10th Maths - Quarterly Exam 2024 - Tamil Medium Original Question Paper Tamil Medium | Ariyalur District

10 ஆம் வகுப்பு காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - 2024

கணிதம் - விடைகளுடன்

மதிப்பெண்கள் : 100 நேரம் : 3.00 மணி

பகுதி - அ

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (14 x 1 = 14)

1. n(A)=m மற்றும் n(B)=n என்க. A யிலிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்றுகணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை

1. mⁿ
2. n^m
3. 2^mn-1
4. 2^mn

விடை

c) 2^mn-1

விளக்கம்:

A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை = $2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}$.

இதில் வெற்றுகண உறவும் ($ \emptyset $) அடங்கும்.

வெற்றுகணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = மொத்த உறவுகள் - 1 = $2^{mn}-1$.

2. $f(x) = f(1-x)$ எனில், $f(x)=x(1-x)$ எனக் கொண்டு $2f(\frac{1}{2})$ ன் மதிப்பு

(குறிப்பு: கேள்வியில் பிழை உள்ளது, சரியான கேள்வி $f(x) + f(1-x) = 2$ எனில் $f(1/2)$ன் மதிப்பு)

1. 1
2. -1
3. 5
4. -9

விடை

a) 1

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்டது: $f(x) + f(1-x) = 2$.

$x = \frac{1}{2}$ என பிரதியிட,

$f(\frac{1}{2}) + f(1-\frac{1}{2}) = 2$

$f(\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{2}) = 2$

$2f(\frac{1}{2}) = 2$

$f(\frac{1}{2}) = 1$

3. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

(குறிப்பு: கேள்வியில் 100 என அச்சிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் கொடுக்கப்பட்டுள்ள விடைகளுக்கு 10 என்பதே பொருந்தும்)

1. 2025
2. 5220
3. 5025
4. 2520

விடை

d) 2520

விளக்கம்:

நாம் 1 முதல் 10 வரையிலான எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520$.

4. $2+2^2+ \dots + 2^n$ என்ற n உறுப்புகள் வரையுள்ள தொடரின் கூடுதல்

(குறிப்பு: கேள்வியும், கொடுக்கப்பட்டுள்ள விடைகளும் பொருந்தவில்லை. இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் (GP). இதன் கூடுதல் $2(2^n-1)$. கொடுக்கப்பட்டுள்ள விடைகள் தவறானவை.)

1. $2^n$
2. $2n$
3. $n^2$
4. $n+2$

விடை

விளக்கம்:

இது முதல் உறுப்பு $a=2$ மற்றும் பொது விகிதம் $r=2$ கொண்ட ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP).

n உறுப்புகளின் கூடுதல் சூத்திரம்: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$.

$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n-1) = 2^{n+1}-2$.

கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் சரியான விடை இல்லை.

5. $x^2-2x-24$ மற்றும் $x^2-kx-6$-ன் மீ.பொ.வ $(x-6)$ எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.

1. 3
2. 5
3. 6
4. 8

விடை

b) 5

விளக்கம்:

$(x-6)$ என்பது $p(x) = x^2-kx-6$-ன் ஒரு காரணி என்பதால், $p(6)=0$ ஆகும்.

$p(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0$

$36 - 6k - 6 = 0$

$30 - 6k = 0$

$30 = 6k$

$k = 5$

6. $(2x-1)^2-9=0$-ன் மதிப்பு காண்க.

1. -1, 2
2. -1
3. 2
4. இதில் எதுவும் இல்லை

விடை

a) -1, 2

விளக்கம்:

$(2x-1)^2 = 9$

வர்க்கமூலம் எடுக்க, $2x-1 = \pm\sqrt{9}$

$2x-1 = \pm 3$

நிலை 1: $2x-1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x=2$

நிலை 2: $2x-1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x=-1$

எனவே, தீர்வுகள் -1, 2.

7. $7^{4k} \equiv$ _____ (மட்டு 100)

1. 4
2. 3
3. 2
4. 1

விடை

d) 1

விளக்கம்:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 343 \equiv 43$ (மட்டு 100)

$7^4 = 2401 = 2400 + 1 \equiv 1$ (மட்டு 100)

எனவே, $7^{4k} = (7^4)^k \equiv 1^k \equiv 1$ (மட்டு 100).

8. $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ எனில், $\triangle ABC$ மற்றும் $\triangle EDF$ எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்.

1. $\angle B = \angle E$
2. $\angle A = \angle D$
3. $\angle B = \angle D$
4. $\angle A = \angle F$

விடை

c) $\angle B = \angle D$

விளக்கம்:

SAS (பக்கம்-கோணம்-பக்கம்) வடிவொத்த விதிப்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்.

$\triangle ABC$-ல் AB மற்றும் BC-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle B$.

$\triangle EDF$-ல் DE மற்றும் FD-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle D$.

எனவே, $\angle B = \angle D$ ஆக இருக்க வேண்டும்.

9. ஒரு நாற்கரமானது சரிவகமாக அமைய தேவையான நிபந்தனை

1. ஓர் இணை எதிர்ப் பக்கங்கள் இணை
2. இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணை அற்றவை
3. எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணை
4. அனைத்து பக்கங்களும் சமம்

விடை

a) ஓர் இணை எதிர்ப் பக்கங்கள் இணை

விளக்கம்:

ஒரு சரிவகத்தின் வரையறைப்படி, அதன் ஓர் இணை எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையாக இருக்கும்.

10. இருசமபக்க முக்கோணம் $\triangle ABC$-ல் $\angle C = 90^\circ$ மற்றும் AC=5 செ.மீ எனில் AB ஆனது

1. $5\sqrt{2}$ செ.மீ
2. 10 செ.மீ
3. 2.5 செ.மீ
4. 5 செ.மீ

விடை

a) $5\sqrt{2}$ செ.மீ

விளக்கம்:

இது ஒரு இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம். எனவே, $AC = BC = 5$ செ.மீ.

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, $AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

$AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ செ.மீ.

11. $2y=x+8$ என்ற நேர்கோட்டின் சாய்வானது

1. 1/2
2. 1
3. 8
4. 2

விடை

a) 1/2

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை $y=mx+c$ வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

$2y=x+8 \implies y = \frac{1}{2}x + 4$

இங்கு, சாய்வு $m = 1/2$.

12. $x=11$ என்ற கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது

1. ஆதி புள்ளி வழிச் செல்லும்
2. (0, 11) என்ற புள்ளிவழிச் செல்லும்
3. x - அச்சுக்கு இணை
4. y- அச்சுக்கு இணை

விடை

d) y- அச்சுக்கு இணை

விளக்கம்:

$x=k$ என்ற வடிவில் உள்ள எந்த ஒரு கோடும் y-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

13. $\sin\theta = \cos\theta$ எனில் $2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1$-ன் மதிப்பு

1. 3/2
2. -3/2
3. 2/3
4. -2/3

விடை

a) 3/2

விளக்கம்:

$\sin\theta = \cos\theta \implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1 \implies \tan\theta = 1$.

இது $\theta = 45^\circ$ எனும்போது உண்மையாகும்.

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

இப்போது, $2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1 = 2(1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - 1$

$= 2(1) + \frac{1}{2} - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

14. $\sin\theta+\cos\theta = a$ மற்றும் $\sec\theta+\csc\theta = b$ எனில் $b(a^2-1)$-ன் மதிப்பு

1. 0
2. 2a
3. 2ab
4. 3a

விடை

b) 2a

விளக்கம்:

$a^2 = (\sin\theta+\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$.

$a^2-1 = 2\sin\theta\cos\theta$.

$b = \sec\theta+\csc\theta = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{a}{\sin\theta\cos\theta}$.

இப்போது, $b(a^2-1) = \left( \frac{a}{\sin\theta\cos\theta} \right) (2\sin\theta\cos\theta) = 2a$.

பகுதி - ஆ

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். 28-க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும். (10 x 2 = 20)

15. $A \times B = \{(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)\}$ எனில் A மற்றும் B காண்க.

விடை

A என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம். $A = \{3, 5\}$.

B என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம். $B = \{2, 4\}$.

16. $f: N \to N$ என்ற சார்பு $f(m)=m^2+m+3$ என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு எனக் காட்டுக.

விடை

$f(m_1) = f(m_2)$ என எடுத்துக்கொள்வோம்.

$m_1^2 + m_1 + 3 = m_2^2 + m_2 + 3$

$m_1^2 - m_2^2 + m_1 - m_2 = 0$

$(m_1-m_2)(m_1+m_2) + (m_1-m_2) = 0$

$(m_1-m_2)(m_1+m_2+1) = 0$

இதிலிருந்து, $m_1-m_2=0$ அல்லது $m_1+m_2+1=0$.

$m_1, m_2 \in N$ (இயல் எண்கள்) என்பதால், $m_1>0, m_2>0$.

எனவே, $m_1+m_2+1$ பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.

ஆகவே, $m_1-m_2=0 \implies m_1=m_2$.

$f(m_1)=f(m_2)$ எனில் $m_1=m_2$ என்பதால், $f$ ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆகும்.

17. ஒரு தொடர் வரிசையின் பொது உறுப்பு $a_n = \begin{cases} n^2 & \text{n ஒரு ஒற்றை எண்} \\ n/2 & \text{n ஒரு இரட்டை எண்} \end{cases}$ எனில் 3-வது மற்றும் 4-வது உறுப்பு காண்க.

(குறிப்பு: வினாத்தாளில் பொது உறுப்பு தெளிவாக இல்லை. பொதுவான ஒரு வடிவத்தில் தீர்வு காணப்பட்டுள்ளது.)

விடை

3-வது உறுப்பு (n=3, ஒற்றை எண்):

$a_3 = n^2 = 3^2 = 9$.

4-வது உறுப்பு (n=4, இரட்டை எண்):

$a_4 = n/2 = 4/2 = 2$.

