गणित (७१) भूमिती - भाग २
SSC 10th Board Exam Solution | 2025 Revised Course
गुण: ४० | वेळ: २ तास | मराठी माध्यम (Marathi Medium)
प्रश्न १. (A) दिलेल्या पर्यायांपैकी योग्य पर्याय निवडा : (४ गुण)
(१)
खालीलपैकी कोणते पायथागोरसचे त्रिकूट आहे ?
स्पष्टीकरण:
(3, 4, 5) मध्ये, \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) आणि \(5^2 = 25\). म्हणून, \(a^2 + b^2 = c^2\) हे पायथागोरसचे त्रिकूट आहे.
उत्तर: (B)
उत्तर: (B)
(२)
केंद्र O असलेल्या वर्तुळात अंतर्लिखित \(\angle ACB\) चे माप \(65^\circ\) आहे. तर त्याने अंतर्खंडित केलेल्या कंस AXB चे माप किती ?
स्पष्टीकरण:
अंतर्खंडित कंसाचे माप = \(2 \times\) अंतर्लिखित कोनाचे माप.
\(m(\text{कंस } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
उत्तर: (D)
\(m(\text{कंस } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
उत्तर: (D)
(३)
(3, 4) या बिंदूचे आरंभ बिंदूपासूनचे अंतर .................... आहे.
स्पष्टीकरण:
अंतर = \(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
उत्तर: (C)
उत्तर: (C)
(४)
जर एका शंकूची त्रिज्या 5 सेमी असून त्याची लंबउंची 12 सेमी असेल तर त्याची तिरकस उंची ..................... आहे.
स्पष्टीकरण:
तिरकस उंची \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) सेमी.
उत्तर: (C)
उत्तर: (C)
प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)
(१)
खालील \(\Delta ABC\) मध्ये \(B-D-C\) आणि \(BD = 7, BC = 20\), तर \(\frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)}\) = किती ?
उकल:
\(\Delta ABD\) आणि \(\Delta ABC\) यांचा सामाईक शिरोबिंदू A आहे आणि त्यांचे पाया एकाच रेषेवर आहेत. म्हणून त्यांची उंची समान आहे.
समान उंची असलेल्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे त्यांच्या पायांच्या प्रमाणात असतात.
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
उत्तर: 7/20
समान उंची असलेल्या त्रिकोणांची क्षेत्रफळे त्यांच्या पायांच्या प्रमाणात असतात.
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
उत्तर: 7/20
(२)
खालील आकृतीमध्ये \(\angle MNP = 90^\circ\), रेख \(NQ \perp\) रेख \(MP\), \(MQ = 9\), \(QP = 4\), तर NQ काढा.
उकल:
भूमिती मध्याच्या प्रमेयानुसार:
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) एकक.
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) एकक.
(३)
एका रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी केलेला कोन \(30^\circ\) आहे, तर त्या रेषेचा चढ काढा.
उकल:
येथे, रेषेचा कल \(\theta = 30^\circ\).
रेषेचा चढ \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
रेषेचा चढ \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
(४)
चक्रीय \(\square ABCD\) मध्ये \(m\angle A = 100^\circ\), तर \(m\angle C\) काढा.
उकल:
चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन पूरक असतात.
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).
प्रश्न २. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणत्याही दोन) : (४ गुण)
(१)
P केंद्र असलेल्या वर्तुळाची त्रिज्या 10 सेमी आहे. जीवा AB ने वर्तुळकेंद्राशी काटकोन केलेला असल्यास वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. (\(\pi = 3.14\))
कृती:
\(r = 10\) सेमी, \(\theta = 90^\circ\), \(\pi = 3.14\).
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 चौसेमी.
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 चौसेमी.
(२)
खालील आकृतीमध्ये जीवा MN आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू D मध्ये छेदतात. जर RD = 15, DS = 4, MD = 8, तर DN काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा :
कृती:
\(MD \times DN =\) RD \(\times DS\) ... (जीवांच्या अंतर्छेदाचे प्रमेय)
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5
(३)
एका झाडाच्या बुंध्यापासून 10 मी. अंतरावर असणाऱ्या निरीक्षकास झाडाच्या शेंड्याकडे पाहताना \(60^\circ\) मापाचा उन्नत कोन करावा लागतो. तर झाडाची उंची काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा. (\(\sqrt{3} = 1.73\))
कृती:
\(\tan \theta = \frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BC}\) ... (I)
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) झाडाची उंची 17.3 मी. आहे.
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) झाडाची उंची 17.3 मी. आहे.
