เคช्เคฐเคถ्เคจ 1. (A) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคช्เคฐเคค्เคฏेเค เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคे เคฒिเค เคाเคฐ เคตिเคเคฒ्เคช เคฆिเคฏे เคนैं। เคเคจเคฎें เคธे เคธเคนी เคตिเคเคฒ्เคช เคुเคจเคเคฐ เคเคค्เคคเคฐ เคฒिเคिเคฏे। (4 เค ंเค)
(i) \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) เคเคธ เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคा เคเค เคฎूเคฒ 3 เคนै, เคคो \(k =\) ___
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
เคนเคฒ:
เคฆिเค เคเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) เคฎें \(x = 3\) เคฐเคเคจे เคชเคฐ,
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
เคเคค्เคคเคฐ: (A) 1
เคฆिเค เคเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) เคฎें \(x = 3\) เคฐเคเคจे เคชเคฐ,
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
เคเคค्เคคเคฐ: (A) 1
(ii) \(x + 2y = 4\) เคเคธ เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคा เคเคฒेเค เคींเคเคจे เคे เคฒिเค เคฏเคฆि \(y = 1\) เคนो, เคคो \(x\) เคा เคฎाเคจ เคिเคคเคจा เคนोเคा?
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
เคนเคฒ:
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ \(x + 2y = 4\) เคฎें \(y = 1\) เคฐเคเคจे เคชเคฐ,
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
เคเคค्เคคเคฐ: (B) 2
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ \(x + 2y = 4\) เคฎें \(y = 1\) เคฐเคเคจे เคชเคฐ,
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
เคเคค्เคคเคฐ: (B) 2
(iii) เคฆी เคเค เค
ंเคเคเคฃिเคคीเคฏ เคถ्เคฐृंเคเคฒा เคे เคฒिเค เคฏเคฆि \(t_7 = 4\) เคคเคฅा \(d = -4\) เคนो, เคคो \(a =\) ___
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
เคนเคฒ:
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
เคเคค्เคคเคฐ: (D) 28
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
เคเคค्เคคเคฐ: (D) 28
(iv) GSTIN เคฎें เคुเคฒ ___ เค
ंเคाเค्เคทเคฐ เคนोเคคे เคนैं।
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
เคนเคฒ:
GSTIN (เคตเคธ्เคคु เคเคตं เคธेเคตा เคเคฐ เคชเคนเคाเคจ เคธंเค्เคฏा) 15 เค ंเคों เคा เคนोเคคा เคนै।
เคเคค्เคคเคฐ: (C) 15
GSTIN (เคตเคธ्เคคु เคเคตं เคธेเคตा เคเคฐ เคชเคนเคाเคจ เคธंเค्เคฏा) 15 เค ंเคों เคा เคนोเคคा เคนै।
เคเคค्เคคเคฐ: (C) 15
เคช्เคฐเคถ्เคจ 1. (B) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจों เคो เคนเคฒ เคीเคिเค : (4 เค ंเค)
(i) เคฏเคฆि \(17x + 15y = 11\) เคคเคฅा \(15x + 17y = 21\) เคนो, เคคो \(x - y\) เคा เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เคฎाเคจा \(17x + 15y = 11\) ... (I)
เคฎाเคจा \(15x + 17y = 21\) ... (II)
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ (I) เคฎें เคธे (II) เคเคाเคจे เคชเคฐ:
\(2x - 2y = -10\)
เคฆोเคจों เคชเค्เคทों เคฎें 2 เคธे เคญाเค เคฆेเคจे เคชเคฐ:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
เคฎाเคจा \(17x + 15y = 11\) ... (I)
เคฎाเคจा \(15x + 17y = 21\) ... (II)
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ (I) เคฎें เคธे (II) เคเคाเคจे เคชเคฐ:
\(2x - 2y = -10\)
เคฆोเคจों เคชเค्เคทों เคฎें 2 เคธे เคญाเค เคฆेเคจे เคชเคฐ:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
(ii) \(t_n = 3n - 2\) เคเคธ เคถ्เคฐृंเคเคฒा เคा เคชเคนเคฒा เคชเคฆ เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เคชเคนเคฒा เคชเคฆ เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค, \(n = 1\) เคฐเคเคจे เคชเคฐ,
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
เคชเคนเคฒा เคชเคฆ เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค, \(n = 1\) เคฐเคเคจे เคชเคฐ,
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
(iii) เค
ंเคिเคค เคฎूเคฒ्เคฏ 100 เคฐुเคชเคฏे เคตाเคฒे เคถेเคฏเคฐ เคा เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ 150 เคฐुเคชเคฏे เคนै। เคฏเคฆि เคฆเคฒाเคฒी เคी เคฆเคฐ 2% เคนो, เคคो เคเค เคถेเคฏเคฐ เคी เคฆเคฒाเคฒी เคी เคीเคฎเคค เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เคฆเคฒाเคฒी (Brokerage) เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ (Market Value) เคชเคฐ เคจिเคाเคฒी เคाเคคी เคนै।
เคฆเคฒाเคฒी = เคฆเคฒाเคฒी เคी เคฆเคฐ \(\times\) เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
เคฆเคฒाเคฒी (Brokerage) เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ (Market Value) เคชเคฐ เคจिเคाเคฒी เคाเคคी เคนै।
เคฆเคฒाเคฒी = เคฆเคฒाเคฒी เคी เคฆเคฐ \(\times\) เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
(iv) เค
ंเคों เคी เคชुเคจเคฐाเคตृเคค्เคคि เคจ เคเคฐเคคे เคนुเค 2, 3, 5 เค
ंเคों เคธे เคฆो เค
ंเคों เคตाเคฒी เคธंเค्เคฏा เคฌเคจाเคจे เคे เคฒिเค เคจเคฎूเคจा เค
เคตเคाเคถ (S) เคฒिเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เค ंเค: 2, 3, 5
เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
เค ंเค: 2, 3, 5
เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
SSC Mathematics
Maths March 2025 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
Maths July 2025 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
Maths March 2024 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
Maths July 2024 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
เคช्เคฐเคถ्เคจ 2. (A) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคฎें เคธे เคोเค เคฆो เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे : (4 เค ंเค)
(i) เคฏเคฆि \(2x + 3y = k\) เคเคธ เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคा เคนเคฒ (0, 2) เคนो, เคคो \(k\) เคा เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे:
