Showing posts with label 10th Standard. Show all posts
Showing posts with label 10th Standard. Show all posts

10th Social Science Important Questions 2026 - Public Exam Important 2, 5, 8 Marks

10th Std Social Science - Public Exam Important Questions
2025 - 2026 (April 2026 Public Exam)
S.No UNITS Question Pattern Marks
1 27 UNITS Choose the Correct Answer (1 Mark Questions) Q. No: 1 to Q. No: 14 \(14\times1=14\)

2 Mark Questions (Q. No: 15 to Q. No: 28) - \(10\times2=20\)

History

  • How do you assess the importance of Sino - Japanese War? *
  • Name the countries in the Triple Entente.
  • What do you know of trench warfare?
  • What was the role of Mustafa Kemal Pasha?
  • What was the result of Mussolini's march on Rome? *
  • How did Great Depression impact on the Indian agriculture?
  • Define "Dollar Imperialism."
  • Describe the Pearl Harbor incident.
  • Name the Bretton Woods Twins.
  • Write a note on Mao's Long March.
  • What was Marshall Plan?
  • Write a note on Third World Countries.
  • Discuss Mahadev Govind Ranade's contribution to social reforms.
  • Write a note on reforms of Ramalinga Adigal. *
  • List the social evils eradicated by Brahmo Samaj. *
  • What were the duties of the Palayakkarars?
  • What was the significance of the Battle of Kalakadu?
  • What was the bone of contention between the Company and Kattabomman?
  • Highlight the essence of the Tiruchirappalli Procalamation of 1801. *
  • Name the territories annexed by the British under the Doctrine of Lapse.
  • Highlight the objectives of Home Rule Movement. *
  • Summarise the essence of Lucknow Pact. *
  • Describe the Jallianwala Bagh Massacre. *
  • Why did Gandhi withdraw the Non Cooperation Movement?
  • Why was Simon Commission boycotted?
  • Write a note on the Tirunelveli Uprising. *
  • What is the contribution of Annie Besant to India's freedom struggle?
  • Write a note on Tamil Renaissance.
  • Name the newspapers published by the South Indian Liberal Foundation.
  • Estimate Periyar as a feminist.

Geography

  • Name the neighboring countries of India. *
  • Give the importance of IST.
  • Write a short note on Deccan Plateau.
  • State the west flowing rivers of India. *
  • Write a brief note on the island group of Lakshadweep.
  • List the factors affecting climate of India.
  • What is meant by 'normal lapse rate'? *
  • What are 'jet streams'?
  • Name the four distinct seasons of India. *
  • Name the areas which receive heavy rainfall.
  • Define soil.
  • Name the types of soil found in India.
  • State any two characteristics of black cotton soil.
  • Define Agriculture.
  • State the types of agriculture practices in India.
  • Name the seasons of agriculture in India?
  • Mention the plantation crops of India. *
  • Define the resource and state its types.
  • Write any four advantages of railways.
  • Write a note on Pipeline network transport in India.
  • State the merits of Roadways. *
  • State the boundaries of Tamil Nadu.
  • What is 'Teri'? *
  • Name the major islands of Tamil Nadu.
  • Name the tributaries of river Thamirabarani.
  • Define: Disaster Risk Reduction *
  • What are the cropping seasons of Tamil Nadu *
  • Why Coimbatore is called the Manchester of South India?
  • Name the important multipurpose projects of Tamil Nadu.
  • What is MRTS? *

Civics

  • What is a Constitution? *
  • What is meant by citizenship?
  • List out the fundamental rights guaranteed by Indian Constitution.
  • What is a Writ? *
  • What are the classical languages in India?
  • How is President of India elected?
  • Write short note: Money Bill.
  • What is the qualification of Judges of the Supreme Court?
  • What are the qualifications for the appointment of Governor? *
  • What is foreign policy?
  • List any four guiding principles of Panchsheel?
  • Name the architects of the Non-Aligned movement.
  • List out the member countries of SAARC.
  • Mention the member countries of BRICS.
  • List out any five global groupings in which India is a member.

Economics

  • Define National income. *
  • Write the importance of Gross domestic product.
  • What is per capita income?
  • Write short note on Multinational corporation.
  • Write any two positive impact of Globalization.
  • What are the basic three components of food and nutrition security?
  • What are the effects of Green Revolution?
  • Write some name of the nutrition programmers in Tamil Nadu.
  • Define tax. *
  • What are the types of tax? Give examples. *
  • Write short note on Goods and Service Tax.
  • What is progressive tax?
  • What is meant by black money?
  • What is meant by an industrial cluster?
  • Mention any three industrial development agencies in Tamil Nadu.

Fill in the blanks (or) Match the following (Q. No: 29) - \(5\times1=5\)

(Covers all 27 Units)

5 Mark Questions (Q. No: 29 to Q. No: 40) - \(8\times5=40\)

Note: Includes Q. No: 43 (8 Mark Question - History) - \(1\times8=8\)

History

  • Discuss the main causes of the First World War.
  • Explain the course of the Russian Revolution under the leadership of Lenin.
  • Estimate the work done by the League of Nations.
  • Trace the circumstances that led to the rise of Hitler in Germany.
  • Analyse the effects of the World War II. *
  • Assess the structure and the activities of the UN.
  • Estimate the role of Mao Tse Tung in making China a communist country.
  • Discuss the circumstances that led to the Reform movements of 19th century.
  • Write an essay on the role played by the 19th century reformers towards the cause of Women.
  • Attempt an essay of the heroic fight Veerapandya Kattabomman conducted against the East India Company.
  • Highlight the tragic fall of Sivagangai and its outcome.
  • Account for the outbreak of Vellore Revolt in 1806.
  • Discuss the causes of the Revolt of 1857?
  • How did the people of Bengal respond to the Partition of Bengal (1905)?
  • Examine the factors that led to the transformation of Gandhi into a mass leader. *
  • Critically examine the Civil Disobedience Movement as the typical example of Gandhian movement.
  • Discuss the response to Swadeshi Movement in Tamil Nadu.
  • Describe the role of Tamil Nadu in the Civil Disobedience Movement. *
  • Describe the background for the formation of the Justice Party and point out its contribution to the cause of social justice.
  • Estimate Periyar E.V.R's decisive contribution to the social transformation of Tamil Nadu. *

Geography

  • Explain the divisions of Northern Mountains and its importance to India.
  • Give an account on the major peninsular rivers of India.
  • Give a detailed account on the basin of the Ganga. *
  • Write about South West Monsoon.
  • Describe the forests of India.
  • State any five types of soil in India and explain the characteristics and distribution of soil.
  • What is Multipurpose projects and write about any two Multipurpose projects of India. *
  • Write about the distribution of cotton textile industries in India.
  • Describe the major challenges of Indian industries. *
  • What is urbanization? Explain its problem.
  • Classify and explain the roadways in India.
  • Describe the nature of the plateau region of Tamil Nadu. *
  • Write an account on river Cauvery.
  • Bring out the types and distribution of soils in Tamil Nadu.
  • Write about the plantation farming of Tamil Nadu.

Civics

  • Explain the salient features of the Constitution of India.
  • Point out the Fundamental Rights.
  • Mention the differences between Fundamental Rights and Directive Principles of State Policy.
  • Describe the Executive and Judicial powers of the President of India. *
  • What are the Duties and functions of Prime Minister of India?
  • Explain any three Jurisdiction of the Supreme Court of India?
  • Describe the legislative powers of the Governor. *
  • What are the powers and functions of the Chief Minister?
  • Write a detailed note on Non-alignment.
  • Trace the reason for the formation of BRICS and write its objectives.
  • Mention OPEC missions and how does it help other countries?
  • Highlight India and International organization with special reference to any three India's global groupings.

Economics

  • Briefly explain various terms associated with measuring of national income.
  • What are the methods of calculating Gross Domestic Product? and explain its.
  • Write any five differences between the growth and development. *
  • Briefly explain the advantages and disadvantages of MNC. *
  • Write the challenges of Globalization.
  • Explain Minimum Support Price. *
  • Elaborate the Public Distribution System.
  • Explain some direct and indirect taxes.
  • Write the structure of GST. *
  • What is black money? Write the causes of black money.
  • What are the important characteristics of successful industrial clusters?
  • Write in detail about the types of policies adopted by the Tamil Nadu government to industrialise.
  • Explain the role of entrepreneur?

Distinguish Between (Q. No: -) - \(2\times2=4\)

  • Himalayan rivers vs Peninsular rivers
  • Western Ghats vs Eastern Ghats
  • Western Coastal Plains vs Eastern Coastal Plains
  • Weather vs Climate
  • Tropical Evergreen Forest vs Deciduous Forest
  • North East Monsoon vs South West Monsoon
  • Rabi crop seasons vs Kharif crop seasons
  • Marine fishing vs Inland fishing
  • Alluvial soils vs Black soils
  • Renewable resources vs Non Renewable resources
  • Metallic minerals vs Non metallic minerals
  • Agro based industry vs Mineral based industry
  • Jute industry vs Sugar industry
  • Roadways vs Railways
  • Waterways vs Airways
  • Internal trade vs International trade
  • Thamiraparani vs Cauvery
  • Food crops vs Non food crops
  • Surface water vs Ground water

Give Reasons - \(1\times1=1\)

  • Himalayas are called young fold mountains.
  • North Indian Rivers are perennial.
  • South Indian rivers are east flowing.
  • India has a tropical monsoon climate.
  • Mountains are cooler than the plains. *
  • Agriculture is the backbone of India. *
  • Rain water harvesting is necessary.
  • Eastern Ghats are not a continuous range.
  • Tamil Nadu receives low rainfall during southwest monsoon. *
  • Farmers switch over from inorganic to organic farming.
  • Cities are densely populated than the villages.

Time Line - \(1\times5=5\) (5 Mark Question Q. No: 41)

  • His - 1 to 3: Write important World Events between 1900 to 1950. *
  • First World War Events between 1914 to 1919.
  • Second World War Events between 1939 to 1945.
  • His - 7 to 9: Write important Indian Events between 1900 to 1950.
  • Indian National Movement between 1900 to 1950.
  • Gandhian Phase between 1919 to 1948.
  • Indian Freedom Struggle Movement between 1900 to 1950.
  • Write any five important Events between 1900-1950.
  • Combinations: World Events & Indian Events (or) World Events & Indian Events.

