TN 12th Supplementary Exam June 2025 - Question Papers & Answer Keys Download

12th / Plus Two - Public Question Paper 2025 June - Supplementary Exam

Tamilnadu Government conducts Public Examinations every year at the March month. Now the Public Examinations are conducted on the content of Samacheer Kalvi Text Books throughout Tamilnadu. These Exams will be conducted commonly, which means all the state board schools should follow the same question papers, especially for the 12th Standard.

At the end of every exam, our teachers' team prepares the Answer Keys within one hour and publishes them for the help of students as well as teachers. These Answer Keys are prepared by well-versed subject teachers so that the students and teachers can analyze the best solutions for their evaluation.

The quick and accurate answer keys guide the students to know the exact answers and help them prepare well for the next day's exams.

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12th Supplementary Exam June 2025 | Time Table | தேர்வு கால அட்டவணை

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12th Supplementary Exam June 2025 | Study Tips | தேர்வுக்கு திட்டமிட்டு படிப்பது எப்படி?

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12th Tamil | தமிழ்

• 12th Tamil - Supplementary Exam June 2025 - Original Question Paper | Mr. B. Balaji - PDF Download Here | Answer Key Here

Maharashtra Board Class 12 Question Paper 2026 PDF – Download Previous Year Papers with Solutions

Maharashtra Board Class 12 Question Paper 2026 is available here for download along with solution PDFs. Students appearing for the HSC Board Exams 2026 can download subject-wise Maharashtra Board 12th question papers with detailed solutions to understand the latest exam pattern and marking scheme. The Maharashtra HSC Class 12 examinations are conducted for a total of 100 marks, and students must secure a minimum of 35% marks to pass the exam.

In this article, Omtex Classes has updated Maharashtra Board 2026 today’s question papers, official answer keys, Maharashtra Board 2026 memory-based questions and subject-wise analysis to help you calculate your expected score and determine the difficulty level of your branch.

Maharashtra Board 2026 Question Paper PDF – Subject-Wise Download

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Maharashtra Board Class 12 Exam Pattern 2026

Exam Component	Details
Board Name	Maharashtra State Board of Secondary and Higher Secondary Education (MSBSHSE)
Examination	Maharashtra HSC Class 12 Board Exam 2026
Mode of Exam	Offline (Pen and Paper Mode)
Duration	3 Hours
Total Marks	100 Marks
Passing Marks	35%
Question Types	Objective, Short Answer, Long Answer
Medium of Paper	English, Marathi, Hindi
Negative Marking	No

Maharashtra Board Class 12 Question Paper 2026 Preparation Tips

• Understand the Syllabus & Exam Pattern: Before starting your preparation, thoroughly review the syllabus and the weightage of each chapter as per the 2026 exam pattern.
• Solve Previous Years' Papers: Practicing with question papers from 2024 and 2025 helps in understanding the difficulty level and the types of questions frequently asked.
• Focus on Textbooks: Stick to the Maharashtra State Board textbooks as the majority of the questions are directly sourced from them.
• Time Management: Simulate exam conditions by solving sample papers within the 3-hour limit to improve your writing speed and accuracy.
• Revise Regularly: Create short notes for important formulas, grammar rules, and definitions to facilitate quick revision before the exam.

10th Geometry Board Question Paper March 2024 with Solutions (Hindi Medium) - Maharashtra Board

प्रश्न १. (A) नीचे दिए प्रत्येक उप-प्रश्न के उत्तर के लिए चार विकल्प दिये हैं। सही विकल्प चुनकर उसका वर्णाक्षर लिखिए : (४ अंक)

(१) नीचे दिए गए दिनांकों में से पायथागोरस का त्रिक कौनसा है ?

• (A) 15/8/17
• (B) 16/8/16
• (C) 3/5/17
• (D) 4/9/15

हल:

उत्तर: (A)

कारण: पायथागोरस के त्रिक $(a, b, c)$ में जहाँ $c$ सबसे बड़ी संख्या है, $a^2 + b^2 = c^2$ होना चाहिए।
यहाँ 15, 8, 17 के लिए:
$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$ LHS = RHS, इसलिए यह पायथागोरस का त्रिक है।

(२) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta =$ ?

• (A) 1
• (B) 0
• (C) $\frac{1}{2}$
• (D) $\sqrt{2}$

हल:

उत्तर: (A)

कारण: हम जानते हैं कि $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$।
इसलिए, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$.

(३) X-अक्ष का ढाल = ?

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) अपरिभाषित

हल:

उत्तर: (C)

कारण: X-अक्ष एक क्षैतिज रेखा है। किसी भी क्षैतिज रेखा का ढाल 0 होता है।

(४) ३ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की सबसे बड़ी जीवा की लंबाई = ?

• (A) 1.5 सेमी
• (B) 3 सेमी
• (C) 6 सेमी
• (D) 9 सेमी

हल:

उत्तर: (C)

कारण: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होता है।
व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}$।

प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्न हल कीजिए : (४ अंक)

(१) यदि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ और $AB : PQ = 2 : 3$ हो, तो $\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार:

$$\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

(२) ५ सेमी तथा ३ सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त परस्पर बाह्यस्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

जब वृत्त बाह्यस्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग होती है।

$$d = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ सेमी}$$

(३) यदि वर्ग के विकर्ण की लंबाई $10\sqrt{2}$ सेमी हो, तो उस वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

सूत्र: $\text{विकर्ण} = \text{भुजा} \times \sqrt{2}$

$$10\sqrt{2} = \text{भुजा} \times \sqrt{2}$$ $$\therefore \text{भुजा} = 10 \text{ सेमी}$$

(४) यदि किसी रेखा द्वारा X-अक्ष के धन दिशा के साथ $45^{\circ}$ माप का कोण बनता है, तो उस रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

हल:

ढाल (Slope) $m = \tan \theta$
यहाँ, $\theta = 45^{\circ}$

$$m = \tan 45^{\circ} = 1$$

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

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Maths July 2025 Board Papers

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Maths March 2024 Board Papers

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Maths July 2024 Board Papers

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प्रश्न २. (A) निम्नलिखित कोई दो कृति पूर्ण करके लिखिए : (४ अंक)

(१) ऊपर दी गयी आकृति में, $\angle ABC$ यह चाप ABC में अंतर्लिखित कोण है। यदि $\angle ABC = 60^{\circ}$ तो $m\angle AOC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

$\angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{चाप } AXC)$ ... (अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)

$60^{\circ} = \frac{1}{2} m(\text{चाप } AXC)$

120° $= m(\text{चाप } AXC)$

परंतु $m\angle AOC = \text{m(चाप AXC)}$ ... (केंद्रीय कोण का गुणधर्म)

$\therefore m\angle AOC = $ 120°

(२) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$\Delta ABC$ में, $\angle ABC = 90^{\circ}, \angle C = \theta$.