\(2x + 3y = k\) เคเคธ เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคा เคนเคฒ (0, 2) เคนै।
\(\therefore x = \Box\) เคคเคฅा \(y = \Box\) เคฏเคน เคฎाเคจ เคฆिเค เคเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคฎें เคฐเคเคจे เคชเคฐ
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
\(2x + 3y = k\) เคเคธ เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคा เคนเคฒ (0, 2) เคนै।
\(\therefore x = \Box\) เคคเคฅा \(y = \Box\) เคฏเคน เคฎाเคจ เคฆिเค เคเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคฎें เคฐเคเคจे เคชเคฐ
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
เคเคค्เคคเคฐ:
\(\therefore x = \class{box}{0}\) เคคเคฅा \(y = \class{box}{2}\) เคฏเคน เคฎाเคจ เคฆिเค เคเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคฎें เคฐเคเคจे เคชเคฐ
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
\(\therefore x = \class{box}{0}\) เคคเคฅा \(y = \class{box}{2}\) เคฏเคน เคฎाเคจ เคฆिเค เคเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคฎें เคฐเคเคจे เคชเคฐ
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
(ii) เคฏเคฆि 2 เคคเคฅा 5 เคฏे เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคे เคฎूเคฒ เคนों, เคคो เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคฌเคจाเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे :
เคฎाเคจा \(\alpha = 2\) เคคเคฅा \(\beta = 5\) เคฏे เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคे เคฎूเคฒ เคนैं।
เคช्เคฐाเคช्เคค เคนोเคจे เคตाเคฒा เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
เคฎाเคจा \(\alpha = 2\) เคคเคฅा \(\beta = 5\) เคฏे เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคे เคฎूเคฒ เคนैं।
เคช्เคฐाเคช्เคค เคนोเคจे เคตाเคฒा เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
เคเคค्เคคเคฐ:
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
(iii) เคฆो เคธिเค्เคे เคเค เคธाเคฅ เคเคाเคฒे เคเค। เคเคธ เคช्เคฐเคฏोเค เคे เคฒिเค เคจเคฎूเคจा เค
เคตเคाเคถ 'S' เคคเคฅा เคเคเคจा A เคต B เคธเคฎुเค्เคเคฏ เคे เคฐूเคช เคฎें เคฒिเคเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे :
เคฆो เคธिเค्เคे เคเค เคธाเคฅ เคเคाเคฒเคจे เคे เคฒिเค เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ 'S' เคนै।
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
เคเคเคจा A: เคเคฎ เคธे เคเคฎ เคเค เคिเคค เคฎिเคฒเคจे เคी เคเคเคจा।
\(A = \{ \Box, \text{HT, TH} \}\)
เคเคเคจा B: เคเค เคญी เคिเคค เคจ เคฎिเคฒเคจे เคी เคเคเคจा।
\(B = \{ \Box \}\)
เคฆो เคธिเค्เคे เคเค เคธाเคฅ เคเคाเคฒเคจे เคे เคฒिเค เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ 'S' เคนै।
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
เคเคเคจा A: เคเคฎ เคธे เคเคฎ เคเค เคिเคค เคฎिเคฒเคจे เคी เคเคเคจा।
\(A = \{ \Box, \text{HT, TH} \}\)
เคเคเคจा B: เคเค เคญी เคिเคค เคจ เคฎिเคฒเคจे เคी เคเคเคจा।
\(B = \{ \Box \}\)
เคเคค्เคคเคฐ:
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
เคเคเคจा A: \(A = \{ \class{box}{\text{HH}}, \text{HT, TH} \}\)
เคเคเคจा B: \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
เคเคเคจा A: \(A = \{ \class{box}{\text{HH}}, \text{HT, TH} \}\)
เคเคเคจा B: \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 2. (B) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคช्เคฐเคถ्เคจों เคฎें เคธे เคोเค เคाเคฐ เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค : (8 เค ंเค)
(i) ABCD เคฏเคน เคเคฏเคค เคนै। เคเคृเคคि เคฎें เคฆी เคเค เคाเคจเคाเคฐी เคे เคเคงाเคฐ เคชเคฐ \(ax+by=c\) เคเคธ เคฐूเคช เคฎें เคฏुเคเคชเคค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคช्เคฐाเคช्เคค เคीเคिเคฏे:
[เคเคृเคคि เคฎें: AB = \(2x + y + 8\), CD = \(4x - y\), AD = \(2y\), BC = \(x + 4\)]
[เคเคृเคคि เคฎें: AB = \(2x + y + 8\), CD = \(4x - y\), AD = \(2y\), BC = \(x + 4\)]
เคนเคฒ:
เคเคฏเคค เคी เคธเคฎ्เคฎुเค เคญुเคाเคँ เคธเคฎाเคจ เคนोเคคी เคนैं।
เคถเคฐ्เคค 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 เคธे เคญाเค เคฆेเคจे เคชเคฐ:
\(x - y = 4\) ... (I)
เคถเคฐ्เคค 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II)
เคช्เคฐाเคช्เคค เคฏुเคเคชเคค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
เคเคฏเคค เคी เคธเคฎ्เคฎुเค เคญुเคाเคँ เคธเคฎाเคจ เคนोเคคी เคนैं।
เคถเคฐ्เคค 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 เคธे เคญाเค เคฆेเคจे เคชเคฐ:
\(x - y = 4\) ... (I)
เคถเคฐ्เคค 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II)
เคช्เคฐाเคช्เคค เคฏुเคเคชเคค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
(ii) เคจिเคฎ्เคจ เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคुเคฃเคจเคंเคก เคตिเคงि เคธे เคนเคฒ เคीเคिเคฏे : \(x^2 + x - 20 = 0\)
เคนเคฒ:
\(x^2 + x - 20 = 0\)
เคฎเคง्เคฏ เคชเคฆ เคो เคตिเคญाเคिเคค เคเคฐเคจे เคชเคฐ (เคฏोเค = +1, เคुเคฃเคจเคซเคฒ = -20). เคुเคฃเคจเคंเคก +5 เคเคฐ -4 เคนैं।
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) เคฏा \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) เคฏा \(\mathbf{x = 4}\)
\(x^2 + x - 20 = 0\)
เคฎเคง्เคฏ เคชเคฆ เคो เคตिเคญाเคिเคค เคเคฐเคจे เคชเคฐ (เคฏोเค = +1, เคुเคฃเคจเคซเคฒ = -20). เคुเคฃเคจเคंเคก +5 เคเคฐ -4 เคนैं।
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) เคฏा \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) เคฏा \(\mathbf{x = 4}\)
(iii) เคจिเคฎ्เคจ เค
ंเคเคเคฃिเคคीเคฏ เคถ्เคฐृंเคเคฒा เคा 19เคตाँ เคชเคฆ เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे : 7, 13, 19, 25, ...