எனவே, $a_3=9$ மற்றும் $a_4=2$.

18. கூடுதல்: $1^2+2^2+3^2+\dots+15^2$

(குறிப்பு: கேள்வியில் $1+4+9+16+\dots+225$ என உள்ளது. $225 = 15^2$.)

விடை

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

இங்கு n=15.

கூடுதல் = $\frac{15(15+1)(2 \times 15+1)}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6}$

$= 5 \times 8 \times 31 = 40 \times 31 = 1240$.

19. சுருக்குக: $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}$

(குறிப்பு: வினாத்தாளில் உள்ள பகுதி தெளிவாக இல்லை. இது ஒரு பொதுவான வடிவம்.)

விடை

நாம் $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$.

எனவே, $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} = x+2$.

20. $p^2-3p+2$, $p^2-4$-ன் மீ.பொ.ம. காண்க.

விடை

முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துக.

$p^2-3p+2 = (p-1)(p-2)$

$p^2-4 = p^2-2^2 = (p-2)(p+2)$

மீ.பொ.ம (LCM) = அனைத்து காரணிகளின் பெருக்கல்

LCM = $(p-1)(p-2)(p+2)$.

21. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் $\frac{24}{5}$ எனில் அந்த எண்ணைக் காண்க.

விடை

அந்த எண் $x$ என்க.

அதன் தலைகீழி = $\frac{1}{x}$

கணக்கின்படி, $x - \frac{1}{x} = \frac{24}{5}$

$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{24}{5}$

$5(x^2 - 1) = 24x$

$5x^2 - 5 = 24x$

$5x^2 - 24x - 5 = 0$

இதை காரணிப்படுத்த,

$5x^2 - 25x + x - 5 = 0$

$5x(x - 5) + 1(x - 5) = 0$

$(5x+1)(x-5) = 0$

எனவே, $x=5$ அல்லது $x = -\frac{1}{5}$.

தேவையான எண் 5 அல்லது -1/5.

22. வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 25 செ.மீ தொலைவில் உள்ள p என்ற புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் 24 செ.மீ எனில் வட்டத்தின் ஆரம் என்ன?

விடை

வட்டத்தின் மையம் O, வெளிப்புள்ளி P, தொடுபுள்ளி T என்க.

OP = 25 செ.மீ, PT = 24 செ.மீ

தொடுபுள்ளியில் ஆரம் தொடுகோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே, $\triangle OTP$ ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,

$OP^2 = OT^2 + PT^2$

$25^2 = r^2 + 24^2$

$625 = r^2 + 576$

$r^2 = 625 - 576 = 49$

$r = \sqrt{49} = 7$

வட்டத்தின் ஆரம் 7 செ.மீ.

23. $\triangle ABC$-ல் $DE \parallel BC$, $AD=x$, $DB=x-2$, $AE=x+2$, $EC=x-1$ எனில் AB, AC-ன் நீளங்களைக் காண்க.

விடை

$DE \parallel BC$ என்பதால், அடிப்படை விகிதசம தேற்றப்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்),

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

$\frac{x}{x-2} = \frac{x+2}{x-1}$

$x(x-1) = (x+2)(x-2)$

$x^2 - x = x^2 - 4$

$-x = -4$

$x = 4$

இப்போது நீளங்களைக் காண்போம்:

AB = AD + DB = $x + (x-2) = 2x - 2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$

AC = AE + EC = $(x+2) + (x-1) = 2x + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$

எனவே, AB = 6 மற்றும் AC = 9.

24. (2,3) மற்றும் (8, 5) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடானது $y=ax+12$ என்ற நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தானது எனில் a-ன் மதிப்பு காண்க.

விடை

(2,3) மற்றும் (8,5) வழிச் செல்லும் கோட்டின் சாய்வு ($m_1$) காண்போம்.

$m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y = ax + 12$ என்ற கோட்டின் சாய்வு ($m_2$) = a.

இரு கோடுகளும் செங்குத்து என்பதால், அவற்றின் சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் -1 ஆகும்.

$m_1 \times m_2 = -1$

$\frac{1}{3} \times a = -1$

$a = -3$

25. (14, 10) மற்றும் (14, -6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வை காண்க.

விடை

சாய்வு $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$m = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}$

பகுதி பூச்சியம் என்பதால், சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை. இது y-அச்சுக்கு இணையான ஒரு செங்குத்துக் கோடு ஆகும்.

26. $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta$ என்பதை நிருபிக்கவும்.

விடை

இடது பக்கம் (LHS) = $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}$

தொகுதி மற்றும் பகுதியை $(1+\sin\theta)$ ஆல் பெருக்க,

LHS = $\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}$

$\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$ என்பதால்,

LHS = $\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$

LHS = $\frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta$ = RHS (வலது பக்கம்)

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

27. $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \cot\theta$ என்பதை நிருபிக்கவும்.

விடை

இடது பக்கம் (LHS) = $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ என பிரதியிட,

LHS = $\frac{1/\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

LHS = $\frac{1-\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

$1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ என்பதால்,

LHS = $\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta$ = RHS (வலது பக்கம்)

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

28. f(x)=3x-2, g(x)=2x+k மற்றும் fog=gof எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.

விடை

$fog(x) = f(g(x)) = f(2x+k)$

$= 3(2x+k) - 2 = 6x + 3k - 2$

$gof(x) = g(f(x)) = g(3x-2)$

$= 2(3x-2) + k = 6x - 4 + k$

கணக்கின்படி, $fog=gof$.

$6x + 3k - 2 = 6x - 4 + k$

$3k - k = -4 + 2$

$2k = -2$

$k = -1$

பகுதி - இ

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். 42-க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும். (10 x 5 = 50)

29. ஒரு சார்பு $f$ ஆனது $f(x)=2x-3$ என வரையறுக்கப்பட்டால்

(i) $\frac{f(0)+f(1)}{2}$ ஐக் காண்க

(ii) $f(x)=0$ எனில், $x$-ஐக் காண்க.

(iii) $f(x)=x$ எனில், $x$-ஐக் காண்க.

(iv) $f(x)=f(1-x)$ எனில், $x$-ஐக் காண்க.

விடை

கொடுக்கப்பட்டது: $f(x)=2x-3$

(i) $f(0) = 2(0)-3 = -3$

$f(1) = 2(1)-3 = -1$

$\frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{-3-1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

(ii) $f(x)=0 \implies 2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x = 3/2$

(iii) $f(x)=x \implies 2x-3=x \implies 2x-x=3 \implies x=3$

(iv) $f(x)=f(1-x) \implies 2x-3 = 2(1-x)-3$

$2x-3 = 2-2x-3 \implies 2x-3 = -1-2x \implies 4x = 2 \implies x=1/2$

30. $f(x)=2x+3, g(x)=1-2x, h(x)=3x$ எனில் $fo(goh) = (fog)oh$ என நிறுவுக.

விடை

இடது கை பக்கம் (LHS) = fo(goh)

முதலில், $goh(x)$ ஐக் காண்போம்:

$goh(x) = g(h(x)) = g(3x)$

$= 1 - 2(3x) = 1 - 6x$

இப்போது, $fo(goh)(x)$ ஐக் காண்போம்:

$fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1 - 6x)$

$= 2(1 - 6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$

LHS = $5 - 12x$ ---(1)

வலது கை பக்கம் (RHS) = (fog)oh

முதலில், $fog(x)$ ஐக் காண்போம்:

$fog(x) = f(g(x)) = f(1-2x)$

$= 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$

இப்போது, $(fog)oh(x)$ ஐக் காண்போம்:

$(fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x)$

$= 5 - 4(3x) = 5 - 12x$

RHS = $5 - 12x$ ---(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, $fo(goh) = (fog)oh$ என நிறுவப்பட்டது.

31. 100-க்கும் 1000-க்கும் இடையே 11-ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

விடை

100-க்கும் 1000-க்கும் இடையே 11-ஆல் வகுபடும் எண்களின் தொடர்வரிசை:

$110, 121, 132, \dots, 990$.

இது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை (A.P).

முதல் உறுப்பு (a) = 110

கடைசி உறுப்பு (l) = 990

பொது வித்தியாசம் (d) = 11

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n) = $\frac{l-a}{d} + 1$

$n = \frac{990 - 110}{11} + 1 = \frac{880}{11} + 1 = 80 + 1 = 81$

கூடுதல் ($S_n$) = $\frac{n}{2}(a+l)$

$S_{81} = \frac{81}{2}(110 + 990) = \frac{81}{2}(1100)$

$S_{81} = 81 \times 550 = 44550$

எனவே, தேவையான கூடுதல் 44550 ஆகும்.

32. $10^3 + 11^3 + 12^3 + \dots + 20^3$ தொடரின் கூடுதல் காண்க.

விடை

முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

தேவையான கூடுதல் = $(1^3 + 2^3 + \dots + 20^3) - (1^3 + 2^3 + \dots + 9^3)$

$\sum_{k=1}^{20} k^3 = \left(\frac{20(20+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^2 = (10 \times 21)^2 = 210^2 = 44100$

$\sum_{k=1}^{9} k^3 = \left(\frac{9(9+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2 = 2025$

தேவையான கூடுதல் = $44100 - 2025 = 42075$

33. $x^3+x^2-5x+3, x^3+3x^2-x-3$ என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மீ.பொ.வ. காண்க.

(குறிப்பு: வினாத்தாளில் கோவைகள் $x^3+3x^2-x-3, x^3+x^2-5x+3$ ஆக இருக்கலாம். அதன்படி தீர்வு தரப்பட்டுள்ளது.)

விடை

நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

Let $f(x) = x^3+3x^2-x-3$ and $g(x) = x^3+x^2-5x+3$.

