) (जर-तर / Implication)
(ब) \( q \rightarrow p \) (व्यत्यास / Converse)
(क) \( \sim q \rightarrow \sim p \) (सममूल्य / Contrapositive)
(ड) \( \sim p \rightarrow \sim q \) (व्यस्त / Inverse)
समर्थन (Justification):
आपल्याला माहित आहे की, सशर्त विधान (conditional statement) हे त्याच्या सममूल्य (contrapositive) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असते.
म्हणून, \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).
तसेच, व्यत्यास (converse) हा व्यस्त (inverse) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असतो.
म्हणून, \( q \rightarrow p \equiv \sim p \rightarrow \sim q \).
समान अर्थ असलेल्या जोड्या:
1. (अ) आणि (क) समान अर्थाचे आहेत.
2. (ब) आणि (ड) समान अर्थाचे आहेत.
समजा \( p \): D कुत्रा आहे.
समजा \( q \): D खूप चांगला आहे.
दिलेल्या विधानांचे प्रतीकात्मक रूप:
(अ) \( p \rightarrow q \) (जर-तर / Implication)
(ब) \( q \rightarrow p \) (व्यत्यास / Converse)
(क) \( \sim q \rightarrow \sim p \) (सममूल्य / Contrapositive)
(ड) \( \sim p \rightarrow \sim q \) (व्यस्त / Inverse)
समर्थन (Justification):
आपल्याला माहित आहे की, सशर्त विधान (conditional statement) हे त्याच्या सममूल्य (contrapositive) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असते.
म्हणून, \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).
तसेच, व्यत्यास (converse) हा व्यस्त (inverse) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असतो.
म्हणून, \( q \rightarrow p \equiv \sim p \rightarrow \sim q \).
समान अर्थ असलेल्या जोड्या:
1. (अ) आणि (क) समान अर्थाचे आहेत.
2. (ब) आणि (ड) समान अर्थाचे आहेत.
(ii) फलन \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \) चे किमान (minimum) मूल्य निश्चित करा.
उकल:
दिले आहे: \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)
पायरी 1: \( f'(x) \) आणि \( f''(x) \) काढा.
\( f'(x) = 6x^2 - 42x + 36 \)
\( f''(x) = 12x - 42 \)
पायरी 2: स्थिर बिंदूंसाठी (Stationary points), \( f'(x) = 0 \) ठेवा.
\( 6(x^2 - 7x + 6) = 0 \)
\( x^2 - 6x - x + 6 = 0 \)
\( x(x-6) - 1(x-6) = 0 \)
\( (x-1)(x-6) = 0 \)
म्हणून, \( x = 1 \) किंवा \( x = 6 \).
पायरी 3: \( f''(x) \) मध्ये किंमती तपासा.
\( x = 1 \) साठी:
\( f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0 \) (कमाल / Maxima)
\( x = 6 \) साठी:
\( f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0 \) (किमान / Minima)
पायरी 4: \( x = 6 \) असताना किमान मूल्य काढा.
\( f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20 \)
\( f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20 \)
\( f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 \)
\( f(6) = 648 - 776 \)
\( f(6) = -128 \)
फलाचे किमान मूल्य -128 आहे.
दिले आहे: \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)
पायरी 1: \( f'(x) \) आणि \( f''(x) \) काढा.
\( f'(x) = 6x^2 - 42x + 36 \)
\( f''(x) = 12x - 42 \)
पायरी 2: स्थिर बिंदूंसाठी (Stationary points), \( f'(x) = 0 \) ठेवा.
\( 6(x^2 - 7x + 6) = 0 \)
\( x^2 - 6x - x + 6 = 0 \)
\( x(x-6) - 1(x-6) = 0 \)
\( (x-1)(x-6) = 0 \)
म्हणून, \( x = 1 \) किंवा \( x = 6 \).
पायरी 3: \( f''(x) \) मध्ये किंमती तपासा.
\( x = 1 \) साठी:
\( f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0 \) (कमाल / Maxima)
\( x = 6 \) साठी:
\( f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0 \) (किमान / Minima)
पायरी 4: \( x = 6 \) असताना किमान मूल्य काढा.
\( f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20 \)
\( f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20 \)
\( f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 \)
\( f(6) = 648 - 776 \)
\( f(6) = -128 \)
फलाचे किमान मूल्य -128 आहे.
(iii) रेषा \( y = -2x \), X-अक्ष आणि रेषा \( x = -1 \) व \( x = 2 \) यांनी बांधलेल्या क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.
उकल:
आवश्यक क्षेत्रफळ \( A = \int_{-1}^{2} |y| dx \) आहे.
दिलेली रेषा \( y = -2x \) उगमबिंदूतून जाते.
- अंतराल \([-1, 0]\) मध्ये, \( x \) ऋण आहे, म्हणून \( y = -2(\text{ऋण}) = \text{धन} \).
- अंतराल \([0, 2]\) मध्ये, \( x \) धन आहे, म्हणून \( y = -2(\text{धन}) = \text{ऋण} \).
म्हणून आपण \( x = 0 \) ला क्षेत्रफळ विभागू:
\( A = |\int_{-1}^{0} (-2x) dx| + |\int_{0}^{2} (-2x) dx| \)
भाग 1 (-1 ते 0):
\( A_1 = \int_{-1}^{0} -2x dx = -2 [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = - [x^2]_{-1}^{0} \)
\( A_1 = - [0^2 - (-1)^2] = - [0 - 1] = 1 \)
भाग 2 (0 ते 2):
\( A_2 = \int_{0}^{2} -2x dx = - [x^2]_{0}^{2} \)
\( A_2 = - [2^2 - 0^2] = -4 \)
क्षेत्रफळ कधीही ऋण नसते, म्हणून \( |A_2| = 4 \).
एकूण क्षेत्रफळ:
\( A = A_1 + |A_2| = 1 + 4 = 5 \) चौरस एकक (sq. units).
आवश्यक क्षेत्रफळ \( A = \int_{-1}^{2} |y| dx \) आहे.
दिलेली रेषा \( y = -2x \) उगमबिंदूतून जाते.
- अंतराल \([-1, 0]\) मध्ये, \( x \) ऋण आहे, म्हणून \( y = -2(\text{ऋण}) = \text{धन} \).
- अंतराल \([0, 2]\) मध्ये, \( x \) धन आहे, म्हणून \( y = -2(\text{धन}) = \text{ऋण} \).
म्हणून आपण \( x = 0 \) ला क्षेत्रफळ विभागू:
\( A = |\int_{-1}^{0} (-2x) dx| + |\int_{0}^{2} (-2x) dx| \)
भाग 1 (-1 ते 0):
\( A_1 = \int_{-1}^{0} -2x dx = -2 [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = - [x^2]_{-1}^{0} \)
\( A_1 = - [0^2 - (-1)^2] = - [0 - 1] = 1 \)
भाग 2 (0 ते 2):
\( A_2 = \int_{0}^{2} -2x dx = - [x^2]_{0}^{2} \)
\( A_2 = - [2^2 - 0^2] = -4 \)
क्षेत्रफळ कधीही ऋण नसते, म्हणून \( |A_2| = 4 \).