เคนเคฒ:
เคฏเคนाँ, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
เคฏเคนाँ, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
(iv) เค
เค्เคी เคคเคฐเคน เคธे เคซेंเคी เคเค 52 เคคाเคถ เคे เคชเคค्เคคों เคी เคเคก्เคกी เคฎें เคธे เคเค เคชเคค्เคคा เคจिเคाเคฒा เคเคฏा เคนो, เคคो เคตเคน เคชเคค्เคคा เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคนोเคจे เคी เคธंเคญाเคต्เคฏเคคा เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เคुเคฒ เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ \(n(S) = 52\).
เคฎाเคจा A เคเคเคจा เคนै เคि เคชเคค्เคคा เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค (Face card) เคนै।
เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคชเคค्เคคे เคुเคฒाเคฎ, เคฐाเคจी, เคเคฐ เคฌाเคฆเคถाเคน (Jack, Queen, King) เคนोเคคे เคนैं। 4 เคธเคฎूเคนों เคฎें เคुเคฒ \(3 \times 4 = 12\) เคชเคค्เคคे।
\(n(A) = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
เคुเคฒ เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ \(n(S) = 52\).
เคฎाเคจा A เคเคเคจा เคนै เคि เคชเคค्เคคा เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค (Face card) เคนै।
เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคชเคค्เคคे เคुเคฒाเคฎ, เคฐाเคจी, เคเคฐ เคฌाเคฆเคถाเคน (Jack, Queen, King) เคนोเคคे เคนैं। 4 เคธเคฎूเคนों เคฎें เคुเคฒ \(3 \times 4 = 12\) เคชเคค्เคคे।
\(n(A) = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
(v) เคจीเคे เคฆी เคเค เคธाเคฐเคฃी เคฎें เคเค เคธॉเคซ्เคเคตेเคฏเคฐ เคंเคชเคจी เคฎें เคฆैเคจिเค เคाเคฐ्เคฏ เคे เคंเคों เคคเคฅा เคเคคเคจी เคฆेเคฐ เคाเคฐ्เคฏ เคเคฐเคจे เคตाเคฒे เคต्เคฏเค्เคคिเคฏों เคी เคธंเค्เคฏा เคฆी เคเค เคนै। เคเคธ เคเคงाเคฐ เคชเคฐ 'เคเค्เค เคตเคฐ्เค เคธीเคฎा เคธे เคเคฎ' เคธंเคเคฏी เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคธाเคฐเคฃी เคฌเคจाเคเคฏे :
| เคฆैเคจिเค เคाเคฐ्เคฏ เคे เคंเคे | เคเคฐ्เคฎเคाเคฐिเคฏों เคी เคธंเค्เคฏा |
|---|---|
| 8-10 | 150 |
| 10-12 | 500 |
| 12-14 | 300 |
| 14-16 | 50 |
เคนเคฒ:
| เคตเคฐ्เค (เคंเคे) | เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा (เคเคฐ्เคฎเคाเคฐी) | เคธंเคเคฏी เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा (เคธे เคเคฎ) |
|---|---|---|
| 8-10 | 150 | 150 |
| 10-12 | 500 | 150 + 500 = 650 |
| 12-14 | 300 | 650 + 300 = 950 |
| 14-16 | 50 | 950 + 50 = 1000 |
เคช्เคฐเคถ्เคจ 3. (A) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคฎें เคธे เคोเค เคเค เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे : (3 เค ंเค)
(i) เคจीเคे เคฆी เคเค เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌंเคเคจ เคธाเคฐเคฃी เคฎें เคเค เคชेเค्เคฐोเคฒ เคชंเคช เคชเคฐ เคชेเค्เคฐोเคฒ เคญเคฐเคตाเคจे เคตाเคฒे เคตाเคนเคจों เคी เคธंเค्เคฏा เคเคฐ เคตाเคนเคจों เคฎें เคญเคฐे เคเค เคชेเค्เคฐोเคฒ เคी เคฎाเคค्เคฐा เคी เคाเคจเคाเคฐी เคฆी เคเค เคนै। เคเคธเคธे เคตाเคนเคจों เคฎें เคญเคฐे เคเคฏे เคชेเค्เคฐोเคฒ เคे เคเคฏเคคเคจ เคा เคฌเคนुเคฒเค เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे :
[เคธाเคฐเคฃी เคฎें เคฌเคนुเคฒเค เคตเคฐ्เค 3.5-6.5 เคนै, เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा 40 เคนै। เคชूเคฐ्เคต เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा 33, เคชเคถ्เคाเคค เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा 27]
เคृเคคि:
เคฆी เคเค เคธाเคฐเคฃी เคธे, เคฌเคนुเคฒเค เคตเคฐ्เค = 3.5-6.5
เคฌเคนुเคฒเค \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \Box\)
เคตाเคนเคจों เคฎें เคญเคฐे เคเค เคชेเค्เคฐोเคฒ เคे เคเคฏเคคเคจ เคा เคฌเคนुเคฒเค \(\Box\) เคนै।
[เคธाเคฐเคฃी เคฎें เคฌเคนुเคฒเค เคตเคฐ्เค 3.5-6.5 เคนै, เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा 40 เคนै। เคชूเคฐ्เคต เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा 33, เคชเคถ्เคाเคค เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा 27]
เคृเคคि:
เคฆी เคเค เคธाเคฐเคฃी เคธे, เคฌเคนुเคฒเค เคตเคฐ्เค = 3.5-6.5