प्रश्न २. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही चार) : (८ गुण)
(१)
\(\Delta ABC\) मध्ये \(DE \parallel BC\). जर \(DB = 5.4\) सेमी, \(AD = 1.8\) सेमी, \(EC = 7.2\) सेमी, तर AE काढा.
उकल:
\(\Delta ABC\) मध्ये \(DE \parallel BC\). प्रमाणाच्या मूलभूत प्रमेयानुसार (BPT):
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) सेमी.
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) सेमी.
(२)
खालील आकृतीमध्ये, \(\Delta PSR\) मध्ये दिलेल्या माहितीवरून RS आणि PS काढा. (दिलेले: \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ, PR = 12\))
उकल:
\(\Delta PSR\) मध्ये, \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ\), म्हणून \(\angle R = 60^\circ\).
हा \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) मापाचा त्रिकोण आहे.
\(30^\circ\) कोनासमोरील बाजू (RS) कर्णाच्या (PR) निम्मी असते.
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) एकक.
\(60^\circ\) कोनासमोरील बाजू (PS) कर्णाच्या \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) पट असते.
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) एकक.
हा \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) मापाचा त्रिकोण आहे.
\(30^\circ\) कोनासमोरील बाजू (RS) कर्णाच्या (PR) निम्मी असते.
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) एकक.
\(60^\circ\) कोनासमोरील बाजू (PS) कर्णाच्या \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) पट असते.
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) एकक.
(३)
खाली दिलेल्या आकृतीत केंद्र D असलेले वर्तुळ \(\angle ACB\) च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर \(\angle ACB = 52^\circ\), तर \(\angle ADB\) चे माप काढा.
उकल:
स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेयानुसार, त्रिज्या स्पर्शिकेला स्पर्शबिंदूपाशी लंब असते.
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) आणि \(\angle CBD = 90^\circ\).
चौकोन ADBC मध्ये चारही कोनांच्या मापांची बेरीज \(360^\circ\) असते.
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\).
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) आणि \(\angle CBD = 90^\circ\).
चौकोन ADBC मध्ये चारही कोनांच्या मापांची बेरीज \(360^\circ\) असते.
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\).
(४)
A(1, –3), B(2, –5) आणि C(–4, 7) हे बिंदू एकरेषीय आहेत की नाही हे ठरवा.
उकल:
रेषा AB चा चढ = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2\).
रेषा BC चा चढ = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\).
येथे रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ आणि बिंदू B हा सामाईक आहे.
\(\therefore\) बिंदू A, B, आणि C एकरेषीय आहेत.
रेषा BC चा चढ = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\).
येथे रेषा AB चा चढ = रेषा BC चा चढ आणि बिंदू B हा सामाईक आहे.
\(\therefore\) बिंदू A, B, आणि C एकरेषीय आहेत.
(५)
जर \(\sin \theta = \frac{11}{61}\), तर नित्यसमानतेचा उपयोग करून \(\cos \theta\) ची किंमत काढा.
उकल:
सूत्र: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).
प्रश्न ३. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणतीही एक) : (३ गुण)
(१)
खालील आकृतीमध्ये XY \(\parallel\) बाजू AC. जर \(2AX = 3BX\) आणि \(XY = 9\), तर AC ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती:
\(2AX = 3BX \implies \frac{AX}{BX} = \) \(\frac{3}{2}\)
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (योग क्रिया करून)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
आता, \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (समरूपतेची को-को कसोटी)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... (I) वरून
\(\therefore AC =\) 22.5
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (योग क्रिया करून)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
आता, \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (समरूपतेची को-को कसोटी)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... (I) वरून
\(\therefore AC =\) 22.5
(२)
समभुज चौकोनाच्या बाजूंच्या वर्गांची बेरीज त्याच्या कर्णांच्या वर्गांच्या बेरजेइतकी असते हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
कृती:
PQRS हा समभुज चौकोन आहे. कर्ण परस्परांना T मध्ये दुभागतात.
\(\Delta PQS\) मध्ये रेख PT ही मध्यगा आहे. अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
त्याचप्रमाणे \(\Delta QRS\) मध्ये रेख RT मध्यगा आहे:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
(I) व (II) यांची बेरीज करून:
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
येथे \(PT=RT\), म्हणून \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (टीप: \(2PT = PR\) आणि \(2QT = SQ\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)
\(\Delta PQS\) मध्ये रेख PT ही मध्यगा आहे. अपोलोनियसच्या प्रमेयानुसार:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
त्याचप्रमाणे \(\Delta QRS\) मध्ये रेख RT मध्यगा आहे:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
(I) व (II) यांची बेरीज करून:
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
येथे \(PT=RT\), म्हणून \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (टीप: \(2PT = PR\) आणि \(2QT = SQ\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)
प्रश्न ३. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : (६ गुण)
(१)
P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1), S(–1, –5) हे समांतरभुज चौकोनाचे शिरोबिंदू आहेत, हे दाखवा.
