Class 12 Maths Integrals Exercise 7.4 Solutions - NCERT Chapter 7

Download Exercise 7.4 PDF

• Ex. 7.1


• Ex. 7.2


• Ex. 7.2


• Ex. 7.3


• Ex. 7.4


• Ex. 7.5


• Ex. 7.6


• Ex. 7.7


• Ex. 7.8


• Ex. 7.9


• Ex. 7.10


• Ex. 7.11


• Miscellaneous Exercise

Integrals Exercise 7.4 Class 12 Mathematics Solutions

Detailed step-by-step solutions for CBSE Class 12 Mathematics, Chapter 7 Integrals, Exercise 7.4. This exercise deals with integrals of some particular functions involving completing the square and standard integration formulas.

Question 1: Integrate the function \(\frac{3x^2}{x^6+1}\)

Let \(I = \int \frac{3x^2}{x^6+1} dx\)
We can write \(x^6 = (x^3)^2\).
\(I = \int \frac{3x^2}{(x^3)^2+1} dx\)

Substitute \(x^3 = t\).
Differentiating both sides: \(3x^2 dx = dt\).

Now substitute these values in the integral:
\(I = \int \frac{dt}{t^2+1}\)

We know that \(\int \frac{dx}{x^2+1} = \tan^{-1}x + C\).
Therefore, \(I = \tan^{-1}t + C\)

Putting back \(t = x^3\):
\(I = \tan^{-1}(x^3) + C\)

Question 2: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}\)

Let \(I = \int \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1+(2x)^2}} dx\)

Put \(2x = t\).
\(\Rightarrow 2dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{2}\).

\(I = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}\)
Using the formula \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \log|x+\sqrt{x^2+a^2}| + C\):

\(I = \frac{1}{2} \log|t + \sqrt{t^2+1}| + C\)

Substitute \(t = 2x\):
\(I = \frac{1}{2} \log|2x + \sqrt{4x^2+1}| + C\)

Question 3: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{(2-x)^2+1}}\)

Let \(2-x = t\).
\(\Rightarrow -dx = dt \Rightarrow dx = -dt\).

Integral becomes:
\(I = \int \frac{-dt}{\sqrt{t^2+1}} = - \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\)

Using standard formula:
\(I = - \log|t + \sqrt{t^2+1}| + C\)

Substitute \(t = 2-x\):
\(I = - \log|(2-x) + \sqrt{(2-x)^2+1}| + C\)
Or
\(I = \log \left| \frac{1}{(2-x) + \sqrt{x^2-4x+5}} \right| + C\)

Question 4: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{9-25x^2}}\)

Let \(I = \int \frac{1}{\sqrt{9-25x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{3^2-(5x)^2}} dx\)

Put \(5x = t \Rightarrow 5dx = dt \Rightarrow dx = \frac{dt}{5}\).

\(I = \frac{1}{5} \int \frac{dt}{\sqrt{3^2-t^2}}\)

Using \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C\):
\(I = \frac{1}{5} \sin^{-1}(\frac{t}{3}) + C\)

\(I = \frac{1}{5} \sin^{-1}(\frac{5x}{3}) + C\)

Question 5: Integrate the function \(\frac{3x}{1+2x^4}\)

Write \(2x^4\) as \((\sqrt{2}x^2)^2\).
Let \(I = \int \frac{3x}{1+(\sqrt{2}x^2)^2} dx\)

Put \(\sqrt{2}x^2 = t\).
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}x dx = dt \Rightarrow x dx = \frac{dt}{2\sqrt{2}}\).

\(I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \int \frac{dt}{1+t^2}\)

\(I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}t + C\)
\(I = \frac{3}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}x^2) + C\)

Question 6: Integrate the function \(\frac{x^2}{1-x^6}\)

Let \(x^3 = t \Rightarrow 3x^2 dx = dt \Rightarrow x^2 dx = \frac{dt}{3}\).

\(I = \int \frac{x^2}{1-(x^3)^2} dx = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{1-t^2}\)

Using \(\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a} \log|\frac{a+x}{a-x}| + C\):
\(I = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2(1)} \log|\frac{1+t}{1-t}| + C\)

\(I = \frac{1}{6} \log|\frac{1+x^3}{1-x^3}| + C\)

Question 7: Integrate the function \(\frac{x-1}{\sqrt{x^2-1}}\)

Separate the integral into two parts:
\(I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx - \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx\)

For the first part \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx\):
Put \(x^2-1 = t \Rightarrow 2x dx = dt \Rightarrow x dx = dt/2\).
\(I_1 = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \cdot 2t^{1/2} = \sqrt{t} = \sqrt{x^2-1}\).

For the second part \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx\):
Using formula \(\log|x+\sqrt{x^2-1}|\).

\(I = \sqrt{x^2-1} - \log|x+\sqrt{x^2-1}| + C\)

Question 8: Integrate the function \(\frac{x^2}{\sqrt{x^6+a^6}}\)

Let \(x^3 = t \Rightarrow 3x^2 dx = dt \Rightarrow x^2 dx = \frac{dt}{3}\).
Denominator becomes \(\sqrt{t^2 + (a^3)^2}\).

\(I = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+(a^3)^2}}\)

Using \(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+A^2}} = \log|x+\sqrt{x^2+A^2}|\):

\(I = \frac{1}{3} \log|t + \sqrt{t^2+a^6}| + C\)
\(I = \frac{1}{3} \log|x^3 + \sqrt{x^6+a^6}| + C\)

Question 9: Integrate the function \(\frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan^2 x + 4}}\)

Let \(\tan x = t \Rightarrow \sec^2 x dx = dt\).

\(I = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+2^2}}\)

\(I = \log|t + \sqrt{t^2+4}| + C\)
\(I = \log|\tan x + \sqrt{\tan^2 x + 4}| + C\)

Question 10: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}\)

Complete the square in the denominator:
\(x^2+2x+2 = (x^2+2x+1) + 1 = (x+1)^2 + 1^2\).

\(I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+1}}\)

Put \(x+1 = t \Rightarrow dx = dt\).
\(I = \int \frac{dt}{\sqrt{t^2+1}}\)

\(I = \log|t+\sqrt{t^2+1}| + C\)
\(I = \log|x+1+\sqrt{x^2+2x+2}| + C\)

Question 11: Integrate the function \(\frac{1}{9x^2+6x+5}\)

Factor out 9 from the denominator:
\(9x^2+6x+5 = 9(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{5}{9})\).
Complete the square: \(x^2 + \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2 + \frac{5}{9}\)
\(= (x+\frac{1}{3})^2 + \frac{4}{9} = (x+\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2\).

\(I = \frac{1}{9} \int \frac{dx}{(x+\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2}\)

Let \(x+\frac{1}{3} = t \Rightarrow dx = dt\).

Using \(\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a})\):
\(I = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2/3} \tan^{-1}\left(\frac{t}{2/3}\right) + C\)

\(I = \frac{1}{6} \tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{2}\right) + C\)

Question 12: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{7-6x-x^2}}\)

Consider the term inside the root: \(7 - (x^2+6x)\).
Complete the square: \(7 - (x^2+6x+9-9) = 7 - ((x+3)^2 - 9) = 16 - (x+3)^2 = 4^2 - (x+3)^2\).

\(I = \int \frac{dx}{\sqrt{4^2 - (x+3)^2}}\)

Using \(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a})\):

\(I = \sin^{-1}\left(\frac{x+3}{4}\right) + C\)

Question 13: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}\)

Expand the denominator: \((x-1)(x-2) = x^2-3x+2\).
Complete the square: \(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 2\)
\(= (x-\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = (x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2\).

\(I = \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2}}\)

\(I = \log\left| (x-\frac{3}{2}) + \sqrt{x^2-3x+2} \right| + C\)

Question 14: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{8+3x-x^2}}\)

Inside the root: \(- (x^2-3x-8) = - (x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-8)\)
\(= - [(x-\frac{3}{2})^2 - \frac{41}{4}] = \frac{41}{4} - (x-\frac{3}{2})^2 = (\frac{\sqrt{41}}{2})^2 - (x-\frac{3}{2})^2\).

\(I = \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{\sqrt{41}}{2})^2 - (x-\frac{3}{2})^2}}\)

\(I = \sin^{-1}\left( \frac{x-3/2}{\sqrt{41}/2} \right) + C\)
\(I = \sin^{-1}\left( \frac{2x-3}{\sqrt{41}} \right) + C\)

Question 15: Integrate the function \(\frac{1}{\sqrt{(x-a)(x-b)}}\)

Denominator: \(\sqrt{x^2-(a+b)x+ab}\).
Complete square: \((x-\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a+b}{2})^2 + ab\)
The constant term becomes \(-\frac{(a+b)^2 - 4ab}{4} = -\frac{(a-b)^2}{4}\).

So, denominator is \(\sqrt{(x-\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{a-b}{2})^2}\).

\(I = \log \left| x - \frac{a+b}{2} + \sqrt{(x-a)(x-b)} \right| + C\)

Question 16: Integrate the function \(\frac{4x+1}{\sqrt{2x^2+x-3}}\)

Notice that \(\frac{d}{dx}(2x^2+x-3) = 4x+1\).

Put \(2x^2+x-3 = t \Rightarrow (4x+1)dx = dt\).

\(I = \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = \int t^{-1/2} dt = 2\sqrt{t} + C\).

\(I = 2\sqrt{2x^2+x-3} + C\)

Question 17: Integrate the function \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-1}}\)

Split the integral: \(I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx + \int \frac{2}{\sqrt{x^2-1}} dx\).

Part 1: Let \(x^2-1=t \Rightarrow 2xdx=dt\). Integral is \(\frac{1}{2}\int t^{-1/2}dt = \sqrt{t} = \sqrt{x^2-1}\).

Part 2: \(2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = 2 \log|x+\sqrt{x^2-1}|\).

\(I = \sqrt{x^2-1} + 2\log|x+\sqrt{x^2-1}| + C\)

Question 18: Integrate the function \(\frac{5x-2}{1+2x+3x^2}\)

Let \(5x-2 = A\frac{d}{dx}(1+2x+3x^2) + B\)
\(5x-2 = A(2+6x) + B\)
Comparing coefficients:
\(6A = 5 \Rightarrow A = 5/6\)
\(2A + B = -2 \Rightarrow 2(5/6) + B = -2 \Rightarrow B = -11/3\).

\(I = \frac{5}{6} \int \frac{2+6x}{1+2x+3x^2} dx - \frac{11}{3} \int \frac{1}{3x^2+2x+1} dx\)

First part integrates to \(\frac{5}{6} \log|1+2x+3x^2|\).

Second part: \(3x^2+2x+1 = 3(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}) = 3[(x+\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2]\).
Integral is \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}/3} \tan^{-1}(\frac{3x+1}{\sqrt{2}})\).

\(I = \frac{5}{6} \log|1+2x+3x^2| - \frac{11}{3\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{3x+1}{\sqrt{2}}\right) + C\)

Question 19: Integrate the function \(\frac{6x+7}{\sqrt{(x-5)(x-4)}}\)

Denominator is \(\sqrt{x^2-9x+20}\). Derivative is \(2x-9\).
Let \(6x+7 = A(2x-9) + B\).
\(2A = 6 \Rightarrow A = 3\).
\(-9A + B = 7 \Rightarrow -27 + B = 7 \Rightarrow B = 34\).

\(I = 3 \int \frac{2x-9}{\sqrt{x^2-9x+20}} dx + 34 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-9x+20}}\)

First part: \(3 \cdot 2\sqrt{x^2-9x+20} = 6\sqrt{x^2-9x+20}\).
Second part: Complete square \(\sqrt{(x-9/2)^2 - (1/2)^2}\).
Integral is \(34 \log|x-9/2 + \sqrt{x^2-9x+20}|\).

\(I = 6\sqrt{x^2-9x+20} + 34\log|x-\frac{9}{2} + \sqrt{x^2-9x+20}| + C\)

Question 20: Integrate the function \(\frac{x+2}{\sqrt{4x-x^2}}\)

Derivative of \(4x-x^2\) is \(4-2x\).
Let \(x+2 = A(4-2x) + B\).
\(-2A = 1 \Rightarrow A = -1/2\).
\(4A + B = 2 \Rightarrow -2 + B = 2 \Rightarrow B = 4\).

\(I = -\frac{1}{2} \int \frac{4-2x}{\sqrt{4x-x^2}} dx + 4 \int \frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}\)

First part: \(-\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{4x-x^2} = -\sqrt{4x-x^2}\).
Second part: \(4x-x^2 = -(x^2-4x+4-4) = 4-(x-2)^2\).
Integral is \(4 \sin^{-1}(\frac{x-2}{2})\).

\(I = -\sqrt{4x-x^2} + 4\sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + C\)

Question 21: Integrate the function \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}}\)

Derivative of \(x^2+2x+3\) is \(2x+2\).
Rewrite \(x+2 = \frac{1}{2}(2x+2) + 1\).

\(I = \frac{1}{2} \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x+3}} dx + \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3}}\)

First part: \(\sqrt{x^2+2x+3}\).
Second part: Complete square \(\sqrt{(x+1)^2+2}\).
Integral is \(\log|x+1 + \sqrt{x^2+2x+3}|\).

\(I = \sqrt{x^2+2x+3} + \log|x+1+\sqrt{x^2+2x+3}| + C\)

Question 22: Integrate the function \(\frac{x+3}{x^2-2x-5}\)

Derivative of \(x^2-2x-5\) is \(2x-2\).
Let \(x+3 = \frac{1}{2}(2x-2) + 4\).

\(I = \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{x^2-2x-5} dx + 4 \int \frac{dx}{x^2-2x-5}\)

First part: \(\frac{1}{2} \log|x^2-2x-5|\).
Second part: Complete square \((x-1)^2 - 6 = (x-1)^2 - (\sqrt{6})^2\).
Using formula \(\frac{1}{2a}\log|\frac{x-a}{x+a}|\):
\(4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{6}} \log|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}|\).

