गणित और सांख्यिकी (वाणिज्य) - मार्च 2024
सम्पूर्ण हल (हिंदी माध्यम)
समय: 3 घंटे | अधिकतम अंक: 80
विभाग - १ (Section I)
प्र. १. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
(i) निम्नलिखित में से कौन सा कथन नहीं है:
- (अ) धूम्रपान स्वास्थ्य के लिए हानिकारक है।
- (ब) \(2+2=4\)
- (क) 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
- (ड) यहाँ आओ।
उत्तर: (ड) यहाँ आओ।
स्पष्टीकरण: यह एक आज्ञार्थक वाक्य (Imperative sentence) है, इसलिए यह तार्किक कथन नहीं है।
(ii) यदि \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तब \((y, z) = ...\)
- (अ) (-1, 0)
- (ब) (1, 0)
- (क) (1, -1)
- (ड) (-1, 1)
उत्तर: (ब) (1, 0)
हल:
समीकरण (2) - (1): \(y + 2z = 1\)
विकल्प (ब) में \(y=1, z=0\) रखने पर: \(1 + 0 = 1\) (संतुष्ट करता है)।
समीकरण (2) - (1): \(y + 2z = 1\)
विकल्प (ब) में \(y=1, z=0\) रखने पर: \(1 + 0 = 1\) (संतुष्ट करता है)।
(iii) यदि \(y = \log(\frac{e^{x}}{x^{2}})\) तब \(\frac{dy}{dx} = ?\)
- (अ) \(\frac{2-x}{x}\)
- (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
- (क) \(\frac{e-x}{ex}\)
- (ड) \(\frac{x-e}{ex}\)
उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
\(y = \log e^x - \log x^2 = x - 2\log x\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)
(iv) \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) का मान है:
- (अ) \(2\sqrt{1-x}+c\)
- (ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)
- (क) \(\sqrt{x}+c\)
- (ड) \(x+c\)
उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)
(v) \(\int\frac{dx}{(x-8)(x+7)} = ...\)
- (अ) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x+2}{x+1}|+c\)
- (ब) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x+8}{x+7}|+c\)
- (क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)
- (ड) \((x-8)(x+7)+c\)
उत्तर: (क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)
(vi) समीकरण \(y=k_{1}e^{x}+k_{2}e^{-x}\) का अवकल समीकरण है:
- (अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)
- (ब) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y\frac{dy}{dx}=0\)
- (क) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}=0\)
- (ड) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0\)
उत्तर: (अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)
प्र. १. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
- (i) \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt\)
सत्य (True) - (ii) \(\int\frac{x-1}{(x+1)^{3}}e^{x}dx=e^{x}f(x)+c\), के लिए \(f(x)=(x+1)^{2}\)
असत्य (False) (सही उत्तर \(\frac{1}{(x+1)^2}\) होना चाहिए) - (iii) अवकल समीकरण के घात (order) और कोटि (degree) सदैव धनात्मक पूर्णांक होते हैं।
सत्य (True)
प्र. १. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):
- (i) किसी बिंदु (a, b) पर स्पर्श रेखा (tangent) की प्रवणता (slope) प्रवणता / Gradient कहलाती है।
- (ii) यदि \(f'(x)=\frac{1}{x}+x\) तथा \(f(1)=\frac{5}{2}\) तब \(f(x)=\log x + \frac{x^2}{2} + \) 2
- (iii) अवकल समीकरण का हल जिसे सामान्य हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है, विशिष्ट हल (Particular Solution) कहलाता है।
प्र. २. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) सत्यता सारणी का उपयोग करके जांचिए कि क्या कथन पुनरुक्ति (tautology), विरोधाभास (contradiction) या आकस्मिकता (contingency) है: \(\sim p\rightarrow(p\rightarrow\sim q)\)
