गणित और सांख्यिकी (वाणिज्य) - मार्च 2024
सम्पूर्ण हल (हिंदी माध्यम)
समय: 3 घंटे | अधिकतम अंक: 80
विभाग - १ (Section I)
प्र. १. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
(i) निम्नलिखित में से कौन सा कथन नहीं है:
उत्तर: (ड) यहाँ आओ।
स्पष्टीकरण: यह एक आज्ञार्थक वाक्य (Imperative sentence) है, इसलिए यह तार्किक कथन नहीं है।
(ii) यदि \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तब \((y, z) = ...\)
उत्तर: (ब) (1, 0)
हल:
समीकरण (2) - (1): \(y + 2z = 1\)
विकल्प (ब) में \(y=1, z=0\) रखने पर: \(1 + 0 = 1\) (संतुष्ट करता है)।
समीकरण (2) - (1): \(y + 2z = 1\)
विकल्प (ब) में \(y=1, z=0\) रखने पर: \(1 + 0 = 1\) (संतुष्ट करता है)।
(iii) यदि \(y = \log(\frac{e^{x}}{x^{2}})\) तब \(\frac{dy}{dx} = ?\)
उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
\(y = \log e^x - \log x^2 = x - 2\log x\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)
(iv) \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) का मान है:
उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)
(v) \(\int\frac{dx}{(x-8)(x+7)} = ...\)
उत्तर: (क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)
(vi) समीकरण \(y=k_{1}e^{x}+k_{2}e^{-x}\) का अवकल समीकरण है:
उत्तर: (अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)
प्र. १. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
प्र. १. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):
प्र. २. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) सत्यता सारणी का उपयोग करके जांचिए कि क्या कथन पुनरुक्ति (tautology), विरोधाभास (contradiction) या आकस्मिकता (contingency) है: \(\sim p\rightarrow(p\rightarrow\sim q)\)
हल:
चूँकि अंतिम स्तंभ में सभी मान 'T' हैं, अतः यह एक पुनरुक्ति (Tautology) है।
| p | q | ~p | ~q | p -> ~q | ~p -> (p -> ~q) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | F | T |
| T | F | F | T | T | T |
| F | T | T | F | T | T |
| F | F | T | T | T | T |
(ii) यदि \(x=e^{3t}\), \(y=e^{(4t+5)}\) तब \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{dx}{dt} = 3e^{3t}\) और \(\frac{dy}{dt} = 4e^{(4t+5)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4e^{(4t+5)}}{3e^{3t}}\)
\(= \frac{4}{3} e^{(4t+5-3t)} = \frac{4}{3}e^{t+5}\)
\(\frac{dx}{dt} = 3e^{3t}\) और \(\frac{dy}{dt} = 4e^{(4t+5)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4e^{(4t+5)}}{3e^{3t}}\)
\(= \frac{4}{3} e^{(4t+5-3t)} = \frac{4}{3}e^{t+5}\)
(iii) यदि \(A=[\begin{matrix}7&3&0\\ 0&4&-2\end{matrix}]\) \(B=[\begin{matrix}0&-2&3\\ 2&1&-4\end{matrix}]\) तो \(A^{T}+4B^{T}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(A^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}]\), \(B^T = [\begin{matrix}0&2\\ -2&1\\ 3&-4\end{matrix}]\)
\(4B^T = [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}]\)
\(A^T + 4B^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}] + [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}] = [\begin{matrix}7&8\\ -5&8\\ 12&-18\end{matrix}]\)
