HSC OCM Board Question Paper Solution February 2026 (Marathi Medium) – 12th Commerce

```

बोर्ड प्रश्नपत्रिका : फेब्रुवारी २०२६

विषय: वाणिज्य संघटन व व्यवस्थापन

वेळ: ३ तास | एकूण गुण: ८०

प्र.१. (अ) रिकाम्या जागी योग्य पर्याय निवडून विधाने पुन्हा लिहा :

१) आयुर्विम्यास __________ तत्त्व लागू होत नाही. उत्तर: (क) नुकसान भरपाईचे

२) ग्राहक आणि ग्राहक यांच्यातील व्यवहार __________ च्या अंतर्गत होतात. उत्तर: (ब) C2C

३) व्यवस्थापनेची कार्ये __________ या कार्याने संपतात. उत्तर: (क) नियंत्रण

४) व्यवसायाने __________ वेळोवेळी माहिती पुरविली पाहिजे. उत्तर: (ब) मालकांना

५) किरकोळ बाजार हा असा बाजार आहे की जेथे किरकोळ व्यापारी प्रत्यक्षपणे मालाची विक्री __________ यांना लहान प्रमाणात करतो. उत्तर: (क) उपभोक्ता

प्र.१. (ब) योग्य जोड्या जुळवा :

'अ' गट	'ब' गट (उत्तर)
(अ) निर्देशनातील एकवाक्यता	(३) एक वरिष्ठ - एक योजना
(ब) नलिकेद्वारे वाहतूक (Pipeline)	(४) पेट्रोलियम आणि गॅस
(क) नोंदणी	(१०) पहिली पायरी
(ड) आर्थिक उद्देश	(९) नफा मिळविणे
(इ) बाजारपेठेचा राजा	(२) ग्राहक (Consumer)

प्र.१. (क) खालीलपैकी विधाने 'बरोबर' की 'चूक' ते लिहा :

१) लोक अदालत हे खऱ्या अर्थाने लोकांचे न्यायालय म्हणून ओळखले जाते. उत्तर: बरोबर

२) NEFT म्हणजे नॅशनल इलेक्ट्रिक फंड ट्रान्सफर. उत्तर: चूक (योग्य: नॅशनल इलेक्ट्रॉनिक फंड ट्रान्सफर)

३) विपणी हा शब्द लॅटिन भाषेतील 'मार्केट्स' शब्दापासून आलेला आहे. उत्तर: बरोबर (Mercatus)

४) व्यवस्थापनाचे प्रत्येक कार्य नियोजनावर आधारित नसते. उत्तर: चूक (नियोजन हे मूलभूत कार्य आहे)

५) औद्योगिक शांतता राखणे ही व्यवसाय संघटनांची जबाबदारी असते. उत्तर: बरोबर

प्र.१. (ड) योग्य क्रम लावा :

१) खरेदी विक्री, वस्तू पोहोच अवस्था, पूर्व-खरेदी किंवा विक्री उत्तर: पूर्व-खरेदी किंवा विक्री -> खरेदी विक्री -> वस्तू पोहोच अवस्था

२) ई-मेल, आंतर्देशीय पत्र, कुरिअर सेवा. उत्तर: आंतर्देशीय पत्र -> कुरिअर सेवा -> ई-मेल

३) जिल्हा न्यायाधीश, सर्वोच्च न्यायालयाचे न्यायाधीश, उच्च न्यायालयाचे न्यायाधीश. उत्तर: जिल्हा न्यायाधीश -> उच्च न्यायालयाचे न्यायाधीश -> सर्वोच्च न्यायालयाचे न्यायाधीश

४) स्थानिक बाजार, आंतरराष्ट्रीय बाजार, राष्ट्रीय बाजार. उत्तर: स्थानिक बाजार -> राष्ट्रीय बाजार -> आंतरराष्ट्रीय बाजार

५) नियंत्रण, संघटन, नियोजन. उत्तर: नियोजन -> संघटन -> नियंत्रण

```

प्र. २. खालील संज्ञा/संकल्पना स्पष्ट करा (कोणत्याही चार) : [८ गुण]

```

१) मोबदला तत्त्व (Principle of Remuneration)

अर्थ: हेन्री फेयॉल यांनी मांडलेल्या या तत्त्वानुसार कर्मचाऱ्यांना दिला जाणारा मोबदला (पगार/मजुरी) हा न्याय्य आणि वाजवी असावा.

महत्वाचे मुद्दे:

• मोबदला असा असावा ज्यामुळे कर्मचारी आणि मालक दोघांनाही समाधान मिळेल.
• योग्य मोबदल्यामुळे कर्मचाऱ्यांची कार्यक्षमता आणि उत्पादकता वाढते.
• मालक आणि कर्मचारी यांच्यातील संबंध सुधारण्यास मदत होते.

२) व्यवस्थापन (Management)

अर्थ: इतरांकडून काम करून घेण्याची कला म्हणजे व्यवस्थापन होय. तसेच संघटनात्मक उद्दिष्टे साध्य करण्यासाठी मानवी, आर्थिक आणि भौतिक संसाधनांचा वापर करण्याची प्रक्रिया म्हणजे व्यवस्थापन.

महत्वाचे मुद्दे:

• व्यवस्थापन ही एक कला (लोकांना हाताळणे) आणि शास्त्र (ज्ञानाची शाखा) आहे.
• यात नियोजन, संघटन, कर्मचारी व्यवस्थापन, निर्देशन, समन्वय आणि नियंत्रण या कार्यांचा समावेश होतो.

३) संदेशवहन / संप्रेषण (Communication)

अर्थ: माहिती, कल्पना, तथ्य, विचार, मते आणि भावना एका व्यक्तीकडून दुसऱ्या व्यक्तीकडे पोहोचवण्याची प्रक्रिया म्हणजे संदेशवहन होय.

महत्वाचे मुद्दे:

• ही एक द्विमार्गी प्रक्रिया आहे ज्यात प्रेषक (Sender) आणि प्राप्तकर्ता (Receiver) यांचा समावेश असतो.
• संदेशवहन संघटनेच्या यशासाठी अत्यंत आवश्यक असते.

४) संघटन (Organizing)

अर्थ: नियोजित उद्दिष्टे साध्य करण्यासाठी कामे ओळखणे, गट करणे, जबाबदारी व अधिकार सोपवणे आणि संबंध प्रस्थापित करणे या प्रक्रियेला संघटन म्हणतात.

महत्वाचे मुद्दे:

• यामुळे कामाची व संसाधनांची योग्य रचना तयार होते.
• यामुळे कामातील गोंधळ आणि पुनरावृत्ती टाळता येते.

५) विमा (Insurance)

अर्थ: विमा हा दोन पक्षांमधील करार आहे, ज्यामध्ये विमा कंपनी (Insurer) विमाधारकाला (Insured) संभाव्य आर्थिक नुकसानीपासून भरपाई देण्याचे मान्य करते.

महत्वाचे मुद्दे:

• विमा हप्ता (Premium): जोखीम स्वीकारल्याबद्दल विमाधारकाने कंपनीला दिलेला मोबदला.
• हे जोखीम हस्तांतरणाचे साधन आहे.

६) जनहित याचिका (Public Interest Litigation)

अर्थ: जनहित याचिका म्हणजे वैयक्तिक हक्कांच्या अंमलबजावणीसाठी नव्हे तर सार्वजनिक हिताच्या किंवा सामान्य जनतेच्या महत्त्वाच्या मुद्द्यांसाठी न्यायालयात दाखल केलेली याचिका.

महत्वाचे मुद्दे:

• कोणताही जागरूक नागरिक ही याचिका दाखल करू शकतो.
• याचा मुख्य उद्देश समाजातील दुर्बल घटकांना न्याय मिळवून देणे आणि पर्यावरणासारख्या सार्वजनिक प्रश्नांवर उपाय शोधणे हा आहे.

प्र. ३. खालील घटना किंवा प्रसंगाचा अभ्यास करून आपले मत लिहा (कोणतेही दोन) :

प्रसंग १: श्री रमण एक यशस्वी उत्पादक आहेत... त्यांच्याकडे कच्चा आणि उत्पादित मालाचा साठा आहे... त्यांना संरक्षणासंबंधी काळजी वाटते... त्यांना एका शाखेतून दुसऱ्या शाखेत माल पाठवावा लागतो... निधीची आवश्यकता आहे.

(अ) त्यांना मालाचे सर्व प्रकारच्या धोक्यापासून संरक्षण देणारी सेवा सुचवा. उत्तर: त्यांना गोदाम (Warehousing) सेवा मालाचे संरक्षण करण्यासाठी उपयोगी ठरेल.

(ब) कोणती सेवा त्यांना जागेचा अडथळा दूर करण्यासाठी उपयोगी ठरेल? उत्तर: वाहतूक (Transport) सेवा त्यांना जागेचा अडथळा दूर करण्यास मदत करेल.

(क) कोणत्या सेवेद्वारे श्री रमण अर्थसाहाय्य मिळवू शकतात? उत्तर: श्री रमण बँकिंग (Banking) सेवेद्वारे अर्थसाहाय्य मिळवू शकतात.

प्रसंग २: अजय [www.flipkart.com](https://www.flipkart.com) वरून वस्तू खरेदी करतो आणि शितल ebay.com वरून जुन्या वस्तूंची खरेदी करते.

(अ) C2C शी संबंधित वेबसाईट कोणती? उत्तर: ebay.com ही C2C (ग्राहक ते ग्राहक) शी संबंधित वेबसाईट आहे.

(ब) B2C शी संबंधित वेबसाईट कोणती? उत्तर: [www.flipkart.com](https://www.flipkart.com) ही B2C (व्यवसाय ते ग्राहक) शी संबंधित वेबसाईट आहे.

(क) अजयने ऑनलाइन व्यवहार करताना कोणती पहिली पायरी अनुकरण करावी? उत्तर: पहिली पायरी म्हणजे नोंदणी (Registration) करणे.

प्रसंग ३: रंगाचे उत्पादन करणारी संस्था प्रक्रिया न केलेले विषारी सांडपाणी नदीत सोडते, ज्यामुळे आरोग्य समस्या निर्माण झाल्या आहेत.

(अ) रंगांचे उत्पादन करणाऱ्या संस्थेने कोणत्या स्वरूपाच्या जबाबदारीकडे दुर्लक्ष केले आहे? उत्तर: संस्थेने समाज आणि पर्यावरणाप्रती असलेल्या सामाजिक जबाबदारीकडे दुर्लक्ष केले आहे.

(ब) ते कोणत्या प्रकारचे प्रदूषण करतात? उत्तर: ते जल प्रदूषण (Water Pollution) करत आहेत.

(क) रंगांचे उत्पादन करणाऱ्या संस्थेने घ्यावयाचा कोणताही एक खबरदारीचा उपाय नमूद करा. उत्तर: त्यांनी सांडपाणी नदीत सोडण्यापूर्वी त्यावर प्रक्रिया (Effluent Treatment) केली पाहिजे.

```

प्र. ४. खालील फरक स्पष्ट करा (कोणतेही तीन) : [१२ गुण]

१) निर्देशन आणि नियंत्रण (Directing and Controlling)

फरकाचा मुद्दा	निर्देशन	नियंत्रण
अर्थ	कर्मचाऱ्यांना सूचना देणे, मार्गदर्शन करणे, प्रेरणा देणे व त्यांच्यावर देखरेख करणे म्हणजे निर्देशन होय.	प्रत्यक्ष कामगिरीची मानकांशी तुलना करणे आणि त्रुटी आढळल्यास सुधारणा करणे म्हणजे नियंत्रण होय.
क्रम	हे संघटन आणि कर्मचारी व्यवस्थापनानंतर येते. हे कृतीला सुरुवात करते.	हे व्यवस्थापन प्रक्रियेतील शेवटचे कार्य आहे.
उद्देश	कर्मचाऱ्यांकडून प्रभावीपणे काम करून घेणे हा उद्देश असतो.	ठरवलेल्या योजनेनुसार काम झाले की नाही हे पाहणे हा उद्देश असतो.