एकूण क्षेत्रफळ:
\( A = A_1 + |A_2| = 1 + 4 = 5 \) चौरस एकक (sq. units).
प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :
(i) जर \( y = x^{e^x} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.
उकल:
दिले आहे: \( y = x^{e^x} \)
दोन्ही बाजूंचा लॉग घेऊन (Taking log on both sides):
\( \log y = \log(x^{e^x}) \)
\( \log y = e^x \cdot \log x \)
'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. x):
\( \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot \log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(e^x) \) (गुणाकाराचा नियम)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x}) + \log x (e^x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x} + \log x) \)
\( \frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
\( y \) ची किंमत भरून:
\( \frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
दिले आहे: \( y = x^{e^x} \)
दोन्ही बाजूंचा लॉग घेऊन (Taking log on both sides):
\( \log y = \log(x^{e^x}) \)
\( \log y = e^x \cdot \log x \)
'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. x):
\( \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot \log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(e^x) \) (गुणाकाराचा नियम)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x}) + \log x (e^x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x} + \log x) \)
\( \frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
\( y \) ची किंमत भरून:
\( \frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
(ii) जर \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \), \( f(0) = 1 \) व \( f(1) = 4 \) तर \( f(x) \) शोधा.
उकल:
दिले आहे: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \)
\( f(x) \) मिळवण्यासाठी समाकलन (Integration) करू:
\( f(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + k) dx \)
\( f(x) = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + kx + c \)
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c \) ... (समीकरण 1)
पायरी 1: c ची किंमत काढणे
दिले आहे \( f(0) = 1 \). समीकरण 1 मध्ये \( x=0 \) ठेवून:
\( 1 = 0^4 - 0^3 + 0^2 + k(0) + c \)
\( c = 1 \)
पायरी 2: k ची किंमत काढणे
समीकरण 1: \( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + 1 \)
दिले आहे \( f(1) = 4 \). समीकरणामध्ये \( x=1 \) ठेवून:
\( 4 = 1^4 - 1^3 + 1^2 + k(1) + 1 \)
\( 4 = 1 - 1 + 1 + k + 1 \)
\( 4 = 2 + k \)
\( k = 2 \)
अंतिम उत्तर:
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1 \)
दिले आहे: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \)
\( f(x) \) मिळवण्यासाठी समाकलन (Integration) करू:
\( f(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + k) dx \)
\( f(x) = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + kx + c \)
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c \) ... (समीकरण 1)
पायरी 1: c ची किंमत काढणे
दिले आहे \( f(0) = 1 \). समीकरण 1 मध्ये \( x=0 \) ठेवून:
\( 1 = 0^4 - 0^3 + 0^2 + k(0) + c \)
\( c = 1 \)
पायरी 2: k ची किंमत काढणे
समीकरण 1: \( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + 1 \)
दिले आहे \( f(1) = 4 \). समीकरणामध्ये \( x=1 \) ठेवून:
\( 4 = 1^4 - 1^3 + 1^2 + k(1) + 1 \)
\( 4 = 1 - 1 + 1 + k + 1 \)
\( 4 = 2 + k \)
\( k = 2 \)
अंतिम उत्तर:
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1 \)
(iii) विकलनीय समीकरण मिळवा ज्याची सामान्य उकल \( x^3 + y^3 = 35ax \) आहे.
उकल:
दिलेले समीकरण: \( x^3 + y^3 = 35ax \) ... (1)
येथे \( a \) हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
समीकरण (1) पुन्हा लिहू:
\( \frac{x^3 + y^3}{x} = 35a \)
'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t x):
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + y^3}{x} \right) = 0 \) (स्थिरांकाचे विकलन 0 असते)
भागाकाराचा नियम वापरून \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \):
\( \frac{x \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) - (x^3 + y^3) \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = 0 \)
\( x(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx}) - (x^3 + y^3)(1) = 0 \)
\( 3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0 \)
\( 2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)
आवश्यक विकलनीय समीकरण:
\( 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - 2x^3 \)
दिलेले समीकरण: \( x^3 + y^3 = 35ax \) ... (1)
येथे \( a \) हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
समीकरण (1) पुन्हा लिहू:
\( \frac{x^3 + y^3}{x} = 35a \)
'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t x):
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + y^3}{x} \right) = 0 \) (स्थिरांकाचे विकलन 0 असते)
भागाकाराचा नियम वापरून \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \):
\( \frac{x \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) - (x^3 + y^3) \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = 0 \)
\( x(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx}) - (x^3 + y^3)(1) = 0 \)
\( 3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0 \)
\( 2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)
आवश्यक विकलनीय समीकरण:
\( 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - 2x^3 \)
प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :
(i) सारणी \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \) चा संलग्न पद्धतीने (adjoint method) व्यस्त (inverse) काढा.
उकल:
समजा \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)
पायरी 1: निश्चयक \(|A|\) काढणे
\( |A| = 3(35 - 16) - 1(10 - 8) + 5(4 - 7) \)
\( |A| = 3(19) - 1(2) + 5(-3) \)
\( |A| = 57 - 2 - 15 = 40 \)
येथे \( |A| \neq 0 \), म्हणून \( A^{-1} \) अस्तित्वात आहे.
पायरी 2: सह-अवयव (Cofactors) काढणे
\( A_{11} = (-1)^{1+1}(35-16) = 19 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2}(10-8) = -2 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3}(4-7) = -3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1}(5-10) = 5 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2}(15-5) = 10 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3}(6-1) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1}(8-35) = -27 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2}(24-10) = -14 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3}(21-2) = 19 \)
पायरी 3: सह-अवयव सारणी आणि संलग्न सारणी (Adjoint Matrix)
सह-अवयव सारणी \( C = \begin{bmatrix} 19 & -2 & -3 \\ 5 & 10 & -5 \\ -27 & -14 & 19 \end{bmatrix} \)
\( \text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)
पायरी 4: व्यस्त सारणी (Inverse Matrix) काढणे
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)
समजा \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)
पायरी 1: निश्चयक \(|A|\) काढणे
\( |A| = 3(35 - 16) - 1(10 - 8) + 5(4 - 7) \)
\( |A| = 3(19) - 1(2) + 5(-3) \)
\( |A| = 57 - 2 - 15 = 40 \)
येथे \( |A| \neq 0 \), म्हणून \( A^{-1} \) अस्तित्वात आहे.
