OMTEX AD 2

10th Geometry Board Question Paper March 2024 with Solutions (Marathi Medium) - Maharashtra Board

Question Paper Page No. 1 Question Paper Page No. 2 Question Paper Page No. 3 Question Paper Page No. 4 Question Paper Page No. 5 Question Paper Page No. 6 Question Paper Page No. 7 Question Paper Page No. 8 Question Paper Page No. 9 Question Paper Page No. 10 Question Paper Page No. 11 For all your study Materials Visit : omtexclasses.com
प्रश्न १. (A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा : (४ गुण)
(१) खालीलपैकी कोणत्या तारखेतील संख्या हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे ?
  • (A) 15/8/17
  • (B) 16/8/16
  • (C) 3/5/17
  • (D) 4/9/15
उकल:

उत्तर: (A)

कारण: पायथागोरसच्या त्रिकुटामध्ये $(a, b, c)$ जिथे $c$ ही सर्वात मोठी संख्या असते, तिथे $a^2 + b^2 = c^2$ असावे लागते.
येथे 15, 8, 17 साठी:
$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$ दोन्ही बाजू समान आहेत (LHS = RHS), म्हणून हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.

(२) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta =$ किती ?
  • (A) 1
  • (B) 0
  • (C) $\frac{1}{2}$
  • (D) $\sqrt{2}$
उकल:

उत्तर: (A)

कारण: आपल्याला माहित आहे की $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
म्हणून, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$.

(३) X-अक्षाचा चढ _____ असतो.
  • (A) 1
  • (B) -1
  • (C) 0
  • (D) ठरवता येत नाही
उकल:

उत्तर: (C)

कारण: X-अक्ष ही एक आडवी (समांतर) रेषा आहे. कोणत्याही आडव्या रेषेचा चढ 0 असतो.

(४) ३ सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळातील सर्वांत मोठ्या जीवेची लांबी किती ?
  • (A) 1.5 सेमी
  • (B) 3 सेमी
  • (C) 6 सेमी
  • (D) 9 सेमी
उकल:

उत्तर: (C)

कारण: वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा म्हणजे व्यास होय.
व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}$.

प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)
(१) जर $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ आणि $AB : PQ = 2 : 3$, तर $\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}$ ची किंमत काढा.
उकल:

समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:

$$\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$
(२) बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे ५ सेमी व ३ सेमी असतील तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर किती असेल ?
उकल:

जेव्हा दोन वर्तुळे बाह्यस्पर्शी असतात, तेव्हा त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर हे त्यांच्या त्रिज्यांच्या बेरजेएवढे असते.

$$d = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ सेमी}$$
(३) एका चौरसाचा कर्ण $10\sqrt{2}$ सेमी असेल तर त्याच्या बाजूची लांबी काढा.
उकल:

सूत्र: $\text{कर्ण} = \text{बाजू} \times \sqrt{2}$

$$10\sqrt{2} = \text{बाजू} \times \sqrt{2}$$ $$\therefore \text{बाजू} = 10 \text{ सेमी}$$
(४) रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन $45^{\circ}$ आहे, तर त्या रेषेचा चढ काढा.
उकल:

चढ (Slope) $m = \tan \theta$
येथे, $\theta = 45^{\circ}$

$$m = \tan 45^{\circ} = 1$$

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

Maths July 2025 Board Papers

Maths March 2024 Board Papers

Maths July 2024 Board Papers

प्रश्न २. (A) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती लिहून पूर्ण करा : (४ गुण)
(१) वरील आकृतीमध्ये, $\angle ABC$ हा कंस ABC मधील आंतरलिखित कोन आहे. जर $\angle ABC = 60^{\circ}$ तर $m\angle AOC$ काढा.
उकल:

$\angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } AXC)$ ... (आंतरलिखित कोनाचे प्रमेय)

$60^{\circ} = \frac{1}{2} m(\text{कंस } AXC)$

120° $= m(\text{कंस } AXC)$

परंतु $m\angle AOC = \text{m(कंस AXC)}$ ... (केंद्रीय कोनाचा गुणधर्म)

$\therefore m\angle AOC = $ 120°

(२) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ ची किंमत काढा.
उकल:

$\Delta ABC$ मध्ये, $\angle ABC = 90^{\circ}, \angle C = \theta$.