२) रस्ते वाहतूक आणि रेल्वे वाहतूक

फरकाचा मुद्दा	रस्ते वाहतूक	रेल्वे वाहतूक
वेग	रहदारी आणि रस्त्यांच्या स्थितीमुळे याचा वेग मर्यादित असतो.	रस्ते वाहतुकीच्या तुलनेत रेल्वेचा वेग जास्त असतो.
दारापर्यंत सेवा	रस्ते वाहतूक दारापर्यंत सेवा (Door-to-door) पुरवते.	रेल्वे वाहतूक दारापर्यंत सेवा पुरवू शकत नाही.
उपयुक्तता	कमी अंतरासाठी आणि नाशवंत वस्तूंसाठी उपयुक्त.	लांब अंतरासाठी आणि जड मालासाठी उपयुक्त.

३) परंपरागत व्यवसाय आणि ई-व्यवसाय

फरकाचा मुद्दा	परंपरागत व्यवसाय	ई-व्यवसाय (E-business)
स्थापना	जागा आणि कायदेशीर बाबींमुळे स्थापना करणे कठीण असते.	इंटरनेटमुळे स्थापना करणे सोपे असते.
भौतिक अस्तित्व	दुकाने किंवा कार्यालयाचे भौतिक अस्तित्व आवश्यक असते.	भौतिक अस्तित्वाची गरज नसते, हे आभासी (Virtual) असते.
ग्राहक संवाद	ग्राहकांसोबत समोरासमोर संवाद होतो (Face-to-face).	समोरासमोर संवाद होत नाही (Screen-to-screen).

४) जिल्हा आयोग आणि राष्ट्रीय आयोग

फरकाचा मुद्दा	जिल्हा आयोग	राष्ट्रीय आयोग
कार्यक्षेत्र	एका विशिष्ट जिल्ह्यापुरते मर्यादित असते.	संपूर्ण देशासाठी असते.
आर्थिक मर्यादा	ज्या तक्रारींमध्ये वस्तू किंवा सेवेचे मूल्य ५० लाखांपर्यंत असते, त्या तक्रारी येथे दाखल होतात.	ज्या तक्रारींमध्ये मूल्य १० कोटींपेक्षा जास्त असते, त्या तक्रारी येथे दाखल होतात.
अध्यक्ष	जिल्हा न्यायाधीश होण्यास पात्र व्यक्ती अध्यक्ष असते.	सर्वोच्च न्यायालयाचे आजी/माजी न्यायाधीश अध्यक्ष असतात.

प्र.५. खालील प्रश्नांची थोडक्यात उत्तरे लिहा (कोणतेही दोन) : [८ गुण]

१) ग्राहकांचे कोणतेही चार अधिकार / हक्क स्पष्ट करा.

ग्राहक संरक्षण कायद्यानुसार ग्राहकांना मिळालेले चार हक्क खालीलप्रमाणे आहेत:

• सुरक्षिततेचा अधिकार: ग्राहकांच्या आरोग्यास किंवा जीवितास धोका निर्माण करणाऱ्या वस्तूंपासून संरक्षण मिळवण्याचा अधिकार ग्राहकाला आहे (उदा. विद्युत उपकरणे).
• माहितीचा अधिकार: वस्तूंची गुणवत्ता, प्रमाण, शुद्धता, किंमत आणि दर्जा याबद्दल माहिती मिळवण्याचा अधिकार ग्राहकाला आहे.
• निवडीचा अधिकार: विविध प्रकारच्या वस्तूंमधून आपल्या पसंतीची आणि परवडणारी वस्तू निवडण्याचा अधिकार ग्राहकाला आहे.
• तक्रार निवारणाचा (ऐकले जाण्याचा) अधिकार: आपली तक्रार योग्य मंचावर मांडण्याचा आणि ती ऐकून घेण्याचा अधिकार ग्राहकाला आहे.

२) वस्तू विपणन मिश्रणाचे ४ पी (4Ps) स्पष्ट करा.

विपणन मिश्रणामध्ये खालील ४ घटकांचा समावेश होतो:

• वस्तू (Product): ग्राहकांच्या गरजा पूर्ण करणारी वस्तू किंवा सेवा. यात वस्तूचा दर्जा, डिझाइन आणि पॅकेजिंग महत्त्वाचे असते.
• किंमत (Price): वस्तूसाठी ग्राहकाने मोजलेले मूल्य. किंमत ठरवताना उत्पादन खर्च आणि स्पर्धा विचारात घेतली जाते.
• स्थान (Place/Distribution): योग्य वेळी आणि योग्य ठिकाणी वस्तू उपलब्ध करून देणे. यात वितरणाचे माध्यम (Channels) महत्त्वाचे असते.
• संवर्धन (Promotion): ग्राहकांना वस्तूबद्दल माहिती देणे आणि खरेदी करण्यास प्रवृत्त करणे. यात जाहिरात, वैयक्तिक विक्री इत्यादींचा समावेश होतो.

३) व्यावसायिक सेवांची कोणतीही चार वैशिष्ट्ये स्पष्ट करा.

• अदृश्यता (Intangibility): सेवा डोळ्यांनी पाहता येत नाहीत किंवा स्पर्श करता येत नाहीत. त्या फक्त अनुभविता येतात.
• अविभाज्यता (Inseparability): सेवा आणि सेवा देणारा व्यक्ती यांना वेगळे करता येत नाही. (उदा. डॉक्टर आणि उपचार).
• विसंगतता (Inconsistency): प्रत्येक वेळी सेवेचा अनुभव वेगळा असू शकतो. ते देणाऱ्या व्यक्तीवर अवलंबून असते.
• नाशवंतपणा (Perishability): सेवा साठवून ठेवता येत नाहीत. आजची न वापरलेली सेवा कायमची वाया जाते.

प्र. ६. खालील विधाने सकारण स्पष्ट करा (कोणतेही दोन) : [८ गुण]

१) समानतेचे तत्त्व महत्त्वाचे आहे.

कारण:

• न्याय्य वागणूक: हेन्री फेयॉल यांच्या मते, व्यवस्थापनाने सर्व कर्मचाऱ्यांना समान आणि न्याय्य वागणूक दिली पाहिजे. जात, धर्म किंवा लिंग यावरून भेदभाव नसावा.
• संघर्ष टाळणे: समानतेमुळे कर्मचाऱ्यांमध्ये असंतोष निर्माण होत नाही आणि व्यवस्थापन व कर्मचारी यांच्यातील संघर्ष टाळला जातो.
• निष्ठा: जेव्हा कर्मचाऱ्यांना समान वागणूक मिळते, तेव्हा त्यांची संघटनेप्रती निष्ठा वाढते आणि ते अधिक कार्यक्षमतेने काम करतात.

२) 'योग्य व्यक्ती योग्य जागेवर योग्य मोबदल्यासह' हे कर्मचारी व्यवस्थापनेचे मूलभूत तत्त्व आहे.

कारण:

• कार्यक्षमता: जेव्हा एखाद्या व्यक्तीला त्याच्या कौशल्यानुसार काम मिळते (योग्य व्यक्ती योग्य जागेवर), तेव्हा त्याची कार्यक्षमता वाढते.
• समाधान: योग्य कामासाठी योग्य मोबदला मिळाल्यास कर्मचाऱ्याला कामाचे समाधान मिळते.
• साधनसामग्रीचा वापर: योग्य निवडीमुळे मानवी संसाधनांचा अपव्यय टाळला जातो आणि संघटनेची उद्दिष्टे साध्य करणे सोपे जाते.

३) व्यवसाय संघटनांनी, पर्यावरण प्रदूषण व पर्यावरणीय असमतोल टाळला पाहिजे.

कारण:

• सामाजिक जबाबदारी: व्यवसाय हा समाजाचा एक भाग आहे. पर्यावरणाचे रक्षण करणे ही व्यवसायाची नैतिक जबाबदारी आहे.
• आरोग्य रक्षण: प्रदूषणामुळे मानवी आरोग्यावर गंभीर परिणाम होतात. हवा, पाणी आणि ध्वनी प्रदूषण टाळणे समाजाच्या हिताचे आहे.
• कायदेशीर बंधन: सरकारने प्रदूषणाबाबत कडक कायदे केले आहेत. त्याचे उल्लंघन केल्यास व्यवसायावर कारवाई होऊ शकते.

४) ग्राहकांच्या हक्काचे संरक्षण करणे हे ग्राहक संघटनांचे ध्येय असते.

कारण:

• पिळवणुकीविरुद्ध लढा: व्यापारी अनेकदा भेसळ, काळाबाजार किंवा चुकीच्या जाहिरातींद्वारे ग्राहकांची फसवणूक करतात. ग्राहक संघटना याविरुद्ध आवाज उठवतात.
• जागृती: या संघटना ग्राहकांना त्यांच्या हक्कांची आणि जबाबदाऱ्यांची जाणीव करून देतात.
• कायदेशीर मदत: ग्राहकांना न्यायालयात किंवा ग्राहक मंचाकडे तक्रार करण्यासाठी या संघटना मदत आणि मार्गदर्शन करतात.

```

प्र.७. खालील प्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : [१० गुण]

```

१) ग्राहकांसाठी विपणनाचे असणारे महत्त्व स्पष्ट करा.

ग्राहकांसाठी विपणनाचे महत्त्व खालीलप्रमाणे आहे:

• जागृती निर्माण करणे: विपणनामुळे ग्राहकांना बाजारात येणाऱ्या नवीन वस्तूबद्दल, तिच्या किंमतीबद्दल आणि उपयोगाबद्दल माहिती मिळते.
• दर्जेदार वस्तू: विपणन संशोधनामुळे कंपन्या ग्राहकांच्या गरजा ओळखतात आणि त्यानुसार दर्जेदार वस्तू पुरवतात.
• वस्तूंची विविधता: विपणनामुळे ग्राहकांना निवडीसाठी अनेक पर्याय उपलब्ध होतात. ग्राहक त्यांच्या आवडीनुसार वस्तू निवडू शकतात.
• किंमत नियंत्रण: स्पर्धेमुळे कंपन्या वाजवी किंमतीत वस्तू देण्याचा प्रयत्न करतात, ज्याचा फायदा ग्राहकांना होतो.
• ग्राहक समाधान: विक्रीपश्चात सेवा आणि तक्रार निवारण यांसारख्या सुविधांमुळे ग्राहकांचे समाधान होते.

२) उद्योजकाची कार्ये स्पष्ट करा.

उद्योजक हा व्यवसायाचा मुख्य घटक असतो. त्याची कार्ये खालीलप्रमाणे आहेत:

• नावीन्यपूर्णता (Innovation): नवीन वस्तू, नवीन उत्पादन पद्धती किंवा नवीन बाजारपेठ शोधणे हे उद्योजकाचे मुख्य कार्य आहे.
• उद्दिष्टे निश्चित करणे: व्यवसायाची अल्पकालीन आणि दीर्घकालीन उद्दिष्टे ठरवणे.
• बाजारपेठेचा विकास: ग्राहकांची मागणी ओळखून त्यानुसार वस्तूंचे विपणन करणे.
• नवीन तंत्रज्ञान: बदलत्या काळानुसार व्यवसायात नवीन तंत्रज्ञानाचा वापर करणे.
• चांगले संबंध: कर्मचारी, ग्राहक आणि पुरवठादार यांच्याशी चांगले संबंध ठेवणे.
• निधी उभारणी: व्यवसायासाठी आवश्यक भांडवलाची उभारणी करणे.

३) शास्त्रीय व्यवस्थापनाची कोणतीही पाच तत्त्वे स्पष्ट करा.

एफ. डब्ल्यू. टेलर यांनी मांडलेली तत्त्वे:

• विज्ञान आहे, अंगठ्याचा नियम नाही (Science, Not Rule of Thumb): काम हे वैज्ञानिक विश्लेषणावर आधारित असावे, जुन्या अंदाजे पद्धतींवर नसावे.
• समरसता, विवाद नाही (Harmony, Not Discord): व्यवस्थापन आणि कर्मचारी यांच्यात सामंजस्य असावे, संघर्ष नसावा.
• मानसिक क्रांती (Mental Revolution): मालक आणि कामगार यांच्या दृष्टिकोनात बदल झाला पाहिजे. एकमेकांबद्दल आदर असावा.
• सहकार्य, व्यक्तिवाद नाही (Cooperation): काम हे संघभावनेने आणि सहकार्याने केले पाहिजे, स्पर्धेने नव्हे.
• जबाबदारीचे विभाजन: नियोजन करण्याचे काम व्यवस्थापनाचे आणि अंमलबजावणीचे काम कामगारांचे असावे.