हल:
चूँकि अंतिम स्तंभ में सभी मान 'T' हैं, अतः यह एक पुनरुक्ति (Tautology) है।
| p | q | ~p | ~q | p -> ~q | ~p -> (p -> ~q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
(ii) यदि \(x=e^{3t}\), \(y=e^{(4t+5)}\) तब \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{dx}{dt} = 3e^{3t}\) और \(\frac{dy}{dt} = 4e^{(4t+5)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4e^{(4t+5)}}{3e^{3t}}\)
\(= \frac{4}{3} e^{(4t+5-3t)} = \frac{4}{3}e^{t+5}\)
\(\frac{dx}{dt} = 3e^{3t}\) और \(\frac{dy}{dt} = 4e^{(4t+5)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4e^{(4t+5)}}{3e^{3t}}\)
\(= \frac{4}{3} e^{(4t+5-3t)} = \frac{4}{3}e^{t+5}\)
(iii) यदि \(A=[\begin{matrix}7&3&0\\ 0&4&-2\end{matrix}]\) \(B=[\begin{matrix}0&-2&3\\ 2&1&-4\end{matrix}]\) तो \(A^{T}+4B^{T}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(A^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}]\), \(B^T = [\begin{matrix}0&2\\ -2&1\\ 3&-4\end{matrix}]\)
\(4B^T = [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}]\)
\(A^T + 4B^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}] + [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}] = [\begin{matrix}7&8\\ -5&8\\ 12&-18\end{matrix}]\)
\(A^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}]\), \(B^T = [\begin{matrix}0&2\\ -2&1\\ 3&-4\end{matrix}]\)
\(4B^T = [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}]\)
\(A^T + 4B^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}] + [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}] = [\begin{matrix}7&8\\ -5&8\\ 12&-18\end{matrix}]\)
प्र. २. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) समान अर्थ वाले कथनों के युग्मों को पहचानिए। (कुत्ता वाले कथन)
हल:
(अ) \(p \to q\) (If D is dog, D is good)
(ब) \(q \to p\) (If D is good, D is dog) - विलोम (Converse)
(क) \(\sim q \to \sim p\) (If D not good, D not dog) - प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
(ड) \(\sim p \to \sim q\) (If D not dog, D not good) - प्रतिलोम (Inverse)
तार्किक समतुल्यता: 1. (अ) और (क) समान हैं (\(p \to q \equiv \sim q \to \sim p\))
2. (ब) और (ड) समान हैं (\(q \to p \equiv \sim p \to \sim q\))
(अ) \(p \to q\) (If D is dog, D is good)
(ब) \(q \to p\) (If D is good, D is dog) - विलोम (Converse)
(क) \(\sim q \to \sim p\) (If D not good, D not dog) - प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
(ड) \(\sim p \to \sim q\) (If D not dog, D not good) - प्रतिलोम (Inverse)
तार्किक समतुल्यता: 1. (अ) और (क) समान हैं (\(p \to q \equiv \sim q \to \sim p\))
2. (ब) और (ड) समान हैं (\(q \to p \equiv \sim p \to \sim q\))
(ii) फलन \(f(x)=2x^{3}-21x^{2}+36x-20\) का निम्नतम मान (minimum value) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(f'(x) = 6x^2 - 42x + 36\).
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-1)=0\).
\(x=1, x=6\).
\(f''(x) = 12x - 42\).
\(x=6\) पर, \(f''(6) = 72 - 42 = 30 > 0\) (निम्नतम)।
निम्नतम मान: \(f(6) = 2(216) - 21(36) + 36(6) - 20 = -128\).
\(f'(x) = 6x^2 - 42x + 36\).
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-1)=0\).
\(x=1, x=6\).
\(f''(x) = 12x - 42\).
\(x=6\) पर, \(f''(6) = 72 - 42 = 30 > 0\) (निम्नतम)।
निम्नतम मान: \(f(6) = 2(216) - 21(36) + 36(6) - 20 = -128\).