เคฌเคนुเคฒเค \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \Box\)
เคตाเคนเคจों เคฎें เคญเคฐे เคเค เคชेเค्เคฐोเคฒ เคे เคเคฏเคคเคจ เคा เคฌเคนुเคฒเค \(\Box\) เคนै।
เคเคค्เคคเคฐ:
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + 1.05\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{4.55}\)
เคตाเคนเคจों เคฎें เคญเคฐे เคเค เคชेเค्เคฐोเคฒ เคे เคเคฏเคคเคจ เคा เคฌเคนुเคฒเค 4.55 เคฒीเคเคฐ เคนै।
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + 1.05\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{4.55}\)
เคตाเคนเคจों เคฎें เคญเคฐे เคเค เคชेเค्เคฐोเคฒ เคे เคเคฏเคคเคจ เคा เคฌเคนुเคฒเค 4.55 เคฒीเคเคฐ เคนै।
(ii) เคฐिเคฎोเค เคंเค्เคฐोเคฒ เคिเคฒौเคจा เคाเคฐ เคी เคीเคเคธเคी เคธเคนिเคค เคुเคฒ เคीเคฎเคค 2360 เคฐुเคชเคฏे เคนै। เคฏเคฆि เคीเคเคธเคी เคी เคฆเคฐ 18% เคนो, เคคो เคाเคฐ เคा เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเคฏे :
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
เคाเคฐ เคा เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ \(\Box\) เคฐुเคชเคฏे เคนै।
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
เคाเคฐ เคा เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ \(\Box\) เคฐुเคชเคฏे เคนै।
เคเคค्เคคเคฐ:
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
เคाเคฐ เคा เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) เคฐुเคชเคฏे เคนै।
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
เคाเคฐ เคा เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) เคฐुเคชเคฏे เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ 3. (B) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคช्เคฐเคถ्เคจों เคฎें เคธे เคोเค เคฆो เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเคฏे : (6 เค ंเค)
(i) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคธूเคค्เคฐ เคตिเคงि เคธे เคนเคฒ เคीเคिเคฏे : \(3m^2 - m - 10 = 0\)
เคนเคฒ:
\(3m^2 - m - 10 = 0\) เคी เคคुเคฒเคจा \(am^2 + bm + c = 0\) เคธे เคเคฐเคจे เคชเคฐ,
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
เคธूเคค्เคฐ: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
เคชเคนเคฒी เคธ्เคฅिเคคि: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
เคฆूเคธเคฐी เคธ्เคฅिเคคि: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
\(3m^2 - m - 10 = 0\) เคी เคคुเคฒเคจा \(am^2 + bm + c = 0\) เคธे เคเคฐเคจे เคชเคฐ,
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
เคธूเคค्เคฐ: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
เคชเคนเคฒी เคธ्เคฅिเคคि: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
เคฆूเคธเคฐी เคธ्เคฅिเคคि: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
(ii) เคจिเคฎ्เคจ เคฏुเคเคชเคค เคธเคฎीเคเคฐเคฃों เคो เค्เคฐेเคฎเคฐ เคी เคตिเคงि เคธे เคนเคฒ เคीเคिเคฏे : \(3x - 4y = 10\), \(4x + 3y = 5\)
เคนเคฒ:
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
เค्เคฐेเคฎเคฐ เคे เคจिเคฏเคฎ เคธे:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
เคนเคฒ: \((x, y) = (2, -1)\)
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
เค्เคฐेเคฎเคฐ เคे เคจिเคฏเคฎ เคธे:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
เคนเคฒ: \((x, y) = (2, -1)\)
(iii) 10 เคฐुเคชเคฏे เค
ंเคिเคค เคฎूเคฒ्เคฏ เคตाเคฒे 50 เคถेเคฏเคฐ्เคธ 25 เคฐुเคชเคฏे เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ เคธे เคเคฐीเคฆे। เคเคจ เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคชเคฐ เคंเคชเคจी เคจे 30% เคฒाเคญांเคถ เคोเคทिเคค เคिเคฏा, เคคो : (1) เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ เคिเคคเคจा ? (2) เคช्เคฐाเคช्เคค เคฒाเคญांเคถ เคिเคคเคจा ? (3) เคจिเคตेเคถ เคชเคฐ เคช्เคฐเคคिเคซเคฒ เคी เคฆเคฐ เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै: เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคी เคธंเค्เคฏा = 50, เค ंเคिเคค เคฎूเคฒ्เคฏ (FV) = \(\text{₹} 10\), เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ (MV) = \(\text{₹} 25\), เคฒाเคญांเคถ เคฆเคฐ = 30%.
