முதல் இடைப் பருவத் தேர்வு - 2023 | தீர்க்கப்பட்டது
விருதுநகர் மாவட்டம் | வகுப்பு 9 - கணிதம்
தீர்வு காண்க
கணம் P-ஆனது $-1 < x < 1$ என்ற நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் முழு எண் $x$-ஐக் கொண்டுள்ளது.
இந்த நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் ஒரே முழு எண் 0 ஆகும்.
எனவே, கணம் $P = \{0\}$ ஆகும்.
ஒரேயொரு உறுப்பைக் கொண்ட கணம் ஒருறுப்புக் கணம் எனப்படும்.
விடை: அ) ஒருறுப்புக் கணம்
தீர்வு காண்க
கண வேறுபாடு $B - A$ என்பது B-யில் உள்ள, ஆனால் A-யில் இல்லாத உறுப்புகளைக் கொண்டது.
$B - A = B$ எனில், A-யின் எந்த உறுப்பும் B-யில் இல்லை என்று பொருள். இதன் மூலம் A மற்றும் B கணங்கள் வெட்டா கணங்கள் என்பது தெளிவாகிறது.
வெட்டா கணங்களுக்கு, அவற்றின் வெட்டு வெற்றுக் கணம் ($\emptyset$) ஆகும்.
எனவே, $A \cap B = \emptyset$.
விடை: ஈ) $\emptyset$
தீர்வு காண்க
கொடுக்கப்பட்டவை $n(A) = 10$ மற்றும் $n(B) = 15$.
$n(A \cap B)$-ன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு: கணங்களுக்குள் பொதுவான உறுப்புகள் இல்லாதபோது (வெட்டா கணங்கள்) குறைந்தபட்ச வெட்டு ஏற்படுகிறது. இந்நிலையில், $n(A \cap B) = 0$.
$n(A \cap B)$-ன் அதிகபட்ச மதிப்பு: ஒரு கணம் மற்றொரு கணத்தின் உட்கணமாக இருக்கும்போது அதிகபட்ச வெட்டு ஏற்படுகிறது. $n(A) < n(B)$ என்பதால், $A \subset B$ ஆக இருந்தால் அதிகபட்சப் பொது உறுப்புகள் இருக்கும். இந்நிலையில், A-யின் அனைத்து உறுப்புகளும் B-யிலும் இருக்கும், எனவே $A \cap B = A$. ஆக, அதிகபட்ச மதிப்பு $n(A) = 10$.
ஆக, குறைந்தபட்சம் 0 மற்றும் அதிகபட்சம் 10.
விடை: ஈ) 0, 10
தீர்வு காண்க
இந்தக் கேள்வி கணச் செயல்பாடுகளின் பண்புகளுடன் தொடர்புடையது.
$P - (Q \cap R)$ என்பது P-யில் உள்ள, ஆனால் Q மற்றும் R-ன் வெட்டில் இல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தைக் குறிக்கிறது.
இது கண வேறுபாட்டிற்கான டி மார்கன் விதியாகும்: $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$.
இதை நமது கணங்களுக்குப் பயன்படுத்தும்போது, $P - (Q \cap R) = (P - Q) \cup (P - R)$ எனக் கிடைக்கிறது.
விடை: ஈ) $(P - Q) \cup (P - R)$
தீர்வு காண்க
ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் பகுதியானது, அதன் எளிய வடிவில், 2 மற்றும்/அல்லது 5-ஐ மட்டுமே பகா காரணிகளாகக் கொண்டிருந்தால், அந்த எண் முடிவுறு தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும்.
- அ) $\frac{5}{64}$: பகுதி $64 = 2^6$. ஒரே பகா காரணி 2. எனவே, இது முடிவுறும்.
- ஆ) $\frac{8}{9}$: பகுதி $9 = 3^2$. பகா காரணியாக 3 உள்ளது. எனவே, இது முடிவுறாது.
- இ) $\frac{14}{15}$: பகுதி $15 = 3 \times 5$. பகா காரணியாக 3 உள்ளது. எனவே, இது முடிவுறாது.
