เคเคฃिเคค (เฅญเฅง) เค्เคฏाเคฎिเคคि - เคญाเค เฅจ
SSC 10th Board Exam Solution | 2025 Revised Course
เค ंเค: 40 | เคธเคฎเคฏ: 2 เคंเคे | เคนिंเคฆी เคฎाเคง्เคฏเคฎ (Hindi Medium)
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅง. (A) เคจीเคे เคฆिเคฏे เคเคฏे เคชเคฐ्เคฏाเคฏों เคฎें เคธे เคเคिเคค เคชเคฐ्เคฏाเคฏ เคुเคจเคเคฐ เคฒिเคिเค : (4 เค
ंเค)
(1)
เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคฎें เคธे เคौเคจเคธा เคชाเคฏเคฅाเคोเคฐเคธ เคा เคค्เคฐिเค् เคนै ?
เคธ्เคชเคท्เคीเคเคฐเคฃ:
(3, 4, 5) เคฎें, \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\) เคเคฐ \(5^2 = 25\). เค
เคคः \(a^2 + b^2 = c^2\) เคนोเคจे เคे เคाเคฐเคฃ เคฏเคน เคชाเคฏเคฅाเคोเคฐเคธ เคा เคค्เคฐिเค् เคนै।
เคเคค्เคคเคฐ: (B)
เคเคค्เคคเคฐ: (B)
(2)
‘O’ เคेंเคฆ्เคฐ เคตाเคฒे เคตृเคค्เคค เคฎें เค
ंเคคเคฐ्เคฒिเคिเคค \(\angle ACB\) เคा เคฎाเคช \(65^\circ\) เคนै, เคคो เคเคธเคे เคฆ्เคตाเคฐा เค
ंเคคःเคंเคกिเคค เคाเคช AXB เคा เคฎाเคช เคिเคคเคจा ?
เคธ्เคชเคท्เคीเคเคฐเคฃ:
เค
ंเคคःเคंเคกिเคค เคाเคช เคा เคฎाเคช = \(2 \times\) เค
ंเคคเคฐ्เคฒिเคिเคค เคोเคฃ เคा เคฎाเคช।
\(m(\text{เคाเคช } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
เคเคค्เคคเคฐ: (D)
\(m(\text{เคाเคช } AXB) = 2 \times 65^\circ = 130^\circ\).
เคเคค्เคคเคฐ: (D)
(3)
(3, 4) เคเคธ เคฌिंเคฆु เคी เคเคฐंเคญ เคฌिंเคฆु เคธे เคฆूเคฐी .................... เคนै।
เคธ्เคชเคท्เคीเคเคฐเคฃ:
เคฆूเคฐी = \(\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
เคเคค्เคคเคฐ: (C)
เคเคค्เคคเคฐ: (C)
(4)
เคिเคธी เคถंเคु เคी เคค्เคฐिเค्เคฏा 5 เคธेเคฎी เคคเคฅा เคเคธเคी เคฒंเคฌ เคँเคाเค 12 เคธेเคฎी เคนो, เคคो เคเคธเคी เคคिเคฐเคी เคँเคाเค ..................... เคนोเคी।
เคธ्เคชเคท्เคीเคเคฐเคฃ:
เคคिเคฐเคी เคँเคाเค \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) เคธेเคฎी।
เคเคค्เคคเคฐ: (C)
เคเคค्เคคเคฐ: (C)
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅง. (B) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคเคช-เคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค : (4 เค
ंเค)
(1)
\(\Delta ABC\) เคฎें \(B-D-C\) เคคเคฅा \(BD = 7, BC = 20\), เคคो \(\frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)}\) = เคिเคคเคจा ?