\(A^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}]\), \(B^T = [\begin{matrix}0&2\\ -2&1\\ 3&-4\end{matrix}]\)
\(4B^T = [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}]\)
\(A^T + 4B^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}] + [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}] = [\begin{matrix}7&8\\ -5&8\\ 12&-18\end{matrix}]\)
प्र. २. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) समान अर्थ वाले कथनों के युग्मों को पहचानिए। (कुत्ता वाले कथन)
हल:
(अ) \(p \to q\) (If D is dog, D is good)
(ब) \(q \to p\) (If D is good, D is dog) - विलोम (Converse)
(क) \(\sim q \to \sim p\) (If D not good, D not dog) - प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
(ड) \(\sim p \to \sim q\) (If D not dog, D not good) - प्रतिलोम (Inverse)
तार्किक समतुल्यता: 1. (अ) और (क) समान हैं (\(p \to q \equiv \sim q \to \sim p\))
2. (ब) और (ड) समान हैं (\(q \to p \equiv \sim p \to \sim q\))
(अ) \(p \to q\) (If D is dog, D is good)
(ब) \(q \to p\) (If D is good, D is dog) - विलोम (Converse)
(क) \(\sim q \to \sim p\) (If D not good, D not dog) - प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
(ड) \(\sim p \to \sim q\) (If D not dog, D not good) - प्रतिलोम (Inverse)
तार्किक समतुल्यता: 1. (अ) और (क) समान हैं (\(p \to q \equiv \sim q \to \sim p\))
2. (ब) और (ड) समान हैं (\(q \to p \equiv \sim p \to \sim q\))
(ii) फलन \(f(x)=2x^{3}-21x^{2}+36x-20\) का निम्नतम मान (minimum value) ज्ञात कीजिए।
हल:
\(f'(x) = 6x^2 - 42x + 36\).
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-1)=0\).
\(x=1, x=6\).
\(f''(x) = 12x - 42\).
\(x=6\) पर, \(f''(6) = 72 - 42 = 30 > 0\) (निम्नतम)।
निम्नतम मान: \(f(6) = 2(216) - 21(36) + 36(6) - 20 = -128\).
\(f'(x) = 6x^2 - 42x + 36\).
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-1)=0\).
\(x=1, x=6\).
\(f''(x) = 12x - 42\).
\(x=6\) पर, \(f''(6) = 72 - 42 = 30 > 0\) (निम्नतम)।
निम्नतम मान: \(f(6) = 2(216) - 21(36) + 36(6) - 20 = -128\).
(iii) रेखा \(y=-2x\), X अक्ष एवं रेखाओं \(x=-1\) और \(x=2\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
क्षेत्रफल = \(|\int_{-1}^{0} (-2x)dx| + |\int_{0}^{2} (-2x)dx|\)
\(A_1 = [-x^2]_{-1}^{0} = -(0 - 1) = 1\)
\(A_2 = [-x^2]_{0}^{2} = -(4 - 0) = -4 \Rightarrow |A_2| = 4\)
कुल क्षेत्रफल = \(1 + 4 = 5\) वर्ग इकाई।
क्षेत्रफल = \(|\int_{-1}^{0} (-2x)dx| + |\int_{0}^{2} (-2x)dx|\)
\(A_1 = [-x^2]_{-1}^{0} = -(0 - 1) = 1\)
\(A_2 = [-x^2]_{0}^{2} = -(4 - 0) = -4 \Rightarrow |A_2| = 4\)
कुल क्षेत्रफल = \(1 + 4 = 5\) वर्ग इकाई।
प्र. ३. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) यदि \(y=x^{e^{x}}\) तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों पक्षों का log लेने पर: \(\log y = e^x \log x\)
अवकलन: \(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = e^x(\frac{1}{x}) + \log x(e^x)\)
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1}{x} + \log x) = x^{e^x} e^x (\frac{1+x\log x}{x})\)