(1) เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ:
เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ = เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคी เคธंเค्เคฏा \(\times\) เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) เคช्เคฐाเคช्เคค เคฒाเคญांเคถ:
เคเค เคถेเคฏเคฐ เคชเคฐ เคฒाเคญांเคถ = เคฆเคฐ \(\times\) เค ंเคिเคค เคฎूเคฒ्เคฏ = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
เคुเคฒ เคฒाเคญांเคถ = เคเค เคถेเคฏเคฐ เคชเคฐ เคฒाเคญांเคถ \(\times\) เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคी เคธंเค्เคฏा
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) เคช्เคฐเคคिเคซเคฒ เคी เคฆเคฐ (RoR):
RoR = \(\frac{\text{เคुเคฒ เคฒाเคญांเคถ}}{\text{เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै: เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคी เคธंเค्เคฏा = 50, เค ंเคिเคค เคฎूเคฒ्เคฏ (FV) = \(\text{₹} 10\), เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ (MV) = \(\text{₹} 25\), เคฒाเคญांเคถ เคฆเคฐ = 30%.
(1) เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ:
เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ = เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคी เคธंเค्เคฏा \(\times\) เคฌाเคाเคฐ เคฎूเคฒ्เคฏ
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) เคช्เคฐाเคช्เคค เคฒाเคญांเคถ:
เคเค เคถेเคฏเคฐ เคชเคฐ เคฒाเคญांเคถ = เคฆเคฐ \(\times\) เค ंเคिเคค เคฎूเคฒ्เคฏ = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
เคुเคฒ เคฒाเคญांเคถ = เคเค เคถेเคฏเคฐ เคชเคฐ เคฒाเคญांเคถ \(\times\) เคถेเคฏเคฐ्เคธ เคी เคธंเค्เคฏा
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) เคช्เคฐเคคिเคซเคฒ เคी เคฆเคฐ (RoR):
RoR = \(\frac{\text{เคुเคฒ เคฒाเคญांเคถ}}{\text{เคुเคฒ เคจिเคตेเคถ}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
(iv) เคเค เคธिเค्เคा เคคเคฅा เคเค เคชाँเคธा เคเค เคธाเคฅ เคเคाเคฒे เคเคฏे, เคคो เคจिเคฎ्เคจ เคเคเคจाเคं เคी เคธंเคญाเคต्เคฏเคคा เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे :
เคเคเคจा A: เคिเคค เคคเคฅा เค เคญाเค्เคฏ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคฒเคจा।
เคเคเคจा B: เคชเค เคคเคฅा เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคฒเคจा।
เคเคเคจा A: เคिเคค เคคเคฅा เค เคญाเค्เคฏ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคฒเคจा।
เคเคเคจा B: เคชเค เคคเคฅा เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคฒเคจा।
เคนเคฒ:
เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
เคเคเคจा A: เคिเคค (Head) เคคเคฅा เค เคญाเค्เคฏ เคธंเค्เคฏा (Prime number)
เคชाँเคธे เคชเคฐ เค เคญाเค्เคฏ เคธंเค्เคฏाเคँ: 2, 3, 5
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคเคเคจा B: เคชเค (Tail) เคคเคฅा เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा (Odd number)
เคชाँเคธे เคชเคฐ เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏाเคँ: 1, 3, 5
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคจเคฎूเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
เคเคเคจा A: เคिเคค (Head) เคคเคฅा เค เคญाเค्เคฏ เคธंเค्เคฏा (Prime number)
เคชाँเคธे เคชเคฐ เค เคญाเค्เคฏ เคธंเค्เคฏाเคँ: 2, 3, 5
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคเคเคจा B: เคชเค (Tail) เคคเคฅा เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा (Odd number)
เคชाँเคธे เคชเคฐ เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏाเคँ: 1, 3, 5
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 4. เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคช्เคฐเคถ्เคจों เคฎें เคธे เคोเค เคฆो เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค : (8 เค ंเค)
(i) เคเค เคंเคी เคो เคฆो เคจเคฒों เคธे เคชूเคฐा เคญเคฐเคจे เคฎें 6 เคंเคे เคฒเคเคคे เคนैं। เคोเคे เคจเคฒ เคो เคตเคน เคंเคी เคญเคฐเคจे เคฎें เคฒเคเคจे เคตाเคฒा เคธเคฎเคฏ เคฌเคก़े เคจเคฒ เคธे เคฒเคเคจे เคตाเคฒे เคธเคฎเคฏ เคธे 5 เคंเคे เค
เคงिเค เคฒเคเคคे เคนैं, เคคो เคช्เคฐเคค्เคฏेเค เคจเคฒ เคो เคตเคน เคंเคी เคญเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคिเคคเคจा เคธเคฎเคฏ เคฒเคेเคा?
เคนเคฒ:
เคฎाเคจा เคฌเคก़े เคจเคฒ เคो เคंเคी เคญเคฐเคจे เคฎें \(x\) เคंเคे เคฒเคเคคे เคนैं।
เคคो เคोเคे เคจเคฒ เคो \((x + 5)\) เคंเคे เคฒเคेंเคे।
1 เคंเคे เคฎें, เคฌเคก़ा เคจเคฒ \(\frac{1}{x}\) เคญाเค เคญเคฐเคคा เคนै।
1 เคंเคे เคฎें, เคोเคा เคจเคฒ \(\frac{1}{x+5}\) เคญाเค เคญเคฐเคคा เคนै।
เคฆोเคจों เคฎिเคฒเคเคฐ เคंเคी 6 เคंเคे เคฎें เคญเคฐเคคे เคนैं, เคเคธเคฒिเค 1 เคंเคे เคฎें เคตे \(\frac{1}{6}\) เคญाเค เคญเคฐेंเคे।
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 เคे เคुเคฃเคจเคंเคก เคिเคจเคा เคฏोเค -7 เคนो, เคตे -10 เคเคฐ +3 เคนैं।
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) เคฏा \(x = -3\)
เคธเคฎเคฏ เคเคฃाเคค्เคฎเค เคจเคนीं เคนो เคธเคเคคा, เคเคธเคฒिเค \(x = 10\).