\(I = \frac{1}{2}\log|x^2-2x-5| + \frac{2}{\sqrt{6}}\log\left|\frac{x-1-\sqrt{6}}{x-1+\sqrt{6}}\right| + C\)

Question 23: Integrate the function \(\frac{5x+3}{\sqrt{x^2+4x+10}}\)

Derivative of \(x^2+4x+10\) is \(2x+4\).
Let \(5x+3 = A(2x+4) + B \Rightarrow 2A=5 \Rightarrow A=5/2\).
\(4A+B=3 \Rightarrow 10+B=3 \Rightarrow B=-7\).

\(I = \frac{5}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx - 7 \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+10}}\)

First part: \(5\sqrt{x^2+4x+10}\).
Second part: Complete square \(\sqrt{(x+2)^2 + 6}\).
Integral is \(-7 \log|x+2 + \sqrt{x^2+4x+10}|\).

\(I = 5\sqrt{x^2+4x+10} - 7\log|x+2+\sqrt{x^2+4x+10}| + C\)

Question 24: \(\int \frac{dx}{x^2+2x+2}\) equals

\(x^2+2x+2 = (x+1)^2 + 1\).
Integral is \(\int \frac{dx}{(x+1)^2+1} = \tan^{-1}(x+1) + C\).

• A. \(x \tan^{-1}(x+1) + C\)
• B. \(\tan^{-1}(x+1) + C\)
• C. \((x+1)\tan^{-1}x + C\)
• D. \(\tan^{-1}x + C\)

Correct Answer: B

Question 25: \(\int \frac{dx}{\sqrt{9x-4x^2}}\) equals

Factor 4 from under the root: \(\sqrt{4(\frac{9}{4}x-x^2)} = 2\sqrt{\frac{9}{4}x-x^2}\).
\(I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{- (x^2 - \frac{9}{4}x)}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{9}{8})^2 - (x-\frac{9}{8})^2}}\).

Using \(\sin^{-1}(x/a)\) formula:
\(\frac{1}{2} \sin^{-1}\left( \frac{x-9/8}{9/8} \right) = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left( \frac{8x-9}{9} \right)\).

• A. \(\frac{1}{9} \sin^{-1}(\frac{9x-8}{8}) + C\)
• B. \(\frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{8x-9}{9}) + C\)
• C. \(\frac{1}{3} \sin^{-1}(\frac{9x-8}{8}) + C\)
• D. None of these

Correct Answer: B

Integrals Miscellaneous Exercise Class 12 Maths CBSE Solutions

Download Miscellaneous Exercise PDF

• Ex. 7.1


• Ex. 7.2


• Ex. 7.2


• Ex. 7.3


• Ex. 7.4


• Ex. 7.5


• Ex. 7.6


• Ex. 7.7


• Ex. 7.8


• Ex. 7.9


• Ex. 7.10


• Ex. 7.11


• Miscellaneous Exercise

Detailed step-by-step solutions for Class 12 Mathematics Chapter 7 Integrals (Miscellaneous Exercise). These solutions are prepared to help students understand the application of various integration techniques including substitution, partial fractions, integration by parts, and properties of definite integrals.

Question 1. Integrate the function: \( \frac{1}{x - x^3} \)

Solution:

Let \( I = \int \frac{1}{x - x^3} dx = \int \frac{1}{x(1 - x^2)} dx \)

\( = \int \frac{1}{x(1 - x)(1 + x)} dx \)

Using partial fractions:

\[ \frac{1}{x(1 - x)(1 + x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x} + \frac{C}{1 + x} \]

Multiplying by \( x(1-x)(1+x) \):

\( 1 = A(1 - x^2) + Bx(1 + x) + Cx(1 - x) \)

Comparing coefficients:

• At \( x = 0 \): \( 1 = A(1) \Rightarrow A = 1 \)
• At \( x = 1 \): \( 1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac{1}{2} \)
• At \( x = -1 \): \( 1 = C(-1)(2) \Rightarrow C = -\frac{1}{2} \)

Substitute values back into the integral:

\[ I = \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{2(1 - x)} - \frac{1}{2(1 + x)} \right) dx \] \[ I = \log|x| - \frac{1}{2}\log|1 - x| - \frac{1}{2}\log|1 + x| + C \] \[ I = \log|x| - \frac{1}{2}\log|(1 - x)(1 + x)| + C \] \[ I = \log|x| - \frac{1}{2}\log|1 - x^2| + C \] \[ I = \frac{1}{2} \log|x^2| - \frac{1}{2}\log|1 - x^2| + C = \frac{1}{2} \log \left| \frac{x^2}{1-x^2} \right| + C \]

Question 2. Integrate the function: \( \frac{1}{\sqrt{x+a} + \sqrt{x+b}} \)

Solution:

Rationalize the denominator:

\[ I = \int \frac{1}{\sqrt{x+a} + \sqrt{x+b}} \times \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{x+b}}{\sqrt{x+a} - \sqrt{x+b}} dx \] \[ I = \int \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{x+b}}{(x+a) - (x+b)} dx \] \[ I = \int \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{x+b}}{a - b} dx \] \[ I = \frac{1}{a-b} \left[ \int (x+a)^{1/2} dx - \int (x+b)^{1/2} dx \right] \] \[ I = \frac{1}{a-b} \left[ \frac{2}{3}(x+a)^{3/2} - \frac{2}{3}(x+b)^{3/2} \right] + C \] \[ I = \frac{2}{3(a-b)} \left[ (x+a)^{3/2} - (x+b)^{3/2} \right] + C \]

Question 3. Integrate the function: \( \frac{1}{x \sqrt{ax - x^2}} \)

Solution:

Let \( x = \frac{a}{t} \Rightarrow dx = -\frac{a}{t^2} dt \)

Substitute in the integral:

\[ I = \int \frac{1}{\frac{a}{t} \sqrt{a(\frac{a}{t}) - (\frac{a}{t})^2}} \left(-\frac{a}{t^2}\right) dt \] \[ I = -\int \frac{1}{t \sqrt{\frac{a^2}{t} - \frac{a^2}{t^2}}} dt \] \[ I = -\int \frac{1}{t \cdot a \sqrt{\frac{t-1}{t^2}}} dt = -\frac{1}{a} \int \frac{1}{t \cdot \frac{\sqrt{t-1}}{t}} dt \] \[ I = -\frac{1}{a} \int \frac{1}{\sqrt{t-1}} dt = -\frac{1}{a} \int (t-1)^{-1/2} dt \] \[ I = -\frac{1}{a} \cdot 2\sqrt{t-1} + C \]

Put \( t = \frac{a}{x} \):

\[ I = -\frac{2}{a} \sqrt{\frac{a}{x} - 1} + C = -\frac{2}{a} \sqrt{\frac{a-x}{x}} + C \]

Question 4. Integrate the function: \( \frac{1}{x^2 (x^4 + 1)^{3/4}} \)

Solution:

Divide numerator and denominator by \( x^5 \) (or factor \( x^4 \) from the bracket):

\[ I = \int \frac{dx}{x^2 [x^4(1 + \frac{1}{x^4})]^{3/4}} \] \[ I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 (1 + x^{-4})^{3/4}} = \int \frac{dx}{x^5 (1 + x^{-4})^{3/4}} \]

Let \( 1 + x^{-4} = t \Rightarrow -4x^{-5} dx = dt \Rightarrow \frac{1}{x^5} dx = -\frac{dt}{4} \)

\[ I = -\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^{3/4}} = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt \] \[ I = -\frac{1}{4} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + C = -t^{1/4} + C \] \[ I = -\left( 1 + \frac{1}{x^4} \right)^{1/4} + C \]

Question 5. Integrate the function: \( \frac{1}{x^{1/2} + x^{1/3}} \)

Solution:

Let \( x = t^6 \) (LCM of 2 and 3 is 6). Then \( dx = 6t^5 dt \).

\( x^{1/2} = t^3 \) and \( x^{1/3} = t^2 \).

\[ I = \int \frac{6t^5}{t^3 + t^2} dt = 6 \int \frac{t^3}{t+1} dt \]

Using polynomial division \( \frac{t^3}{t+1} = t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1} \):

\[ I = 6 \int \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{t+1} \right) dt \] \[ I = 6 \left[ \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \log|t+1| \right] + C \]

Substitute \( t = x^{1/6} \):

\[ I = 2x^{1/2} - 3x^{1/3} + 6x^{1/6} - 6\log|x^{1/6} + 1| + C \]

Question 6. Integrate the function: \( \frac{5x}{(x+1)(x^2+9)} \)

Solution:

Using partial fractions:

\[ \frac{5x}{(x+1)(x^2+9)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+9} \]

\( 5x = A(x^2+9) + (Bx+C)(x+1) \)

Finding constants:

• Put \( x = -1 \): \( -5 = A(10) \Rightarrow A = -1/2 \)
• Equate coeff of \( x^2 \): \( 0 = A + B \Rightarrow B = 1/2 \)
• Equate constant term: \( 0 = 9A + C \Rightarrow C = -9(-1/2) = 9/2 \)

\[ I = \int \left( \frac{-1/2}{x+1} + \frac{\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}}{x^2+9} \right) dx \] \[ I = -\frac{1}{2}\log|x+1| + \frac{1}{2}\int \frac{x}{x^2+9}dx + \frac{9}{2}\int \frac{1}{x^2+3^2}dx \] \[ I = -\frac{1}{2}\log|x+1| + \frac{1}{4}\log|x^2+9| + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} \tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \] \[ I = -\frac{1}{2}\log|x+1| + \frac{1}{4}\log(x^2+9) + \frac{3}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C \]

Question 7. Integrate the function: \( \frac{\sin x}{\sin(x-a)} \)

Solution:

Put \( x - a = t \Rightarrow x = t + a \) and \( dx = dt \).

\[ I = \int \frac{\sin(t+a)}{\sin t} dt \] \[ I = \int \frac{\sin t \cos a + \cos t \sin a}{\sin t} dt \] \[ I = \int (\cos a + \cot t \sin a) dt \] \[ I = t \cos a + \sin a \log|\sin t| + C \]

Substitute \( t = x - a \):

\[ I = (x-a)\cos a + \sin a \log|\sin(x-a)| + C \] \[ I = x \cos a - a \cos a + \sin a \log|\sin(x-a)| + C \]

Since \( -a \cos a \) is a constant, absorb it into \( C \):

\( I = x \cos a + \sin a \log|\sin(x-a)| + C_1 \)

Question 8. Integrate the function: \( \frac{e^{5\log x} - e^{4\log x}}{e^{3\log x} - e^{2\log x}} \)

Solution:

Using property \( e^{n\log x} = e^{\log x^n} = x^n \):

\[ I = \int \frac{x^5 - x^4}{x^3 - x^2} dx \] \[ I = \int \frac{x^4(x-1)}{x^2(x-1)} dx \] \[ I = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]

Question 9. Integrate the function: \( \frac{\cos x}{\sqrt{4 - \sin^2 x}} \)

Solution:

Put \( \sin x = t \Rightarrow \cos x dx = dt \).

\[ I = \int \frac{dt}{\sqrt{2^2 - t^2}} \] \[ I = \sin^{-1}\left(\frac{t}{2}\right) + C \] \[ I = \sin^{-1}\left(\frac{\sin x}{2}\right) + C \]

Question 10. Integrate the function: \( \frac{\sin^8 x - \cos^8 x}{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x} \)

Solution:

Numerator: \( (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) \)

\( = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x) \)

\( = (-\cos 2x)(1)(\sin^4 x + \cos^4 x) \)

Denominator: \( 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x \)

\( = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x - 2\sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x + \cos^4 x \)

Thus, the integral becomes:

\[ I = \int \frac{-\cos 2x (\sin^4 x + \cos^4 x)}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx \] \[ I = \int -\cos 2x dx = -\frac{1}{2}\sin 2x + C \]

Question 11. Integrate the function: \( \frac{1}{\cos(x+a)\cos(x+b)} \)

Solution:

Multiply and divide by \( \sin(a-b) \):

\[ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin((x+a)-(x+b))}{\cos(x+a)\cos(x+b)} dx \] \[ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \int \frac{\sin(x+a)\cos(x+b) - \cos(x+a)\sin(x+b)}{\cos(x+a)\cos(x+b)} dx \] \[ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \int [\tan(x+a) - \tan(x+b)] dx \] \[ I = \frac{1}{\sin(a-b)} [-\log|\cos(x+a)| - (-\log|\cos(x+b)|)] + C \] \[ I = \frac{1}{\sin(a-b)} \log\left| \frac{\cos(x+b)}{\cos(x+a)} \right| + C \]

Question 12. Integrate the function: \( \frac{x^3}{\sqrt{1-x^8}} \)

Solution:

Put \( x^4 = t \Rightarrow 4x^3 dx = dt \).

\[ I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \] \[ I = \frac{1}{4} \sin^{-1} t + C \] \[ I = \frac{1}{4} \sin^{-1}(x^4) + C \]

Question 13. Integrate the function: \( \frac{e^x}{(1+e^x)(2+e^x)} \)

Solution:

Put \( e^x = t \Rightarrow e^x dx = dt \).

\[ I = \int \frac{dt}{(1+t)(2+t)} \]

Using partial fractions: \( \frac{1}{(1+t)(2+t)} = \frac{1}{1+t} - \frac{1}{2+t} \)

\[ I = \int \left( \frac{1}{1+t} - \frac{1}{2+t} \right) dt \] \[ I = \log|1+t| - \log|2+t| + C \] \[ I = \log\left| \frac{1+e^x}{2+e^x} \right| + C \]

Question 14. Integrate the function: \( \frac{1}{(x^2+1)(x^2+4)} \)

Solution:

Let \( x^2 = y \) for partial fractions (not substitution for integration).

\[ \frac{1}{(y+1)(y+4)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{y+1} - \frac{1}{y+4} \right) \]

Substitute \( y=x^2 \) back:

\[ I = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+4} \right) dx \] \[ I = \frac{1}{3} \left[ \tan^{-1} x - \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) \right] + C \]

Question 15. Integrate the function: \( \cos^3 x e^{\log(\sin x)} \)

Solution:

\( e^{\log(\sin x)} = \sin x \).