- ஈ) $\frac{1}{12}$: பகுதி $12 = 2^2 \times 3$. பகா காரணியாக 3 உள்ளது. எனவே, இது முடிவுறாது.
விடை: அ) $\frac{5}{64}$
தீர்வு காண்க
2 மற்றும் 2.5-க்கு இடையில் ஒரு விகிதமுறா எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த எல்லைகளை வர்க்கப்படுத்துவோம்: $2^2 = 4$ மற்றும் $2.5^2 = 6.25$. எனவே, வர்க்கமானது 4 மற்றும் 6.25-க்கு இடையில் உள்ள ஒரு விகிதமுறா எண்ணைக் கண்டறிய வேண்டும்.
- அ) $\sqrt{11}$: 11 என்பது 4 மற்றும் 6.25-க்கு இடையில் இல்லை. ($\sqrt{11} \approx 3.32$)
- ஆ) $\sqrt{5}$: 5 என்பது 4 மற்றும் 6.25-க்கு இடையில் உள்ளது. எனவே, $\sqrt{5}$ என்பது 2 மற்றும் 2.5-க்கு இடையில் உள்ளது. ($\sqrt{5} \approx 2.236$)
- இ) $\sqrt{2.5}$: 2.5 என்பது 4 மற்றும் 6.25-க்கு இடையில் இல்லை. ($\sqrt{2.5} \approx 1.58$)
- ஈ) $\sqrt{8}$: 8 என்பது 4 மற்றும் 6.25-க்கு இடையில் இல்லை. ($\sqrt{8} \approx 2.828$)
விடை: ஆ) $\sqrt{5}$
தீர்வு காண்க
விகிதமுறு எண்ணாக இல்லாதது விகிதமுறா எண் எனப்படும். ஒரு விகிதமுறா எண்ணை $\frac{p}{q}$ என்ற பின்ன வடிவில் எழுத முடியாது மற்றும் அது முடிவுறா, சுழல் தன்மையற்ற தசம விரிவைப் பெற்றிருக்கும்.
- அ) $\sqrt{\frac{8}{18}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$. இது ஒரு விகிதமுறு எண்.
- ஆ) $\frac{7}{3}$. இது $\frac{p}{q}$ வடிவில் உள்ளது, எனவே இது ஒரு விகிதமுறு எண்.
- இ) $\sqrt{0.01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$. இது ஒரு விகிதமுறு எண்.
- ஈ) $\sqrt{13}$. 13 ஒரு பகா எண் என்பதால், அது ஒரு முழு வர்க்கம் அல்ல. எந்தவொரு முழு வர்க்கமற்ற முழு எண்ணின் வர்க்கமூலமும் விகிதமுறா எண் ஆகும்.
விடை: ஈ) $\sqrt{13}$
தீர்வு காண்க
$\frac{1}{3}$-ஐ $x$ என்ற விகிதமுறு எண்ணால் பெருக்கி, ஒரு தசம இடத்துடன் முடிவுறும் எண்ணைப் பெற வேண்டும். ஒரு தசம இடத்துடன் முடிவுறும் எண்ணை $\frac{k}{10}$ (k ஒரு முழு எண்) வடிவில் எழுதலாம்.
ஆக, $\frac{1}{3} \times x = \frac{k}{10}$.
இதிலிருந்து, $x = \frac{3k}{10}$. கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களிலிருந்து மிகச்சிறிய நேர்மறை விகிதமுறு எண் $x$-ஐ நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
விருப்பங்களைச் சோதிப்போம்:- அ) $\frac{1}{3} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{30} = 0.0\overline{3}$. முடிவுறவில்லை.
- ஆ) $\frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$. ஒரு தசம இடத்துடன் முடிவுறுகிறது. இது சரி.
- இ) $\frac{1}{3} \times 3 = 1 = 1.0$. ஒரு தசம இடத்துடன் முடிவுறுகிறது. இதுவும் சரி.
- ஈ) $\frac{1}{3} \times 30 = 10 = 10.0$. முடிவுறுகிறது. இதுவும் சரி.
