Maharashtra SSC 10th Geometry (Hindi Medium) Board Exam Question Paper Solution 2025

गणित (७१) ज्यामिति - भाग २

SSC 10th Board Exam Solution | 2025 Revised Course

अंक: 40 | समय: 2 घंटे | हिंदी माध्यम (Hindi Medium)

प्रश्न १. (A) नीचे दिये गये पर्यायों में से उचित पर्याय चुनकर लिखिए : (4 अंक)

(1) निम्नलिखित में से कौनसा पायथागोरस का त्रिक् है ?

• (A) (1, 5, 10)
• (B) (3, 4, 5)
• (C) (2, 2, 2)
• (D) (5, 5, 2)

स्पष्टीकरण: (3, 4, 5) में, \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) और \(5^2 = 25\). अतः \(a^2 + b^2 = c^2\) होने के कारण यह पायथागोरस का त्रिक् है।
उत्तर: (B)

(2) ‘O’ केंद्र वाले वृत्त में अंतर्लिखित \(\angle ACB\) का माप \(65^\circ\) है, तो उसके द्वारा अंतःखंडित चाप AXB का माप कितना ?

• (A) 65°
• (B) 230°
• (C) 295°
• (D) 130°

स्पष्टीकरण: अंतःखंडित चाप का माप = \(2 \times\) अंतर्लिखित कोण का माप।
\(m(\text{चाप } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
उत्तर: (D)

(3) (3, 4) इस बिंदु की आरंभ बिंदु से दूरी .................... है।

• (A) 7
• (B) 1
• (C) 5
• (D) –5

स्पष्टीकरण: दूरी = \(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
उत्तर: (C)

(4) किसी शंकु की त्रिज्या 5 सेमी तथा उसकी लंब ऊँचाई 12 सेमी हो, तो उसकी तिरछी ऊँचाई ..................... होगी।

• (A) 17 सेमी
• (B) 4 सेमी
• (C) 13 सेमी
• (D) 60 सेमी

स्पष्टीकरण: तिरछी ऊँचाई \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) सेमी।
उत्तर: (C)

प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्न हल कीजिए : (4 अंक)

(1) \(\Delta ABC\) में \(B-D-C\) तथा \(BD = 7, BC = 20\), तो \(\frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)}\) = कितना ?

हल: \(\Delta ABD\) और \(\Delta ABC\) का सामान्य शीर्षबिंदु A है और उनके आधार एक ही रेखा पर स्थित हैं। अतः उनकी ऊँचाई समान है।
समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों के क्षेत्रफल उनके आधारों के अनुपात में होते हैं।
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
उत्तर: 7/20

(2) नीचे दी गई आकृति में \(\angle MNP = 90^\circ\), रेख \(NQ \perp\) रेख \(MP\), \(MQ = 9\), \(QP = 4\), तो NQ ज्ञात कीजिए।

हल: भूमितीय माध्य के प्रमेय अनुसार:
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) इकाई।

(3) किसी रेखा द्वारा X-अक्ष की धनात्मक दिशा की ओर निर्मित कोण का माप \(30^\circ\) है, तो उस रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

हल: यहाँ, झुकाव कोण \(\theta = 30^\circ\)।
रेखा का ढाल \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

(4) चक्रीय चतुर्भुज ABCD में \(m\angle A = 100^\circ\), तो \(m\angle C\) ज्ञात कीजिए।

हल: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)।

प्रश्न २. (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके लिखिए (कोई दो) : (4 अंक)

(1) ‘P’ केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। जीवा AB द्वारा वृत्त केंद्र पर समकोण बनाया गया हो, तो द्वैत्रिज्य का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए। (\(\pi = 3.14\))

कृति: \(r = 10\) सेमी, \(\theta = 90^\circ\), \(\pi = 3.14\).
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 वर्गसेमी.

(2) नीचे दी गई आकृति में जीवा MN और जीवा RS एक-दूसरे को बिंदु D में प्रतिच्छेदित करती हैं। यदि RD = 15, DS = 4, MD = 8, तो DN ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए :

कृति: \(MD \times DN =\) RD \(\times DS\) ... (जीवाओं के अंतःछेदन प्रमेय से)
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5

(3) किसी पेड़ के तने से 10 मी. की दूरी पर खड़ा निरीक्षक पेड़ की चोटी की ओर देखता है तब \(60^\circ\) माप का उन्नत कोण बनता है। तो उस पेड़ की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए। (\(\sqrt{3} = 1.73\))

कृति: \(\tan \theta = \frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BC}\) ... (I)
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) पेड़ की ऊँचाई 17.3 मी. है।

प्रश्न २. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्न हल कीजिए (कोई चार) : (8 अंक)

