प्रश्न 1. (A) निम्नलिखित प्रत्येक उपप्रश्न के लिए चार विकल्प दिये हैं। उनमें से सही विकल्प चुनकर उत्तर लिखिये। (4 अंक)
(i) \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) इस वर्गसमीकरण का एक मूल 3 है, तो \(k =\) ___
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
हल:
दिए गए समीकरण \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) में \(x = 3\) रखने पर,
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
उत्तर: (A) 1
दिए गए समीकरण \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) में \(x = 3\) रखने पर,
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
उत्तर: (A) 1
(ii) \(x + 2y = 4\) इस समीकरण का आलेख खींचने के लिए यदि \(y = 1\) हो, तो \(x\) का मान कितना होगा?
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
हल:
समीकरण \(x + 2y = 4\) में \(y = 1\) रखने पर,
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
उत्तर: (B) 2
समीकरण \(x + 2y = 4\) में \(y = 1\) रखने पर,
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
उत्तर: (B) 2
(iii) दी गई अंकगणितीय श्रृंखला के लिए यदि \(t_7 = 4\) तथा \(d = -4\) हो, तो \(a =\) ___
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
हल:
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
उत्तर: (D) 28
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
उत्तर: (D) 28
(iv) GSTIN में कुल ___ अंकाक्षर होते हैं।
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
हल:
GSTIN (वस्तु एवं सेवा कर पहचान संख्या) 15 अंकों का होता है।
उत्तर: (C) 15
GSTIN (वस्तु एवं सेवा कर पहचान संख्या) 15 अंकों का होता है।
उत्तर: (C) 15
प्रश्न 1. (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए : (4 अंक)
(i) यदि \(17x + 15y = 11\) तथा \(15x + 17y = 21\) हो, तो \(x - y\) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
माना \(17x + 15y = 11\) ... (I)
माना \(15x + 17y = 21\) ... (II)
समीकरण (I) में से (II) घटाने पर:
\(2x - 2y = -10\)
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
माना \(17x + 15y = 11\) ... (I)
माना \(15x + 17y = 21\) ... (II)
समीकरण (I) में से (II) घटाने पर:
\(2x - 2y = -10\)
दोनों पक्षों में 2 से भाग देने पर:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
(ii) \(t_n = 3n - 2\) इस श्रृंखला का पहला पद ज्ञात कीजिये।
हल:
पहला पद ज्ञात करने के लिए, \(n = 1\) रखने पर,
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
पहला पद ज्ञात करने के लिए, \(n = 1\) रखने पर,
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
(iii) अंकित मूल्य 100 रुपये वाले शेयर का बाजार मूल्य 150 रुपये है। यदि दलाली की दर 2% हो, तो एक शेयर की दलाली की कीमत ज्ञात कीजिये।
हल:
दलाली (Brokerage) बाजार मूल्य (Market Value) पर निकाली जाती है।
दलाली = दलाली की दर \(\times\) बाजार मूल्य
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
दलाली (Brokerage) बाजार मूल्य (Market Value) पर निकाली जाती है।
दलाली = दलाली की दर \(\times\) बाजार मूल्य
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
(iv) अंकों की पुनरावृत्ति न करते हुए 2, 3, 5 अंकों से दो अंकों वाली संख्या बनाने के लिए नमूना अवकाश (S) लिखिये।
हल:
अंक: 2, 3, 5
नमूना अवकाश \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
अंक: 2, 3, 5
नमूना अवकाश \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
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प्रश्न 2. (A) निम्नलिखित में से कोई दो कृति पूर्ण कीजिये : (4 अंक)
(i) यदि \(2x + 3y = k\) इस समीकरण का हल (0, 2) हो, तो \(k\) का मान ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये:
\(2x + 3y = k\) इस समीकरण का हल (0, 2) है।
\(\therefore x = \Box\) तथा \(y = \Box\) यह मान दिए गए समीकरण में रखने पर
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
\(2x + 3y = k\) इस समीकरण का हल (0, 2) है।
\(\therefore x = \Box\) तथा \(y = \Box\) यह मान दिए गए समीकरण में रखने पर
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
उत्तर:
\(\therefore x = \class{box}{0}\) तथा \(y = \class{box}{2}\) यह मान दिए गए समीकरण में रखने पर