पायरी 2: सह-अवयव (Cofactors) काढणे
\( A_{11} = (-1)^{1+1}(35-16) = 19 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2}(10-8) = -2 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3}(4-7) = -3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1}(5-10) = 5 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2}(15-5) = 10 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3}(6-1) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1}(8-35) = -27 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2}(24-10) = -14 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3}(21-2) = 19 \)
पायरी 3: सह-अवयव सारणी आणि संलग्न सारणी (Adjoint Matrix)
सह-अवयव सारणी \( C = \begin{bmatrix} 19 & -2 & -3 \\ 5 & 10 & -5 \\ -27 & -14 & 19 \end{bmatrix} \)
\( \text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)
पायरी 4: व्यस्त सारणी (Inverse Matrix) काढणे
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)
(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च \( E_c \), त्याचे उत्पन्न \( x \) इतके असेल आणि दिलेले आहे की \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) जेव्हा त्याचे उत्पन्न ₹ 200 असेल तेव्हा MPC, MPS आणि APC काढा.
उकल:
दिले आहे: \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) आणि \( x = 200 \).
1. सरासरी उपभोग प्रवृत्ती (APC):
\( \text{APC} = \frac{E_c}{x} = \frac{0.0006x^2 + 0.003x}{x} \)
\( \text{APC} = 0.0006x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{APC} = 0.0006(200) + 0.003 \)
\( \text{APC} = 0.12 + 0.003 = \mathbf{0.123} \)
2. सीमांत उपभोग प्रवृत्ती (MPC):
\( \text{MPC} = \frac{d(E_c)}{dx} = \frac{d}{dx}(0.0006x^2 + 0.003x) \)
\( \text{MPC} = 0.0006(2x) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.0012x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{MPC} = 0.0012(200) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.24 + 0.003 = \mathbf{0.243} \)
3. सीमांत बचत प्रवृत्ती (MPS):
आपल्याला माहित आहे की, \( \text{MPC} + \text{MPS} = 1 \)
\( \text{MPS} = 1 - \text{MPC} \)
\( \text{MPS} = 1 - 0.243 \)
\( \text{MPS} = \mathbf{0.757} \)
दिले आहे: \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) आणि \( x = 200 \).
1. सरासरी उपभोग प्रवृत्ती (APC):
\( \text{APC} = \frac{E_c}{x} = \frac{0.0006x^2 + 0.003x}{x} \)
\( \text{APC} = 0.0006x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{APC} = 0.0006(200) + 0.003 \)
\( \text{APC} = 0.12 + 0.003 = \mathbf{0.123} \)
2. सीमांत उपभोग प्रवृत्ती (MPC):
\( \text{MPC} = \frac{d(E_c)}{dx} = \frac{d}{dx}(0.0006x^2 + 0.003x) \)
\( \text{MPC} = 0.0006(2x) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.0012x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{MPC} = 0.0012(200) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.24 + 0.003 = \mathbf{0.243} \)
3. सीमांत बचत प्रवृत्ती (MPS):
आपल्याला माहित आहे की, \( \text{MPC} + \text{MPS} = 1 \)
\( \text{MPS} = 1 - \text{MPC} \)
\( \text{MPS} = 1 - 0.243 \)
\( \text{MPS} = \mathbf{0.757} \)
प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण) :
(i) खाली दिलेली कृती पूर्ण करा:
\( \int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}} \)
\( \int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}} \)
\( = \int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\mathbf{\fbox{ x }}+\mathbf{\fbox{ 4 }}} \)
\( =\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\mathbf{\fbox{ \(\frac{1}{4}\) }}+4} \)
\( =-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\mathbf{\fbox{ \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) }})^{2}} \)
सूत्र वापरून: \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \), परंतु बाहेर ऋण चिन्ह असल्यामुळे:
\( =\frac{1}{\sqrt{17}}log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}}) \)
\( =\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\mathbf{\fbox{ \(\frac{1}{4}\) }}+4} \)
\( =-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\mathbf{\fbox{ \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) }})^{2}} \)
सूत्र वापरून: \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \), परंतु बाहेर ऋण चिन्ह असल्यामुळे:
\( =\frac{1}{\sqrt{17}}log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}}) \)
(ii) लोकसंख्या वाढीचा दर रहिवाशांच्या संख्येच्या प्रमाणात आहे. जर 25 वर्षात लोकसंख्या दुप्पट होत असेल आणि सध्याची लोकसंख्या 1,00,000 असेल तर शहराची लोकसंख्या 4,00,000 कधी होईल?
उकल:
समजा 't' वेळेला शहराची लोकसंख्या 'P' आहे.
दिले आहे: \( \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \int \frac{dP}{P} = \int k dt \)
\( \log P = kt + c \) ... (i)
(i) जेव्हा \( t=0, P=1,00,000 \)
समीकरण (i) वरून: \( \log 1,00,000 = k(0) + c \)
\( c = \) \( \log(1,00,000) \)
(ii) जेव्हा \( t=25, P=2,00,000 \) (लोकसंख्या दुप्पट होते)
\( \log(\frac{P}{1,00,000}) = kt \) ... (ii)
\( \log(\frac{2,00,000}{1,00,000}) = 25k \)
\( \log 2 = 25k \)
\( k = \) \( \frac{1}{25} \log 2 \)
(iii) जेव्हा \( P=4,00,000 \) तेव्हा \( t \) काढा.
\( \log(\frac{4,00,000}{1,00,000}) = (\frac{1}{25}\log 2) \cdot t \)
\( \log 4 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( 2 \log 2 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( t = \) 50 वर्षे
समजा 't' वेळेला शहराची लोकसंख्या 'P' आहे.
दिले आहे: \( \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \int \frac{dP}{P} = \int k dt \)
\( \log P = kt + c \) ... (i)
(i) जेव्हा \( t=0, P=1,00,000 \)
समीकरण (i) वरून: \( \log 1,00,000 = k(0) + c \)
\( c = \) \( \log(1,00,000) \)
(ii) जेव्हा \( t=25, P=2,00,000 \) (लोकसंख्या दुप्पट होते)
\( \log(\frac{P}{1,00,000}) = kt \) ... (ii)
\( \log(\frac{2,00,000}{1,00,000}) = 25k \)
\( \log 2 = 25k \)
\( k = \) \( \frac{1}{25} \log 2 \)
(iii) जेव्हा \( P=4,00,000 \) तेव्हा \( t \) काढा.
\( \log(\frac{4,00,000}{1,00,000}) = (\frac{1}{25}\log 2) \cdot t \)
\( \log 4 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( 2 \log 2 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( t = \) 50 वर्षे
विभाग - २ (SECTION - II)
प्र. ४. (अ) खाली दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या विकल्पातून योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :
(i) दर्शनी मूल्य आणि वर्तमान मूल्य यांतील फरकास ______ म्हणतात.
उत्तर: (ब) खरी सवलत (true discount)
(ii) सामान्य वार्षिकी देयके किंवा परतावे घडतात.
उत्तर: (ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी
(iii) \( b_{xy} \) आणि \( b_{yx} \) हे असतात.