(1) \(\Delta ABC\) में \(DE \parallel BC\)। यदि \(DB = 5.4\) सेमी, \(AD = 1.8\) सेमी, \(EC = 7.2\) सेमी, तो AE का मान ज्ञात कीजिए।

हल: \(\Delta ABC\) में \(DE \parallel BC\)। समानुपात के मूलभूत प्रमेय (BPT) से:
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) सेमी।

(2) नीचे दी गई आकृति में, \(\Delta PSR\) में दी गई जानकारी से RS और PS ज्ञात कीजिए। (दिया गया है: \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ, PR = 12\))

हल: \(\Delta PSR\) में, \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ\), अतः \(\angle R = 60^\circ\)।
यह \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) माप वाला त्रिभुज है।
\(30^\circ\) कोण के सामने की भुजा (RS) कर्ण (PR) की आधी होती है।
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) इकाई।

\(60^\circ\) कोण के सामने की भुजा (PS) कर्ण की \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) गुना होती है।
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) इकाई।

(3) नीचे दी गई आकृति में, D केंद्र वाला वृत्त \(\angle ACB\) की भुजाओं को बिंदु A और B में स्पर्श करता है। यदि \(\angle ACB = 52^\circ\), तो \(\angle ADB\) का माप ज्ञात कीजिए।

हल: स्पर्श रेखा-त्रिज्या प्रमेय के अनुसार, त्रिज्या स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिंदु पर लंब होती है।
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) और \(\angle CBD = 90^\circ\)।
चतुर्भुज ADBC में चारों कोणों के मापों का योग \(360^\circ\) होता है।
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\)।

(4) बिंदु A(1, –3), B(2, –5) और C(–4, 7) एकरेखीय हैं या नहीं, इसकी जाँच कीजिए।

हल: रेखा AB का ढाल = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2\)।
रेखा BC का ढाल = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\)।
यहाँ रेखा AB का ढाल = रेखा BC का ढाल, और बिंदु B सामान्य है।
\(\therefore\) बिंदु A, B, और C एकरेखीय हैं।

(5) यदि \(\sin \theta = \frac{11}{61}\), तो सर्वसमिका का उपयोग करके \(\cos \theta\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल: सर्वसमिका: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).

प्रश्न ३. (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके पुनः लिखिए (कोई एक) : (3 अंक)

(1) नीचे दी गई आकृति में, रेख XY \(\parallel\) भुजा AC। यदि \(2AX = 3BX\) और \(XY = 9\), तो AC का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।

कृति: \(2AX = 3BX \implies \frac{AX}{BX} = \) \(\frac{3}{2}\)
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (योगानुपात की क्रिया से)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
अब, \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (समरूपता की को-को कसौटी)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... (I) से
\(\therefore AC =\) 22.5

(2) समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योगफल उसके विकर्णों के वर्गों के योगफल के बराबर होता है, यह सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए।

कृति: PQRS एक समचतुर्भुज है। विकर्ण परस्पर बिंदु T पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
\(\Delta PQS\) में, PT माध्यिका है। अपोलोनियस के प्रमेयानुसार:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
\(\Delta QRS\) में, RT माध्यिका है:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
(I) तथा (II) को जोड़ने पर:
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
चूँकि \(PT=RT\), तो \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (नोट: \(2PT = PR\) और \(2QT = SQ\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)

प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्न हल कीजिए (कोई दो) : (6 अंक)

(1) सिद्ध कीजिए कि, बिंदु P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1) और S(–1, –5) समांतर चतुर्भुज के शीर्षबिंदु हैं।

हल: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। यदि विकर्णों के मध्यबिंदु समान हों, तो वह समांतर चतुर्भुज होता है।
विकर्ण PR का मध्यबिंदु = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\)।
विकर्ण QS का मध्यबिंदु = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\)।
यहाँ दोनों विकर्णों का मध्यबिंदु समान है।
\(\therefore \square PQRS\) एक समांतर चतुर्भुज है।

(2) सिद्ध कीजिए कि, ‘‘वृत्त के बाह्य भाग में स्थित बिंदु से उस वृत्त पर खींचे गए स्पर्श रेखाखंड सर्वांगसम होते हैं।’’

उपपत्ति: दत्त: केंद्र O वाले वृत्त के बाह्य भाग में बिंदु P है। PA और PB स्पर्श रेखाखंड हैं।
साध्य: रेख PA \(\cong\) रेख PB।
रचना: त्रिज्या OA और OB खींचिए। रेख OP खींचिए।
उपपत्ति: \(\Delta OAP\) और \(\Delta OBP\) में,
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (स्पर्श रेखा-त्रिज्या प्रमेय)
कर्ण OP \(\cong\) कर्ण OP (सामान्य भुजा)
भुजा OA \(\cong\) भुजा OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (कर्ण-भुजा कसौटी)
\(\therefore\) रेख PA \(\cong\) रेख PB (सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
इति सिद्धम्।