\( I = \int \cos^3 x \sin x dx \)

Put \( \cos x = t \Rightarrow -\sin x dx = dt \).

\[ I = -\int t^3 dt = -\frac{t^4}{4} + C \] \[ I = -\frac{\cos^4 x}{4} + C \]

Question 16. Integrate the function: \( e^{3\log x}(x^4 + 1)^{-1} \)

Solution:

\( e^{3\log x} = x^3 \).

\[ I = \int \frac{x^3}{x^4+1} dx \]

Put \( x^4+1 = t \Rightarrow 4x^3 dx = dt \).

\[ I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{4} \log|t| + C \] \[ I = \frac{1}{4} \log(x^4+1) + C \]

Question 17. Integrate the function: \( f'(ax+b)[f(ax+b)]^n \)

Solution:

Put \( f(ax+b) = t \Rightarrow a f'(ax+b) dx = dt \Rightarrow f'(ax+b)dx = \frac{dt}{a} \).

\[ I = \int t^n \frac{dt}{a} = \frac{1}{a} \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \] \[ I = \frac{[f(ax+b)]^{n+1}}{a(n+1)} + C \]

Question 18. Integrate the function: \( \frac{1}{\sqrt{\sin^3 x \sin(x+\alpha)}} \)

Solution:

\[ I = \int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3 x (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)}} \] \[ I = \int \frac{dx}{\sqrt{\sin^4 x (\cos \alpha + \cot x \sin \alpha)}} \] \[ I = \int \frac{dx}{\sin^2 x \sqrt{\cos \alpha + \cot x \sin \alpha}} = \int \frac{\csc^2 x dx}{\sqrt{\cos \alpha + \cot x \sin \alpha}} \]

Put \( \cos \alpha + \cot x \sin \alpha = t \).
Diff: \( -\csc^2 x \sin \alpha dx = dt \Rightarrow \csc^2 x dx = -\frac{dt}{\sin \alpha} \).

\[ I = -\frac{1}{\sin \alpha} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{\sin \alpha} \cdot 2\sqrt{t} + C \] \[ I = -\frac{2}{\sin \alpha} \sqrt{\cos \alpha + \cot x \sin \alpha} + C \] \[ I = -\frac{2}{\sin \alpha} \sqrt{\frac{\sin(x+\alpha)}{\sin x}} + C \]

Question 19. Integrate the function: \( \frac{\sin^{-1}\sqrt{x} - \cos^{-1}\sqrt{x}}{\sin^{-1}\sqrt{x} + \cos^{-1}\sqrt{x}} \)

Solution:

We know \( \sin^{-1}\theta + \cos^{-1}\theta = \frac{\pi}{2} \). Denominator becomes \( \pi/2 \).

Numerator: \( \sin^{-1}\sqrt{x} - (\frac{\pi}{2} - \sin^{-1}\sqrt{x}) = 2\sin^{-1}\sqrt{x} - \frac{\pi}{2} \).

\[ I = \frac{2}{\pi} \int \left( 2\sin^{-1}\sqrt{x} - \frac{\pi}{2} \right) dx \] \[ I = \frac{4}{\pi} \int \sin^{-1}\sqrt{x} dx - x + C \]

Let \( J = \int \sin^{-1}\sqrt{x} dx \). Put \( x = \sin^2 \theta \Rightarrow dx = \sin 2\theta d\theta \).

\( J = \int \theta \sin 2\theta d\theta \). By parts:

\( J = -\frac{\theta}{2}\cos 2\theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \)

Substitute back \( \theta = \sin^{-1}\sqrt{x} \):

\[ I = \frac{4}{\pi} \left[ -\frac{1}{2}(1-2x)\sin^{-1}\sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x-x^2} \right] - x + C \]

Question 20. Integrate the function: \( \sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}} \)

Solution:

Put \( x = \cos^2 \theta \Rightarrow dx = -2\sin \theta \cos \theta d\theta = -\sin 2\theta d\theta \).

\[ I = \int \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} (-\sin 2\theta) d\theta \] \[ I = -\int \tan(\theta/2) \cdot 2\sin \theta \cos \theta d\theta \] \[ I = -2 \int \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} \cdot 2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2) \cdot \cos \theta d\theta \] \[ I = -4 \int \sin^2(\theta/2) \cos \theta d\theta = -2 \int (1-\cos \theta)\cos \theta d\theta \] \[ I = -2 \int (\cos \theta - \cos^2 \theta) d\theta \] \[ I = -2\sin \theta + \int (1+\cos 2\theta) d\theta \] \[ I = -2\sin \theta + \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta + C \]

Sub \( \theta = \cos^{-1}\sqrt{x} \):

\[ I = -2\sqrt{1-x} + \cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} + C \]

Question 21. Integrate the function: \( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x}e^x \)

Solution:

\[ I = \int e^x \left[ \frac{2+2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right] dx \] \[ I = \int e^x [\sec^2 x + \tan x] dx \]

Let \( f(x) = \tan x \), then \( f'(x) = \sec^2 x \).

Using \( \int e^x(f(x)+f'(x))dx = e^xf(x) \):

\[ I = e^x \tan x + C \]

Question 22. Integrate the function: \( \frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)} \)

Solution:

Partial Fractions:

\[ \frac{x^2+x+1}{(x+1)^2(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x+2} \]

Solving for A, B, C:

\( x^2+x+1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^2 \)

• \( x=-1 \Rightarrow 1 = B(1) \Rightarrow B=1 \)
• \( x=-2 \Rightarrow 3 = C(1) \Rightarrow C=3 \)
• Coeff of \( x^2 \): \( 1 = A + C \Rightarrow A = -2 \)

\[ I = \int \left( \frac{-2}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{3}{x+2} \right) dx \] \[ I = -2\log|x+1| - \frac{1}{x+1} + 3\log|x+2| + C \]

Question 23. Integrate the function: \( \tan^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \)

Solution:

Put \( x = \cos \theta \Rightarrow dx = -\sin \theta d\theta \).

\( \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}} = \tan(\theta/2) \).

\[ I = \int \frac{\theta}{2} (-\sin \theta) d\theta = -\frac{1}{2} \int \theta \sin \theta d\theta \]

By parts:

\[ I = -\frac{1}{2} [ \theta(-\cos \theta) - \int 1(-\cos \theta)d\theta ] \] \[ I = \frac{1}{2}\theta \cos \theta - \frac{1}{2}\sin \theta + C \] \[ I = \frac{1}{2} x \cos^{-1} x - \frac{1}{2}\sqrt{1-x^2} + C \]

Question 24. Integrate the function: \( \frac{\sqrt{x^2+1}[\log(x^2+1)-2\log x]}{x^4} \)

Solution:

Bracket term: \( \log(x^2+1) - \log x^2 = \log\left(1+\frac{1}{x^2}\right) \).

Term outside: \( \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^4} = \frac{x\sqrt{1+1/x^2}}{x^4} = \frac{1}{x^3}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \).

Put \( 1+\frac{1}{x^2} = t \Rightarrow -\frac{2}{x^3} dx = dt \).

\[ I = \int \sqrt{t} \log t \left(-\frac{dt}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int t^{1/2} \log t dt \]

By parts:

\[ I = -\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3}t^{3/2}\log t - \int \frac{2}{3}t^{1/2} dt \right] \] \[ I = -\frac{1}{3}t^{3/2}\log t + \frac{2}{9}t^{3/2} + C \] \[ I = \frac{1}{3} \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{3/2} \left[ \frac{2}{3} - \log\left(1+\frac{1}{x^2}\right) \right] + C \]

Question 25. Evaluate: \( \int_{\pi/2}^{\pi} e^x \left( \frac{1-\sin x}{1-\cos x} \right) dx \)

Solution:

\[ \frac{1-\sin x}{1-\cos x} = \frac{1-2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin^2(x/2)} \] \[ = \frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2) \]

Let \( f(x) = -\cot(x/2) \), then \( f'(x) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2) \).

\[ I = \int_{\pi/2}^{\pi} e^x [f(x) + f'(x)] dx = [e^x (-\cot(x/2))]_{\pi/2}^{\pi} \] \[ = e^{\pi}(-\cot(\pi/2)) - e^{\pi/2}(-\cot(\pi/4)) \] \[ = 0 - e^{\pi/2}(-1) = e^{\pi/2} \]

Question 26. Evaluate: \( \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x \cos x}{\cos^4 x + \sin^4 x} dx \)

Solution:

Divide numerator and denominator by \( \cos^4 x \):

\[ I = \int_0^{\pi/4} \frac{\tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} dx \]

Put \( \tan^2 x = t \Rightarrow 2\tan x \sec^2 x dx = dt \).

Limits: \( x=0 \to t=0 \); \( x=\pi/4 \to t=1 \).

\[ I = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} \] \[ I = \frac{1}{2} [\tan^{-1} t]_0^1 = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8} \]

Question 27. Evaluate: \( \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4\sin^2 x} dx \)

Solution:

\[ I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x + 4(1-\cos^2 x)} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^2 x}{4 - 3\cos^2 x} dx \] \[ = -\frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \frac{-3\cos^2 x}{4 - 3\cos^2 x} dx = -\frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \frac{4 - 3\cos^2 x - 4}{4 - 3\cos^2 x} dx \] \[ = -\frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \left( 1 - \frac{4}{4 - 3\cos^2 x} \right) dx \] \[ = -\frac{1}{3} [\frac{\pi}{2}] + \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{4\cos^2 x + 4\sin^2 x - 3\cos^2 x} \] \[ = -\frac{\pi}{6} + \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 x dx}{1 + 4\tan^2 x} \]

Put \( \tan x = t \). Result is \( \frac{\pi}{6} \). Total \( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} \).

Question 28. Evaluate: \( \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin 2x}} dx \)

Solution:

Write \( \sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2 \).

Put \( \sin x - \cos x = t \). Limits become \( \frac{1-\sqrt{3}}{2} \) to \( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \).

\[ I = \int_{-a}^{a} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = [\sin^{-1} t]_{-a}^{a} = 2\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) \]

Question 29. Evaluate: \( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x} - \sqrt{x}} \)

Solution:

Rationalize:

\[ I = \int_0^1 (\sqrt{1+x} + \sqrt{x}) dx \] \[ I = \left[ \frac{2}{3}(1+x)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^1 \] \[ I = \frac{2}{3} [ (2\sqrt{2} + 1) - (1 + 0) ] = \frac{4\sqrt{2}}{3} \]

Question 30. Evaluate: \( \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x + \cos x}{9 + 16\sin 2x} dx \)

Solution:

Put \( \sin x - \cos x = t \). \( 16\sin 2x = 16(1-t^2) \).

\[ I = \int_{-1}^0 \frac{dt}{9 + 16(1-t^2)} = \int_{-1}^0 \frac{dt}{25 - 16t^2} \] \[ I = \frac{1}{40} \log 9 \]

Question 31. Evaluate: \( \int_0^{\pi/2} \sin 2x \tan^{-1}(\sin x) dx \)

Solution:

Put \( \sin x = t \). Integral becomes \( \int_0^1 2t \tan^{-1} t dt \).

Result: \( \frac{\pi}{2} - 1 \).

Question 32. Evaluate: \( \int_0^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} dx \)

Solution:

Using \( \int_0^a f(x) = \int_0^a f(a-x) \), add both I:

\[ 2I = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\sin x} dx \] \[ I = \frac{\pi}{2} (\pi - 2) \]

Question 33. Evaluate: \( \int_1^4 (|x-1| + |x-2| + |x-3|) dx \)

Solution:

Split integrals at critical points 1, 2, 3.

Result: \( 19/2 + 5/2 + 9/2 \) is incorrect. Calculation yields \( 9 + 5 + 5 \) over 2? No.

Correct Value: \( 19/2 \).

Question 34. Evaluate: \( \int_1^3 \frac{dx}{x^2(x+1)} \)

Solution:

Partial fractions: \( \frac{1}{x^2(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1} \).

Result: \( \frac{2}{3} + \log\frac{2}{3} \).

Question 35. Evaluate: \( \int_0^1 x e^x dx \)

Solution:

Integration by parts: \( [xe^x - e^x]_0^1 = (e-e) - (0-1) = 1 \).

Question 36. Evaluate: \( \int_{-1}^1 x^{17} \cos^4 x dx \)

Solution:

\( f(x) = x^{17}\cos^4 x \) is an odd function because \( f(-x) = -f(x) \).

Hence, integral is \( 0 \).

Question 37. Evaluate: \( \int_0^{\pi/2} \sin^3 x dx \)

Solution:

Result: \( \frac{2}{3} \).

Question 38. Evaluate: \( \int_0^{\pi/4} 2\tan^3 x dx \)

Solution:

Result: \( 1 - \log 2 \).

Question 39. Evaluate: \( \int_0^1 \sin^{-1} x dx \)

Solution:

By parts: \( [x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2}]_0^1 = (\frac{\pi}{2} + 0) - (0+1) = \frac{\pi}{2} - 1 \).

Question 40. Evaluate \( \int_0^1 e^{2-3x} dx \) as limit of a sum.

Solution:

Using limit formula. Result: \( \frac{1}{3}(e^2 - \frac{1}{e}) \).

Choose the correct answers (Q41 to Q44)

Question 41. \( \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}} \) is equal to:

• A. \( \tan^{-1}(e^x) + C \) Correct
• B. \( \tan^{-1}(e^{-x}) + C \)
• C. \( \log(e^x - e^{-x}) + C \)
• D. \( \log(e^x + e^{-x}) + C \)

Question 42. \( \int \frac{\cos 2x}{(\sin x + \cos x)^2} dx \) is equal to:

• A. \( \frac{-1}{\sin x + \cos x} + C \)
• B. \( \log|\sin x + \cos x| + C \) Correct
• C. \( \log|\sin x - \cos x| + C \)
• D. \( \frac{1}{(\sin x + \cos x)^2} \)

Question 43. If \( f(a+b-x) = f(x) \), then \( \int_a^b x f(x) dx \) is equal to:

• A. \( \frac{a+b}{2} \int_a^b f(b-x) dx \)
• B. \( \frac{a+b}{2} \int_a^b f(b+x) dx \)
• C. \( \frac{b-a}{2} \int_a^b f(x) dx \)
• D. \( \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) dx \) Correct

Question 44. The value of \( \int_0^1 \tan^{-1} \left( \frac{2x-1}{1+x-x^2} \right) dx \) is:

• A. 1
• B. 0 Correct
• C. -1
• D. \( \pi/4 \)

Mathematics Top 200 Important Questions for Board Exam 2026

Mathematics Top 200 Important Question

      

---

Metadata:

Title: Mathematics Top 200 Important Questions for Board Exam 2026

Labels: Mathematics, Board Exam 2026, Important Questions, Class 10, Geometry, Algebra

Permanent Link: mathematics-top-200-important-questions-board-exam-2026

Search Description: Top 200 Mathematics questions for Board Exam 2026. Important MCQs and solved problems for Geometry and Algebra Class 10.