उत्तर: (ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही
(iv) डॉर्विश बाऊलीस किंमत निर्देशांक क्रमांक दिला आहे :
उत्तर: (क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)
स्पष्टीकरण: डॉर्विश-बाऊली निर्देशांक हा लासपेअर (Laspeyres) आणि पाशे (Paasche) यांच्या निर्देशांकांचे अंकगणितीय मध्य (Arithmetic Mean) आहे.
(v) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फल (objective function) असते.
उत्तर: (ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे
(vi) हंगेरियन पद्धत वापरण्यासाठी, एका नफा वाढविण्याच्या सोपवणी गणितात हे आवश्यक असते.
उत्तर: (अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे
प्र. ४. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :
-
(i) दलाल एक असा एजंट असतो जो विक्रेत्याला हमी देतो की खरेदीदार वस्तूची विक्री किंमत देईल.
उत्तर: असत्य (False)कारण: विक्रेत्याला अशी हमी देणाऱ्या एजंटला 'डेल क्रेडर एजंट' (Del Credere Agent) म्हणतात, सामान्य दलाल नाही. -
(ii) \( \sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100 \) हा साध्या एकत्रित पद्धतीद्वारे मूल्य निर्देशांक क्रमांक आहे.
उत्तर: असत्य (False)कारण: मूल्य निर्देशांक क्रमांकाचे (Value Index Number) सूत्र \( \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} \times 100 \) असे आहे. -
(iii) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फलाची (objective function) सर्वोत्तम किंमत (optimum value) ही संभाव्य भागाच्या मध्यावर (center of feasible region) असते.
उत्तर: असत्य (False)कारण: रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये (L.P.P.) सर्वोत्तम किंमत नेहमी संभाव्य क्षेत्राच्या शिरोबिंदूवर (vertex) किंवा कोपऱ्याच्या बिंदूवर (corner point) असते, मध्यावर नाही.
प्र. ४. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :
- (i) बँकेची सूट ही नेहमी खऱ्या सुटीपेक्षा जास्त (Greater) असते.
- (ii) भारित सापेक्ष पद्धती द्वारे राहणीमानाचा किंमत निर्देशांक क्रमांक \( \frac{\sum IW}{\sum W} \) आहे.
- (iii) यंत्राच्या दिलेल्या संचाद्वारे एखाद्या विशिष्ट क्रमाने निष्क्रिय वेळेसह पहिले काम सुरू करणे आणि शेवटचे काम पूर्ण करणे यामधील वेळेचा मध्यांतर यांस एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) म्हणतात.
प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :
(i) दीपकचा पगार ₹ 4,000 वरून ₹ 5,000 करण्यात आला. विक्री सारखीच होती म्हणून दलालीचा दर 3% वरून 2% करण्यात आला. जर त्याचे उत्पन्न अपरिवर्तित राहीले असेल तर त्याची विक्री काढा.
उकल:
समजा विक्री \( x \) आहे.
स्थिती 1 (जुनी):
पगार = ₹ 4,000
दलालीचा दर = 3%
एकूण उत्पन्न = \( 4000 + \frac{3}{100}x = 4000 + 0.03x \)
स्थिती 2 (नवीन):
पगार = ₹ 5,000
दलालीचा दर = 2%
एकूण उत्पन्न = \( 5000 + \frac{2}{100}x = 5000 + 0.02x \)
उत्पन्न अपरिवर्तित राहिले आहे, म्हणून:
\( 4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x \)
\( 0.03x - 0.02x = 5000 - 4000 \)
\( 0.01x = 1000 \)
\( x = \frac{1000}{0.01} \)
\( x = 1,00,000 \)
उत्तर: दीपकची विक्री ₹ 1,00,000 आहे.
समजा विक्री \( x \) आहे.
स्थिती 1 (जुनी):
पगार = ₹ 4,000
दलालीचा दर = 3%
एकूण उत्पन्न = \( 4000 + \frac{3}{100}x = 4000 + 0.03x \)
स्थिती 2 (नवीन):
पगार = ₹ 5,000
दलालीचा दर = 2%
एकूण उत्पन्न = \( 5000 + \frac{2}{100}x = 5000 + 0.02x \)
उत्पन्न अपरिवर्तित राहिले आहे, म्हणून:
\( 4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x \)
\( 0.03x - 0.02x = 5000 - 4000 \)
\( 0.01x = 1000 \)
\( x = \frac{1000}{0.01} \)
\( x = 1,00,000 \)
उत्तर: दीपकची विक्री ₹ 1,00,000 आहे.
(ii) एका द्विचलीय माहितीसाठी, X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक 0.4 आहे आणि Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक 0.9 आहे. जर X चे विचरण (variance) 9 असेल तर Y च्या विचरणाचे मूल्य शोधा.
उकल:
दिले आहे:
\( b_{yx} = 0.4 \) (X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक)
\( b_{xy} = 0.9 \) (Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक)
X चे विचरण \( V(X) = \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \)
आपल्याला माहित आहे की:
\( b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \)
\( 0.4 \times 0.9 = r^2 \)
\( r^2 = 0.36 \Rightarrow r = 0.6 \) (धन घेतले कारण \( b_{yx}, b_{xy} > 0 \))
आता, \( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \) वापरून:
\( 0.4 = 0.6 \times \frac{\sigma_y}{3} \)
\( 0.4 = 0.2 \sigma_y \)
\( \sigma_y = \frac{0.4}{0.2} = 2 \)
Y चे विचरण \( V(Y) = \sigma_y^2 = 2^2 = 4 \).
उत्तर: Y चे विचरण 4 आहे.
दिले आहे:
\( b_{yx} = 0.4 \) (X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक)
\( b_{xy} = 0.9 \) (Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक)
X चे विचरण \( V(X) = \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \)
आपल्याला माहित आहे की:
\( b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \)
\( 0.4 \times 0.9 = r^2 \)
\( r^2 = 0.36 \Rightarrow r = 0.6 \) (धन घेतले कारण \( b_{yx}, b_{xy} > 0 \))
आता, \( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \) वापरून:
\( 0.4 = 0.6 \times \frac{\sigma_y}{3} \)
\( 0.4 = 0.2 \sigma_y \)
\( \sigma_y = \frac{0.4}{0.2} = 2 \)
Y चे विचरण \( V(Y) = \sigma_y^2 = 2^2 = 4 \).
उत्तर: Y चे विचरण 4 आहे.
(iii) खालील तक्ता 1976 ते 1985 या कालावधीतील औद्योगिक उत्पादनाचा निर्देशांक दर्शवितो. 1976 हे वर्ष आधारभूत वर्ष घेऊन खाली दिलेल्या माहितीसाठी 4 वर्षीय केंद्रित चालणारी सरासरी (4 yearly centered moving averages) वापरून प्रवृत्ती मूल्ये काढा.