प्र.८. खालील प्रश्नाचे सविस्तर उत्तर लिहा (कोणतेही एक) : [८ गुण]

१) विपणनाचा अर्थ काय? विपणनाची कार्ये सविस्तर स्पष्ट करा.

अर्थ: विपणन ही एक अशी सामाजिक प्रक्रिया आहे ज्याद्वारे व्यक्ती आणि गट त्यांना हव्या असलेल्या वस्तू आणि सेवा निर्माण करून, देऊन आणि विनिमय करून आपल्या गरजा पूर्ण करतात. सोप्या भाषेत, ग्राहकांच्या गरजा ओळखून त्या नफ्यासह पूर्ण करणे म्हणजे विपणन.

```

विपणनाची कार्ये:

• विपणन संशोधन: बाजारातील स्थिती, ग्राहकांची आवड-निवड आणि स्पर्धक यांचा अभ्यास करणे. यामुळे ग्राहकाला नेमके काय हवे आहे हे समजते.
• खरेदी आणि एकत्रीकरण: उत्पादनासाठी कच्चा माल विविध ठिकाणांहून खरेदी करणे आणि एका ठिकाणी गोळा करणे.
• वस्तू रचना आणि विकास: ग्राहकांना आकर्षित करण्यासाठी वस्तूचे डिझाइन आकर्षक बनवणे. चांगल्या रचनेमुळे वस्तूची उपयुक्तता वाढते.
• प्रमाणीकरण आणि प्रतवारी: वस्तूंचा आकार, रंग, दर्जा यानुसार मानके ठरवणे (प्रमाणीकरण) आणि त्या मानकांनुसार वस्तूंचे गट करणे (प्रतवारी). उदा. ए-ग्रेड, बी-ग्रेड.
• वेष्टन आणि चिन्हांकन (Packaging and Labeling): वस्तूचे नुकसान होऊ नये आणि ती आकर्षक दिसावी म्हणून पॅकेजिंग करणे. तसेच वस्तूची माहिती (किंमत, घटक) वेष्टनावर छापणे (Labeling).
• मुद्रांकन (Branding): वस्तूला ओळख मिळवून देण्यासाठी तिला विशिष्ट नाव, चिन्ह किंवा लोगो देणे. ब्रँडमुळे वस्तू स्पर्धकांपेक्षा वेगळी दिसते.
• किंमत निश्चिती: वस्तूची किंमत ठरवणे हा महत्त्वाचा निर्णय असतो. किंमत ठरवताना खर्च, मागणी आणि स्पर्धा यांचा विचार करावा लागतो.
• संवर्धन (Promotion): जाहिरात, वैयक्तिक विक्री या माध्यमांतून ग्राहकांना वस्तू खरेदी करण्यासाठी प्रवृत्त करणे.
• वितरण: वाहतूक आणि गोदामाचा वापर करून वस्तू उत्पादकाकडून ग्राहकापर्यंत पोहोचवणे.

```

२) गोदामाचा अर्थ सांगा. गोदामांचे विविध प्रकार स्पष्ट करा.

अर्थ: गोदाम म्हणजे वस्तू साठवण्यासाठी वापरली जाणारी व्यावसायिक इमारत. वस्तूंचे उत्पादन आणि वापर यांमधील काळासाठी वस्तू सुरक्षित ठेवण्याची व्यवस्था म्हणजे साठवणूक किंवा गोदाम होय.

```

गोदामांचे प्रकार:

• खाजगी गोदामे (Private Warehouses): मोठे उत्पादक किंवा व्यापारी स्वतःच्या वस्तू साठवण्यासाठी स्वतःची गोदामे बांधतात. यावर त्यांचे पूर्ण नियंत्रण असते.
• सार्वजनिक गोदामे (Public Warehouses): ही गोदामे सर्वसामान्यांसाठी असतात. ठराविक भाडे देऊन कोणताही व्यापारी येथे माल ठेवू शकतो. ही गोदामे लहान व्यापाऱ्यांसाठी उपयुक्त असतात.
• करदेय गोदामे (Bonded Warehouses): आयात केलेल्या मालावर जोपर्यंत सीमा शुल्क (Customs Duty) भरले जात नाही, तोपर्यंत हा माल या गोदामात ठेवला जातो. ही गोदामे बंदरांजवळ असतात आणि ती सरकारी परवान्याखाली चालतात.
• करदत्त गोदामे (Duty Paid Warehouses): आयातदाराने शुल्क भरले आहे, पण वाहतुकीची सोय नसल्यामुळे माल नेला नाही, तर तो या गोदामात ठेवला जातो. ही गोदामे बंदराजवळ असतात.
• शासकीय गोदामे: केंद्र किंवा राज्य सरकारद्वारे चालवली जाणारी गोदामे. उदा. केंद्रीय वखार महामंडळ (CWC). ही गोदामे शेतकरी आणि व्यापाऱ्यांसाठी कमी दरात उपलब्ध असतात.
• सहकारी गोदामे: सहकारी संस्थांनी आपल्या सभासदांच्या फायद्यासाठी ही गोदामे चालवलेली असतात.
• शीतगृहे (Cold Storage): नाशवंत वस्तू (उदा. फळे, भाज्या, दूध, मासे) साठवण्यासाठी ही गोदामे वापरली जातात. येथे तापमान कमी ठेवले जाते.

```

HSC Commerce Mathematics & Statistics (Marathi Medium) March 2024 Question Paper with Solutions

Mathematics & Statistics (Commerce)
March 2024 Board Paper Solution (Marathi Medium)

Max. Marks: 80 | Time: 3 Hrs.

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या पर्यायातून योग्य पर्याय निवडा व लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) खालील पैकी कोणते विधान नाही?

• (अ) धूम्रपान आरोग्यासाठी हानिकारक आहे.
• (ब) \(2+2=4\)
• (क) 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
• (ड) इकडे ये

उत्तर: (ड) इकडे ये

कारण: हे आज्ञार्थी वाक्य (Imperative sentence) आहे, म्हणून हे तार्किक विधान नाही.

(ii) जर \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तर \((y,z) =\)

• (अ) (-1, 0)
• (ब) (1, 0)
• (क) (1, -1)
• (ड) (-1, 1)

उत्तर: (ब) (1, 0)

(iii) जर \(y = \log(\frac{e^x}{x^2})\), तर \(\frac{dy}{dx} = ?\)

• (अ) \(\frac{2-x}{x}\)
• (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
• (क) \(\frac{e-x}{ex}\)
• (ड) \(\frac{x-e}{ex}\)

उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)

(iv) \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) ची किंमत ______ आहे.

• (अ) \(2\sqrt{1-x} + c\)
• (ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)
• (क) \(\sqrt{x} + c\)
• (ड) \(x + c\)

उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)

(v) \(\int \frac{dx}{(x-8)(x+7)} = \_\).

• (अ) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+2}{x+1}| + c\)
• (ब) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+8}{x+7}| + c\)
• (क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)
• (ड) \((x-8)(x+7) + c\)

उत्तर: (क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)

(vi) \(y = k_1 e^x + k_2 e^{-x}\) चे विकलनीय समीकरण ______ आहे.

• (अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)
• (ब) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\)
• (क) \(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0\)
• (ड) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y\frac{dy}{dx} = 0\)

उत्तर: (अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)

प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt\)
  उत्तर: सत्य (True)
• (ii) \(\int \frac{x-1}{(x+1)^3} e^x dx = e^x f(x) + c,\) साठी \(f(x) = (x+1)^2\)
  उत्तर: असत्य (False)
• (iii) विकलनीय समीकरणाचे क्रम (Order) आणि कोटी (Degree) नेहमी धन पूर्णांक (Positive Integers) असतात.
  उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) कोणत्याही बिंदू (a, b) च्या स्पर्शिकेच्या उतारास प्रवणता (Gradient) म्हणतात.
• (ii) जर \(f'(x) = \frac{1}{x} + x\) आणि \(f(1) = \frac{5}{2}\) तर \(f(x) = \log x + \frac{x^2}{2} + \) 2.
• (iii) विकलनीय समीकरणाची उकल जी सामान्य उकलमधून अनियंत्रित स्थिरांकाला विशिष्ट मूल्ये देऊन मिळवता येतात त्याला विशिष्ट (Particular) उकल म्हणतात.

प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) विधान \( \sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q) \) हे पुनरुक्ती (tautology), परस्पर विरोध (contradiction) किंवा त्यापैकी कोणतेही नाही (contingency) ते तपासा.

उकल:
सत्यता सारणी (Truth Table) खालीलप्रमाणे आहे:

\(p\)	\(q\)	\(\sim p\)	\(\sim q\)	\(p \rightarrow \sim q\)	\(\sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q)\)
T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

शेवटच्या स्तंभातील सर्व सत्यता मूल्ये 'T' आहेत.
म्हणून, दिलेले विधान पुनरुक्ती (Tautology) आहे.

(ii) जर \( x = e^{3t} \), \( y = e^{(4t+5)} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( x = e^{3t} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. t):
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{3t}) = e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t} \)

दिले आहे: \( y = e^{4t+5} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t+5}) = e^{4t+5} \cdot 4 = 4e^{4t+5} \)

आता, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4e^{4t+5}}{3e^{3t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{(4t+5) - 3t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{t+5} \)

(iii) जर \( A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{bmatrix} \) आणि \( B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix} \) तर \( A^T + 4B^T \) शोधा.

उकल:
दिलेल्या मॅट्रिक्सचे परिवर्त (Transpose) काढू:
\( A^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)

\( B^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)

आता \( 4B^T \) काढू:
\( 4B^T = 4 \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

आता \( A^T + 4B^T \) काढू:
\( A^T + 4B^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7+0 & 0+8 \\ 3-8 & 4+4 \\ 0+12 & -2-16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -5 & 8 \\ 12 & -18 \end{bmatrix} \)

प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खालील विधाने विचारात घ्या :
(अ) जर D कुत्रा असेल तर D खूप चांगला आहे.
(ब) जर D खूप चांगला असेल तर D हा कुत्रा आहे.
(क) जर D खूप चांगला नसेल तर D हा कुत्रा नाही.
(ड) जर D कुत्रा नाही तर D खूप चांगला नाही.
समान अर्थ असलेल्या विधानांच्या जोड्या ओळखा आणि समर्थन करा (Justify).

उकल:
समजा \( p \): D कुत्रा आहे.
समजा \( q \): D खूप चांगला आहे.

दिलेल्या विधानांचे प्रतीकात्मक रूप:
(अ) \( p \rightarrow q \) (जर-तर / Implication)
(ब) \( q \rightarrow p \) (व्यत्यास / Converse)
(क) \( \sim q \rightarrow \sim p \) (सममूल्य / Contrapositive)
(ड) \( \sim p \rightarrow \sim q \) (व्यस्त / Inverse)

समर्थन (Justification):
आपल्याला माहित आहे की, सशर्त विधान (conditional statement) हे त्याच्या सममूल्य (contrapositive) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असते.
म्हणून, \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).
तसेच, व्यत्यास (converse) हा व्यस्त (inverse) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असतो.
म्हणून, \( q \rightarrow p \equiv \sim p \rightarrow \sim q \).

समान अर्थ असलेल्या जोड्या:
1. (अ) आणि (क) समान अर्थाचे आहेत.
2. (ब) आणि (ड) समान अर्थाचे आहेत.

(ii) फलन \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \) चे किमान (minimum) मूल्य निश्चित करा.

उकल:
दिले आहे: \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)
पायरी 1: \( f'(x) \) आणि \( f''(x) \) काढा.
\( f'(x) = 6x^2 - 42x + 36 \)
\( f''(x) = 12x - 42 \)

पायरी 2: स्थिर बिंदूंसाठी (Stationary points), \( f'(x) = 0 \) ठेवा.
\( 6(x^2 - 7x + 6) = 0 \)
\( x^2 - 6x - x + 6 = 0 \)
\( x(x-6) - 1(x-6) = 0 \)
\( (x-1)(x-6) = 0 \)
म्हणून, \( x = 1 \) किंवा \( x = 6 \).

पायरी 3: \( f''(x) \) मध्ये किंमती तपासा.
\( x = 1 \) साठी:
\( f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0 \) (कमाल / Maxima)
\( x = 6 \) साठी:
\( f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0 \) (किमान / Minima)

पायरी 4: \( x = 6 \) असताना किमान मूल्य काढा.
\( f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20 \)
\( f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20 \)
\( f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 \)
\( f(6) = 648 - 776 \)
\( f(6) = -128 \)

फलाचे किमान मूल्य -128 आहे.

