10th Geometry Board Question Paper March 2024 with Solutions (Marathi Medium) - Maharashtra Board

प्रश्न १. (A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा : (४ गुण)

(१) खालीलपैकी कोणत्या तारखेतील संख्या हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे ?

• (A) 15/8/17
• (B) 16/8/16
• (C) 3/5/17
• (D) 4/9/15

उकल:

उत्तर: (A)

कारण: पायथागोरसच्या त्रिकुटामध्ये $(a, b, c)$ जिथे $c$ ही सर्वात मोठी संख्या असते, तिथे $a^2 + b^2 = c^2$ असावे लागते.
येथे 15, 8, 17 साठी:
$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$ दोन्ही बाजू समान आहेत (LHS = RHS), म्हणून हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

(२) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta =$ किती ?

• (A) 1
• (B) 0
• (C) $\frac{1}{2}$
• (D) $\sqrt{2}$

उकल:

उत्तर: (A)

कारण: आपल्याला माहित आहे की $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
म्हणून, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$.

(३) X-अक्षाचा चढ _____ असतो.

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) ठरवता येत नाही

उकल:

उत्तर: (C)

कारण: X-अक्ष ही एक आडवी (समांतर) रेषा आहे. कोणत्याही आडव्या रेषेचा चढ 0 असतो.

(४) ३ सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळातील सर्वांत मोठ्या जीवेची लांबी किती ?

• (A) 1.5 सेमी
• (B) 3 सेमी
• (C) 6 सेमी
• (D) 9 सेमी

उकल:

उत्तर: (C)

कारण: वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा म्हणजे व्यास होय.
व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}$.

प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)

(१) जर $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ आणि $AB : PQ = 2 : 3$, तर $\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}$ ची किंमत काढा.

उकल:

समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:

$$\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

(२) बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे ५ सेमी व ३ सेमी असतील तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती असेल ?

उकल:

जेव्हा दोन वर्तुळे बाह्यस्पर्शी असतात, तेव्हा त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर हे त्यांच्या त्रिज्यांच्या बेरजेएवढे असते.

$$d = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ सेमी}$$

(३) एका चौरसाचा कर्ण $10\sqrt{2}$ सेमी असेल तर त्याच्या बाजूची लांबी काढा.

उकल:

सूत्र: $\text{कर्ण} = \text{बाजू} \times \sqrt{2}$

$$10\sqrt{2} = \text{बाजू} \times \sqrt{2}$$ $$\therefore \text{बाजू} = 10 \text{ सेमी}$$

(४) रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन $45^{\circ}$ आहे, तर त्या रेषेचा चढ काढा.

उकल:

चढ (Slope) $m = \tan \theta$
येथे, $\theta = 45^{\circ}$

$$m = \tan 45^{\circ} = 1$$

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key

Maths July 2025 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key

Maths March 2024 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key

Maths July 2024 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key

प्रश्न २. (A) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती लिहून पूर्ण करा : (४ गुण)

(१) वरील आकृतीमध्ये, $\angle ABC$ हा कंस ABC मधील आंतरलिखित कोन आहे. जर $\angle ABC = 60^{\circ}$ तर $m\angle AOC$ काढा.

उकल:

$\angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } AXC)$ ... (आंतरलिखित कोनाचे प्रमेय)

$60^{\circ} = \frac{1}{2} m(\text{कंस } AXC)$

120° $= m(\text{कंस } AXC)$

परंतु $m\angle AOC = \text{m(कंस AXC)}$ ... (केंद्रीय कोनाचा गुणधर्म)

$\therefore m\angle AOC = $ 120°

(२) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ ची किंमत काढा.

उकल:

$\Delta ABC$ मध्ये, $\angle ABC = 90^{\circ}, \angle C = \theta$.

$AB^2 + BC^2 = $ AC² ... (पायथागोरसचे प्रमेय)

दोन्ही बाजूंना $AC^2$ ने भागून:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$(\frac{AB}{AC})^2 + (\frac{BC}{AC})^2 = 1$

परंतु $\frac{AB}{AC} = $ sin θ आणि $\frac{BC}{AC} = $ cos θ

$\therefore \sin^2\theta + \cos^2\theta = $ 1

(३) वरील आकृतीमध्ये, चौरस ABCD च्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात. जर $AB = 14$ सेमी, तर छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल:

चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू² (सूत्र)

$= 14^2 = $ 196 $\text{सेमी}^2$

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = πr² (सूत्र)

येथे बाजू = 14, म्हणून त्रिज्या $r = 7$.