(3) 4.1 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केंद्र से 7.3 सेमी दूर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखा खींचिए।

रचना के सोपान: 1. केंद्र O लेकर 4.1 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए।
2. केंद्र O से 7.3 सेमी दूरी पर बिंदु P लीजिए।
3. रेख OP का लंबसमद्विभाजक खींचिए। मध्यबिंदु को M नाम दें।
4. M को केंद्र और त्रिज्या OM लेकर चाप खींचिए जो मूल वृत्त को A और B में प्रतिच्छेदित करें।
5. रेखा PA और PB खींचिए। ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

(4) 30 सेमी त्रिज्या के एक ठोस गोले को पिघलाकर उससे 10 सेमी त्रिज्या वाले तथा 6 सेमी ऊँचाई वाले ठोस वृत्ताकार बेलन बनाए गए तो उससे बने वृत्ताकार बेलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: माना \(n\) बेलन बनेंगे।
गोले का घनफल = \(n \times\) एक बेलन का घनफल
गोला: \(R = 30\). बेलन: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
उत्तर: 60 बेलन बनेंगे।

प्रश्न ४. निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए (कोई दो) : (8 अंक)

(1) नीचे दी गई आकृति में \(DE \parallel BC\)। (i) यदि DE=4, BC=8, A(\(\Delta\)ADE)=25, तो A(\(\Delta\)ABC) ज्ञात कीजिए। (ii) यदि DE:BC = 3:5, तो A(\(\Delta\)ADE) : A(\(\square\)DBCE) ज्ञात कीजिए।

हल: \(DE \parallel BC\) होने के कारण, \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) (को-को कसौटी)।
(i) समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय से:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) वर्गसेमी।

(ii) यदि \(DE:BC = 3:5\), तो क्षेत्रफलों का अनुपात = \(3^2:5^2 = 9:25\).
माना \(A(\Delta ADE) = 9k\) और \(A(\Delta ABC) = 25k\).
\(\square DBCE\) का क्षेत्रफल = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
अनुपात \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).

(2) \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\)। \(\Delta ABC\) में, \(AB=3.6, BC=4, AC=4.2\)। \(\Delta ABC\) और \(\Delta PQR\) की संगत भुजाओं का अनुपात 2:3 है, तो \(\Delta ABC\) और \(\Delta PQR\) की रचना कीजिए।

हल: दिया गया है: \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{2}{3}\)।
\(\Delta PQR\) की भुजाओं की गणना:
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) सेमी।
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) सेमी।
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) सेमी।
रचना:
1. भुजाएँ 3.6, 4, 4.2 लेकर \(\Delta ABC\) बनाइए।
2. भुजाएँ 5.4, 6, 6.3 लेकर \(\Delta PQR\) बनाइए।

(3) शंकु छेद के वृत्ताकार भाग की त्रिज्या क्रमशः 14 सेमी तथा 8 सेमी है। यदि शंकु छेद की ऊँचाई 8 सेमी हो, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए : (\(\pi = 3.14\)) (i) वक्रपृष्ठफल (ii) संपूर्ण पृष्ठफल (iii) घनफल।

हल: \(r_1 = 14, r_2 = 8, h = 8\).
तिरछी ऊँचाई \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) सेमी।
(i) वक्रपृष्ठफल = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) वर्गसेमी।
(ii) संपूर्ण पृष्ठफल = वक्रपृष्ठफल + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) वर्गसेमी।
(iii) घनफल = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) घनसेमी।

प्रश्न ५. निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए (कोई एक) : (3 अंक)

(1) ABCD एक आयत है। रेख AD को व्यास मानकर विकर्ण BD को बिंदु X में प्रतिच्छेदित करने वाला एक अर्धवृत्त AXD बनाया गया। यदि AB = 12 सेमी, AD = 9 सेमी, तो BD और BX के मान ज्ञात कीजिए।

हल: \(\Delta DAB\) में, \(\angle A = 90^\circ\) (आयत का कोण)।
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) सेमी।
AD अर्धवृत्त का व्यास है, अतः \(\angle AXD = 90^\circ\) (अर्धवृत्त का कोण)।
इसलिए, \(AX \perp BD\)।
समकोण \(\Delta DAB\) में, रेख AX कर्ण पर डाला गया लंब है।
भूमितीय माध्य के गुणधर्म अनुसार (या समरूपता से): \(AB^2 = BX \times BD\)।
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) सेमी।
उत्तर: BD = 15 सेमी, BX = 9.6 सेमी।

(2) \(\theta = 30^\circ\) लेकर निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की जाँच कीजिए : (i) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), (ii) \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\), (iii) \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\)।

हल: (i) \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\). सत्यापित हुआ।
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। सत्यापित हुआ।
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष। सत्यापित हुआ।

Maharashtra SSC 10th Geometry (Marathi Medium) Board Exam Question Paper Solution 2025

गणित (७१) भूमिती - भाग २

SSC 10th Board Exam Solution | 2025 Revised Course

गुण: ४० | वेळ: २ तास | मराठी माध्यम (Marathi Medium)

प्रश्न १. (A) दिलेल्या पर्यायांपैकी योग्य पर्याय निवडा : (४ गुण)

(१) खालीलपैकी कोणते पायथागोरसचे त्रिकूट आहे ?