उकल:
समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात. जर कर्णांचे मध्यबिंदू एकच असतील, तर तो समांतरभुज चौकोन असतो.
कर्ण PR च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\).
कर्ण QS च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\).
येथे दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू एकच आहे.
\(\therefore \square PQRS\) हा समांतरभुज चौकोन आहे.
कर्ण PR च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\).
कर्ण QS च्या मध्यबिंदूचे निर्देशक = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\).
येथे दोन्ही कर्णांचा मध्यबिंदू एकच आहे.
\(\therefore \square PQRS\) हा समांतरभुज चौकोन आहे.
(२)
सिद्ध करा की, 'वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात'.
सिद्धता:
पक्ष: केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या बाह्यभागात बिंदू P आहे. PA आणि PB हे स्पर्शिकाखंड आहेत.
साध्य: रेख PA \(\cong\) रेख PB.
रचना: त्रिज्या OA आणि OB काढा. रेख OP काढा.
सिद्धता: \(\Delta OAP\) आणि \(\Delta OBP\) मध्ये,
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय)
कर्ण OP \(\cong\) कर्ण OP (सामाईक बाजू)
बाजू OA \(\cong\) बाजू OB (एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (कर्ण-भुजा कसोटी)
\(\therefore\) रेख PA \(\cong\) रेख PB (एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू)
सिद्ध झाले.
साध्य: रेख PA \(\cong\) रेख PB.
रचना: त्रिज्या OA आणि OB काढा. रेख OP काढा.
सिद्धता: \(\Delta OAP\) आणि \(\Delta OBP\) मध्ये,
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय)
कर्ण OP \(\cong\) कर्ण OP (सामाईक बाजू)
बाजू OA \(\cong\) बाजू OB (एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (कर्ण-भुजा कसोटी)
\(\therefore\) रेख PA \(\cong\) रेख PB (एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू)
सिद्ध झाले.
(३)
4.1 सेमी त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा. वर्तुळकेंद्रापासून 7.3 सेमी अंतरावरील बिंदूतून स्पर्शिका काढा.
रचनेच्या पायऱ्या:
1. केंद्र O घेऊन 4.1 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
2. केंद्र O पासून 7.3 सेमी अंतरावर बिंदू P घ्या.
3. रेख OP चा लंबदुभाजक काढा. त्याला M नाव द्या.
4. M केंद्र आणि त्रिज्या OM घेऊन कंस काढा जे मूळ वर्तुळाला A आणि B मध्ये छेदतील.
5. रेषा PA आणि PB काढा. ह्या अपेक्षित स्पर्शिका आहेत.
2. केंद्र O पासून 7.3 सेमी अंतरावर बिंदू P घ्या.
3. रेख OP चा लंबदुभाजक काढा. त्याला M नाव द्या.
4. M केंद्र आणि त्रिज्या OM घेऊन कंस काढा जे मूळ वर्तुळाला A आणि B मध्ये छेदतील.
5. रेषा PA आणि PB काढा. ह्या अपेक्षित स्पर्शिका आहेत.
(४)
30 सेमी त्रिज्येचा एक भरीव गोल वितळवून त्यापासून 10 सेमी त्रिज्या व 6 सेमी उंची असणाऱ्या भरीव वृत्तचित्ती तयार केल्या, तर किती वृत्तचित्ती तयार होतील?
उकल:
समजा \(n\) वृत्तचित्ती तयार होतील.
गोलाचे घनफळ = \(n \times\) एका वृत्तचित्तीचे घनफळ
गोल: \(R = 30\). वृत्तचित्ती: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
उत्तर: 60 वृत्तचित्ती तयार होतील.
गोलाचे घनफळ = \(n \times\) एका वृत्तचित्तीचे घनफळ
गोल: \(R = 30\). वृत्तचित्ती: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
उत्तर: 60 वृत्तचित्ती तयार होतील.
प्रश्न ४. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : (८ गुण)
(१)
खालील आकृतीमध्ये \(DE \parallel BC\). (i) जर DE=4, BC=8, A(\(\Delta\)ADE)=25, तर A(\(\Delta\)ABC) काढा. (ii) जर DE:BC = 3:5, तर A(\(\Delta\)ADE) : A(\(\square\)DBCE) काढा.
उकल:
\(DE \parallel BC\) असल्याने, \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) (को-को कसोटी).
(i) समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) चौसेमी.