சரியான விருப்பங்களில் மிகச் சிறிய விகிதமுறு எண்ணைக் கண்டறிய வேண்டும். $\frac{3}{10}$, $3$, மற்றும் $30$-ஐ ஒப்பிடும்போது, மிகச் சிறியது $\frac{3}{10}$ ஆகும்.
விடை: ஆ) $\frac{3}{10}$
தீர்வு காண்க
ஒரு கணத்தில் $n$ உறுப்புகள் இருந்தால், அதற்கு $2^n$ உட்கணங்கள் இருக்கும்.
கொடுக்கப்பட்ட கணம் $A = \{a, b\}$, இங்கு $n=2$. எனவே $2^2 = 4$ உட்கணங்கள் உள்ளன.
உட்கணங்கள்:
- வெற்றுக் கணம்: $\emptyset$
- ஓருறுப்பு உட்கணங்கள்: $\{a\}$, $\{b\}$
- கணமே: $\{a, b\}$
A-யின் உட்கணங்கள் $\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}$.
தீர்வு காண்க
நாம் 27-ஐ விட பெரிய மற்றும் 216-ஐ விட சிறிய முழு கன எண்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
நமக்குத் தெரியும் $3^3 = 27$ மற்றும் $6^3 = 216$.
இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட முழு கன எண்கள்:
- $4^3 = 64$
- $5^3 = 125$
64 மற்றும் 125 ஆகிய இரண்டுமே $27 < x < 216$ என்ற நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன.
பட்டியல் முறையில், B = {64, 125}.
தீர்வு காண்க
கொடுக்கப்பட்டவை $A = \{-3, -2, 1, 4\}$ மற்றும் $B = \{0, 1, 2, 4\}$.
(i) A - B: இந்த கணம் A-யில் உள்ள ஆனால் B-யில் இல்லாத உறுப்புகளைக் கொண்டது.
$A - B = \{-3, -2, 1, 4\} - \{0, 1, 2, 4\}$
உறுப்புகள் 1 மற்றும் 4 பொதுவானவை. அவற்றை A-யிலிருந்து நீக்கினால் நமக்கு $\{-3, -2\}$ கிடைக்கும்.
(i) A - B = {-3, -2}
(ii) B - A: இந்த கணம் B-யில் உள்ள ஆனால் A-யில் இல்லாத உறுப்புகளைக் கொண்டது.
$B - A = \{0, 1, 2, 4\} - \{-3, -2, 1, 4\}$
உறுப்புகள் 1 மற்றும் 4 பொதுவானவை. அவற்றை B-யிலிருந்து நீக்கினால் நமக்கு $\{0, 2\}$ கிடைக்கும்.
(ii) B - A = {0, 2}
தீர்வு காண்க
கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:
$K = \{a, b, d, e, f\}$
$L = \{b, c, d, g\}$
$M = \{a, b, c, d, h\}$
(i) $K \cap (L \cup M)$ காண்க
முதலில், $L \cup M$ காண்க:
$L \cup M = \{b, c, d, g\} \cup \{a, b, c, d, h\} = \{a, b, c, d, g, h\}$
இப்போது, K-உடன் இந்த புதிய கணத்தின் வெட்டைக் காண்க:
$K \cap (L \cup M) = \{a, b, d, e, f\} \cap \{a, b, c, d, g, h\}$
(i) $K \cap (L \cup M) = \{a, b, d\}$
(ii) $K \cup (L \cap M)$ காண்க
முதலில், $L \cap M$ காண்க:
$L \cap M = \{b, c, d, g\} \cap \{a, b, c, d, h\} = \{b, c, d\}$
இப்போது, K-உடன் இந்த புதிய கணத்தின் சேர்ப்பைக் காண்க:
$K \cup (L \cap M) = \{a, b, d, e, f\} \cup \{b, c, d\}$
(ii) $K \cup (L \cap M) = \{a, b, c, d, e, f\}$
தீர்வு காண்க
$-\frac{7}{11}$ மற்றும் $\frac{2}{11}$-க்கு இடையில் மூன்று விகிதமுறு எண்களைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
பகுதிகள் சமமாக இருப்பதால், தொகுதிகளான -7 மற்றும் 2-க்கு இடையில் உள்ள ஏதேனும் மூன்று முழு எண்களை நாம் தேர்வு செய்யலாம்.