(iii) रेषा \( y = -2x \), X-अक्ष आणि रेषा \( x = -1 \) व \( x = 2 \) यांनी बांधलेल्या क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.

उकल:
आवश्यक क्षेत्रफळ \( A = \int_{-1}^{2} |y| dx \) आहे.
दिलेली रेषा \( y = -2x \) उगमबिंदूतून जाते.
- अंतराल \([-1, 0]\) मध्ये, \( x \) ऋण आहे, म्हणून \( y = -2(\text{ऋण}) = \text{धन} \).
- अंतराल \([0, 2]\) मध्ये, \( x \) धन आहे, म्हणून \( y = -2(\text{धन}) = \text{ऋण} \).

म्हणून आपण \( x = 0 \) ला क्षेत्रफळ विभागू:
\( A = |\int_{-1}^{0} (-2x) dx| + |\int_{0}^{2} (-2x) dx| \)

भाग 1 (-1 ते 0):
\( A_1 = \int_{-1}^{0} -2x dx = -2 [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = - [x^2]_{-1}^{0} \)
\( A_1 = - [0^2 - (-1)^2] = - [0 - 1] = 1 \)

भाग 2 (0 ते 2):
\( A_2 = \int_{0}^{2} -2x dx = - [x^2]_{0}^{2} \)
\( A_2 = - [2^2 - 0^2] = -4 \)
क्षेत्रफळ कधीही ऋण नसते, म्हणून \( |A_2| = 4 \).

एकूण क्षेत्रफळ:
\( A = A_1 + |A_2| = 1 + 4 = 5 \) चौरस एकक (sq. units).

प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) जर \( y = x^{e^x} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( y = x^{e^x} \)
दोन्ही बाजूंचा लॉग घेऊन (Taking log on both sides):
\( \log y = \log(x^{e^x}) \)
\( \log y = e^x \cdot \log x \)

'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. x):
\( \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot \log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(e^x) \) (गुणाकाराचा नियम)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x}) + \log x (e^x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x} + \log x) \)

\( \frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
\( y \) ची किंमत भरून:
\( \frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)

(ii) जर \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \), \( f(0) = 1 \) व \( f(1) = 4 \) तर \( f(x) \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \)
\( f(x) \) मिळवण्यासाठी समाकलन (Integration) करू:
\( f(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + k) dx \)
\( f(x) = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + kx + c \)
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c \) ... (समीकरण 1)

पायरी 1: c ची किंमत काढणे
दिले आहे \( f(0) = 1 \). समीकरण 1 मध्ये \( x=0 \) ठेवून:
\( 1 = 0^4 - 0^3 + 0^2 + k(0) + c \)
\( c = 1 \)

पायरी 2: k ची किंमत काढणे
समीकरण 1: \( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + 1 \)
दिले आहे \( f(1) = 4 \). समीकरणामध्ये \( x=1 \) ठेवून:
\( 4 = 1^4 - 1^3 + 1^2 + k(1) + 1 \)
\( 4 = 1 - 1 + 1 + k + 1 \)
\( 4 = 2 + k \)
\( k = 2 \)

अंतिम उत्तर:
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

(iii) विकलनीय समीकरण मिळवा ज्याची सामान्य उकल \( x^3 + y^3 = 35ax \) आहे.

उकल:
दिलेले समीकरण: \( x^3 + y^3 = 35ax \) ... (1)
येथे \( a \) हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
समीकरण (1) पुन्हा लिहू:
\( \frac{x^3 + y^3}{x} = 35a \)

'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t x):
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + y^3}{x} \right) = 0 \) (स्थिरांकाचे विकलन 0 असते)
भागाकाराचा नियम वापरून \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \):
\( \frac{x \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) - (x^3 + y^3) \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = 0 \)
\( x(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx}) - (x^3 + y^3)(1) = 0 \)
\( 3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0 \)
\( 2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)

आवश्यक विकलनीय समीकरण:
\( 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - 2x^3 \)

प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) सारणी \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \) चा संलग्न पद्धतीने (adjoint method) व्यस्त (inverse) काढा.

उकल:
समजा \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

पायरी 1: निश्चयक \(|A|\) काढणे
\( |A| = 3(35 - 16) - 1(10 - 8) + 5(4 - 7) \)
\( |A| = 3(19) - 1(2) + 5(-3) \)
\( |A| = 57 - 2 - 15 = 40 \)
येथे \( |A| \neq 0 \), म्हणून \( A^{-1} \) अस्तित्वात आहे.

पायरी 2: सह-अवयव (Cofactors) काढणे
\( A_{11} = (-1)^{1+1}(35-16) = 19 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2}(10-8) = -2 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3}(4-7) = -3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1}(5-10) = 5 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2}(15-5) = 10 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3}(6-1) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1}(8-35) = -27 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2}(24-10) = -14 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3}(21-2) = 19 \)

पायरी 3: सह-अवयव सारणी आणि संलग्न सारणी (Adjoint Matrix)
सह-अवयव सारणी \( C = \begin{bmatrix} 19 & -2 & -3 \\ 5 & 10 & -5 \\ -27 & -14 & 19 \end{bmatrix} \)
\( \text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

पायरी 4: व्यस्त सारणी (Inverse Matrix) काढणे
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च \( E_c \), त्याचे उत्पन्न \( x \) इतके असेल आणि दिलेले आहे की \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) जेव्हा त्याचे उत्पन्न ₹ 200 असेल तेव्हा MPC, MPS आणि APC काढा.

उकल:
दिले आहे: \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) आणि \( x = 200 \).

1. सरासरी उपभोग प्रवृत्ती (APC):
\( \text{APC} = \frac{E_c}{x} = \frac{0.0006x^2 + 0.003x}{x} \)
\( \text{APC} = 0.0006x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{APC} = 0.0006(200) + 0.003 \)
\( \text{APC} = 0.12 + 0.003 = \mathbf{0.123} \)

2. सीमांत उपभोग प्रवृत्ती (MPC):
\( \text{MPC} = \frac{d(E_c)}{dx} = \frac{d}{dx}(0.0006x^2 + 0.003x) \)
\( \text{MPC} = 0.0006(2x) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.0012x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{MPC} = 0.0012(200) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.24 + 0.003 = \mathbf{0.243} \)

3. सीमांत बचत प्रवृत्ती (MPS):
आपल्याला माहित आहे की, \( \text{MPC} + \text{MPS} = 1 \)
\( \text{MPS} = 1 - \text{MPC} \)
\( \text{MPS} = 1 - 0.243 \)
\( \text{MPS} = \mathbf{0.757} \)

प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खाली दिलेली कृती पूर्ण करा:
\( \int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}} \)

\( = \int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\mathbf{\fbox{ x }}+\mathbf{\fbox{ 4 }}} \)

\( =\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\mathbf{\fbox{ \(\frac{1}{4}\) }}+4} \)

\( =-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\mathbf{\fbox{ \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) }})^{2}} \)

सूत्र वापरून: \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \), परंतु बाहेर ऋण चिन्ह असल्यामुळे:

\( =\frac{1}{\sqrt{17}}log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}}) \)

(ii) लोकसंख्या वाढीचा दर रहिवाशांच्या संख्येच्या प्रमाणात आहे. जर 25 वर्षात लोकसंख्या दुप्पट होत असेल आणि सध्याची लोकसंख्या 1,00,000 असेल तर शहराची लोकसंख्या 4,00,000 कधी होईल?

उकल:
समजा 't' वेळेला शहराची लोकसंख्या 'P' आहे.
दिले आहे: \( \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \int \frac{dP}{P} = \int k dt \)
\( \log P = kt + c \) ... (i)

(i) जेव्हा \( t=0, P=1,00,000 \)
समीकरण (i) वरून: \( \log 1,00,000 = k(0) + c \)
\( c = \) \( \log(1,00,000) \)

(ii) जेव्हा \( t=25, P=2,00,000 \) (लोकसंख्या दुप्पट होते)
\( \log(\frac{P}{1,00,000}) = kt \) ... (ii)
\( \log(\frac{2,00,000}{1,00,000}) = 25k \)
\( \log 2 = 25k \)
\( k = \) \( \frac{1}{25} \log 2 \)

(iii) जेव्हा \( P=4,00,000 \) तेव्हा \( t \) काढा.
\( \log(\frac{4,00,000}{1,00,000}) = (\frac{1}{25}\log 2) \cdot t \)
\( \log 4 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( 2 \log 2 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( t = \) 50 वर्षे

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) खाली दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या विकल्पातून योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) दर्शनी मूल्य आणि वर्तमान मूल्य यांतील फरकास ______ म्हणतात.

• (अ) बँकर्स सवलत (banker's discount)
• (ब) खरी सवलत (true discount)
• (क) बँकेचा नफा (banker's gain)
• (ड) रोख मूल्य (cash value)

उत्तर: (ब) खरी सवलत (true discount)

(ii) सामान्य वार्षिकी देयके किंवा परतावे घडतात.

• (अ) प्रत्येक कालावधीच्या सुरुवातीस
• (ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी
• (क) प्रत्येक कालावधीच्या मध्यावर
• (ड) त्रैमासिक आधारावर

उत्तर: (ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी

(iii) \( b_{xy} \) आणि \( b_{yx} \) हे असतात.

• (अ) मूळ आणि स्केलच्या बदलापासून स्वतंत्र
• (ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही
• (क) स्केलच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु मूळच्या नाही
• (ड) मूळ आणि स्केलच्या बदलामुळे प्रभावित

उत्तर: (ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही

(iv) डॉर्विश बाऊलीस किंमत निर्देशांक क्रमांक दिला आहे :

• (अ) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{1}}{\Sigma p_{1}q_{0}}}{2}\times100 \)
• (ब) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{0}}{\Sigma p_{1}q_{1}}}{2}\times100 \)
• (क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)
• (ड) \( \frac{\frac{\Sigma p_{0}q_{0}}{\Sigma p_{1}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{1}}{\Sigma p_{1}q_{1}}}{2}\times100 \)

उत्तर: (क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)

स्पष्टीकरण: डॉर्विश-बाऊली निर्देशांक हा लासपेअर (Laspeyres) आणि पाशे (Paasche) यांच्या निर्देशांकांचे अंकगणितीय मध्य (Arithmetic Mean) आहे.

(v) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फल (objective function) असते.

• (अ) एक बंधन (a constraint)
• (ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे
• (क) निर्णय चलांमधील एक संबंध
• (ड) एक व्यवहार्य (feasible) क्षेत्र

उत्तर: (ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे

(vi) हंगेरियन पद्धत वापरण्यासाठी, एका नफा वाढविण्याच्या सोपवणी गणितात हे आवश्यक असते.

• (अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे
• (ब) एक बनावट व्यक्ती किंवा काम
• (क) सारणी विस्तार
• (ड) सोडवलेल्या सारणीमधील सर्व शून्य सामावून घेण्यासाठी जास्तीत जास्त रेषा शोधणे.

उत्तर: (अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे

प्र. ४. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) दलाल एक असा एजंट असतो जो विक्रेत्याला हमी देतो की खरेदीदार वस्तूची विक्री किंमत देईल.
  उत्तर: असत्य (False)
  कारण: विक्रेत्याला अशी हमी देणाऱ्या एजंटला 'डेल क्रेडर एजंट' (Del Credere Agent) म्हणतात, सामान्य दलाल नाही.
• (ii) \( \sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100 \) हा साध्या एकत्रित पद्धतीद्वारे मूल्य निर्देशांक क्रमांक आहे.
  उत्तर: असत्य (False)
  कारण: मूल्य निर्देशांक क्रमांकाचे (Value Index Number) सूत्र \( \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} \times 100 \) असे आहे.
• (iii) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फलाची (objective function) सर्वोत्तम किंमत (optimum value) ही संभाव्य भागाच्या मध्यावर (center of feasible region) असते.
  उत्तर: असत्य (False)
  कारण: रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये (L.P.P.) सर्वोत्तम किंमत नेहमी संभाव्य क्षेत्राच्या शिरोबिंदूवर (vertex) किंवा कोपऱ्याच्या बिंदूवर (corner point) असते, मध्यावर नाही.