(ii) जर \(DE:BC = 3:5\), तर क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = \(3^2:5^2 = 9:25\).
समजा \(A(\Delta ADE) = 9k\) आणि \(A(\Delta ABC) = 25k\).
\(\square DBCE\) चे क्षेत्रफळ = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
गुणोत्तर \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).
(i) समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) चौसेमी.
(ii) जर \(DE:BC = 3:5\), तर क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = \(3^2:5^2 = 9:25\).
समजा \(A(\Delta ADE) = 9k\) आणि \(A(\Delta ABC) = 25k\).
\(\square DBCE\) चे क्षेत्रफळ = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
गुणोत्तर \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).
(२)
\(\Delta ABC \sim \Delta PQR\). \(\Delta ABC\) मध्ये, \(AB=3.6, BC=4, AC=4.2\). संगत बाजूंचे गुणोत्तर 2:3 आहे. तर \(\Delta ABC\) आणि \(\Delta PQR\) काढा.
उकल:
दिलेले: \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{2}{3}\).
\(\Delta PQR\) च्या बाजूंची गणना:
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) सेमी.
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) सेमी.
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) सेमी.
रचना:
1. बाजू 3.6, 4, 4.2 घेऊन \(\Delta ABC\) काढा.
2. बाजू 5.4, 6, 6.3 घेऊन \(\Delta PQR\) काढा.
\(\Delta PQR\) च्या बाजूंची गणना:
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) सेमी.
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) सेमी.
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) सेमी.
रचना:
1. बाजू 3.6, 4, 4.2 घेऊन \(\Delta ABC\) काढा.
2. बाजू 5.4, 6, 6.3 घेऊन \(\Delta PQR\) काढा.
(३)
शंकूछेदाच्या वर्तुळाकार भागांच्या त्रिज्या 14 सेमी आणि 8 सेमी आहेत. जर शंकूछेदाची उंची 8 सेमी असेल, तर पुढील किमती काढा. (\(\pi = 3.14\)) (i) वक्रपृष्ठफळ (ii) एकूण पृष्ठफळ (iii) घनफळ.
उकल:
\(r_1 = 14, r_2 = 8, h = 8\).
तिरकस उंची \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) सेमी.
(i) वक्रपृष्ठफळ = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) चौसेमी.
(ii) एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) चौसेमी.
(iii) घनफळ = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) घसेमी.
तिरकस उंची \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) सेमी.
(i) वक्रपृष्ठफळ = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) चौसेमी.
(ii) एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) चौसेमी.
(iii) घनफळ = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) घसेमी.
प्रश्न ५. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणताही एक) : (३ गुण)
(१)
ABCD हा आयत आहे. AD हा व्यास असलेले व कर्ण BD ला X मध्ये छेदणारे अर्धवर्तुळ AXD आहे. जर AB = 12 सेमी, AD = 9 सेमी, तर BD आणि BX च्या किमती काढा.
उकल:
\(\Delta DAB\) मध्ये, \(\angle A = 90^\circ\) (आयताचा कोन).
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) सेमी.
AD हा अर्धवर्तुळाचा व्यास आहे, म्हणून \(\angle AXD = 90^\circ\) (अर्धवर्तुळातील कोन).
म्हणून, \(AX \perp BD\).
काटकोन \(\Delta DAB\) मध्ये, रेख AX हा कर्णावर टाकलेला शिरोलंब आहे.
भूमिती मध्याच्या गुणधर्मानुसार: \(AB^2 = BX \times BD\).
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) सेमी.
उत्तर: BD = 15 सेमी, BX = 9.6 सेमी.
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) सेमी.
AD हा अर्धवर्तुळाचा व्यास आहे, म्हणून \(\angle AXD = 90^\circ\) (अर्धवर्तुळातील कोन).
म्हणून, \(AX \perp BD\).
काटकोन \(\Delta DAB\) मध्ये, रेख AX हा कर्णावर टाकलेला शिरोलंब आहे.
भूमिती मध्याच्या गुणधर्मानुसार: \(AB^2 = BX \times BD\).
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) सेमी.
उत्तर: BD = 15 सेमी, BX = 9.6 सेमी.
(२)
\(\theta = 30^\circ\) घेऊन खालील त्रिकोणमितीय नित्यसमानतांचा पडताळा घ्या : (i) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), (ii) \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\), (iii) \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\).
उकल:
(i) \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\). पडताळा झाला.
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). डावी बाजू = उजवी बाजू. पडताळा झाला.
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). डावी बाजू = उजवी बाजू. पडताळा झाला.
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). डावी बाजू = उजवी बाजू. पडताळा झाला.
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). डावी बाजू = उजवी बाजू. पडताळा झाला.