उकल:
प्रवृत्ती मूल्ये: 2.25, 2.75, 3.25, 3.875, 4.875, 6.25.
| वर्ष | निर्देशांक (Y) | 4-वर्षीय एकूण बेरीज |
केंद्रित बेरीज (2 गटांची बेरीज) |
प्रवृत्ती मूल्य (केंद्रित बेरीज / 8) |
|---|---|---|---|---|
| 1976 | 0 | - | - | - |
| 1977 | 2 | - | - | - |
| 8 | ||||
| 1978 | 3 | 18 | 2.25 | |
| 10 | ||||
| 1979 | 3 | 22 | 2.75 | |
| 12 | ||||
| 1980 | 2 | 26 | 3.25 | |
| 14 | ||||
| 1981 | 4 | 31 | 3.875 | |
| 17 | ||||
| 1982 | 5 | 39 | 4.875 | |
| 22 | ||||
| 1983 | 6 | 50 | 6.25 | |
| 28 | - | - | ||
| 1984 | 7 | - | - | - |
| 1985 | 10 | - | - | - |
प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :
(i) जर खाली दिलेल्या माहितीसाठी, वॉल्श किंमत निर्देशांक क्रमांक 150 असेल तर \( x \) शोधा :
उकल:
वॉल्श किंमत निर्देशांक सूत्र: \( P_{01}(w) = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100 \)
समजा \( W = \sqrt{q_0 q_1} \).
दिले आहे \( P_{01}(w) = 150 \):
\( 150 = \frac{345}{130 + 6x} \times 100 \)
\( \frac{150}{100} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( 130 + 6x = \frac{345 \times 2}{3} \)
\( 130 + 6x = 115 \times 2 = 230 \)
\( 6x = 230 - 130 \)
\( 6x = 100 \)
\( x = \frac{100}{6} = \mathbf{16.67} \)
वॉल्श किंमत निर्देशांक सूत्र: \( P_{01}(w) = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100 \)
समजा \( W = \sqrt{q_0 q_1} \).
| वस्तू | \(p_0\) | \(q_0\) | \(p_1\) | \(q_1\) | \(W = \sqrt{q_0 q_1}\) | \(p_0 W\) | \(p_1 W\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A | 5 | 3 | 10 | 3 | \(\sqrt{9}=3\) | 15 | 30 |
| B | \(x\) | 4 | 16 | 9 | \(\sqrt{36}=6\) | \(6x\) | 96 |
| C | 15 | 5 | 23 | 5 | \(\sqrt{25}=5\) | 75 | 115 |
| D | 10 | 2 | 26 | 8 | \(\sqrt{16}=4\) | 40 | 104 |
| एकूण (Total) | - | - | - | - | - | \(130 + 6x\) | 345 |
\( 150 = \frac{345}{130 + 6x} \times 100 \)
\( \frac{150}{100} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( 130 + 6x = \frac{345 \times 2}{3} \)
\( 130 + 6x = 115 \times 2 = 230 \)
\( 6x = 230 - 130 \)
\( 6x = 100 \)
\( x = \frac{100}{6} = \mathbf{16.67} \)
(ii) एक खेळणी बनविणारी कंपनी पाच प्रकारची खेळणी बनवते. प्रत्येक खेळण्याला A, B, C तीन यंत्रातून A, B, C या क्रमाने जायचे आहे. एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) व यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time) शोधा.
उकल:
पायरी 1: अट तपासणे
Min \(A = 12\) (प्रकार 3), Min \(C = 8\) (प्रकार 1), Max \(B = 12\) (प्रकार 2).
येथे Min \(A \ge\) Max \(B\) (\(12 \ge 12\)), म्हणून अट पूर्ण झाली.
पायरी 2: दोन काल्पनिक यंत्रे G आणि H तयार करणे
\(G_i = A_i + B_i\) आणि \(H_i = B_i + C_i\)
पायरी 3: क्रम निश्चित करणे (Johnson's Algorithm)
किमान वेळ 16 आहे (G वर प्रकार 3) &to; 3 प्रथम येईल.
पुढील किमान 18 आहे (H वर प्रकार 1, 4, 5) &to; 1, 4, 5 शेवटी येतील.
उर्वरित प्रकार 2 आहे.
इष्टतम क्रम (Optimal Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
पायरी 4: एकूण व्यतीत वेळ सारणी
एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) = 102 तास.
पायरी 5: यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time)
निष्क्रिय वेळ = एकूण वेळ - B च्या कामाच्या वेळेची बेरीज
B ची बेरीज = \(10+12+4+6+8 = 40\) तास.
B साठी निष्क्रिय वेळ = \(102 - 40 = \mathbf{62 \text{ तास}}\).
पायरी 1: अट तपासणे
Min \(A = 12\) (प्रकार 3), Min \(C = 8\) (प्रकार 1), Max \(B = 12\) (प्रकार 2).
येथे Min \(A \ge\) Max \(B\) (\(12 \ge 12\)), म्हणून अट पूर्ण झाली.
पायरी 2: दोन काल्पनिक यंत्रे G आणि H तयार करणे
\(G_i = A_i + B_i\) आणि \(H_i = B_i + C_i\)
| प्रकार | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| G (A+B) | 26 | 32 | 16 | 20 | 30 |
| H (B+C) | 18 | 30 | 20 | 18 | 18 |
किमान वेळ 16 आहे (G वर प्रकार 3) &to; 3 प्रथम येईल.
पुढील किमान 18 आहे (H वर प्रकार 1, 4, 5) &to; 1, 4, 5 शेवटी येतील.
उर्वरित प्रकार 2 आहे.
इष्टतम क्रम (Optimal Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
पायरी 4: एकूण व्यतीत वेळ सारणी
| क्रम | यंत्र A | यंत्र B | यंत्र C | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| आंत (In) | बाहेर (Out) | आंत (In) | बाहेर (Out) | आंत (In) | बाहेर (Out) | |
| 3 | 0 | 12 | 12 | 16 | 16 | 32 |
| 2 | 12 | 32 | 32 | 44 | 44 | 62 |
| 5 | 32 | 54 | 54 | 62 | 62 | 72 |
| 4 | 54 | 68 | 68 | 74 | 74 | 86 |
| 1 | 68 | 84 | 84 | 94 | 94 | 102 |
एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) = 102 तास.
पायरी 5: यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time)
निष्क्रिय वेळ = एकूण वेळ - B च्या कामाच्या वेळेची बेरीज
B ची बेरीज = \(10+12+4+6+8 = 40\) तास.
B साठी निष्क्रिय वेळ = \(102 - 40 = \mathbf{62 \text{ तास}}\).