Map Questions

  • History (5 Marks - Q. No: 42): World Map (History 1 & 3) & India Map (History 7 & 8).
  • Geography (8 Marks - Q. No: 44): India Map (Geography 1 to 5) & Tamil Nadu Map (Geography 6 & 7).
10th Social Science Important Questions 2026 - Public Exam Important 2, 5, 8 Marks 10th Standard, Social Science, Public Exam 2026, Important Questions, Tamil Nadu Board 10th-social-science-important-questions-2026-public-exam Important 2, 5, 8 mark questions for 10th Standard Social Science Public Exam April 2026.

10th Tamil Important for Public Exam 2026, Time Management Tips & Important Study Material

10th Tamil Important for Public Exam 2026

Success in the public examination requires hard work and smart time management. Below are critical resources to maximize your scores.

Key Highlights for 2026 Preparation

  • Blueprint Analysis: Understand the weightage of each "Iyal" (Chapter).
  • Writing Speed: Practice writing essays and letters within a stipulated time limit.
  • One Mark Questions: Dedicate daily time for "One Mark" revisions.

10th Standard Public Exam 2026: Time Tables, Model Question Papers, and Answer Keys Download

Note: Comprehensive collection of Time Tables, Model Question Papers, and Answer Keys for the 10th Standard Public Exam 2026. Click the buttons below to download the PDFs.

10th / SSLC - Public Exam March 2026 Time Table

10th Public Exam March 2026 - Time Table
View Time Table

Exam Tips & Time Management

10th Tamil - Public Exam Time Management Tips Mr. R. Parthiban
Download PDF
10th Tamil - Public Exam Time Management Tips Mr. M. Karthick
Download PDF
10th Science - How to Pass Easily (30 Days Plan) Mr. J. Hari Krishnan
Download PDF
10th Science - Public Exam Time Management Tips Mr. S. Malathi
Download PDF
10th Science - How to Pass Easily? Tips Mr. S. Malathi
Download PDF

10th Model Question Papers (Teachers' Collections)

10th Tamil - Model Question Paper Mr. Kali Karuppu
Download (Tamil Med)
10th Tamil - Model Question Paper Mr. Chandra Veeran
Download (Tamil Med)
10th English - Model Question Paper Mr. Kasi Viswanathan
Download (Eng Med)
10th English - Model Question Paper Mr. T. Naresh
Download (Eng Med)
10th Maths - Model Question Paper Mr. S. Kuppusamy
Download (Eng Med)
10th Maths - Model Question Paper Mr. S. Parthipan
Download (Eng Med)
10th Maths - Model Question Paper Mr. A. Balaiah
Download (Eng Med)
10th Maths - Model Question Paper with Answer Key Mr. M. Palaniyappan
Download (TM & EM)
10th Social - Model Question Paper Mrs. Annapoorani
Download (Eng Med)
10th Social - Model Question Paper Mr. Ezhil Ajith
Download (Eng Med)

Official Model Question Papers (TNSCERT)

10th Tamil - Official Model Question Paper
Download (Tamil Med)
10th English - Official Model Question Paper
Download (Eng Med)
10th English - Official Model Question Paper with Answer Key Dolphin
Download (Eng Med)
10th Maths - Official Model Question Papers
Download (Eng Med)
10th Science - Official Model Question Papers
Download (Eng Med)
10th Social - Official Model Question Papers
Download (Eng Med)

Question Patterns

10th English - New Pattern Mr. Nabroshekan
Download
10th English - New Pattern Mr. M. Senthil Kumar
Download
10th Science - New Pattern Mr. B. Dharmaraj
Download (Tamil Med)

Publisher Model Question Papers (Sura & Dolphin)

10th Tamil - Model Questions Papers Sura
Download
10th English - Model Questions Papers Dolphin
Download
10th English - Model Questions Papers Sura
Download
10th Maths - Model Questions Papers Sura
Download (TM & EM)
10th Science - Model Questions Papers Sura
Download (TM & EM)
10th Social - Model Questions Papers Sura
Download (TM & EM)

10th Geometry July 2024 Board Exam Question Paper with Solutions in Hindi Medium

рдЧрдгिрдд рднाрдЧ-реи (рднूрдоिрддि) - рдЬुрд▓ाрдИ реирежреирек [рд╣िंрджी рдоाрдз्рдпрдо]

рд╕рдордп: реи рдШंрдЯे | рдХुрд▓ рдЕंрдХ: рекреж

рдк्рд░рд╢्рди рез. (A) рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рдиों рдХे рдЙрдд्рддрд░ों рдХे рд▓िрдП рдЪाрд░ рд╡िрдХрд▓्рдк рджिрдпे рдЧрдпे рд╣ैं। рд╕рд╣ी рд╡िрдХрд▓्рдк рдЪुрдирдХрд░ рдЙрд╕рдХा рд╡рд░्рдгाрдХ्рд╖рд░ рд▓िрдЦिрдП। (рек рдЕंрдХ)
рез) рдпрджि $\triangle ABC$ рддрдеा $\triangle PQR$ рдоें рдХिрд╕ी рдПрдХैрдХी рд╕ंрдЧрддि рд╕े $\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}$ рд╣ो, рддो рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдоें рд╕े _____ рдХрдерди рд╕рдд्рдп рд╣ै।
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
рдЙрдд्рддрд░: (B)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: рднुрдЬाрдУं рдХी рд╕рдоाрдиुрдкाрддिрдХрддा: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
рд╢ीрд░्рд╖ों рдХी рд╕ंрдЧрддि: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
рдЕрддः, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ рдпा $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
реи) рджो рдмाрд╣्рдпрд╕्рдкрд░्рд╢ी рд╡ृрдд्рддों рдХी рдд्рд░िрдЬ्рдпाрдПँ рдХ्рд░рдорд╢ः рел.рел рд╕ेрдоी рддрдеा рей.рей рд╕ेрдоी рд╣ों, рддो рдЙрдирдХे рдХेंрдж्рд░ों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी _____ рд╣ोрдЧी।
  • (A) рек.рек рд╕ेрдоी
  • (B) рео.рео рд╕ेрдоी
  • (C) реи.реи рд╕ेрдоी
  • (D) рео.рей рд╕ेрдоी
рдЙрдд्рддрд░: (B)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: рдмाрд╣्рдпрд╕्рдкрд░्рд╢ी рд╡ृрдд्рддों рдХे рдХेंрдж्рд░ों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी = рдд्рд░िрдЬ्рдпाрдУं рдХा рдпोрдЧ = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ рд╕ेрдоी।
рей) рдпрджि рд░ेрдЦ AB рдпрд╣ Y-рдЕрдХ्рд╖ рдХे рд╕рдоांрддрд░ рд╣ो рддрдеा рдмिंрджु A рдХे рдиिрд░्рджेрд╢ांрдХ (рез, рей) рд╣ों, рддो рдмिंрджु B рдХे рдиिрд░्рджेрд╢ांрдХ _____ рд╣ैं।
  • (A) (рей, рез)
  • (B) (рел, рей)
  • (C) (рей, реж)
  • (D) (рез, -рей)
рдЙрдд्рддрд░: (D)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: Y-рдЕрдХ्рд╖ рдХे рд╕рдоांрддрд░ рд░ेрдЦा рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рд╕рднी рдмिंрджुрдУं рдХा X-рдиिрд░्рджेрд╢ांрдХ рд╕рдоाрди рд╣ोрддा рд╣ै। A рдХा X-рдиिрд░्рджेрд╢ांрдХ рез рд╣ै, рдЗрд╕рд▓िрдП B рдХा X-рдиिрд░्рджेрд╢ांрдХ рднी рез рд╣ोрдиा рдЪाрд╣िрдП।
рек) резреж рд╕ेрдоी рднुрдЬा рд╡ाрд▓े рд╕рдордШрди рдХा рдШрдирдлрд▓ _____ рд╣ोрдЧा।
  • (A) резрежрежреж рд╕ेрдоी$^3$
  • (B) резрежреж рд╕ेрдоी$^3$
  • (C) резреж,режрежреж рд╕ेрдоी$^3$
  • (D) резреж рд╕ेрдоी$^3$
рдЙрдд्рддрд░: (A)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: рд╕рдордШрди рдХा рдШрдирдлрд▓ = $(\text{рднुрдЬा})^3 = 10^3 = 1000 \text{ рд╕ेрдоी}^3$।
рдк्рд░рд╢्рди рез. (B) рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рдиों рдХो рд╣рд▓ рдХीрдЬिрдП। (рек рдЕंрдХ)
рез) $\triangle ABC$ рдоें, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ рд╕ेрдоी рд╣ो, рддो AB рдХा рдоाрди рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ рдд्рд░िрднुрдЬ рдХे рдк्рд░рдоेрдп рд╕े, $30^{\circ}$ рдХोрдг рдХी рд╕рдо्рдоुрдЦ рднुрдЬा рдХрд░्рдг рдХी рдЖрдзी рд╣ोрддी рд╣ै।
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ рд╕ेрдоी
реи) рдКрдкрд░ рджी рдЧрдпी рдЖрдХृрддि рдоें, $m(\text{рдЪाрдк } MN) = 70^{\circ}$ рд╣ो, рддो $\angle MLN$ рдХा рдоाрдк рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрдг рдХे рдк्рд░рдоेрдп рд╕े:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{рдЪाрдк } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
рей) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta$ рдХा рдоाрди рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рд╣рдо рдЬाрдирддे рд╣ैं рдХि, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \text{cosec } \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
рдоाрди = рез
рек) рдпрджि рд╡ृрдд्рдд рдХी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рек рд╕ेрдоी рддрдеा рд╡ृрдд्рдд рдЪाрдк рдХी рд▓ंрдмाрдИ резреж рд╕ेрдоी рд╣ो, рддो рдж्рд╡ैрдд्рд░िрдЬ्рдп (sector) рдХा рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд▓ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рджिрдпा рдЧрдпा рд╣ै: рдд्рд░िрдЬ्рдпा ($r$) = рек рд╕ेрдоी, рдЪाрдк рдХी рд▓ंрдмाрдИ ($l$) = резреж рд╕ेрдоी।
рдж्рд╡ैрдд्рд░िрдЬ्рдп рдХा рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд▓ ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд▓ = реиреж рд╡рд░्рдЧ рд╕ेрдоी