-7 மற்றும் 2-க்கு இடையில் உள்ள முழு எண்கள்: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
ஏதேனும் மூன்றை நாம் தேர்வு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக:
- $-\frac{6}{11}$
- $-\frac{5}{11}$
- $0$
மூன்று விகிதமுறு எண்கள் $-\frac{6}{11}, -\frac{5}{11}, \text{ மற்றும் } 0$ ஆகும்.
தீர்வு காண்க
$81^{5/4}$ என்ற கோவையை $(81^{1/4})^5$ என மீண்டும் எழுதலாம்.
முதலில், 81-ன் 4-ஆம் படி மூலத்தைக் காண்போம், அது $81^{1/4}$ ஆகும்.
நமக்குத் தெரியும் $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. எனவே, $\sqrt[4]{81} = 3$.
இப்போது, இந்த விடையை 5-ஆம் அடுக்கிற்கு உயர்த்துவோம்:
$(3)^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$.
$81^{5/4}$-ன் மதிப்பு 243 ஆகும்.
தீர்வு காண்க
தசம வடிவத்தைக் கண்டறிய, நாம் $4 \div 11$ என்ற வகுத்தலைச் செய்ய வேண்டும்.
0.3636...
_______
11 | 4.0000
-0
---
4 0
-3 3
----
70
-66
---
40
-33
---
7
'36' என்ற அமைப்பு மீண்டும் மீண்டும் வருகிறது. எனவே, $\frac{4}{11} = 0.3636... = 0.\overline{36}$.
ஆகவே, $-\frac{4}{11} = -0.\overline{36}$.
தசம வடிவம் $-0.\overline{36}$ ஆகும்.
தீர்வு காண்க
$x = 0.999...$ என்க, இது $0.\overline{9}$ ஆகும்.
படி 1: சமன்பாட்டை எழுதுக.
$$ x = 0.999... \quad (1) $$படி 2: தசம புள்ளியை நகர்த்த 10-ஆல் பெருക്കുക.
$$ 10x = 9.999... \quad (2) $$படி 3: சமன்பாடு (2)-லிருந்து சமன்பாடு (1)-ஐக் கழிக்கவும்.
$$ 10x - x = (9.999...) - (0.999...) $$ $$ 9x = 9 $$படி 4: x-க்கு தீர்வு காண்க.
$$ x = \frac{9}{9} $$ $$ x = 1 $$நாம் $x = 0.\overline{9}$ எனத் தொடங்கியதால், $0.\overline{9} = 1$ என நிரூபித்துள்ளோம்.
சரிபார்க்கப்பட்டது.
(ii) $n[P(A)] = 256$ எனில், $n(A)$-ஐக் காண்க.
தீர்வு காண்க
(i) B = {1, 2, 3}-ன் அடுக்குக் கணம்
அடுக்குக் கணம், $P(B)$, என்பது B-யின் அனைத்து உட்கணங்களின் கணமாகும். $n(B)=3$ என்பதால், $2^3 = 8$ உட்கணங்கள் இருக்கும்.
- 0 உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணம்: $\emptyset$
- 1 உறுப்பு கொண்ட உட்கணங்கள்: $\{1\}, \{2\}, \{3\}$
- 2 உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்கள்: $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}$
- 3 உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணம்: $\{1, 2, 3\}$
$P(B) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}$
(ii) $n[P(A)] = 256$ எனில், $n(A)$-ஐக் காண்க
A-யின் அடுக்குக் கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $n[P(A)] = 2^{n(A)}$ என்ற சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்படுகிறது.
நமக்கு $n[P(A)] = 256$ என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, $2^{n(A)} = 256$.
256-க்கு சமமான 2-ன் அடுக்கைக் கண்டறிய வேண்டும். $2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32, 2^6=64, 2^7=128, 2^8=256$.
எனவே, $2^{n(A)} = 2^8$.