$AB^2 + BC^2 = $ AC² ... (पायथागोरस प्रमेय)

दोनों पक्षों में $AC^2$ से भाग देने पर:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$(\frac{AB}{AC})^2 + (\frac{BC}{AC})^2 = 1$

परन्तु $\frac{AB}{AC} = $ sin θ और $\frac{BC}{AC} = $ cos θ

$\therefore \sin^2\theta + \cos^2\theta = $ 1

(३) ABCD एक वर्ग है और एक वृत्त उसमें अंतर्लिखित है। वर्ग की सभी भुजायें वृत्त को स्पर्श करती हैं। यदि $AB = 14$ सेमी, तो रेखांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² (सूत्र)

$= 14^2 = $ 196 $\text{वर्ग सेमी}$

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (सूत्र)

चूँकि वर्ग की भुजा 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या $r = 7$ सेमी।

$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \text{ वर्ग सेमी}$

रेखांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - वृत्त का क्षेत्रफल

$= 196 - 154 = $ 42 $\text{वर्ग सेमी}$

प्रश्न २. (B) नीचे दिये उपप्रश्न हल कीजिए (कोई चार) : (८ अंक)

(१) यदि किसी वृत्त के वैत्रिज्य (sector) की त्रिज्या ३.५ सेमी तथा उसके चाप की लंबाई २.२ सेमी हो, तो उस वैत्रिज्य का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है: $r = 3.5 \text{ सेमी}, l = 2.2 \text{ सेमी}$।
वैत्रिज्य का क्षेत्रफल $A = \frac{l \times r}{2}$

$$A = \frac{2.2 \times 3.5}{2}$$ $$A = 1.1 \times 3.5$$ $$A = 3.85 \text{ वर्ग सेमी}$$

(२) यदि किसी समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ ९ सेमी तथा १२ सेमी हों, तो उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए भुजाएँ $a=9, b=12$ हैं। पायथागोरस प्रमेय से:

$$\text{विकर्ण}^2 = 9^2 + 12^2$$ $$\text{विकर्ण}^2 = 81 + 144 = 225$$ $$\text{विकर्ण} = \sqrt{225} = 15 \text{ सेमी}$$

(३) ऊपर दी गयी आकृति में, $m(\text{चाप } NS) = 125^{\circ}, m(\text{चाप } EF) = 37^{\circ}$ हो, तो $\angle NMS$ ज्ञात कीजिए।

हल:

जब दो जीवाएँ वृत्त के बाहर प्रतिच्छेदित करती हैं, तो बना कोण उनके द्वारा अंतर्खंडित चापों के माप के अंतर का आधा होता है।

$$\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{चाप } NS) - m(\text{चाप } EF)]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} - 37^{\circ}]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [88^{\circ}]$$ $$\angle NMS = 44^{\circ}$$

(४) बिंदु $A(2,3)$ तथा $B(4,7)$ में से होकर जाने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए $A(x_1, y_1) = (2,3)$ और $B(x_2, y_2) = (4,7)$।

$$\text{ढाल } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

(५) ७ सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठफल ज्ञात कीजिए।

हल:

गोले का पृष्ठफल $= 4\pi r^2$

$$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$$ $$= 4 \times 22 \times 7$$ $$= 88 \times 7 = 616 \text{ वर्ग सेमी}$$

प्रश्न ३. (A) नीचे दी गई कृति पूर्ण करके लिखिए (कोई एक) : (३ अंक)

(१) $\Delta ABC$ में, किरण BD यह $\angle ABC$ का कोण समद्विभाजक है, DE || BC. तो सिद्ध कीजिए $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}$.

हल:

उपपत्ति:

$\Delta ABC$ में, किरण BD यह $\angle B$ को समद्विभाजित करता है।

$\therefore \frac{\text{AB}}{BC} = \frac{AD}{DC}$ ... (I) (कोण समद्विभाजक का प्रमेय)

$\Delta ABC$ में, DE || BC

$\therefore \frac{\text{AE}}{EB} = \frac{AD}{DC}$ ... (II) (समानुपात का मूलभूत प्रमेय)

(I) व (II) से,

$\frac{AB}{\text{BC}} = \frac{\text{AE}}{EB}$

(रिक्त स्थान: AB, AE, BC, AE)

(२) वृत्त की जीवाएँ अंतर्भाग में प्रतिच्छेदित करती हैं, इस प्रमेय की उपपत्ति: $AE \times EB = CE \times ED$.

हल:

$\Delta CAE$ और $\Delta BDE$ में,

$\angle AEC \cong \angle DEB$ ... (शीर्षाभिमुख कोण)

$\angle CAE \cong $ ∠BDE ... (एक ही चाप में अंतर्लिखित कोण)

$\therefore \Delta CAE \sim \Delta BDE$ ... (समरूपता की को-को कसौटी)

$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{\text{EB}}$ ... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)

$\therefore AE \times EB = CE \times ED$

प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्नों को हल कीजिए (कोई दो) : (६ अंक)

(१) नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं इसकी जाँच कीजिए। $A(1,-3), B(2,-5), C(-4,7)$

हल:

बिंदु एकरेखीय होने के लिए, रेखा AB का ढाल = रेखा BC का ढाल होना चाहिए।

रेखा AB का ढाल = $\frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

रेखा BC का ढाल = $\frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2$

यहाँ रेखा AB का ढाल = रेखा BC का ढाल है और बिंदु B सामान्य है, इसलिए बिंदु A, B और C एकरेखीय हैं।

(२) $\Delta ABC \sim \Delta LMN$. $\Delta ABC$ में, $AB=5.5, BC=6, CA=4.5$. $\Delta ABC$ तथा $\Delta LMN$ की रचना कीजिए यदि $\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}$.