• (A) (1, 5, 10)
• (B) (3, 4, 5)
• (C) (2, 2, 2)
• (D) (5, 5, 2)

स्पष्टीकरण: (3, 4, 5) मध्ये, \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) आणि \(5^2 = 25\). म्हणून, \(a^2 + b^2 = c^2\) हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.
उत्तर: (B)

(२) केंद्र O असलेल्या वर्तुळात अंतर्लिखित \(\angle ACB\) चे माप \(65^\circ\) आहे. तर त्याने अंतर्खंडित केलेल्या कंस AXB चे माप किती ?

• (A) 65°
• (B) 230°
• (C) 295°
• (D) 130°

स्पष्टीकरण: अंतर्खंडित कंसाचे माप = \(2 \times\) अंतर्लिखित कोनाचे माप.
\(m(\text{कंस } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
उत्तर: (D)

(३) (3, 4) या बिंदूचे आरंभ बिंदूपासूनचे अंतर .................... आहे.

• (A) 7
• (B) 1
• (C) 5
• (D) –5

स्पष्टीकरण: अंतर = \(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
उत्तर: (C)

(४) जर एका शंकूची त्रिज्या 5 सेमी असून त्याची लंबउंची 12 सेमी असेल तर त्याची तिरकस उंची ..................... आहे.

• (A) 17 सेमी
• (B) 4 सेमी
• (C) 13 सेमी
• (D) 60 सेमी

स्पष्टीकरण: तिरकस उंची \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) सेमी.
उत्तर: (C)

प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)

(१) खालील \(\Delta ABC\) मध्ये \(B-D-C\) आणि \(BD = 7, BC = 20\), तर \(\frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)}\) = किती ?

उकल: \(\Delta ABD\) आणि \(\Delta ABC\) यांचा सामाईक शिरोबिंदू A आहे आणि त्यांचे पाया एकाच रेषेवर आहेत. म्हणून त्यांची उंची समान आहे.
समान उंची असलेल्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे त्यांच्या पायांच्या प्रमाणात असतात.
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
उत्तर: 7/20

(२) खालील आकृतीमध्ये \(\angle MNP = 90^\circ\), रेख \(NQ \perp\) रेख \(MP\), \(MQ = 9\), \(QP = 4\), तर NQ काढा.

उकल: भूमिती मध्याच्या प्रमेयानुसार:
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) एकक.

(३) एका रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन \(30^\circ\) आहे, तर त्या रेषेचा चढ काढा.

उकल: येथे, रेषेचा कल \(\theta = 30^\circ\).
रेषेचा चढ \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

(४) चक्रीय \(\square ABCD\) मध्ये \(m\angle A = 100^\circ\), तर \(m\angle C\) काढा.

उकल: चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन पूरक असतात.
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

प्रश्न २. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणत्याही दोन) : (४ गुण)

(१) P केंद्र असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 10 सेमी आहे. जीवा AB ने वर्तुळकेंद्राशी काटकोन केलेला असल्यास वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. (\(\pi = 3.14\))

कृती: \(r = 10\) सेमी, \(\theta = 90^\circ\), \(\pi = 3.14\).
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 चौसेमी.

(२) खालील आकृतीमध्ये जीवा MN आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू D मध्ये छेदतात. जर RD = 15, DS = 4, MD = 8, तर DN काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा :

कृती: \(MD \times DN =\) RD \(\times DS\) ... (जीवांच्या अंतर्छेदाचे प्रमेय)
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5

(३) एका झाडाच्या बुंध्यापासून 10 मी. अंतरावर असणाऱ्या निरीक्षकास झाडाच्या शेंड्याकडे पाहताना \(60^\circ\) मापाचा उन्नत कोन करावा लागतो. तर झाडाची उंची काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. (\(\sqrt{3} = 1.73\))

कृती: \(\tan \theta = \frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BC}\) ... (I)
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) झाडाची उंची 17.3 मी. आहे.

प्रश्न २. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही चार) : (८ गुण)

(१) \(\Delta ABC\) मध्ये \(DE \parallel BC\). जर \(DB = 5.4\) सेमी, \(AD = 1.8\) सेमी, \(EC = 7.2\) सेमी, तर AE काढा.

उकल: \(\Delta ABC\) मध्ये \(DE \parallel BC\). प्रमाणाच्या मूलभूत प्रमेयानुसार (BPT):
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) सेमी.