$f(x) - g(x) = (x^3+3x^2-x-3) - (x^3+x^2-5x+3) = 2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3)$

இப்போது $g(x)$ ஐ $x^2+2x-3$ ஆல் வகுப்போம்:

$x(x^2+2x-3) = x^3+2x^2-3x$.

மீதி = $(x^3+x^2-5x+3) - (x^3+2x^2-3x) = -x^2-2x+3 = -1(x^2+2x-3)$.

மீதி பூச்சியம் ஆவதால், வகுத்தி $x^2+2x-3$ மீ.பொ.வ ஆகும்.

மீ.பொ.வ = $x^2+2x-3$ or $(x+3)(x-1)$.

34. $289x^4-612x^3+970x^2-684x+361$-ன் வர்க்கமூலம் காண்க.

விடை

நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண்போம்:

கொடுக்கப்பட்ட கோவையின் முதல் உறுப்பு $289x^4$, அதன் வர்க்கமூலம் $17x^2$.

கடைசி உறுப்பு $361$, அதன் வர்க்கமூலம் $19$.

வர்க்கமூலம் $(ax^2+bx+c)$ வடிவில் இருக்கும்.

$(ax^2+bx+c)^2 = a^2x^4+2abx^3+(b^2+2ac)x^2+2bcx+c^2$

ஒப்பிட:

$a^2=289 \implies a=17$

$c^2=361 \implies c=19$

$2ab = -612 \implies 2(17)b = -612 \implies 34b = -612 \implies b = -18$

சரிபார்த்தல்: $b^2+2ac = (-18)^2+2(17)(19) = 324+646 = 970$.

$2bc = 2(-18)(19) = -684$.

அனைத்து கெழுக்களும் பொருந்துவதால், வர்க்கமூலம் $17x^2-18x+19$ ஆகும்.

விடை: $|17x^2-18x+19|$.

35. $(-4, -2), (-3, k), (3, -2)$ மற்றும் $(2, 3)$ ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவு 28 ச.அ. எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.

விடை

நாற்கரத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$

புள்ளிகள்: $(-4, -2), (-3, k), (3, -2), (2, 3)$.

பரப்பு = $\frac{1}{2} |((-4k) + (6) + (9) + (-4)) - ((6) + (3k) + (-4) + (-12))| = 28$

$|(-4k + 11) - (3k - 10)| = 56$

$|-4k + 11 - 3k + 10| = 56$

$|-7k + 21| = 56$

$-7k + 21 = 56$ அல்லது $-7k + 21 = -56$

நிலை 1: $-7k = 35 \implies k = -5$

நிலை 2: $-7k = -77 \implies k = 11$

k-ன் மதிப்புகள் -5 அல்லது 11.

36. A(-4, 2) மற்றும் B(6, -4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக்குத்துக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை

1. AB-ன் மையப்புள்ளி M-ஐக் காண்க:

M = $(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}) = (1, -1)$

2. AB-ன் சாய்வு ($m_{AB}$) ஐக் காண்க:

$m_{AB} = \frac{-4-2}{6-(-4)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

3. மையக்குத்துக்கோட்டின் சாய்வு ($m_{\perp}$) ஐக் காண்க:

$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$

4. மையக்குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க (புள்ளி: M(1, -1), சாய்வு: 5/3):

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - (-1) = \frac{5}{3}(x - 1)$

$3(y+1) = 5(x-1)$

$3y+3 = 5x-5$

$5x - 3y - 8 = 0$

37. தேல்ஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிருபிக்கவும்.

விடை

தேற்றம்: ஒரு நேர்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்பட்டால் அக்கோடு அவ்விரண்டு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்டவை: $\triangle ABC$-ல், AB-ன் மீது புள்ளி D, AC-ன் மீது புள்ளி E உள்ளது மற்றும் $DE \parallel BC$.

நிரூபிக்க வேண்டியது: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.

அமைப்பு: BE மற்றும் CD-ஐ இணைக்கவும். $DM \perp AC$ மற்றும் $EN \perp AB$ வரைக.

நிரூபணம்:

$\frac{Area(\triangle ADE)}{Area(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB}$ ---(1)

$\frac{Area(\triangle ADE)}{Area(\triangle CDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC}$ ---(2)

$\triangle BDE$ மற்றும் $\triangle CDE$ ஒரே அடிப்பக்கம் DE மற்றும் ஒரே இணைக்கோடுகள் DE, BC ஆகியவற்றிற்கு இடையே அமைந்துள்ளன.

எனவே, Area($\triangle BDE$) = Area($\triangle CDE$).

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

38. ஒரு விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 6 மீ. அதன் அடியிலிருந்து 8 மீ தொலைவிலுள்ள ஒரு பூச்சி கம்பத்தை நோக்கி ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைவு நகர்கிறது. கம்பத்தின் உச்சிக்கும் தற்பொழுது பூச்சி இருக்கும் இடத்திற்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு, பூச்சி கம்பத்தை நோக்கி நகர்ந்த தொலைவிற்கு சமம் எனில் கம்பத்தின் அடியிலிருந்து பூச்சி தற்பொழுது எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

விடை

விளக்கு கம்பம் AB = 6 மீ.

தொடக்க நிலை C, BC = 8 மீ.

பூச்சி நகர்ந்த தொலைவு CD = x என்க.

தற்போதைய நிலை D. கம்பத்தின் அடியிலிருந்து உள்ள தொலைவு BD = 8 - x.

கம்பத்தின் உச்சி A-க்கும் D-க்கும் உள்ள தொலைவு AD.

கணக்கின்படி, AD = x.

செங்கோண முக்கோணம் ABD-ல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,

$AD^2 = AB^2 + BD^2$

$x^2 = 6^2 + (8-x)^2$

$x^2 = 36 + 64 - 16x + x^2$

$0 = 100 - 16x$

$16x = 100 \implies x = \frac{100}{16} = 6.25$ மீ.

தேவையான தொலைவு BD = $8 - x = 8 - 6.25 = 1.75$ மீ.

39. $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} + \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = 2\csc\theta$ என்பதை நிருபிக்கவும்.

விடை

LHS = $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} + \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$

= $\frac{\sqrt{1+\cos\theta}}{\sqrt{1-\cos\theta}} + \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}$

குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய,

= $\frac{(\sqrt{1+\cos\theta})^2 + (\sqrt{1-\cos\theta})^2}{\sqrt{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}}$

= $\frac{(1+\cos\theta) + (1-\cos\theta)}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}$

= $\frac{2}{\sqrt{\sin^2\theta}} = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta$ = RHS

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

40. AB என்ற நேர்கோடு ஆய அச்சுகளை A மற்றும் B புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. AB-ன் நடுப்புள்ளி (2, 3) எனில் AB-ன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை

நேர்கோடு x-அச்சை A(a, 0) என்ற புள்ளியிலும் y-அச்சை B(0, b) என்ற புள்ளியிலும் வெட்டட்டும்.

AB-ன் நடுப்புள்ளி = $(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$

கொடுக்கப்பட்டது, நடுப்புள்ளி (2, 3).

$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$ (x-வெட்டுத்துண்டு)

$\frac{b}{2} = 3 \implies b = 6$ (y-வெட்டுத்துண்டு)

வெட்டுத்துண்டு வடிவில் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$

12-ஆல் பெருக்க, $3x + 2y = 12$

தேவையான சமன்பாடு: $3x + 2y - 12 = 0$.

41. $f: A \to B$ என்ற சார்பானது $f(x)=x/2-1$ என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு $A=\{2,4,6,10,12\}, B=\{0,1,2,4,5,9\}$ ஆக இருக்கும்போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க:

(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (ii) அட்டவணை (iii) அம்புக்குறிப் படம் (iv) வரைபடம்

விடை

$f(2) = 2/2 - 1 = 0$

$f(4) = 4/2 - 1 = 1$

$f(6) = 6/2 - 1 = 2$

$f(10) = 10/2 - 1 = 4$

$f(12) = 12/2 - 1 = 5$

(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

$f = \{(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)\}$

(ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

(iii) அம்புக்குறிப் படம்:

A என்ற கணத்திலிருந்து B என்ற கணத்திற்கு அம்புக்குறிகள் வரையப்பட வேண்டும்:

2 $\to$ 0, 4 $\to$ 1, 6 $\to$ 2, 10 $\to$ 4, 12 $\to$ 5.

(iv) வரைபடம்:

ஒரு வரைபடத்தில் (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.

42. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6-வது மற்றும் 8-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 7:9 எனில், 9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் காண்க.

விடை

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு $a_n = a+(n-1)d$.

கொடுக்கப்பட்டது: $\frac{a_6}{a_8} = \frac{7}{9}$

$\frac{a+5d}{a+7d} = \frac{7}{9}$

$9(a+5d) = 7(a+7d)$

$9a+45d = 7a+49d$

$2a = 4d \implies a=2d$

நாம் காண வேண்டியது: $\frac{a_9}{a_{13}} = \frac{a+8d}{a+12d}$

$a=2d$ என பிரதியிட,

$\frac{2d+8d}{2d+12d} = \frac{10d}{14d} = \frac{5}{7}$

எனவே, 9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 5:7 ஆகும்.

பகுதி - ஈ

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)

43. அ) கொடுக்கபட்ட முக்கோணம் ABC-ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $4/5$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவுகாரணி $4/5 < 1$)

(அல்லது)

ஆ) $QR=5$ செ.மீ, $\angle P=30^\circ$ மற்றும் P-யிலிருந்து QR-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட $\triangle PQR$ வரைக.