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

Maths July 2025 Board Papers

Maths March 2024 Board Papers

Maths July 2024 Board Papers

рдк्рд░рд╢्рди реи. (A) рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХрд░рдХे рд▓िрдЦिрдпे (рдХोрдИ рджो)। (рек рдЕंрдХ)
рез) рдКрдкрд░ рджी рдЧрдпी рдЖрдХृрддि рдоें, рдЬीрд╡ा PQ рдФрд░ рдЬीрд╡ा RS рдкрд░рд╕्рдкрд░ рдмिंрджु T рдоें рдк्рд░рддिрдЪ्рдЫेрджिрдд рдХрд░рддी рд╣ैं, рддो $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{рдЪाрдк } SQ) + m(\text{рдЪाрдк } PR)]$ рд╕िрдж्рдз рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХीрдЬिрдпे।
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (рдд्рд░िрднुрдЬ рдХे рдмрд╣िрд╖्рдХोрдг рдХा рдк्рд░рдоेрдп)
$= \frac{1}{2} m(\text{рдЪाрдк } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{рдЪाрдк } PR)$ (рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрдг рдХा рдк्рд░рдоेрдп)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{рдЪाрдк } SQ)$ + $m(\text{рдЪाрдк } PR)$ $]$
реи) рдпрджि $\sec \theta = \frac{25}{7}$ рд╣ो, рддो $\tan \theta$ рдХा рдоाрди рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХीрдЬिрдпे।
рд╕рд░्рд╡рд╕рдоिрдХा рд╕े,
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
рей) рд╢ंрдХु рдХे рдЖрдзाрд░ рдХी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рен рд╕ेрдоी рдФрд░ рд▓ंрдм рдКँрдЪाрдИ рем рд╕ेрдоी рд╣ै, рддो рд╢ंрдХु рдХा рдШрдирдлрд▓ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХीрдЬिрдпे।
рд╢ंрдХु рдХा рдШрдирдлрд▓ = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
рд╢ंрдХु рдХा рдШрдирдлрд▓ = рейрежрео рд╕ेрдоी$^3$
рдк्рд░рд╢्рди реи. (B) рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рдиों рдХो рд╣рд▓ рдХीрдЬिрдпे (рдХोрдИ рдЪाрд░)। (рео рдЕंрдХ)
рез) рдмिंрджु P рдХेंрдж्рд░ рдФрд░ рей.реи рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рд╡ाрд▓े рд╡ृрдд्рдд рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рдмिंрджु M рдкрд░ рд╡ृрдд्рдд рдХी рд╕्рдкрд░्рд╢ рд░ेрдЦा рдХी рд░рдЪрдиा рдХीрдЬिрдпे।
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it рд░рдЪрдиा рдХे рд╕ोрдкाрди:
рез. рдХेंрдж्рд░ P рдФрд░ рей.реи рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рдХा рдПрдХ рд╡ृрдд्рдд рдЦींрдЪिрдП।
реи. рд╡ृрдд्рдд рдкрд░ рдХोрдИ рдмिंрджु M рд▓ीрдЬिрдП।
рей. рдХिрд░рдг PM рдЦींрдЪिрдП।
рек. рдмिंрджु M рд╕े рдХिрд░рдг PM рдкрд░ рд▓ंрдм рд░ेрдЦा рдЦींрдЪिрдП। рдпрд╣ рд░ेрдЦा рдЕрднीрд╖्рдЯ рд╕्рдкрд░्рд╢ рд░ेрдЦा рд╣ै।
реи) $\triangle PQR$ рдоें, рд░ेрдЦ RS рдпрд╣ $\angle PRQ$ рдХा рдХोрдг рд╕рдордж्рд╡िрднाрдЬрдХ рд╣ै। рдпрджि $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$ рд╣ो, рддो SQ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рдд्рд░िрднुрдЬ рдХे рдХोрдг рд╕рдордж्рд╡िрднाрдЬрдХ рдк्рд░рдоेрдп рд╕े:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ рдЗрдХाрдИ
рей) резрек рд╕ेрдоी рд╡्рдпाрд╕ рд╡ाрд▓े рдЧोрд▓े рдХा рдкृрд╖्рдардлрд▓ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рд╡्рдпाрд╕ = резрек рд╕ेрдоी $\therefore$ рдд्рд░िрдЬ्рдпा ($r$) = рен рд╕ेрдоी।
рдЧोрд▓े рдХा рдкृрд╖्рдардлрд▓ = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
рдкृрд╖्рдардлрд▓ = ремрезрем рд╡рд░्рдЧ рд╕ेрдоी
рек) рдЖрдХृрддि рдоें, $\angle PQR=90^{\circ}$, рд░ेрдЦ $QN \perp$ рд░ेрдЦ PR, $PN=9, NR=16$ рд╣ो, рддो QN рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рдЬ्рдпाрдоिрддीрдп рдоाрдз्рдп рдХे рдк्рд░рдоेрдп рд╕े:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
рд╡рд░्рдЧрдоूрд▓ рд▓ेрдиे рдкрд░,
$QN = 12$ рдЗрдХाрдИ
рел) рдмिंрджु $A(3,3)$ рдФрд░ $B(5,7)$ рдоें рд╕े рд╣ोрдХрд░ рдЬाрдиे рд╡ाрд▓ी рд░ेрдЦा рдХा рдвाрд▓ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рд░ेрдЦा рдХा рдвाрд▓ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
рдвाрд▓ = реи
рдк्рд░рд╢्рди рей. (A) рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХрд░рдХे рд▓िрдЦिрдпे (рдХोрдИ рдПрдХ)। (рей рдЕंрдХ)
рез) рдЖрдХृрддि рдоें, AB || CD || EF। рдпрджि $AC=12, CE=9, BD=8$ рд╣ो, рддो DF рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХीрдЬिрдпे।
рддीрди рд╕рдоांрддрд░ рд░ेрдЦाрдПँ рддрдеा рдЙрдирдХी рддिрд░्рдпрдХ рд░ेрдЦा рдХा рдЧुрдгрдзрд░्рдо:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
реи) рд▓ंрдмрд╡ृрдд्рддाрдХाрд░ рдмेрд▓рди рдХे рдЖрдзाрд░ рдХी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рен рд╕ेрдоी рдФрд░ рдКँрдЪाрдИ реирез рд╕ेрдоी рд╣ो, рддो рдЙрд╕рдХा рдШрдирдлрд▓ рддрдеा рдЖрдзाрд░ рдХी рдкрд░िрдзि рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдХृрддि рдкूрд░्рдг рдХीрдЬिрдпे।
рд▓ंрдмрд╡ृрдд्рддाрдХाрд░ рдмेрд▓рди рдХा рдШрдирдлрд▓ = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
рдШрдирдлрд▓ = рейреирейрек рд╕ेрдоी$^3$