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
\(\therefore x = \class{box}{0}\) तथा \(y = \class{box}{2}\) यह मान दिए गए समीकरण में रखने पर
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
(ii) यदि 2 तथा 5 ये वर्गसमीकरण के मूल हों, तो वर्गसमीकरण बनाने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये :
माना \(\alpha = 2\) तथा \(\beta = 5\) ये वर्गसमीकरण के मूल हैं।
प्राप्त होने वाला वर्गसमीकरण
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
माना \(\alpha = 2\) तथा \(\beta = 5\) ये वर्गसमीकरण के मूल हैं।
प्राप्त होने वाला वर्गसमीकरण
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
उत्तर:
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
(iii) दो सिक्के एक साथ उछाले गए। इस प्रयोग के लिए नमूना अवकाश 'S' तथा घटना A व B समुच्चय के रूप में लिखने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये :
दो सिक्के एक साथ उछालने के लिए नमूना अवकाश 'S' है।
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
घटना A: कम से कम एक चित मिलने की घटना।
\(A = \{ \Box, \text{HT, TH} \}\)
घटना B: एक भी चित न मिलने की घटना।
\(B = \{ \Box \}\)
दो सिक्के एक साथ उछालने के लिए नमूना अवकाश 'S' है।
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
घटना A: कम से कम एक चित मिलने की घटना।
\(A = \{ \Box, \text{HT, TH} \}\)
घटना B: एक भी चित न मिलने की घटना।
\(B = \{ \Box \}\)
उत्तर:
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
घटना A: \(A = \{ \class{box}{\text{HH}}, \text{HT, TH} \}\)
घटना B: \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
घटना A: \(A = \{ \class{box}{\text{HH}}, \text{HT, TH} \}\)
घटना B: \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
प्रश्न 2. (B) निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई चार उपप्रश्न हल कीजिए : (8 अंक)
(i) ABCD यह आयत है। आकृति में दी गई जानकारी के आधार पर \(ax+by=c\) इस रूप में युगपत समीकरण प्राप्त कीजिये:
[आकृति में: AB = \(2x + y + 8\), CD = \(4x - y\), AD = \(2y\), BC = \(x + 4\)]
[आकृति में: AB = \(2x + y + 8\), CD = \(4x - y\), AD = \(2y\), BC = \(x + 4\)]
हल:
आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
शर्त 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 से भाग देने पर:
\(x - y = 4\) ... (I)
शर्त 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II)
प्राप्त युगपत समीकरण:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
शर्त 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 से भाग देने पर:
\(x - y = 4\) ... (I)
शर्त 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II)
प्राप्त युगपत समीकरण:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
(ii) निम्न वर्गसमीकरण गुणनखंड विधि से हल कीजिये : \(x^2 + x - 20 = 0\)
हल:
\(x^2 + x - 20 = 0\)
मध्य पद को विभाजित करने पर (योग = +1, गुणनफल = -20). गुणनखंड +5 और -4 हैं।
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) या \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) या \(\mathbf{x = 4}\)
\(x^2 + x - 20 = 0\)
मध्य पद को विभाजित करने पर (योग = +1, गुणनफल = -20). गुणनखंड +5 और -4 हैं।
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) या \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) या \(\mathbf{x = 4}\)
(iii) निम्न अंकगणितीय श्रृंखला का 19वाँ पद ज्ञात कीजिये : 7, 13, 19, 25, ...
हल:
यहाँ, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
यहाँ, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
(iv) अच्छी तरह से फेंटी गई 52 ताश के पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया हो, तो वह पत्ता चित्रयुक्त होने की संभाव्यता ज्ञात कीजिये।
हल:
कुल नमूना अवकाश \(n(S) = 52\).
माना A घटना है कि पत्ता चित्रयुक्त (Face card) है।
चित्रयुक्त पत्ते गुलाम, रानी, और बादशाह (Jack, Queen, King) होते हैं। 4 समूहों में कुल \(3 \times 4 = 12\) पत्ते।
\(n(A) = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
कुल नमूना अवकाश \(n(S) = 52\).