(iii) एका यादृच्छिक चल X चे संभाव्यता वितरण खालील प्रमाणे आहे. शोधा (अ) k (ब) \(P(X < 3)\) (क) \(P(X > 6)\)
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P(x) | k | 2k | 2k | 3k | \(k^2\) | \(2k^2\) | \(7k^2+k\) |
उकल:
(अ) आपल्याला माहित आहे की \(\sum P(x) = 1\):
\( k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1 \)
\( 10k^2 + 9k = 1 \)
\( 10k^2 + 9k - 1 = 0 \)
\( 10k^2 + 10k - k - 1 = 0 \)
\( 10k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( (10k - 1)(k + 1) = 0 \)
\( k = \frac{1}{10} \) किंवा \( k = -1 \).
संभाव्यता ऋण असू शकत नाही, म्हणून \( k = 0.1 \).
(ब) \( P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) \)
\( = k + 2k = 3k \)
\( = 3(0.1) = \mathbf{0.3} \)
(क) \( P(X > 6) = P(X=7) \)
\( = 7k^2 + k \)
\( = 7(0.1)^2 + 0.1 \)
\( = 7(0.01) + 0.1 \)
\( = 0.07 + 0.1 = \mathbf{0.17} \)
(अ) आपल्याला माहित आहे की \(\sum P(x) = 1\):
\( k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1 \)
\( 10k^2 + 9k = 1 \)
\( 10k^2 + 9k - 1 = 0 \)
\( 10k^2 + 10k - k - 1 = 0 \)
\( 10k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( (10k - 1)(k + 1) = 0 \)
\( k = \frac{1}{10} \) किंवा \( k = -1 \).
संभाव्यता ऋण असू शकत नाही, म्हणून \( k = 0.1 \).
(ब) \( P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) \)
\( = k + 2k = 3k \)
\( = 3(0.1) = \mathbf{0.3} \)
(क) \( P(X > 6) = P(X=7) \)
\( = 7k^2 + k \)
\( = 7(0.1)^2 + 0.1 \)
\( = 7(0.01) + 0.1 \)
\( = 0.07 + 0.1 = \mathbf{0.17} \)
प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :
(i) एका इमारतीचा विमा त्याच्या एकूण किंमतीच्या 75% आहे. त्याचा वार्षिक हप्ता 0.70% प्रमाणे ₹ 2,625 होतो. जर आगीमुळे इमारतीचे 60% पर्यंत नुकसान झाले तर या विम्याअंतर्गत किती रकमेचा दावा (Claim) करता येईल?
उकल:
समजा मालमत्तेचे मूल्य (Property Value) \( V \) आहे.
पॉलिसी मूल्य (Policy Value) = \( 75\% \) of \( V = 0.75V \).
हप्त्याचा दर (Rate of Premium) = \( 0.70\% = 0.007 \).
हप्ता (Premium) = ₹ 2,625.
पायरी 1: मालमत्तेचे मूल्य काढणे
\( \text{हप्ता} = \text{पॉलिसी मूल्य} \times \text{दर} \)
\( 2625 = 0.75V \times \frac{0.70}{100} \)
\( 2625 = V \times 0.00525 \)
\( V = \frac{2625}{0.00525} = 5,00,000 \)
मालमत्तेचे मूल्य = ₹ 5,00,000.
पॉलिसी मूल्य = \( 0.75 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,75,000 \).
पायरी 2: दावा (Claim) काढणे
नुकसान (Loss) = 60% of \( V = 0.60 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,00,000 \).
मालमत्ता पूर्ण विम्यात नाही (under-insured), म्हणून सरासरी कलम (Average Clause) लागू होईल.
\( \text{दावा} = \frac{\text{पॉलिसी मूल्य}}{\text{मालमत्तेचे मूल्य}} \times \text{नुकसान} \)
\( \text{दावा} = \frac{3,75,000}{5,00,000} \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = 0.75 \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = \mathbf{2,25,000} \)
उत्तर: विम्याअंतर्गत ₹ 2,25,000 चा दावा करता येईल.
समजा मालमत्तेचे मूल्य (Property Value) \( V \) आहे.
पॉलिसी मूल्य (Policy Value) = \( 75\% \) of \( V = 0.75V \).
हप्त्याचा दर (Rate of Premium) = \( 0.70\% = 0.007 \).
हप्ता (Premium) = ₹ 2,625.
पायरी 1: मालमत्तेचे मूल्य काढणे
\( \text{हप्ता} = \text{पॉलिसी मूल्य} \times \text{दर} \)
\( 2625 = 0.75V \times \frac{0.70}{100} \)
\( 2625 = V \times 0.00525 \)
\( V = \frac{2625}{0.00525} = 5,00,000 \)
मालमत्तेचे मूल्य = ₹ 5,00,000.
पॉलिसी मूल्य = \( 0.75 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,75,000 \).
पायरी 2: दावा (Claim) काढणे
नुकसान (Loss) = 60% of \( V = 0.60 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,00,000 \).
मालमत्ता पूर्ण विम्यात नाही (under-insured), म्हणून सरासरी कलम (Average Clause) लागू होईल.
\( \text{दावा} = \frac{\text{पॉलिसी मूल्य}}{\text{मालमत्तेचे मूल्य}} \times \text{नुकसान} \)
\( \text{दावा} = \frac{3,75,000}{5,00,000} \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = 0.75 \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = \mathbf{2,25,000} \)
उत्तर: विम्याअंतर्गत ₹ 2,25,000 चा दावा करता येईल.
(ii) एका यंत्राच्या दुकानात तीन नवीन यंत्रे \(M_1, M_2, M_3\) स्थापित करायची आहेत. चार रिक्त जागा A, B, C, D उपलब्ध आहेत. मर्यादित जागेमुळे यंत्र \(M_2\), ला B च्या जागेवर स्थापित करू शकत नाही. किंमत सारणी (शंभर रुपयांमध्ये) खाली दिली आहे. इष्टतम सोपवणी वेळापत्रक आणि किमान किंमत शोधा.
| यंत्र | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| \(M_1\) | 13 | 10 | 12 | 11 |
| \(M_2\) | 15 | - | 13 | 20 |
| \(M_3\) | 5 | 7 | 10 | 6 |
उकल:
येथे 3 यंत्रे आणि 4 जागा आहेत, म्हणून ही असंतुलित समस्या (Unbalanced problem) आहे. आपण 0 किंमत असलेले एक डमी यंत्र \(M_4\) जोडू. तसेच \(M_2\) ला B वर ठेवता येत नाही, म्हणून तिथे किंमत अनंत (\(\infty\)) घेऊ.
पायरी 1: सारणी तयार करणे
पायरी 2: ओळ कमी करणे (Row Reduction) (प्रत्येक ओळीतून किमान संख्या वजा करा)
\(R_1\) (min 10): 3, 0, 2, 1
\(R_2\) (min 13): 2, ∞, 0, 7
\(R_3\) (min 5): 0, 2, 5, 1
\(R_4\) (min 0): 0, 0, 0, 0
पायरी 3: सोपवणी करणे (Assignment - Zero selection)
- \(R_2\) मध्ये फक्त एक शून्य C वर आहे. \(M_2 \to C\) (किंमत 13).