$AB^2 + BC^2 = $ AC² ... (पायथागोरसचे प्रमेय)

दोन्ही बाजूंना $AC^2$ ने भागून:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$(\frac{AB}{AC})^2 + (\frac{BC}{AC})^2 = 1$

परंतु $\frac{AB}{AC} = $ sin θ आणि $\frac{BC}{AC} = $ cos θ

$\therefore \sin^2\theta + \cos^2\theta = $ 1

(३) वरील आकृतीमध्ये, चौरस ABCD च्या बाजू वर्तुळाला स्पर्श करतात. जर $AB = 14$ सेमी, तर छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ काढा.
उकल:

चौरसाचे क्षेत्रफळ = बाजू² (सूत्र)

$= 14^2 = $ 196 $\text{सेमी}^2$

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ = πr² (सूत्र)

येथे बाजू = 14, म्हणून त्रिज्या $r = 7$.

$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \text{ सेमी}^2$

छायांकित भागाचे क्षेत्रफळ = चौरसाचे क्षेत्रफळ - वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

$= 196 - 154 = $ 42 $\text{सेमी}^2$

प्रश्न २. (B) खालीलपैकी कोणतेही चार उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)
(१) वर्तुळपाकळीची त्रिज्या ३.५ सेमी असून तिच्या वर्तुळकंसाची लांबी २.२ सेमी आहे, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.
उकल:

दिलेली माहिती: $r = 3.5 \text{ सेमी}, l = 2.2 \text{ सेमी}$.
वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ $A = \frac{l \times r}{2}$

$$A = \frac{2.2 \times 3.5}{2}$$ $$A = 1.1 \times 3.5$$ $$A = 3.85 \text{ सेमी}^2$$
(२) एका काटकोन त्रिकोणामध्ये काटकोन करणाऱ्या बाजू ९ सेमी व १२ सेमी आहेत, तर त्या त्रिकोणाच्या कर्णाची लांबी काढा.
उकल:

समजा बाजू $a=9, b=12$ आहेत. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:

$$\text{कर्ण}^2 = 9^2 + 12^2$$ $$\text{कर्ण}^2 = 81 + 144 = 225$$ $$\text{कर्ण} = \sqrt{225} = 15 \text{ सेमी}$$
(३) वरील आकृतीमध्ये, $m(\text{कंस } NS) = 125^{\circ}, m(\text{कंस } EF) = 37^{\circ}$. तर $\angle NMS$ चे माप काढा.
उकल:

जेव्हा दोन जीवांना सामावणारी रेष वर्तुळाच्या बाह्यभागात छेदतात, तेव्हा तयार होणारा कोन हा त्याने आंतरखंडित केलेल्या कंसांच्या मापांच्या फरकाच्या निम्मे असतो.

$$\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{कंस } NS) - m(\text{कंस } EF)]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} - 37^{\circ}]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [88^{\circ}]$$ $$\angle NMS = 44^{\circ}$$
(४) $A(2,3)$ आणि $B(4,7)$ या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.
उकल:

समजा $A(x_1, y_1) = (2,3)$ आणि $B(x_2, y_2) = (4,7)$.

$$\text{चढ } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$
(५) एका गोलाची त्रिज्या ७ सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.
उकल:

गोलाचे वक्रपृष्ठफळ $= 4\pi r^2$

$$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$$ $$= 4 \times 22 \times 7$$ $$= 88 \times 7 = 616 \text{ सेमी}^2$$
प्रश्न ३. (A) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती लिहून पूर्ण करा : (३ गुण)
(१) $\Delta ABC$ मध्ये, किरण BD हा $\angle ABC$ चा दुभाजक आहे, DE || BC. तर $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}$ हे सिद्ध करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
उकल:

सिद्धता:

$\Delta ABC$ मध्ये, किरण BD हा $\angle B$ चा दुभाजक आहे.

$\therefore \frac{\text{AB}}{BC} = \frac{AD}{DC}$ ... (I) (कोन दुभाजकाचे प्रमेय)

$\Delta ABC$ मध्ये, DE || BC

$\therefore \frac{\text{AE}}{EB} = \frac{AD}{DC}$ ... (II) (प्रमाणाचे मूलभूत प्रमेय)

(I) व (II) वरून,

$\frac{AB}{\text{BC}} = \frac{\text{AE}}{EB}$

(रिकाम्या जागा: AB, AE, BC, AE)

(२) वर्तुळाच्या जीवा अंतर्भागात छेदतात या प्रमेयाची सिद्धता: $AE \times EB = CE \times ED$.
उकल:

$\Delta CAE$ आणि $\Delta BDE$ मध्ये,

$\angle AEC \cong \angle DEB$ ... (परस्पर विरुद्ध कोन)

$\angle CAE \cong $ ∠BDE ... (एकाच वर्तुळकंसातील आंतरलिखित कोन)

$\therefore \Delta CAE \sim \Delta BDE$ ... (समरूपतेची को-को कसोटी)

$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{\text{EB}}$ ... (समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू)

$\therefore AE \times EB = CE \times ED$

प्रश्न ३. (B) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (६ गुण)
(१) खालील बिंदू एकरेषीय आहेत किंवा नाहीत, हे ठरवा. $A(1,-3), B(2,-5), C(-4,7)$.
उकल:

बिंदू एकरेषीय असण्यासाठी, रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ असणे आवश्यक आहे.