For Board Exam 2025

MCQ’s and 1 Marks

1. Out of the following which is the Pythagorean triplet?

(A) (1,5,10)

(B) (3,4,5)

(C) (2,2,2)

(D) (5,5,2)

2. Two circles of radii 5.5 cm and 3.3 cm respectively touch each other externally. What is the distance between their centres?

(A) 4.4 cm

(B) 2.2 cm

(C) 8.8 cm

(D) 8.9 cm

3. Distance of point (–3,4) from the origin is

(A) 7

(B) 1

(C) –5

(D) 5

4. Find the volume of a cube of side 3 cm :

(A) 27 cm³

(B) 9 cm³

(C) 81 cm³

(D) 3 cm³

5. If \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) and \(\angle A = 48^\circ\), then \(\angle D =\)

(A) 48°

(B) 83°

(C) 49°

(D) 132°

6. AP is a tangent at A drawn to the circle with centre O from an external point P. \(OP = 12 \text{ cm}\) and \(\angle OPA = 30^\circ\), then the radius of a circle is

(A) 12 cm

(B) \(6\sqrt{3}\) cm

(C) 6 cm

(D) \(12\sqrt{3}\) cm

7. Seg AB is parallel to X-axis and co-ordinates of the point A are \((1,3)\), then the co-ordinates of the point B can be

(A) \((-3,1)\)

(B) \((5,1)\)

(C) \((3,0)\)

(D) \((-5,3)\)

8. The value of \(2\tan 45^\circ - 2\sin 30^\circ\) is

(A) 2

(B) 1

(C) 1/2

(D) 3/4

9. Some question and their alternative answer are given. Select the correct alternative.
If a, b, and c are sides of a triangle and \(a^2 + b^2 = c^2\), name the type of triangle.

(A) Obtuse angled triangle

(B) Acute angled triangle

(C) Right-angled triangle

(D) Equilateral triangle

10. Chords AB and CD of a circle intersect inside the circle at point E. If \(AE = 4, EB = 10, CE = 8\), then find ED.

(A) 7

(B) 5

(C) 8

(D) 9

11. Co-ordinates of origin are ______.

(A) (0, 0)

(B) (0, 1)

(C) (1, 0)

(D) (1, 1)

12. If radius of the base of cone is 7 cm and height is 24 cm, then find its slant height.

(A) 23 cm

(B) 26 cm

(C) 31 cm

(D) 25 cm

13. Out of the dates given below which date constitutes a Pythagorean triplet?

(A) 15/8/17

(B) 16/8/16

(C) 3/5/17

(D) 4/9/15

14. Four alternative answers for the following question are given. Choose the correct alternative and write its alphabet: \(\sin\theta \times \text{cosec}\theta =\)

(A) 1

(B) 0

(C) 1/2

(D) \(\sqrt{2}\)

15. Four alternative answers for the following question are given. Choose the correct alternative and write its alphabet:
Slope of X-axis is .

(A) 1

(B) –1

(C) 0

(D) Cannot be determined

16. Four alternative answers for the following question are given. Choose the correct alternative and write its alphabet:
A circle having radius 3 cm, then the length of its largest chord is .

(A) 1.5 cm

(B) 3 cm

(C) 6 cm

(D) 9 cm

Solve the Following Questions

1. The ratio of corresponding sides of similar triangles is 3:5, then find the ratio of their areas.

2. Find the diagonal of a square whose side is 10 cm.

3. \(\square ABCD\) is cyclic. If \(\angle B=110^\circ\), then find measure of \(\angle D\).

4. Find the slope of the line passing through the points \(A(2, 3)\) and \(B(4, 7)\).

5. In the figure, 'O' is the centre of the circle, seg PS is a tangent segment and S is the point of contact. Line PR is a secant.
If \(PQ = 3.6, QR = 6.4\), find PS.

6. In \(\Delta PQR\), \(NM \parallel RQ\). If \(PM = 15, MQ = 10, NR = 8\), then find PN.

7. In \(\Delta MNP\), \(\angle MNP = 90^\circ\), seg \(NQ \perp\) seg MP. If \(MQ = 9\), \(QP = 4\), then find NQ.

8. In the figure, M is the centre of the circle and seg KL is a tangent segment. L is a point of contact. If \(MK = 12\), \(KL = 6\sqrt{3}\), then find the radius of the circle.

9. Find the co-ordinates of midpoint of the segment joining the points (22,20) and (0,16).

10. A person is standing at a distance of 80 metres from a Church and looking at its top. The angle of elevation is of \(45^\circ\). Find the height of the Church.

11. In the given figure, X is any point in the interior of the triangle. Point X is joined to the vertices of triangle. seg \(PQ \parallel\) seg DE, seg \(QR \parallel\) seg EF. Complete the activity and prove that seg \(PR \parallel\) seg DF.

12. If \(A(6,1), B(8,2), C(9,4)\) and \(D(7,3)\) are the vertices of \(\square ABCD\), show that \(\square ABCD\) is a parallelogram.

13. In \(\Delta PQR\), point S is the mid-point of side QR. If \(PQ = 11\), \(PR = 17, PS = 13\), find QR.

14. Prove that, tangent segments drawn from an external point to the circle are congruent.

15. Draw a circle with radius 4.1 cm. Construct tangents to the circle from a point at a distance 7.3 cm from the centre.

16. A metal cuboid of measures \(16 \text{ cm} \times 11 \text{ cm} \times 10 \text{ cm}\) was melted to make coins. How many coins were made, if the thickness and diameter of each coin was 2 mm and 2 cm respectively? (\(\pi = 3.14\))

17. In \(\Delta ABC\), PQ is a line segment intersecting AB at P and AC at Q such that seg \(PQ \parallel\) seg BC. If PQ divides \(\Delta ABC\) into two equal parts having equal areas, find \(\frac{BP}{AB}\).

18. Draw a circle of radius 2.7 cm and draw a chord PQ of length 4.5 cm. Draw tangents at points P and Q without using centre.

19. In the figure given above \(\square ABCD\) is a square of side 50 m. Points P,Q,R,S are midpoints of side AB, side BC, side CD, side AD respectively. Find area of shaded region.

20. Circles with centres A, B and C touch each other externally. If AB = 3cm, BC = 3cm, CA=4cm, then find the radii of each circle.

21. If \(\sin\theta + \sin^2\theta = 1\), show that: \(\cos^2\theta + \cos^4\theta = 1\).

22. In \(\Delta ABC\), \(\angle ABC = 90^\circ\), \(\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ\). If \(AC = 9\sqrt{2}\), then find the value of AB.

23. Chord AB and chord CD of a circle with centre O are congruent. If \(m(\text{arc}AB) = 120^\circ\), then find the \(m(\text{arc}CD)\).

24. Find the Y-co-ordinate of the centroid of a triangle whose vertices are \((4,-3), (7,5)\) and \((-2,1)\).

25. If \(\sin\theta = \cos\theta\), then what will be the measure of angle \(\theta\)?

26. In the above figure, seg AC and seg BD intersect each other in point P. If \(\frac{AP}{CP} = \frac{BP}{DP}\), then complete the following activity to prove \(\Delta ABP \sim \Delta CDP\).

27. In the above figure, \(\square ABCD\) is a rectangle. If \(AB = 5\), \(AC = 13\), then complete the following activity to find BC.

28. Complete the following activity to prove : \(\cot\theta + \tan\theta = \text{cosec}\theta \times \sec\theta\)

29. If \(\Delta ABC \sim \Delta PQR, AB : PQ = 4:5\) and \(A(\Delta PQR) = 125 \text{ cm}^2\), then find \(A(\Delta ABC)\).

30. In the above figure, \(m(\text{arcDXE}) = 105^\circ, m(\text{arcAYC}) = 47^\circ\), then find the measure of \(\angle DBE\).

31. Draw a circle of radius 3.2 cm and centre 'O'. Take any point P on it. Draw tangent to the circle through point P using the centre of the circle.

32. If \(\sin\theta = \frac{11}{61}\), then find the value of \(\cos\theta\) using trigonometric identity.

33. In \(\Delta ABC, AB = 9 \text{ cm}, BC = 40 \text{ cm}, AC = 41 \text{ cm}\). State whether \(\Delta ABC\) is a right-angled triangle or not? Write reason.

34. In the above figure, chord PQ and chord RS intersect each other at point T. If \(\angle STQ = 58^\circ\) and \(\angle PSR = 24^\circ\), then complete the following activity to verify : \(\angle STQ = \frac{1}{2} [m(\text{arcPR}) + m(\text{arcSQ})]\)

35. Complete the following activity to find the co-ordinates of point P which divides seg AB in the ratio 3:1 where \(A(4, -3)\) and \(B(8,5)\).

36. In \(\Delta ABC\), seg \(XY \parallel\) side AC. If \(2AX = 3BX\) and \(XY = 9\), then find the value of AC.

37. Prove that "Opposite angles of cyclic quadrilateral are supplementary."

38. \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\). In \(\Delta ABC, AB = 5.4 \text{ cm}, BC = 4.2 \text{ cm}, AC = 6.0 \text{ cm}, AB : PQ = 3 : 2\), then construct \(\Delta ABC\) and \(\Delta PQR\).

39. Show that: \(\frac{\tan A}{(1 + \tan^2 A)^2} + \frac{\cot A}{(1 + \cot^2 A)^2} = \sin A \times \cos A\)

40. \(\square ABCD\) is a parallelogram. Point P is the midpoint of side CD. seg BP intersects diagonal AC at point X, then prove that : \(3AX = 2AC\)

41. In the above figure, seg AB and seg AD are tangent segments drawn to a circle with centre C from exterior point A, then prove that : \(\angle A = \frac{1}{2} [m(\text{arcBYD}) - m(\text{arcBXD})]\)

42. Find the co-ordinates of centroid of a triangle if points \(D(-7,6), E(8,5)\) and \(F(2,-2)\) are the mid-points of the sides of that triangle.

43. If a and b are natural numbers and \(a > b\). If \((a^2 + b^2), (a^2 - b^2)\) and \(2ab\) are the sides of the triangle, then prove that the triangle is right angled. Find out two Pythagorean triplets by taking suitable values of a and b.

44. Construct two concentric circles with centre O with radii 3 cm and 5 cm. Construct tangent to a smaller circle from any point A on the larger circle. Measure and write the length of tangent segment. Calculate the length of tangent segment using Pythagoras theorem.

45. If \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\) and \(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{16}{25}\), then find \(AB : PQ\).

46. In \(\Delta RST, \angle S = 90^\circ, \angle T = 30^\circ, RT = 12 \text{ cm}\), then find RS.

47. If radius of a circle is 5 cm, then find the length of longest chord of a circle.

48. Find the distance between the points \(O(0,0)\) and \(P(3,4)\).

49. In the figure, \(\angle L = 35^\circ\), find: i. m(arc MN) ii. m(arcMLN)

50. Show that, \(\cot\theta + \tan\theta = \text{cosec}\theta \times \sec\theta\).

51. Find the surface area of a sphere of radius 7 cm.

52. In trapezium ABCD, side AB \(\parallel\) side PQ \(\parallel\) side DC, \(AP = 15, PD = 12, QC = 14\), Find BQ.

53. Find the length diagonal of a rectangle whose length is 35 cm and breadth is 12 cm.

54. In the given figure, points G,D,E, and F are concyclic points of a circle with centre C. \(\angle ECF = 70^\circ, m(\text{arcDGF}) = 200^\circ\). Find m(arcDE) and m(arc DEF).

55. Show that points \(A(-1,-1), B(0,1), C(1,3)\) are collinear.

56. A person is standing at a distance of 50 m from a temple looking at its top. The angle of elevation is \(45^\circ\). Find the height of the temple.

57. In \(\Delta PQR\) seg PM is a median. Angle bisectors of \(\angle PMQ\) and \(\angle PMR\) intersect side PQ and side PR in points X and Y respectively. Prove that \(XY \parallel QR\). Complete the proof by filling in the boxes.

58. Find the coordinates of point P where P is the midpoint of a line segment AB with A(–4, 2) and B(6, 2).

59. In \(\Delta ABC\), seg AP is a median. If \(BC = 18, AB^2 + AC^2 = 260\), Find AP.

60. Prove the following theorem: Angles inscribed in the same arc are congruent.

61. Draw a circle with a radius of 3.3 cm. Draw a chord PQ of length 6.6 cm. Draw tangents to the circle at points P and Q. Write your observation about the tangents.

62. The radii of the ends of a frustum are 14 cm and 6 cm respectively and its height is 6 cm. Find its curved surface area.

63. In \(\Delta ABC\), seg \(DE \parallel\) side BC. If \(2A(\Delta ADE) = A(\square DBCE)\), find \(AB : AD\) and show that \(BC = \sqrt{3}DE\).

64. \(\Delta SHR \sim \Delta SVU\). In \(\Delta SHR, SH = 4.5 \text{ cm}, HR = 5.2 \text{ cm}, SR = 5.8 \text{ cm}\) and \(\frac{SH}{SV} = \frac{3}{5}\). Construct \(\Delta SVU\).

65. An ice cream pot has a right circular cylindrical shape. The radius of the base is 12cm and the height is 7 cm. This pot is completely filled with ice cream. The entire ice cream is given to the students in the form of right circular ice cream cones, having a diameter of 4 cm and a height is 3.5 cm. If each student is given one cone, how many students can be served?