விடை

அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவுகாரணி 4/5):

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\triangle ABC$ வரைக.
2. BC என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை வரைக.
3. BX-ல் $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ என்ற 5 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக.
4. $B_5C$-ஐ இணைக்க.
5. $B_4$-லிருந்து $B_5C$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து BC-ஐ C'-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. C'-லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து BA-ஐ A'-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. $\triangle A'BC'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

ஆ) $\triangle PQR$ வரைதல்:

வரைமுறை:

1. $QR = 5$ செ.மீ நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-ல் $30^\circ$ கோணத்தை வரைக. பின்னர் Q-ல் $90^\circ$ கோணத்தை வரைக.
3. QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
4. மையக்குத்துக்கோடு $90^\circ$ கோட்டை O-ல் சந்திக்கட்டும்.
5. O-வை மையமாகவும், OQ-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. M-லிருந்து 4.2 செ.மீ உயரத்திற்கு ஒரு கோடு வரைந்து வட்டத்தை P-ல் வெட்டுமாறு வரைக.
7. PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்க. $\triangle PQR$ தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44. அ) $x^2-8x+16=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வின் தன்மையை ஆராய்க.

(அல்லது)

ஆ) ஒரு பள்ளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு பரிசு தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குமாறு அறிவிக்கிறது.

பங்கேற்பாளரின் எண்ணிக்கை (x)	2	4	6	8	10
ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை (y)	180	90	60	45	36

i) விகித சம மாறிலியை காண்க

ii) மேற்காணும் தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கேற்றுக்கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத் தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.

விடை

அ) வரைபடம் வரைதல்:

$y=x^2-8x+16 = (x-4)^2$

புள்ளிகளுக்கான அட்டவணை:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	16	9	4	1	0	1	4

வரைமுறை:

1. x, y அச்சுகளை வரைந்து அளவுகளைக் குறிக்கவும்.
2. அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்கவும்.

தீர்வின் தன்மை:

பரவளையம் x-அச்சை $(4,0)$ என்ற ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு மெய்யான மற்றும் சமமான மூலங்கள் உண்டு. தீர்வு: $x=4$.

ஆ) எதிர் மாறுபாடு:

கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து, $xy$ மாறிலியாக உள்ளதா என சோதிப்போம்.

$2 \times 180 = 360$

$4 \times 90 = 360$

$6 \times 60 = 360$

$8 \times 45 = 360$

$10 \times 36 = 360$

இங்கு $xy=360$ என்பது மாறிலி. எனவே, இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.

i) விகித சம மாறிலி, k = 360.

ii) வரைபடம்:

வரைமுறை:

1. x, y அச்சுகளை வரைந்து பொருத்தமான அளவுகளைக் குறிக்கவும். (x-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 பங்கேற்பாளர்கள்; y-அச்சு: 1 செ.மீ = 20 ரூபாய்).
2. அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு அதிபரவளையத்தை (hyperbola) வரைக.
3. வரைபடத்தில், x-அச்சில் 12-க்கு நேராக ஒரு செங்குத்துக் கோடு வரைந்து, அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
4. அப்புள்ளியிலிருந்து y-அச்சுக்கு ஒரு கிடைமட்டக் கோடு வரைந்து, அது y-அச்சில் வெட்டும் இடத்தைக் கண்டறியவும்.

வரைபடத்திலிருந்து, $x=12$ எனில், $y=30$ என கிடைக்கும்.

கணக்கீடு: $y = \frac{k}{x} = \frac{360}{12} = 30$.

எனவே, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கேற்றால், ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் பரிசுத் தொகை ரூ.30 ஆகும்.

10th Maths - Quarterly Exam 2024 - Tamil Medium Original Question Paper | Tirunelveli District

10 ஆம் வகுப்பு கணிதம் - காலாண்டு தேர்வு 2024

திருவாரூர் மாவட்டம் | விடைகளுடன்

பகுதி - அ (மதிப்பெண்கள்: 14)

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக. (14 x 1 = 14)

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) x B] ஆனது

• அ) 8
• ஆ) 20
• இ) 12
• ஈ) 16

விடை:

A ∪ C = {a, b, p} ∪ {p, q, r, s} = {a, b, p, q, r, s}
n(A ∪ C) = 6
B = {2, 3} ⇒ n(B) = 2
n[(A ∪ C) × B] = n(A ∪ C) × n(B) = 6 × 2 = 12

இ) 12

2. f(x) = \((x + 1)^3 – (x – 1)^3\) குறிப்பிடும் சார்பானது

• அ) நேரிய சார்பு
• ஆ) ஒரு கனச்சார்பு
• இ) தலைகீழ்ச் சார்பு
• ஈ) இருபடிச் சார்பு

விடை:

f(x) = \((x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
f(x) = \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)
f(x) = \(6x^2 + 2\)
இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

ஈ) இருபடிச் சார்பு

3. n(A) = p, n(B) = q எனில் A யிலிருந்து B க்கு கிடைக்கும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது

• அ) \(p^q\)
• ஆ) \(q^p\)
• இ) \(2^{pq}-1\)
• ஈ) \(2^{pq}\)

விடை:

A-லிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம் \(2^{n(A) \times n(B)}\) ஆகும். இங்கு, n(A) = p மற்றும் n(B) = q. எனவே, மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை = \(2^{pq}\)

ஈ) \(2^{pq}\) (வினாத்தாளில் \(2pq\) என தவறாக அச்சிடப்பட்டிருக்கலாம்)

4. 1729 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்

• அ) 1
• ஆ) 2
• இ) 3
• ஈ) 4

விடை:

1729 = 7 × 247
1729 = 7 × 13 × 19
1729 = \(7^1 \times 13^1 \times 19^1\)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3

இ) 3

5. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு m எனில், அந்தக் கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்

• அ) 16 m
• ஆ) 62 m
• இ) 31 m
• ஈ) \(\frac{31}{2}m\)

விடை:

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n = 31 (ஒற்றைப்படை).
நடு உறுப்பு = \(\frac{n+1}{2} = \frac{31+1}{2} = 16\)-வது உறுப்பு.
\(t_{16} = m\).
கூடுதல் \(S_n = n \times (\text{நடு உறுப்பு})\)
\(S_{31} = 31 \times t_{16} = 31m\)

இ) 31 m

6. \((1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (1 + 2 + 3 + \dots + 15)\) யின் மதிப்பு

• அ) 14400
• ஆ) 14200
• இ) 14280
• ஈ) 14520

விடை:

\(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) மற்றும் \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
n = 15 எனில்,
\(1+2+...+15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120\)
\(1^3+2^3+...+15^3 = (120)^2 = 14400\)
மதிப்பு = 14400 - 120 = 14280

இ) 14280

7. \(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2}\) என்பது

• அ) \(\frac{9y}{7}\)
• ஆ) \(\frac{9y^3}{(21y-21)}\)
• இ) \(\frac{21y^2-42y+21}{3y^3}\)
• ஈ) \(\frac{7(y^2-2y+1)}{y^2}\)

விடை:

\(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} = \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)}\)
= \(\frac{3 \times 3y^2}{y \times 7} = \frac{9y^2}{7y} = \frac{9y}{7}\)

அ) \(\frac{9y}{7}\)

8. \(\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}\) யின் வர்க்கமூலம்

• அ) \(\frac{16}{5} \left| \frac{x^2z^4}{y^2} \right|\)
• ஆ) \(16 \left| \frac{x^2}{z^4} \right|\)
• இ) \(\frac{16}{5} \left| \frac{y}{xz^2} \right|\)
• ஈ) \(\frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)

விடை:

\(\sqrt{\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}} = \sqrt{\frac{256}{25} x^{8-6} y^{4-6} z^{10-6}}\)
= \(\sqrt{\frac{16^2}{5^2} x^2 y^{-2} z^4} = \sqrt{\frac{16^2 x^2 z^4}{5^2 y^2}}\)
= \(\frac{16}{5} \frac{|x| |z^2|}{|y|} = \frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)

ஈ) \(\frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)

9. \((2x-1)^2 = 9\) இன் தீர்வு

• அ) -1
• ஆ) 2
• இ) -1,2
• ஈ) இதில் எதுவும் இல்லை

விடை:

\((2x-1)^2 = 9\)
\(2x-1 = \pm\sqrt{9} = \pm3\)
நிலை 1: \(2x-1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2\)
நிலை 2: \(2x-1 = -3 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x=-1\)
தீர்வு: x = -1, 2

இ) -1,2

10. ΔABC யில் DE||BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில் AE யின் நீளம்

• அ) 1.4 செ.மீ
• ஆ) 1.8 செ.மீ
• இ) 1.2 செ.மீ
• ஈ) 1.05 செ.மீ

விடை:

தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்),
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{5.04}{3.6} = 1.4\) செ.மீ

அ) 1.4 செ.மீ

11. 3x − y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி

• அ) (5,3)
• ஆ) (2,4)
• இ) (3,5)
• ஈ) (4,4)

விடை:

3x - y = 4 ---(1)
x + y = 8 ---(2)
(1) + (2) ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3
x = 3 என (2)-ல் பிரதியிட, 3 + y = 8 ⇒ y = 5
சந்திக்கும் புள்ளி (3,5)

இ) (3,5)

12. சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை

• அ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்
• ஆ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்
• இ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
• ஈ) அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்

விடை:

ஒரு நாற்கரத்தில் இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையாக இருந்தால் அது ஓர் இணைகரம் ஆகும். இணைகோடுகளின் சாய்வுகள் சமம். எனவே, இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள் சமம் என நிறுவ வேண்டும்.

இ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்

13. (−2,0), (0,−2), (2,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு

• அ) 0 ச.அலகுகள்
• ஆ) 4 ச.அலகுகள்
• இ) 2 ச.அலகுகள்
• ஈ) எதுவுமில்லை

விடை:

முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)
= \(\frac{1}{2} |-2(-2 - 0) + 0(0 - 0) + 2(0 - (-2))|\)
= \(\frac{1}{2} |-2(-2) + 0 + 2(2)| = \frac{1}{2} |4 + 4| = \frac{1}{2}(8) = 4\) ச.அலகுகள்

ஆ) 4 ச.அலகுகள்

14. \((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\) எனில் k-யின் மதிப்பு

• அ) 9
• ஆ) 7
• இ) 5
• ஈ) 3

விடை:

LHS = \((\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha)\)
= \((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (1 + \cot^2\alpha) + 2(1) + (1 + \tan^2\alpha) + 2(1)\)
= \(1 + 1 + \cot^2\alpha + 2 + 1 + \tan^2\alpha + 2\)
= \(7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\)
ஒப்பிடும்போது, k = 7.