เคนเคฒ:
\(\Delta ABD\) เคเคฐ \(\Delta ABC\) เคा เคธाเคฎाเคจ्เคฏ เคถीเคฐ्เคทเคฌिंเคฆु A เคนै เคเคฐ เคเคจเคे เคเคงाเคฐ เคเค เคนी เคฐेเคा เคชเคฐ เคธ्เคฅिเคค เคนैं। เค
เคคः เคเคจเคी เคँเคाเค เคธเคฎाเคจ เคนै।
เคธเคฎाเคจ เคँเคाเค เคตाเคฒे เคค्เคฐिเคญुเคों เคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ เคเคจเคे เคเคงाเคฐों เคे เค เคจुเคชाเคค เคฎें เคนोเคคे เคนैं।
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
เคเคค्เคคเคฐ: 7/20
เคธเคฎाเคจ เคँเคाเค เคตाเคฒे เคค्เคฐिเคญुเคों เคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ เคเคจเคे เคเคงाเคฐों เคे เค เคจुเคชाเคค เคฎें เคนोเคคे เคนैं।
\(\therefore \frac{A(\Delta ABD)}{A(\Delta ABC)} = \frac{BD}{BC}\)
\(= \frac{7}{20}\)
เคเคค्เคคเคฐ: 7/20
(2)
เคจीเคे เคฆी เคเค เคเคृเคคि เคฎें \(\angle MNP = 90^\circ\), เคฐेเค \(NQ \perp\) เคฐेเค \(MP\), \(MQ = 9\), \(QP = 4\), เคคो NQ เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคญूเคฎिเคคीเคฏ เคฎाเคง्เคฏ เคे เคช्เคฐเคฎेเคฏ เค
เคจुเคธाเคฐ:
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) เคเคाเค।
\(NQ^2 = MQ \times QP\)
\(NQ^2 = 9 \times 4\)
\(NQ^2 = 36\)
\(NQ = 6\) เคเคाเค।
(3)
เคिเคธी เคฐेเคा เคฆ्เคตाเคฐा X-เค
เค्เคท เคी เคงเคจाเคค्เคฎเค เคฆिเคถा เคी เคเคฐ เคจिเคฐ्เคฎिเคค เคोเคฃ เคा เคฎाเคช \(30^\circ\) เคนै, เคคो เคเคธ เคฐेเคा เคा เคขाเคฒ เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคฏเคนाँ, เคुเคाเคต เคोเคฃ \(\theta = 30^\circ\)।
เคฐेเคा เคा เคขाเคฒ \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
เคฐेเคा เคा เคขाเคฒ \(m = \tan \theta\)
\(m = \tan 30^\circ\)
\(m = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
(4)
เคเค्เคฐीเคฏ เคเคคुเคฐ्เคญुเค ABCD เคฎें \(m\angle A = 100^\circ\), เคคो \(m\angle C\) เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคเค्เคฐीเคฏ เคเคคुเคฐ्เคญुเค เคे เคธเคฎ्เคฎुเค เคोเคฃ เคธंเคชूเคฐเค เคนोเคคे เคนैं।
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)।
\(\therefore \angle A + \angle C = 180^\circ\)
\(100^\circ + \angle C = 180^\circ\)
\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)।
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅจ. (A) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐเคे เคฒिเคिเค (เคोเค เคฆो) : (4 เค
ंเค)
(1)
‘P’ เคेंเคฆ्เคฐ เคตाเคฒे เคตृเคค्เคค เคी เคค्เคฐिเค्เคฏा 10 เคธेเคฎी เคนै। เคीเคตा AB เคฆ्เคตाเคฐा เคตृเคค्เคค เคेंเคฆ्เคฐ เคชเคฐ เคธเคฎเคोเคฃ เคฌเคจाเคฏा เคเคฏा เคนो, เคคो เคฆ्เคตैเคค्เคฐिเค्เคฏ เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเค। (\(\pi = 3.14\))
เคृเคคि:
\(r = 10\) เคธेเคฎी, \(\theta = 90^\circ\), \(\pi = 3.14\).
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी.
\(A(P-AXB) = \frac{\theta}{360} \times\) \(\pi r^2\)
\(= \frac{\text{\class{input-box}{90}}}{360} \times 3.14 \times 10^2\)
\(= \frac{1}{4} \times\) 314
\(A(P-AXB) =\) 78.5 เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी.