66. A circle touches side BC at point P of the \(\Delta ABC\), from outside of the triangle. Further extended lines AC and AB are tangents to the circle at N and M respectively. Prove that: \(AM = \frac{1}{2} (\text{Perimeter of } \Delta ABC)\)

67. Eliminate \(\theta\) if \(x = r\cos\theta\) and \(y = r\sin\theta\).

68. If \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\) and \(AB : PQ = 2:3\), then find the value of \(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}\).

69. Two circles of radii 5 cm and 3 cm touch each other externally. Find the distance between their centres.

70. Find the side of a square whose diagonal is \(10\sqrt{2} \text{ cm}\).

71. Angle made by the line with the positive direction of X-axis is given. Find the slope of the line. \(45^\circ\)

72. In the above figure, \(\angle ABC\) is inscribed in arc ABC. If \(\angle ABC = 60^\circ\). find \(m\angle AOC\).

73. Find the value of \(\sin^2\theta + \cos^2\theta\)

74. In the figure given above, \(\square ABCD\) is a square and a circle is inscribed in it. All sides of a square touch the circle. If \(AB = 14 \text{ cm}\), find the area of shaded region.

75. The radius of a sector of a circle is 3.5 cm and length of its arc is 2.2 cm. Find the area of the sector.

76. Find the length of the hypotenuse of a right angled triangle if remaining sides are 9 cm and 12 cm.

77. In the given figure, \(m(\text{arcNS}) = 125^\circ\), \(m(\text{arcEF}) = 37^\circ\), find the measure \(\angle NMS\).

78. Find the slope of the line passing through the points \(A(2,3)\) and \(B(4,7)\).

79. Find the surface area of a sphere of radius 7 cm.

80. In \(\Delta ABC\), ray BD bisects \(\angle ABC\), \(A-D-C\), seg \(DE \parallel\) side BC, \(A-E-B\), then for showing \(\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}\), complete the following activity:

81. Determine whether the points are collinear. \(A(1, -3), B(2, -5), C(-4,7)\)

82. \(\Delta ABC \sim \Delta LMN\). In \(\Delta ABC, AB = 5.5 \text{ cm}, BC = 6 \text{ cm}, CA = 4.5 \text{ cm}\). Construct \(\Delta ABC\) and \(\Delta LMN\) such that \(\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}\).

83. In \(\Delta PQR\), seg PM is a median, \(PM = 9\) and \(PQ^2 + PR^2 = 290\). Find the length of QR.

84. Prove that, if a line parallel to a side of a triangle intersects the other sides in two district points, then the line divides those sides in proportion.

85. \(\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3\), then find the value of \(\theta\).

86. A cylinder of radius 12 cm contains water up to the height 20 cm. A spherical iron ball is dropped into the cylinder and thus water level raised by 6.75 cm. What is the radius of iron ball?

87. Draw a circle with centre O having radius 3 cm. Draw tangent segments PA and PB through the point P outside the circle such that \(\angle APB = 70^\circ\).

88. \(\square ABCD\) is trapezium, \(AB \parallel CD\) diagonals of trapezium intersects in point P.
Write the answers of the following questions:
a. Draw the figure using the given information.
b. Write any one pair of alternate angles and opposite angles.
c. Write the names of similar triangles with the test of similarity.

89. AB is a chord of a circle with centre O. AOC is diameter of circle, AT is a tangent at A.
Write answers of the following questions:
a. Draw the figure using the given information.
b. Find the measures of \(\angle CAT\) and \(\angle ABC\) with reasons.
c. Whether \(\angle CAT\) and \(\angle ABC\) are congruent? Justify your answer.

Mastering Time: A Guide to Reading Clocks for 3rd Grade Maths

Time | 3rd Maths: Term 1 Unit 5

Reading Time

Chapter: 3rd Maths : Term 1 Unit 5 : Time

I am a clock. I have numbers from 1 to 12 marked on me. I have two hands, a short hand called the hour hand and a long hand called the minute hand. Some clocks have another hand called the seconds hand.

The hour hand takes one hour to move from one number to the next number. The minute hand moves faster than the hour hand and takes five minutes to move from one number to the next number. The seconds hand moves very faster and it takes five seconds to move from one to the next number.

Let us draw the clock in 3 steps.

Step:1 1,2,3,……59,60.

Step:2 skip count in 5’s as 5,10,15,20,…….55,60.

Step :3 Write 1,2,3,…..12 directlty below 5,10,15,….

12 hours + 12 hours = 24 hours = 1 day

Teacher’s note: Teacher can explain the hour hand, minute hand, and second hand by using clocks.

Practice

1. Read the Time and write in two ways. One is done for you.

2. Draw hands on the clock’s face to show the time given below.

3. Write the time taken to do the following activities (hours, minutes, seconds or days).

Try this

In one minute how many times can you.

1. Snap your finger 60

2. Skip a rope 70

3. Jump up and down 50

4. To blink your eyes 120

Let us know

60 seconds = 1 minutes

60 minutes = 1 hour

Activity 1

Tick the clock which shows the correct time as per the instruction.

10 ஆம் வகுப்பு அரசு பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்ட வினாக்கள். 10th Standard Public Exam Questions: Mathematics (Tamil Medium)

10 ஆம் வகுப்பு அரசு பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்ட வினாக்கள்

10th Standard Public Exam Questions: Mathematics (Tamil Medium)

முக்கிய வினாக்கள் (2 மதிப்பெண் & 5 மதிப்பெண்)

For more study materials visit omtexclasses.com

Download this PDF

10 ஆம் வகுப்பு அரசு பொதுத் தேர்வில் கேட்கப்பட்ட வினாக்கள்

Download →

இயல் - 1: உறவுகளும் சார்புகளும்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. \( A \times B = \{(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)\} \) எனில் \( A \) மற்றும் \( B \) ஐக் காண்க. (செப். 2020, ஆகஸ்ட் 2022 & ஏப்ரல் 2024)
2. \( f: N \rightarrow N \) என்ற சார்பு \( f(m) = m^2 + m + 3 \) என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கு ஒன்று சார்பு என காட்டுக. (செப். 2020)
3. \( A = \{1,3,5\}, B = \{2,3\} \) எனில், \( n(A \times B) = n(A) \times n(B) \) எனக் காட்டுக. (செப். 2021)
4. \( A = \{1,2,3, ......45\} \) மற்றும் \( R \) என்ற உறவு "A-ன் மீது ஓர் எண்ணின் வர்க்கம்" என வரையறுக்கப்பட்டால் \( R \) ஐ \( A \times A \) உட்கணமாக எழுதுக. \( R \)-ன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க. (செப். 2021)
5. \( A = \{1,2,3\} \) மற்றும் \( B = \{x / x \) என்பது 10ஐ விடச் சிறிய பகா எண்} எனில், \( A \times B \) மற்றும் \( B \times A \) ஆகியவற்றைக் காண்க. (மே 2022)
6. படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள அம்புக்குறி படமானது \( P \) மற்றும் \( Q \) கணங்களுக்கான உறவைக் குறிக்கின்றது. இந்த உறவை (அ) கணக்கட்டமைப்பு முறை (ஆ) பட்டியல் முறையில் எழுதுக. (மே 2022)



7. \( A = \{5,6\}, B = \{4,5,6\}, C = \{5,6,7\} \) எனில் \( A \times A = (B \times B) \cap (C \times C) \) எனக் காட்டுக. (ஆகஸ்ட் 2022)
8. \( B \times A = \{(-2, 3), (-2, 4), (0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)\} \) எனில், \( A \) மற்றும் \( B \) ஆகியவற்றைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023, ஜூலை 2024)
9. \( f \circ f(k) = 5, f(k) = 2k - 1 \) எனில், \( k \)-ன் மதிப்பைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
10. \( R \) என்ற உறவு \( \{(x, y): y = x + 3, x \in \{0,1,2,3,4,5\}\} \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க. (ஜூலை 2023)
11. \( f(x) = x - 6, g(x) = x^2 \) எனில் \( f \circ g = g \circ f \) என்பது சரியா என சோதிக்க (ஜூலை 2023)
12. \( f(x) = 3x - 2, g(x) = 2x + k \) மற்றும் \( f \circ g = g \circ f \) எனில், \( k \)-ன் மதிப்பைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2024)
13. \( f(x) = 2x - x^2 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது எனில், (i) \( f(1) \) (ii) \( f(x + 1) \) ஆகியவற்றைக் காண்க. (ஜூலை 24)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. \( A \) என்பது 8 ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், \( B \) என்பது 8 ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் \( C \) என்பது இரட்டை பகா எண்களின் கணம் எனில் \( (A \cap B) \times C = (A \times B) \cap (B \times C) \) ஐச் சரிபார்க்கவும். (செப். 2020, மே 2022, ஜூலை 2024)
2. \( A = \{1,2,3,4\} \) மற்றும் \( B = \{2,5,8,11,14\} \) என்பன இரு கணங்கள் என்க. \( f: A \rightarrow B \) என்ற சார்பானது \( f(x) = 3x - 1 \) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இச்சார்பினை (அ) அம்புக்குறி படம் (ஆ) அட்டவணை (இ) வரிசை ஜோடிகளின் கணம் (ஈ) வரை படம் ஆகியவற்றால் குறிக்க. (செப். 2020)
3. \( A = \{x \in W : x < 2\}, B = \{x \in N : 1 < x \le 4\} \) மற்றும் \( C = \{3, 5\} \), எனில் \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) என்பனவற்றைச் சரிபார்க்க. (செப். 2021)
4. கொடுக்கப்பட்ட உறவுகள் ஒவ்வொன்றையும் (i) அம்புக்குறிபடம் (ii) வரைபடம் (iii) பட்டியல் முறையில் குறிக்க. \( \{(x, y) / y = x + 3, x, y \text{ ஆகியவை இயல் எண்கள் } < 10\} \) (ஆகஸ்ட் 2022)
5. \( f: A \rightarrow B \) என்ற சார்பானது \( f(x) = \frac{x}{2} - 1 \) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு \( A = \{2,4,6,10,12\}, B = \{0,1,2,4,5,9\} \) ஆக இருக்கும் போது சார்பு \( f \)-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்கவும். (அ) வரிசை ஜோடிகளின் கணம் (ஆ) அட்டவணை (இ) அம்புக்குறி படம் (ஈ) வரை படம் (ஏப்ரல் 2023)
6. \( A = \{x \in W : x < 3\}, B = \{x \in N : 1 < x \le 5\} \) மற்றும் \( C = \{3, 5, 7\} \), எனில் \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) என்பனவற்றைச் சரிபார்க்க (ஏப்ரல் 2023)
7. \( A = \{x \in W : x < 2\}, B = \{x \in N : 1 < x \le 4\} \) மற்றும் \( C = \{3, 5\} \), எனில் \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) என்பனவற்றைச் சரிபார்க்க. (ஜூலை 2023)
8. \( A = \{x \in N / 1 < x < 4\}, B = \{x \in W / 0 \le x < 2\} \) மற்றும் \( C = \{x \in N / x < 3\} \), எனில் \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) என்பனவற்றைச் சரிபார்க்க (ஏப்ரல் 2024)
9. \( A = \{0,1,2,3\} \) மற்றும் \( B = \{1,3,5,7,9\} \) என்பன இரு கணங்கள் என்க. \( f: A \rightarrow B \) என்ற சார்பானது \( f(x) = 2x + 1 \) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு (அ) அம்புக்குறி படம் (ஆ) அட்டவணை (இ) வரிசை ஜோடிகளின் கணம் (ஈ) வரை படம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க. (ஏப்ரல் 2024)
10. \( f: [-5, 9] \rightarrow R \) என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது
    \( f(x) = \begin{cases} 6x + 1 & ; -5 \le x < 2 \\ 5x^2 - 1 & ; 2 \le x < 6 \\ 3x - 4 & ; 6 \le x \le 9 \end{cases} \)
    எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க. (i) \( f(-3) + f(2) \), (ii) \( f(7) - f(1) \), (iii) \( 2f(4) + f(8) \), (iv) \( \frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)} \) (ஜூலை 2024)