рдЖрдзाрд░ рдХी рдкрд░िрдзि = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
рдкрд░िрдзि = рекрек рд╕ेрдоी
рдк्рд░рд╢्рди рей. (B) рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╣рд▓ рдХीрдЬिрдпे (рдХोрдИ рджो)। (рем рдЕंрдХ)
рез) рд╕िрдж्рдз рдХीрдЬिрдпे, 'рдЪрдХ्рд░ीрдп рдЪрддुрд░्рднुрдЬ рдХे рд╕ंрдоुрдЦ рдХोрдг рдкрд░рд╕्рдкрд░ рд╕ंрдкूрд░рдХ рд╣ोрддे рд╣ैं।'
рджрдд्рдд: $\square ABCD$ рдПрдХ рдЪрдХ्рд░ीрдп рдЪрддुрд░्рднुрдЬ рд╣ै।
рд╕ाрдз्рдп: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ рддрдеा $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
рдЙрдкрдкрдд्рддि:
$\angle ADC$ рдПрдХ рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрдг рд╣ै рдФрд░ рдЗрд╕рдиे рдЪाрдк ABC рдХो рдЕंрддрд░्рдЦंрдбिрдд рдХिрдпा рд╣ै।
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{рдЪाрдк } ABC)$ ... (I)
рдЗрд╕ी рдк्рд░рдХाрд░, $\angle ABC$ рдПрдХ рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрдг рд╣ै рдФрд░ рдЗрд╕рдиे рдЪाрдк ADC рдХो рдЕंрддрд░्рдЦंрдбिрдд рдХिрдпा рд╣ै।
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{рдЪाрдк } ADC)$ ... (II)
(I) рдФрд░ (II) рдХो рдЬोрдб़рдиे рдкрд░:
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{рдЪाрдк } ABC) + m(\text{рдЪाрдк } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (рдХ्рдпोंрдХि рдЪाрдк ABC + рдЪाрдк ADC рдоिрд▓рдХрд░ рдкूрд░्рдг рд╡ृрдд्рдд рдмрдиाрддे рд╣ैं)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
рдЗрд╕ी рдк्рд░рдХाрд░, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ рд╕िрдж्рдз рдХिрдпा рдЬा рд╕рдХрддा рд╣ै।
реи) рдХेंрдж्рд░ P рдФрд░ рей.рел рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рдХा рд╡ृрдд्рдд рдЦींрдЪिрдпे। рд╡ृрдд्рдд рдХे рдХेंрдж्рд░ рд╕े рео рд╕ेрдоी рджूрд░ी рдкрд░ рдХोрдИ рдмिंрджु Q рд▓ीрдЬिрдпे। рдмिंрджु Q рд╕े рд╡ृрдд्рдд рдХी рд╕्рдкрд░्рд╢ рд░ेрдЦाрдУं рдХी рд░рдЪрдиा рдХीрдЬिрдпे।
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. рд░рдЪрдиा рдХे рд╕ोрдкाрди:
рез. рдХेंрдж्рд░ P рдФрд░ рей.рел рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рдХा рдПрдХ рд╡ृрдд्рдд рдЦींрдЪिрдП।
реи. рдХेंрдж्рд░ P рд╕े рео рд╕ेрдоी рдХी рджूрд░ी рдкрд░ рдПрдХ рдмिंрджु Q рд▓ीрдЬिрдП।
рей. рд░ेрдЦ PQ рдХा рд▓ंрдм рд╕рдордж्рд╡िрднाрдЬрдХ рдЦींрдЪрдХрд░ рдордз्рдпрдмिंрджू M рдк्рд░ाрдк्рдд рдХीрдЬिрдП।
рек. M рдХो рдХेंрдж्рд░ рдоाрдирдХрд░ рдФрд░ рдд्рд░िрдЬ्рдпा MP рд▓ेрдХрд░ рдПрдХ рд╡ृрдд्рдд (рдпा рдЪाрдк) рдЦींрдЪिрдП рдЬो рдоूрд▓ рд╡ृрдд्рдд рдХो рдмिंрджुрдУं A рдФрд░ B рдкрд░ рдк्рд░рддिрдЪ्рдЫेрдж рдХрд░े।
рел. рдХिрд░рдг QA рдФрд░ рдХिрд░рдг QB рдЦींрдЪिрдП।
рдпे рдЕрднीрд╖्рдЯ рд╕्рдкрд░्рд╢ рд░ेрдЦाрдПँ рд╣ैं।
рей) рдмिंрджु P(-2, 3), Q(1, 2), R(4, 1) рдПрдХрд░ेрдЦीрдп рд╣ैं, рдпрд╣ рджрд░्рд╢ाрдУ।
рд░ेрдЦा рдХा рдвाрд▓ = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
рд░ेрдЦ PQ рдХा рдвाрд▓ = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
рд░ेрдЦ QR рдХा рдвाрд▓ = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
рдЪूँрдХि, рд░ेрдЦ PQ рдХा рдвाрд▓ = рд░ेрдЦ QR рдХा рдвाрд▓ рд╣ै рдФрд░ рдмिंрджु Q рд╕ाрдоाрди्рдп рд╣ै,
рдЕрддः рдмिंрджु P, Q рдФрд░ R рдПрдХрд░ेрдЦीрдп рд╣ैं।
рек) рдпрджि $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ рддрдеा $QR=20$ рд╣ो, рддो MN рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рджिрдпा рд╣ै: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
рд╕рдорд░ूрдк рдд्рд░िрднुрдЬों рдХे рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд▓ों рдХे рдк्рд░рдоेрдп рд╕े:
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
рджोрдиों рдкрдХ्рд╖ों рдХा рд╡рд░्рдЧрдоूрд▓ рд▓ेрдиे рдкрд░:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ рдЗрдХाрдИ
рдк्рд░рд╢्рди рек. рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╣рд▓ рдХीрдЬिрдпे (рдХोрдИ рджो)। (рео рдЕंрдХ)
рез) $\triangle ABC$ рдпрд╣ рд╕рдордмाрд╣ु рдд्рд░िрднुрдЬ рд╣ै। рдмिंрджु D рдпрд╣ рд░ेрдЦ BC рдкрд░ рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рд╣ै рдХि $BD = \frac{1}{5} BC$ рд╣ो, рддो рд╕िрдж्рдз рдХीрдЬिрдпे рдХि $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
рдЙрдкрдкрдд्рддि:
$\triangle ABC$ рдоें $AM \perp BC$ рдЦींрдЪिрдП। рд╕рдордмाрд╣ु рдд्рд░िрднुрдЬ рдоें рд╢ीрд░्рд╖рд▓ंрдм рд╣ी рдоाрдз्рдпिрдХा рд╣ोрддी рд╣ै।
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
рджिрдпा рд╣ै $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
рд╕рдордХोрдг $\triangle AMC$ рдоें, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (рд╕рдордмाрд╣ु рдд्рд░िрднुрдЬ рдХी рдКँрдЪाрдИ)।
рдЕрдм, рд╕рдордХोрдг $\triangle AMD$ рдоें, рдкाрдЗрдеाрдЧोрд░рд╕ рдк्рд░рдоेрдп рд╕े:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
$BC = AB$ рд░рдЦрдиे рдкрд░:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
реи) $\triangle LMN \sim \triangle LQP$, $\triangle LMN$ рдоें $LM=3.6$ рд╕ेрдоी, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ рд╕ेрдоी рдФрд░ $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ рд╣ो, рддो $\triangle LQP$ рдХी рд░рдЪрдиा рдХीрдЬिрдпे।
рд╡िрд╢्рд▓ेрд╖рдг:
рд╢ीрд░्рд╖ L рд╕ाрдоाрди्рдп рд╣ै।
рдЕрдиुрдкाрдд $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ рд╣ै, рдЕрд░्рдеाрдд $\triangle LQP$ рдХी рднुрдЬाрдПँ $\triangle LMN$ рдХी рднुрдЬाрдУं рд╕े рдмрдб़ी рд╣ैं।
рд░рдЪрдиा рдХे рд╕ोрдкाрди:
рез. рджी рдЧрдИ рдоाрдкों рдХा $\triangle LMN$ рдмрдиाрдЗрдП ($LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$)।
реи. рдмिंрджु L рд╕े рдПрдХ рдХिрд░рдг рдЦींрдЪिрдП рдЬो рднुрдЬा LM рдХे рд╕ाрде рди्рдпूрдирдХोрдг рдмрдиाрдП।
рей. рдХिрд░рдг рдкрд░ рд╕рдоाрди рджूрд░ी рдкрд░ рен рдЪाрдк рд▓рдЧाрдЗрдП ($A_1$ рд╕े $A_7$)।
рек. рдмिंрджु $A_4$ рдХो рдмिंрджु M рд╕े рдоिрд▓ाрдЗрдП (рдХ्рдпोंрдХि LM 4 рднाрдЧ рдХे рд╕ंрдЧрдд рд╣ै)।
рел. рдмिंрджु $A_7$ рд╕े рд░ेрдЦ $A_4M$ рдХे рд╕рдоांрддрд░ рдПрдХ рд░ेрдЦा рдЦींрдЪिрдП рдЬो рдмрдв़ाрдИ рдЧрдИ рднुрдЬा LM рдХो рдмिंрджु Q рдкрд░ рдк्рд░рддिрдЪ्рдЫेрдж рдХрд░े।
рем. рдмिंрджु Q рд╕े рднुрдЬा MN рдХे рд╕рдоांрддрд░ рдПрдХ рд░ेрдЦा рдЦींрдЪिрдП рдЬो рдмрдв़ाрдИ рдЧрдИ рднुрдЬा LN рдХो рдмिंрджु P рдкрд░ рдк्рд░рддिрдЪ्рдЫेрдж рдХрд░े।
$\triangle LQP$ рдЕрднीрд╖्рдЯ рдд्рд░िрднुрдЬ рд╣ै।
рей) рдирджी рдХे рдкाрдЯ рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХрд░рдиे рдХे рд▓िрдП рдПрдХ рд╡्рдпрдХ्рддि... рдкेрдб़ рдХी рдЪोрдЯी рдХो рджेрдЦрддा рд╣ै। рдЙрд╕ рд╕рдордп ремреж° рдоाрдк рдХा рдЙрди्рдирдд рдХोрдг рдмрдирддा рд╣ै। реирек рдоीрдЯрд░ рдХी рджूрд░ी рдкрд░ рдкीрдЫे рдЬाрдХрд░... рейреж° рдоाрдк рдХा рдЙрди्рдирдд рдХोрдг рдмрдирддा рд╣ै, рддो рдирджी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ рдФрд░ рдкेрдб़ рдХी рдКँрдЪाрдИ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рдоाрдиा рдкेрдб़ рдХी рдКँрдЪाрдИ = $h$ рдоीрдЯрд░ рдФрд░ рдирджी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ = $x$ рдоीрдЯрд░।
рд╕्рдеिрддि рез: ремреж° рдХोрдг।
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
рд╕्рдеिрддि реи: реирек рдоी рдкीрдЫे рдЬाрдиे рдкрд░, рджूрд░ी = $(x + 24)$ рдоी, рдХोрдг рейреж°।
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
(I) рд╕े $h$ рдХा рдоाрди рд░рдЦрдиे рдкрд░:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ рдоी}}$ (рдирджी рдХी рдЪौрдб़ाрдИ)
рдЕрдм, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ рдоी।
рдкेрдб़ рдХी рдКँрдЪाрдИ = реиреж.ренрем рдоी.
рдк्рд░рд╢्рди рел. рдиिрдо्рдирд▓िрдЦिрдд рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╣рд▓ рдХीрдЬिрдпे (рдХोрдИ рдПрдХ)। (рей рдЕंрдХ)
рез) рдХिрд╕ी рд╡ृрдд्рддाрдХाрд░ рдмрдЧीрдЪे рдХा рд╡्рдпाрд╕ резрей рдоी. рддрдеा рдмрдЧीрдЪे рдХे рджो рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ों рдХे рдмीрдЪ рдХी рджूрд░ी резрей рдоी. рд╣ै। рдмрдЧीрдЪे рдХी рдкрд░िрдзि рдкрд░ рдПрдХ рд╡िрдж्рдпुрдд рдЦंрднा рдЗрд╕ рдк्рд░рдХाрд░ рдЦрдб़ा рдХрд░рдиा рд╣ै рдХि рдк्рд░рдд्рдпेрдХ рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ рд╕े рдЦंрднे рддрдХ рдХी рджूрд░िрдпों рдоें рд╣ोрдиे рд╡ाрд▓ा рдЕंрддрд░ рен рдоी. рд╣ो। рдРрд╕ा рдЦंрднा рдЦрдб़ा рдХрд░ рд╕рдХрддे рд╣ैं рдХ्рдпा? рдпрджि рдХрд░ рд╕рдХрддे рд╣ैं рддो рдЦंрднे рдХी рджोрдиों рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ों рд╕े рд╣ोрдиे рд╡ाрд▓ी рджूрд░िрдпाँ рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рдоाрдиा рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ A рдФрд░ B рд╣ैं। $AB = 13$ рдоी. рд╡्рдпाрд╕ = резрей рдоी.
рдЪूँрдХि рдЬीрд╡ा AB = рд╡्рдпाрд╕ рд╣ै, рдЕрддः A рдФрд░ B рд╡्рдпाрд╕ рдХे рдЕंрдд्рдпрдмिंрджु рд╣ैं।
рдоाрдиा рдЦंрднा рдмिंрджु P рдкрд░ рд╣ै। $\angle APB = 90^{\circ}$ (рдЕрд░्рдзрд╡ृрдд्рдд рдХा рдХोрдг)।
рдоाрдиा $PA = x$ рдФрд░ $PB = y$।
рджिрдпा рдЧрдпा рдЕंрддрд░ рен рдоी рд╣ै: $|x - y| = 7$.
рд╕рдордХोрдг $\triangle APB$ рдоें: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
рд╕ूрдд्рд░ рд╕े: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
рдЕрдм, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
рд╕рдоीрдХрд░рдгों рдХो рд╣рд▓ рдХрд░рдиे рдкрд░ ($x+y=17$ рдФрд░ $x-y=7$):
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
рд╣ाँ, рдРрд╕ा рдЦंрднा рдЦрдб़ा рдХिрдпा рдЬा рд╕рдХрддा рд╣ै। рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ों рд╕े рдЙрд╕рдХी рджूрд░िрдпाँ резреи рдоी рдФрд░ рел рдоी рд╣ोंрдЧी।
реи) рдпрджि $x - 6y + 11 = 0$ рдпрд╣ рд░ेрдЦा (8, -1) рдФрд░ (0, k) рдЗрди рджो рдмिंрджुрдУं рдХो рдЬोрдб़рдиे рд╡ाрд▓े рд░ेрдЦाрдЦंрдб рдХो рд╕рдордж्рд╡िрднाрдЬिрдд рдХрд░рддी рд╣ो, рддो k рдХा рдоाрди рдЬ्рдЮाрдд рдХीрдЬिрдпे।
рдоाрдиा $A=(8, -1)$ рдФрд░ $B=(0, k)$।
рд░ेрдЦाрдЦंрдб AB рдХो рд░ेрдЦा рд╕рдордж्рд╡िрднाрдЬिрдд рдХрд░рддी рд╣ै, рдЗрд╕рдХा рдЕрд░्рде рд╣ै рдХि AB рдХा рдордз्рдпрдмिंрджु рдЙрд╕ рд░ेрдЦा рдкрд░ рд╕्рдеिрдд рд╣ै।
рдордз्рдпрдмिंрджु $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$।
рдЗрд╕ рдмिंрджु рдХो рд░ेрдЦा рдХे рд╕рдоीрдХрд░рдг $x - 6y + 11 = 0$ рдоें рд░рдЦрдиे рдкрд░:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
Question Paper Page No. 1 Question Paper Page No. 2 Question Paper Page No. 3 Question Paper Page No. 4 Question Paper Page No. 5 Question Paper Page No. 6 Question Paper Page No. 7 Question Paper Page No. 8 Question Paper Page No. 9 Question Paper Page No. 10 Question Paper Page No. 11 For all your study Materials Visit : omtexclasses.com

