प्रश्न १. (A) दिलेल्या पर्यायांपैकी योग्य पर्याय निवडा : (४ गुण)
(i) \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \). या निश्चयकाची कोटी (degree) लिहा.
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
उत्तर:
(B) 2
(B) 2
स्पष्टीकरण: दिलेला निश्चयक \(2 \times 2\) कोटीचा आहे.
(ii) खालीलपैकी कोणते समीकरण वर्गसमीकरण आहे ?
- (A) \( \frac{5}{x} - 3 = x^2 \)
- (B) \( x(x+5) = 2 \)
- (C) \( n - 1 = 2n \)
- (D) \( \frac{1}{x^2}(x+2) = x \)
उत्तर:
(B) \( x(x+5) = 2 \)
स्पष्टीकरण: \( x(x+5) = 2 \Rightarrow x^2 + 5x - 2 = 0 \). हे समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) या स्वरूपाचे आहे आणि \(a \neq 0\).
(B) \( x(x+5) = 2 \)
स्पष्टीकरण: \( x(x+5) = 2 \Rightarrow x^2 + 5x - 2 = 0 \). हे समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) या स्वरूपाचे आहे आणि \(a \neq 0\).
(iii) खालील अंकगणिती श्रेढीचा साधारण फरक काढा : 4, 4, 4, ...
- (A) 1
- (B) 8
- (C) 4
- (D) 0
उत्तर:
(D) 0
स्पष्टीकरण: \( d = t_{2} - t_{1} = 4 - 4 = 0 \).
(D) 0
स्पष्टीकरण: \( d = t_{2} - t_{1} = 4 - 4 = 0 \).
(iv) खालील पर्यायांपैकी कोणती संभाव्यता असू शकणार नाही ?
- (A) \( \frac{2}{3} \)
- (B) \( \frac{15}{10} \)
- (C) 15%
- (D) 0.7
उत्तर:
(B) \( \frac{15}{10} \)
स्पष्टीकरण: संभाव्यता कधीही 1 पेक्षा जास्त असू शकत नाही. \( \frac{15}{10} = 1.5 > 1 \).
(B) \( \frac{15}{10} \)
स्पष्टीकरण: संभाव्यता कधीही 1 पेक्षा जास्त असू शकत नाही. \( \frac{15}{10} = 1.5 > 1 \).
प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)
(i) जर \( 2x + y = 7 \) आणि \( x + 2y = 11 \), तर \( x + y \) ची किंमत काढा.
उकल:
$$ 2x + y = 7 \quad \text{...(I)} $$
$$ x + 2y = 11 \quad \text{...(II)} $$
समीकरण (I) व (II) यांची बेरीज करून:
$$ (2x + x) + (y + 2y) = 7 + 11 $$
$$ 3x + 3y = 18 $$
दोन्ही बाजूंना 3 ने भागून:
$$ x + y = 6 $$
(ii) \( t_n = 3n - 4 \) या क्रमिकेचे पहिले पद काढा.
उकल:
दिलेल्या सूत्रात \( n = 1 \) ठेवून:
$$ t_1 = 3(1) - 4 $$
$$ t_1 = 3 - 4 $$
$$ t_1 = -1 $$
क्रमिकेचे पहिले पद -1 आहे.
(iii) GSTIN मध्ये एकूण किती अंकाक्षरे असतात ?
उत्तर:
GSTIN मध्ये एकूण 15 अंकाक्षरे (Alpha-numerals) असतात.
(iv) दोन नाणी एकाच वेळी फेकली असता नमुना अवकाश S लिहा.
उत्तर:
नमुना अवकाश \( S = \{ HH, HT, TH, TT \} \).
प्रश्न २. (A) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती पूर्ण करून लिहा : (४ गुण)
(i) \( x + 2y = 4 \) या समीकरणाचा आलेख काढण्यासाठी खालील सारणी पूर्ण करा.
उकल:
स्पष्टीकरण:
जेव्हा \( x = -2 \): \( -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \).
जेव्हा \( y = 1 \): \( x + 2(1) = 4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2 \).
| x | -2 | 2 |
|---|---|---|
| y | 3 | 1 |
| (x, y) | (-2, 3) | (2, 1) |
जेव्हा \( x = -2 \): \( -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \).
जेव्हा \( y = 1 \): \( x + 2(1) = 4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2 \).