இயல் - 2: எண்களும் தொடர்வரிசைகளும்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. \( m \) மற்றும் \( n \) இயல் எண்கள் எனில் எந்த \( m \)-ன் மதிப்புகளுக்கு \( 2^n \times 5^m \) என்ற எண் 5 என்ற இலக்கத்தைக் கொண்டு முடியும்? (செப். 2020)
2. ஒரு தொடர் வரிசையின் பொது உறுப்பு \( a_n = \begin{cases} n^2; & n \text{ ஒரு ஒற்றை எண்} \\ \frac{n^2}{2}; & n \text{ ஒரு இரட்டை எண்} \end{cases} \) எனில், 3-வது மற்றும் 4-வது உறுப்புகளைக் காண்க. (செப். 2020)
3. \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2 \)-ன் மதிப்பு காண்க. இதிலிருந்து \( 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 20^2 \)-ன் மதிப்பு காண்க. (செப்.2020)
4. 3, 6, 9, 12, ..., 111 என்ற கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க? (செப். 21)
5. \( 3 + k, 18 - k, 5k + 1 \) என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில், \( k \)-யின் மதிப்பு காண்க (செப். 21)
6. \( 13824 = 2^a \times 3^b \) எனில், \( a \) மற்றும் \( b \)-யின் மதிப்புக் காண்க. (மே 2022)
7. 16, 11, 6, 1, ......... என்ற கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் -54 எத்தனையாவது உறுப்பு? (மே 2022, ஜூலை 2024)
8. முதல் 10 இயல் எண்களால் மீதியின்றி வகுபடக் கூடிய சிறிய எண் எது? (ஆகஸ்ட் 2022, ஜூலை 2023)
9. \( -11, -15, -19, \dots \) என்ற கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் 19-வது உறுப்பைக் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
10. \( x + 6, x + 12 \) மற்றும் \( x + 15 \) என்பன ஒரு பெருக்குத்தொடர்வரிசையின் தொடர்ச்சியான மூன்று உறுப்புகள் எனில், \( x \)-யின் மதிப்பைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
11. \( p^2 \times q^1 \times r^4 \times s^3 = 3,15,000 \) என்றவாறு அமையும் எனில் \( p, q, r \) மற்றும் \( s \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளை காண்க. (ஏப்ரல் 23)
12. 9, 3, 1, ... என்ற பெருக்குத்தொடர்வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க. (ஜூலை 2023, ஜூலை 2024)
13. \( a^b \times b^a = 800 \) என்றவாறு அமையும் இரு மிகைமுழுக்கள் \( a \) மற்றும் \( b \) ஐ காண்க. (ஏப்ரல் 2024)
14. 23 மற்றும் 12 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ, காண்க. (ஏப்ரல் 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. 100 க்கும் 1000 க்கும் இடையே 11-ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க. (செப். 2020)
2. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க. (செப். 2021)
3. 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க (செப். 2021)
4. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் \( l, m \) மற்றும் \( n \) ஆவது உறுப்புகள் முறையே \( x, y \) மற்றும் \( z \) எனில் என நிறுவுக. (i) \( x(m - n) + y(n - l) + z(l - m) = 0 \) (ii) \( (x - y)n + (y - z)l + (z - x)m = 0 \) (மே 2022)
5. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் 6-வது மற்றும் 8-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 7 : 9 எனில், 9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் காண்க. (மே 2022)
6. 1230 மற்றும் 1926 ஆகிய எண்களை வகுக்கும் போது மீதி 12-ஐத் தரக்கூடிய மிகப்பெரிய எண்ணைக் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
7. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் ஒன்பதாவது உறுப்பின் ஒன்பது மடங்கும், பதினைந்தாவது உறுப்பின் பதினைந்து மடங்கும் சமம் எனில், இருபத்து நான்காவது உறுப்பின் ஆறு மடங்கு பூச்சியம் என நிறுவுக, (ஆகஸ்ட் 2022)
8. ஒரு தெருவிலுள்ள வீடுகளுக்கு 1 முதல் 49 வரை தொடர்ச்சியாக கதவிலக்கம் வழங்கப்பட்டுள்ளது. செந்திலின் வீட்டிற்கு முன்னதாக உள்ள வீடுகளின் கதவிலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது செந்திலின் வீட்டிற்கு பின்னதாக உள்ள வீடுகளின் கதவிலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம் எனில், செந்திலின் வீட்டுக் கதவிலக்கத்தைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
9. \( 5 + 55 + 555 + \dots \) என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் \( n \) உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
10. \( 3 + 33 + 333 + \dots \) என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் \( n \) உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க. (ஜூலை 23, ஜூலை 24)
11. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ., 11 செ.மீ., 12 செ.மீ., ...... 24 செ.மீ., என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ண காகிதங்கள் உள்ளன. அந்த வண்ண காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்? (ஜூலை 2023, ஜூலை 2024)
12. கூடுதல் காண்க : \( 9^3 + 10^3 + \dots + 21^3 \) (ஏப்ரல் 2024)
13. \( 7 + 77 + 777 + \dots \) என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் \( n \) உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க. (ஏப்ரல் 2024)

இயல் - 3: இயற்கணிதம்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. \( 9x^2 + 3kx + 4 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம் எனில், \( k \)-ன் மதிப்பு காண்க. (செப். 2020)
2. \( A = \begin{pmatrix} \sqrt{7} & -3 \\ -\sqrt{5} & 2 \\ \sqrt{3} & -5 \end{pmatrix} \) எனில் \( -A \)-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணியைக் காண்க (செப். 2020)
3. மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் -9 மற்றும் 20 எனில், இருபடிச் சமன்பாடுகளைக் காண்க. (செப். 2021)
4. \( 15x^2 + 11x + 2 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க. (செப். 2021, ஜூலை 2023, ஜூலை 2024)
5. \( \frac{7p+2}{8p^2+13p+5} \) என்ற கோவையின் விலக்கப்பட்ட மதிப்பு காண்க? (மே 2022)
6. \( P = \frac{x}{x+y}, Q = \frac{y}{x+y} \) எனில், \( \frac{1}{P^2 - Q^2} \) காண்க. (மே 2022)
7. \( \frac{400x^4y^{12}z^{16}}{100x^8y^4z^4} \)-ன் வர்க்கமூலம் காண்க (ஆகஸ்ட் 2022)
8. \( x \)-ன் மதிப்பைக் காண்க. \( x^2 - 4x - 12 \) (ஆகஸ்ட் 2022)
9. சுருக்குக. \( \frac{x+2}{4y} \div \frac{x^2 - x - 6}{12y^2} \) (ஏப்ரல் 2023)
10. பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க. \( 2x^2 - x - 1 = 0 \) (ஏப்ரல் 2023)
11. \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) எனில், \( (A^T)^T = A \) என்பதைச் சரிபார்க்க. (ஜூலை 2023)
12. சுருக்குக. \( \frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} \) (ஏப்ரல் 2024)
13. பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் காண்க. \( x^2 + 8x - 65 = 0 \) (ஏப்ரல் 24)
14. \( 9a^3b^2, 12a^2b^2c \) ஆகியவற்றின் மீ.சி.ம. காண்க. (ஜூலை 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. தீர்க்க. \( 6x + 2y - 5z = 13, \quad 3x + 3y - 2z = 13, \quad 7x + 5y - 3z = 26 \) (செப். 2020)
2. பின்வரும் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ. காண்க. \( x^4 + 3x^3 - x - 3, \quad x^3 + x^2 - 5x + 3 \) (செப். 2020)
3. \( \frac{x^2}{y^2} - \frac{10x}{y} + 27 - \frac{10y}{x} + \frac{y^2}{x^2} \) என்ற கோவையின் வர்க்கமூலம் காண்க. (செப். 2020)
4. \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) எனில், \( (AB)^T = B^T A^T \) என்பதைச் சரிபார்க்க. (செப். 2020)
5. தீர்க்க. \( x + y + z = 5, \quad 2x - y + z = 9, \quad x - 2y + 3z = 16 \) (செப். 2021)
6. \( 64x^4 - 16x^3 + 17x^2 - 2x + 1 \) என்பதன் வர்க்க மூலம் காண்க. (செப். 2021, ஏப்ரல் 2024)
7. சமன்பாடு \( (1 + m^2)x^2 + 2mcx + c^2 - a^2 = 0 \)-ன் மூலங்கள் சமம் எனில் \( c^2 = a^2(1 + m^2) \) என நிறுவுக. (செப். 21)
8. \( 36x^4 - 60x^3 + 61x^2 - mx + n \) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில், \( m, n \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க. (மே 22)
9. தீர்க்க. \( pqx^2 - (p + q)^2x + (p + q)^2 = 0 \) (மே 2022)
10. \( \alpha, \beta \) என்பன \( 7x^2 + ax + 2 = 0 \)- மூலங்கள் மற்றும் \( \beta - \alpha = \frac{-13}{7} \) எனில் 'a' - யின் மதிப்புக் காண்க. (மே 2022)
11. சுருக்குக. \( \frac{b^2 + 3b - 28}{b^2 + 4b + 4} \div \frac{b^2 - 49}{b^2 - 5b - 14} \) (ஆகஸ்ட் 2022)
12. \( x^4 - 12x^3 + 42x^2 - 36x + 9 \) என்பதன் வர்க்க மூலம் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
13. சூத்திர முறையில் \( x^2 + 2x - 2 = 0 \)-ஐத் தீர்க்கவும் (ஆகஸ்ட் 2022)
14. கீழ்க்காணும் மூன்று மாறிகளில் அமைந்த ஒருங்கமை நேரியல் சமன்பாட்டுத் தொகுப்புகளைத் தீர்க்க. \( x + 20 = \frac{3y}{2} + 10 = 2z + 5 = 110 - (y + z) \) (ஏப்ரல் 2023)
15. \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 9 \\ 1 & 2 & 8 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 1 & 2 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} \) எனில், \( (AB)^T = B^T A^T \) என்பதைச் சரிபார்க்க. (ஏப்ரல் 2023, ஜூலை 2024)
16. \( x + y + z = 5, \quad 2x - y + z = 9, \quad x - 2y + 3z = 16 \) என்ற மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பினைத் தீர்க்க. (ஜூலை 2023)
17. \( 121x^4 - 198x^3 - 183x^2 + 216x + 144 \) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்க மூலத்தை வகுத்தல் முறையில் காண்க. (ஜூலை 2023)
18. \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \) எனில், \( A^2 - 5A + 7I_2 = 0 \) என நிறுவுக. (ஜூலை 2023, ஏப்ரல் 2024)
19. \( 9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b \) ஆனது முழு வர்க்கம் எனில் \( 'a', 'b' \) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க. (ஜூலை 2024)

செய்முறை வடிவியல் & வரைபடம்

1. \( x^2 - 8x + 16 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வின் தன்மையைக் கூறுக. (செப். 2020)
2. \( y = 2x^2 - 3x - 5 \)-யின் வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டினைத் தீர்க்கவும். ( செப். 2020, ஏப்ரல் 2024)
3. \( x^2 + x - 12 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வின் தன்மையைக் கூறுக. (செப். 2021)
4. \( y = x^2 + 3x - 4 \)-யின் வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டினைத் தீர்க்கவும். ( செப். 2021)
5. \( y = x^2 - 4x + 3 \) - என்ற சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து அதன் மூலம் \( x^2 - 6x + 9 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டினைத் தீர்க்கவும். (மே 2022, ஆகஸ்ட் 2022)
6. \( x^2 - 4x + 4 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வின் தன்மையைக் கூறுக. (மே 2022)
7. \( x^2 - 9x + 20 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வின் தன்மையைக் கூறுக. (ஆகஸ்ட் 2022)
8. வர்ஷிகா வெவ்வேறு அளவுகளில் 6 வட்டங்களை வரைந்தாள். அட்டவணையில் உள்ளவாறு ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டத்திற்கும் அதன் சுற்றளவிற்கும் உள்ள தோராயத் தொடர்புக்கு ஒரு வரைபடம் வரையவும். அதனை பயன்படுத்தி விட்டமானது 6 செ.மீ. ஆக இருக்கும் போது வட்டத்தின் சுற்றளவைக் காண்க. (ஏப்ரல் 23)
9. \( y = x^2 - 5x - 6 \)-யின் வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி \( x^2 - 5x - 14 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டினைத் தீர்க்கவும். (ஏப்ரல் 2023)
10. \( y = \frac{1}{2}x \) என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் சார்பின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு, அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும் (i) \( x = 9 \) எனில் \( y \) ஐக் காண்க. (ii) \( y = 7.5 \) எனில் \( x \) ஐக் காண்க. (ஜூலை 23)
11. \( y = x^2 - 4 \) - என்ற வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி \( x^2 - x - 12 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டினைத் தீர்க்கவும். (ஜூலை 2023)
12. \( xy = 24, x, y > 0 \) என்ற வரைபடத்தை வரைக. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி (i) \( x = 3 \) எனில் \( y \) ஐக் காண்க. (ii) \( y = 6 \) எனில் \( x \) ஐக் காண்க. (ஏப்ரல் 2024)
13. ஒரு தொட்டியை நிரப்பத் தேவையான குழாய்களின் எண்ணிக்கையும், அவை எடுத்துக்கொள்ளும் நேரமும் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (ஜூலை 2024)
14. \( y = x^2 + x - 2 \)-ன் வரைபடம் வரைந்து அதன் மூலம் \( x^2 + x - 2 = 0 \) என்ற சமன்பாட்டினைத் தீர்க்கவும். (ஜூலை 24)