प्र. ४. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) बँकेची सूट ही नेहमी खऱ्या सुटीपेक्षा जास्त (Greater) असते.
• (ii) भारित सापेक्ष पद्धती द्वारे राहणीमानाचा किंमत निर्देशांक क्रमांक \( \frac{\sum IW}{\sum W} \) आहे.
• (iii) यंत्राच्या दिलेल्या संचाद्वारे एखाद्या विशिष्ट क्रमाने निष्क्रिय वेळेसह पहिले काम सुरू करणे आणि शेवटचे काम पूर्ण करणे यामधील वेळेचा मध्यांतर यांस एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) म्हणतात.

प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) दीपकचा पगार ₹ 4,000 वरून ₹ 5,000 करण्यात आला. विक्री सारखीच होती म्हणून दलालीचा दर 3% वरून 2% करण्यात आला. जर त्याचे उत्पन्न अपरिवर्तित राहीले असेल तर त्याची विक्री काढा.

उकल:
समजा विक्री \( x \) आहे.
स्थिती 1 (जुनी):
पगार = ₹ 4,000
दलालीचा दर = 3%
एकूण उत्पन्न = \( 4000 + \frac{3}{100}x = 4000 + 0.03x \)

स्थिती 2 (नवीन):
पगार = ₹ 5,000
दलालीचा दर = 2%
एकूण उत्पन्न = \( 5000 + \frac{2}{100}x = 5000 + 0.02x \)

उत्पन्न अपरिवर्तित राहिले आहे, म्हणून:
\( 4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x \)
\( 0.03x - 0.02x = 5000 - 4000 \)
\( 0.01x = 1000 \)
\( x = \frac{1000}{0.01} \)
\( x = 1,00,000 \)

उत्तर: दीपकची विक्री ₹ 1,00,000 आहे.

(ii) एका द्विचलीय माहितीसाठी, X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक 0.4 आहे आणि Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक 0.9 आहे. जर X चे विचरण (variance) 9 असेल तर Y च्या विचरणाचे मूल्य शोधा.

उकल:
दिले आहे:
\( b_{yx} = 0.4 \) (X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक)
\( b_{xy} = 0.9 \) (Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक)
X चे विचरण \( V(X) = \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \)

आपल्याला माहित आहे की:
\( b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \)
\( 0.4 \times 0.9 = r^2 \)
\( r^2 = 0.36 \Rightarrow r = 0.6 \) (धन घेतले कारण \( b_{yx}, b_{xy} > 0 \))

आता, \( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \) वापरून:
\( 0.4 = 0.6 \times \frac{\sigma_y}{3} \)
\( 0.4 = 0.2 \sigma_y \)
\( \sigma_y = \frac{0.4}{0.2} = 2 \)

Y चे विचरण \( V(Y) = \sigma_y^2 = 2^2 = 4 \).
उत्तर: Y चे विचरण 4 आहे.

(iii) खालील तक्ता 1976 ते 1985 या कालावधीतील औद्योगिक उत्पादनाचा निर्देशांक दर्शवितो. 1976 हे वर्ष आधारभूत वर्ष घेऊन खाली दिलेल्या माहितीसाठी 4 वर्षीय केंद्रित चालणारी सरासरी (4 yearly centered moving averages) वापरून प्रवृत्ती मूल्ये काढा.

उकल:

वर्ष	निर्देशांक (Y)	4-वर्षीय एकूण बेरीज	केंद्रित बेरीज (2 गटांची बेरीज)	प्रवृत्ती मूल्य (केंद्रित बेरीज / 8)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
		8
1978	3		18	2.25
		10
1979	3		22	2.75
		12
1980	2		26	3.25
		14
1981	4		31	3.875
		17
1982	5		39	4.875
		22
1983	6		50	6.25
		28	-	-
1984	7	-	-	-
1985	10	-	-	-

प्रवृत्ती मूल्ये: 2.25, 2.75, 3.25, 3.875, 4.875, 6.25.

प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) जर खाली दिलेल्या माहितीसाठी, वॉल्श किंमत निर्देशांक क्रमांक 150 असेल तर \( x \) शोधा :

उकल:
वॉल्श किंमत निर्देशांक सूत्र: \( P_{01}(w) = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100 \)
समजा \( W = \sqrt{q_0 q_1} \).

वस्तू	\(p_0\)	\(q_0\)	\(p_1\)	\(q_1\)	\(W = \sqrt{q_0 q_1}\)	\(p_0 W\)	\(p_1 W\)
A	5	3	10	3	\(\sqrt{9}=3\)	15	30
B	\(x\)	4	16	9	\(\sqrt{36}=6\)	\(6x\)	96
C	15	5	23	5	\(\sqrt{25}=5\)	75	115
D	10	2	26	8	\(\sqrt{16}=4\)	40	104
एकूण (Total)	-	-	-	-	-	\(130 + 6x\)	345

दिले आहे \( P_{01}(w) = 150 \):
\( 150 = \frac{345}{130 + 6x} \times 100 \)
\( \frac{150}{100} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( 130 + 6x = \frac{345 \times 2}{3} \)
\( 130 + 6x = 115 \times 2 = 230 \)
\( 6x = 230 - 130 \)
\( 6x = 100 \)
\( x = \frac{100}{6} = \mathbf{16.67} \)

(ii) एक खेळणी बनविणारी कंपनी पाच प्रकारची खेळणी बनवते. प्रत्येक खेळण्याला A, B, C तीन यंत्रातून A, B, C या क्रमाने जायचे आहे. एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) व यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time) शोधा.

उकल:
पायरी 1: अट तपासणे
Min \(A = 12\) (प्रकार 3), Min \(C = 8\) (प्रकार 1), Max \(B = 12\) (प्रकार 2).
येथे Min \(A \ge\) Max \(B\) (\(12 \ge 12\)), म्हणून अट पूर्ण झाली.

पायरी 2: दोन काल्पनिक यंत्रे G आणि H तयार करणे
\(G_i = A_i + B_i\) आणि \(H_i = B_i + C_i\)

प्रकार	1	2	3	4	5
G (A+B)	26	32	16	20	30
H (B+C)	18	30	20	18	18

पायरी 3: क्रम निश्चित करणे (Johnson's Algorithm)
किमान वेळ 16 आहे (G वर प्रकार 3) &to; 3 प्रथम येईल.
पुढील किमान 18 आहे (H वर प्रकार 1, 4, 5) &to; 1, 4, 5 शेवटी येतील.
उर्वरित प्रकार 2 आहे.
इष्टतम क्रम (Optimal Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1

पायरी 4: एकूण व्यतीत वेळ सारणी

क्रम	यंत्र A		यंत्र B		यंत्र C
	आंत (In)	बाहेर (Out)	आंत (In)	बाहेर (Out)	आंत (In)	बाहेर (Out)
3	0	12	12	16	16	32
2	12	32	32	44	44	62
5	32	54	54	62	62	72
4	54	68	68	74	74	86
1	68	84	84	94	94	102

एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) = 102 तास.

पायरी 5: यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time)
निष्क्रिय वेळ = एकूण वेळ - B च्या कामाच्या वेळेची बेरीज
B ची बेरीज = \(10+12+4+6+8 = 40\) तास.
B साठी निष्क्रिय वेळ = \(102 - 40 = \mathbf{62 \text{ तास}}\).

(iii) एका यादृच्छिक चल X चे संभाव्यता वितरण खालील प्रमाणे आहे. शोधा (अ) k (ब) \(P(X < 3)\) (क) \(P(X > 6)\)

X	1	2	3	4	5	6	7
P(x)	k	2k	2k	3k	\(k^2\)	\(2k^2\)	\(7k^2+k\)

उकल:
(अ) आपल्याला माहित आहे की \(\sum P(x) = 1\):
\( k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1 \)
\( 10k^2 + 9k = 1 \)
\( 10k^2 + 9k - 1 = 0 \)
\( 10k^2 + 10k - k - 1 = 0 \)
\( 10k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( (10k - 1)(k + 1) = 0 \)
\( k = \frac{1}{10} \) किंवा \( k = -1 \).
संभाव्यता ऋण असू शकत नाही, म्हणून \( k = 0.1 \).

(ब) \( P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) \)
\( = k + 2k = 3k \)
\( = 3(0.1) = \mathbf{0.3} \)

(क) \( P(X > 6) = P(X=7) \)
\( = 7k^2 + k \)
\( = 7(0.1)^2 + 0.1 \)
\( = 7(0.01) + 0.1 \)
\( = 0.07 + 0.1 = \mathbf{0.17} \)

प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) एका इमारतीचा विमा त्याच्या एकूण किंमतीच्या 75% आहे. त्याचा वार्षिक हप्ता 0.70% प्रमाणे ₹ 2,625 होतो. जर आगीमुळे इमारतीचे 60% पर्यंत नुकसान झाले तर या विम्याअंतर्गत किती रकमेचा दावा (Claim) करता येईल?

उकल:
समजा मालमत्तेचे मूल्य (Property Value) \( V \) आहे.
पॉलिसी मूल्य (Policy Value) = \( 75\% \) of \( V = 0.75V \).
हप्त्याचा दर (Rate of Premium) = \( 0.70\% = 0.007 \).
हप्ता (Premium) = ₹ 2,625.

पायरी 1: मालमत्तेचे मूल्य काढणे
\( \text{हप्ता} = \text{पॉलिसी मूल्य} \times \text{दर} \)
\( 2625 = 0.75V \times \frac{0.70}{100} \)
\( 2625 = V \times 0.00525 \)
\( V = \frac{2625}{0.00525} = 5,00,000 \)
मालमत्तेचे मूल्य = ₹ 5,00,000.
पॉलिसी मूल्य = \( 0.75 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,75,000 \).

पायरी 2: दावा (Claim) काढणे
नुकसान (Loss) = 60% of \( V = 0.60 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,00,000 \).
मालमत्ता पूर्ण विम्यात नाही (under-insured), म्हणून सरासरी कलम (Average Clause) लागू होईल.
\( \text{दावा} = \frac{\text{पॉलिसी मूल्य}}{\text{मालमत्तेचे मूल्य}} \times \text{नुकसान} \)
\( \text{दावा} = \frac{3,75,000}{5,00,000} \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = 0.75 \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = \mathbf{2,25,000} \)

उत्तर: विम्याअंतर्गत ₹ 2,25,000 चा दावा करता येईल.

(ii) एका यंत्राच्या दुकानात तीन नवीन यंत्रे \(M_1, M_2, M_3\) स्थापित करायची आहेत. चार रिक्त जागा A, B, C, D उपलब्ध आहेत. मर्यादित जागेमुळे यंत्र \(M_2\), ला B च्या जागेवर स्थापित करू शकत नाही. किंमत सारणी (शंभर रुपयांमध्ये) खाली दिली आहे. इष्टतम सोपवणी वेळापत्रक आणि किमान किंमत शोधा.

यंत्र	A	B	C	D
\(M_1\)	13	10	12	11
\(M_2\)	15	-	13	20
\(M_3\)	5	7	10	6

उकल:
येथे 3 यंत्रे आणि 4 जागा आहेत, म्हणून ही असंतुलित समस्या (Unbalanced problem) आहे. आपण 0 किंमत असलेले एक डमी यंत्र \(M_4\) जोडू. तसेच \(M_2\) ला B वर ठेवता येत नाही, म्हणून तिथे किंमत अनंत (\(\infty\)) घेऊ.

पायरी 1: सारणी तयार करणे

13	10	12	11
15	∞	13	20
5	7	10	6
0	0	0	0

पायरी 2: ओळ कमी करणे (Row Reduction) (प्रत्येक ओळीतून किमान संख्या वजा करा)
\(R_1\) (min 10): 3, 0, 2, 1
\(R_2\) (min 13): 2, ∞, 0, 7
\(R_3\) (min 5): 0, 2, 5, 1
\(R_4\) (min 0): 0, 0, 0, 0

पायरी 3: सोपवणी करणे (Assignment - Zero selection)
- \(R_2\) मध्ये फक्त एक शून्य C वर आहे. \(M_2 \to C\) (किंमत 13).
- \(R_1\) मध्ये आता फक्त एक शून्य B वर उपलब्ध आहे. \(M_1 \to B\) (किंमत 10).
- \(R_3\) मध्ये फक्त एक शून्य A वर आहे. \(M_3 \to A\) (किंमत 5).
- \(R_4\) साठी जागा D उरली आहे. \(M_4 \to D\) (किंमत 0).