(ii) वर्गसमीकरण तयार करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
उकल:
कृती:
मी एक वर्गसमीकरण आहे.
माझे सामान्य रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) आहे.
माझी मुळे 5 व 12 आहेत.
माझ्या मुळांची बेरीज \( 5 + 12 = 17 \)
माझ्या मुळांचा गुणाकार \( 5 \times 12 = 60 \)
माझे वर्गसमीकरण \( x^2 - 17x + 60 = 0 \) हे आहे.
(iii) पुष्पमालाने 24,000 रुपये गुंतवून 20 रुपये दर्शनी किंमतीचे शेअर्स 4 रुपये अधिमूल्याने घेतले, तर तिला किती शेअर्स मिळतील हे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
उकल:
दर्शनी किंमत (FV) = ₹ 20
अधिमूल्य (Premium) = ₹ 4
बाजारभाव (MV) = FV + अधिमूल्य
= 20 + 4
= ₹ 24
शेअर्सची संख्या = \( \frac{\text{एकूण गुंतवणूक}}{\text{बाजारभाव}} \)
= \( \frac{24,000}{\fbox{24}} \)
= 1000 शेअर्स.
प्रश्न २. (B) खालीलपैकी कोणतेही चार उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)
(i) खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा : \( x + y = 3; \quad 3x - 2y = 4 \)
उकल:
$$ x + y = 3 \quad \text{...(I)} $$
$$ 3x - 2y = 4 \quad \text{...(II)} $$
समीकरण (I) ला 2 ने गुणू:
$$ 2x + 2y = 6 \quad \text{...(III)} $$
समीकरण (II) व (III) यांची बेरीज करू:
$$ 3x - 2y + 2x + 2y = 4 + 6 $$
$$ 5x = 10 \Rightarrow x = 2 $$
\( x = 2 \) ही किंमत समीकरण (I) मध्ये ठेवू:
$$ 2 + y = 3 \Rightarrow y = 1 $$
उकल: \( (x, y) = (2, 1) \)
(ii) खालील वर्गसमीकरण अवयव पद्धतीने सोडवा : \( m^2 + 14m + 13 = 0 \)
उकल:
$$ m^2 + 14m + 13 = 0 $$
मधल्या पदाची फोड करू (गुणाकार 13 व बेरीज 14):
$$ m^2 + 13m + 1m + 13 = 0 $$
$$ m(m + 13) + 1(m + 13) = 0 $$
$$ (m + 13)(m + 1) = 0 $$
$$ m + 13 = 0 \text{ किंवा } m + 1 = 0 $$
\( m = -13 \text{ किंवा } m = -1 \)
(iii) खालील अंकगणिती श्रेढीचे 19 वे पद काढा : 7, 13, 19, 25, ...
उकल:
येथे, \( a = 7 \), \( d = 13 - 7 = 6 \).
सूत्र: \( t_n = a + (n-1)d \)
\( n = 19 \) साठी:
$$ t_{19} = 7 + (19 - 1)6 $$
$$ t_{19} = 7 + 18 \times 6 $$
$$ t_{19} = 7 + 108 $$
$$ t_{19} = 115 $$
19 वे पद 115 आहे.
(iv) एक शेअर 2,000 रुपये बाजारभावात विकला. यासाठी दलाली 0.5% द्यावी लागली असेल तर तो शेअर विकून मिळणारी रक्कम किती ?
उकल:
बाजारभाव (MV) = ₹ 2000, दलालीचा दर = 0.5%
$$ \text{दलाली} = \text{MV} \times \frac{0.5}{100} $$
$$ = 2000 \times \frac{5}{1000} = 2 \times 5 = \text{₹ } 10 $$
$$ \text{मिळणारी रक्कम} = \text{MV} - \text{दलाली} $$
$$ = 2000 - 10 = \text{₹ } 1990 $$
शेअर विकून मिळणारी रक्कम ₹ 1,990 आहे.
(v) काही विद्यार्थ्यांनी रोजच्या अभ्यासासाठी व्यतीत केलेला वेळ (तास) व विद्यार्थी संख्या यांची वारंवारता वितरण सारणी दिली आहे. त्यावरून विद्यार्थ्यांनी अभ्यासासाठी दिलेल्या वेळेचा मध्य काढा.