(२) खालील आकृतीमध्ये, \(\Delta PSR\) मध्ये दिलेल्या माहितीवरून RS आणि PS काढा. (दिलेले: \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ, PR = 12\))

उकल: \(\Delta PSR\) मध्ये, \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ\), म्हणून \(\angle R = 60^\circ\).
हा \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) मापाचा त्रिकोण आहे.
\(30^\circ\) कोनासमोरील बाजू (RS) कर्णाच्या (PR) निम्मी असते.
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) एकक.

\(60^\circ\) कोनासमोरील बाजू (PS) कर्णाच्या \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) पट असते.
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) एकक.

(३) खाली दिलेल्या आकृतीत केंद्र D असलेले वर्तुळ \(\angle ACB\) च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर \(\angle ACB = 52^\circ\), तर \(\angle ADB\) चे माप काढा.

उकल: स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेयानुसार, त्रिज्या स्पर्शिकेला स्पर्शबिंदूपाशी लंब असते.
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) आणि \(\angle CBD = 90^\circ\).
चौकोन ADBC मध्ये चारही कोनांच्या मापांची बेरीज \(360^\circ\) असते.
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\).

(४) A(1, –3), B(2, –5) आणि C(–4, 7) हे बिंदू एकरेषीय आहेत की नाही हे ठरवा.

उकल: रेषा AB चा चढ = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2\).
रेषा BC चा चढ = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\).
येथे रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ आणि बिंदू B हा सामाईक आहे.
\(\therefore\) बिंदू A, B, आणि C एकरेषीय आहेत.

(५) जर \(\sin \theta = \frac{11}{61}\), तर नित्यसमानतेचा उपयोग करून \(\cos \theta\) ची किंमत काढा.

उकल: सूत्र: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).

प्रश्न ३. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणतीही एक) : (३ गुण)

(१) खालील आकृतीमध्ये XY \(\parallel\) बाजू AC. जर \(2AX = 3BX\) आणि \(XY = 9\), तर AC ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: \(2AX = 3BX \implies \frac{AX}{BX} = \) \(\frac{3}{2}\)
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (योग क्रिया करून)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
आता, \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (समरूपतेची को-को कसोटी)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... (I) वरून
\(\therefore AC =\) 22.5

(२) समभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या कर्णांच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती: PQRS हा समभुज चौकोन आहे. कर्ण परस्परांना T मध्ये दुभागतात.
\(\Delta PQS\) मध्ये रेख PT ही मध्यगा आहे. अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
त्याचप्रमाणे \(\Delta QRS\) मध्ये रेख RT मध्यगा आहे:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
(I) व (II) यांची बेरीज करून:
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
येथे \(PT=RT\), म्हणून \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (टीप: \(2PT = PR\) आणि \(2QT = SQ\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)

प्रश्न ३. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : (६ गुण)

(१) P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू आहेत, हे दाखवा.

उकल: समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात. जर कर्णांचे मध्यबिंदू एकच असतील, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.
कर्ण PR च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\).
कर्ण QS च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\).
येथे दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू एकच आहे.
\(\therefore \square PQRS\) हा समांतरभुज चौकोन आहे.

(२) सिद्ध करा की, 'वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात'.

सिद्धता: पक्ष: केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागात बिंदू P आहे. PA आणि PB हे स्पर्शिकाखंड आहेत.
साध्य: रेख PA \(\cong\) रेख PB.
रचना: त्रिज्या OA आणि OB काढा. रेख OP काढा.
सिद्धता: \(\Delta OAP\) आणि \(\Delta OBP\) मध्ये,
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय)
कर्ण OP \(\cong\) कर्ण OP (सामाईक बाजू)
बाजू OA \(\cong\) बाजू OB (एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (कर्ण-भुजा कसोटी)
\(\therefore\) रेख PA \(\cong\) रेख PB (एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू)
सिद्ध झाले.

(३) 4.1 सेमी त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा. वर्तुळकेंद्रापासून 7.3 सेमी अंतरावरील बिंदूतून स्पर्शिका काढा.

रचनेच्या पायऱ्या: 1. केंद्र O घेऊन 4.1 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
2. केंद्र O पासून 7.3 सेमी अंतरावर बिंदू P घ्या.
3. रेख OP चा लंबदुभाजक काढा. त्याला M नाव द्या.
4. M केंद्र आणि त्रिज्या OM घेऊन कंस काढा जे मूळ वर्तुळाला A आणि B मध्ये छेदतील.
5. रेषा PA आणि PB काढा. ह्या अपेक्षित स्पर्शिका आहेत.

(४) 30 सेमी त्रिज्येचा एक भरीव गोल वितळवून त्यापासून 10 सेमी त्रिज्या व 6 सेमी उंची असणाऱ्या भरीव वृत्तचित्ती तयार केल्या, तर किती वृत्तचित्ती तयार होतील?