ஆ) 7

பகுதி - ஆ (மதிப்பெண்கள்: 20)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 28 கட்டாய வினா). (10 x 2 = 20)

15. A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} எனில் A மற்றும் B ஐக் காண்க.

விடை:

A = {முதல் ஆயத்தொலைவுகளின் கணம்} = {3, 5}
B = {இரண்டாம் ஆயத்தொலைவுகளின் கணம்} = {2, 4}

16. X = {1,2,3,4}, Y = {2,4,6,8,10} மற்றும் R = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} எனில் R ஆனது ஒரு சார்பு எனக்காட்டுக. மேலும் அதன் மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க.

விடை:

X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம்: {1, 2, 3, 4}
துணை மதிப்பகம்: {2, 4, 6, 8, 10}
வீச்சகம்: {2, 4, 6, 8}

17. 9,3,1, ... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க.

விடை:

இங்கு a = 9, r = 3/9 = 1/3.
n-வது உறுப்பு, \(t_n = ar^{n-1}\)
8-வது உறுப்பு, \(t_8 = 9 \times (\frac{1}{3})^{8-1} = 9 \times (\frac{1}{3})^7 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\)

18. மீ.பொ.ம. காண்க: \(5x – 10, 5x^2 – 20\)

விடை:

\(5x - 10 = 5(x-2)\)
\(5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4) = 5(x-2)(x+2)\)
மீ.பொ.ம = \(5(x-2)(x+2)\)

19. சுருக்குக: \(\frac{4x^2y}{2z^2} \div \frac{6xz^3}{20y^4}\)

விடை:

\(\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{20y^4}{6xz^3} = \frac{80x^2y^5}{12xz^5} = \frac{20xy^5}{3z^5}\)

20. படம் ΔABC ல் ∠A ன் இருசமவெட்டி AD ஆகும். BD = 4 செ.மீ, DC = 3 செ.மீ மற்றும் AB = 6 செ.மீ எனில் AC யைக் காண்க.

விடை:

கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி,
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)
\(\frac{6}{AC} = \frac{4}{3}\)
\(4 \times AC = 6 \times 3 = 18\)
\(AC = \frac{18}{4} = 4.5\) செ.மீ

21. 6 மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது தரையில் 400 செ.மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28 மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. கம்பம் மற்றும் கோபுரம் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைவதாகக் கருதி வடிவொத்த தன்மையைப் பயன்படுத்தி, கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.

விடை:

கம்பத்தின் உயரம் \(h_1 = 6\) மீ, நிழல் \(s_1 = 400\) செ.மீ = 4 மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \(h_2 = ?\), நிழல் \(s_2 = 28\) மீ.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி,
\(\frac{h_1}{s_1} = \frac{h_2}{s_2}\)
\(\frac{6}{4} = \frac{h_2}{28}\)
\(h_2 = \frac{6 \times 28}{4} = 6 \times 7 = 42\) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் 42 மீ.

22. P(-1.5, 3), Q(6, -2) மற்றும் R(−3, 4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டுக.

விடை:

PQ-ன் சாய்வு = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 3}{6 - (-1.5)} = \frac{-5}{7.5} = \frac{-5}{15/2} = \frac{-10}{15} = \frac{-2}{3}\)
QR-ன் சாய்வு = \(\frac{4 - (-2)}{-3 - 6} = \frac{6}{-9} = \frac{-2}{3}\)
PQ-ன் சாய்வு = QR-ன் சாய்வு. எனவே, P, Q, R ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

23. (–6,1) மற்றும் (14,10) என்ற புள்ளிகளுக்கு சாய்வு காண்க.

விடை:

சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 1}{14 - (-6)} = \frac{9}{20}\)

24. 2x + 3y - 8 = 0, 4x + 6y + 18 = 0 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் இணை எனக்காட்டுக.

விடை:

கோடு 1: 2x + 3y - 8 = 0. சாய்வு \(m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{3}\).
கோடு 2: 4x + 6y + 18 = 0. சாய்வு \(m_2 = -\frac{a}{b} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\).
\(m_1 = m_2\), எனவே கோடுகள் இணை.

25. கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(f: x \rightarrow x^2 - 5x + 6\), எனில் i) f(−1) ii) f(2) ன் மதிப்பு காண்க.

விடை:

f(x) = \(x^2 - 5x + 6\)
i) f(-1) = \((-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12\)
ii) f(2) = \((2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)

26. \(13824 = 2^a \times 3^b\) எனில் a மற்றும் b யின் மதிப்பு காண்க.

விடை:

13824 ஐப் பகா காரணிப்படுத்த,
13824 = 2 × 6912 = \(2^2\) × 3456 = \(2^3\) × 1728 = \(2^3 \times 12^3\)
= \(2^3 \times (2^2 \times 3)^3 = 2^3 \times 2^6 \times 3^3 = 2^9 \times 3^3\)
ஒப்பிடும்போது, a = 9, b = 3.

27. \(\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

விடை:

LHS = \(\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} \times \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\)
= \(\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta + \cot\theta\) = RHS.

28. (கட்டாய வினா) 1 + 3 + 5 + ... + 51 ன் கூடுதல் காண்க.

விடை:

இது ஒரு கூட்டுத்தொடர். a = 1, d = 2, l = 51.
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n = \((\frac{l-a}{d}) + 1 = (\frac{51-1}{2}) + 1 = \frac{50}{2} + 1 = 25+1 = 26\)
கூடுதல் \(S_n = \frac{n}{2}(a+l) = \frac{26}{2}(1+51) = 13(52) = 676\)

பகுதி - இ (மதிப்பெண்கள்: 50)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 42 கட்டாய வினா). (10 x 5 = 50)

29. \(f: A \rightarrow B\) என்ற சார்பானது \(f(x) = \frac{x}{2} - 1\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2,4,6,10,12}, B = {0,1,2,4,5,9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் ii) அட்டவணை iii) அம்புக்குறி படம் iv) வரைபடம்

விடை:

f(2) = 2/2 - 1 = 0
f(4) = 4/2 - 1 = 1
f(6) = 6/2 - 1 = 2
f(10) = 10/2 - 1 = 4
f(12) = 12/2 - 1 = 5
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்: f = {(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)}
ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

iii) அம்புக்குறி படம்: A = {2,4,6,10,12} லிருந்து B = {0,1,2,4,5,9} க்கு அம்புக்குறிகள் வரைய வேண்டும்.
2→0, 4→1, 6→2, 10→4, 12→5
iv) வரைபடம்: (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும்.

30. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3 ஆகியவை இரு சார்புகள். மேலும் gff(x) = fgg(x) எனில் x-ஐக் காண்க.

விடை:

f(f(x)) = f(3x+1) = 3(3x+1)+1 = 9x+4.
gff(x) = g(9x+4) = (9x+4)+3 = 9x+7.

g(g(x)) = g(x+3) = (x+3)+3 = x+6.
fgg(x) = f(x+6) = 3(x+6)+1 = 3x+18+1 = 3x+19.

gff(x) = fgg(x) ⇒ 9x+7 = 3x+19
6x = 12 ⇒ x = 2.

31. \(p_1^{x_1} \times p_2^{x_2} \times p_3^{x_3} \times p_4^{x_4} = 113400\), இங்கு \(p_1, p_2, p_3, p_4\) என்பன ஏறு வரிசையில் அமைந்த பகா எண்கள் மற்றும் \(x_1, x_2, x_3, x_4\) என்பன முழுக்கள் எனில் \(p_1, p_2, p_3, p_4\) மற்றும் \(x_1, x_2, x_3, x_4\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

113400 ஐப் பகா காரணிப்படுத்த வேண்டும்.

113400 = 1134 × 100
= 1134 × \(10^2\)
= 1134 × \((2 \times 5)^2\)
= 1134 × \(2^2 \times 5^2\)

இப்போது, 1134 ஐக் காரணிப்படுத்த:
1134 = 2 × 567
= 2 × 9 × 63
= 2 × 9 × 9 × 7
= 2 × \(3^2\) × \(3^2\) × 7
= 2 × \(3^4\) × 7

எனவே, 113400 = (2 × \(3^4\) × 7) × (\(2^2 \times 5^2\))
= \(2^{1+2} \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\)
= \(2^3 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\)

பகா எண்களை ஏறு வரிசையில் எழுத: 2, 3, 5, 7.
ஒப்பிடும்போது:
\(p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7\)
\(x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 2, x_4 = 1\)

32. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. அந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

விடை:

அலங்கரிக்க தேவையான மொத்த பரப்பு = 15 சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்.
சதுரத்தின் பரப்பு = பக்கம் × பக்கம் = (பக்கம்)\(^2\)
மொத்த பரப்பு = \(10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2\)

இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
தேவையான கூடுதல் = \((1^2 + 2^2 + \dots + 24^2) - (1^2 + 2^2 + \dots + 9^2)\)

படி 1: \(\sum_{k=1}^{24} k^2\) ஐக் கணக்கிட (n=24)
= \(\frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6}\)
= \(\frac{24 \times 25 \times 49}{6}\)
= 4 × 25 × 49 = 100 × 49 = 4900

படி 2: \(\sum_{k=1}^{9} k^2\) ஐக் கணக்கிட (n=9)
= \(\frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6}\)
= \(\frac{9 \times 10 \times 19}{6}\)
= 3 × 5 × 19 = 285

படி 3: மொத்தப் பரப்பைக் கணக்கிட
மொத்த பரப்பு = 4900 - 285 = 4615

ரேகா 4615 ச.செ.மீ பரப்பை அலங்கரிக்க முடியும்.

33. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அடுத்தடுத்த நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் 28 மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 276. அந்த நான்கு எண்களைக் காண்க.

விடை:

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் நான்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் \(a-3d, a-d, a+d, a+3d\) என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை 1: உறுப்புகளின் கூடுதல் = 28
\((a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 28\)
4a = 28
a = 7

கொடுக்கப்பட்டவை 2: வர்க்கங்களின் கூடுதல் = 276
\((a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 276\)
\((a^2-6ad+9d^2) + (a^2-2ad+d^2) + (a^2+2ad+d^2) + (a^2+6ad+9d^2) = 276\)
\(4a^2 + 20d^2 = 276\)

a = 7 எனப் பிரதியிட:
\(4(7^2) + 20d^2 = 276\)
\(4(49) + 20d^2 = 276\)
\(196 + 20d^2 = 276\)
\(20d^2 = 276 - 196\)
\(20d^2 = 80\)
\(d^2 = 4\)
d = ±2

நிலை 1: a = 7, d = 2 எனில்
நான்கு எண்கள்:
\(7-3(2) = 1\)
\(7-2 = 5\)
\(7+2 = 9\)
\(7+3(2) = 13\)

நிலை 2: a = 7, d = -2 எனில்
நான்கு எண்கள்:
\(7-3(-2) = 13\)
\(7-(-2) = 9\)
\(7+(-2) = 5\)
\(7+3(-2) = 1\)

தேவையான அந்த நான்கு எண்கள் 1, 5, 9, 13.

34. \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

வர்க்கமூலம் காணும் நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.
\(\sqrt{9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b} = 3x^2 + 2x + 4\)
படி 1: \(\sqrt{9x^4} = 3x^2\)
படி 2: மீதி \(12x^3 + 28x^2\). புதிய வகுத்தி \(2(3x^2) = 6x^2\). ஈவு \(12x^3/6x^2 = 2x\).
\((6x^2+2x)(2x) = 12x^3 + 4x^2\). கழித்தால், மீதி \(24x^2+ax+b\)
படி 3: புதிய வகுத்தி \(2(3x^2+2x) = 6x^2+4x\). ஈவு \(24x^2/6x^2 = 4\)
\((6x^2+4x+4)(4) = 24x^2 + 16x + 16\).
கடைசி மீதி பூச்சியம் ஆக இருக்க வேண்டும்.
\((24x^2+ax+b) - (24x^2+16x+16) = 0\)
\(ax - 16x = 0 \Rightarrow a=16\)
\(b - 16 = 0 \Rightarrow b=16\)
எனவே, a = 16, b = 16.

35. ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ₹105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ₹20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன?

விடை:

ஐந்து ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை = x
பத்து ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை = y
இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை = z

கொடுக்கப்பட்டவை 1: மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12.
x + y + z = 12 ---(1)

கொடுக்கப்பட்டவை 2: மொத்த மதிப்பு ₹105.
5x + 10y + 20z = 105
(5 ஆல் வகுக்க) x + 2y + 4z = 21 ---(2)

கொடுக்கப்பட்டவை 3: முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளை இடமாற்றம் செய்தால் மதிப்பு ₹20 அதிகரிக்கிறது.
புதிய மதிப்பு = 5y + 10x + 20z
புதிய மதிப்பு = பழைய மதிப்பு + 20
5y + 10x + 20z = (5x + 10y + 20z) + 20
5y + 10x = 5x + 10y + 20
5x - 5y = 20
(5 ஆல் வகுக்க) x - y = 4 ---(3)

சமன்பாடு (3) லிருந்து, x = y + 4

x = y + 4 ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட:
(y + 4) + y + z = 12
2y + z = 8 => z = 8 - 2y ---(4)

x = y + 4 மற்றும் z = 8 - 2y ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட:
(y + 4) + 2y + 4(8 - 2y) = 21
3y + 4 + 32 - 8y = 21
36 - 5y = 21
5y = 36 - 21
5y = 15
y = 3

y = 3 இன் மதிப்பை பிரதியிட்டு x மற்றும் z ஐக் காண்க:
x = y + 4 = 3 + 4 = 7
z = 8 - 2y = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2

ஐந்து ரூபாய் நோட்டுகள் = 7, பத்து ரூபாய் நோட்டுகள் = 3, இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் = 2.

36. அடிப்படை விகித சமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்க.

விடை:

தேற்றம் (தேல்ஸ் தேற்றம்): ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக வரையப்பட்ட ஒரு நேர்க்கோடு மற்ற இரு பக்கங்களை விகிதசமமாகப் பிரிக்கிறது.
நிரூபணம்: (மாணவர்கள் தங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் உள்ள நிரூபணத்தைப் பார்க்கவும். இதில் வரைபடம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பரப்பளவைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்க வேண்டும்).

37. (8,6), (5,11), (−5,12) மற்றும் (−4,3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

விடை:

A(8,6), B(5,11), C(−5,12), D(−4,3) என்பன நாற்கரத்தின் முனைகள் என்க.

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right|\)

= \(\frac{1}{2} \{ (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_4y_3 + x_1y_4) \}\)

= \(\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 5 & -5 & -4 & 8 \\ 6 & 11 & 12 & 3 & 6 \end{matrix} \right|\)

= \(\frac{1}{2} \{ ((8)(11) + (5)(12) + (-5)(3) + (-4)(6)) - ((5)(6) + (-5)(11) + (-4)(12) + (8)(3)) \}\)

= \(\frac{1}{2} \{ (88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24) \}\)

= \(\frac{1}{2} \{ (148 - 39) - (54 - 103) \}\)

= \(\frac{1}{2} \{ 109 - (-49) \}\)

= \(\frac{1}{2} \{ 109 + 49 \}\)

= \(\frac{1}{2} (158)\)

= 79

நாற்கரத்தின் பரப்பு 79 சதுர அலகுகள்.

38. ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (−6,−4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக்குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை:

பூனையின் நிலை A(-6, -4) மற்றும் பால் புட்டியின் நிலை B(5, 11) என்க.
மிகக்குறுகிய தூரம் என்பது A மற்றும் B ஐ இணைக்கும் நேர்க்கோடு ஆகும்.
இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு:
\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)
இங்கு \((x_1, y_1) = (-6, -4)\) மற்றும் \((x_2, y_2) = (5, 11)\).

\(\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)}\)

\(\frac{y + 4}{11 + 4} = \frac{x + 6}{5 + 6}\)

\(\frac{y + 4}{15} = \frac{x + 6}{11}\)

குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:
\(11(y + 4) = 15(x + 6)\)
\(11y + 44 = 15x + 90\)
\(15x - 11y + 90 - 44 = 0\)
\(15x - 11y + 46 = 0\)

தேவையான பாதையின் சமன்பாடு 15x - 11y + 46 = 0 ஆகும்.

39. A(3,–4), B(9,-4), C(5,-7) மற்றும் D(7,-7). ஆகிய புள்ளிகள் ABCD என்ற சரிவகத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக.

விடை:

ஒரு நாற்கரத்தில் ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் இணை எனில் அது ஒரு சரிவகம் ஆகும். கோடுகள் இணையாக இருக்க அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

AB-யின் சாய்வு: A(3,–4), B(9,-4)
\(m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9 - 3} = \frac{0}{6} = 0\)

BC-யின் சாய்வு: B(9,-4), C(5,-7)
\(m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5 - 9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)

CD-யின் சாய்வு: C(5,-7), D(7,-7)
\(m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0\)

DA-யின் சாய்வு: D(7,-7), A(3,–4)
\(m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3 - 7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}\)

இங்கு, AB-யின் சாய்வு = CD-யின் சாய்வு = 0. எனவே, பக்கம் AB, பக்கம் CD-க்கு இணை ஆகும்.
BC-யின் சாய்வு ≠ DA-யின் சாய்வு (\(\frac{3}{4} \neq -\frac{3}{4}\)). எனவே, பக்கம் BC, பக்கம் DA-க்கு இணை இல்லை.

ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் (AB, CD) இணை என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சரிவகத்தை அமைக்கும்.

40. சுருக்குக: \(\frac{b^2 + 3b - 28}{b^2 + 4b + 4} \div \frac{b^2 - 49}{b^2 - 5b - 14}\)

விடை:

முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துக.

1. \(b^2 + 3b - 28 = (b+7)(b-4)\)
2. \(b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2 = (b+2)(b+2)\)
3. \(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\)
4. \(b^2 - 5b - 14 = (b-7)(b+2)\)

இப்போது, கோவையில் பிரதியிட:
\(\frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \div \frac{(b+7)(b-7)}{(b-7)(b+2)}\)

வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்ற, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியை எடுக்கவும்:
\(= \frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \times \frac{(b-7)(b+2)}{(b+7)(b-7)}\)

பொதுவான காரணிகளை நீக்க:
\(= \frac{\cancel{(b+7)}(b-4)}{\cancel{(b+2)}(b+2)} \times \frac{\cancel{(b-7)}\cancel{(b+2)}}{\cancel{(b+7)}\cancel{(b-7)}}\)

\(= \frac{b-4}{b+2}\)

சுருக்கிய வடிவம்: \(\frac{b-4}{b+2}\)

41. நிரூபிக்க: \(\frac{\sin^3 A + \cos^3 A}{\sin A + \cos A} + \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} = 2\)

விடை:

சூத்திரங்கள்: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\), \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
LHS:
முதல் உறுப்பு = \(\frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A - \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A + \cos A}\)
= \((\sin^2 A + \cos^2 A) - \sin A \cos A = 1 - \sin A \cos A\)

இரண்டாம் உறுப்பு = \(\frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A - \cos A}\)
= \((\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin A \cos A = 1 + \sin A \cos A\)

LHS = \((1 - \sin A \cos A) + (1 + \sin A \cos A) = 2\) = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

42. (கட்டாய வினா) A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் A x (B - C) = (A x B) – (A x C) ஐச் சரிபார்.