- \(R_1\) मध्ये आता फक्त एक शून्य B वर उपलब्ध आहे. \(M_1 \to B\) (किंमत 10).
- \(R_3\) मध्ये फक्त एक शून्य A वर आहे. \(M_3 \to A\) (किंमत 5).
- \(R_4\) साठी जागा D उरली आहे. \(M_4 \to D\) (किंमत 0).
इष्टतम वेळापत्रक:
\(M_1 \to B\) (10)
\(M_2 \to C\) (13)
\(M_3 \to A\) (5)
(जागा D रिक्त राहील)
किमान किंमत = 10 + 13 + 5 = 28 (शंभर) = ₹ 2,800.
येथे 3 यंत्रे आणि 4 जागा आहेत, म्हणून ही असंतुलित समस्या (Unbalanced problem) आहे. आपण 0 किंमत असलेले एक डमी यंत्र \(M_4\) जोडू. तसेच \(M_2\) ला B वर ठेवता येत नाही, म्हणून तिथे किंमत अनंत (\(\infty\)) घेऊ.
पायरी 1: सारणी तयार करणे
| 13 | 10 | 12 | 11 |
| 15 | ∞ | 13 | 20 |
| 5 | 7 | 10 | 6 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
पायरी 2: ओळ कमी करणे (Row Reduction) (प्रत्येक ओळीतून किमान संख्या वजा करा)
\(R_1\) (min 10): 3, 0, 2, 1
\(R_2\) (min 13): 2, ∞, 0, 7
\(R_3\) (min 5): 0, 2, 5, 1
\(R_4\) (min 0): 0, 0, 0, 0
पायरी 3: सोपवणी करणे (Assignment - Zero selection)
- \(R_2\) मध्ये फक्त एक शून्य C वर आहे. \(M_2 \to C\) (किंमत 13).
- \(R_1\) मध्ये आता फक्त एक शून्य B वर उपलब्ध आहे. \(M_1 \to B\) (किंमत 10).
- \(R_3\) मध्ये फक्त एक शून्य A वर आहे. \(M_3 \to A\) (किंमत 5).
- \(R_4\) साठी जागा D उरली आहे. \(M_4 \to D\) (किंमत 0).
इष्टतम वेळापत्रक:
\(M_1 \to B\) (10)
\(M_2 \to C\) (13)
\(M_3 \to A\) (5)
(जागा D रिक्त राहील)
किमान किंमत = 10 + 13 + 5 = 28 (शंभर) = ₹ 2,800.
(iii) 10% सदोष अंडी असलेली अंडी क्रमशः बदलून (with replacement) काढली जातात. 10 अंड्यांचा समूह आहे, या अंड्यांमध्ये किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता शोधा.
उकल:
ही द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) समस्या आहे \( X \sim B(n, p) \).
सदोष अंड्याची संभाव्यता \( p = 10\% = 0.1 \).
चांगल्या अंड्याची संभाव्यता \( q = 1 - 0.1 = 0.9 \).
एकूण प्रयत्न \( n = 10 \).
आपल्याला किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता काढायची आहे: \( P(X \ge 1) \).
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \)
\( P(X = 0) = {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \)
\( P(X \ge 1) = 1 - (0.9)^{10} \)
उत्तर: \( 1 - (0.9)^{10} \)
ही द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) समस्या आहे \( X \sim B(n, p) \).
सदोष अंड्याची संभाव्यता \( p = 10\% = 0.1 \).
चांगल्या अंड्याची संभाव्यता \( q = 1 - 0.1 = 0.9 \).
एकूण प्रयत्न \( n = 10 \).
आपल्याला किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता काढायची आहे: \( P(X \ge 1) \).
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \)
\( P(X = 0) = {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \)
\( P(X \ge 1) = 1 - (0.9)^{10} \)
उत्तर: \( 1 - (0.9)^{10} \)
प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :
(i) खालील तक्ता वर्षे 1980 ते 2010 साठी अखिल भारतीय बाल मृत्युदर (प्रति '000) दर्शवितो. वरील माहितीसाठी कमीत कमी वर्ग पद्धतीने (least squares method) प्रवृत्तीरेषा बनवा.
| वर्ष | 1980 | 1985 | 1990 | 1995 | 2000 | 2005 | 2010 |
| IMR | 10 | 7 | 5 | 4 | 3 | 1 | 0 |
उकल:
येथे \( n = 7 \) (विषम संख्या).
मध्यवर्ती वर्ष 1995 आहे.
समजा \( u = \frac{t - 1995}{5} \) (येथे 5 वर्षांचा फरक आहे).
प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण: \( y = a + bu \)
येथे, \( a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} \approx 4.286 \)
आणि \( b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -\frac{11}{7} \approx -1.571 \)
प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण:
\( y = 4.286 - 1.571 u \)
किंवा \( y = 4.286 - 1.571 \left( \frac{t - 1995}{5} \right) \)
येथे \( n = 7 \) (विषम संख्या).
मध्यवर्ती वर्ष 1995 आहे.
समजा \( u = \frac{t - 1995}{5} \) (येथे 5 वर्षांचा फरक आहे).
| वर्ष (t) | IMR (y) | \(u\) | \(u^2\) | \(uy\) |
|---|---|---|---|---|
| 1980 | 10 | -3 | 9 | -30 |
| 1985 | 7 | -2 | 4 | -14 |
| 1990 | 5 | -1 | 1 | -5 |
| 1995 | 4 | 0 | 0 | 0 |
| 2000 | 3 | 1 | 1 | 3 |
| 2005 | 1 | 2 | 4 | 2 |
| 2010 | 0 | 3 | 9 | 0 |
| एकूण (Total) | \(\sum y = 30\) | \(\sum u = 0\) | \(\sum u^2 = 28\) | \(\sum uy = -44\) |
येथे, \( a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} \approx 4.286 \)
आणि \( b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -\frac{11}{7} \approx -1.571 \)
प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण:
\( y = 4.286 - 1.571 u \)
किंवा \( y = 4.286 - 1.571 \left( \frac{t - 1995}{5} \right) \)
(ii) लघुत्तम करा (Minimize): \( z = 6x + 2y \)
अटी (Constraints):
\( x+2y \ge 3 \), \( x+4y \ge 4 \), \( 3x+y \ge 3 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).
अटी (Constraints):
\( x+2y \ge 3 \), \( x+4y \ge 4 \), \( 3x+y \ge 3 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).
उकल:
दिलेल्या समीकरणांसाठी रेषांचे आलेख बिंदू काढू:
1. \( L_1: x + 2y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (3, 0) आणि (0, 1.5)
2. \( L_2: x + 4y = 4 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (4, 0) आणि (0, 1)
3. \( L_3: 3x + y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (1, 0) आणि (0, 3)
सर्व अटी '\(\ge\)' प्रकारच्या आहेत, त्यामुळे संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) रेषांच्या वरच्या बाजूला आहे (Unbounded).