हल:

विश्लेषण:
$\Delta ABC \sim \Delta LMN$, इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी।
$\frac{AB}{LM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{LN} = \frac{5}{4}$

$\Delta LMN$ की भुजाओं की गणना:

• $LM = AB \times \frac{4}{5} = 5.5 \times 0.8 = 4.4 \text{ सेमी}$
• $MN = BC \times \frac{4}{5} = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ सेमी}$
• $LN = AC \times \frac{4}{5} = 4.5 \times 0.8 = 3.6 \text{ सेमी}$

रचना:
१. ५.५ सेमी, ६ सेमी और ४.५ सेमी भुजाओं वाला $\Delta ABC$ बनाइये।
२. ४.४ सेमी, ४.८ सेमी और ३.६ सेमी भुजाओं वाला $\Delta LMN$ बनाइये।

(३) $\Delta PQR$ में, रेख PM माध्यिका है। $PM=9$ और $PQ^2 + PR^2 = 290$ हो, तो QR ज्ञात कीजिए।

हल:

अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:

$$PQ^2 + PR^2 = 2(PM^2 + QM^2)$$ $$290 = 2(9^2 + QM^2)$$ $$145 = 81 + QM^2$$ $$QM^2 = 145 - 81 = 64$$ $$QM = 8$$

PM माध्यिका है, इसलिए M, QR का मध्यबिंदु है।
$\therefore QR = 2 \times QM = 2 \times 8 = 16$.

(४) सिद्ध कीजिए: "यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा उसकी अन्य दो भुजाओं को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करे तो वह रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।"

हल:

दत्त: $\Delta ABC$ में, रेखा $l || \text{ भुजा } BC$ और रेखा $AB$ को $P$ पर तथा $AC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेदित करती है।
साध्य: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
रचना: रेख $PC$ तथा रेख $BQ$ खींचिये।
उपपत्ति:
$\Delta APQ$ तथा $\Delta BPQ$ समान ऊँचाई वाले त्रिभुज हैं।
$\therefore \frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta BPQ)} = \frac{AP}{PB}$ ... (I) (क्षेत्रफल आधार के अनुपात में)
इसी प्रकार, $\frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta CPQ)} = \frac{AQ}{QC}$ ... (II)
$\Delta BPQ$ तथा $\Delta CPQ$ दो समांतर रेखाओं $PQ$ और $BC$ के बीच स्थित हैं, इसलिए उनकी ऊँचाई समान है। उनका आधार $PQ$ भी समान है।
$\therefore A(\Delta BPQ) = A(\Delta CPQ)$ ... (III)
(I), (II) और (III) से:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.

प्रश्न ४. निम्नलिखित उप-प्रश्नों को हल कीजिए (कोई दो) : (८ अंक)

(१) यदि $\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3$, तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

समीकरण को सरल करने पर:

$\text{cosec}^2\theta - \sec^2\theta - \cot^2\theta - \tan^2\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta = -3$

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$(\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -3$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: $\text{cosec}^2 - \cot^2 = 1$ और $\sin^2 + \cos^2 = 1$

$1 - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - 1 = -3$

$-(\sec^2\theta + \tan^2\theta) = -3$

$\sec^2\theta + \tan^2\theta = 3$

$\sec^2\theta$ को $1 + \tan^2\theta$ से बदलने पर:

$(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = 3$

$1 + 2\tan^2\theta = 3$

$2\tan^2\theta = 2 \implies \tan^2\theta = 1$

$\tan \theta = 1$

$\therefore \theta = 45^{\circ}$

(२) किसी लंबवृत्ताकार बेलन की त्रिज्या १२ सेमी है जिसमें २० सेमी ऊँचाई तक पानी भरा है। एक गोलाकार धातु की गेंद उसमें डुबाने पर पानी की ऊँचाई ६.७५ सेमी से बढ़ती है, तो उस धातु की गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

विस्थापित पानी का आयतन (बढ़ी हुई ऊँचाई) डूबे हुए गोले के आयतन के बराबर होता है।

बेलन की त्रिज्या ($R$) = 12 सेमी
ऊँचाई में वृद्धि ($h$) = 6.75 सेमी
मान लीजिए गोले की त्रिज्या $r$ है।

गोले का आयतन = बेलन में बढ़े हुए पानी का आयतन

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$$ $$\frac{4}{3} r^3 = (12)^2 \times 6.75$$ $$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4}$$ $$r^3 = 36 \times 20.25$$ $$r^3 = 729$$ $$r = 9 \text{ सेमी}$$

(३) 'O' केंद्र तथा ३ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त बनाइए। वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखाखंड PA तथा PB इस प्रकार बनाइये कि $\angle APB=70^{\circ}$।

हल:

रचना के चरण:

1. O केंद्र और ३ सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाइये।
2. हमें स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $70^{\circ}$ चाहिए। इसलिए, केंद्रीय कोण इसका संपूरक होगा ($\angle AOB + \angle APB = 180^{\circ}$)।
3. $\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$।
4. एक त्रिज्या OA खींचिये। दूसरी त्रिज्या OB इस प्रकार खींचिये कि $\angle AOB = 110^{\circ}$ हो।
5. बिंदु A पर OA के लंबवत रेखा खींचिये और बिंदु B पर OB के लंबवत रेखा खींचिये (स्पर्शरेखा प्रमेय)।
6. ये दोनों लंबवत रेखाएँ जिस बिंदु पर मिलेंगी, वह बिंदु P होगा।

प्रश्न ५. निम्नलिखित उप-प्रश्नों को हल कीजिए (कोई एक) : (३ अंक)

(१) ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD. समलंब ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं। इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए :

हल:

(a) दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये:
(एक समलंब चतुर्भुज ABCD बनाइये जिसमें AB और CD समांतर हों और विकर्ण AC तथा BD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हों।)

(b) उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए:
एकांतर कोण: $\angle CDB \cong \angle ABD$ (क्योंकि AB || CD)।
शीर्षाभिमुख कोण: $\angle APB \cong \angle CPD$।

(c) समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुजों के नाम लिखिए:
$\Delta APB \sim \Delta CPD$ (समरूपता की को-को कसौटी, क्योंकि एकांतर कोण और शीर्षाभिमुख कोण सर्वांगसम हैं)।