(iii) रेखा \(y=-2x\), X अक्ष एवं रेखाओं \(x=-1\) और \(x=2\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
क्षेत्रफल = \(|\int_{-1}^{0} (-2x)dx| + |\int_{0}^{2} (-2x)dx|\)
\(A_1 = [-x^2]_{-1}^{0} = -(0 - 1) = 1\)
\(A_2 = [-x^2]_{0}^{2} = -(4 - 0) = -4 \Rightarrow |A_2| = 4\)
कुल क्षेत्रफल = \(1 + 4 = 5\) वर्ग इकाई।
क्षेत्रफल = \(|\int_{-1}^{0} (-2x)dx| + |\int_{0}^{2} (-2x)dx|\)
\(A_1 = [-x^2]_{-1}^{0} = -(0 - 1) = 1\)
\(A_2 = [-x^2]_{0}^{2} = -(4 - 0) = -4 \Rightarrow |A_2| = 4\)
कुल क्षेत्रफल = \(1 + 4 = 5\) वर्ग इकाई।
प्र. ३. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) यदि \(y=x^{e^{x}}\) तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों पक्षों का log लेने पर: \(\log y = e^x \log x\)
अवकलन: \(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = e^x(\frac{1}{x}) + \log x(e^x)\)
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1}{x} + \log x) = x^{e^x} e^x (\frac{1+x\log x}{x})\)
दोनों पक्षों का log लेने पर: \(\log y = e^x \log x\)
अवकलन: \(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = e^x(\frac{1}{x}) + \log x(e^x)\)
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1}{x} + \log x) = x^{e^x} e^x (\frac{1+x\log x}{x})\)
(ii) यदि \(f'(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x+k\), \(f(0)=1\) और \(f(1)=4\) तो \(f(x)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
समाकलन करने पर: \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c\)
\(f(0)=1 \Rightarrow c=1\)
\(f(1)=4 \Rightarrow 1 - 1 + 1 + k + 1 = 4 \Rightarrow k=2\)
अतः \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1\)
समाकलन करने पर: \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c\)
\(f(0)=1 \Rightarrow c=1\)
\(f(1)=4 \Rightarrow 1 - 1 + 1 + k + 1 = 4 \Rightarrow k=2\)
अतः \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1\)
(iii) अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए जिसका व्यापक हल \(x^{3}+y^{3}=35ax\) है।
हल:
\(\frac{x^3+y^3}{x} = 35a\). अवकलन करने पर:
\(\frac{x(3x^2+3y^2 y') - (x^3+y^3)(1)}{x^2} = 0\)
\(3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0\)
\(2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0\)
\(\frac{x^3+y^3}{x} = 35a\). अवकलन करने पर:
\(\frac{x(3x^2+3y^2 y') - (x^3+y^3)(1)}{x^2} = 0\)
\(3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0\)
\(2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0\)
प्र. ३. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) आव्यूह का सहखण्डज विधि (adjoint method) से व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए: \(A = [\begin{matrix}3&1&5\\ 2&7&8\\ 1&2&5\end{matrix}]\)
हल:
\(|A| = 3(35-16) - 1(10-8) + 5(4-7) = 57 - 2 - 15 = 40 \neq 0\).
Cofactors (सहखंड):
\(C_{11}=19, C_{12}=-2, C_{13}=-3\)
\(C_{21}=5, C_{22}=10, C_{23}=-5\)
\(C_{31}=-27, C_{32}=-14, C_{33}=19\)
Adj A (सहखण्डज) = Cofactors आव्यूह का परिवर्तन (Transpose).
\(A^{-1} = \frac{1}{40} [\begin{matrix}19&5&-27\\ -2&10&-14\\ -3&-5&19\end{matrix}]\)
\(|A| = 3(35-16) - 1(10-8) + 5(4-7) = 57 - 2 - 15 = 40 \neq 0\).
Cofactors (सहखंड):
\(C_{11}=19, C_{12}=-2, C_{13}=-3\)
\(C_{21}=5, C_{22}=10, C_{23}=-5\)
\(C_{31}=-27, C_{32}=-14, C_{33}=19\)
Adj A (सहखण्डज) = Cofactors आव्यूह का परिवर्तन (Transpose).
\(A^{-1} = \frac{1}{40} [\begin{matrix}19&5&-27\\ -2&10&-14\\ -3&-5&19\end{matrix}]\)
(ii) उपभोग व्यय \(E_{c}=0.0006x^{2}+0.003x\). जब आय ₹ 200 है तब APC, MPC और MPS ज्ञात कीजिए।
हल:
\(APC = \frac{E_c}{x} = 0.0006x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(APC = 0.123\).
\(MPC = \frac{dE_c}{dx} = 0.0012x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(MPC = 0.243\).
\(MPS = 1 - MPC = 1 - 0.243 = 0.757\).
\(APC = \frac{E_c}{x} = 0.0006x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(APC = 0.123\).
\(MPC = \frac{dE_c}{dx} = 0.0012x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(MPC = 0.243\).
\(MPS = 1 - MPC = 1 - 0.243 = 0.757\).