उकल: समजा \(n\) वृत्तचित्ती तयार होतील.
गोलाचे घनफळ = \(n \times\) एका वृत्तचित्तीचे घनफळ
गोल: \(R = 30\). वृत्तचित्ती: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
उत्तर: 60 वृत्तचित्ती तयार होतील.

प्रश्न ४. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : (८ गुण)

(१) खालील आकृतीमध्ये \(DE \parallel BC\). (i) जर DE=4, BC=8, A(\(\Delta\)ADE)=25, तर A(\(\Delta\)ABC) काढा. (ii) जर DE:BC = 3:5, तर A(\(\Delta\)ADE) : A(\(\square\)DBCE) काढा.

उकल: \(DE \parallel BC\) असल्याने, \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) (को-को कसोटी).
(i) समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) चौसेमी.

(ii) जर \(DE:BC = 3:5\), तर क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = \(3^2:5^2 = 9:25\).
समजा \(A(\Delta ADE) = 9k\) आणि \(A(\Delta ABC) = 25k\).
\(\square DBCE\) चे क्षेत्रफळ = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
गुणोत्तर \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).

(२) \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\). \(\Delta ABC\) मध्ये, \(AB=3.6, BC=4, AC=4.2\). संगत बाजूंचे गुणोत्तर 2:3 आहे. तर \(\Delta ABC\) आणि \(\Delta PQR\) काढा.

उकल: दिलेले: \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{2}{3}\).
\(\Delta PQR\) च्या बाजूंची गणना:
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) सेमी.
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) सेमी.
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) सेमी.
रचना:
1. बाजू 3.6, 4, 4.2 घेऊन \(\Delta ABC\) काढा.
2. बाजू 5.4, 6, 6.3 घेऊन \(\Delta PQR\) काढा.

(३) शंकूछेदाच्या वर्तुळाकार भागांच्या त्रिज्या 14 सेमी आणि 8 सेमी आहेत. जर शंकूछेदाची उंची 8 सेमी असेल, तर पुढील किमती काढा. (\(\pi = 3.14\)) (i) वक्रपृष्ठफळ (ii) एकूण पृष्ठफळ (iii) घनफळ.

उकल: \(r_1 = 14, r_2 = 8, h = 8\).
तिरकस उंची \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) सेमी.
(i) वक्रपृष्ठफळ = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) चौसेमी.
(ii) एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) चौसेमी.
(iii) घनफळ = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) घसेमी.

प्रश्न ५. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणताही एक) : (३ गुण)

(१) ABCD हा आयत आहे. AD हा व्यास असलेले व कर्ण BD ला X मध्ये छेदणारे अर्धवर्तुळ AXD आहे. जर AB = 12 सेमी, AD = 9 सेमी, तर BD आणि BX च्या किमती काढा.

उकल: \(\Delta DAB\) मध्ये, \(\angle A = 90^\circ\) (आयताचा कोन).
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) सेमी.
AD हा अर्धवर्तुळाचा व्यास आहे, म्हणून \(\angle AXD = 90^\circ\) (अर्धवर्तुळातील कोन).
म्हणून, \(AX \perp BD\).
काटकोन \(\Delta DAB\) मध्ये, रेख AX हा कर्णावर टाकलेला शिरोलंब आहे.
भूमिती मध्याच्या गुणधर्मानुसार: \(AB^2 = BX \times BD\).
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) सेमी.
उत्तर: BD = 15 सेमी, BX = 9.6 सेमी.

(२) \(\theta = 30^\circ\) घेऊन खालील त्रिकोणमितीय नित्यसमानतांचा पडताळा घ्या : (i) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), (ii) \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\), (iii) \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\).

उकल: (i) \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\). पडताळा झाला.
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). डावी बाजू = उजवी बाजू. पडताळा झाला.
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). डावी बाजू = उजवी बाजू. पडताळा झाला.

SSC 10th Geometry (Part II) Board Exam Question Paper Solution 2025 - Maharashtra Board

Mathematics (71) Geometry - Part II

SSC 10th Board Exam Solution | 2025 Revised Course

Marks: 40 | Time: 2 Hours

Q. 1 (A) Choose the correct alternative from given : (4 Marks)

(1) Out of the following which is a Pythagorean triplet?

• (A) (1, 5, 10)
• (B) (3, 4, 5)
• (C) (2, 2, 2)
• (D) (5, 5, 2)

Explanation: In (3, 4, 5), \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) and \(5^2 = 25\). Since \(a^2 + b^2 = c^2\), it is a Pythagorean triplet.
Answer: (B)

(2) \(\angle ACB\) is inscribed angle in a circle with centre O. If \(\angle ACB = 65^\circ\), then what is measure of its intercepted arc AXB?