10th Geometry July 2024 Question Paper with Solutions in Marathi

рдЧрдгिрдд рднाрдЧ-реи (рднूрдоिрддी) - рдЬुрд▓ै реирежреирек

рд╡ेрд│: реи рддाрд╕ | рдПрдХूрдг рдЧुрдг: рекреж

рдк्рд░рд╢्рди рез. (A) рдЦाрд▓ीрд▓ рдк्рд░рдд्рдпेрдХ рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рдиाрд╕ाрдаी рдЪाрд░ рдкрд░्рдпाрдпी рдЙрдд्рддрд░े рджिрд▓ी рдЖрд╣ेрдд. рдд्рдпाрдкैрдХी рдЕрдЪूрдХ рдкрд░्рдпाрдп рдиिрд╡рдбूрди рдд्рдпाрдЪे рд╡рд░्рдгाрдХ्рд╖рд░ рд▓िрд╣ा. (рек рдЧुрдг)
рез) рдЬрд░ $\triangle ABC$ рд╡ $\triangle PQR$ рдордз्рдпे рд╢िрд░ोрдмिंрджूрдЪ्рдпा рдПрдХाрд╕-рдПрдХ рд╕ंрдЧрддीрдд $\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}$, рддрд░ рдЦाрд▓ीрд▓рдкैрдХी рд╕рдд्рдп рд╡िрдзाрди _____ рдЖрд╣े.
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
рдЙрдд्рддрд░: (B)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: рдмाрдЬूंрдЪी рдк्рд░рдоाрдгाрдд рд╕ंрдЧрддी: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
рд╢िрд░ोрдмिंрджूंрдЪी рд╕ंрдЧрддी: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
рдо्рд╣рдгूрди, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ рдХिंрд╡ा $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
реи) рджोрди рдмाрд╣्рдпрд╕्рдкрд░्рд╢ी рд╡рд░्рддुрд│ांрдЪ्рдпा рдд्рд░िрдЬ्рдпा рдЕрдиुрдХ्рд░рдоे рел.рел рд╕ेрдоी, рей.рей рд╕ेрдоी рдЖрд╣ेрдд, рддрд░ рдд्рдпांрдЪ्рдпा рдХेंрдж्рд░ाрддीрд▓ рдЕंрддрд░ _____ рдЖрд╣े.
  • (A) рек.рек рд╕ेрдоी
  • (B) рео.рео рд╕ेрдоी
  • (C) реи.реи рд╕ेрдоी
  • (D) рео.рей рд╕ेрдоी
рдЙрдд्рддрд░: (B)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: рдмाрд╣्рдпрд╕्рдкрд░्рд╢ी рд╡рд░्рддुрд│ांрдЪ्рдпा рдХेंрдж्рд░ाрддीрд▓ рдЕंрддрд░ = рдд्рд░िрдЬ्рдпांрдЪी рдмेрд░ीрдЬ = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ рд╕ेрдоी.
рей) рд░ेрдЦ AB рд╣ा Y-рдЕрдХ्рд╖ाрд▓ा рд╕рдоांрддрд░ рдЕрд╕ूрди рдмिंрджू A рдЪे рдиिрд░्рджेрд╢рдХ (рез, рей) рдЖрд╣ेрдд, рддрд░ рдмिंрджू B рдЪे рдиिрд░्рджेрд╢рдХ _____ рдЖрд╣ेрдд.
  • (A) (рей, рез)
  • (B) (рел, рей)
  • (C) (рей, реж)
  • (D) (рез, -рей)
рдЙрдд्рддрд░: (D)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: Y-рдЕрдХ्рд╖ाрд▓ा рд╕рдоांрддрд░ рд░ेрд╖ेрд╡рд░ीрд▓ рд╕рд░्рд╡ рдмिंрджूंрдЪे X-рдиिрд░्рджेрд╢рдХ рд╕рдоाрди рдЕрд╕рддाрдд. A рдЪा X-рдиिрд░्рджेрд╢рдХ рез рдЖрд╣े, рдо्рд╣рдгूрди B рдЪा X-рдиिрд░्рджेрд╢рдХ рез рдЕрд╕ाрд╡ा.
рек) резреж рд╕ेрдоी рдмाрдЬू рдЕрд╕рд▓ेрд▓्рдпा рдШрдиाрдЪे рдШрдирдлрд│ _____ рдЖрд╣े.
  • (A) резрежрежреж рдШрд╕ेрдоी
  • (B) резрежреж рдШрд╕ेрдоी
  • (C) резреж,режрежреж рдШрд╕ेрдоी
  • (D) резреж рдШрд╕ेрдоी
рдЙрдд्рддрд░: (A)
рд╕्рдкрд╖्рдЯीрдХрд░рдг: рдШрдиाрдЪे рдШрдирдлрд│ = $(\text{рдмाрдЬू})^3 = 10^3 = 1000 \text{ рдШрд╕ेрдоी}$.
рдк्рд░рд╢्рди рез. (B) рдЦाрд▓ीрд▓ рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╕ोрдбрд╡ा. (рек рдЧुрдг)
рез) $\triangle ABC$ рдордз्рдпे, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ рд╕ेрдоी, рддрд░ рдмाрдЬू AB рдЪी рдХिंрдордд рдХाрдвा.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ рдд्рд░िрдХोрдгाрдЪ्рдпा рдк्рд░рдоेрдпाрдиुрд╕ाрд░, $30^{\circ}$ рдХोрдиाрд╕рдоोрд░ीрд▓ рдмाрдЬू рдХрд░्рдгाрдЪ्рдпा рдиिрдо्рдоी рдЕрд╕рддे.
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ рд╕ेрдоी
реи) рдЖрдХृрддीрдордз्рдпे, $m(\text{рдХंрд╕ } MN) = 70^{\circ}$, рддрд░ $\angle MLN$ рдЪे рдоाрдк рдХिрддी?
рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрдиाрдЪ्рдпा рдк्рд░рдоेрдпाрдиुрд╕ाрд░:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{рдХंрд╕ } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
рей) рдХिंрдордд рдХाрдвा: $\sin \theta \times \text{cosec } \theta$.
рдЖрдкрд▓्рдпाрд▓ा рдоाрд╣िрдд рдЖрд╣े рдХी, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \text{cosec } \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
рдХिंрдордд = рез
рек) рдЬрд░ рд╡рд░्рддुрд│ाрдЪी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рек рд╕ेрдоी рдЖрдгि рд╡рд░्рддुрд│рдХंрд╕ाрдЪी рд▓ांрдмी резреж рд╕ेрдоी рдЕрд╕ेрд▓, рддрд░ рд╡рд░्рддुрд│рдкाрдХрд│ीрдЪे рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд│ рдХाрдвा.
рджिрд▓े рдЖрд╣े: рдд्рд░िрдЬ्рдпा ($r$) = рек рд╕ेрдоी, рдХंрд╕ाрдЪी рд▓ांрдмी ($l$) = резреж рд╕ेрдоी.
рд╡рд░्рддुрд│рдкाрдХрд│ीрдЪे рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд│ ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд│ = реиреж рдЪौрд╕ेрдоी