प्र. ३. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) \(\int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}}\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\boxed{x}+\boxed{4}}\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\boxed{1/4}+4}\)
\(=-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\boxed{\sqrt{17}/2})^{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}})\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\boxed{1/4}+4}\)
\(=-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\boxed{\sqrt{17}/2})^{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}})\)
(ii) जनसंख्या वृद्धि (Population Growth)
\(\frac{dP}{dt}=kP \Rightarrow \log P = kt + c\)
(i) \(c = \) \(\log(1,00,000)\)
(ii) जब \(t=25, P=2,00,000\), तो \(k = \) \(\frac{1}{25}\log 2\)
(iii) \(P=4,00,000\) के लिए, \(t = \) 50 वर्ष।
(i) \(c = \) \(\log(1,00,000)\)
(ii) जब \(t=25, P=2,00,000\), तो \(k = \) \(\frac{1}{25}\log 2\)
(iii) \(P=4,00,000\) के लिए, \(t = \) 50 वर्ष।
विभाग - २ (Section II)
प्र. ४. (अ) सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
(i) अंकित मूल्य और वर्तमान मूल्य के बीच के अंतर को ... कहा जाता है।
उत्तर: (ब) सच्ची छूट (True Discount)
(ii) एक साधारण वार्षिकी में, भुगतान या प्राप्तियाँ ... में होती है।
उत्तर: (ब) प्रत्येक अवधि के अंत
(iii) \(b_{xy}\) और \(b_{yx}\) हैं:
उत्तर: (ब) मूल के परिवर्तन से स्वतंत्र लेकिन पैमाने से नहीं
(iv) डॉरबिश-बावलीस मूल्य सूचकांक संख्या है:
उत्तर: (अ) \(\frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}}{2}\times100\)
(v) L.P.P. का उद्देश्य फलन (objective function) है:
उत्तर: (ब) एक फलन जिसको अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
(vi) हंगेरियन पद्धति (Assignment Problem) के लिए लाभ अधिकतम समस्या की आवश्यकता है:
उत्तर: (अ) सभी लाभों को अवसर हानियों में परिवर्तित करना।
प्र. ४. (ब) सत्य या असत्य लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
- (i) ब्रोकर एक एजेंट है... (गारंटी देता है): असत्य (False) (यह डेल क्रेडर एजेंट होता है)
- (ii) \(\sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100\) मूल्य सूचकांक है: असत्य (False)
- (iii) L.P.P. का इष्टतम मूल्य व्यवहार्य क्षेत्र के केंद्र में होता है: असत्य (False) (यह कोने के बिंदुओं पर होता है)
प्र. ४. (क) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):
- (i) बैंकर की छूट हमेशा सच्ची छूट से अधिक (Greater) होती है।
- (ii) भारित सापेक्ष पद्धति (Weighted Average of Price Relatives) सूत्र: \(\frac{\sum IW}{\sum W}\)
- (iii) पहले कार्य शुरु करने और अंतिम कार्य पूरा करने के बीच का समय: कुल व्यतीत समय (Total Elapsed Time)
प्र. ५. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) दीपक की सैलरी ₹ 4,000 से ₹ 5,000 हुई। कमीशन 3% से 2% हो गया। आय समान है। बिक्री ज्ञात करें।
हल:
माना बिक्री = \(x\)
पुरानी आय = \(4000 + 0.03x\)
नई आय = \(5000 + 0.02x\)
दोनों बराबर हैं: \(4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x\)
\(0.01x = 1000 \Rightarrow x = 1,00,000\)
बिक्री = ₹ 1,00,000
माना बिक्री = \(x\)
पुरानी आय = \(4000 + 0.03x\)
नई आय = \(5000 + 0.02x\)
दोनों बराबर हैं: \(4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x\)
\(0.01x = 1000 \Rightarrow x = 1,00,000\)
बिक्री = ₹ 1,00,000
(ii) \(b_{yx}=0.4\), \(b_{xy}=0.9\), \(V(X)=9\). \(V(Y)\) ज्ञात करें।
हल:
\(r^2 = b_{yx} \times b_{xy} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 \Rightarrow r=0.6\)
\(\sigma_x = \sqrt{9} = 3\)
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.4 = 0.6 (\frac{\sigma_y}{3})\)
\(0.4 = 0.2 \sigma_y \Rightarrow \sigma_y = 2\)
\(V(Y) = \sigma_y^2 = 4\).