(२) 'O' केंद्र वाले वृत्त की रेख AB जीवा है। AOC वृत्त का व्यास है। AT वृत्त के बिन्दु A पर बनी स्पर्शरेखा है। इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए :

हल:

(a) दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये:
(वृत्त बनाइये, केंद्र O, व्यास AC, जीवा AB और A से गुजरने वाली स्पर्शरेखा AT दर्शाइये।)

(b) $\angle CAT$ तथा $\angle ABC$ की माप ज्ञात करने के लिए संबंधित प्रमेय का कथन लिखिए:
$\angle CAT = 90^{\circ}$ (स्पर्शरेखा प्रमेय: स्पर्शरेखा स्पर्शबिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है)।
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना अंतर्लिखित कोण समकोण होता है)।

(c) क्या $\angle CAT$ तथा $\angle ABC$ एकरूप हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये:
[cite_start]हाँ, वे एकरूप हैं [cite: 809]।
पुष्टि: जैसा कि ऊपर सिद्ध किया गया है, दोनों कोणों का माप $90^{\circ}$ है।

10th Geometry Board Question Paper March 2024 with Solutions (Marathi Medium) - Maharashtra Board

प्रश्न १. (A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा : (४ गुण)

(१) खालीलपैकी कोणत्या तारखेतील संख्या हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे ?

• (A) 15/8/17
• (B) 16/8/16
• (C) 3/5/17
• (D) 4/9/15

उकल:

उत्तर: (A)

कारण: पायथागोरसच्या त्रिकुटामध्ये $(a, b, c)$ जिथे $c$ ही सर्वात मोठी संख्या असते, तिथे $a^2 + b^2 = c^2$ असावे लागते.
येथे 15, 8, 17 साठी:
$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$ दोन्ही बाजू समान आहेत (LHS = RHS), म्हणून हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

(२) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta =$ किती ?

• (A) 1
• (B) 0
• (C) $\frac{1}{2}$
• (D) $\sqrt{2}$

उकल:

उत्तर: (A)

कारण: आपल्याला माहित आहे की $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
म्हणून, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$.

(३) X-अक्षाचा चढ _____ असतो.

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) ठरवता येत नाही

उकल:

उत्तर: (C)

कारण: X-अक्ष ही एक आडवी (समांतर) रेषा आहे. कोणत्याही आडव्या रेषेचा चढ 0 असतो.

(४) ३ सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळातील सर्वांत मोठ्या जीवेची लांबी किती ?

• (A) 1.5 सेमी
• (B) 3 सेमी
• (C) 6 सेमी
• (D) 9 सेमी

उकल:

उत्तर: (C)

कारण: वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा म्हणजे व्यास होय.
व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}$.

प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)

(१) जर $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ आणि $AB : PQ = 2 : 3$, तर $\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}$ ची किंमत काढा.

उकल:

समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:

$$\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

(२) बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे ५ सेमी व ३ सेमी असतील तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती असेल ?

उकल:

जेव्हा दोन वर्तुळे बाह्यस्पर्शी असतात, तेव्हा त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर हे त्यांच्या त्रिज्यांच्या बेरजेएवढे असते.

$$d = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ सेमी}$$

(३) एका चौरसाचा कर्ण $10\sqrt{2}$ सेमी असेल तर त्याच्या बाजूची लांबी काढा.

उकल:

सूत्र: $\text{कर्ण} = \text{बाजू} \times \sqrt{2}$

$$10\sqrt{2} = \text{बाजू} \times \sqrt{2}$$ $$\therefore \text{बाजू} = 10 \text{ सेमी}$$

(४) रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन $45^{\circ}$ आहे, तर त्या रेषेचा चढ काढा.

उकल:

चढ (Slope) $m = \tan \theta$
येथे, $\theta = 45^{\circ}$

$$m = \tan 45^{\circ} = 1$$

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प्रश्न २. (A) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती लिहून पूर्ण करा : (४ गुण)

(१) वरील आकृतीमध्ये, $\angle ABC$ हा कंस ABC मधील आंतरलिखित कोन आहे. जर $\angle ABC = 60^{\circ}$ तर $m\angle AOC$ काढा.

उकल:

$\angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } AXC)$ ... (आंतरलिखित कोनाचे प्रमेय)

$60^{\circ} = \frac{1}{2} m(\text{कंस } AXC)$

120° $= m(\text{कंस } AXC)$

परंतु $m\angle AOC = \text{m(कंस AXC)}$ ... (केंद्रीय कोनाचा गुणधर्म)

$\therefore m\angle AOC = $ 120°

(२) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ ची किंमत काढा.

उकल:

$\Delta ABC$ मध्ये, $\angle ABC = 90^{\circ}, \angle C = \theta$.

$AB^2 + BC^2 = $ AC² ... (पायथागोरसचे प्रमेय)

दोन्ही बाजूंना $AC^2$ ने भागून:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$(\frac{AB}{AC})^2 + (\frac{BC}{AC})^2 = 1$

परंतु $\frac{AB}{AC} = $ sin θ आणि $\frac{BC}{AC} = $ cos θ

$\therefore \sin^2\theta + \cos^2\theta = $ 1

(३) वरील आकृतीमध्ये, चौरस ABCD च्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात. जर $AB = 14$ सेमी, तर छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल:

चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू² (सूत्र)

$= 14^2 = $ 196 $\text{सेमी}^2$

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = πr² (सूत्र)

येथे बाजू = 14, म्हणून त्रिज्या $r = 7$.

$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \text{ सेमी}^2$

छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ = चौरसाचे क्षेत्रफळ - वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

$= 196 - 154 = $ 42 $\text{सेमी}^2$

प्रश्न २. (B) खालीलपैकी कोणतेही चार उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)

(१) वर्तुळपाकळीची त्रिज्या ३.५ सेमी असून तिच्या वर्तुळकंसाची लांबी २.२ सेमी आहे, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल:

दिलेली माहिती: $r = 3.5 \text{ सेमी}, l = 2.2 \text{ सेमी}$.
वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ $A = \frac{l \times r}{2}$

$$A = \frac{2.2 \times 3.5}{2}$$ $$A = 1.1 \times 3.5$$ $$A = 3.85 \text{ सेमी}^2$$

(२) एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू ९ सेमी व १२ सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी काढा.