$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \text{ सेमी}^2$

छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ = चौरसाचे क्षेत्रफळ - वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

$= 196 - 154 = $ 42 $\text{सेमी}^2$

प्रश्न २. (B) खालीलपैकी कोणतेही चार उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)

(१) वर्तुळपाकळीची त्रिज्या ३.५ सेमी असून तिच्या वर्तुळकंसाची लांबी २.२ सेमी आहे, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

उकल:

दिलेली माहिती: $r = 3.5 \text{ सेमी}, l = 2.2 \text{ सेमी}$.
वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ $A = \frac{l \times r}{2}$

$$A = \frac{2.2 \times 3.5}{2}$$ $$A = 1.1 \times 3.5$$ $$A = 3.85 \text{ सेमी}^2$$

(२) एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू ९ सेमी व १२ सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी काढा.

उकल:

समजा बाजू $a=9, b=12$ आहेत. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:

$$\text{कर्ण}^2 = 9^2 + 12^2$$ $$\text{कर्ण}^2 = 81 + 144 = 225$$ $$\text{कर्ण} = \sqrt{225} = 15 \text{ सेमी}$$

(३) वरील आकृतीमध्ये, $m(\text{कंस } NS) = 125^{\circ}, m(\text{कंस } EF) = 37^{\circ}$. तर $\angle NMS$ चे माप काढा.

उकल:

जेव्हा दोन जीवांना सामावणारी रेष वर्तुळाच्या बाह्यभागात छेदतात, तेव्हा तयार होणारा कोन हा त्याने आंतरखंडित केलेल्या कंसांच्या मापांच्या फरकाच्या निम्मे असतो.

$$\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{कंस } NS) - m(\text{कंस } EF)]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} - 37^{\circ}]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [88^{\circ}]$$ $$\angle NMS = 44^{\circ}$$

(४) $A(2,3)$ आणि $B(4,7)$ या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.

उकल:

समजा $A(x_1, y_1) = (2,3)$ आणि $B(x_2, y_2) = (4,7)$.

$$\text{चढ } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

(५) एका गोलाची त्रिज्या ७ सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.

उकल:

गोलाचे वक्रपृष्ठफळ $= 4\pi r^2$

$$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$$ $$= 4 \times 22 \times 7$$ $$= 88 \times 7 = 616 \text{ सेमी}^2$$

प्रश्न ३. (A) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती लिहून पूर्ण करा : (३ गुण)

(१) $\Delta ABC$ मध्ये, किरण BD हा $\angle ABC$ चा दुभाजक आहे, DE || BC. तर $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}$ हे सिद्ध करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

उकल:

सिद्धता:

$\Delta ABC$ मध्ये, किरण BD हा $\angle B$ चा दुभाजक आहे.

$\therefore \frac{\text{AB}}{BC} = \frac{AD}{DC}$ ... (I) (कोन दुभाजकाचे प्रमेय)

$\Delta ABC$ मध्ये, DE || BC

$\therefore \frac{\text{AE}}{EB} = \frac{AD}{DC}$ ... (II) (प्रमाणाचे मूलभूत प्रमेय)

(I) व (II) वरून,

$\frac{AB}{\text{BC}} = \frac{\text{AE}}{EB}$

(रिकाम्या जागा: AB, AE, BC, AE)

(२) वर्तुळाच्या जीवा अंतर्भागात छेदतात या प्रमेयाची सिद्धता: $AE \times EB = CE \times ED$.

उकल:

$\Delta CAE$ आणि $\Delta BDE$ मध्ये,

$\angle AEC \cong \angle DEB$ ... (परस्पर विरुद्ध कोन)

$\angle CAE \cong $ ∠BDE ... (एकाच वर्तुळकंसातील आंतरलिखित कोन)

$\therefore \Delta CAE \sim \Delta BDE$ ... (समरूपतेची को-को कसोटी)

$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{\text{EB}}$ ... (समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू)

$\therefore AE \times EB = CE \times ED$

प्रश्न ३. (B) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (६ गुण)

(१) खालील बिंदू एकरेषीय आहेत किंवा नाहीत, हे ठरवा. $A(1,-3), B(2,-5), C(-4,7)$.