\(r^2 = b_{yx} \times b_{xy} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 \Rightarrow r=0.6\)
\(\sigma_x = \sqrt{9} = 3\)
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.4 = 0.6 (\frac{\sigma_y}{3})\)
\(0.4 = 0.2 \sigma_y \Rightarrow \sigma_y = 2\)
\(V(Y) = \sigma_y^2 = 4\).
(iii) 4 वार्षिकी केंद्रित गतिमान औसत (4-yearly centered moving averages) निकालें।
हल (Trend Values):
1978: \((0+2+3+3)/4\) और अगले का औसत = 2.25
1979: 2.75
1980: 3.25
1981: 3.875
1982: 4.875
1983: 6.25
1978: \((0+2+3+3)/4\) और अगले का औसत = 2.25
1979: 2.75
1980: 3.25
1981: 3.875
1982: 4.875
1983: 6.25
प्र. ५. (ब) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) वॉल्श की कीमत सूचकांक संख्या 150 है। 'x' का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
वॉल्श सूत्र: \(P_{01} = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100\)
भार \(W = \sqrt{q_0 q_1}\): A(3), B(6), C(5), D(4)
\(\sum p_1 W = 30 + 96 + 115 + 104 = 345\)
\(\sum p_0 W = 15 + 6x + 75 + 40 = 130 + 6x\)
\(150 = \frac{345}{130+6x} \times 100 \Rightarrow 1.5(130+6x) = 345\)
\(195 + 9x = 345 \Rightarrow 9x = 150 \Rightarrow x = 16.67\)
वॉल्श सूत्र: \(P_{01} = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100\)
भार \(W = \sqrt{q_0 q_1}\): A(3), B(6), C(5), D(4)
\(\sum p_1 W = 30 + 96 + 115 + 104 = 345\)
\(\sum p_0 W = 15 + 6x + 75 + 40 = 130 + 6x\)
\(150 = \frac{345}{130+6x} \times 100 \Rightarrow 1.5(130+6x) = 345\)
\(195 + 9x = 345 \Rightarrow 9x = 150 \Rightarrow x = 16.67\)
(ii) खिलौना निर्माण (Sequencing Problem) A->B->C. कुल उपयोगी समय और मशीन B का निष्क्रिय समय निकालें।
हल:
नियम: Min A (12) \(\ge\) Max B (12) (सत्य)।
काल्पनिक मशीनें G = A+B, H = B+C बनायें।
क्रम (Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
कुल उपयोगी समय (Total Elapsed Time): 102 घंटे।
मशीन B का निष्क्रिय समय (Idle Time): 62 घंटे।
नियम: Min A (12) \(\ge\) Max B (12) (सत्य)।
काल्पनिक मशीनें G = A+B, H = B+C बनायें।
क्रम (Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
कुल उपयोगी समय (Total Elapsed Time): 102 घंटे।
मशीन B का निष्क्रिय समय (Idle Time): 62 घंटे।
(iii) संभाव्यता वितरण: k, P(X < 3), P(X > 6) ज्ञात करें।
हल:
(अ) \(\sum P(x) = 1 \Rightarrow 10k^2 + 9k - 1 = 0 \Rightarrow k = 0.1\) (k>0)
(ब) \(P(X < 3) = P(1)+P(2) = k+2k = 3k = 0.3\)
(क) \(P(X > 6) = P(7) = 7k^2+k = 7(0.01)+0.1 = 0.17\)
(अ) \(\sum P(x) = 1 \Rightarrow 10k^2 + 9k - 1 = 0 \Rightarrow k = 0.1\) (k>0)
(ब) \(P(X < 3) = P(1)+P(2) = k+2k = 3k = 0.3\)
(क) \(P(X > 6) = P(7) = 7k^2+k = 7(0.01)+0.1 = 0.17\)
प्र. ६. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) बीमा दावा (Insurance Claim): पॉलिसी 75%, प्रीमियम 0.70% (₹2625), हानि 60%।
हल:
प्रीमियम = पॉलिसी मूल्य \(\times\) दर \(\Rightarrow 2625 = P.V. \times 0.007 \Rightarrow P.V. = 3,75,000\)
पॉलिसी संपत्ति का 75% है \(\Rightarrow\) संपत्ति मूल्य = \(3,75,000 / 0.75 = 5,00,000\)
हानि = \(5,00,000 \times 0.60 = 3,00,000\)
दावा (Claim) = \(\frac{P.V.}{Property Value} \times Loss = 0.75 \times 3,00,000\) = ₹ 2,25,000
प्रीमियम = पॉलिसी मूल्य \(\times\) दर \(\Rightarrow 2625 = P.V. \times 0.007 \Rightarrow P.V. = 3,75,000\)
पॉलिसी संपत्ति का 75% है \(\Rightarrow\) संपत्ति मूल्य = \(3,75,000 / 0.75 = 5,00,000\)
हानि = \(5,00,000 \times 0.60 = 3,00,000\)
दावा (Claim) = \(\frac{P.V.}{Property Value} \times Loss = 0.75 \times 3,00,000\) = ₹ 2,25,000
(ii) स्वत्वार्पण समस्या (Assignment Problem): न्यूनतम खर्च ज्ञात करें।
हल:
इष्टतम शेड्यूल:
\(M_1 \rightarrow B\) (10)
\(M_2 \rightarrow C\) (13)
\(M_3 \rightarrow A\) (5)
न्यूनतम खर्च = \(10 + 13 + 5 = 28\) (सौ रुपये में) = ₹ 2800.