उकल:
मध्य \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{300}{60} = 5 \).
| वर्ग (वेळ तासात) | वर्गमध्य (\(x_i\)) | विद्यार्थी संख्या (\(f_i\)) | \(f_i x_i\) |
|---|---|---|---|
| 0-2 | 1 | 8 | 8 |
| 2-4 | 3 | 14 | 42 |
| 4-6 | 5 | 18 | 90 |
| 6-8 | 7 | 10 | 70 |
| 8-10 | 9 | 10 | 90 |
| एकूण | \(\sum f_i = 60\) | \(\sum f_i x_i = 300\) |
अभ्यासासाठी दिलेल्या वेळेचा मध्य 5 तास आहे.
प्रश्न ३. (A) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करून लिहा : (३ गुण)
(i) श्री. माणिकलाल यांनी 100 रुपये दर्शनी किंमतीचे 300 शेअर्स 120 रुपये या बाजारभावाने खरेदी केले. नंतर 7% लाभांश कंपनीने दिला. गुंतवणुकीवरील परताव्याचा दर किती असेल हे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
उकल:
कृती:
(a) एकूण गुंतवणूक = शेअरचा बाजारभाव × शेअर्सची संख्या
= 120 × 300
= ₹ 36,000
(b) लाभांश प्रति शेअर = दर्शनी किंमत × लाभांशाचा दर
= 100 × \( \frac{7}{100} \)
= ₹ 7
मिळालेला एकूण लाभांश = 300 × 7 = ₹ 2,100
(c) परताव्याचा दर = \( \frac{\text{मिळालेला एकूण लाभांश}}{\text{एकूण गुंतवणूक}} \times 100 \)
= \( \frac{2,100}{36,000} \times 100 \)
= 5.83 %.
(ii) अंकांची पुनरावृत्ती न करता 2, 3, 5 या लोकांपासून दोन अंकी संख्या तयार केली, तर विषम संख्या मिळण्याची संभाव्यता काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
उकल:
कृती:
समजा नमुना अवकाश S आहे.
\( S = \{23, 25, 32, \fbox{35}, 52, 53\} \)
\( n(S) = \fbox{6} \)
घटना A : ती संख्या विषम संख्या असणे.
\( A = \{23, 25, \fbox{35}, 53\} \)
\( n(A) = 4 \)
\( P(A) = \fbox{\( \frac{n(A)}{n(S)} \)} \) ............ (सूत्र)
\( P(A) = \frac{\fbox{4}}{6} \)
\( P(A) = \frac{\fbox{2}}{3} \)
प्रश्न ३. (B) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (६ गुण)
(i) खालील एकसामयिक समीकरणे क्रेमरच्या पद्धतीने सोडवा : \( 4x + 3y = 18; \quad 3x - 2y = 5 \)
उकल:
$$ D = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (4)(-2) - (3)(3) = -8 - 9 = -17 $$
$$ D_x = \begin{vmatrix} 18 & 3 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = (18)(-2) - (3)(5) = -36 - 15 = -51 $$
$$ D_y = \begin{vmatrix} 4 & 18 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (4)(5) - (18)(3) = 20 - 54 = -34 $$
$$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-51}{-17} = 3 $$
$$ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-34}{-17} = 2 $$
उकल: \( x = 3, y = 2 \)
(ii) सूत्राचा उपयोग करून खालील वर्गसमीकरण सोडवा : \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
उकल:
\( ax^2 + bx + c = 0 \) शी तुलना करून: \( a=1, b=-2, c=-3 \).
$$ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 $$
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
$$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} $$
$$ x = \frac{2 \pm 4}{2} $$
$$ x = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{किंवा} \quad x = \frac{2-4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$
मुळॆ 3 आणि -1 आहेत.
(iii) तीन मुलगे व दोन मुली यांच्यातून दोघांची एक समिती बनवायची आहे. तर खालील घटनांची संभाव्यता काढा.
उकल:
मुलगे \( B_1, B_2, B_3 \) आणि मुली \( G_1, G_2 \) मानू.
नमुना अवकाश \( S = \{ B_1B_2, B_1B_3, B_2B_3, B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2, G_1G_2 \} \).
\( n(S) = 10 \).
घटना A: समितीमध्ये कमीत कमी एक मुलगी असणे. \( A = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2, G_1G_2 \} \). \( n(A) = 7 \). \( P(A) = \frac{7}{10} \).