उकल:

बिंदू एकरेषीय असण्यासाठी, रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ असणे आवश्यक आहे.

रेषा AB चा चढ = $\frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

रेषा BC चा चढ = $\frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2$

येथे रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ आहे आणि बिंदू B हा सामाईक आहे, म्हणून बिंदू A, B आणि C हे एकरेषीय आहेत.

(२) $\Delta ABC \sim \Delta LMN$. $\Delta ABC$ मध्ये, $AB=5.5, BC=6, CA=4.5$. $\Delta ABC$ व $\Delta LMN$ असे काढा की $\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}$.

उकल:

विश्लेषण:
$\Delta ABC \sim \Delta LMN$, म्हणून त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतील.
$\frac{AB}{LM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{LN} = \frac{5}{4}$

$\Delta LMN$ च्या बाजूंची गणना:

• $LM = AB \times \frac{4}{5} = 5.5 \times 0.8 = 4.4 \text{ सेमी}$
• $MN = BC \times \frac{4}{5} = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ सेमी}$
• $LN = AC \times \frac{4}{5} = 4.5 \times 0.8 = 3.6 \text{ सेमी}$

रचना:
१. ५.५ सेमी, ६ सेमी आणि ४.५ सेमी बाजू घेऊन $\Delta ABC$ काढा.
२. ४.४ सेमी, ४.८ सेमी आणि ३.६ सेमी बाजू घेऊन $\Delta LMN$ काढा.

(३) $\Delta PQR$ मध्ये, रेख PM मध्यगा आहे. $PM=9$ आणि $PQ^2 + PR^2 = 290$, तर QR काढा.

उकल:

अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार:

$$PQ^2 + PR^2 = 2(PM^2 + QM^2)$$ $$290 = 2(9^2 + QM^2)$$ $$145 = 81 + QM^2$$ $$QM^2 = 145 - 81 = 64$$ $$QM = 8$$

PM ही मध्यगा असल्यामुळे M हा QR चा मध्यबिंदू आहे.
$\therefore QR = 2 \times QM = 2 \times 8 = 16$.

(४) सिद्ध करा: "त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते."

उकल:

पक्ष: $\Delta ABC$ मध्ये, रेषा $l || \text{ बाजू } BC$ आणि ती रेषा $AB$ ला $P$ मध्ये व $AC$ ला $Q$ मध्ये छेदते.
साध्य: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
रचना: रेख $PC$ व रेख $BQ$ काढा.
सिद्धता:
$\Delta APQ$ व $\Delta BPQ$ हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
$\therefore \frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta BPQ)} = \frac{AP}{PB}$ ... (I) (क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात)
त्याचप्रमाणे, $\frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta CPQ)} = \frac{AQ}{QC}$ ... (II)
$\Delta BPQ$ व $\Delta CPQ$ हे दोन समांतर रेषा $PQ$ आणि $BC$ मध्ये बद्ध आहेत, म्हणून त्यांची उंची समान आहे. तसेच त्यांचा पाया $PQ$ सामाईक आहे.
$\therefore A(\Delta BPQ) = A(\Delta CPQ)$ ... (III)
(I), (II) आणि (III) वरून:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.

प्रश्न ४. खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)

(१) जर $\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3$, तर $\theta$ ची किंमत काढा.

उकल:

समीकरण सोपे रूप देऊन:

$\text{cosec}^2\theta - \sec^2\theta - \cot^2\theta - \tan^2\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta = -3$

पदांची पुनर्रचना करून:

$(\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -3$

नित्यसमानता वापरून: $\text{cosec}^2 - \cot^2 = 1$ आणि $\sin^2 + \cos^2 = 1$

$1 - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - 1 = -3$

$-(\sec^2\theta + \tan^2\theta) = -3$

$\sec^2\theta + \tan^2\theta = 3$

$\sec^2\theta$ ऐवजी $1 + \tan^2\theta$ ठेवून:

$(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = 3$

$1 + 2\tan^2\theta = 3$

$2\tan^2\theta = 2 \implies \tan^2\theta = 1$

$\tan \theta = 1$

$\therefore \theta = 45^{\circ}$

(२) १२ सेमी त्रिज्या असलेल्या वृत्तचिती आकाराच्या भांड्यात २० सेमी उंचीपर्यंत पाणी भरलेले आहे. त्या भांड्यात एक धातूचा गोळा टाकल्यास पाण्याची उंची ६.७५ सेमीने वाढते, तर त्या धातूच्या गोळ्याची त्रिज्या काढा.