माना A घटना है कि पत्ता चित्रयुक्त (Face card) है।
चित्रयुक्त पत्ते गुलाम, रानी, और बादशाह (Jack, Queen, King) होते हैं। 4 समूहों में कुल \(3 \times 4 = 12\) पत्ते।
\(n(A) = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
(v) नीचे दी गई सारणी में एक सॉफ्टवेयर कंपनी में दैनिक कार्य के घंटों तथा उतनी देर कार्य करने वाले व्यक्तियों की संख्या दी गई है। इस आधार पर 'उच्च वर्ग सीमा से कम' संचयी बारंबारता सारणी बनाइये :
| दैनिक कार्य के घंटे | कर्मचारियों की संख्या |
|---|---|
| 8-10 | 150 |
| 10-12 | 500 |
| 12-14 | 300 |
| 14-16 | 50 |
हल:
| वर्ग (घंटे) | बारंबारता (कर्मचारी) | संचयी बारंबारता (से कम) |
|---|---|---|
| 8-10 | 150 | 150 |
| 10-12 | 500 | 150 + 500 = 650 |
| 12-14 | 300 | 650 + 300 = 950 |
| 14-16 | 50 | 950 + 50 = 1000 |
प्रश्न 3. (A) निम्नलिखित में से कोई एक कृति पूर्ण कीजिये : (3 अंक)
(i) नीचे दी गई बारंबारता बंटन सारणी में एक पेट्रोल पंप पर पेट्रोल भरवाने वाले वाहनों की संख्या और वाहनों में भरे गए पेट्रोल की मात्रा की जानकारी दी गई है। इससे वाहनों में भरे गये पेट्रोल के आयतन का बहुलक ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये :
[सारणी में बहुलक वर्ग 3.5-6.5 है, बारंबारता 40 है। पूर्व बारंबारता 33, पश्चात बारंबारता 27]
कृति:
दी गई सारणी से, बहुलक वर्ग = 3.5-6.5
बहुलक \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
बहुलक \( = \Box\)
वाहनों में भरे गए पेट्रोल के आयतन का बहुलक \(\Box\) है।
[सारणी में बहुलक वर्ग 3.5-6.5 है, बारंबारता 40 है। पूर्व बारंबारता 33, पश्चात बारंबारता 27]
कृति:
दी गई सारणी से, बहुलक वर्ग = 3.5-6.5
बहुलक \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
बहुलक \( = \Box\)
वाहनों में भरे गए पेट्रोल के आयतन का बहुलक \(\Box\) है।
उत्तर:
बहुलक \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
बहुलक \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
बहुलक \( = 3.5 + 1.05\)
बहुलक \( = \class{box}{4.55}\)
वाहनों में भरे गए पेट्रोल के आयतन का बहुलक 4.55 लीटर है।
बहुलक \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
बहुलक \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
बहुलक \( = 3.5 + 1.05\)
बहुलक \( = \class{box}{4.55}\)
वाहनों में भरे गए पेट्रोल के आयतन का बहुलक 4.55 लीटर है।
(ii) रिमोट कंट्रोल खिलौना कार की जीएसटी सहित कुल कीमत 2360 रुपये है। यदि जीएसटी की दर 18% हो, तो कार का करपात्र मूल्य ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिये :
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
कार का करपात्र मूल्य \(\Box\) रुपये है।
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
कार का करपात्र मूल्य \(\Box\) रुपये है।
उत्तर:
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
कार का करपात्र मूल्य \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) रुपये है।
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
कार का करपात्र मूल्य \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) रुपये है।
प्रश्न 3. (B) निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई दो उपप्रश्न हल कीजिये : (6 अंक)
(i) निम्नलिखित वर्गसमीकरण सूत्र विधि से हल कीजिये : \(3m^2 - m - 10 = 0\)
हल:
\(3m^2 - m - 10 = 0\) की तुलना \(am^2 + bm + c = 0\) से करने पर,
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
सूत्र: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
पहली स्थिति: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
दूसरी स्थिति: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
\(3m^2 - m - 10 = 0\) की तुलना \(am^2 + bm + c = 0\) से करने पर,
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
सूत्र: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
पहली स्थिति: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
दूसरी स्थिति: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
(ii) निम्न युगपत समीकरणों को क्रेमर की विधि से हल कीजिये : \(3x - 4y = 10\), \(4x + 3y = 5\)
हल:
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
क्रेमर के नियम से:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
हल: \((x, y) = (2, -1)\)
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
क्रेमर के नियम से:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
हल: \((x, y) = (2, -1)\)
(iii) 10 रुपये अंकित मूल्य वाले 50 शेयर्स 25 रुपये बाजार मूल्य से खरीदे। उन शेयर्स पर कंपनी ने 30% लाभांश घोषित किया, तो : (1) कुल निवेश कितना ? (2) प्राप्त लाभांश कितना ? (3) निवेश पर प्रतिफल की दर ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया है: शेयर्स की संख्या = 50, अंकित मूल्य (FV) = \(\text{₹} 10\), बाजार मूल्य (MV) = \(\text{₹} 25\), लाभांश दर = 30%.