விடை:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2}

LHS:
B - C = {2, 3, 5, 7} - {2} = {3, 5, 7}
A x (B - C) = {1,2,3,4,5,6,7} x {3,5,7}
= {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), ... , (7,7)} ---(1)

RHS:
A x B = {(1,2),(1,3),(1,5),(1,7), (2,2),(2,3),...,(7,7)}
A x C = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}
(A x B) - (A x C) என்பது (A x B) இல் இருந்து (A x C) இன் உறுப்புகளை நீக்குவதாகும்.
நீக்கிய பின் கிடைக்கும் கணம், {1,2,3,4,5,6,7} x {3,5,7}. ---(2)

(1) = (2) என்பதால், LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.

பகுதி - ஈ (மதிப்பெண்கள்: 16)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)

43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{7}{3}\) என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{7}{3}>1\))

விடை:

வரைமுறை:
1. ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX-ல் \(Q_1, Q_2, \dots, Q_7\) என்ற 7 சம அளவுள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்க.
4. \(Q_3\) ஐ R உடன் இணைக்க (\(\frac{7}{3}\) இல் சிறிய எண் 3).
5. \(Q_7\) லிருந்து \(Q_3R\) க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QR ஐ R' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. R' லிருந்து PR க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QP ஐ P' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

44. ஆ) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு, பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது.

பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (X)	2	4	6	8	10
ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ரூ.(y)	180	90	60	45	36

i) விகித சம மாறிலியைக் காண்க.
ii) மேற்காணும் தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத்தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.

விடை:

i) விகித சம மாறிலி:
தரவுகளைப் பார்க்கும்போது, x அதிகரிக்கும்போது y குறைகிறது. இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.
xy = 2 × 180 = 360
xy = 4 × 90 = 360
xy = 6 × 60 = 360
எனவே, இது எதிர் மாறுபாட்டில் உள்ளது. விகித சம மாறிலி k = 360.

ii) வரைபடம் மற்றும் தீர்வு:
1. (2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
2. இந்தப் புள்ளிகளை இணைத்து ஒரு வளைவரையை (செவ்வக அதிபரவளையம்) வரையவும்.
3. x-அச்சில் 12 என்ற மதிப்பிற்கு நேராக வளைவரையில் ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
4. அந்தப் புள்ளியிலிருந்து y-அச்சிற்கு ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்தால், அது y = 30 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
கணிப்பு: xy = 360 ⇒ 12 × y = 360 ⇒ y = 360/12 = 30.
எனவே, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் ₹30 கிடைக்கும்.

10th Maths Quarterly Exam Original Question Paper 2024 with Solutions | Erode District

10th Maths Quarterly Exam Original Question Paper 2024 with Solutions

This article provides the original question paper and detailed step-by-step solutions for the 10th Standard Mathematics Quarterly Examination held in 2024 in the Erode District, Tamil Nadu. This is invaluable for students to review their performance and prepare for future exams.

Solutions

பகுதி I / PART I (மதிப்பெண்கள்: 14)

1. A={1,2}, B={1,2,3,4}, C={5,6} மற்றும் D={5,6,7,8} எனில், கீழே கொடுக்கப்பட்டவைகளில் எது சரியான கூற்று?

• a) (A×C) ⊂ (B×D)
• b) (B×D) ⊂ (A×C)
• c) (A×B) ⊂ (A×D)
• d) (D×A) ⊂ (B×A)

விடை

கொடுக்கப்பட்டவை: A={1,2}, B={1,2,3,4}, C={5,6}, D={5,6,7,8}.
இங்கு, A ⊂ B (A-ன் எல்லா உறுப்புகளும் B-ல் உள்ளன) மற்றும் C ⊂ D (C-ன் எல்லா உறுப்புகளும் D-ல் உள்ளன).
கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கலின் பண்புப்படி, A ⊂ B மற்றும் C ⊂ D ஆக இருந்தால், (A × C) ⊂ (B × D) என்பது உண்மையாகும்.
எனவே, சரியான கூற்று (A×C) ⊂ (B×D) ஆகும்.

2. f(x) = 2x² மற்றும் g(x) = 1/(3x) எனில் fog ஆனது:

• a) 3x²/2
• b) 2x²/3
• c) 2/(9x²)
• d) 1/(6x²)

விடை

f(x) = 2x², g(x) = 1/(3x)
fog(x) = f(g(x))
= f(1/(3x))
= 2 * (1/(3x))²
= 2 * (1/(9x²))
= 2/(9x²)
எனவே, சரியான விடை 2/(9x²).

3. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தை 9 ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதிகள்:

• a) 0, 1, 8
• b) 1, 4, 8
• c) 0, 1, 3
• d) 1, 3, 5

விடை

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, எந்தவொரு மிகை முழுவையும் 3q, 3q+1, அல்லது 3q+2 என்ற வடிவில் எழுதலாம்.
- (3q)³ = 27q³ = 9(3q³). மீதி 0.
- (3q+1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³+3q²+q) + 1. மீதி 1.
- (3q+2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³+6q²+4q) + 8. மீதி 8.
எனவே, கிடைக்கும் மீதிகள் 0, 1, 8.

4. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16வது உறுப்பு M எனில், அந்த கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்

• a) 16 M
• b) 62 M
• c) 31 M
• d) (31/2) M

விடை

ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படையில் (n=31) இருந்தால், அதன் கூடுதல் (உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) × (நடு உறுப்பு) ஆகும்.
இங்கு, n = 31. நடு உறுப்பு (31+1)/2 = 16வது உறுப்பு ஆகும்.
16வது உறுப்பு = M.
எனவே, கூடுதல் = 31 × M = 31M.

5. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது y³ + 1/y க்குச் சமமில்லை

• a) (y⁴+1)/y
• b) (y+1/y)²
• c) (y-1/y)²+2
• d) (y+1/y)²-2

விடை

கொடுக்கப்பட்ட கோவை: y³ + 1/y.
இதனை (y⁴+1)/y என எழுதலாம். எனவே, விருப்பம் (a) சமம்.
கேள்வி "சமமில்லை" எது என்பதாகும்.
- விருப்பம் (b): (y+1/y)² = y² + 2 + 1/y². ಇದು சமமில்லை.
- விருப்பம் (c): (y-1/y)²+2 = y² - 2 + 1/y² + 2 = y² + 1/y². ಇದು சமமில்லை.
- விருப்பம் (d): (y+1/y)²-2 = y² + 2 + 1/y² - 2 = y² + 1/y². ಇದು சமமில்லை.
(கேள்வியில் பிழை இருக்கலாம், ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் (b), (c), (d) ஆகியவை சமமில்லை. விடைத்தாளில் (b) குறிக்கப்பட்டுள்ளது.)

6. 4x⁴ - 24x³ + 76x² + ax + b ஒரு முழுவர்க்கம் எனில், a மற்றும் b ன் மதிப்பு

• a) 100, 120
• b) 10, 12
• c) -120, 100
• d) 12, 10

விடை

வர்க்கமூலம் காணும் முறையில் தீர்க்க:
வர்க்கமூலத்தின் முதல் உறுப்பு 2x².
(2x²)² = 4x⁴.
ஈவு: 2x² - 6x + 10.
(2x² - 6x + 10)² = 4x⁴ + 36x² + 100 - 24x³ + 40x² - 120x
= 4x⁴ - 24x³ + 76x² - 120x + 100.
கொடுக்கப்பட்ட கோவையுடன் ஒப்பிட: 4x⁴ - 24x³ + 76x² + ax + b.
ax = -120x => a = -120.
b = 100.
எனவே, a = -120, b = 100.

7. x²-2x-24 மற்றும் x²-kx-6-ன் மீ.பொ.வ. (x-6) எனில், k-யின் மதிப்பு:

• a) 3
• b) 5
• c) 6
• d) 8

விடை

(x-6) என்பது x²-kx-6 இன் ஒரு காரணி என்பதால், x=6 என பிரதியிடும்போது கோவை 0 ஆக வேண்டும்.
P(x) = x²-kx-6
P(6) = (6)² - k(6) - 6 = 0
36 - 6k - 6 = 0
30 - 6k = 0
30 = 6k
k = 5.

8. x²+8x+12-ன் பூச்சியங்கள்:

• a) 2, 6
• b) -2, -6
• c) -2, 6
• d) 2, -6

விடை

x²+8x+12 = 0
காரணிப்படுத்த: x² + 6x + 2x + 12 = 0
x(x+6) + 2(x+6) = 0
(x+2)(x+6) = 0
பூச்சியங்கள் x = -2 மற்றும் x = -6.

9. ΔLMN-யில் ∠L=60°, ∠M=50°, மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R-ன் மதிப்பு

• a) 40°
• b) 70°
• c) 30°
• d) 110°

விடை

ΔLMN-ல், ∠L + ∠M + ∠N = 180°
60° + 50° + ∠N = 180°
110° + ∠N = 180° => ∠N = 70°.
ΔLMN ~ ΔPQR என்பதால், ஒத்த கோணங்கள் சமம்.
∠L=∠P, ∠M=∠Q, ∠N=∠R.
எனவே, ∠R = ∠N = 70°.

10. ΔABC-யில் BC||DE, AB=3.6செ.மீ, AC=2.4செ.மீ மற்றும் AD=2.1செ.மீ எனில் AE-யின் நீளம்

• a) 1.4 செ.மீ
• b) 1.8 செ.மீ
• c) 1.2 செ.மீ
• d) 1.05 செ.மீ

விடை

தேல்ஸ் தேற்றத்தின் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) படி,
AD/AB = AE/AC
2.1 / 3.6 = AE / 2.4
AE = (2.1 × 2.4) / 3.6
AE = 5.04 / 3.6
AE = 1.4 செ.மீ.