(2)
เคจीเคे เคฆी เคเค เคเคृเคคि เคฎें เคीเคตा MN เคเคฐ เคीเคตा RS เคเค-เคฆूเคธเคฐे เคो เคฌिंเคฆु D เคฎें เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆिเคค เคเคฐเคคी เคนैं। เคฏเคฆि RD = 15, DS = 4, MD = 8, เคคो DN เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเค :
เคृเคคि:
\(MD \times DN =\) RD \(\times DS\) ... (เคीเคตाเคं เคे เค
ंเคคःเคेเคฆเคจ เคช्เคฐเคฎेเคฏ เคธे)
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5
8 \(\times DN = 15 \times 4\)
\(DN = \frac{\text{\class{input-box}{60}}}{8}\)
\(DN =\) 7.5
(3)
เคिเคธी เคชेเคก़ เคे เคคเคจे เคธे 10 เคฎी. เคी เคฆूเคฐी เคชเคฐ เคเคก़ा เคจिเคฐीเค्เคทเค เคชेเคก़ เคी เคोเคी เคी เคเคฐ เคฆेเคเคคा เคนै เคคเคฌ \(60^\circ\) เคฎाเคช เคा เคเคจ्เคจเคค เคोเคฃ เคฌเคจเคคा เคนै। เคคो เคเคธ เคชेเคก़ เคी เคँเคाเค เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจ เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเค। (\(\sqrt{3} = 1.73\))
เคृเคคि:
\(\tan \theta = \frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BC}\) ... (I)
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) เคชेเคก़ เคी เคँเคाเค 17.3 เคฎी. เคนै।
\(\tan 60^\circ =\) \(\sqrt{3}\) ... (II)
\(\frac{AB}{BC} = \sqrt{3}\)
\(AB = BC \times \sqrt{3} = 10\sqrt{3}\)
\(AB = 10 \times 1.73 =\) 17.3
\(\therefore\) เคชेเคก़ เคी เคँเคाเค 17.3 เคฎी. เคนै।
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅจ. (B) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคเคช-เคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค (เคोเค เคाเคฐ) : (8 เค
ंเค)
(1)
\(\Delta ABC\) เคฎें \(DE \parallel BC\)। เคฏเคฆि \(DB = 5.4\) เคธेเคฎी, \(AD = 1.8\) เคธेเคฎी, \(EC = 7.2\) เคธेเคฎी, เคคो AE เคा เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
\(\Delta ABC\) เคฎें \(DE \parallel BC\)। เคธเคฎाเคจुเคชाเคค เคे เคฎूเคฒเคญूเคค เคช्เคฐเคฎेเคฏ (BPT) เคธे:
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) เคธेเคฎी।
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{1.8}{5.4} = \frac{AE}{7.2}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{AE}{7.2}\)
\(AE = \frac{7.2}{3}\)
\(AE = 2.4\) เคธेเคฎी।
(2)
เคจीเคे เคฆी เคเค เคเคृเคคि เคฎें, \(\Delta PSR\) เคฎें เคฆी เคเค เคाเคจเคाเคฐी เคธे RS เคเคฐ PS เค्เคाเคค เคीเคिเค। (เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै: \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ, PR = 12\))
เคนเคฒ:
\(\Delta PSR\) เคฎें, \(\angle S = 90^\circ, \angle P = 30^\circ\), เค
เคคः \(\angle R = 60^\circ\)।
เคฏเคน \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) เคฎाเคช เคตाเคฒा เคค्เคฐिเคญुเค เคนै।
\(30^\circ\) เคोเคฃ เคे เคธाเคฎเคจे เคी เคญुเคा (RS) เคเคฐ्เคฃ (PR) เคी เคเคงी เคนोเคคी เคนै।
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) เคเคाเค।
\(60^\circ\) เคोเคฃ เคे เคธाเคฎเคจे เคी เคญुเคा (PS) เคเคฐ्เคฃ เคी \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) เคुเคจा เคนोเคคी เคนै।
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) เคเคाเค।