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

Maths July 2025 Board Papers

Maths March 2024 Board Papers

Maths July 2024 Board Papers

рдк्рд░рд╢्рди реи. (A) рдЦाрд▓ीрд▓ рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ूрди рдкुрди्рд╣ा рд▓िрд╣ा (рдХोрдгрдд्рдпाрд╣ी рджोрди). (рек рдЧुрдг)
рез) рд╡рд░ीрд▓ рдЖрдХृрддीрдордз्рдпे, рдЬीрд╡ा PQ рдЖрдгि рдЬीрд╡ा RS рдПрдХрдоेрдХीрд╕ рдмिंрджू T рдордз्рдпे рдЫेрджрддाрдд. рддрд░ $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{рдХंрд╕ } SQ) + m(\text{рдХंрд╕ } PR)]$ рд╣े рд╕िрдж्рдз рдХрд░рдг्рдпाрд╕ाрдаी рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ा.
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (рдд्рд░िрдХोрдгाрдЪ्рдпा рджूрд░рд╕्рде рдЖंрддрд░рдХोрдиांрдЪे рдк्рд░рдоेрдп)
$= \frac{1}{2} m(\text{рдХंрд╕ } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{рдХंрд╕ } PR)$ (рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрдиाрдЪे рдк्рд░рдоेрдп)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{рдХंрд╕ } SQ)$ + $m(\text{рдХंрд╕ } PR)$ $]$
реи) рдЬрд░ $\sec \theta = \frac{25}{7}$ рддрд░ $\tan \theta$ рдЪी рдХिंрдордд рдХाрдврдг्рдпाрд╕ाрдаी рдЦाрд▓ीрд▓ рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ा.
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
рей) рдПрдХा рд╢ंрдХूрдЪ्рдпा рддрд│ाрдЪी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рен рд╕ेрдоी рдЕрд╕ूрди рдд्рдпाрдЪी рд▓ंрдм рдЙंрдЪी рем рд╕ेрдоी рдЖрд╣े, рддрд░ рд╢ंрдХूрдЪे рдШрдирдлрд│ рдХाрдврдг्рдпाрд╕ाрдаी рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ा.
рд╢ंрдХूрдЪे рдШрдирдлрд│ = $\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
рд╢ंрдХूрдЪे рдШрдирдлрд│ = рейрежрео рдШрд╕ेрдоी
рдк्рд░рд╢्рди реи. (B) рдЦाрд▓ीрд▓ рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╕ोрдбрд╡ा (рдХोрдгрддेрд╣ी рдЪाрд░). (рео рдЧुрдг)
рез) рдХेंрдж्рд░ P рд╡ рдд्рд░िрдЬ्рдпा рей.реи рд╕ेрдоी рдЕрд╕рд▓ेрд▓्рдпा рд╡рд░्рддुрд│ाрд▓ा рдд्рдпाрд╡рд░ीрд▓ M рдмिंрджूрддूрди рд╕्рдкрд░्рд╢िрдХा рдХाрдвा.
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it рд░рдЪрдиेрдЪ्рдпा рдкाрдпрд▒्рдпा:
рез. P рдХेंрдж्рд░ рд╡ рей.реи рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рдЕрд╕рд▓ेрд▓े рд╡рд░्рддुрд│ рдХाрдвा.
реи. рд╡рд░्рддुрд│ाрд╡рд░ рдХुрдаेрд╣ी рдмिंрджू M рдШ्рдпा.
рей. рдХिрд░рдг PM рдХाрдвा.
рек. рдмिंрджू M рдордзूрди рдХिрд░рдг PM рд▓ा рд▓ंрдм рд░ेрд╖ा рдХाрдвा. рд╣ी рд░ेрд╖ा рдЕрдкेрдХ्рд╖िрдд рд╕्рдкрд░्рд╢िрдХा рдЖрд╣े.
реи) $\triangle PQR$ рдордз्рдпे, рд░ेрдЦ RS рд╣ा $\angle PRQ$ рдЪा рджुрднाрдЬрдХ рдЖрд╣े. рдЬрд░ $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$, рддрд░ SQ рдХाрдвा.
рдд्рд░िрдХोрдгाрдЪ्рдпा рдХोрдирджुрднाрдЬрдХाрдЪ्рдпा рдк्рд░рдоेрдпाрдиुрд╕ाрд░:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ рдПрдХрдХ
рей) рдПрдХा рдЧोрд▓ाрдЪा рд╡्рдпाрд╕ резрек рд╕ेрдоी рдЕрд╕ेрд▓ рддрд░ рдд्рдпाрдЪे рд╡рдХ्рд░рдкृрд╖्рдардлрд│ рдХाрдвा.
рд╡्рдпाрд╕ = резрек рд╕ेрдоी $\therefore$ рдд्рд░िрдЬ्рдпा ($r$) = рен рд╕ेрдоी.
рдЧोрд▓ाрдЪे рд╡рдХ्рд░рдкृрд╖्рдардлрд│ = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
рд╡рдХ्рд░рдкृрд╖्рдардлрд│ = ремрезрем рдЪौрд╕ेрдоी
рек) рдЖрдХृрддीрдордз्рдпे, $\angle PQR=90^{\circ}$, рд░ेрдЦ $QN \perp$ рд░ेрдЦ PR, $PN=9, NR=16$, рддрд░ QN рдХाрдвा.
рднूрдоिрддीрдордз्рдпाрдЪ्рдпा рдк्рд░рдоेрдпाрдиुрд╕ाрд░:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
рджोрди्рд╣ी рдмाрдЬूंрдЪे рд╡рд░्рдЧрдоूрд│ рдШेрдКрди,
$QN = 12$ рдПрдХрдХ
рел) $A(3,3)$ рдЖрдгि $B(5,7)$ рдпा рдмिंрджूрддूрди рдЬाрдгाрд▒्рдпा рд░ेрд╖ेрдЪा рдЪрдв рдХाрдвा.
рд░ेрд╖ेрдЪा рдЪрдв $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
рдЪрдв = реи
рдк्рд░рд╢्рди рей. (A) рдЦाрд▓ीрд▓ рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ूрди рдкुрди्рд╣ा рд▓िрд╣ा (рдХोрдгрддीрд╣ी рдПрдХ). (рей рдЧुрдг)
рез) рдЖрдХृрддीрдд AB || CD || EF. рдЬрд░ $AC=12, CE=9, BD=8$, рддрд░ DF рдХाрдврдг्рдпाрд╕ाрдаी рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ा.
рддीрди рд╕рдоांрддрд░ рд░ेрд╖ा рд╡ рдЫेрджिрдХा рдпांрдЪा рдЧुрдгрдзрд░्рдо:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
реи) рдПрдХा рд╡ृрдд्рддрдЪिрддीрдЪ्рдпा рддрд│ाрдЪी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рен рд╕ेрдоी рдЖрдгि рдЙंрдЪी реирез рд╕ेрдоी рдЖрд╣े. рддрд░ рд╡ृрдд्рддрдЪिрддीрдЪे рдШрдирдлрд│ рд╡ рддрд│ाрдЪा рдкрд░ीрдШ рдХाрдврдг्рдпाрд╕ाрдаी рдХृрддी рдкूрд░्рдг рдХрд░ा.
рд╡ृрдд्рддрдЪिрддीрдЪे рдШрдирдлрд│ = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
рдШрдирдлрд│ = рейреирейрек рдШрд╕ेрдоी