เคฌเคก़े เคจเคฒ เคो เคฒเคเคจे เคตाเคฒा เคธเคฎเคฏ = \(\mathbf{10 \text{ เคंเคे}}\).
เคोเคे เคจเคฒ เคो เคฒเคเคจे เคตाเคฒा เคธเคฎเคฏ = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ เคंเคे}}\).
เคฎाเคจा เคฌเคก़े เคจเคฒ เคो เคंเคी เคญเคฐเคจे เคฎें \(x\) เคंเคे เคฒเคเคคे เคนैं।
เคคो เคोเคे เคจเคฒ เคो \((x + 5)\) เคंเคे เคฒเคेंเคे।
1 เคंเคे เคฎें, เคฌเคก़ा เคจเคฒ \(\frac{1}{x}\) เคญाเค เคญเคฐเคคा เคนै।
1 เคंเคे เคฎें, เคोเคा เคจเคฒ \(\frac{1}{x+5}\) เคญाเค เคญเคฐเคคा เคนै।
เคฆोเคจों เคฎिเคฒเคเคฐ เคंเคी 6 เคंเคे เคฎें เคญเคฐเคคे เคนैं, เคเคธเคฒिเค 1 เคंเคे เคฎें เคตे \(\frac{1}{6}\) เคญाเค เคญเคฐेंเคे।
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 เคे เคुเคฃเคจเคंเคก เคिเคจเคा เคฏोเค -7 เคนो, เคตे -10 เคเคฐ +3 เคนैं।
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) เคฏा \(x = -3\)
เคธเคฎเคฏ เคเคฃाเคค्เคฎเค เคจเคนीं เคนो เคธเคเคคा, เคเคธเคฒिเค \(x = 10\).
เคฌเคก़े เคจเคฒ เคो เคฒเคเคจे เคตाเคฒा เคธเคฎเคฏ = \(\mathbf{10 \text{ เคंเคे}}\).
เคोเคे เคจเคฒ เคो เคฒเคเคจे เคตाเคฒा เคธเคฎเคฏ = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ เคंเคे}}\).
(ii) เคिเคธी เคชเคฐीเค्เคทा เคे เคชเคฐिเคฃाเคฎ เคे เคช्เคฐเคคिเคถเคค เคा เคตเคฐ्เค เคคเคฅा เคเคธ เคตเคฐ्เค เคตाเคฒे เคाเคค्เคฐों เคी เคธंเค्เคฏा เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคธाเคฐเคฃी เคฎें เคฆी เคเค เคนै। เคเคธ เคธाเคฐเคฃी เคे เคเคงाเคฐ เคชเคฐ เคฌिเคจा เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคींเคे เคเคฏเคคाเคฒेเค เคฌเคจाเคเคฏे :
*(เคจोเค: เค ंเค्เคฐेเคी เคเคฐ เคฎเคฐाเค ी เคฎाเคง्เคฏเคฎ เคे เคช्เคฐเคถ्เคจเคชเคค्เคฐों เคे เค เคจुเคธाเคฐ, เคฏเคนाँ 'เคเคฏเคคाเคฒेเค เคे เคฌिเคจा เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค' (Frequency Polygon without histogram) เคฌเคจाเคจा เค เคชेเค्เคทिเคค เคนै। เคนिंเคฆी เค เคจुเคตाเคฆ เคฎें เคค्เคฐुเคि เคช्เคฐเคคीเคค เคนोเคคी เคนै। เคฏเคนाँ เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคा เคนเคฒ เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै।)*
*(เคจोเค: เค ंเค्เคฐेเคी เคเคฐ เคฎเคฐाเค ी เคฎाเคง्เคฏเคฎ เคे เคช्เคฐเคถ्เคจเคชเคค्เคฐों เคे เค เคจुเคธाเคฐ, เคฏเคนाँ 'เคเคฏเคคाเคฒेเค เคे เคฌिเคจा เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค' (Frequency Polygon without histogram) เคฌเคจाเคจा เค เคชेเค्เคทिเคค เคนै। เคนिंเคฆी เค เคจुเคตाเคฆ เคฎें เคค्เคฐुเคि เคช्เคฐเคคीเคค เคนोเคคी เคนै। เคฏเคนाँ เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคा เคนเคฒ เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै।)*
| เคชเคฐिเคฃाเคฎ (เคช्เคฐเคคिเคถเคค) | เคाเคค्เคฐों เคी เคธंเค्เคฏा |
|---|---|
| 20-40 | 25 |
| 40-60 | 65 |
| 60-80 | 80 |
| 80-100 | 15 |
เคนเคฒ (เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค):
เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคฌเคจाเคจे เคे เคฒिเค, เคนเคฎें เคตเคฐ्เค เคฎเคง्เคฏ (Class Mark) เคจिเคाเคฒเคจा เคนोเคा। เคธाเคฅ เคนी เคถुเคฐुเคเคค เคเคฐ เค ंเคค เคฎें เคถूเคจ्เคฏ เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคตाเคฒे เคตเคฐ्เค เคोเคก़เคจे เคนोंเคे।