दोनों पक्षों का log लेने पर: \(\log y = e^x \log x\)
अवकलन: \(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = e^x(\frac{1}{x}) + \log x(e^x)\)
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1}{x} + \log x) = x^{e^x} e^x (\frac{1+x\log x}{x})\)
(ii) यदि \(f'(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x+k\), \(f(0)=1\) और \(f(1)=4\) तो \(f(x)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
समाकलन करने पर: \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c\)
\(f(0)=1 \Rightarrow c=1\)
\(f(1)=4 \Rightarrow 1 - 1 + 1 + k + 1 = 4 \Rightarrow k=2\)
अतः \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1\)
समाकलन करने पर: \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c\)
\(f(0)=1 \Rightarrow c=1\)
\(f(1)=4 \Rightarrow 1 - 1 + 1 + k + 1 = 4 \Rightarrow k=2\)
अतः \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1\)
(iii) अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए जिसका व्यापक हल \(x^{3}+y^{3}=35ax\) है।
हल:
\(\frac{x^3+y^3}{x} = 35a\). अवकलन करने पर:
\(\frac{x(3x^2+3y^2 y') - (x^3+y^3)(1)}{x^2} = 0\)
\(3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0\)
\(2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0\)
\(\frac{x^3+y^3}{x} = 35a\). अवकलन करने पर:
\(\frac{x(3x^2+3y^2 y') - (x^3+y^3)(1)}{x^2} = 0\)
\(3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0\)
\(2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0\)
प्र. ३. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) आव्यूह का सहखण्डज विधि (adjoint method) से व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए: \(A = [\begin{matrix}3&1&5\\ 2&7&8\\ 1&2&5\end{matrix}]\)
हल:
\(|A| = 3(35-16) - 1(10-8) + 5(4-7) = 57 - 2 - 15 = 40 \neq 0\).
Cofactors (सहखंड):
\(C_{11}=19, C_{12}=-2, C_{13}=-3\)
\(C_{21}=5, C_{22}=10, C_{23}=-5\)
\(C_{31}=-27, C_{32}=-14, C_{33}=19\)
Adj A (सहखण्डज) = Cofactors आव्यूह का परिवर्तन (Transpose).
\(A^{-1} = \frac{1}{40} [\begin{matrix}19&5&-27\\ -2&10&-14\\ -3&-5&19\end{matrix}]\)
\(|A| = 3(35-16) - 1(10-8) + 5(4-7) = 57 - 2 - 15 = 40 \neq 0\).
Cofactors (सहखंड):
\(C_{11}=19, C_{12}=-2, C_{13}=-3\)
\(C_{21}=5, C_{22}=10, C_{23}=-5\)
\(C_{31}=-27, C_{32}=-14, C_{33}=19\)
Adj A (सहखण्डज) = Cofactors आव्यूह का परिवर्तन (Transpose).
\(A^{-1} = \frac{1}{40} [\begin{matrix}19&5&-27\\ -2&10&-14\\ -3&-5&19\end{matrix}]\)
(ii) उपभोग व्यय \(E_{c}=0.0006x^{2}+0.003x\). जब आय ₹ 200 है तब APC, MPC और MPS ज्ञात कीजिए।
हल:
\(APC = \frac{E_c}{x} = 0.0006x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(APC = 0.123\).
\(MPC = \frac{dE_c}{dx} = 0.0012x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(MPC = 0.243\).
\(MPS = 1 - MPC = 1 - 0.243 = 0.757\).
\(APC = \frac{E_c}{x} = 0.0006x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(APC = 0.123\).
\(MPC = \frac{dE_c}{dx} = 0.0012x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(MPC = 0.243\).
\(MPS = 1 - MPC = 1 - 0.243 = 0.757\).