рддрд│ाрдЪा рдкрд░ीрдШ = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
рдкрд░ीрдШ = рекрек рд╕ेрдоी
рдк्рд░рд╢्рди рей. (B) рдЦाрд▓ीрд▓ рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╕ोрдбрд╡ा (рдХोрдгрддेрд╣ी рджोрди). (рем рдЧुрдг)
рез) рд╕िрдж्рдз рдХрд░ा, 'рдЪрдХ्рд░ीрдп рдЪौрдХोрдиाрдЪे рд╕ंрдоुрдЦ рдХोрди рдкрд░рд╕्рдкрд░ांрдЪे рдкूрд░рдХрдХोрди рдЕрд╕рддाрдд'.
рдкрдХ्рд╖: $\square ABCD$ рд╣ा рдЪрдХ्рд░ीрдп рдЪौрдХोрди рдЖрд╣े.
рд╕ाрдз्рдп: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ рдЖрдгि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
рд╕िрдж्рдзрддा:
$\angle ADC$ рд╣ा рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрди рдЕрд╕ूрди рдд्рдпाрдиे рдХंрд╕ ABC рдЕंрддрд░्рдЦंрдбिрдд рдХेрд▓ा рдЖрд╣े.
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{рдХंрд╕ } ABC)$ ... (I)
рдд्рдпाрдЪрдк्рд░рдоाрдгे, $\angle ABC$ рд╣ा рдЕंрддрд░्рд▓िрдЦिрдд рдХोрди рдЕрд╕ूрди рдд्рдпाрдиे рдХंрд╕ ADC рдЕंрддрд░्рдЦंрдбिрдд рдХेрд▓ा рдЖрд╣े.
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{рдХंрд╕ } ADC)$ ... (II)
(I) рд╡ (II) рдЪी рдмेрд░ीрдЬ рдХрд░ूрди:
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{рдХंрд╕ } ABC) + m(\text{рдХंрд╕ } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (рдХाрд░рдг рдХंрд╕ ABC + рдХंрд╕ ADC рдоिрд│ूрди рдкूрд░्рдг рд╡рд░्рддुрд│ рддрдпाрд░ рд╣ोрддे)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
рдд्рдпाрдЪрдк्рд░рдоाрдгे, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ рд╣े рд╕िрдж्рдз рдХрд░рддा рдпेрдИрд▓.
реи) рдХेंрдж्рд░ P рд╡ рей.рел рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпा рдШेрдКрди рдПрдХ рд╡рд░्рддुрд│ рдХाрдвा. рд╡рд░्рддुрд│рдХेंрдж्рд░ाрдкाрд╕ूрди рео рд╕ेрдоी рдЕंрддрд░ाрд╡рд░ рдмिंрджू рдШ्рдпा. Q рдмिंрджूрддूрди рд╡рд░्рддुрд│ाрд▓ा рд╕्рдкрд░्рд╢िрдХा рдХाрдвा.
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. рд░рдЪрдиेрдЪ्рдпा рдкाрдпрд▒्рдпा:
рез. P рдХेंрдж्рд░ рд╡ рей.рел рд╕ेрдоी рдд्рд░िрдЬ्рдпेрдЪे рд╡рд░्рддुрд│ рдХाрдвा.
реи. P рдкाрд╕ूрди рео рд╕ेрдоी рдЕंрддрд░ाрд╡рд░ рдмिंрджू Q рдШ्рдпा.
рей. рд░ेрдЦ PQ рдЪा рд▓ंрдмрджुрднाрдЬрдХ рдХाрдвूрди рдд्рдпाрдЪा рдордз्рдпрдмिंрджू M рдоिрд│рд╡ा.
рек. M рдХेंрдж्рд░ рд╡ PM рдд्рд░िрдЬ्рдпेрдиे рдоूрд│ рд╡рд░्рддुрд│ाрд▓ा рдЫेрджрдгाрд░े рдХंрд╕ (рдХिंрд╡ा рд╡рд░्рддुрд│) рдХाрдвा, рдЫेрджрдирдмिंрджूंрдиा A рд╡ B рдиाрд╡ рдж्рдпा.
рел. рд░ेрд╖ा QA рдЖрдгि рд░ेрд╖ा QB рдХाрдвा.
рд╣्рдпा рдЕрдкेрдХ्рд╖िрдд рд╕्рдкрд░्рд╢िрдХा рдЖрд╣ेрдд.
рей) P(-2, 3), Q(1, 2), R(4, 1) рд╣े рдмिंрджू рдПрдХрд░ेрд╖ीрдп рдЖрд╣ेрдд рд╣े рджाрдЦрд╡ा.
рд░ेрд╖ेрдЪा рдЪрдв = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
рд░ेрд╖ा PQ рдЪा рдЪрдв = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
рд░ेрд╖ा QR рдЪा рдЪрдв = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
рдпेрдеे, рд░ेрд╖ा PQ рдЪा рдЪрдв = рд░ेрд╖ा QR рдЪा рдЪрдв рдЖрдгि рдмिंрджू Q рд╕ाрдоाрдИрдХ рдЖрд╣े.
рдо्рд╣рдгूрди, рдмिंрджू P, Q рдЖрдгि R рд╣े рдПрдХрд░ेрд╖ीрдп рдЖрд╣ेрдд.
рек) рдЬрд░ $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ рдЖрдгि $QR=20$, рддрд░ MN рдХाрдвा.
рджिрд▓े рдЖрд╣े: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
рд╕рдорд░ूрдк рдд्рд░िрдХोрдгांрдЪ्рдпा рдХ्рд╖ेрдд्рд░рдлрд│ांрдЪ्рдпा рдк्рд░рдоेрдпाрдиुрд╕ाрд░:
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
рджोрди्рд╣ी рдмाрдЬूंрдЪे рд╡рд░्рдЧрдоूрд│ рдШेрдКрди:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ рдПрдХрдХ
рдк्рд░рд╢्рди рек. рдЦाрд▓ीрд▓ рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╕ोрдбрд╡ा (рдХोрдгрддेрд╣ी рджोрди). (рео рдЧुрдг)
рез) $\triangle ABC$ рд╣ा рд╕рдорднुрдЬ рдд्рд░िрдХोрдг рдЖрд╣े. рдмिंрджू D рд╣ा рдмाрдЬू BC рд╡рд░ рдЕрд╢ाрдк्рд░рдХाрд░े рдЖрд╣े рдХी $BD = \frac{1}{5} BC$. рддрд░ рд╕िрдж्рдз рдХрд░ा рдХी $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
рд╕िрдж्рдзрддा:
$\triangle ABC$ рдордз्рдпे рд░ेрдЦ $AM \perp$ рдмाрдЬू $BC$ рдХाрдвा. рд╕рдорднुрдЬ рдд्рд░िрдХोрдгाрдд рд╢िрд░ोрд▓ंрдм рд╣ा рдордз्рдпрдЧा рдЕрд╕рддो.
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
рджिрд▓े рдЖрд╣े $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
рдХाрдЯрдХोрди $\triangle AMC$ рдордз्рдпे, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (рд╕рдорднुрдЬ рдд्рд░िрдХोрдгाрдЪी рдЙंрдЪी).
рдЖрддा, рдХाрдЯрдХोрди $\triangle AMD$ рдордз्рдпे, рдкाрдпрдеाрдЧोрд░рд╕рдЪ्рдпा рдк्рд░рдоेрдпाрдиुрд╕ाрд░:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
$BC = AB$ рдЕрд╕рд▓्рдпाрдиे:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
реи) $\triangle LMN \sim \triangle LQP$. $\triangle LMN$ рдордз्рдпे, $LM=3.6$ рд╕ेрдоी, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ рд╕ेрдоी рдЖрдгि $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$. рддрд░ $\triangle LQP$ рдХाрдвा.
рд╡िрд╢्рд▓ेрд╖рдг:
рдпेрдеे L рд╣ा рд╕ाрдоाрдИрдХ рд╢िрд░ोрдмिंрджू рдЖрд╣े.
рдЧुрдгोрдд्рддрд░ $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ рдЖрд╣े, рдо्рд╣рдгрдЬेрдЪ $\triangle LQP$ рдЪ्рдпा рдмाрдЬू $\triangle LMN$ рдЪ्рдпा рдмाрдЬूंрдкेрдХ्рд╖ा рдоोрда्рдпा рдЖрд╣ेрдд.
рд░рдЪрдиेрдЪ्рдпा рдкाрдпрд▒्рдпा:
рез. рджिрд▓ेрд▓्рдпा рдоाрдкांрдЪा $\triangle LMN$ рдХाрдвा ($LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$).
реи. рдмिंрджू L рдордзूрди рдмाрдЬू LM рд╢ी рд▓рдШुрдХोрди рдХрд░рдгाрд░ा рдПрдХ рдХिрд░рдг рдХाрдвा.
рей. рдд्рдпा рдХिрд░рдгाрд╡рд░ рд╕рдоाрди рдЕंрддрд░ाрд╡рд░ рен рдЦुрдгा рдХрд░ा ($A_1$ рддे $A_7$).
рек. рдмिंрджू $A_4$ рдЖрдгि рдмिंрджू M рдЬोрдбा (рдХाрд░рдг LM рдЪे рдк्рд░рдоाрдг рек рдЖрд╣े).
рел. рдмिंрджू $A_7$ рдордзूрди рд░ेрд╖ा $A_4M$ рд▓ा рд╕рдоांрддрд░ рд░ेрд╖ा рдХाрдвा, рдЬी рд╡ाрдврд╡рд▓ेрд▓्рдпा рд░ेрд╖ा LM рд▓ा Q рдордз्рдпे рдЫेрджेрд▓.
рем. рдмिंрджू Q рдордзूрди рдмाрдЬू MN рд▓ा рд╕рдоांрддрд░ рд░ेрд╖ा рдХाрдвा, рдЬी рд╡ाрдврд╡рд▓ेрд▓्рдпा рд░ेрд╖ा LN рд▓ा P рдордз्рдпे рдЫेрджेрд▓.
$\triangle LQP$ рд╣ा рдЕрдкेрдХ्рд╖िрдд рдд्рд░िрдХोрдг рддрдпाрд░ рд╣ोрдИрд▓.
рей) рдирджीрдЪ्рдпा рдкाрдд्рд░ाрдЪी рд░ुंрджी рдХाрдврдг्рдпाрд╕ाрдаी рдПрдХा рдоाрдгрд╕ाрдиे рдкाрдд्рд░ाрдЪ्рдпा рдПрдХा рдХाрдаाрд╡рд░ूрди... рдЭाрдбाрдЪ्рдпा рд╢ेंрдб्рдпाрдХрдбे рдкाрд╣िрд▓े рдЕрд╕рддा ремреж° рдоाрдкाрдЪा рдЙрди्рдирддрдХोрди рд╣ोрддो. реирек рдоी. рдЕंрддрд░ рдоाрдЧे рдЬाрдКрди... рдЙрди्рдирддрдХोрди рейреж° рд╣ोрддो, рддрд░ рдирджीрдкाрдд्рд░ाрдЪी рд░ुंрджी рдЖрдгि рдЭाрдбाрдЪी рдЙंрдЪी рдХाрдвा.
рд╕рдордЬा рдЭाрдбाрдЪी рдЙंрдЪी = $h$ рдоी. рдЖрдгि рдирджीрдЪी рд░ुंрджी = $x$ рдоी.
рд╕्рдеिрддी рез: ремреж° рдХोрди.
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
рд╕्рдеिрддी реи: реирек рдоी рдоाрдЧे рдЧेрд▓्рдпाрд╡рд░, рдЕंрддрд░ = $(x + 24)$ рдоी, рдХोрди рейреж°.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
(I) рдордзूрди $h$ рдЪी рдХिंрдордд рдаेрд╡ूрди:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ рдоी}}$ (рдирджीрдЪी рд░ुंрджी)
рдЖрддा, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ рдоी.
рдЭाрдбाрдЪी рдЙंрдЪी = реиреж.ренрем рдоी.
рдк्рд░рд╢्рди рел. рдЦाрд▓ीрд▓ рдЙрдкрдк्рд░рд╢्рди рд╕ोрдбрд╡ा (рдХोрдгрддाрд╣ी рдПрдХ). (рей рдЧुрдг)
рез) рдПрдХा рд╡рд░्рддुрд│ाрдХाрд░ рдмाрдЧेрдЪा рд╡्рдпाрд╕ резрей рдоीрдЯрд░ рдЕрд╕ूрди рдмाрдЧेрдЪ्рдпा рджोрди рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ाрдордзीрд▓ рдЕंрддрд░ резрей рдоीрдЯрд░ рдЖрд╣े. рдмाрдЧेрдЪ्рдпा рдкрд░िрдШाрд╡рд░ рдПрдХ рд╡िрдж्рдпुрдд рдЦांрдм рдЕрд╕ा рдЙрднा рдХрд░ाрд╡рдпाрдЪा рдЖрд╣े, рдЬेрдгेрдХрд░ूрди рдк्рд░рдд्рдпेрдХ рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ाрдкाрд╕ूрди рд╡ рдЦांрдмाрдкрд░्рдпंрддрдЪ्рдпा рдЕंрддрд░ाрддीрд▓ рдлрд░рдХ рен рдоीрдЯрд░ рдЕрд╕ेрд▓. рдЕрд╕ा рдЦांрдм рдЙрднा рдХрд░рддा рдпेрдИрд▓ рдХा? рдпेрдд рдЕрд╕рд▓्рдпाрд╕ рдЦांрдмाрдЪे рджोрди्рд╣ी рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ाрдкाрд╕ूрдирдЪे рдЕंрддрд░ рдХाрдвा.
рд╕рдордЬा рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░े A рдЖрдгि B рдЖрд╣ेрдд. $AB = 13$ рдоी. рд╡्рдпाрд╕ = резрей рдоी.
рдпेрдеे рдЬीрд╡ा AB = рд╡्рдпाрд╕ рдЕрд╕рд▓्рдпाрдиे, A рдЖрдгि B рд╣े рд╡्рдпाрд╕ाрдЪे рдЕंрдд्рдпрдмिंрджू рдЖрд╣ेрдд.
рд╕рдордЬा рдЦांрдм P рдмिंрджूрд╡рд░ рдЖрд╣े. $\angle APB = 90^{\circ}$ (рдЕрд░्рдзрд╡рд░्рддुрд│ाрддीрд▓ рдХोрди).
рд╕рдордЬा $PA = x$ рдЖрдгि $PB = y$.
рджिрд▓ेрд▓ा рдлрд░рдХ рен рдоी рдЖрд╣े: $|x - y| = 7$.
рдХाрдЯрдХोрди $\triangle APB$ рдордз्рдпे: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
рдЖрдкрд▓्рдпाрд▓ा рдоाрд╣िрдд рдЖрд╣े: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
рдЖрддा, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
рд╕рдоीрдХрд░рдгे рд╕ोрдбрд╡ूрди ($x+y=17$ рдЖрдгि $x-y=7$):
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
рд╣ोрдп, рдЕрд╕ा рдЦांрдм рдЙрднा рдХрд░рддा рдпेрдИрд▓. рдд्рдпाрдЪी рдк्рд░рд╡ेрд╢рдж्рд╡ाрд░ांрдкाрд╕ूрдирдЪी рдЕंрддрд░े резреи рдоी рдЖрдгि рел рдоी рдЕрд╕рддीрд▓.
реи) $x - 6y + 11 = 0$ рд╣ी рд░ेрд╖ा (8, -1) рдЖрдгि (0, k) рдпा рдмिंрджूंрдиा рдЬोрдбрдгाрд▒्рдпा рд░ेрд╖ाрдЦंрдбाрд▓ा рджुрднाрдЧрддे, рддрд░ k рдЪी рдХिंрдордд рдХाрдвा.
рд╕рдордЬा $A=(8, -1)$ рдЖрдгि $B=(0, k)$.
рд░ेрд╖ाрдЦंрдб AB рд▓ा рд░ेрд╖ा рджुрднाрдЧрддे, рдо्рд╣рдгрдЬेрдЪ AB рдЪा рдордз्рдпрдмिंрджू рдд्рдпा рд░ेрд╖ेрд╡рд░ рдЖрд╣े.
рдордз्рдпрдмिंрджू $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$.
рд╣ा рдмिंрджू $x - 6y + 11 = 0$ рдпा рд╕рдоीрдХрд░рдгाрдд рдаेрд╡ू:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
Question Paper Page No. 1 Question Paper Page No. 2 Question Paper Page No. 3 Question Paper Page No. 4 Question Paper Page No. 5 Question Paper Page No. 6 Question Paper Page No. 7 Question Paper Page No. 8 Question Paper Page No. 9 Question Paper Page No. 10 Question Paper Page No. 11 For all your study Materials Visit : omtexclasses.com