அடுக்குகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம், $n(A) = 8$ எனப் பெறுகிறோம்.
$n(A) = 8$
(i) A' (ii) B' (iii) A' $\cup$ B' (iv) A' $\cap$ B' (v) (A $\cup$ B)'
தீர்வு காண்க
கொடுக்கப்பட்டவை: $U = \{a, b, c, d, e, f, g, h\}$, $A = \{b, d, f, h\}$, $B = \{a, d, e, h\}$.
(i) A' (A-யின் நிரப்பி)
A' = U - A = $\{a, b, c, d, e, f, g, h\} - \{b, d, f, h\} = \{a, c, e, g\}$.
A' = {a, c, e, g}
(ii) B' (B-யின் நிரப்பி)
B' = U - B = $\{a, b, c, d, e, f, g, h\} - \{a, d, e, h\} = \{b, c, f, g\}$.
B' = {b, c, f, g}
(iii) A' $\cup$ B'
A' $\cup$ B' = $\{a, c, e, g\} \cup \{b, c, f, g\} = \{a, b, c, e, f, g\}$.
A' $\cup$ B' = {a, b, c, e, f, g}
(iv) A' $\cap$ B'
A' $\cap$ B' = $\{a, c, e, g\} \cap \{b, c, f, g\} = \{c, g\}$.
A' $\cap$ B' = {c, g}
(v) (A $\cup$ B)'
முதலில், A $\cup$ B காண்க:
A $\cup$ B = $\{b, d, f, h\} \cup \{a, d, e, h\} = \{a, b, d, e, f, h\}$.
இப்போது, நிரப்பியைக் காண்க:
(A $\cup$ B)' = U - (A $\cup$ B) = $\{a, b, c, d, e, f, g, h\} - \{a, b, d, e, f, h\} = \{c, g\}$.
(A $\cup$ B)' = {c, g}
குறிப்பு: இது டி மார்கனின் விதியைச் சரிபார்க்கிறது, ஏனெனில் $(A \cup B)' = A' \cap B'$.
தீர்வு காண்க
முதலில், ஒவ்வொரு கணத்தின் உறுப்புகளையும் பட்டியலிடுவோம்:
- P = {x : x $\in$ W, 0 < x < 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- Q = {x : x=2n+1, n $\in$ W, n < 5}. (இங்கு n = 0, 1, 2, 3, 4)
- n=0: x = 2(0)+1 = 1
- n=1: x = 2(1)+1 = 3
- n=2: x = 2(2)+1 = 5
- n=3: x = 2(3)+1 = 7
- n=4: x = 2(4)+1 = 9
- R = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
இடது கை பக்கம் (LHS): $P - (Q \cap R)$
1. $Q \cap R$ காண்க:
$Q \cap R = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{2, 3, 5, 7, 11, 13\} = \{3, 5, 7\}$.
2. $P - (Q \cap R)$ காண்க:
$P - (Q \cap R) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{3, 5, 7\} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$.
வலது கை பக்கம் (RHS): $(P - Q) \cup (P - R)$
1. $P - Q$ காண்க:
$P - Q = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{1, 3, 5, 7, 9\} = \{2, 4, 6, 8\}$.
2. $P - R$ காண்க:
$P - R = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} - \{2, 3, 5, 7, 11, 13\} = \{1, 4, 6, 8, 9\}$.
3. $(P - Q) \cup (P - R)$ காண்க:
$(P - Q) \cup (P - R) = \{2, 4, 6, 8\} \cup \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$.
முடிவு:
LHS = {1, 2, 4, 6, 8, 9} மற்றும் RHS = {1, 2, 4, 6, 8, 9} என்பதால், சமன்பாடு சரிபார்க்கப்பட்டது.
LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.
தீர்வு காண்க
மட்டைப்பந்து (C), கால்பந்து (F), மற்றும் வளைகோல் பந்து (H) விளையாடும் மாணவர்களின் கணங்கள் முறையே C, F, H என்க.