प्र. ३. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) \(\int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}}\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\boxed{x}+\boxed{4}}\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\boxed{1/4}+4}\)
\(=-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\boxed{\sqrt{17}/2})^{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}})\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\boxed{1/4}+4}\)
\(=-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\boxed{\sqrt{17}/2})^{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}})\)
(ii) जनसंख्या वृद्धि (Population Growth)
\(\frac{dP}{dt}=kP \Rightarrow \log P = kt + c\)
(i) \(c = \) \(\log(1,00,000)\)
(ii) जब \(t=25, P=2,00,000\), तो \(k = \) \(\frac{1}{25}\log 2\)
(iii) \(P=4,00,000\) के लिए, \(t = \) 50 वर्ष।
(i) \(c = \) \(\log(1,00,000)\)
(ii) जब \(t=25, P=2,00,000\), तो \(k = \) \(\frac{1}{25}\log 2\)
(iii) \(P=4,00,000\) के लिए, \(t = \) 50 वर्ष।
विभाग - २ (Section II)
प्र. ४. (अ) सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
(i) अंकित मूल्य और वर्तमान मूल्य के बीच के अंतर को ... कहा जाता है।
उत्तर: (ब) सच्ची छूट (True Discount)
(ii) एक साधारण वार्षिकी में, भुगतान या प्राप्तियाँ ... में होती है।
उत्तर: (ब) प्रत्येक अवधि के अंत
(iii) \(b_{xy}\) और \(b_{yx}\) हैं:
उत्तर: (ब) मूल के परिवर्तन से स्वतंत्र लेकिन पैमाने से नहीं
(iv) डॉरबिश-बावलीस मूल्य सूचकांक संख्या है:
उत्तर: (अ) \(\frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}}{2}\times100\)
(v) L.P.P. का उद्देश्य फलन (objective function) है:
उत्तर: (ब) एक फलन जिसको अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
(vi) हंगेरियन पद्धति (Assignment Problem) के लिए लाभ अधिकतम समस्या की आवश्यकता है:
उत्तर: (अ) सभी लाभों को अवसर हानियों में परिवर्तित करना।
प्र. ४. (ब) सत्य या असत्य लिखिए (प्रत्येक १ अंक):
प्र. ४. (क) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):
प्र. ५. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) दीपक की सैलरी ₹ 4,000 से ₹ 5,000 हुई। कमीशन 3% से 2% हो गया। आय समान है। बिक्री ज्ञात करें।
हल:
माना बिक्री = \(x\)
पुरानी आय = \(4000 + 0.03x\)
नई आय = \(5000 + 0.02x\)
दोनों बराबर हैं: \(4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x\)
\(0.01x = 1000 \Rightarrow x = 1,00,000\)
बिक्री = ₹ 1,00,000
माना बिक्री = \(x\)
पुरानी आय = \(4000 + 0.03x\)
नई आय = \(5000 + 0.02x\)
दोनों बराबर हैं: \(4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x\)
\(0.01x = 1000 \Rightarrow x = 1,00,000\)
बिक्री = ₹ 1,00,000
(ii) \(b_{yx}=0.4\), \(b_{xy}=0.9\), \(V(X)=9\). \(V(Y)\) ज्ञात करें।
हल:
\(r^2 = b_{yx} \times b_{xy} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 \Rightarrow r=0.6\)
\(\sigma_x = \sqrt{9} = 3\)
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.4 = 0.6 (\frac{\sigma_y}{3})\)
\(0.4 = 0.2 \sigma_y \Rightarrow \sigma_y = 2\)
\(V(Y) = \sigma_y^2 = 4\).
\(r^2 = b_{yx} \times b_{xy} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 \Rightarrow r=0.6\)
\(\sigma_x = \sqrt{9} = 3\)
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.4 = 0.6 (\frac{\sigma_y}{3})\)
\(0.4 = 0.2 \sigma_y \Rightarrow \sigma_y = 2\)
\(V(Y) = \sigma_y^2 = 4\).