(1) कुल निवेश:
कुल निवेश = शेयर्स की संख्या \(\times\) बाजार मूल्य
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) प्राप्त लाभांश:
एक शेयर पर लाभांश = दर \(\times\) अंकित मूल्य = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
कुल लाभांश = एक शेयर पर लाभांश \(\times\) शेयर्स की संख्या
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) प्रतिफल की दर (RoR):
RoR = \(\frac{\text{कुल लाभांश}}{\text{कुल निवेश}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
दिया गया है: शेयर्स की संख्या = 50, अंकित मूल्य (FV) = \(\text{₹} 10\), बाजार मूल्य (MV) = \(\text{₹} 25\), लाभांश दर = 30%.
(1) कुल निवेश:
कुल निवेश = शेयर्स की संख्या \(\times\) बाजार मूल्य
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) प्राप्त लाभांश:
एक शेयर पर लाभांश = दर \(\times\) अंकित मूल्य = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
कुल लाभांश = एक शेयर पर लाभांश \(\times\) शेयर्स की संख्या
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) प्रतिफल की दर (RoR):
RoR = \(\frac{\text{कुल लाभांश}}{\text{कुल निवेश}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
(iv) एक सिक्का तथा एक पाँसा एक साथ उछाले गये, तो निम्न घटनाओं की संभाव्यता ज्ञात कीजिये :
घटना A: चित तथा अभाज्य संख्या मिलना।
घटना B: पट तथा विषम संख्या मिलना।
घटना A: चित तथा अभाज्य संख्या मिलना।
घटना B: पट तथा विषम संख्या मिलना।
हल:
नमूना अवकाश \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
घटना A: चित (Head) तथा अभाज्य संख्या (Prime number)
पाँसे पर अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
घटना B: पट (Tail) तथा विषम संख्या (Odd number)
पाँसे पर विषम संख्याएँ: 1, 3, 5
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
नमूना अवकाश \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
घटना A: चित (Head) तथा अभाज्य संख्या (Prime number)
पाँसे पर अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
घटना B: पट (Tail) तथा विषम संख्या (Odd number)
पाँसे पर विषम संख्याएँ: 1, 3, 5
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
प्रश्न 4. निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई दो उपप्रश्न हल कीजिए : (8 अंक)
(i) एक टंकी को दो नलों से पूरा भरने में 6 घंटे लगते हैं। छोटे नल को वह टंकी भरने में लगने वाला समय बड़े नल से लगने वाले समय से 5 घंटे अधिक लगते हैं, तो प्रत्येक नल को वह टंकी भरने के लिए कितना समय लगेगा?
हल:
माना बड़े नल को टंकी भरने में \(x\) घंटे लगते हैं।
तो छोटे नल को \((x + 5)\) घंटे लगेंगे।
1 घंटे में, बड़ा नल \(\frac{1}{x}\) भाग भरता है।
1 घंटे में, छोटा नल \(\frac{1}{x+5}\) भाग भरता है।
दोनों मिलकर टंकी 6 घंटे में भरते हैं, इसलिए 1 घंटे में वे \(\frac{1}{6}\) भाग भरेंगे।
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 के गुणनखंड जिनका योग -7 हो, वे -10 और +3 हैं।
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) या \(x = -3\)
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \(x = 10\).
बड़े नल को लगने वाला समय = \(\mathbf{10 \text{ घंटे}}\).
छोटे नल को लगने वाला समय = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ घंटे}}\).