रेषा AB चा चढ = $\frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

रेषा BC चा चढ = $\frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2$

येथे रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ आहे आणि बिंदू B हा सामाईक आहे, म्हणून बिंदू A, B आणि C हे एकरेषीय आहेत.

(२) $\Delta ABC \sim \Delta LMN$. $\Delta ABC$ मध्ये, $AB=5.5, BC=6, CA=4.5$. $\Delta ABC$ व $\Delta LMN$ असे काढा की $\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}$.
उकल:

विश्लेषण:
$\Delta ABC \sim \Delta LMN$, म्हणून त्यांच्या संगत बाजू प्रमाणात असतील.
$\frac{AB}{LM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{LN} = \frac{5}{4}$

$\Delta LMN$ च्या बाजूंची गणना:

  • $LM = AB \times \frac{4}{5} = 5.5 \times 0.8 = 4.4 \text{ सेमी}$
  • $MN = BC \times \frac{4}{5} = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ सेमी}$
  • $LN = AC \times \frac{4}{5} = 4.5 \times 0.8 = 3.6 \text{ सेमी}$

रचना:
१. ५.५ सेमी, ६ सेमी आणि ४.५ सेमी बाजू घेऊन $\Delta ABC$ काढा.
२. ४.४ सेमी, ४.८ सेमी आणि ३.६ सेमी बाजू घेऊन $\Delta LMN$ काढा.

(३) $\Delta PQR$ मध्ये, रेख PM मध्यगा आहे. $PM=9$ आणि $PQ^2 + PR^2 = 290$, तर QR काढा.
उकल:

अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार:

$$PQ^2 + PR^2 = 2(PM^2 + QM^2)$$ $$290 = 2(9^2 + QM^2)$$ $$145 = 81 + QM^2$$ $$QM^2 = 145 - 81 = 64$$ $$QM = 8$$

PM ही मध्यगा असल्यामुळे M हा QR चा मध्यबिंदू आहे.
$\therefore QR = 2 \times QM = 2 \times 8 = 16$.

(४) सिद्ध करा: "त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर असणारी रेषा त्याच्या उरलेल्या बाजूंना भिन्न बिंदूत छेदत असेल, तर ती रेषा त्या बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते."
उकल:

पक्ष: $\Delta ABC$ मध्ये, रेषा $l || \text{ बाजू } BC$ आणि ती रेषा $AB$ ला $P$ मध्ये व $AC$ ला $Q$ मध्ये छेदते.
साध्य: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
रचना: रेख $PC$ व रेख $BQ$ काढा.
सिद्धता:
$\Delta APQ$ व $\Delta BPQ$ हे समान उंचीचे त्रिकोण आहेत.
$\therefore \frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta BPQ)} = \frac{AP}{PB}$ ... (I) (क्षेत्रफळे पायांच्या प्रमाणात)
त्याचप्रमाणे, $\frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta CPQ)} = \frac{AQ}{QC}$ ... (II)
$\Delta BPQ$ व $\Delta CPQ$ हे दोन समांतर रेषा $PQ$ आणि $BC$ मध्ये बद्ध आहेत, म्हणून त्यांची उंची समान आहे. तसेच त्यांचा पाया $PQ$ सामाईक आहे.
$\therefore A(\Delta BPQ) = A(\Delta CPQ)$ ... (III)
(I), (II) आणि (III) वरून:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.

प्रश्न ४. खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)
(१) जर $\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3$, तर $\theta$ ची किंमत काढा.
उकल:

समीकरण सोपे रूप देऊन:

$\text{cosec}^2\theta - \sec^2\theta - \cot^2\theta - \tan^2\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta = -3$

पदांची पुनर्रचना करून:

$(\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -3$

नित्यसमानता वापरून: $\text{cosec}^2 - \cot^2 = 1$ आणि $\sin^2 + \cos^2 = 1$

$1 - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - 1 = -3$

$-(\sec^2\theta + \tan^2\theta) = -3$

$\sec^2\theta + \tan^2\theta = 3$

$\sec^2\theta$ ऐवजी $1 + \tan^2\theta$ ठेवून:

$(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = 3$

$1 + 2\tan^2\theta = 3$

$2\tan^2\theta = 2 \implies \tan^2\theta = 1$

$\tan \theta = 1$

$\therefore \theta = 45^{\circ}$

(२) १२ सेमी त्रिज्या असलेल्या वृत्तचिती आकाराच्या भांड्यात २० सेमी उंचीपर्यंत पाणी भरलेले आहे. त्या भांड्यात एक धातूचा गोळा टाकल्यास पाण्याची उंची ६.७५ सेमीने वाढते, तर त्या धातूच्या गोळ्याची त्रिज्या काढा.
उकल:

पाण्याची वाढलेली पातळी म्हणजेच विस्थापित पाण्याचे घनफळ हे बुडालेल्या गोळ्याच्या घनफळाएवढे असते.

वृत्तचितीची त्रिज्या ($R$) = 12 सेमी
पाण्याच्या उंचीतील वाढ ($h$) = 6.75 सेमी
समजा गोळ्याची त्रिज्या $r$ आहे.

गोळ्याचे घनफळ = वृत्तचितीतील वाढलेल्या पाण्याचे घनफळ

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$$ $$\frac{4}{3} r^3 = (12)^2 \times 6.75$$ $$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4}$$ $$r^3 = 36 \times 20.25$$ $$r^3 = 729$$ $$r = 9 \text{ सेमी}$$
(३) बिंदू O केंद्र घेऊन ३ सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. या वर्तुळास P या बाह्यबिंदूतून रेख PA व रेख PB हे स्पर्शिकाखंड असे काढा की $\angle APB=70^{\circ}$.
उकल:

रचनेच्या पायऱ्या:

  1. O केंद्र व ३ सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढा.
  2. स्पर्शिकांमधील कोन $70^{\circ}$ हवा आहे. त्यामुळे, केंद्रीय कोन हा या कोनाचा पूरक कोन असेल ($\angle AOB + \angle APB = 180^{\circ}$).
  3. $\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$.
  4. कोणतीही एक त्रिज्या OA काढा. $\angle AOB = 110^{\circ}$ होईल अशी दुसरी त्रिज्या OB काढा.
  5. बिंदू A जवळ OA ला लंब रेषा काढा आणि बिंदू B जवळ OB ला लंब रेषा काढा (स्पर्शिका प्रमेय).
  6. या दोन लंब रेषा जेथे छेदतील तो बिंदू P असेल.
प्रश्न ५. खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा : (३ गुण)
(१) समलंब चौकोन ABCD मध्ये बाजू AB || बाजू CD. चौकोनाचे कर्ण हे एकमेकांना बिंदू P मध्ये छेदतात. त्यावरून खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा :
उकल:

(a) दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा:
(समलंब चौकोन ABCD काढा ज्यात AB आणि CD समांतर आहेत आणि कर्ण AC व BD बिंदू P मध्ये छेदतात.)

(b) व्युत्क्रम कोन व विरुद्ध कोनांची प्रत्येकी एक जोडी लिहा:
व्युत्क्रम कोन: $\angle CDB \cong \angle ABD$ (कारण AB || CD).
विरुद्ध कोन: $\angle APB \cong \angle CPD$ (परस्पर विरुद्ध कोन).

(c) समरूप त्रिकोणांची नावे समरूपतेच्या कसोटीसह लिहा:
$\Delta APB \sim \Delta CPD$ (समरूपतेची को-को कसोटी, कारण व्युत्क्रम कोन आणि विरुद्ध कोन एकरूप आहेत).

(२) O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची AB जीवा आहे. AOC वर्तुळाचा व्यास आहे. स्पर्शिका AT वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा:
उकल:

(a) दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा:
(वर्तुळ काढा, केंद्र O दाखवा, व्यास AC, जीवा AB आणि A बिंदूतून जाणारी स्पर्शिका AT काढा.)

(b) $\angle CAT$ व $\angle ABC$ ची मापे काढा व त्याचे कारण लिहा:
$\angle CAT = 90^{\circ}$ (स्पर्शिका प्रमेय: स्पर्शिका ही स्पर्शबिंदूतून जाणाऱ्या त्रिज्येला लंब असते).
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवर्तुळातील आंतरलिखित कोन काटकोन असतो).

(c) $\angle CAT$ व $\angle ABC$ एकरूप आहेत का? स्पष्टीकरण लिहा:
होय, ते एकरूप आहेत.
स्पष्टीकरण: वर सिद्ध केल्याप्रमाणे दोन्ही कोनांचे माप $90^{\circ}$ आहे.

Labels: , , , , , , ,

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)