इष्टतम वेळापत्रक:
\(M_1 \to B\) (10)
\(M_2 \to C\) (13)
\(M_3 \to A\) (5)
(जागा D रिक्त राहील)

किमान किंमत = 10 + 13 + 5 = 28 (शंभर) = ₹ 2,800.

(iii) 10% सदोष अंडी असलेली अंडी क्रमशः बदलून (with replacement) काढली जातात. 10 अंड्यांचा समूह आहे, या अंड्यांमध्ये किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता शोधा.

उकल:
ही द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) समस्या आहे \( X \sim B(n, p) \).
सदोष अंड्याची संभाव्यता \( p = 10\% = 0.1 \).
चांगल्या अंड्याची संभाव्यता \( q = 1 - 0.1 = 0.9 \).
एकूण प्रयत्न \( n = 10 \).

आपल्याला किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता काढायची आहे: \( P(X \ge 1) \).
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \)
\( P(X = 0) = {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \)

\( P(X \ge 1) = 1 - (0.9)^{10} \)
उत्तर: \( 1 - (0.9)^{10} \)

प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खालील तक्ता वर्षे 1980 ते 2010 साठी अखिल भारतीय बाल मृत्युदर (प्रति '000) दर्शवितो. वरील माहितीसाठी कमीत कमी वर्ग पद्धतीने (least squares method) प्रवृत्तीरेषा बनवा.

वर्ष	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2010
IMR	10	7	5	4	3	1	0

उकल:
येथे \( n = 7 \) (विषम संख्या).
मध्यवर्ती वर्ष 1995 आहे.
समजा \( u = \frac{t - 1995}{5} \) (येथे 5 वर्षांचा फरक आहे).

वर्ष (t)	IMR (y)	\(u\)	\(u^2\)	\(uy\)
1980	10	-3	9	-30
1985	7	-2	4	-14
1990	5	-1	1	-5
1995	4	0	0	0
2000	3	1	1	3
2005	1	2	4	2
2010	0	3	9	0
एकूण (Total)	\(\sum y = 30\)	\(\sum u = 0\)	\(\sum u^2 = 28\)	\(\sum uy = -44\)

प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण: \( y = a + bu \)
येथे, \( a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} \approx 4.286 \)
आणि \( b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -\frac{11}{7} \approx -1.571 \)

प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण:
\( y = 4.286 - 1.571 u \)
किंवा \( y = 4.286 - 1.571 \left( \frac{t - 1995}{5} \right) \)

(ii) लघुत्तम करा (Minimize): \( z = 6x + 2y \)
अटी (Constraints):
\( x+2y \ge 3 \), \( x+4y \ge 4 \), \( 3x+y \ge 3 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).

उकल:
दिलेल्या समीकरणांसाठी रेषांचे आलेख बिंदू काढू:
1. \( L_1: x + 2y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (3, 0) आणि (0, 1.5)
2. \( L_2: x + 4y = 4 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (4, 0) आणि (0, 1)
3. \( L_3: 3x + y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (1, 0) आणि (0, 3)

सर्व अटी '\(\ge\)' प्रकारच्या आहेत, त्यामुळे संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) रेषांच्या वरच्या बाजूला आहे (Unbounded).

संभाव्य क्षेत्राचे शिरोबिंदू (Corner Points):
1. A(0, 3) [रेषा \(L_3\) चा Y-अक्ष छेद]
2. B [रेषा \(L_1\) आणि \(L_3\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( 3x+y=3 \) सोडवून.
\( y = 3-3x \Rightarrow x+2(3-3x)=3 \Rightarrow x+6-6x=3 \Rightarrow -5x=-3 \Rightarrow x=0.6 \)
\( y = 3 - 3(0.6) = 1.2 \)
\(\therefore B(0.6, 1.2)\)

3. C [रेषा \(L_1\) आणि \(L_2\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( x+4y=4 \) सोडवून.
वजाबाकी करून: \( 2y=1 \Rightarrow y=0.5 \)
\( x+2(0.5)=3 \Rightarrow x+1=3 \Rightarrow x=2 \)
\(\therefore C(2, 0.5)\)

4. D(4, 0) [रेषा \(L_2\) चा X-अक्ष छेद]

Z ची मूल्ये (Values of Z):
\( Z(A) = 6(0) + 2(3) = 6 \)
\( Z(B) = 6(0.6) + 2(1.2) = 3.6 + 2.4 = \mathbf{6} \)
\( Z(C) = 6(2) + 2(0.5) = 12 + 1 = 13 \)
\( Z(D) = 6(4) + 2(0) = 24 \)

उत्तर: \( Z \) चे किमान मूल्य 6 आहे.

प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) एका द्विचलीय माहितीसाठी \( \overline{x}=10 \), \( \overline{y}=12 \), \( V(X)=9 \), \( \sigma_{y}=4 \) आणि \( r=0.6 \). \( x=5 \) असताना \( y \) ची किंमत काढा.

उकल:
X वर Y ची प्रतिगमन रेषा (Regression line of Y on X):
\( Y-\overline{y} = b_{yx}(X-\overline{x}) \)
\( Y-12 = r\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}(X-10) \)
(येथे \( V(X)=9 \implies \sigma_x = 3 \))

\( Y-12 = 0.6 \times \frac{4}{\mathbf{\fbox{ 3 }}} (X-10) \)

जेव्हा \( x=5 \):
\( Y-12 = \) 0.8 \( (5-10) \)
(कारण \( 0.6 \times \frac{4}{3} = 0.8 \))

\( Y-12 = 0.8(-5) \)
\( Y-12 = -4 \)
\( Y = \) 8

(ii) जर \( X\sim P(m) \) आणि \( P(X=1)=P(X=2) \) तर सरासरी (mean) आणि \( P(X=2) \) शोधा.
दिले आहे \( e^{-2}=0.1353 \).

उकल:
पॉयसन वितरणानुसार सूत्र (Poisson Distribution Formula): \( P(X=x) = \frac{e^{-m}m^x}{x!} \)
दिले आहे की \( P(X=1)=P(X=2) \)

\( \frac{e^{-m}m^{1}}{1!} = \frac{e^{-m}m^{2}}{\mathbf{\fbox{ 2! }}} \)

दोन्ही बाजूंना \( e^{-m} \cdot m \) ने भागून:
\( 1 = \frac{m}{2} \)
\( m = \) 2

आता \( P(X=2) \) काढू:
\( P(X=2) = \frac{e^{-2}\cdot2^{2}}{2!} \)
\( P(X=2) = \frac{0.1353 \times 4}{2} \)
\( P(X=2) = \) 0.2706

Maharashtra Board Class 12 Commerce Maths and Statistics March 2025 Paper Solutions

Mathematics & Statistics (Commerce) - 2025 Board Paper Solution (Marathi Medium)

Paper Code: J-317 | Max Marks: 80 | Time: 3 Hrs

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या प्रत्येक प्रश्नासाठी सर्वात योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) जर \(p\): तो बुद्धिमान आहे, \(q\): तो बलवान आहे.
तर "तो बुद्धिमान किंवा बलवान आहे हे चुकीचे आहे" या विधानाचे प्रतीकात्मक रूप _____ आहे.

• (अ) \(\sim p \lor \sim q\)
• (ब) \(\sim (p \land q)\)
• (क) \(\sim (p \lor q)\)
• (ड) \(p \lor \sim q\)

उत्तर: (क) \(\sim (p \lor q)\)
स्पष्टीकरण: "बुद्धिमान किंवा बलवान" म्हणजे \(p \lor q\). "हे चुकीचे आहे" म्हणजे नकार. म्हणून \(\sim (p \lor q)\).

(ii) \(\int (x + \frac{1}{x})^3 dx =\)

• (अ) \(\frac{1}{4}(x + \frac{1}{x})^4 + c\)
• (ब) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x - \frac{1}{2x^2} + c\)
• (क) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x + \frac{1}{x^2} + c\)
• (ड) \((x - x^{-1})^3 + c\)

उत्तर: (ब)
उकल: विस्तार (Expand): \((x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + x^{-3}\).
समाकलन (Integration): \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} + c\).

(iii) \(\int_{2}^{7} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{9-x}} dx =\)

• (अ) \(\frac{7}{2}\)
• (ब) \(\frac{5}{2}\)
• (क) 7
• (ड) 2

उत्तर: (ब) \(\frac{5}{2}\)
उकल: गुणधर्म (Property) वापरून \(I = \frac{b-a}{2} = \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2}\).

(iv) वक्र \(y = x^2\) आणि रेषा \(y = 4\) ने बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ _____ आहे.

• (अ) \(\frac{32}{3}\) चौ. एकक
• (ब) \(\frac{64}{3}\) चौ. एकक
• (क) \(\frac{16}{3}\) चौ. एकक
• (ड) 64 चौ. एकक

उत्तर: (अ) \(\frac{32}{3}\) चौ. एकक
उकल: क्षेत्रफळ \(= 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\).

(v) विकलनीय समीकरण \((\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^2 = a^x\) चा क्रम आणि कोटी क्रमशः _____ आहे.

• (अ) 1, 1
• (ब) 1, 2
• (क) 2, 2
• (ड) 2, 1

उत्तर: (क) 2, 2 (क्रम Order = 2, कोटी Degree = 2)

(vi) विकलनीय समीकरण \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3\) एकत्रीकरण घटक (I.F.) _____ आहे.

• (अ) \(\log x\)
• (ब) \(e^x\)
• (क) \(\frac{1}{x}\)
• (ड) \(x\)

उत्तर: (ड) \(x\)
उकल: I.F. \(= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x\).

प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) जर \(A\) एक सारणी आणि \(K\) एक स्थिरांक असेल तर \((KA)^T = K A^T\).

उत्तर: सत्य (True)

(ii) \(\int \log x dx = x \log x + x + c\).

उत्तर: असत्य (False) (योग्य उत्तर: \(x \log x - x + c\)).

(iii) \(bx + ay = ab\) पासून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून प्राप्त केलेले विकलन समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) आहे.

उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) खालील दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) जर सरासरी महसूल \(R_A\) = 50 असेल आणि मागणीची लवचिकता \(\eta = 5\) असेल तर किरकोळ महसूल \(R_M\) _____ आहे.

उत्तर: 40
(\(R_M = R_A(1 - \frac{1}{\eta}) = 50(1 - \frac{1}{5}) = 40\))

(ii) \(\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = \) _____ \(+ c\)

उत्तर: \(\frac{e^x}{x}\)

(iii) जर \(f'(x) = x^2 + 5\) आणि \(f(0) = -1\) तर \(f(x) = \) _____.

उत्तर: \(\frac{x^3}{3} + 5x - 1\)

प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) "जर त्रिकोण समभुज असेल तर तो समकोण असेल." ह्या विधानाचे विरुद्ध (converse), व्यस्त (inverse) आणि विपरीत (contrapositive) विधाने लिहा.

समजा \(p\): त्रिकोण समभुज आहे, \(q\): तो समकोण आहे.
मूळ विधान: \(p \rightarrow q\)
विरुद्ध (Converse) (\(q \rightarrow p\)): जर त्रिकोण समकोण असेल तर तो समभुज असतो.
व्यस्त (Inverse) (\(\sim p \rightarrow \sim q\)): जर त्रिकोण समभुज नसेल तर तो समकोण नसतो.
विपरीत (Contrapositive) (\(\sim q \rightarrow \sim p\)): जर त्रिकोण समकोण नसेल तर तो समभुज नसतो.

(ii) जर \(\left\{ 5 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \right\} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-1 \\ y+1 \\ 2z \end{bmatrix}\) तर \(x, y, z\) शोधा.

\(5A - 3B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & -6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -4 & 6 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\)
गुणाकार करा \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\):
\(\begin{bmatrix} -6(2) + 2(1) \\ -4(2) + 6(1) \\ 2(2) + (-4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
तुलना करून:
\(x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9\)
\(y + 1 = -2 \Rightarrow y = -3\)
\(2z = 0 \Rightarrow z = 0\)

(iii) सोडवा: \(\int \frac{1}{x(x^6+1)} dx\)

अंश आणि छेदाला \(x^5\) ने गुणून: \(\int \frac{x^5}{x^6(x^6+1)} dx\)
समजा \(x^6 = t \Rightarrow 6x^5 dx = dt\)
\(I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{6} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt\)
\(I = \frac{1}{6} (\log|t| - \log|t+1|) + c = \frac{1}{6} \log|\frac{x^6}{x^6+1}| + c\)

प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) Solve the following equations by the method of inversion:
\(2x - y + z = 1\)
\(x + 2y + 3z = 8\)
\(3x + y - 4z = 1\)

Solution:
The given system of equations can be written in matrix form \(AX = B\), where
\(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Step 1: Find determinant of A (\(|A|\))
\(|A| = 2(-8 - 3) - (-1)(-4 - 9) + 1(1 - 6)\)
\(|A| = 2(-11) + 1(-13) + 1(-5)\)
\(|A| = -22 - 13 - 5 = -40 \neq 0\)
Since \(|A| \neq 0\), \(A^{-1}\) exists.