उकल:

समजा बाजू $a=9, b=12$ आहेत. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:

$$\text{कर्ण}^2 = 9^2 + 12^2$$ $$\text{कर्ण}^2 = 81 + 144 = 225$$ $$\text{कर्ण} = \sqrt{225} = 15 \text{ सेमी}$$

(३) वरील आकृतीमध्ये, $m(\text{कंस } NS) = 125^{\circ}, m(\text{कंस } EF) = 37^{\circ}$. तर $\angle NMS$ चे माप काढा.

उकल:

जेव्हा दोन जीवांना सामावणारी रेष वर्तुळाच्या बाह्यभागात छेदतात, तेव्हा तयार होणारा कोन हा त्याने आंतरखंडित केलेल्या कंसांच्या मापांच्या फरकाच्या निम्मे असतो.

$$\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{कंस } NS) - m(\text{कंस } EF)]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} - 37^{\circ}]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [88^{\circ}]$$ $$\angle NMS = 44^{\circ}$$

(४) $A(2,3)$ आणि $B(4,7)$ या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.

उकल:

समजा $A(x_1, y_1) = (2,3)$ आणि $B(x_2, y_2) = (4,7)$.

$$\text{चढ } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

(५) एका गोलाची त्रिज्या ७ सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.

उकल:

गोलाचे वक्रपृष्ठफळ $= 4\pi r^2$

$$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$$ $$= 4 \times 22 \times 7$$ $$= 88 \times 7 = 616 \text{ सेमी}^2$$

प्रश्न ३. (A) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती लिहून पूर्ण करा : (३ गुण)

(१) $\Delta ABC$ मध्ये, किरण BD हा $\angle ABC$ चा दुभाजक आहे, DE || BC. तर $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}$ हे सिद्ध करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

उकल:

सिद्धता:

$\Delta ABC$ मध्ये, किरण BD हा $\angle B$ चा दुभाजक आहे.

$\therefore \frac{\text{AB}}{BC} = \frac{AD}{DC}$ ... (I) (कोन दुभाजकाचे प्रमेय)

$\Delta ABC$ मध्ये, DE || BC

$\therefore \frac{\text{AE}}{EB} = \frac{AD}{DC}$ ... (II) (प्रमाणाचे मूलभूत प्रमेय)

(I) व (II) वरून,

$\frac{AB}{\text{BC}} = \frac{\text{AE}}{EB}$

(रिकाम्या जागा: AB, AE, BC, AE)

(२) वर्तुळाच्या जीवा अंतर्भागात छेदतात या प्रमेयाची सिद्धता: $AE \times EB = CE \times ED$.

उकल:

$\Delta CAE$ आणि $\Delta BDE$ मध्ये,

$\angle AEC \cong \angle DEB$ ... (परस्पर विरुद्ध कोन)

$\angle CAE \cong $ ∠BDE ... (एकाच वर्तुळकंसातील आंतरलिखित कोन)

$\therefore \Delta CAE \sim \Delta BDE$ ... (समरूपतेची को-को कसोटी)

$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{\text{EB}}$ ... (समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू)

$\therefore AE \times EB = CE \times ED$

प्रश्न ३. (B) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (६ गुण)

(१) खालील बिंदू एकरेषीय आहेत किंवा नाहीत, हे ठरवा. $A(1,-3), B(2,-5), C(-4,7)$.

उकल:

बिंदू एकरेषीय असण्यासाठी, रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ असणे आवश्यक आहे.

रेषा AB चा चढ = $\frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

रेषा BC चा चढ = $\frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2$

येथे रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ आहे आणि बिंदू B हा सामाईक आहे, म्हणून बिंदू A, B आणि C हे एकरेषीय आहेत.

(२) $\Delta ABC \sim \Delta LMN$. $\Delta ABC$ मध्ये, $AB=5.5, BC=6, CA=4.5$. $\Delta ABC$ व $\Delta LMN$ असे काढा की $\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}$.

उकल:

विश्लेषण:
$\Delta ABC \sim \Delta LMN$, म्हणून त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतील.
$\frac{AB}{LM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{LN} = \frac{5}{4}$

$\Delta LMN$ च्या बाजूंची गणना:

• $LM = AB \times \frac{4}{5} = 5.5 \times 0.8 = 4.4 \text{ सेमी}$
• $MN = BC \times \frac{4}{5} = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ सेमी}$
• $LN = AC \times \frac{4}{5} = 4.5 \times 0.8 = 3.6 \text{ सेमी}$

रचना:
१. ५.५ सेमी, ६ सेमी आणि ४.५ सेमी बाजू घेऊन $\Delta ABC$ काढा.
२. ४.४ सेमी, ४.८ सेमी आणि ३.६ सेमी बाजू घेऊन $\Delta LMN$ काढा.

(३) $\Delta PQR$ मध्ये, रेख PM मध्यगा आहे. $PM=9$ आणि $PQ^2 + PR^2 = 290$, तर QR काढा.

उकल:

अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार:

$$PQ^2 + PR^2 = 2(PM^2 + QM^2)$$ $$290 = 2(9^2 + QM^2)$$ $$145 = 81 + QM^2$$ $$QM^2 = 145 - 81 = 64$$ $$QM = 8$$

PM ही मध्यगा असल्यामुळे M हा QR चा मध्यबिंदू आहे.
$\therefore QR = 2 \times QM = 2 \times 8 = 16$.

(४) सिद्ध करा: "त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते."

उकल:

पक्ष: $\Delta ABC$ मध्ये, रेषा $l || \text{ बाजू } BC$ आणि ती रेषा $AB$ ला $P$ मध्ये व $AC$ ला $Q$ मध्ये छेदते.
साध्य: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
रचना: रेख $PC$ व रेख $BQ$ काढा.
सिद्धता:
$\Delta APQ$ व $\Delta BPQ$ हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
$\therefore \frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta BPQ)} = \frac{AP}{PB}$ ... (I) (क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात)
त्याचप्रमाणे, $\frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta CPQ)} = \frac{AQ}{QC}$ ... (II)
$\Delta BPQ$ व $\Delta CPQ$ हे दोन समांतर रेषा $PQ$ आणि $BC$ मध्ये बद्ध आहेत, म्हणून त्यांची उंची समान आहे. तसेच त्यांचा पाया $PQ$ सामाईक आहे.
$\therefore A(\Delta BPQ) = A(\Delta CPQ)$ ... (III)
(I), (II) आणि (III) वरून:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.