கொடுக்கப்பட்ட தரவுகள்: $n(C) = 240$, $n(F) = 180$, $n(H) = 164$ $n(C \cap F) = 42$, $n(F \cap H) = 38$, $n(C \cap H) = 40$ $n(C \cap F \cap H) = 16$
(i) கல்லூரியில் உள்ள மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
ஒவ்வொரு மாணவரும் குறைந்தது ஒரு விளையாட்டிலாவது பங்கேற்பதால், மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை $n(C \cup F \cup H)$ ஆகும். உள்ளடக்க நீக்கல் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி:
$$ n(C \cup F \cup H) = n(C) + n(F) + n(H) - n(C \cap F) - n(F \cap H) - n(C \cap H) + n(C \cap F \cap H) $$ $$ = 240 + 180 + 164 - 42 - 38 - 40 + 16 $$ $$ = 584 - 120 + 16 $$ $$ = 464 + 16 = 480 $$(i) மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 480.
(ii) ஒரே ஒரு விளையாட்டு மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை
ஒவ்வொரு 'மட்டும்' வகையிலும் உள்ள மாணவர்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதைக் கண்டறியலாம்.
- மட்டைப்பந்து மட்டும்: $n(C \text{ மட்டும்}) = n(C) - n(C \cap F) - n(C \cap H) + n(C \cap F \cap H) = 240 - 42 - 40 + 16 = 174$.
- கால்பந்து மட்டும்: $n(F \text{ மட்டும்}) = n(F) - n(C \cap F) - n(F \cap H) + n(C \cap F \cap H) = 180 - 42 - 38 + 16 = 116$.
- வளைகோல் பந்து மட்டும்: $n(H \text{ மட்டும்}) = n(H) - n(C \cap H) - n(F \cap H) + n(C \cap F \cap H) = 164 - 40 - 38 + 16 = 102$.
ஒரே ஒரு விளையாட்டு மட்டும் விளையாடும் மொத்த மாணவர்கள் = $174 + 116 + 102 = 392$.
(ii) ஒரே ஒரு விளையாட்டு மட்டும் விளையாடும் மாணவர்களின் எண்ணிக்கை = 392.
தீர்வு காண்க
(i) $0.\overline{24}$
$x = 0.242424... \quad (1)$ என்க.
இரண்டு இலக்கங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வருவதால், 100-ஆல் பெருக்கவும்.
$100x = 24.242424... \quad (2)$
(2)-லிருந்து (1)-ஐக் கழிக்க:
$100x - x = 24.2424... - 0.2424...$
$99x = 24$
$x = \frac{24}{99}$. 3-ஆல் வகுத்துச் சுருக்கினால், $x = \frac{8}{33}$ கிடைக்கும்.
(i) $0.\overline{24} = \frac{8}{33}$
(ii) $-5.1\overline{32}$
முதலில், $5.1\overline{32}$-ஐ விகிதமுறு எண்ணாக மாற்றுவோம். $y = 5.13232...$ என்க.
மீண்டும் வராத பகுதியைத் தனிமைப்படுத்த 10-ஆல் பெருக்கவும்:
$10y = 51.3232... \quad (A)$
இரண்டு இலக்கங்கள் மீண்டும் மீண்டும் வருவதால், (A)-ஐ 100-ஆல் பெருக்கவும்:
$1000y = 5132.3232... \quad (B)$
(B)-லிருந்து (A)-ஐக் கழிக்க:
$1000y - 10y = 5132.3232... - 51.3232...$
$990y = 5081$
$y = \frac{5081}{990}$
அசல் எண் குறை எண்ணாக இருப்பதால்:
(ii) $-5.1\overline{32} = -\frac{5081}{990}$
தீர்வு காண்க
$\sqrt{9.3}$-ஐ எண் கோட்டில் குறிக்க, நாம் ஒரு வடிவியல் வரைமுறையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
வரைவதற்கான படிகள்:
- ஒரு கிடைமட்டக் கோடு வரைந்து, அதில் A என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
- AB என்ற கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 9.3 அலகுகள் இருக்குமாறு B என்ற புள்ளியைக் கோட்டில் குறிக்கவும்.