इष्टतम शेड्यूल:
\(M_1 \rightarrow B\) (10)
\(M_2 \rightarrow C\) (13)
\(M_3 \rightarrow A\) (5)
न्यूनतम खर्च = \(10 + 13 + 5 = 28\) (सौ रुपये में) = ₹ 2800.
(iii) 10% खराब अंडे। 10 अंडों के नमूने में कम-से-कम एक खराब होने की प्रायिकता।
हल:
\(p = 0.1, q = 0.9, n = 10\)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(= 1 - {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 - (0.9)^{10}\)
\(p = 0.1, q = 0.9, n = 10\)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(= 1 - {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 - (0.9)^{10}\)
प्र. ६. (ब) किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) प्रवृत्ति रेखा (Trend Line) - न्यूनतम वर्ग विधि।
हल:
वर्ष (n=7): मध्य वर्ष 1995। \(u = \frac{t-1995}{5}\).
समीकरण \(y = a + bu\).
\(a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} = 4.286\)
\(b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -1.571\)
रेखा: \(y = 4.286 - 1.571(\frac{t-1995}{5})\)
वर्ष (n=7): मध्य वर्ष 1995। \(u = \frac{t-1995}{5}\).
समीकरण \(y = a + bu\).
\(a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} = 4.286\)
\(b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -1.571\)
रेखा: \(y = 4.286 - 1.571(\frac{t-1995}{5})\)
(ii) न्यूनतम कीजिए: \(z=6x+2y\) शर्तें: \(x+2y\ge3, x+4y\ge4, 3x+y\ge3\).
हल:
कोने के बिंदु (Corner Points): A(0, 3), B(0.6, 1.2), C(2, 0.5), D(4, 0).
Z का मान:
A: 6, B: 6, C: 13, D: 24.
न्यूनतम मान 6 है (बिंदु A और B को मिलाने वाले रेखाखंड पर)।
कोने के बिंदु (Corner Points): A(0, 3), B(0.6, 1.2), C(2, 0.5), D(4, 0).
Z का मान:
A: 6, B: 6, C: 13, D: 24.
न्यूनतम मान 6 है (बिंदु A और B को मिलाने वाले रेखाखंड पर)।
प्र. ६. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (Activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) प्रतिगमन (Regression): \(x=10, \bar{y}=12, V(X)=9, \sigma_y=4, r=0.6\). जब x=5 तो y?
\(Y - 12 = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (X-10)\)
\(Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\boxed{3}} (X-10)\)
जब \(x=5\):
\(Y - 12 = \boxed{0.8} \times (-5)\)
\(Y - 12 = -4 \Rightarrow Y = \boxed{8}\)
\(Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\boxed{3}} (X-10)\)
जब \(x=5\):
\(Y - 12 = \boxed{0.8} \times (-5)\)
\(Y - 12 = -4 \Rightarrow Y = \boxed{8}\)
(ii) पॉइसन वितरण: \(X \sim P(m)\), \(P(X=1)=P(X=2)\).
\(\frac{e^{-m}m^1}{1!} = \frac{e^{-m}m^2}{\boxed{2!}}\)
\(m = \boxed{2}\)
\(P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = \boxed{0.2706}\)
\(m = \boxed{2}\)
\(P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = \boxed{0.2706}\)