घटना B: समितीमध्ये एक मुलगा व एक मुलगी असणे. \( B = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2 \} \). \( n(B) = 6 \). \( P(B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
घटना A: समितीमध्ये कमीत कमी एक मुलगी असणे. \( A = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2, G_1G_2 \} \). \( n(A) = 7 \). \( P(A) = \frac{7}{10} \).
घटना B: समितीमध्ये एक मुलगा व एक मुलगी असणे. \( B = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2 \} \). \( n(B) = 6 \). \( P(B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
(iv) एका जनरल स्टोअरमधील विविध वस्तूंच्या किंमती व त्या वस्तूंची मागणी यांची वर्गीकृत वारंवारता सारणी दिली आहे. त्यावरून किंमतीचा मध्यक काढा.
उकल:
\( N = 400 \Rightarrow N/2 = 200 \).
200 ही संख्या 240 च्या गटात येते, म्हणून मध्यक वर्ग 20-40 आहे.
\( L = 20, f = 100, cf = 140, h = 20 \).
$$ \text{मध्यक} = L + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h $$
$$ = 20 + \left( \frac{200 - 140}{100} \right) \times 20 $$
$$ = 20 + \left( \frac{60}{100} \right) \times 20 $$
$$ = 20 + (0.6 \times 20) = 20 + 12 = 32 $$
| वस्तूंची किंमत (वर्ग) | वस्तूंची संख्या (f) | संञ्चित वारंवारता (cf) |
|---|---|---|
| 0 - 20 (20 पेक्षा कमी) | 140 | 140 |
| 20 - 40 | 100 | 240 |
| 40 - 60 | 80 | 320 |
| 60 - 80 | 60 | 380 |
| 80 - 100 | 20 | 400 |
किंमतीचा मध्यक ₹ 32 आहे.
प्रश्न ४. खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)
(i) \( (m - 12) x^2 + 2(m - 12) x + 2 = 0 \) या वर्गसमीकरणाची मुळे वास्तव व समान असतील तर \( m \) ची किंमत काढा.
उकल:
येथे \( a = m-12 \), \( b = 2(m-12) \), \( c = 2 \).
मुळे वास्तव व समान आहेत, म्हणून विवेचक \( \Delta = 0 \).
$$ b^2 - 4ac = 0 $$
$$ [2(m-12)]^2 - 4(m-12)(2) = 0 $$
$$ 4(m-12)^2 - 8(m-12) = 0 $$
4 ने भागून:
$$ (m-12)^2 - 2(m-12) = 0 $$
\( (m-12) \) सामाईक घेऊन:
$$ (m-12)[ (m-12) - 2 ] = 0 $$
$$ (m-12)(m-14) = 0 $$
$$ m = 12 \text{ किंवा } m = 14 $$
परंतु हे वर्गसमीकरण आहे, म्हणून \( a \neq 0 \), म्हणजे \( m-12 \neq 0 \Rightarrow m \neq 12 \).
म्हणून, \( m = 14 \).
(ii) एका शेतकऱ्याने 1,000 रुपये व त्यावरील 140 रुपये व्याजाची 12 हप्त्यात परतफेड करण्याचे कबूल केले. प्रत्येक हप्ता आधीच्या हप्त्यापेक्षा 10 रुपयाने कमी असल्यास पहिल्या व शेवटच्या हप्त्यातील रक्कम किती ?
उकल:
परतफेड करायची एकूण रक्कम \( S_n = 1000 + 140 = 1140 \).
हप्त्यांची संख्या \( n = 12 \).
हप्ते अंकगणिती श्रेढीमध्ये आहेत, फरक \( d = -10 \).
सूत्र: \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \)
$$ 1140 = \frac{12}{2}[2a + (11)(-10)] $$
$$ 1140 = 6[2a - 110] $$
$$ \frac{1140}{6} = 2a - 110 $$
$$ 190 = 2a - 110 $$
$$ 2a = 300 \Rightarrow a = 150 $$
पहिला हप्ता \( a = 150 \).
शेवटचा हप्ता \( t_{12} = a + 11d = 150 + 11(-10) = 150 - 110 = 40 \).
पहिला हप्ता: ₹ 150, शेवटचा हप्ता: ₹ 40.
(iii) खालील सारणी गणित विषयाच्या परीक्षेतील 180 विद्यार्थ्यांचे गुण दर्शविते. 'x' ची किंमत काढून वरील माहितीचा आयतालेख काढा.