(iii) 4 वार्षिकी केंद्रित गतिमान औसत (4-yearly centered moving averages) निकालें।
हल (Trend Values):
1978: \((0+2+3+3)/4\) और अगले का औसत = 2.25
1979: 2.75
1980: 3.25
1981: 3.875
1982: 4.875
1983: 6.25
1978: \((0+2+3+3)/4\) और अगले का औसत = 2.25
1979: 2.75
1980: 3.25
1981: 3.875
1982: 4.875
1983: 6.25
प्र. ५. (ब) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) वॉल्श की कीमत सूचकांक संख्या 150 है। 'x' का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
वॉल्श सूत्र: \(P_{01} = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100\)
भार \(W = \sqrt{q_0 q_1}\): A(3), B(6), C(5), D(4)
\(\sum p_1 W = 30 + 96 + 115 + 104 = 345\)
\(\sum p_0 W = 15 + 6x + 75 + 40 = 130 + 6x\)
\(150 = \frac{345}{130+6x} \times 100 \Rightarrow 1.5(130+6x) = 345\)
\(195 + 9x = 345 \Rightarrow 9x = 150 \Rightarrow x = 16.67\)
वॉल्श सूत्र: \(P_{01} = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100\)
भार \(W = \sqrt{q_0 q_1}\): A(3), B(6), C(5), D(4)
\(\sum p_1 W = 30 + 96 + 115 + 104 = 345\)
\(\sum p_0 W = 15 + 6x + 75 + 40 = 130 + 6x\)
\(150 = \frac{345}{130+6x} \times 100 \Rightarrow 1.5(130+6x) = 345\)
\(195 + 9x = 345 \Rightarrow 9x = 150 \Rightarrow x = 16.67\)
(ii) खिलौना निर्माण (Sequencing Problem) A->B->C. कुल उपयोगी समय और मशीन B का निष्क्रिय समय निकालें।
हल:
नियम: Min A (12) \(\ge\) Max B (12) (सत्य)।
काल्पनिक मशीनें G = A+B, H = B+C बनायें।
क्रम (Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
कुल उपयोगी समय (Total Elapsed Time): 102 घंटे।
मशीन B का निष्क्रिय समय (Idle Time): 62 घंटे।
नियम: Min A (12) \(\ge\) Max B (12) (सत्य)।
काल्पनिक मशीनें G = A+B, H = B+C बनायें।
क्रम (Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
कुल उपयोगी समय (Total Elapsed Time): 102 घंटे।
मशीन B का निष्क्रिय समय (Idle Time): 62 घंटे।
(iii) संभाव्यता वितरण: k, P(X < 3), P(X > 6) ज्ञात करें।
हल:
(अ) \(\sum P(x) = 1 \Rightarrow 10k^2 + 9k - 1 = 0 \Rightarrow k = 0.1\) (k>0)
(ब) \(P(X < 3) = P(1)+P(2) = k+2k = 3k = 0.3\)
(क) \(P(X > 6) = P(7) = 7k^2+k = 7(0.01)+0.1 = 0.17\)
(अ) \(\sum P(x) = 1 \Rightarrow 10k^2 + 9k - 1 = 0 \Rightarrow k = 0.1\) (k>0)
(ब) \(P(X < 3) = P(1)+P(2) = k+2k = 3k = 0.3\)
(क) \(P(X > 6) = P(7) = 7k^2+k = 7(0.01)+0.1 = 0.17\)
प्र. ६. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):
(i) बीमा दावा (Insurance Claim): पॉलिसी 75%, प्रीमियम 0.70% (₹2625), हानि 60%।
हल:
प्रीमियम = पॉलिसी मूल्य \(\times\) दर \(\Rightarrow 2625 = P.V. \times 0.007 \Rightarrow P.V. = 3,75,000\)
पॉलिसी संपत्ति का 75% है \(\Rightarrow\) संपत्ति मूल्य = \(3,75,000 / 0.75 = 5,00,000\)
हानि = \(5,00,000 \times 0.60 = 3,00,000\)
दावा (Claim) = \(\frac{P.V.}{Property Value} \times Loss = 0.75 \times 3,00,000\) = ₹ 2,25,000
प्रीमियम = पॉलिसी मूल्य \(\times\) दर \(\Rightarrow 2625 = P.V. \times 0.007 \Rightarrow P.V. = 3,75,000\)
पॉलिसी संपत्ति का 75% है \(\Rightarrow\) संपत्ति मूल्य = \(3,75,000 / 0.75 = 5,00,000\)
हानि = \(5,00,000 \times 0.60 = 3,00,000\)
दावा (Claim) = \(\frac{P.V.}{Property Value} \times Loss = 0.75 \times 3,00,000\) = ₹ 2,25,000
(ii) स्वत्वार्पण समस्या (Assignment Problem): न्यूनतम खर्च ज्ञात करें।
हल:
इष्टतम शेड्यूल:
\(M_1 \rightarrow B\) (10)
\(M_2 \rightarrow C\) (13)
\(M_3 \rightarrow A\) (5)
न्यूनतम खर्च = \(10 + 13 + 5 = 28\) (सौ रुपये में) = ₹ 2800.