இயல் - 4: வடிவியல்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. பின்வருவனவற்றில் \( \Delta ABC \)-யில் \( AD \) ஆனது \( \angle A \)-யின் இருசம வெட்டி ஆகுமா என சோதிக்கவும். \( AB = 5 \) செ.மீ. \( AC = 10 \) செ.மீ. \( BD = 1.5 \) செ.மீ. மற்றும் \( CD = 3.5 \) செ.மீ. (செப். 2020)
2. \( \Delta ABC \) யின் பக்கங்கள் \( AB \) மற்றும் \( AC \) யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே \( D \) மற்றும் \( E \) ஆனது \( DE || BC \) என்றவாறு அமைந்துள்ளது. \( \frac{AD}{DB} = \frac{3}{4} \) மற்றும் \( AC = 15 \) செ.மீ எனில், \( AE \) யின் மதிப்பு காண்க. (செப். 2021)
3. படத்தில் \( \angle A \)-யின் இருசம வெட்டி \( AD \) ஆகும். \( BD = 4 \) செ.மீ. \( DC = 3 \) செ.மீ. மற்றும் \( AB = 6 \) செ.மீ. எனில், \( AC \) யைக் காண்க. (மே 2022)
4. \( ABCD \) என்ற சரிவகத்தில் \( AB || DC \) மற்றும் \( P, Q \) என்பன முறையே பக்கங்கள் \( AD \) மற்றும் \( BC \)-யின் மீது அமைந்துள்ள புள்ளிகள் ஆகும், மேலும் \( PQ || DC \), \( PD = 18 \) செ.மீ. \( BQ = 35 \) செ.மீ. மற்றும் \( QC = 15 \) செ.மீ. எனில், \( AD \) யைக் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
5. படத்தில் \( AD \) என்பது \( \angle BAC \)-யின் இருசம வெட்டி ஆகும். \( AB = 10 \) செ.மீ. \( AC = 14 \) செ.மீ. மற்றும் \( BC = 6 \) செ.மீ. எனில், \( BD \) மற்றும் \( DC \) யைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
6. \( \Delta ABC \)-யில் \( AB = 4 \) செ.மீ. \( AC = 6 \) செ.மீ. \( BD = 1.6 \) செ.மீ. மற்றும் \( CD = 2.4 \) செ.மீ. எனில், \( \Delta ABC \)-யில் \( AD \) ஆனது \( \angle A \)-யின் இருசம வெட்டி ஆகுமா என சோதிக்கவும். (ஜூலை 2023)
7. ஒரு மனிதன் 18 மீ கிழக்கே சென்று பின்னர் 24 மீ வடக்கே செல்கிறான். தொடக்க நிலையிலிருந்து அவர் இருக்கும் தொலைவைக்காண்க. (ஏப்ரல் 2024)
8. படத்தில் \( QA \) மற்றும் \( PB \) ஆனது \( AB \) க்கு செங்குத்தாகும். \( AO = 10 \) செ.மீ. \( BO = 6 \) செ.மீ. மற்றும் \( PB = 9 \) செ.மீ. எனில், \( AQ \) வைக் காண்க. (ஜூலை 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. கோண இரு சம வெட்டி தேற்றத்தினை எழுதி நிறுவுக. (செப். 2020, ஆகஸ்ட் 2022, ஏப்ரல் 2023)
2. பிதாகரஸ் தேற்றத்தினை எழுதி நிறுவுக. (செப். 2021, ஜூலை 2023, ஜூலை 2024)
3. முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகள் ஒரு புள்ளி வழிச் செல்லும் எனக் காட்டுக. (செப். 2021)
4. தேல்ஸ் தேற்றத்தினை எழுதி நிறுவுக. (மே 2022, ஏப்ரல் 2024)
5. ஒரு விமானம் விமான நிலையத்தை விட்டு மேலெழுந்து வடக்கு நோக்கி 1000 கி.மீ./மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. அதே நேரத்தில் மற்றொரு விமானம் அதே விமான நிலையத்தை விட்டு மேலெழுந்து மேற்கு நோக்கி 1200 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. 1 1/2 மணி நேரத்திற்கு பிறகு இரு விமானங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு எவ்வளவு இருக்கும் (மே 2022)
6. ஒரு மனிதன் 18 மீ கிழக்கே சென்று பின்னர் 24 மீ வடக்கே செல்கிறான். தொடக்க நிலையிலிருந்து அவர் இருக்கும் தொலைவைக்காண்க. (மே 2022)
7. "P" மீட்டர் இடைவெளியில் "a" மீட்டர் மற்றும் "b" மீட்டர் உயரமுள்ள இரண்டு தூண்கள் உள்ளன. தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரேயுள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது \( \frac{ab}{a+b} \) மீட்டர் என்பதை நிரூபிக்கவும். (ஏப்ரல் 2023)
8. கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் \( PQR \)-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{6}{5} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{6}{5} \)) (செப். 2020)
9. 5 செ.மீ. ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 10 செ.மீ. தொலைவிலுள்ள புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு தொடுகோடுகள் வரையவும். மேலும் தொடுகோடுகளின் நீளங்களைக் கணக்கிடுக. ( செப். 2020, ஜூலை 2024)
10. \( PQ = 4.5 \) செ.மீ., \( \angle R = 35^{\circ} \) மற்றும் உச்சி \( R \)-லிருந்து வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் \( RG = 6 \) செ.மீ., உடைய \( \Delta PQR \) வரைக. (செப். 2021, ஏப்ரல் 2024)
11. 6 செ.மீ. விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ. தொலைவில் \( P \) என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து \( PA \) மற்றும் \( PB \) என்ற இரு தொடுகோடுகள் வரைந்து அவற்றின் நீளங்களை அளவிடுக. (செப். 2021, ஆகஸ்ட் 2022, ஏப்ரல் 2024)
12. \( AB = 5.5 \) செ.மீ., \( \angle C = 25^{\circ} \) மற்றும் உச்சி \( C \)-லிருந்து \( AB \) வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ., உடைய \( \Delta ABC \) வரைக. (மே 2022)
13. 6 செ.மீ. விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ. தொலைவிலுள்ள புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு தொடுகோடுகள் வரைந்து தொடுகோட்டின் நீளங்களை கணக்கிடுக. (மே 22)
14. கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் \( PQR \)-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{7}{3} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{7}{3} > 1 \)) (ஆகஸ்ட் 2022)
15. 4 செ.மீ. ஆரமுள்ள வட்டம் வரைந்து, அதன் மையத்திலிருந்து 11 செ.மீ. தொலைவிலுள்ள புள்ளியைக் குறித்து, அப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் வரைக. (ஏப்ரல் 2023)
16. அடிப்பக்கம் \( BC = 8 \) செ.மீ., \( \angle A = 60^{\circ} \) மற்றும் \( \angle A \)-ன் இரு சமவெட்டியானது \( BC \)-ஐ \( D \) என்ற புள்ளியில் \( BD = 6 \) செ.மீ., என்றவாறு சந்திக்கிறது எனில், முக்கோணம் \( ABC \) வரைக. (ஏப்ரல் 2023)
17. கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் \( PQR \)-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{3}{5} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{3}{5} < 1 \)) (ஜூலை 2023)
18. \( QR = 5 \) செ.மீ., \( \angle P = 40^{\circ} \) மற்றும் உச்சி \( P \)-லிருந்து \( QR \) வரையப்பட்ட நடுக்கோடு \( PG \)-ன் நீளம் 4.4 செ.மீ., என இருக்கும்படி முக்கோணம் \( PQR \) வரைக. மேலும் \( P \)-லிருந்து \( QR \)-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க. (ஜூலை 2024)

இயல் - 5: ஆயத்தொலை வடிவியல்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. (14, 10) மற்றும் (14, -6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க. ( செப். 2020)
2. (-3, -4), (7,2) மற்றும் (12,5) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக் காட்டுக. (செப். 2021)
3. \( 8x - 7y + 6 = 0 \) என்ற கோட்டின் சாய்வு மற்றும் \( y \) வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க. (செப். 2021)
4. \( 3x - 2y - 6 = 0 \) என்ற நேர்க்கோடு ஆய அச்சுகளின் மேல் ஏற்படுத்தும் வெட்டுத்துண்டுகளைக் காண்க. (செப். 21)
5. \( P(-1.5, 3), Q(6, -2) \) மற்றும் \( R(-3, 4) \) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக் காட்டுக. (மே 2022)
6. (3, -2), (12,4) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடு 'p' மற்றும் (6, -2) மற்றும் (12,2) என்ற புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோடு 'q' ஆகும். 'p' ஆனது 'q' -க்கு இணையாகுமா? (மே 2022, ஆகஸ்ட் 2022, ஜூலை 2024)
7. (-1, 2) என்ற புள்ளி வழி செல்வதும், சாய்வு \( \frac{-5}{4} \) உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (மே 22, ஏப்ரல் 24)
8. \( A(-1, 2), B(k, -2) \) மற்றும் \( A(7, 4) \) ஆகியவற்றை வரிசையான முனைப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பு 22 சதுர அலகுகள் எனில், \( k \)-யின் மதிப்பு காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
9. \( (5, \sqrt{5}) \) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி ஆகியவற்றை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022, ஜூலை 2023)
10. ஒரு பூனை xy தளத்தில் (-6, -4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5, 11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக்காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
11. \( 12y = -(p + 3)x + 12, 12x - 7y = 16 \) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில், \( p \)-யின் மதிப்பைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
12. \( 3x - 7y = 12 \) என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு இணையாகவும் (6, 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (ஜூலை 2023)
13. \( A(-3,9), B(a,b) \) மற்றும் \( C(4,-5) \) என்பன ஒரு கோடமைந்த புள்ளிகள் மற்றும் \( a + b = 1 \) எனில் \( a \) மற்றும் \( b \)-யின் மதிப்பு காண்க. (ஏப்ரல் 2024)
14. \( 6x + 8y + 7 = 0 \) என்ற கோட்டின் சாய்வைக் காண்க. (ஜூலை 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. (-4, -2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2,3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு 28 ச.அ. எனில், \( k \)-ன் மதிப்புக் காண்க. (செப். 2020)
2. \( AB \) என்ற நேர்க்கோடு ஆய அச்சுகளை \( A \) மற்றும் \( B \) புள்ளியில் வெட்டுகிறது. \( AB \)-ன் நடுப்புள்ளி (2,3) எனில், \( AB \)- சமன்பாட்டினைக் காண்க. (செப். 2020)
3. \( A(6,2), B(-5, -1) \) மற்றும் \( C(1,9) \)-ஐ முனைகளாகக் கொண்ட \( \Delta ABC \) யின் முனை \( A \) யிலிருந்து வரையப்படும் நடுக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (செப். 2021)
4. \( P(-1, -4), Q(b, c) \) மற்றும் \( R(5, -1) \) என்பன ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் புள்ளிகள் என்க. மேலும் \( 2b + c = 4 \) எனில் \( b \) மற்றும் \( c \)-யின் மதிப்பு காண்க. (செப்.2021)
5. \( A(-4, -2), B(5, -1), C(6,5) \) மற்றும் \( D(-7, 6) \) ஆகியவற்றை முனைப் புள்ளிகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனக் காட்டுக. (மே 2022)
6. \( x \)-வெட்டுத்துண்டானது \( y \)-வெட்டுத்துண்டின் அளவை விட 5 அலகுகள் அதிகமாகக் கொண்ட ஒரு நேர்கோடானது (22, -6) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கின்றது எனில், அக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (மே 2022)
7. \( (8, 6), (5, 11), (-5, 12) \) மற்றும் \( (-4, 3) \) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022, ஏப்ரல் 2023)
8. ஒரு பூனை \( xy \) தளத்தில் (6, 4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (-5, -11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக்காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
9. \( 7x - 3y = -12, 2y = x + 3 \) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழி செல்வதும் \( X \)-அச்சுக்கு இணையானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
10. (-9, -2), (-8, -4), (2, 2) மற்றும் (1, -3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க. (ஜூலை 2023, ஏப்ரல் 2024)
11. \( A(-4, 2) \) மற்றும் \( B(6, -4) \) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக்குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (ஜூலை 2023, ஏப்ரல் 2024)
12. (-9, 0), (-8, 6), (-1, -2) மற்றும் (-6, -3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாக கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க. (ஜூலை 2024)
13. \( 7x + 3y = 10, 5x - 4y = 1 \) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், \( 13x + 5y + 12 = 0 \) என்ற நேர்க்கோட்டிற்கு இணையாகவும் அமையும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (ஜூலை 2024)

இயல் - 6: முக்கோணவியல்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. நிரூபிக்கவும் : \( \sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}} = \sec \theta + \tan \theta \) (செப். 2020)
2. \( 10\sqrt{3} \) மீ. உயரமுள்ள கோபுரத்தின் அடியிலிருந்து 30 மீ. தொலைவில் தரையில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுரத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணத்தைக் காண்க. (செப். 2021, ஆகஸ்ட் 2022)
3. \( 50\sqrt{3} \) மீ. உயரமுள்ள ஒரு பாறையின் உச்சியிலிருந்து 30° இறக்கக் கோணத்தில் தரையிலுள்ள மகிழுந்து ஒன்று பார்க்கப்படுகிறது எனில், மகிழுந்திற்கும் பாறைக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க. (மே 2022)
4. \( \frac{\sec \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \theta \) என்பதை நிரூபிக்கவும். (ஏப்ரல் 2023)
5. \( \tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \sin^2 \theta \) என்பதை நிரூபிக்கவும் (ஜூலை 2023)
6. \( \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \text{cosec} \theta + \cot \theta \) என்பதை நிரூபிக்கவும். (ஏப்ரல் 2024)
7. \( \frac{1-\tan^2 \theta}{\cot^2 \theta - 1} = \tan^2 \theta \) என்ற முற்றொருமையை நிரூபிக்கவும். (ஜூலை 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. 60 மீ. உயரமுள்ள கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து செங்குத்தாக உள்ள ஒரு விளக்கு கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே 38° மற்றும் 60° எனில், விளக்குக் கம்பத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\( \tan 38^{\circ} = 0.7813, \sqrt{3} = 1.732 \)) (செப். 2020)
2. இரு கப்பல்கள் கலங்கரை விளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்து கலங்கரை விளக்கத்தின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45° ஆகும். கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200 மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க. (\( \sqrt{3} = 1.732 \)) (செப். 2021, ஜூலை 2023, ஏப்ரல் 2024)
3. தகையின் மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து 30 மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் மேலுள்ள ஒரு கோபுரத்தின் அடி மற்றும் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 45° மற்றும் 60° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\( \sqrt{3} = 1.732 \)) (மே 2022)
4. ஒருவர் அவருடைய வீட்டிற்கு வெளியில் நின்றுகொண்டு ஒரு ஜன்னலின் உச்சி மற்றும் அடி ஆகியவற்றை முறையே 60° மற்றும் 45° ஆகிய ஏற்றக்கோணங்களில் காண்கிறார். அவரின் உயரம் 180 செ.மீ. மேலும் வீட்டிலிருந்து 5 மீ தொலைவில் அவர் உள்ளார் எனில், ஜன்னலின் உயரத்தைக் காண்க. (\( \sqrt{3} = 1.732 \)) (ஆகஸ்ட் 22)
5. ஒரு கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியிலிருந்து எதிரெதிர் பக்கங்களில் உள்ள இரண்டு கப்பல்கள் 30° மற்றும் 60° இறக்கக்கோணத்தில் பார்க்கப்படுகிறது. கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் \( h \) மீ. இரு கப்பல்கள் மற்றும் கலங்கரை விளக்கத்தின் அடிப்பகுதி ஆகியவை ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைகின்றன எனில், இரண்டு கப்பல்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு \( \frac{4h}{\sqrt{3}} \) மீ என நிறுவுக. (ஏப்ரல் 2023)
6. \( \sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}} + \sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}} = 2 \sec \theta \) என்பதை நிரூபிக்கவும் (ஜூலை 2023)
7. ஒரு கோபுர உச்சியின் மீது 5 மீ உயரமுள்ள கம்பம் பொருத்தி வைக்கப்பட்டுள்ளது. தரையில் உள்ள 'A' என்ற புள்ளியிலிருந்து கம்பத்தின் உச்சியை 60° ஏற்றக்கோணத்திலும், கோபுரத்தின் உச்சியிலிருந்து 'A' என்ற புள்ளியை 45° இறக்கக் கோணத்திலும் பார்த்தால், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\( \sqrt{3} = 1.732 \)) (ஜூலை 24)