माना बड़े नल को टंकी भरने में \(x\) घंटे लगते हैं।
तो छोटे नल को \((x + 5)\) घंटे लगेंगे।
1 घंटे में, बड़ा नल \(\frac{1}{x}\) भाग भरता है।
1 घंटे में, छोटा नल \(\frac{1}{x+5}\) भाग भरता है।
दोनों मिलकर टंकी 6 घंटे में भरते हैं, इसलिए 1 घंटे में वे \(\frac{1}{6}\) भाग भरेंगे।
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 के गुणनखंड जिनका योग -7 हो, वे -10 और +3 हैं।
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) या \(x = -3\)
समय ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए \(x = 10\).
बड़े नल को लगने वाला समय = \(\mathbf{10 \text{ घंटे}}\).
छोटे नल को लगने वाला समय = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ घंटे}}\).
(ii) किसी परीक्षा के परिणाम के प्रतिशत का वर्ग तथा उस वर्ग वाले छात्रों की संख्या निम्नलिखित सारणी में दी गई है। इस सारणी के आधार पर बिना बारंबारता बहुभुज खींचे आयतालेख बनाइये :
*(नोट: अंग्रेजी और मराठी माध्यम के प्रश्नपत्रों के अनुसार, यहाँ 'आयतालेख के बिना बारंबारता बहुभुज' (Frequency Polygon without histogram) बनाना अपेक्षित है। हिंदी अनुवाद में त्रुटि प्रतीत होती है। यहाँ बारंबारता बहुभुज का हल दिया गया है।)*
*(नोट: अंग्रेजी और मराठी माध्यम के प्रश्नपत्रों के अनुसार, यहाँ 'आयतालेख के बिना बारंबारता बहुभुज' (Frequency Polygon without histogram) बनाना अपेक्षित है। हिंदी अनुवाद में त्रुटि प्रतीत होती है। यहाँ बारंबारता बहुभुज का हल दिया गया है।)*
| परिणाम (प्रतिशत) | छात्रों की संख्या |
|---|---|
| 20-40 | 25 |
| 40-60 | 65 |
| 60-80 | 80 |
| 80-100 | 15 |
हल (बारंबारता बहुभुज):
बारंबारता बहुभुज बनाने के लिए, हमें वर्ग मध्य (Class Mark) निकालना होगा। साथ ही शुरुआत और अंत में शून्य बारंबारता वाले वर्ग जोड़ने होंगे।
(निर्देश: इन बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर प्लॉट करें और उन्हें पैमाने से जोड़कर बारंबारता बहुभुज बनाएँ।)
बारंबारता बहुभुज बनाने के लिए, हमें वर्ग मध्य (Class Mark) निकालना होगा। साथ ही शुरुआत और अंत में शून्य बारंबारता वाले वर्ग जोड़ने होंगे।
| वर्ग | वर्ग मध्य (x) | बारंबारता (y) | निर्देशांक (x, y) |
|---|---|---|---|
| 0-20 | 10 | 0 | (10, 0) |
| 20-40 | 30 | 25 | (30, 25) |
| 40-60 | 50 | 65 | (50, 65) |
| 60-80 | 70 | 80 | (70, 80) |
| 80-100 | 90 | 15 | (90, 15) |
| 100-120 | 110 | 0 | (110, 0) |
(iii) कविता ने किसी महिला बचत गट में पहले दिन 20 रुपये, दूसरे दिन 40 रुपये तथा तीसरे दिन 60 रुपये इस प्रकार पैसे जमा किए, तो उसकी फरवरी 2020 महीने की कुल बचत कितनी होगी?
हल:
बचत: 20, 40, 60, ...
यह एक अंकगणितीय श्रृंखला (A.P.) है, जहाँ \(a = 20\), \(d = 20\).
फरवरी 2020 एक लीप वर्ष है, इसलिए इसमें 29 दिन होते हैं। अतः, \(n = 29\).
हमें कुल बचत \(S_n\) ज्ञात करनी है।
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[600]\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{फरवरी 2020 की कुल बचत = \text{₹} 8700}}\)
बचत: 20, 40, 60, ...
यह एक अंकगणितीय श्रृंखला (A.P.) है, जहाँ \(a = 20\), \(d = 20\).