• (A) 65°
• (B) 230°
• (C) 295°
• (D) 130°

Solution: Measure of intercepted arc = \(2 \times\) Measure of inscribed angle.
\(m(\text{arc } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
Answer: (D)

(3) Distance of point (3, 4) from the origin is .................... .

• (A) 7
• (B) 1
• (C) 5
• (D) –5

Solution: Distance = \(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Answer: (C)

(4) If radius of cone is 5 cm and its perpendicular height is 12 cm, then the slant height is ..................... .

• (A) 17 cm
• (B) 4 cm
• (C) 13 cm
• (D) 60 cm

Solution: Slant height \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) cm.
Answer: (C)

Q. 1 (B) Solve the following sub-questions : (4 Marks)

(1) In the following figure \(\Delta ABC\), \(B-D-C\) and \(BD = 7, BC = 20\), then find \(\frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)}\).

Solution: Triangles \(\Delta ABD\) and \(\Delta ABC\) have a common vertex A and their bases lie on the same line BC. Thus, they have equal heights.
Areas of triangles with equal heights are proportional to their bases.
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
Ans: 7/20

(2) In the following figure \(\angle MNP = 90^\circ\), seg \(NQ \perp\) seg \(MP\), \(MQ = 9\), \(QP = 4\), find NQ.

Solution: By Theorem of Geometric Mean:
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) units.

(3) Angle made by a line with the positive direction of X-axis is \(30^\circ\). Find slope of that line.

Solution: Here, inclination \(\theta = 30^\circ\).
Slope \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

(4) In cyclic quadrilateral ABCD, \(m\angle A = 100^\circ\), then find \(m\angle C\).

Solution: Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary.
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

Q. 2 (A) Complete the following activities and rewrite it (any two) : (4 Marks)

(1) The radius of a circle with centre ‘P’ is 10 cm. If chord AB of the circle subtends a right angle at P, find area of minor sector by using the following activity. (\(\pi = 3.14\))

Solution: \(r = 10\) cm, \(\theta = 90^\circ\), \(\pi = 3.14\).
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 sq. cm.

(2) In the following figure chord MN and chord RS intersect at point D. If RD = 15, DS = 4, MD = 8, find DN by completing the activity.

Solution: Activity :
\(MD \times DN =\) RD \(\times DS\) (Theorem of internal division of chords)
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5

(3) An observer at a distance of 10 m from tree looks at the top of the tree, the angle of elevation is \(60^\circ\). To find the height of tree complete the activity. (\(\sqrt{3} = 1.73\))

Solution: \(\tan \theta = \frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BC}\) ... (I)
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) height of the tree is 17.3 m.

Q. 2 (B) Solve the following sub-questions (any four) : (8 Marks)

(1) In \(\Delta ABC\), \(DE \parallel BC\). If \(DB = 5.4\) cm, \(AD = 1.8\) cm, \(EC = 7.2\) cm, then find AE.

Solution: In \(\Delta ABC\), \(DE \parallel BC\). By Basic Proportionality Theorem (BPT):
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) cm.

(2) In the figure given, find RS and PS using the information given in \(\Delta PSR\). (Given: \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ, PR = 12\))

Solution: In \(\Delta PSR\), \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ\), so \(\angle R = 60^\circ\).
This is a \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) triangle.
Side opposite to \(30^\circ\) (RS) is half the hypotenuse (PR).
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) units.

Side opposite to \(60^\circ\) (PS) is \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) times the hypotenuse.
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) units.

(3) In the figure, circle with centre D touches the sides of \(\angle ACB\) at A and B. If \(\angle ACB = 52^\circ\), find measure of \(\angle ADB\).

Solution: Radius is perpendicular to the tangent at the point of contact.
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) and \(\angle CBD = 90^\circ\).
In quadrilateral ACBD, sum of all angles is \(360^\circ\).
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\).

(4) Verify, whether points A(1, –3), B(2, –5) and C(–4, 7) are collinear or not.

Solution: Slope of line AB = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2\).
Slope of line BC = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\).
Since Slope of AB = Slope of BC, and point B is common, the points A, B, and C are collinear.

(5) If \(\sin \theta = \frac{11}{61}\), find the values of \(\cos \theta\) using trigonometric identity.

Solution: Identity: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
Taking square roots,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).

Q. 3 (A) Complete the following activities and rewrite it (any one) : (3 Marks)

(1) In figure, XY \(\parallel\) seg AC. If \(2AX = 3BX\) and \(XY = 9\). Complete the activity to find value of AC.