प्रश्न ४. खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)

(१) जर $\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3$, तर $\theta$ ची किंमत काढा.

उकल:

समीकरण सोपे रूप देऊन:

$\text{cosec}^2\theta - \sec^2\theta - \cot^2\theta - \tan^2\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta = -3$

पदांची पुनर्रचना करून:

$(\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -3$

नित्यसमानता वापरून: $\text{cosec}^2 - \cot^2 = 1$ आणि $\sin^2 + \cos^2 = 1$

$1 - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - 1 = -3$

$-(\sec^2\theta + \tan^2\theta) = -3$

$\sec^2\theta + \tan^2\theta = 3$

$\sec^2\theta$ ऐवजी $1 + \tan^2\theta$ ठेवून:

$(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = 3$

$1 + 2\tan^2\theta = 3$

$2\tan^2\theta = 2 \implies \tan^2\theta = 1$

$\tan \theta = 1$

$\therefore \theta = 45^{\circ}$

(२) १२ सेमी त्रिज्या असलेल्या वृत्तचिती आकाराच्या भांड्यात २० सेमी उंचीपर्यंत पाणी भरलेले आहे. त्या भांड्यात एक धातूचा गोळा टाकल्यास पाण्याची उंची ६.७५ सेमीने वाढते, तर त्या धातूच्या गोळ्याची त्रिज्या काढा.

उकल:

पाण्याची वाढलेली पातळी म्हणजेच विस्थापित पाण्याचे घनफळ हे बुडालेल्या गोळ्याच्या घनफळाएवढे असते.

वृत्तचितीची त्रिज्या ($R$) = 12 सेमी
पाण्याच्या उंचीतील वाढ ($h$) = 6.75 सेमी
समजा गोळ्याची त्रिज्या $r$ आहे.

गोळ्याचे घनफळ = वृत्तचितीतील वाढलेल्या पाण्याचे घनफळ

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$$ $$\frac{4}{3} r^3 = (12)^2 \times 6.75$$ $$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4}$$ $$r^3 = 36 \times 20.25$$ $$r^3 = 729$$ $$r = 9 \text{ सेमी}$$

(३) बिंदू O केंद्र घेऊन ३ सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. या वर्तुळास P या बाह्यबिंदूतून रेख PA व रेख PB हे स्पर्शिकाखंड असे काढा की $\angle APB=70^{\circ}$.

उकल:

रचनेच्या पायऱ्या:

1. O केंद्र व ३ सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढा.
2. स्पर्शिकांमधील कोन $70^{\circ}$ हवा आहे. त्यामुळे, केंद्रीय कोन हा या कोनाचा पूरक कोन असेल ($\angle AOB + \angle APB = 180^{\circ}$).
3. $\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
4. कोणतीही एक त्रिज्या OA काढा. $\angle AOB = 110^{\circ}$ होईल अशी दुसरी त्रिज्या OB काढा.
5. बिंदू A जवळ OA ला लंब रेषा काढा आणि बिंदू B जवळ OB ला लंब रेषा काढा (स्पर्शिका प्रमेय).
6. या दोन लंब रेषा जेथे छेदतील तो बिंदू P असेल.

प्रश्न ५. खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा : (३ गुण)

(१) समलंब चौकोन ABCD मध्ये बाजू AB || बाजू CD. चौकोनाचे कर्ण हे एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदतात. त्यावरून खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा :

उकल:

(a) दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा:
(समलंब चौकोन ABCD काढा ज्यात AB आणि CD समांतर आहेत आणि कर्ण AC व BD बिंदू P मध्ये छेदतात.)

(b) व्युत्क्रम कोन व विरुद्ध कोनांची प्रत्येकी एक जोडी लिहा:
व्युत्क्रम कोन: $\angle CDB \cong \angle ABD$ (कारण AB || CD).
विरुद्ध कोन: $\angle APB \cong \angle CPD$ (परस्पर विरुद्ध कोन).

(c) समरूप त्रिकोणांची नावे समरूपतेच्या कसोटीसह लिहा:
$\Delta APB \sim \Delta CPD$ (समरूपतेची को-को कसोटी, कारण व्युत्क्रम कोन आणि विरुद्ध कोन एकरूप आहेत).

(२) O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची AB जीवा आहे. AOC वर्तुळाचा व्यास आहे. स्पर्शिका AT वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा:

उकल:

(a) दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा:
(वर्तुळ काढा, केंद्र O दाखवा, व्यास AC, जीवा AB आणि A बिंदूतून जाणारी स्पर्शिका AT काढा.)

(b) $\angle CAT$ व $\angle ABC$ ची मापे काढा व त्याचे कारण लिहा:
$\angle CAT = 90^{\circ}$ (स्पर्शिका प्रमेय: स्पर्शिका ही स्पर्शबिंदूतून जाणाऱ्या त्रिज्येला लंब असते).
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवर्तुळातील आंतरलिखित कोन काटकोन असतो).

(c) $\angle CAT$ व $\angle ABC$ एकरूप आहेत का? स्पष्टीकरण लिहा:
होय, ते एकरूप आहेत.
स्पष्टीकरण: वर सिद्ध केल्याप्रमाणे दोन्ही कोनांचे माप $90^{\circ}$ आहे.

10th Geometry Board Question Paper March 2024 with Solutions - Maharashtra Board

Q.1 (A) Choose the correct alternative. (4 Marks)

(1) Out of the dates given below which date constitutes a Pythagorean triplet?

• (A) 15/8/17
• (B) 16/8/16
• (C) 3/5/17
• (D) 4/9/15

Solution:

Answer: (A)

Reason: In a Pythagorean triplet $(a, b, c)$ where $c$ is the largest number, $a^2 + b^2 = c^2$.
For 15, 8, 17:
$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$ Since LHS = RHS, it is a Pythagorean triplet.

(2) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta = ?$

• (A) 1
• (B) 0
• (C) $\frac{1}{2}$
• (D) $\sqrt{2}$

Solution:

Answer: (A)

Reason: We know that $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
Therefore, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$.

(3) Slope of X-axis is

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) Cannot be determined

Solution:

Answer: (C)

Reason: The X-axis is a horizontal line. The slope of any horizontal line is 0.