Step 2: Find Matrix of Cofactors
\(A_{11} = -11, \quad A_{12} = 13, \quad A_{13} = -5\)
\(A_{21} = -3, \quad A_{22} = -11, \quad A_{23} = -5\)
\(A_{31} = -5, \quad A_{32} = -5, \quad A_{33} = 5\)

Cofactor Matrix \(C = \begin{bmatrix} -11 & 13 & -5 \\ -3 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
\(\text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)

Step 3: Find X using \(X = A^{-1}B\)
\(X = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) B\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11(1) -3(8) -5(1) \\ 13(1) -11(8) -5(1) \\ -5(1) -5(8) + 5(1) \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 - 24 - 5 \\ 13 - 88 - 5 \\ -5 - 40 + 5 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -40 \\ -80 \\ -40 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\therefore x = 1, y = 2, z = 1\)

(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च \(E_c\), त्याचे उत्पन्न \(I\) बरोबर असे दिलेले आहे की \(E_c = (0.0003)I^2 + (0.075)I\); जेव्हा \(I = 1000\) असेल तर MPC, MPS, APC आणि APS शोधा.

येथे \(I = 1000\).
APC \(= \frac{E_c}{I} = 0.0003I + 0.075\)
\(I=1000\) असताना: APC \(= 0.0003(1000) + 0.075 = 0.3 + 0.075 = 0.375\)
APS \(= 1 - APC = 1 - 0.375 = 0.625\)
MPC \(= \frac{dE_c}{dI} = 0.0006I + 0.075\)
\(I=1000\) असताना: MPC \(= 0.0006(1000) + 0.075 = 0.6 + 0.075 = 0.675\)
MPS \(= 1 - MPC = 1 - 0.675 = 0.325\)

(iii) सोडवा: \(\int_1^2 \frac{dx}{x^2+6x+5}\)

\(x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)\).
Partial Fractions: \(\frac{1}{(x+1)(x+5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+5})\)
\(I = \frac{1}{4} [\log|x+1| - \log|x+5|]_1^2 = \frac{1}{4} [\log(\frac{x+1}{x+5})]_1^2\)
वरची सीमा: \(\log(\frac{3}{7})\), खालची सीमा: \(\log(\frac{2}{6}) = \log(\frac{1}{3})\)
\(I = \frac{1}{4} (\log \frac{3}{7} - \log \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} \log(\frac{9}{7})\).

प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) जर \(y = (x)^x + (a)^x\) तर \(\frac{dy}{dx}\) शोधा.

समजा \(u = x^x\) आणि \(v = a^x\).
\(u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \Rightarrow \frac{du}{dx} = x^x(1+\log x)\)
\(v = a^x \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a^x \log a\)
\(\frac{dy}{dx} = x^x(1+\log x) + a^x \log a\)

(ii) अन्वस्त (parabola) \(y^2 = 25x\) आणि रेषा \(x = 5\) मधील बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.

अन्वस्त X-अक्षाभोवती सममित (symmetric) आहे.
क्षेत्रफळ \(= 2 \int_0^5 y dx = 2 \int_0^5 5\sqrt{x} dx = 10 \int_0^5 x^{1/2} dx\)
\(= 10 [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^5 = \frac{20}{3} [5^{3/2}] = \frac{100\sqrt{5}}{3}\) चौ. एकक.

(iii) \(y = Ae^{3x} + Be^{-3x}\) संबंधातून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून विकलन समीकरण शोधा.

पहिले विकलन (Derivative): \(y' = 3Ae^{3x} - 3Be^{-3x}\)
दुसरे विकलन: \(y'' = 9Ae^{3x} + 9Be^{-3x} = 9(Ae^{3x} + Be^{-3x})\)
\(y'' = 9y \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0\)

प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) Using the truth table, verify \(p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\)

Solution:
We construct the truth table for the given logical statement.

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \land r\)	\(p \lor (q \land r)\) (LHS)	\(p \lor q\)	\(p \lor r\)	\((p \lor q) \land (p \lor r)\) (RHS)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	F	F	T	F	F
F	F	T	F	F	F	T	F
F	F	F	F	F	F	F	F

From the table, the entries in column 5 (LHS) and column 8 (RHS) are identical.
\(\therefore p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\) is verified.

(ii) जर \(x = \frac{4t}{1+t^2}, y = 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})\), तर दाखवा \(\frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

समजा \(t = \tan \theta\). तर \(x = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta\) आणि \(y = 3 \cos 2\theta\).
म्हणून \(\frac{x}{2} = \sin 2\theta\) आणि \(\frac{y}{3} = \cos 2\theta\).
वर्ग करून बेरीज केल्यास: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\).
विकलन केल्यास: \(\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0\).
\(\frac{x}{2} = -\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृति सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) संख्या 84 दोन भागांमध्ये अशा प्रकारे विभाजित करा जेणेकरून पहिला भाग आणि दुसऱ्या भागाच्या वर्गाचा गुणाकार जास्तीत जास्त असेल.

समजा पहिला भाग \(x\) असेल, तर दुसरा भाग \(84 - x\) असेल.
\(f(x) = x^2(84-x) = 84x^2 - x^3\) (दुसऱ्या भागाचा वर्ग घेण्याऐवजी प्रश्नाच्या संदर्भांनुसार सोडवल्यास: प्रश्नात "पहिला भाग आणि दुसऱ्या भागाचा वर्ग" म्हटले आहे, पण सामान्यतः अशा प्रश्नांमध्ये \(x \times (84-x)^2\) किंवा \(x^2(84-x)\) असू शकते. दिलेल्या स्टेप्समध्ये \(f'(x)=168x-3x^2\) आहे, याचा अर्थ \(f(x) = 84x^2 - x^3\) घेतले आहे, म्हणजे एका भागाचा वर्ग आणि दुसरा भाग).
\(f'(x) = 168x - 3x^2\)
कमाल मूल्यासाठी \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(56-x) = 0\)
\(x = 0\) किंवा \(x = 56\)
\(f''(x) = 168 - 6x\)
जर \(x=56, f''(56) = 168 - 336 = -168 < 0\)
म्हणून \(x = 56\) वर फलन कमाल आहे.
84 चे दोन भाग 56 आणि 28 आहेत.

(ii) Solve the following differential equation
\((x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0\)

Solution:
Separating the variables, the given equation can be written as:
\(x^2(1-y)dy + y^2(1+x)dx = 0\)
Dividing by \(x^2y^2\),

\(\left[ \frac{1-y}{y^2} \right] dy + \left[ \frac{1+x}{x^2} \right] dx = 0\)

\(\therefore (y^{-2} - \frac{1}{y})dy + (x^{-2} + \frac{1}{x})dx = 0\)

\(\left[ y^{-2} \right] dy - \frac{1}{y}dy + x^{-2}dx + \left[ \frac{1}{x} \right] dx = 0\)

Integrating we get,
\(\int y^{-2}dy - \int \frac{1}{y}dy + \int x^{-2}dx + \int \frac{1}{x}dx = 0\)

\(\therefore \frac{y^{-1}}{-1} - \left[ \log y \right] + \frac{x^{-1}}{-1} + \left[ \log x \right] = c\)

\(-\frac{1}{y} - \frac{1}{x} + \log x - \log y = c\)

\(\log x - \log y = \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] + c\)

is the required solution.

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) खालील दिलेल्या प्रत्येक प्रश्नासाठी सर्वात योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) दलाल जो त्याच्या मालकाला हमी देतो की पक्ष मालाची विक्री किंमत देईल त्याला _____ असे म्हणतात.

• (अ) लिलाव करणारा (Auctioneer)
• (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)
• (क) घटक (Factor)
• (ड) दलाल (Broker)

उत्तर: (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)

(ii) सामान्य वार्षिकी मध्ये देणे किंवा पावत्या _____ होतात.

• (अ) प्रत्येक कालावधीच्या सुरुवातीस
• (ब) प्रत्येक कालावधीच्या अखेरीस
• (क) प्रत्येक कालावधीच्या मध्यात
• (ड) त्रैमासिक तत्त्वावर

उत्तर: (ब) प्रत्येक कालावधीच्या अखेरीस

(iii) चलित सरासरी (Moving averages) _____ ओळखण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

• (अ) हंगामी घटक
• (ब) अनियमित घटक
• (क) कल घटक (Trend component)
• (ड) चक्रीय घटक

उत्तर: (क) कल घटक

(iv) जर \(P_{01}(L)=90\) आणि \(P_{01}(P)=40\) तर \(P_{01}(D-B)\) तर _____ आहे.

• (अ) 65
• (ब) 50
• (क) 25
• (ड) 130

उत्तर: (अ) 65 (L आणि P ची सरासरी: \(\frac{90+40}{2}\))

(v) सोपवणी समस्येचे उद्दिष्ट _____ नियुक्त करणे आहे.

• (अ) जास्तीत जास्त किमतीत कामांची संख्या समान व्यक्तींची संख्या
• (ब) कमीत कमी किमतीत कामांची संख्या समान व्यक्तींची संख्या
• (क) फक्त खर्च वाढवण्यासाठी
• (ड) फक्त खर्च कमी करण्यासाठी

उत्तर: (ड) फक्त खर्च कमी करण्यासाठी (Minimization objective).

(vi) दोन निष्पक्ष फासे फेकले जातात तेव्हा मिळणाऱ्या दोन संख्यांच्या बेरजेचे अपेक्षित मूल्य _____ असते.

• (अ) 5
• (ब) 6
• (क) 7
• (ड) 8

उत्तर: (क) 7

प्र. ४. (ब) खालील दिलेली विधाने सत्य किंवा असत्य आहेत ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) जर \(b_{yx} + b_{xy} = 1.30\) आणि \(r = 0.75\) तर दिलेली माहिती विसंगत आहे. उत्तर: सत्य (True).

(ii) चक्रीय भिन्नता वर्षातून अनेक वेळा येऊ शकते. उत्तर: असत्य (False).

(iii) जीवनावश्यक निर्देशांक क्रमांक पैशाची क्रयशक्ती मोजण्यासाठी वापरला जातो. उत्तर: सत्य (True).

प्र. ४. (क) खालील दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) बँकेची सवलत वजा केल्यावर हुंडी धारकास दिलेली रक्कम तात्काळ मूल्य (Cash Value) म्हणून ओळखली जाते.

(ii) वेळ मालिकेचा कल मोजण्याची सोपी पद्धत आलेख पद्धत (Graphical Method) आहे.

(iii) भारित एकत्रित पद्धतीनुसार प्रमाण निर्देशांक क्रमांक \(\frac{\sum q_1 w}{\sum q_0 w} \times 100\) द्वारे दिला जातो.

प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) खालील माहितीसाठी योग्य प्रतिगमन समीकरणाची गणना करा.
X: 1, 2, 3, 4, 5 आणि Y: 5, 7, 9, 11, 13.

मध्य (Means): \(\bar{X}=3, \bar{Y}=9\).
\(b_{yx} = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum(X-\bar{X})^2} = \frac{20}{10} = 2\).
Y चे X वरील समीकरण: \(Y - 9 = 2(X - 3) \Rightarrow Y = 2X + 3\).

(ii) L.P.P. तयार करा: कंपनी सिमेंट आणि वाळूच्या ठोस विटा बनवते...

समजा \(x\) = सिमेंटचे किलो, \(y\) = वाळूचे किलो.
Minimize \(Z = 20x + 6y\)
अटी:
\(x + y \ge 5\) (वजन)
\(x \ge 4\) (किमान सिमेंट)
\(y \le 2\) (कमाल वाळू)
\(x, y \ge 0\).

(iii) नि:पक्षपाती नाण्याच्या तीन नाणेफेकमध्ये छायाच्या संख्येचा मध्य (mean) शोधा.