संभाव्य क्षेत्राचे शिरोबिंदू (Corner Points):
1. A(0, 3) [रेषा \(L_3\) चा Y-अक्ष छेद]
2. B [रेषा \(L_1\) आणि \(L_3\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( 3x+y=3 \) सोडवून.
\( y = 3-3x \Rightarrow x+2(3-3x)=3 \Rightarrow x+6-6x=3 \Rightarrow -5x=-3 \Rightarrow x=0.6 \)
\( y = 3 - 3(0.6) = 1.2 \)
\(\therefore B(0.6, 1.2)\)
3. C [रेषा \(L_1\) आणि \(L_2\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( x+4y=4 \) सोडवून.
वजाबाकी करून: \( 2y=1 \Rightarrow y=0.5 \)
\( x+2(0.5)=3 \Rightarrow x+1=3 \Rightarrow x=2 \)
\(\therefore C(2, 0.5)\)
4. D(4, 0) [रेषा \(L_2\) चा X-अक्ष छेद]
Z ची मूल्ये (Values of Z):
\( Z(A) = 6(0) + 2(3) = 6 \)
\( Z(B) = 6(0.6) + 2(1.2) = 3.6 + 2.4 = \mathbf{6} \)
\( Z(C) = 6(2) + 2(0.5) = 12 + 1 = 13 \)
\( Z(D) = 6(4) + 2(0) = 24 \)
उत्तर: \( Z \) चे किमान मूल्य 6 आहे.
दिलेल्या समीकरणांसाठी रेषांचे आलेख बिंदू काढू:
1. \( L_1: x + 2y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (3, 0) आणि (0, 1.5)
2. \( L_2: x + 4y = 4 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (4, 0) आणि (0, 1)
3. \( L_3: 3x + y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (1, 0) आणि (0, 3)
सर्व अटी '\(\ge\)' प्रकारच्या आहेत, त्यामुळे संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) रेषांच्या वरच्या बाजूला आहे (Unbounded).
संभाव्य क्षेत्राचे शिरोबिंदू (Corner Points):
1. A(0, 3) [रेषा \(L_3\) चा Y-अक्ष छेद]
2. B [रेषा \(L_1\) आणि \(L_3\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( 3x+y=3 \) सोडवून.
\( y = 3-3x \Rightarrow x+2(3-3x)=3 \Rightarrow x+6-6x=3 \Rightarrow -5x=-3 \Rightarrow x=0.6 \)
\( y = 3 - 3(0.6) = 1.2 \)
\(\therefore B(0.6, 1.2)\)
3. C [रेषा \(L_1\) आणि \(L_2\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( x+4y=4 \) सोडवून.
वजाबाकी करून: \( 2y=1 \Rightarrow y=0.5 \)
\( x+2(0.5)=3 \Rightarrow x+1=3 \Rightarrow x=2 \)
\(\therefore C(2, 0.5)\)
4. D(4, 0) [रेषा \(L_2\) चा X-अक्ष छेद]
Z ची मूल्ये (Values of Z):
\( Z(A) = 6(0) + 2(3) = 6 \)
\( Z(B) = 6(0.6) + 2(1.2) = 3.6 + 2.4 = \mathbf{6} \)
\( Z(C) = 6(2) + 2(0.5) = 12 + 1 = 13 \)
\( Z(D) = 6(4) + 2(0) = 24 \)
उत्तर: \( Z \) चे किमान मूल्य 6 आहे.
प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) एका द्विचलीय माहितीसाठी \( \overline{x}=10 \), \( \overline{y}=12 \), \( V(X)=9 \), \( \sigma_{y}=4 \) आणि \( r=0.6 \). \( x=5 \) असताना \( y \) ची किंमत काढा.
उकल:
X वर Y ची प्रतिगमन रेषा (Regression line of Y on X):
\( Y-\overline{y} = b_{yx}(X-\overline{x}) \)
\( Y-12 = r\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}(X-10) \)
(येथे \( V(X)=9 \implies \sigma_x = 3 \))
\( Y-12 = 0.6 \times \frac{4}{\mathbf{\fbox{ 3 }}} (X-10) \)
जेव्हा \( x=5 \):
\( Y-12 = \) 0.8 \( (5-10) \)
(कारण \( 0.6 \times \frac{4}{3} = 0.8 \))
\( Y-12 = 0.8(-5) \)
\( Y-12 = -4 \)
\( Y = \) 8
X वर Y ची प्रतिगमन रेषा (Regression line of Y on X):
\( Y-\overline{y} = b_{yx}(X-\overline{x}) \)
\( Y-12 = r\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}(X-10) \)
(येथे \( V(X)=9 \implies \sigma_x = 3 \))
\( Y-12 = 0.6 \times \frac{4}{\mathbf{\fbox{ 3 }}} (X-10) \)
जेव्हा \( x=5 \):
\( Y-12 = \) 0.8 \( (5-10) \)
(कारण \( 0.6 \times \frac{4}{3} = 0.8 \))
\( Y-12 = 0.8(-5) \)
\( Y-12 = -4 \)
\( Y = \) 8
(ii) जर \( X\sim P(m) \) आणि \( P(X=1)=P(X=2) \) तर सरासरी (mean) आणि \( P(X=2) \) शोधा.
दिले आहे \( e^{-2}=0.1353 \).
दिले आहे \( e^{-2}=0.1353 \).
उकल:
पॉयसन वितरणानुसार सूत्र (Poisson Distribution Formula): \( P(X=x) = \frac{e^{-m}m^x}{x!} \)
दिले आहे की \( P(X=1)=P(X=2) \)
\( \frac{e^{-m}m^{1}}{1!} = \frac{e^{-m}m^{2}}{\mathbf{\fbox{ 2! }}} \)
दोन्ही बाजूंना \( e^{-m} \cdot m \) ने भागून:
\( 1 = \frac{m}{2} \)
\( m = \) 2
आता \( P(X=2) \) काढू:
\( P(X=2) = \frac{e^{-2}\cdot2^{2}}{2!} \)
\( P(X=2) = \frac{0.1353 \times 4}{2} \)
\( P(X=2) = \) 0.2706
पॉयसन वितरणानुसार सूत्र (Poisson Distribution Formula): \( P(X=x) = \frac{e^{-m}m^x}{x!} \)
दिले आहे की \( P(X=1)=P(X=2) \)
\( \frac{e^{-m}m^{1}}{1!} = \frac{e^{-m}m^{2}}{\mathbf{\fbox{ 2! }}} \)
दोन्ही बाजूंना \( e^{-m} \cdot m \) ने भागून:
\( 1 = \frac{m}{2} \)
\( m = \) 2
आता \( P(X=2) \) काढू:
\( P(X=2) = \frac{e^{-2}\cdot2^{2}}{2!} \)
\( P(X=2) = \frac{0.1353 \times 4}{2} \)
\( P(X=2) = \) 0.2706