(4) A circle having radius 3 cm, then the length of its largest chord is

• (A) 1.5 cm
• (B) 3 cm
• (C) 6 cm
• (D) 9 cm

Solution:

Answer: (C)

Reason: The largest chord of a circle is its diameter.
Diameter $= 2 \times \text{radius} = 2 \times 3 = 6 \text{ cm}$.

Q.1 (B) Solve the following sub-questions. (4 Marks)

(1) If $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ and $AB : PQ = 2 : 3$, then find the value of $\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}$.

Solution:

By the theorem of areas of similar triangles:

$$\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

(2) Two circles of radii 5 cm and 3 cm touch each other externally. Find the distance between their centres.

Solution:

When circles touch externally, the distance between their centres is the sum of their radii.

$$d = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ cm}$$

(3) Find the side of a square whose diagonal is $10\sqrt{2}$ cm.

Solution:

Formula: $\text{Diagonal} = \text{Side} \times \sqrt{2}$

$$10\sqrt{2} = \text{Side} \times \sqrt{2}$$ $$\text{Side} = 10 \text{ cm}$$

(4) Angle made by the line with the positive direction of X-axis is $45^{\circ}$. Find the slope of that line.

Solution:

Slope $m = \tan \theta$
Here, $\theta = 45^{\circ}$

$$m = \tan 45^{\circ} = 1$$

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Q.2 (A) Complete any two activities and rewrite it. (4 Marks)

(1) In the figure, $\angle ABC$ is inscribed in arc ABC. If $\angle ABC = 60^{\circ}$, find $m\angle AOC$.

Solution:

$\angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{arc } AXC)$ ... (Inscribed angle theorem)

$60^{\circ} = \frac{1}{2} m(\text{arc } AXC)$

120° $= m(\text{arc } AXC)$

But $m\angle AOC = \text{m(arc AXC)}$ ... (Property of central angle)

$\therefore m\angle AOC = $ 120°

(2) Find the value of $\sin^2\theta + \cos^2\theta$.

Solution:

In $\Delta ABC$, $\angle ABC = 90^{\circ}, \angle C = \theta$.

$AB^2 + BC^2 = $ AC² ... (Pythagoras theorem)

Divide both sides by $AC^2$:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$(\frac{AB}{AC})^2 + (\frac{BC}{AC})^2 = 1$

But $\frac{AB}{AC} = $ sin θ and $\frac{BC}{AC} = $ cos θ

$\therefore \sin^2\theta + \cos^2\theta = $ 1

(3) ABCD is a square and a circle is inscribed in it. If $AB = 14$ cm, find the area of shaded region.

Solution:

Area of square = Side² (Formula)

$= 14^2 = $ 196 $cm^2$

Area of circle = πr² (Formula)

Since side = 14, radius $r = 7$.

$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \text{ cm}^2$

Area of shaded portion = Area of square - Area of circle

$= 196 - 154 = $ 42 $cm^2$

Q.2 (B) Solve any four of the following sub-questions. (8 Marks)

(1) Radius of a sector of a circle is 3.5 cm and length of its arc is 2.2 cm. Find the area of the sector.

Solution:

Given: $r = 3.5 \text{ cm}, l = 2.2 \text{ cm}$.
Area of sector $A = \frac{l \times r}{2}$

$$A = \frac{2.2 \times 3.5}{2}$$ $$A = 1.1 \times 3.5$$ $$A = 3.85 \text{ cm}^2$$

(2) Find the length of the hypotenuse of a right-angled triangle if remaining sides are 9 cm and 12 cm.

Solution:

Let the sides be $a=9, b=12$. By Pythagoras theorem:

$$\text{Hypotenuse}^2 = 9^2 + 12^2$$ $$\text{Hyp}^2 = 81 + 144 = 225$$ $$\text{Hypotenuse} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}$$

(3) In the figure, $m(\text{arc } NS) = 125^{\circ}, m(\text{arc } EF) = 37^{\circ}$. Find the measure of $\angle NMS$.

Solution:

When two secants intersect outside the circle at point M, the angle formed is half the difference of the intercepted arcs.

$$\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{arc } NS) - m(\text{arc } EF)]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} - 37^{\circ}]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [88^{\circ}]$$ $$\angle NMS = 44^{\circ}$$

(4) Find the slope of the line passing through the points $A(2,3)$ and $B(4,7)$.

Solution:

Let $A(x_1, y_1) = (2,3)$ and $B(x_2, y_2) = (4,7)$.

$$\text{Slope } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

(5) Find the surface area of a sphere of radius 7 cm.

Solution:

Surface Area $= 4\pi r^2$

$$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$$ $$= 4 \times 22 \times 7$$ $$= 88 \times 7 = 616 \text{ cm}^2$$

Q.3 (A) Complete any one activity. (3 Marks)

(1) In $\Delta ABC$, ray BD bisects $\angle ABC$, DE || BC. Show that $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}$.

Solution:

Proof:

In $\Delta ABC$, ray BD bisects $\angle B$.

$\therefore \frac{\text{AB}}{BC} = \frac{AD}{DC}$ ... (I) (Angle Bisector Theorem)

In $\Delta ABC$, DE || BC

$\therefore \frac{\text{AE}}{EB} = \frac{AD}{DC}$ ... (II) (Basic Proportionality Theorem)

From (I) and (II),

$\frac{AB}{\text{BC}} = \frac{\text{AE}}{EB}$

(Filled boxes: AB, AE, BC, AE)

(2) Proof of property of chords intersecting inside the circle: $AE \times EB = CE \times ED$.

Solution:

In $\Delta CAE$ and $\Delta BDE$,

$\angle AEC \cong \angle DEB$ ... (Vertically opposite angles)

$\angle CAE \cong $ ∠BDE ... (Angles inscribed in the same arc)

$\therefore \Delta CAE \sim \Delta BDE$ ... (AA test of similarity)

$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{\text{EB}}$ ... (Corresponding sides of similar triangles)

$\therefore AE \times EB = CE \times ED$

Q.3 (B) Solve any two sub-questions. (6 Marks)

(1) Determine whether the points are collinear: $A(1,-3), B(2,-5), C(-4,7)$.

Solution:

Points are collinear if the slope of line AB = slope of line BC.