\(n=3, p=0.5\). हे द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) आहे.
मध्य \(E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5\).

प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) 4-वर्षीय केंद्रिम चलित सरासरीचा (4-yearly centered moving average) वापर करून खालील माहितीसाठी कल मूल्ये (trend values) मिळवा:

वर्ष	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
निर्देशांक	0	2	3	3	2	4	5	6	7	10

उकल:

वर्ष (t)	निर्देशांक (y)	4-वर्षीय बेरीज	2-गटांची बेरीज (Centered)	कल मूल्य (Trend) = बेरीज/8
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
1978	3	8 (0+2+3+3)	18 (8+10)	2.25
1979	3	10 (2+3+3+2)	22 (10+12)	2.75
1980	2	12 (3+3+2+4)	26 (12+14)	3.25
1981	4	14 (3+2+4+5)	31 (14+17)	3.875
1982	5	17 (2+4+5+6)	39 (17+22)	4.875
1983	6	22 (4+5+6+7)	50 (22+28)	6.25
1984	7	28 (5+6+7+10)	-	-
1985	10	-	-	-

(ii) खालील कार्ये पूर्ण करण्यासाठी AB या क्रमाने एकूण व्यतीत वेळ कमी करणारा कार्याचा क्रम शोधा. एकूण व्यतीत वेळ आणि यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ शोधा:

कार्ये	I	II	III	IV	V	VI	VII
यंत्र A	7	16	19	10	14	15	5
यंत्र B	12	14	14	10	16	5	7

उकल:
सर्वात लहान वेळ 5 आहे (कार्ये VII वर A आणि VI वर B).
कार्ये VII प्रथम आणि VI शेवटी येईल: VII ... VI
उर्वरित कार्यांमधून (I, II, III, IV, V), किमान वेळ 7 आहे (कार्य I, यंत्र A). म्हणून VII नंतर I येईल.
क्रम: VII - I ... VI
उर्वरित कार्यांमधून (II, III, IV, V), किमान वेळ 10 आहे (कार्य IV, दोन्ही यंत्रांवर). आपण ते I नंतर घेऊ.
क्रम: VII - I - IV ... VI
त्यानंतर किमान वेळ 14 आहे (कार्य V-A वर, II आणि III-B वर). V ला डावीकडे आणि II, III ला उजवीकडे घेऊ.
इष्टतम क्रम: VII - I - IV - V - II - III - VI

एकूण व्यतीत वेळ गणना:

कार्य	यंत्र A		यंत्र B
	आत	बाहेर	आत	बाहेर
VII	0	5	5	12 (5+7)
I	5	12 (5+7)	12	24 (12+12)
IV	12	22 (12+10)	24	34 (24+10)
V	22	36 (22+14)	36	52 (36+16)
II	36	52 (36+16)	52	66 (52+14)
III	52	71 (52+19)	71	85 (71+14)
VI	71	86 (71+15)	86	91 (86+5)

एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time): 91 तास/मिनिटे.
यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ (Idle Time):
(5 - 0) + (12 - 12) + (24 - 24) + (36 - 34) + (52 - 52) + (71 - 66) + (86 - 85)
= 5 + 0 + 0 + 2 + 0 + 5 + 1 = 13 तास/मिनिटे.

(iii) 52 पत्त्यांच्या चांगल्या फेरफार केलेल्या गड्डीमधून 5 पत्ते एकापाठोपाठ काढली जातात. (अ) पाचही पत्ते इस्पिक आहेत. (ब) फक्त 3 पत्ते इस्पिक आहेत. त्याची संभाव्यता शोधा.

उकल:
एकूण पत्ते \(n(S) = 52\). काढलेले पत्ते \(r = 5\).
एकूण प्रकार = \({}^{52}C_5\).
इस्पिक पत्त्यांची संख्या = 13, इतर पत्ते = 39.

(अ) पाचही पत्ते इस्पिक असण्याची संभाव्यता:
इस्पिकमधून 5 निवडणे = \({}^{13}C_5\).
\(P(A) = \frac{{}^{13}C_5}{{}^{52}C_5}\).

(ब) फक्त 3 पत्ते इस्पिक असण्याची संभाव्यता:
13 इस्पिकमधून 3 निवडणे आणि 39 इतर पत्त्यांमधून 2 निवडणे.
प्रकार = \({}^{13}C_3 \times {}^{39}C_2\).
\(P(B) = \frac{{}^{13}C_3 \times {}^{39}C_2}{{}^{52}C_5}\).

प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) विमा गणना.

मूल्य = 8,00,000. विमा उतरवलेली किंमत = 8,00,000 चे \(75\%\) = 6,00,000.
हप्ता (Premium) = 6,00,000 चे \(0.80\%\) = 4,800.
दलालाची दलाली = 4,800 चे \(9\%\) = 432.

(ii) खालील रेषीय उपयोजन समस्या (L.P.P.) आलेखीय पद्धतीने सोडवा. महत्तम \(z = 4x + 6y\).

रेषा: \(3x + 2y = 12\) (अक्ष बिंदू (4,0), (0,6)) आणि \(x + y = 4\) (अक्ष बिंदू (4,0), (0,4)).
शिरोबिंदू A(4,0), B(0,4), C(0,6) आहेत.
\(Z\) at A(4,0) = 16.
\(Z\) at B(0,4) = 24.
\(Z\) at C(0,6) = 36.
महत्तम मूल्य 36 आहे.

(iii) प्लायवुड पाटीवरील दोष यादृच्छिकपणे आढळतात आणि सरासरी एक दोष प्रति 50 चौरस फूट आहे. अशा पाटीची संभाव्यता शोधा ज्यामध्ये:
(अ) दोष नाही
(ब) किमान एक दोष आहे.
(वापरा \(e^{-1} = 0.3678\))

उकल:
हे पॉयझन वितरण (Poisson Distribution) आहे.
सरासरी \(m = 1\).
सूत्र: \(P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}\)

(अ) दोष नाही \((X=0)\):
\(P(X=0) = \frac{e^{-1} (1)^0}{0!} = \frac{0.3678 \times 1}{1} = 0.3678\).

(ब) किमान एक दोष आहे \((X \ge 1)\):
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(P(X \ge 1) = 1 - 0.3678 = 0.6322\).

प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) दोन प्रतिगमन रेषांचे समीकरण \(10x - 4y = 80\) आणि \(10y - 9x = -40\) आहे. शोधा :
(अ) \(\bar{x}\) आणि \(\bar{y}\)
(ब) \(b_{yx}\) आणि \(b_{xy}\)
(क) \(r\)
(ड) जर \(var(Y) = 36\) तर \(var(X)\) मिळवा.

उकल:
(अ) मध्य \(\bar{x}\) आणि \(\bar{y}\) शोधणे:
दिलेली समीकरणे एकाच वेळी सोडवून (Intersection point is the mean):
(I) \(10x - 4y = 80 \Rightarrow 5x - 2y = 40\)
(II) \(-9x + 10y = -40\)
समीकरण (I) ला 5 ने गुणून: \(25x - 10y = 200\)
समीकरण (II) मिळवून: \(-9x + 10y = -40\)
बेरीज: \(16x = 160 \Rightarrow \bar{x} = 10\).
\(x\) ची किंमत (I) मध्ये ठेवून: \(5(10) - 2y = 40 \Rightarrow 50 - 40 = 2y \Rightarrow y = 5\).
म्हणून \(\bar{x} = 10\) आणि \(\bar{y} = 5\).

(ब) \(b_{yx}\) आणि \(b_{xy}\) शोधणे:
समजा \(10x - 4y = 80\) हे \(X\) चे \(Y\) वरील समीकरण आहे:
\(10x = 4y + 80 \Rightarrow x = 0.4y + 8\). म्हणून \(b_{xy} = 0.4\).
समजा \(10y - 9x = -40\) हे \(Y\) चे \(X\) वरील समीकरण आहे:
\(10y = 9x - 40 \Rightarrow y = 0.9x - 4\). म्हणून \(b_{yx} = 0.9\).
तपासणी: \(b_{xy} \times b_{yx} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 < 1\). हे वैध आहे.
म्हणून \(b_{xy} = 0.4\) आणि \(b_{yx} = 0.9\).

(क) \(r\) शोधणे:
\(r = \pm\sqrt{b_{xy} \times b_{yx}} = \sqrt{0.36} = 0.6\).
(दोन्ही प्रतिगमन सहगुणक धन आहेत, म्हणून \(r\) धन आहे).
\(r = 0.6\).

(ड) \(var(X)\) शोधणे:
दिलेले \(var(Y) = 36 \Rightarrow \sigma_y = 6\).
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x}\)
\(0.9 = 0.6 \times \frac{6}{\sigma_x}\)
\(\sigma_x = \frac{3.6}{0.9} = 4\).
\(var(X) = \sigma_x^2 = 16\).

(ii) राहणीमान किंमत निर्देशांकाची किंमत 150 असल्यास \(x\) शोधा :

गट	अन्न	कपडे	इंधन आणि विद्युत	घरभाडे	इतर
I	180	120	300	100	160
W	4	5	6	\(x\)	3

उकल:
सूत्र: \(\text{CLI} = \frac{\sum IW}{\sum W}\)
दिलेले \(\text{CLI} = 150\).
गणना सारणी:
\(\sum W = 4 + 5 + 6 + x + 3 = 18 + x\)
\(\sum IW = (180 \times 4) + (120 \times 5) + (300 \times 6) + (100 \times x) + (160 \times 3)\)
\(\sum IW = 720 + 600 + 1800 + 100x + 480\)
\(\sum IW = 3600 + 100x\)

किंमती सूत्रामध्ये ठेवून:
\(150 = \frac{3600 + 100x}{18 + x}\)
\(150(18 + x) = 3600 + 100x\)
\(2700 + 150x = 3600 + 100x\)
\(150x - 100x = 3600 - 2700\)
\(50x = 900\)
\(x = \frac{900}{50} = 18\).
उत्तर: \(x = 18\).

प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) हुंडी (Bill of Exchange) कृती.

\(BD = 18000 - 17568 = 432\).
\(n = \frac{432 \times 100}{18000 \times 12} = \frac{1}{5}\) वर्षे = 73 दिवस.
वटवल्याची तारीख: 25 ऑक्टोबर.
ऑक्टोबर(6) + नोव्हेंबर(30) + डिसेंबर(31) = 67 दिवस.
उर्वरित = \(73 - 67 = 6\) दिवस.
कायदेशीर देय तारीख = 6 जानेवारी 2018.

(ii) न्यूनतम करण्यासाठी खालील सोपवणी समस्या सोडवा (Activity):

	I	II	III	IV	V
1	18	24	19	20	23
2	19	21	20	18	22
3	22	23	20	21	23
4	20	18	21	19	19
5	18	22	23	22	21

उकल :

पायरी - I : त्या रांगेतील प्रत्येक घटकातून प्रत्येक रांगेतील सर्वात लहान घटक वजा करा.

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	3
2	0	3	1	1
0	4	5	4	3

पायरी - II : त्या स्तंभाच्या प्रत्येक घटकातून प्रत्येक स्तंभातील सर्वात लहान घटक वजा करा.

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	2
2	0	3	1	0
0	4	5	4	2

पायरी - III : सर्व शून्य व्यापणाऱ्या किमान रेषा काढा.
येथे कमीत कमी रेषांची संख्या (4) < सारणीचा क्रम (5).

पायरी - IV : सर्वात लहान न व्यापलेला घटक 1 आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदनबिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.

0	5	0	2	3
2	3	2	0	3
3	3	0	1	2
3	0	3	1	0
0	3	4	3	1

पायरी - V : सर्व शून्य व्यापणाऱ्या आवश्यक किमान रेषा काढा.
येथे कमीत कमी रेषांची संख्या \(\ne\) सारणीचा क्रम.

पायरी - VI : सर्वात लहान न व्यापलेला घटक (1) आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदन बिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.
आता कमीत कमी रेषांची संख्या = सारणीचा क्रम.
इष्टतम सोपवणी केली जाऊ शकते.

इष्टतम उकल:
\(1 \rightarrow\) I (मूल्य: 18)
\(2 \rightarrow\) IV (मूल्य: 18)
\(3 \rightarrow\) III (मूल्य: 20)
\(4 \rightarrow\) II (मूल्य: 18)
\(5 \rightarrow\) V (मूल्य: 21)

न्यूनतम मूल्य = 95