11. x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

• a) X அச்சுக்கு இணை
• b) Y அச்சுக்கு இணை
• c) ஆதிப்புள்ளி வழிச்செல்லும்
• d) (0,11) என்ற புள்ளி வழிச்செல்லும்

விடை

x = 11 என்பது ஒரு செங்குத்துக் கோடு. இந்த கோட்டில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் x-ஆயத்தொலைவு 11 ஆகும். இது Y-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

12. (12,3), (4,a) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு 1/8 எனில் 'a' -ன் மதிப்பு

• a) 1
• b) 4
• c) -5
• d) 2

விடை

சாய்வு (m) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
1/8 = (a - 3) / (4 - 12)
1/8 = (a - 3) / (-8)
-8 = 8(a - 3)
-1 = a - 3
a = 3 - 1 = 2.

13. sinθ + cosθ = a மற்றும் secθ + cosecθ = b எனில், b(a²-1) -ன் மதிப்பு

• a) 2a
• b) 3a
• c) 0
• d) 2ab

விடை

a = sinθ + cosθ
a² = (sinθ + cosθ)² = sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 1 + 2sinθcosθ
a² - 1 = 2sinθcosθ ---(1)
b = secθ + cosecθ = 1/cosθ + 1/sinθ = (sinθ+cosθ)/(sinθcosθ) = a/(sinθcosθ) ---(2)
b(a²-1) = [a/(sinθcosθ)] * (2sinθcosθ)
= 2a.

14. 3x-4y+2=0 என்ற நேர்க்கோட்டின் X மற்றும் Y வெட்டுத்துண்டுகள்

• a) -2/3, 1/2
• b) 2/3, 1/2
• c) -3/2, 2/1
• d) 3/2, -1/2

விடை

சமன்பாடு: 3x - 4y + 2 = 0
3x - 4y = -2
வெட்டுத்துண்டு வடிவத்திற்கு மாற்ற (x/a + y/b = 1), சமன்பாட்டை -2 ஆல் வகுக்க:
(3x/-2) - (4y/-2) = 1
x/(-2/3) + y/(2/4) = 1
x/(-2/3) + y/(1/2) = 1.
X வெட்டுத்துண்டு (a) = -2/3.
Y வெட்டுத்துண்டு (b) = 1/2.

பகுதி II / PART II (மதிப்பெண்கள்: 20)

கீழ்க்கண்ட வினாக்களில் எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண். 28க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்.

15. B×A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

விடை

B×A-ல், முதல் உறுப்புகள் B கணத்தையும், இரண்டாம் உறுப்புகள் A கணத்தையும் சேர்ந்தவை.
B = {B×A-ன் முதல் உறுப்புகளின் கணம்} = {-2, 0, 3}.
A = {B×A-ன் இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்} = {3, 4}.

16. R என்ற உறவு {(x,y) | y=x+3, x ∈ {0,1,2,3,4,5}} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் காண்க.

விடை

மதிப்பகம் (Domain) என்பது x-ன் மதிப்புகளின் கணம்.
மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

வீச்சகம் (Range) என்பது y-ன் மதிப்புகளின் கணம். y = x+3.
x=0 எனில், y = 0+3 = 3
x=1 எனில், y = 1+3 = 4
x=2 எனில், y = 2+3 = 5
x=3 எனில், y = 3+3 = 6
x=4 எனில், y = 4+3 = 7
x=5 எனில், y = 5+3 = 8
வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

17. A={1,2,3}, B={4,5,6,7} மற்றும் f={(1,4),(2,5),(3,6)} ஆனது A-யிலிருந்து B-க்கான சார்பு ஆகும். f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆனால் மேல்சார்பு இல்லை எனக் காட்டுக.

விடை

ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு:
A-ல் உள்ள வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு B-ல் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன (1→4, 2→5, 3→6). எனவே, f ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆகும்.

மேல்சார்பு:
ஒரு சார்பு மேல்சார்பு எனில், அதன் வீச்சகம் அதன் துணை மதிப்பகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
f-ன் வீச்சகம் = {4, 5, 6}.
துணை மதிப்பகம் B = {4, 5, 6, 7}.
இங்கு, வீச்சகம் ≠ துணை மதிப்பகம் (B-ல் உள்ள உறுப்பு 7-க்கு A-ல் முன் உரு இல்லை).
எனவே, f ஒரு மேல்சார்பு இல்லை.

18. aᵇ × bᵃ = 800 என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.

விடை

800-ஐ பகா காரணிப்படுத்த:
800 = 8 × 100 = 2³ × 10² = 2³ × (2×5)² = 2³ × 2² × 5² = 2⁵ × 5².
இதனை aᵇ × bᵃ வடிவத்துடன் ஒப்பிட:
a = 2 மற்றும் b = 5 எனக்கொண்டால்:
2⁵ × 5² = 32 × 25 = 800.
எனவே, a = 2, b = 5 (அல்லது a = 5, b = 2).

19. -11, -15, -19, ....... என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 19-வது உறுப்பைக் காண்க.

விடை

முதல் உறுப்பு, a = -11.
பொது வித்தியாசம், d = -15 - (-11) = -4.
n-வது உறுப்பு, tₙ = a + (n-1)d.
19-வது உறுப்பு, t₁₉ = -11 + (19-1)(-4)
= -11 + (18)(-4)
= -11 - 72
= -83.

20. 3 + 1 + 1/3 + ................ என்ற தொடரின் கூடுதல் காண்க.

விடை

இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை (GP).
முதல் உறுப்பு, a = 3.
பொது விகிதம், r = 1/3.
|r| = |1/3| < 1 என்பதால், இது ஒரு முடிவுறா பெருக்குத்தொடர். முடிவுறா தொடரின் கூடுதல், S∞ = a / (1-r).
S∞ = 3 / (1 - 1/3) = 3 / (2/3) = 3 × (3/2) = 9/2.

21. கூட்டுக: x/(x-y) + y/(y-x)

விடை

x/(x-y) + y/(y-x)
= x/(x-y) + y/(-(x-y))
= x/(x-y) - y/(x-y)
= (x-y)/(x-y)
= 1.

22. மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் முறையே -4/3, 5/3 ஆக உடைய இருபடிச் சமன்பாட்டினைக் காண்க.

விடை

மூலங்களின் கூடுதல் (α+β) = -4/3.
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் (αβ) = 5/3.
இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம்: x² - (மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0.
x² - (-4/3)x + 5/3 = 0
x² + 4x/3 + 5/3 = 0
சமன்பாட்டை 3 ஆல் பெருக்க:
3x² + 4x + 5 = 0.

23. 2x² - x + 1/8 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

விடை

சமன்பாட்டை 8 ஆல் பெருக்க: 16x² - 8x + 1 = 0.
தன்மைகாட்டி (Discriminant), Δ = b² - 4ac.
இங்கு a=16, b=-8, c=1.
Δ = (-8)² - 4(16)(1)
= 64 - 64 = 0.
Δ = 0 என்பதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.

24. 6மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது, தரையில் 400செ.மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28மீ நிழலை ஏற்படுத்துகிறது எனில், கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.

விடை

கம்பம் மற்றும் கோபுரம் உருவாக்கும் முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை.
கம்பத்தின் உயரம் (h₁) = 6 மீ = 600 செ.மீ.
கம்பத்தின் நிழல் (s₁) = 400 செ.மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் (h₂) = ?
கோபுரத்தின் நிழல் (s₂) = 28 மீ = 2800 செ.மீ.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புப்படி:
h₁/s₁ = h₂/s₂
600/400 = h₂/2800
6/4 = h₂/2800 => 3/2 = h₂/2800
h₂ = (3 × 2800) / 2 = 3 × 1400 = 4200 செ.மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் = 42 மீ.

25. (-3, 5), (5, 6) மற்றும் (5, -2) ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.

விடை

முக்கோணத்தின் பரப்பு = 1/2 | x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂) |
= 1/2 | (-3)(6 - (-2)) + 5(-2 - 5) + 5(5 - 6) |
= 1/2 | (-3)(8) + 5(-7) + 5(-1) |
= 1/2 | -24 - 35 - 5 |
= 1/2 | -64 |
= 32 சதுர அலகுகள்.

26. (-1, 2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், சாய்வு -5/4 உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை

புள்ளி-சாய்வு வடிவம்: y - y₁ = m(x - x₁)
இங்கு (x₁, y₁) = (-1, 2) மற்றும் m = -5/4.
y - 2 = (-5/4)(x - (-1))
y - 2 = (-5/4)(x + 1)
4(y - 2) = -5(x + 1)
4y - 8 = -5x - 5
5x + 4y - 8 + 5 = 0
5x + 4y - 3 = 0.

27. நிறுவுக: tan²θ - sin²θ = tan²θ sin²θ

விடை

இடது பக்கம் (LHS) = tan²θ - sin²θ
= (sin²θ/cos²θ) - sin²θ
= sin²θ (1/cos²θ - 1)
= sin²θ ((1 - cos²θ)/cos²θ)
= sin²θ (sin²θ/cos²θ)
= (sin²θ/cos²θ) * sin²θ
= tan²θ sin²θ = வலது பக்கம் (RHS).
எனவே, நிறுவப்பட்டது.

28. f: X → Y என்ற உறவானது f(x) = x² - 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு X = {-2, -1, 0, 3} மற்றும் Y = R எனக் கொண்டால் f-ன் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக.

விடை

f(x) = x² - 2
f(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2
f(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1
f(0) = (0)² - 2 = 0 - 2 = -2
f(3) = (3)² - 2 = 9 - 2 = 7
f-ன் உறுப்புகள் (வரிசைச் சோடிகளின் கணம்):
f = {(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)}.

Original Question Paper (Erode District)