Slope of AB = $\frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

Slope of BC = $\frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2$

Since Slope of AB = Slope of BC and point B is common, the points A, B, and C are collinear.

(2) $\Delta ABC \sim \Delta LMN$. In $\Delta ABC$, $AB=5.5, BC=6, CA=4.5$. Construct $\Delta ABC$ and $\Delta LMN$ such that $\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}$.

Solution:

Analysis:
Since $\Delta ABC \sim \Delta LMN$, the corresponding sides are proportional.
$\frac{AB}{LM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{LN} = \frac{5}{4}$

Calculation for sides of $\Delta LMN$:

• $LM = AB \times \frac{4}{5} = 5.5 \times 0.8 = 4.4 \text{ cm}$
• $MN = BC \times \frac{4}{5} = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ cm}$
• $LN = AC \times \frac{4}{5} = 4.5 \times 0.8 = 3.6 \text{ cm}$

Construction Steps:
1. Draw $\Delta ABC$ using sides 5.5 cm, 6 cm, and 4.5 cm.
2. Draw $\Delta LMN$ using sides 4.4 cm, 4.8 cm, and 3.6 cm.

(3) Seg PM is a median of $\Delta PQR$. $PM=9$ and $PQ^2 + PR^2 = 290$, then find QR.

Solution:

By Apollonius Theorem:

$$PQ^2 + PR^2 = 2(PM^2 + QM^2)$$ $$290 = 2(9^2 + QM^2)$$ $$145 = 81 + QM^2$$ $$QM^2 = 145 - 81 = 64$$ $$QM = 8$$

Since M is the midpoint (PM is median): $QR = 2 \times QM = 2 \times 8 = 16$.

(4) Prove that: 'If a line parallel to a side of a triangle intersects the remaining sides in two distinct points, then the line divides the side in the same proportion'.

Solution:

Given: In $\Delta ABC$, line $l || \text{ side } BC$ and intersects $AB$ at $P$ and $AC$ at $Q$.
To Prove: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
Construction: Draw segment $PC$ and segment $BQ$.
Proof:
$\Delta APQ$ and $\Delta BPQ$ have equal height.
$\therefore \frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta BPQ)} = \frac{AP}{PB}$ ... (I) (Areas proportional to bases)
Similarly, $\frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta CPQ)} = \frac{AQ}{QC}$ ... (II)
$\Delta BPQ$ and $\Delta CPQ$ lie between the same parallel lines $PQ$ and $BC$, hence they have equal heights. They also have a common base $PQ$.
$\therefore A(\Delta BPQ) = A(\Delta CPQ)$ ... (III)
From (I), (II), and (III):
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.

Q.4 Solve any two sub-questions. (8 Marks)

(1) If $\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3$, then find the value of $\theta$.

Solution:

Simplifying the terms:

$\text{cosec}^2\theta - \sec^2\theta - \cot^2\theta - \tan^2\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta = -3$

Rearranging the terms:

$(\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -3$

Using identities: $\text{cosec}^2 - \cot^2 = 1$ and $\sin^2 + \cos^2 = 1$

$1 - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - 1 = -3$

$-(\sec^2\theta + \tan^2\theta) = -3$

$\sec^2\theta + \tan^2\theta = 3$

Replace $\sec^2\theta$ with $1 + \tan^2\theta$:

$(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = 3$

$1 + 2\tan^2\theta = 3$

$2\tan^2\theta = 2 \implies \tan^2\theta = 1$

$\tan \theta = 1$

$\therefore \theta = 45^{\circ}$

(2) A cylinder of radius 12 cm contains water up to the height 20 cm. A spherical iron ball is dropped into the cylinder and thus water level raised by 6.75 cm. What is the radius of the iron ball?

Solution:

The volume of water displaced (rise in level) is equal to the volume of the sphere submerged.

Radius of Cylinder ($R$) = 12 cm
Rise in height ($h$) = 6.75 cm
Let radius of sphere be $r$.

Volume of Sphere = Volume of water raised in Cylinder

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$$ $$\frac{4}{3} r^3 = (12)^2 \times 6.75$$ $$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4}$$ $$r^3 = 36 \times 20.25$$ $$r^3 = 729$$ $$r = 9 \text{ cm}$$

(3) Draw a circle with centre O having radius 3 cm. Draw tangent segments PA and PB through the point P outside the circle such that $\angle APB = 70^{\circ}$.

Solution:

Steps of Construction:

1. Draw a circle with center O and radius 3 cm.
2. We need the angle between tangents to be $70^{\circ}$. The angle subtended by the radii at the center will be supplementary to this angle (Quadrilateral OAPB is cyclic with 90° at A and B).
3. $\angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
4. Draw a radius OA. Draw another radius OB such that $\angle AOB = 110^{\circ}$.
5. Draw a line perpendicular to OA at A and a line perpendicular to OB at B.
6. The point where these two perpendicular lines intersect is point P.

Q.5 Solve any one sub-question. (3 Marks)

(1) ABCD is a trapezium, AB || CD. Diagonals intersects in point P. Write the answers of the following questions:

Solution:

(a) Draw the figure:
(Draw a trapezium ABCD with AB parallel to CD at the bottom/top, and diagonals AC and BD intersecting at P.)

(b) Write any one pair of alternate angles and opposite angles:
Alternate angles: $\angle CDB \cong \angle ABD$ (since AB || CD).
Opposite angles: $\angle APB \cong \angle CPD$ (Vertically opposite angles).

(c) Write the names of similar triangles with test of similarity:
$\Delta APB \sim \Delta CPD$ by AA Test of Similarity (Alternate angles and vertically opposite angles are congruent).

(2) AB is a chord of a circle with centre O. AOC is diameter of circle, AT is a tangent at A. Write answers to the following:

Solution:

(a) Draw the figure:
(Draw a circle with center O. Draw diameter AC. Draw chord AB. Draw line AT tangent at A.)

(b) Measures of $\angle CAT$ and $\angle ABC$:
$\angle CAT = 90^{\circ}$ (Tangent Theorem: Tangent is perpendicular to radius at point of contact).
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (Angle inscribed in a semicircle is a right angle).

(c) Are $\angle CAT$ and $\angle ABC$ congruent? Justify:
Yes, they are congruent.
Justification: Both angles measure $90^{\circ}$ as proved above.