Solution: \(2AX = 3BX \implies \frac{AX}{BX} = \) \(\frac{3}{2}\)
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (by componendo)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
Now \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (AA test of similarity)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... from (I)
\(\therefore AC =\) 22.5

(2) Complete the activity to prove that sum of squares of diagonals of a rhombus is equal to sum of squares of the sides. (Using Apollonius theorem)

Solution: PQRS is a rhombus. Diagonals bisect at T.
In \(\Delta PQS\), PT is median. By Apollonius:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
Similarly in \(\Delta QRS\), RT is median:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
Adding (I) and (II):
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
Since \(PT=RT\), \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (Note: \(2PT = PR\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)

Q. 3 (B) Solve the following sub-questions (any two) : (6 Marks)

(1) Show that points P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) are the vertices of a parallelogram.

Solution: A quadrilateral is a parallelogram if its diagonals bisect each other.
Midpoint of diagonal PR = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\).
Midpoint of diagonal QS = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\).
Since the midpoints are the same, the diagonals bisect each other.
\(\therefore \square PQRS\) is a parallelogram.

(2) Prove that tangent segments drawn from an external point to a circle are congruent.

Proof: Given: A circle with centre O. Point P is outside. PA and PB are tangent segments at A and B.
To prove: Seg PA \(\cong\) Seg PB.
Construction: Draw radius OA and OB. Draw seg OP.
Proof: In \(\Delta OAP\) and \(\Delta OBP\),
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (Tangent-Radius theorem)
Hypotenuse OP \(\cong\) Hypotenuse OP (Common side)
Side OA \(\cong\) Side OB (Radii of same circle)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (Hypotenuse-Side test)
\(\therefore\) Seg PA \(\cong\) Seg PB (c.s.c.t)
Hence Proved.

(3) Draw a circle with radius 4.1 cm. Construct tangents to the circle from a point at a distance 7.3 cm from the centre.

Steps of Construction: 1. Draw a circle with centre O and radius 4.1 cm.
2. Take a point P such that OP = 7.3 cm.
3. Draw the perpendicular bisector of segment OP. Let M be the midpoint.
4. With M as centre and radius OM, draw arcs intersecting the circle at points A and B.
5. Draw lines PA and PB. These are the required tangents.

(4) How many solid cylinders of radius 10 cm and height 6 cm can be made by melting a solid sphere of radius 30 cm?

Solution: Let \(n\) be the number of cylinders.
Volume of Sphere = \(n \times\) Volume of one Cylinder
Sphere: \(R = 30\). Cylinder: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
Ans: 60 cylinders.

Q. 4 Solve the following sub-questions (any two) : (8 Marks)

(1) In figure \(DE \parallel BC\). (i) If DE=4, BC=8, A(\(\Delta\)ADE)=25, find A(\(\Delta\)ABC). (ii) If DE:BC = 3:5, find A(\(\Delta\)ADE) : A(\(\square\)DBCE).

Solution: Since \(DE \parallel BC\), \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) (AA Test).
(i) By theorem of areas of similar triangles:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) cm\(^2\).

(ii) If \(DE:BC = 3:5\), then Area Ratio = \(3^2:5^2 = 9:25\).
Let \(A(\Delta ADE) = 9k\) and \(A(\Delta ABC) = 25k\).
Area of quadrilateral DBCE = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
Ratio \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).

(2) \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\). In \(\Delta ABC\), \(AB=3.6, BC=4, AC=4.2\). Sides are in ratio 2:3. Construct both triangles.

Solution: Given \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{2}{3}\).
Calculation for \(\Delta PQR\):
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) cm.
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) cm.
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) cm.
Construction:
1. Draw \(\Delta ABC\) with sides 3.6, 4, 4.2.
2. Draw \(\Delta PQR\) with sides 5.4, 6, 6.3 separately.

(3) Frustum of cone: Radii 14 cm and 8 cm. Height 8 cm. Find (i) CSA, (ii) TSA, (iii) Volume. (\(\pi = 3.14\))

Solution: \(r_1 = 14, r_2 = 8, h = 8\).
Slant height \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) cm.
(i) CSA = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) cm\(^2\).
(ii) TSA = CSA + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) cm\(^2\).
(iii) Volume = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) cm\(^3\).

Q. 5 Solve the following sub-questions (any one) : (3 Marks)

(1) ABCD is a rectangle. AD is diameter of a semicircle AXD intersecting diagonal BD at X. AB = 12, AD = 9. Find BD and BX.

Solution: In \(\Delta DAB\), \(\angle A = 90^\circ\).
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) cm.
Since AD is diameter, \(\angle AXD = 90^\circ\) (angle in semicircle).
So, \(AX \perp BD\).
In right \(\Delta DAB\), seg AX is altitude to hypotenuse.
By Geometric Mean (Leg Rule): \(AB^2 = BX \times BD\).
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) cm.
Ans: BD = 15 cm, BX = 9.6 cm.

(2) Taking \(\theta = 30^\circ\) verify the following Trigonometric identities : (i) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), (ii) \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\), (iii) \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\).

Solution: (i) \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\). Verified.
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). LHS = RHS. Verified.
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). LHS = RHS. Verified.