उकल:
एकूण विद्यार्थी = 180.
$$ 25 + x + 30 + 2x + 65 = 180 $$
$$ 3x + 120 = 180 $$
$$ 3x = 60 \Rightarrow x = 20 $$
वारंवारता खालीलप्रमाणे होतील: 25, 20, 30, 40 (कारण 2x=40), 65.
आयतालेखासाठी माहिती:
- 0-10: 25
- 10-20: 20
- 20-30: 30
- 30-40: 40
- 40-50: 65
(वरील माहितीचा वापर करून X-अक्षावर गुण आणि Y-अक्षावर विद्यार्थी संख्या घेऊन आयतालेख काढा.)
प्रश्न ५. खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा : (३ गुण)
(i) एकाच आलेख कागदावर \( 2x = y + 2 \) आणि \( 4x + 3y = 24 \) या समीकरणांना दर्शविणारे आलेख काढा. X-अक्ष आणि वरील रेषांनी तयार झालेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
उकल:
समीकरणे:
1. \( 2x - y = 2 \) (बिंदू: \( (1,0), (0,-2) \))
2. \( 4x + 3y = 24 \) (बिंदू: \( (6,0), (0,8) \))
छेदनबिंदू:
समीकरणे सोडवून, \( x = 3, y = 4 \). त्रिकोणाचा शिरोबिंदू \( C(3,4) \).
X-अक्षावरील त्रिकोणाचे शिरोबिंदू:
रेषा 1 X-अक्षाला \( y=0 \) असताना छेदते \(\Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \). बिंदू \( A(1,0) \).
रेषा 2 X-अक्षाला \( y=0 \) असताना छेदते \(\Rightarrow 4x=24 \Rightarrow x=6 \). बिंदू \( B(6,0) \).
क्षेत्रफळ:
पाया \( AB = 6 - 1 = 5 \) एकके.
उंची \( h = \) छेदनबिंदूचा y-निर्देशक \( = 4 \) एकके.
$$ \text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \text{ चौरस एकके}. $$
समीकरणे:
1. \( 2x - y = 2 \) (बिंदू: \( (1,0), (0,-2) \))
2. \( 4x + 3y = 24 \) (बिंदू: \( (6,0), (0,8) \))
छेदनबिंदू:
समीकरणे सोडवून, \( x = 3, y = 4 \). त्रिकोणाचा शिरोबिंदू \( C(3,4) \).
X-अक्षावरील त्रिकोणाचे शिरोबिंदू:
रेषा 1 X-अक्षाला \( y=0 \) असताना छेदते \(\Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \). बिंदू \( A(1,0) \).
रेषा 2 X-अक्षाला \( y=0 \) असताना छेदते \(\Rightarrow 4x=24 \Rightarrow x=6 \). बिंदू \( B(6,0) \).
क्षेत्रफळ:
पाया \( AB = 6 - 1 = 5 \) एकके.
उंची \( h = \) छेदनबिंदूचा y-निर्देशक \( = 4 \) एकके.
$$ \text{क्षेत्रफळ} = \frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \text{ चौरस एकके}. $$
(ii) एका रक्तगट तपासणी शिबिरामधील रक्तगटानुसार व्यक्तींची टक्केवारीमध्ये विभागणी खालील वृत्तालेखात दिली आहे. त्यावरून खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा :
उकल:
आकृतीवरून: A = 20%, AB = 5%, B = 30%.
उर्वरित गट O आहे: \( 100 - (20+5+30) = 45\% \).
(a) प्रत्येक रक्तगटासाठी केंद्रीय कोनाचे माप काढा.
$$ \theta = \frac{\text{टक्केवारी}}{100} \times 360^\circ $$
आकृतीवरून: A = 20%, AB = 5%, B = 30%.
उर्वरित गट O आहे: \( 100 - (20+5+30) = 45\% \).
(a) प्रत्येक रक्तगटासाठी केंद्रीय कोनाचे माप काढा.
$$ \theta = \frac{\text{टक्केवारी}}{100} \times 360^\circ $$
- गट A: \( 0.20 \times 360 = 72^\circ \)
- गट B: \( 0.30 \times 360 = 108^\circ \)
- गट AB: \( 0.05 \times 360 = 18^\circ \)
- गट O: \( 0.45 \times 360 = 162^\circ \)
एकूण व्यक्तींची संख्या = 2000.