फरवरी 2020 एक लीप वर्ष है, इसलिए इसमें 29 दिन होते हैं। अतः, \(n = 29\).
हमें कुल बचत \(S_n\) ज्ञात करनी है।
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[600]\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{फरवरी 2020 की कुल बचत = \text{₹} 8700}}\)
प्रश्न 5. निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई एक उपप्रश्न हल कीजिये : (3 अंक)
(i) किसी विद्यालय में वार्षिक आर्थिक नियोजन में अलग-अलग खेल पर खर्च की गई राशि का वृत्तालेख (Pie Diagram) दर्शाया है। क्रिकेट \(160^\circ\), कबड्डी \(55^\circ\), फुटबॉल \(45^\circ\), हॉकी \(100^\circ\)। यदि फुटबॉल पर खर्च की गई राशि 9,000 रुपये हो, तो निम्न प्रश्नों का उत्तर लिखिये :
(a) खेल पर कुल कितनी राशि खर्च की गई ?
(b) क्रिकेट पर कितनी राशि खर्च की गई ?
(a) खेल पर कुल कितनी राशि खर्च की गई ?
(b) क्रिकेट पर कितनी राशि खर्च की गई ?
हल:
(a) खेल पर कुल खर्च राशि:
माना कुल राशि \(x\) है।
फुटबॉल के लिए केंद्रीय कोण = \(45^\circ\)। राशि = \(\text{₹} 9000\)।
सूत्र: \(\text{केंद्रीय कोण} = \frac{\text{घटक का मान}}{\text{कुल मान}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{कुल राशि = \text{₹} 72,000}}\)
(b) क्रिकेट पर खर्च राशि:
क्रिकेट के लिए कोण = \(160^\circ\)।
राशि = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(a) खेल पर कुल खर्च राशि:
माना कुल राशि \(x\) है।
फुटबॉल के लिए केंद्रीय कोण = \(45^\circ\)। राशि = \(\text{₹} 9000\)।
सूत्र: \(\text{केंद्रीय कोण} = \frac{\text{घटक का मान}}{\text{कुल मान}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{कुल राशि = \text{₹} 72,000}}\)
(b) क्रिकेट पर खर्च राशि:
क्रिकेट के लिए कोण = \(160^\circ\)।
राशि = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(ii) \(x + y = 4\) इस युगपत समीकरण का आलेख खींचिये तथा निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिये :
(a) रेखा के द्वारा X तथा Y अक्ष के साथ बनाया गया त्रिभुज का उसकी भुजा के आधार पर प्रकार लिखिये।
(b) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
(a) रेखा के द्वारा X तथा Y अक्ष के साथ बनाया गया त्रिभुज का उसकी भुजा के आधार पर प्रकार लिखिये।
(b) उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
हल:
समीकरण: \(x + y = 4\)
प्रतिच्छेदन बिंदु: जब \(x=0, y=4\) (बिंदु A: 0, 4)। जब \(y=0, x=4\) (बिंदु B: 4, 0)। मूल बिंदु O (0,0) है।
(a) त्रिभुज का प्रकार:
बना हुआ त्रिभुज \(\Delta OAB\) है।
भुजा OA = 4 इकाई। भुजा OB = 4 इकाई।
चूँकि दो भुजाएँ समान हैं और अक्षों के बीच का कोण \(90^\circ\) है, इसलिए यह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (Isosceles Right-Angled Triangle) है।
(b) त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}\)
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
क्षेत्रफल = \(\mathbf{8 \text{ वर्ग इकाई}}\)
समीकरण: \(x + y = 4\)
प्रतिच्छेदन बिंदु: जब \(x=0, y=4\) (बिंदु A: 0, 4)। जब \(y=0, x=4\) (बिंदु B: 4, 0)। मूल बिंदु O (0,0) है।
(a) त्रिभुज का प्रकार:
बना हुआ त्रिभुज \(\Delta OAB\) है।
भुजा OA = 4 इकाई। भुजा OB = 4 इकाई।
चूँकि दो भुजाएँ समान हैं और अक्षों के बीच का कोण \(90^\circ\) है, इसलिए यह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (Isosceles Right-Angled Triangle) है।
(b) त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}\)
क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
क्षेत्रफल = \(\mathbf{8 \text{ वर्ग इकाई}}\)
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