10th Geometry July 2024 Board Exam Question Paper with Solutions

Mathematics Part II (Geometry) - July 2024

Time: 2 Hours | Max. Marks: 40

Q.1 (A) Choose the correct alternative. (4 Marks)
1. In $\triangle ABC$ and $\triangle PQR$, in a one to one correspondence of vertices, if $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{PQ}$, then which of the following statements is true?
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
Answer: (B)
Explanation: The sides are proportional as follows: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
Ordering vertices: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
Therefore, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ or $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
2. Two circles of radii 5.5 cm and 3.3 cm respectively touch each other externally. Then the distance between their centres is ____.
  • (A) 4.4 cm
  • (B) 8.8 cm
  • (C) 2.2 cm
  • (D) 8.3 cm
Answer: (B)
Explanation: Distance between centres of externally touching circles = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ cm.
3. Seg AB is parallel to Y-axis and co-ordinates of point A are (1, 3), then the co-ordinates of point B are ____.
  • (A) (3, 1)
  • (B) (5, 3)
  • (C) (3, 0)
  • (D) (1, -3)
Answer: (D)
Explanation: A line parallel to the Y-axis has a constant X-coordinate. Since A is (1, 3), the X-coordinate of B must be 1. Only option (D) matches.
4. The volume of a cube of side 10 cm is ____.
  • (A) $1000 \text{ cm}^3$
  • (B) $100 \text{ cm}^3$
  • (C) $10,000 \text{ cm}^3$
  • (D) $10 \text{ cm}^3$
Answer: (A)
Explanation: Volume of cube = $(\text{side})^3 = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3$.
Q.1 (B) Solve the following subquestions. (4 Marks)
1. In $\triangle ABC$, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ cm, then find AB.
By $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ theorem, the side opposite to $30^{\circ}$ is half the hypotenuse.
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ cm
2. In a circle, if $m(\text{arc } MN) = 70^{\circ}$, find $\angle MLN$.
By Inscribed Angle Theorem:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{arc } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
3. Find the value of $\sin \theta \times \csc \theta$.
We know that $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \csc \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
Value = 1
4. If radius of a circle is 4 cm and length of an arc is 10 cm, then find the area of the sector.
Given: $r = 4$ cm, length of arc ($l$) = 10 cm.
Area of Sector ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
Area = 20 cm$^2$

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

Maths July 2025 Board Papers

Maths March 2024 Board Papers

Maths July 2024 Board Papers

Q.2 (A) Complete the activities (Any 2). (4 Marks)
1. Chord PQ and chord RS intersect at point T. Prove $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{arc } SQ) + m(\text{arc } PR)]$.
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (Exterior angle theorem of a triangle)
$= \frac{1}{2} m(\text{arc } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{arc } PR)$ (Inscribed angle theorem)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{arc } SQ)$ + $m(\text{arc } PR)$ $]$
2. If $\sec \theta = \frac{25}{7}$, find the value of $\tan \theta$.
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
3. Find the volume of a cone if radius is 7 cm and height is 6 cm.
Volume of cone = $\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
Volume of cone = 308 cm$^3$
Q.2 (B) Solve the following (Any 4). (8 Marks)
1. Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it.
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it Steps of construction:
1. Draw a circle with centre P and radius 3.2 cm.
2. Take any point M on the circle.
3. Draw ray PM.
4. Draw a line perpendicular to ray PM passing through point M. This line is the required tangent.
2. In $\triangle PQR$, seg RS bisects $\angle PRQ$. If $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$, then find SQ.
By the Angle Bisector Theorem:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ units
3. Find the surface area of a sphere of diameter 14 cm.
Diameter = 14 cm $\therefore$ Radius ($r$) = 7 cm.
Surface Area = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
Surface Area = 616 cm$^2$
4. In $\triangle PQR, \angle PQR=90^{\circ}$, seg $QN \perp$ seg PR, $PN=9, NR=16$, find QN.
By Theorem of Geometric Mean:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
Taking square root,
$QN = 12$ units
5. Find the slope of the line passing through the points A(3,3) and B(5,7).
Slope $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
Slope = 2
Q.3 (A) Complete the activities (Any 1). (3 Marks)
1. Line AB || Line CD || Line EF. If $AC=12, CE=9, BD=8$, find DF.
Property of three parallel lines and their transversal:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
2. Cylinder: Radius 7 cm, Height 21 cm. Find Volume and Circumference of base.
Volume of cylinder = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
Volume = 3234 cm$^3$

Circumference of base = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
Circumference = 44 cm
Q.3 (B) Solve the following (Any 2). (6 Marks)
1. Prove that, 'Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary'.
Given: $\square ABCD$ is cyclic.
To Prove: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ and $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
Proof:
$\angle ADC$ is an inscribed angle intercepting arc ABC.
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{arc } ABC)$ ... (I)
Similarly, $\angle ABC$ is an inscribed angle intercepting arc ADC.
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{arc } ADC)$ ... (II)
Adding (I) and (II):
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{arc } ABC) + m(\text{arc } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (Since arc ABC + arc ADC constitutes the complete circle)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
Similarly, we can prove $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
2. Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q.
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. Construction Steps:
1. Draw circle with centre P, $r = 3.5$ cm.
2. Draw segment PQ = 8 cm.
3. Draw perpendicular bisector of seg PQ to find midpoint M.
4. Draw a circle (or arcs) with centre M and radius MP to cut the original circle at points A and B.
5. Draw line QA and line QB.
QA and QB are the required tangents.
3. Show that points $P(-2,3)$, $Q(1,2)$, $R(4,1)$ are collinear.
Slope of line = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Slope of PQ = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
Slope of QR = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
Since Slope of PQ = Slope of QR and point Q is common,
Points P, Q, and R are collinear.
4. If $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ and $QR=20$, then find MN.
Given: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
Since triangles are similar, ratio of areas = ratio of squares of corresponding sides.
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
Taking square root of both sides:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ units
Q.4 Solve the following (Any 2). (8 Marks)
1. $\triangle ABC$ is an equilateral triangle. Point D is on seg BC such that $BD = \frac{1}{5} BC$. Then prove that $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
Proof:
Draw $AM \perp BC$. Since $\triangle ABC$ is equilateral, AM is the median.
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
Given $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
In right angled $\triangle AMC$, height $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (Altitude of equilateral triangle).
Now, in right angled $\triangle AMD$, by Pythagoras theorem:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
Since $AB = BC$ (Equilateral), substitute BC with AB:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
2. $\triangle LMN \sim \triangle LQP$. In $\triangle LMN$, $LM=3.6$ cm, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ cm and $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$. Construct $\triangle LQP$.
Analysis:
Since vertex L is common, we treat this as constructing similar triangles with a common vertex.
Ratio $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ implies sides of $\triangle LQP$ are larger than $\triangle LMN$.
Steps:
1. Draw $\triangle LMN$ with $LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$.
2. Draw a ray from L at an acute angle to LM.
3. Mark 7 equal points on the ray ($A_1$ to $A_7$).
4. Join $A_4$ to M (Since LM corresponds to 4 parts).
5. Draw a line parallel to $A_4M$ from $A_7$ intersecting line LM extended at Q.
6. From Q, draw a line parallel to MN intersecting line LN extended at P.
$\triangle LQP$ is the required triangle.
3. To find the width of the river, a man observes the top of a tree on the opposite bank making an angle of elevation of $60^{\circ}$. When he moves 24 meter backward... angle becomes $30^{\circ}$. Find height of tree and width of river. ($\sqrt{3}=1.73$)
Let height of tree = $h$ m. Let initial width of river = $x$ m.
Case 1: Angle $60^{\circ}$.
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
Case 2: Angle $30^{\circ}$ from distance $(x + 24)$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
Substitute $h$ from (I):
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ m}}$ (Width of river)
Now, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ m.
Height of tree = 20.76 m.
Q.5 Solve the following (Any 1). (3 Marks)
1. The diameter of a circular garden is 13 m. The distance between two gates is 13 m. An electric pole is to be erected on the circumference such that the difference between distance of the pole from each gate is 7 m. Can such a pole be erected? If yes, find distances.
Let gates be A and B. $AB = 13$ m. Diameter = 13 m.
Since chord AB = Diameter, the gates are at opposite ends of the diameter.
Let Pole be at P. $\angle APB = 90^{\circ}$ (Angle in a semicircle).
Let $PA = x$ and $PB = y$.
Given difference is 7m: $|x - y| = 7$.
In right $\triangle APB$: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
We know: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
Now, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
Solving $x+y=17$ and $x-y=7$:
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
Yes, the pole can be erected at distances 12 m and 5 m from the gates.
2. The line $x - 6y + 11 = 0$ bisects the segment joining points (8, -1) and (0, k), find k.
Let $A=(8, -1)$ and $B=(0, k)$.
Since the line bisects segment AB, the midpoint of AB lies on the line.
Midpoint $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$.
Substitute M in equation $x - 6y + 11 = 0$:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
Question Paper Page No. 1 Question Paper Page No. 2 Question Paper Page No. 3 Question Paper Page No. 4 Question Paper Page No. 5 Question Paper Page No. 6 Question Paper Page No. 7 Question Paper Page No. 8 Question Paper Page No. 9 Question Paper Page No. 10 Question Paper Page No. 11 For all your study Materials Visit : omtexclasses.com