- B-யிலிருந்து, BC-யின் நீளம் 1 அலகாக இருக்குமாறு C என்ற புள்ளியைக் கோட்டில் குறிக்கவும். இப்போது, AC = 9.3 + 1 = 10.3 அலகுகள்.
- AC என்ற கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளியைக் கண்டறியவும். அதை O என அழைப்போம். நடுப்புள்ளி A-யிலிருந்து $\frac{10.3}{2} = 5.15$ தொலைவில் உள்ளது.
- O-வை மையமாகவும் OA (அல்லது OC)-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு அரைவட்டம் வரையவும்.
- B என்ற புள்ளி வழியாக AC-க்கு செங்குத்தாக ஒரு கோடு வரையவும். இந்த செங்குத்துக்கோடு அரைவட்டத்தை D என்ற புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
- BD என்ற கோட்டுத்துண்டின் நீளம் சரியாக $\sqrt{9.3}$ அலகுகள் ஆகும்.
- இதை எண் கோட்டில் குறிக்க, ஆரம்பக் கோட்டை B-யை مبدأ (0) ஆகக் கொண்ட எண் கோடாகக் கருதுக. B-யை மையமாகவும் BD-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு, எண் கோட்டை E என்ற புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு வில்லை வரையவும்.
- எண் கோட்டில் உள்ள E என்ற புள்ளி $\sqrt{9.3}$ மதிப்பைக் குறிக்கிறது.
மேற்கண்ட வரைமுறை, எண் கோட்டில் $\sqrt{9.3}$-ஐக் குறிக்கும் புள்ளியைச் சரியாக அமைக்கிறது.
தீர்வு காண்க
$\sqrt{3}$-ன் தசம விரிவு வர்க்கமூலத்திற்கான நீண்ட வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகிறது. $\sqrt{3}$ ஒரு விகிதமுறா எண், எனவே அதன் தசம விரிவு முடிவுறா மற்றும் சுழல் தன்மையற்றது.
கணக்கீடு (முதல் சில படிகள்):
1.732...
_________
1 | 3.00 00 00
| -1
|----------
27 | 2 00
| -1 89
|----------
343| 11 00
| -10 29
|----------
3462| 71 00
| -69 24
|----------
| 1 76
இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடர்கிறது.
$\sqrt{3}$-ன் தசம விரிவு தோராயமாக 1.73205... ஆகும்.
தீர்வு காண்க
இது டி மார்கனின் விதிகளில் ஒன்றாகும். இதை இடது கை பக்கம் (LHS) மற்றும் வலது கை பக்கம் (RHS) ஆகியவற்றிற்கு வெண்படங்களை வரைந்து அவை ஒரே மாதிரியானவை என்பதைக் காண்பிப்பதன் மூலம் சரிபார்ப்போம்.
LHS: $(A \cap B)'$
படி 2: $(A \cap B)'$-ஐ நிழலிடுக. இது படி 1-ல் நிழலிடப்பட்ட பகுதியைத் தவிர மற்ற அனைத்தும்.
RHS: $A' \cup B'$
A' (வெளிர் நீலத்தில் நிழலிடப்பட்டது):
B' (வெளிர் இளஞ்சிவப்பில் நிழலிடப்பட்டது):
படி 4: $A' \cup B'$-ஐ நிழலிடுக. இது படி 3-லிருந்து அனைத்து நிழலிடப்பட்ட பகுதிகளின் சேர்ப்பு (ஒன்றிணைப்பு) ஆகும்.
முடிவு:
படி 2-ல் $(A \cap B)'$-க்கான இறுதி நிழலிடப்பட்ட பகுதி, படி 4-ல் $A' \cup B'$-க்கான இறுதி நிழலிடப்பட்ட பகுதிக்கு ஒத்ததாக உள்ளது. இரண்டு படங்களும் A மற்றும் B-யின் வெட்டுக்கு வெளியே உள்ள முழுப் பகுதியும் நிழலிடப்பட்டிருப்பதைக் காட்டுகின்றன.
இவ்வாறு, $(A \cap B)' = A' \cup B'$ என்ற விதி வெண்படங்கள் மூலம் சரிபார்க்கப்பட்டது.