(เคจिเคฐ्เคฆेเคถ: เคเคจ เคฌिंเคฆुเคं เคो เค्เคฐाเคซ เคชेเคชเคฐ เคชเคฐ เคช्เคฒॉเค เคเคฐें เคเคฐ เคเคจ्เคนें เคชैเคฎाเคจे เคธे เคोเคก़เคเคฐ เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคฌเคจाเคँ।)
เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคฌเคจाเคจे เคे เคฒिเค, เคนเคฎें เคตเคฐ्เค เคฎเคง्เคฏ (Class Mark) เคจिเคाเคฒเคจा เคนोเคा। เคธाเคฅ เคนी เคถुเคฐुเคเคค เคเคฐ เค ंเคค เคฎें เคถूเคจ्เคฏ เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा เคตाเคฒे เคตเคฐ्เค เคोเคก़เคจे เคนोंเคे।
| เคตเคฐ्เค | เคตเคฐ्เค เคฎเคง्เคฏ (x) | เคฌाเคฐंเคฌाเคฐเคคा (y) | เคจिเคฐ्เคฆेเคถांเค (x, y) |
|---|---|---|---|
| 0-20 | 10 | 0 | (10, 0) |
| 20-40 | 30 | 25 | (30, 25) |
| 40-60 | 50 | 65 | (50, 65) |
| 60-80 | 70 | 80 | (70, 80) |
| 80-100 | 90 | 15 | (90, 15) |
| 100-120 | 110 | 0 | (110, 0) |
(iii) เคเคตिเคคा เคจे เคिเคธी เคฎเคนिเคฒा เคฌเคเคค เคเค เคฎें เคชเคนเคฒे เคฆिเคจ 20 เคฐुเคชเคฏे, เคฆूเคธเคฐे เคฆिเคจ 40 เคฐुเคชเคฏे เคคเคฅा เคคीเคธเคฐे เคฆिเคจ 60 เคฐुเคชเคฏे เคเคธ เคช्เคฐเคाเคฐ เคชैเคธे เคเคฎा เคिเค, เคคो เคเคธเคी เคซเคฐเคตเคฐी 2020 เคฎเคนीเคจे เคी เคुเคฒ เคฌเคเคค เคिเคคเคจी เคนोเคी?
เคนเคฒ:
เคฌเคเคค: 20, 40, 60, ...
เคฏเคน เคเค เค ंเคเคเคฃिเคคीเคฏ เคถ्เคฐृंเคเคฒा (A.P.) เคนै, เคเคนाँ \(a = 20\), \(d = 20\).
เคซเคฐเคตเคฐी 2020 เคเค เคฒीเคช เคตเคฐ्เคท เคนै, เคเคธเคฒिเค เคเคธเคฎें 29 เคฆिเคจ เคนोเคคे เคนैं। เค เคคः, \(n = 29\).
เคนเคฎें เคुเคฒ เคฌเคเคค \(S_n\) เค्เคाเคค เคเคฐเคจी เคนै।
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[600]\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{เคซเคฐเคตเคฐी 2020 เคी เคुเคฒ เคฌเคเคค = \text{₹} 8700}}\)
เคฌเคเคค: 20, 40, 60, ...
เคฏเคน เคเค เค ंเคเคเคฃिเคคीเคฏ เคถ्เคฐृंเคเคฒा (A.P.) เคนै, เคเคนाँ \(a = 20\), \(d = 20\).
เคซเคฐเคตเคฐी 2020 เคเค เคฒीเคช เคตเคฐ्เคท เคนै, เคเคธเคฒिเค เคเคธเคฎें 29 เคฆिเคจ เคนोเคคे เคนैं। เค เคคः, \(n = 29\).
เคนเคฎें เคुเคฒ เคฌเคเคค \(S_n\) เค्เคाเคค เคเคฐเคจी เคนै।
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[600]\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{เคซเคฐเคตเคฐी 2020 เคी เคुเคฒ เคฌเคเคค = \text{₹} 8700}}\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 5. เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคช्เคฐเคถ्เคจों เคฎें เคธे เคोเค เคเค เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเคฏे : (3 เค ंเค)
(i) เคिเคธी เคตिเคฆ्เคฏाเคฒเคฏ เคฎें เคตाเคฐ्เคทिเค เคเคฐ्เคฅिเค เคจिเคฏोเคเคจ เคฎें เค
เคฒเค-เค
เคฒเค เคेเคฒ เคชเคฐ เคเคฐ्เค เคी เคเค เคฐाเคถि เคा เคตृเคค्เคคाเคฒेเค (Pie Diagram) เคฆเคฐ्เคถाเคฏा เคนै। เค्เคฐिเคेเค \(160^\circ\), เคเคฌเคก्เคกी \(55^\circ\), เคซुเคเคฌॉเคฒ \(45^\circ\), เคนॉเคी \(100^\circ\)। เคฏเคฆि เคซुเคเคฌॉเคฒ เคชเคฐ เคเคฐ्เค เคी เคเค เคฐाเคถि 9,000 เคฐुเคชเคฏे เคนो, เคคो เคจिเคฎ्เคจ เคช्เคฐเคถ्เคจों เคा เคเคค्เคคเคฐ เคฒिเคिเคฏे :
(a) เคेเคฒ เคชเคฐ เคुเคฒ เคिเคคเคจी เคฐाเคถि เคเคฐ्เค เคी เคเค ?
(b) เค्เคฐिเคेเค เคชเคฐ เคिเคคเคจी เคฐाเคถि เคเคฐ्เค เคी เคเค ?
(a) เคेเคฒ เคชเคฐ เคुเคฒ เคिเคคเคจी เคฐाเคถि เคเคฐ्เค เคी เคเค ?
(b) เค्เคฐिเคेเค เคชเคฐ เคिเคคเคจी เคฐाเคถि เคเคฐ्เค เคी เคเค ?