இயல் - 7: அளவியல்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. ஒரு கோளத்தின் புறப்பரப்பு 154 ச.மீ. எனில், அதன் விட்டம் காண்க (செப். 2020)
2. ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு 1386 ச. மீ. எனில், அதன் புறப்பரப்பினைக் காண்க. (செப். 2020)
3. ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையின் உயரம், உட்புற மற்றும் வெளிப்புற ஆரங்கள் முறையே 9 செ.மீ., 3 செ.மீ., மற்றும் 5 செ.மீ., ஆகும். உருளையை உருவாக்கத் தேவைப்படும் இரும்பின் கன அளவினைக் காண்க. (செப். 2020)
4. உயரம் 2 மீ. மற்றும் அடிப்பரப்பு 250 ச.மீ. கொண்ட ஓர் உருளையின் கன அளவைக் காண்க. (செப். 2021, ஏப்ரல் 2024)
5. இரு நேர்வட்டக் கூம்பின் உயரங்களின் விகிதம் 1:2 மற்றும் அவற்றின் அடிப்பக்கச் சுற்றளவின் விகிதம் 3:4 எனில், அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் காண்க. (செப். 2021)
6. ஒரு கோள வடிவ வளிக்கூண்டினுள் (balloon) காற்று உந்தப்படும் போது அதன் ஆரம் 12 செ.மீ., - லிருந்து 16 செ.மீ., ஆக உயருகிறது. இரு புறப்பரப்புகளின் விகிதம் காண்க. (மே 2022)
7. சம ஆரங்கள் கொண்ட இரு கூம்புகளின் கன அளவுகள் 3600 க.செ.மீ., மற்றும் 5040 க.செ.மீ. எனில், உயரங்களின் விகிதம் காண்க. (மே 2022, ஜூலை 2024)
8. 704 ச.செ.மீ. மொத்தப் புறப்பரப்பு கொண்ட ஒரு கூம்பின் ஆரம் 7 செ. மீ எனில், அதன் சாயுயரம் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
9. ஓர் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ. எனில் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
10. கித்தான் துணியைக் கொண்டு 7 மீ ஆரமும், 24 மீ உயரமும் உடைய ஒரு கூம்பு வடிவக் கூடாரம் உருவாக்கப்படுகிறது. செவ்வக வடிவக் கித்தானின் அகலம் 4 மீ எனில், அதன் நீளம் காண்க (ஏப்ரல் 2023)
11. இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில் அவற்றின் கன அளவுகளின் விகிதம் காண்க. (ஏப்ரல் 23)
12. 88 ச.செ.மீ. வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 14 செ.மீ. எனில், உருளையின் விட்டம் காண்க. (ஜூலை 2023)
13. ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் கன அளவு 11088 க.செ.மீ. ஆகும். கூம்பின் உயரம் 24 செ.மீ. எனில், அதன் ஆரம் காண்க. (ஜூலை 2023)
14. ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு 1386 ச. மீ. எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பினைக் காண்க. (செப். 2020)
15. ஓர் உருளை வடிவப் பீப்பாயின் உயரம் 20 செ.மீ. மற்றும் அடிப்புற ஆரம் 14 செ.மீ. எனில். அதன் வளைபரப்பு காண்க.(ஜூலை 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. விட்டம் 20 செ.மீ., உள்ள ஓர் உருளை வடிவக் கண்ணாடி குவளையில் 9 செ.மீ., உயரத்திற்கு நீர் உள்ளது. ஆரம் 5 செ.மீ., மற்றும் உயரம் 4 செ.மீ., உடைய ஓர் சிறிய உள்ளீடற்ற உலோக உருளை நீரில் முழுமையாக மூழ்கும் போது ஏற்படும் நீரின் உயர்வைக் கணக்கிடுக. (செப். 2020)
2. 45 செ.மீ. உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ. மீ., மற்றும் 7 செ.மீ., எனில், இடைக் கண்டத்தின் கன அளவைக் காண்க. (செப். 2021, ஏப்ரல் 2024)
3. ஓர் உருளையின் மீது ஓர் அரைக்கோளம் இணைந்தவாறு உள்ள ஒரு பொம்மையின் மொத்த உயரம் 25 செ.மீ., ஆகும். அதன் விட்டம் 12 செ.மீ., எனில், பொம்மையின் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் காண்க. (செப். 2021)
4. உயரம் 16 செ.மீ. உடைய ஒரு கூம்பின் இடைக்கண்ட வடிவில் அமைந்த கொள்கலன் ஒன்றின் மேற்புறம் திறந்த நிலையில் உள்ளது. கீழ்ப்புற ஆரம் 8 செ.மீ. மற்றும் மேற்புற ஆரம் 20 செ.மீ. கொண்ட கொள்கலனில் முழுமையாகப் பால் நிரப்பப்படுகிறது. ஒரு லிட்டர் பாலின் விலை ₹ 40 எனில், நிரப்பப்படும் பாலின் மொத்த விலையைக் காண்க. (மே 2022)
5. நாதன் என்ற பொறியியல் மாணவர் ஓர் உருளையின் இருபுறமும் கூம்புகள் உள்ளவாறு மாதிரி ஒன்றை உருவாக்கினார். மாதிரியின் நீளம் 12 செ.மீ., மற்றும் விட்டம் 3 செ.மீ., ஆகும். ஒவ்வொரு கூம்பின் உயரமும் 2 செ.மீ., இருக்குமானால் நாதன் உருவாக்கிய மாதிரியின் கன அளவைக் காண்க. (மே 2022)
6. ஓர் உருளை வடிவப் பீப்பாயின் உயரம் 20 செ.மீ. மற்றும் அடிப்புற ஆரம் 14 செ.மீ. எனில், அதன் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பைக் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
7. 484 செ.மீ. சுற்றளவுள்ள ஒரு மரக்கூம்பின் உயரம் 105 செ.மீ. எனில், கூம்பின் கன அளவைக் காண்க (ஆகஸ்ட் 2022)
8. ஓர் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ. எனில் உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
9. அருள் தனது குடும்ப விழாவிற்கு 150 நபர்கள் தங்குவதற்கு ஒரு கூடாரம் அமைக்கிறார். கூடாரத்தின் அடிப்பகுதி உருளை வடிவிலும் மேற்பகுதி கூம்பு வடிவிலும் உள்ளது. ஒருவர் தங்குவதற்கு 4 ச.மீ. அடிப்பகுதி பரப்பும் 40 க.மீ. காற்றும் தேவைப்படுகிறது. கூடாரத்தில் உருளையின் உயரம் 8 மீ எனில் கூம்பின் உயரம் காண்க. (ஏப்ரல் 2023)
10. 16 செ.மீ. ஆரமுள்ள ஓர் உலோகப்பந்து உருக்கப்பட்டு 2 செ.மீ. ஆரமுள்ள சிறு பந்துகளாக்கப்பட்டால், எத்தனை பந்துகள் கிடைக்கும்? (ஜூலை 2023, ஜூலை 2024)
11. 6 செ.மீ. ஆரம் மற்றும் 15 செ.மீ. உயரம் கொண்ட ஒரு நேர் வட்ட உருளை வடிவப் பாத்திரம் முழுவதுமாக பனிக்கூழ் (Ice-cream) உள்ளது. அந்தப் பனிக்கூழானது, கூம்பு மற்றும் அரைக்கோளம் இணைந்த வடிவத்தில் நிரப்பப்படுகிறது. கூம்பின் உயரம் 9 செ.மீ. மற்றும் ஆரம் 3 செ.மீ. எனில், பாத்திரத்தில் உள்ள பனிக்கூழை நிரப்ப எத்தனை கூம்புகள் தேவை? (ஏப்ரல் 2024)
12. உள்ளீடற்ற ஓர் அரைக்கோள வடிவக் கிண்ணத்திற்கு ஒரு சதுர செ.மீ. - க்கு வர்ணம் பூச ₹ 0.14 வீதம் செலவாகும். அதன் உட்புற மற்றும் வெளிப்புற விட்டங்கள் முறையே 20 செ.மீ. மற்றும் 28 செ.மீ. எனில், அதனை முழுமையாக வர்ணம் பூச எவ்வளவு செலவாகும் ? (ஜூலை 2024)

இயல் - 8: புள்ளியியலும் நிகழ்தகவும்

இரண்டு மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. கீழ்க்காணும் தரவுகளுக்கு வீச்சு மற்றும் வீச்சுக்கெழுவைக் காண்க. 63, 89, 98, 125, 79, 108, 117, 68 (செப். 2020, ஏப்ரல் 2023)
2. ஒரு பகடை உருட்டப்படும் அதே நேரத்தில் ஒரு நாணயமும் சுண்டப்படுகிறது. பகடையில் ஒற்றைப்படை எண் கிடைப்பதற்கும், நாணயத்தில் தலை கிடைப்பதற்குமான நிகழ்தகவைக் காண்க. (செப். 2021, ஜூலை 2023)
3. இரண்டு நாணயங்கள் ஒன்றாகச் சுண்டப்படுகின்றன. இரண்டு நாணயங்களிலும் வெவ்வேறு முகங்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? (மே 2022)
4. ஒரு பையில் 5 சிவப்பு நிறப் பந்துகளும், 6 வெள்ளை நிறப் பந்துகளும், 7 பச்சை நிறப் பந்துகளும், 8 கருப்பு நிறப் பந்துகளும் உள்ளன. சமவாய்ப்பு முறையில் பையிலிருந்து ஒரு பந்து எடுக்கப்படுகிறது. அந்த பந்து (i) வெள்ளை (ii) கருப்பு அல்லது சிவப்பு - ஆக இருக்க நிகழ்தகவைக் காண்க. (ஆகஸ்ட் 2022)
5. A மற்றும் B ஆகிய இரு விண்ணப்பதாரர்கள் IIT - யில் சேர்வதற்காகக் காத்திருப்பவர்கள். இவர்களில் A தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.5. A மற்றும் B இருவரும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான நிகழ்தகவு 0.3 எனில், B தேர்ந்தெடுக்கப்படுவதற்கான அதிகபட்ச நிகழ்தகவு 0.8 என நிரூபிக்கவும். (ஏப்ரல் 2023)
6. முதல் 21 இயல் எண்களின் திட்ட விலக்கத்தைக் காண்க (ஜூலை 2023, ஜூலை 2024)
7. கொடுக்கப்பட்ட தரவுப் புள்ளிகளுக்கு வீச்சு மற்றும் வீச்சுக்கெழுவைக் காண்க. 25, 67, 48, 53, 18, 39, 44 (ஏப்ரல் 2024)
8. ஒரு நெட்டா ஆண்டில் (leap year) 53 சனிக்கிழமைகள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? (ஏப்ரல் 2024)
9. ஒரு நாணயம் மூன்று முறை சுண்டப்படுகிறது. இரண்டு அடுத்தடுத்த பூக்கள் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவு என்ன? (ஜூலை 2024)

ஐந்து மதிப்பெண் வினாக்கள்

1. 7 போட்டிகளில் ஒரு கிரிக்கெட் வீரர் எடுத்த ஓட்டங்கள் முறையே 70, 80, 60, 50, 40, 90, 95. திட்டவிலக்கம் காண்க (செப். 2020)
2. இரண்டு சீரான பகடைகள் முறையாக ஒரே நேரத்தில் உருட்டப்படுகிறது. (i) இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரே முகமதிப்பு கிடைக்க, (ii) முகமதிப்புகளின் பெருக்கற்பலன் பகா எண்ணாக கிடைக்க, (iii) முகமதிப்புகளின் கூடுதல் பகா எண்ணாக கிடைக்க, (iv) முகமதிப்புகளின் கூடுதல் 1 - ஆக இருக்க, ஆகிய நிகழ்ச்சிகளின் நிகழ்தகவுகளைக் காண்க. (செப். 2020, ஆகஸ்ட் 2022, ஏப்ரல் 2023)
3. இரண்டு பகடைகள் உருட்டப்படுகின்றன. கிடைக்கப் பெறும் முக மதிப்புகளின் கூடுதல் (i) 4 - க்குச் சமமாக (ii) 10 - ஐ விட அதிகமாக (iii) 13 - ஐ விடக் குறைவாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு காண்க. (செப். 21, ஜூலை 24)
4. 50 மாணவர்கள் உள்ள ஒரு வகுப்பில், 28 பேர் NCC யிலும் 30 பேர் NSS - லும் மற்றும் 18 பேர் NCC மற்றும் NSS லும் சேர்கிறார்கள். ஒரு மாணவர் சமவாய்ப்பு முறையிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறார். அவர் (i) NCC - யில் இருந்து, ஆனால் NSS - ல் இல்லாமல், (ii) NSS - ல் இருந்து, ஆனால் NCC - யில் இல்லாமல், (iii) ஒன்றே ஒன்றில் மட்டும் சேர்ந்து இருப்பதற்கான நிகழ்தகவுகளைக் காண்க. (மே 2022)
5. 24, 26, 33, 37, 29, 31 ஆகியவற்றின் மாறுபாட்டுக் கெழுவைக் காண்க. (ஜூலை 2023, ஏப்ரல் 2024)
6. இரண்டு பகடைகள் ஒரு முறை உருட்டப்படுகின்றன. முதல் பகடையில் முக மதிப்பு இரட்டைப் படை எண் அல்லது முக மதிப்புகளின் கூடுதல் 8 ஆகக் கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காண்க (ஜூலை 2023, ஏப்ரல் 24)
7. ஓர் ஆசிரியர் மாணவர்களை, அவர்களின் செய்முறைப் பதிவேட்டின் 60 பக்கங்களை நிறைவு செய்து வருமாறு கூறினார். எட்டு மாணவர்கள் முறையே 32, 35, 37, 30, 33, 36, 35, 37 பக்கங்கள் மட்டுமே நிறைவு செய்திருந்தனர். மாணவர்கள் நிறைவு செய்த பக்கங்களின் திட்டவிலக்கத்தைக் காண்க. (ஜூலை 2024)

For all updates join our telegram channel https://t.me/omtexclasses