उकल:

पाण्याची वाढलेली पातळी म्हणजेच विस्थापित पाण्याचे घनफळ हे बुडालेल्या गोळ्याच्या घनफळाएवढे असते.

वृत्तचितीची त्रिज्या ($R$) = 12 सेमी
पाण्याच्या उंचीतील वाढ ($h$) = 6.75 सेमी
समजा गोळ्याची त्रिज्या $r$ आहे.

गोळ्याचे घनफळ = वृत्तचितीतील वाढलेल्या पाण्याचे घनफळ

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$$ $$\frac{4}{3} r^3 = (12)^2 \times 6.75$$ $$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4}$$ $$r^3 = 36 \times 20.25$$ $$r^3 = 729$$ $$r = 9 \text{ सेमी}$$

(३) बिंदू O केंद्र घेऊन ३ सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. या वर्तुळास P या बाह्यबिंदूतून रेख PA व रेख PB हे स्पर्शिकाखंड असे काढा की $\angle APB=70^{\circ}$.

उकल:

रचनेच्या पायऱ्या:

1. O केंद्र व ३ सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढा.
2. स्पर्शिकांमधील कोन $70^{\circ}$ हवा आहे. त्यामुळे, केंद्रीय कोन हा या कोनाचा पूरक कोन असेल ($\angle AOB + \angle APB = 180^{\circ}$).
3. $\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
4. कोणतीही एक त्रिज्या OA काढा. $\angle AOB = 110^{\circ}$ होईल अशी दुसरी त्रिज्या OB काढा.
5. बिंदू A जवळ OA ला लंब रेषा काढा आणि बिंदू B जवळ OB ला लंब रेषा काढा (स्पर्शिका प्रमेय).
6. या दोन लंब रेषा जेथे छेदतील तो बिंदू P असेल.

प्रश्न ५. खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा : (३ गुण)

(१) समलंब चौकोन ABCD मध्ये बाजू AB || बाजू CD. चौकोनाचे कर्ण हे एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदतात. त्यावरून खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा :

उकल:

(a) दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा:
(समलंब चौकोन ABCD काढा ज्यात AB आणि CD समांतर आहेत आणि कर्ण AC व BD बिंदू P मध्ये छेदतात.)

(b) व्युत्क्रम कोन व विरुद्ध कोनांची प्रत्येकी एक जोडी लिहा:
व्युत्क्रम कोन: $\angle CDB \cong \angle ABD$ (कारण AB || CD).
विरुद्ध कोन: $\angle APB \cong \angle CPD$ (परस्पर विरुद्ध कोन).

(c) समरूप त्रिकोणांची नावे समरूपतेच्या कसोटीसह लिहा:
$\Delta APB \sim \Delta CPD$ (समरूपतेची को-को कसोटी, कारण व्युत्क्रम कोन आणि विरुद्ध कोन एकरूप आहेत).

(२) O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची AB जीवा आहे. AOC वर्तुळाचा व्यास आहे. स्पर्शिका AT वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा:

उकल:

(a) दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा:
(वर्तुळ काढा, केंद्र O दाखवा, व्यास AC, जीवा AB आणि A बिंदूतून जाणारी स्पर्शिका AT काढा.)

(b) $\angle CAT$ व $\angle ABC$ ची मापे काढा व त्याचे कारण लिहा:
$\angle CAT = 90^{\circ}$ (स्पर्शिका प्रमेय: स्पर्शिका ही स्पर्शबिंदूतून जाणाऱ्या त्रिज्येला लंब असते).
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवर्तुळातील आंतरलिखित कोन काटकोन असतो).

(c) $\angle CAT$ व $\angle ABC$ एकरूप आहेत का? स्पष्टीकरण लिहा:
होय, ते एकरूप आहेत.
स्पष्टीकरण: वर सिद्ध केल्याप्रमाणे दोन्ही कोनांचे माप $90^{\circ}$ आहे.