เคนเคฒ:
(a) เคेเคฒ เคชเคฐ เคुเคฒ เคเคฐ्เค เคฐाเคถि:
เคฎाเคจा เคुเคฒ เคฐाเคถि \(x\) เคนै।
เคซुเคเคฌॉเคฒ เคे เคฒिเค เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคฃ = \(45^\circ\)। เคฐाเคถि = \(\text{₹} 9000\)।
เคธूเคค्เคฐ: \(\text{เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคฃ} = \frac{\text{เคเคเค เคा เคฎाเคจ}}{\text{เคुเคฒ เคฎाเคจ}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{เคुเคฒ เคฐाเคถि = \text{₹} 72,000}}\)
(b) เค्เคฐिเคेเค เคชเคฐ เคเคฐ्เค เคฐाเคถि:
เค्เคฐिเคेเค เคे เคฒिเค เคोเคฃ = \(160^\circ\)।
เคฐाเคถि = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(a) เคेเคฒ เคชเคฐ เคुเคฒ เคเคฐ्เค เคฐाเคถि:
เคฎाเคจा เคुเคฒ เคฐाเคถि \(x\) เคนै।
เคซुเคเคฌॉเคฒ เคे เคฒिเค เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคฃ = \(45^\circ\)। เคฐाเคถि = \(\text{₹} 9000\)।
เคธूเคค्เคฐ: \(\text{เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคฃ} = \frac{\text{เคเคเค เคा เคฎाเคจ}}{\text{เคुเคฒ เคฎाเคจ}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{เคुเคฒ เคฐाเคถि = \text{₹} 72,000}}\)
(b) เค्เคฐिเคेเค เคชเคฐ เคเคฐ्เค เคฐाเคถि:
เค्เคฐिเคेเค เคे เคฒिเค เคोเคฃ = \(160^\circ\)।
เคฐाเคถि = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(ii) \(x + y = 4\) เคเคธ เคฏुเคเคชเคค เคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคा เคเคฒेเค เคींเคिเคฏे เคคเคฅा เคจिเคฎ्เคจ เคช्เคฐเคถ्เคจों เคे เคเคค्เคคเคฐ เคฒिเคिเคฏे :
(a) เคฐेเคा เคे เคฆ्เคตाเคฐा X เคคเคฅा Y เค เค्เคท เคे เคธाเคฅ เคฌเคจाเคฏा เคเคฏा เคค्เคฐिเคญुเค เคा เคเคธเคी เคญुเคा เคे เคเคงाเคฐ เคชเคฐ เคช्เคฐเคाเคฐ เคฒिเคिเคฏे।
(b) เคเคธ เคค्เคฐिเคญुเค เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
(a) เคฐेเคा เคे เคฆ्เคตाเคฐा X เคคเคฅा Y เค เค्เคท เคे เคธाเคฅ เคฌเคจाเคฏा เคเคฏा เคค्เคฐिเคญुเค เคा เคเคธเคी เคญुเคा เคे เคเคงाเคฐ เคชเคฐ เคช्เคฐเคाเคฐ เคฒिเคिเคฏे।
(b) เคเคธ เคค्เคฐिเคญुเค เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ เค्เคाเคค เคीเคिเคฏे।
เคนเคฒ:
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ: \(x + y = 4\)
เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆเคจ เคฌिंเคฆु: เคเคฌ \(x=0, y=4\) (เคฌिंเคฆु A: 0, 4)। เคเคฌ \(y=0, x=4\) (เคฌिंเคฆु B: 4, 0)। เคฎूเคฒ เคฌिंเคฆु O (0,0) เคนै।
(a) เคค्เคฐिเคญुเค เคा เคช्เคฐเคाเคฐ:
เคฌเคจा เคนुเค เคค्เคฐिเคญुเค \(\Delta OAB\) เคนै।
เคญुเคा OA = 4 เคเคाเค। เคญुเคा OB = 4 เคเคाเค।
เคूँเคि เคฆो เคญुเคाเคँ เคธเคฎाเคจ เคนैं เคเคฐ เค เค्เคทों เคे เคฌीเค เคा เคोเคฃ \(90^\circ\) เคนै, เคเคธเคฒिเค เคฏเคน เคธเคฎเคฆ्เคตिเคฌाเคนु เคธเคฎเคोเคฃ เคค्เคฐिเคญुเค (Isosceles Right-Angled Triangle) เคนै।
(b) เคค्เคฐिเคญुเค เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ:
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(\frac{1}{2} \times \text{เคเคงाเคฐ} \times \text{เคँเคाเค}\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(\mathbf{8 \text{ เคตเคฐ्เค เคเคाเค}}\)
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ: \(x + y = 4\)
เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆเคจ เคฌिंเคฆु: เคเคฌ \(x=0, y=4\) (เคฌिंเคฆु A: 0, 4)। เคเคฌ \(y=0, x=4\) (เคฌिंเคฆु B: 4, 0)। เคฎूเคฒ เคฌिंเคฆु O (0,0) เคนै।
(a) เคค्เคฐिเคญुเค เคा เคช्เคฐเคाเคฐ:
เคฌเคจा เคนुเค เคค्เคฐिเคญुเค \(\Delta OAB\) เคนै।
เคญुเคा OA = 4 เคเคाเค। เคญुเคा OB = 4 เคเคाเค।
เคूँเคि เคฆो เคญुเคाเคँ เคธเคฎाเคจ เคนैं เคเคฐ เค เค्เคทों เคे เคฌीเค เคा เคोเคฃ \(90^\circ\) เคนै, เคเคธเคฒिเค เคฏเคน เคธเคฎเคฆ्เคตिเคฌाเคนु เคธเคฎเคोเคฃ เคค्เคฐिเคญुเค (Isosceles Right-Angled Triangle) เคนै।
(b) เคค्เคฐिเคญुเค เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ:
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(\frac{1}{2} \times \text{เคเคงाเคฐ} \times \text{เคँเคाเค}\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(\mathbf{8 \text{ เคตเคฐ्เค เคเคाเค}}\)