इष्टतम शेड्यूल:
\(M_1 \rightarrow B\) (10)
\(M_2 \rightarrow C\) (13)
\(M_3 \rightarrow A\) (5)
न्यूनतम खर्च = \(10 + 13 + 5 = 28\) (सौ रुपये में) = ₹ 2800.
(iii) 10% खराब अंडे। 10 अंडों के नमूने में कम-से-कम एक खराब होने की प्रायिकता।
हल:
\(p = 0.1, q = 0.9, n = 10\)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(= 1 - {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 - (0.9)^{10}\)
\(p = 0.1, q = 0.9, n = 10\)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(= 1 - {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 - (0.9)^{10}\)
प्र. ६. (ब) किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) प्रवृत्ति रेखा (Trend Line) - न्यूनतम वर्ग विधि।
हल:
वर्ष (n=7): मध्य वर्ष 1995। \(u = \frac{t-1995}{5}\).
समीकरण \(y = a + bu\).
\(a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} = 4.286\)
\(b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -1.571\)
रेखा: \(y = 4.286 - 1.571(\frac{t-1995}{5})\)
वर्ष (n=7): मध्य वर्ष 1995। \(u = \frac{t-1995}{5}\).
समीकरण \(y = a + bu\).
\(a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} = 4.286\)
\(b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -1.571\)
रेखा: \(y = 4.286 - 1.571(\frac{t-1995}{5})\)
(ii) न्यूनतम कीजिए: \(z=6x+2y\) शर्तें: \(x+2y\ge3, x+4y\ge4, 3x+y\ge3\).
हल:
कोने के बिंदु (Corner Points): A(0, 3), B(0.6, 1.2), C(2, 0.5), D(4, 0).
Z का मान:
A: 6, B: 6, C: 13, D: 24.
न्यूनतम मान 6 है (बिंदु A और B को मिलाने वाले रेखाखंड पर)।
कोने के बिंदु (Corner Points): A(0, 3), B(0.6, 1.2), C(2, 0.5), D(4, 0).
Z का मान:
A: 6, B: 6, C: 13, D: 24.
न्यूनतम मान 6 है (बिंदु A और B को मिलाने वाले रेखाखंड पर)।
प्र. ६. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (Activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):
(i) प्रतिगमन (Regression): \(x=10, \bar{y}=12, V(X)=9, \sigma_y=4, r=0.6\). जब x=5 तो y?
\(Y - 12 = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (X-10)\)
\(Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\boxed{3}} (X-10)\)
जब \(x=5\):
\(Y - 12 = \boxed{0.8} \times (-5)\)
\(Y - 12 = -4 \Rightarrow Y = \boxed{8}\)
\(Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\boxed{3}} (X-10)\)
जब \(x=5\):
\(Y - 12 = \boxed{0.8} \times (-5)\)
\(Y - 12 = -4 \Rightarrow Y = \boxed{8}\)
(ii) पॉइसन वितरण: \(X \sim P(m)\), \(P(X=1)=P(X=2)\).
\(\frac{e^{-m}m^1}{1!} = \frac{e^{-m}m^2}{\boxed{2!}}\)
\(m = \boxed{2}\)
\(P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = \boxed{0.2706}\)
\(m = \boxed{2}\)
\(P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = \boxed{0.2706}\)