เคฏเคน \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) เคฎाเคช เคตाเคฒा เคค्เคฐिเคญुเค เคนै।
\(30^\circ\) เคोเคฃ เคे เคธाเคฎเคจे เคी เคญुเคा (RS) เคเคฐ्เคฃ (PR) เคी เคเคงी เคนोเคคी เคนै।
\(RS = \frac{1}{2} PR = \frac{1}{2} \times 12 = 6\) เคเคाเค।
\(60^\circ\) เคोเคฃ เคे เคธाเคฎเคจे เคी เคญुเคा (PS) เคเคฐ्เคฃ เคी \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) เคुเคจा เคนोเคคी เคนै।
\(PS = \frac{\sqrt{3}}{2} PR = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 12 = 6\sqrt{3}\) เคเคाเค।
(3)
เคจीเคे เคฆी เคเค เคเคृเคคि เคฎें, D เคेंเคฆ्เคฐ เคตाเคฒा เคตृเคค्เคค \(\angle ACB\) เคी เคญुเคाเคं เคो เคฌिंเคฆु A เคเคฐ B เคฎें เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคเคฐเคคा เคนै। เคฏเคฆि \(\angle ACB = 52^\circ\), เคคो \(\angle ADB\) เคा เคฎाเคช เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคा-เคค्เคฐिเค्เคฏा เคช्เคฐเคฎेเคฏ เคे เค
เคจुเคธाเคฐ, เคค्เคฐिเค्เคฏा เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคा เคชเคฐ เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฌिंเคฆु เคชเคฐ เคฒंเคฌ เคนोเคคी เคนै।
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) เคเคฐ \(\angle CBD = 90^\circ\)।
เคเคคुเคฐ्เคญुเค ADBC เคฎें เคाเคฐों เคोเคฃों เคे เคฎाเคชों เคा เคฏोเค \(360^\circ\) เคนोเคคा เคนै।
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\)।
\(\therefore \angle CAD = 90^\circ\) เคเคฐ \(\angle CBD = 90^\circ\)।
เคเคคुเคฐ्เคญुเค ADBC เคฎें เคाเคฐों เคोเคฃों เคे เคฎाเคชों เคा เคฏोเค \(360^\circ\) เคนोเคคा เคนै।
\(\angle ACB + \angle CAD + \angle ADB + \angle CBD = 360^\circ\)
\(52^\circ + 90^\circ + \angle ADB + 90^\circ = 360^\circ\)
\(232^\circ + \angle ADB = 360^\circ\)
\(\angle ADB = 360^\circ - 232^\circ = 128^\circ\)।
(4)
เคฌिंเคฆु A(1, –3), B(2, –5) เคเคฐ C(–4, 7) เคเคเคฐेเคीเคฏ เคนैं เคฏा เคจเคนीं, เคเคธเคी เคाँเค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคฐेเคा AB เคा เคขाเคฒ = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2\)।
เคฐेเคा BC เคा เคขाเคฒ = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\)।
เคฏเคนाँ เคฐेเคा AB เคा เคขाเคฒ = เคฐेเคा BC เคा เคขाเคฒ, เคเคฐ เคฌिंเคฆु B เคธाเคฎाเคจ्เคฏ เคนै।
\(\therefore\) เคฌिंเคฆु A, B, เคเคฐ C เคเคเคฐेเคीเคฏ เคนैं।
เคฐेเคा BC เคा เคขाเคฒ = \(\frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2} = \frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2\)।
เคฏเคนाँ เคฐेเคा AB เคा เคขाเคฒ = เคฐेเคा BC เคा เคขाเคฒ, เคเคฐ เคฌिंเคฆु B เคธाเคฎाเคจ्เคฏ เคนै।
\(\therefore\) เคฌिंเคฆु A, B, เคเคฐ C เคเคเคฐेเคीเคฏ เคนैं।
(5)
เคฏเคฆि \(\sin \theta = \frac{11}{61}\), เคคो เคธเคฐ्เคตเคธเคฎिเคा เคा เคเคชเคฏोเค เคเคฐเคे \(\cos \theta\) เคा เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคธเคฐ्เคตเคธเคฎिเคा: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
เคฆोเคจों เคชเค्เคทों เคा เคตเคฐ्เคเคฎूเคฒ เคฒेเคจे เคชเคฐ,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).
\((\frac{11}{61})^2 + \cos^2 \theta = 1\)
\(\frac{121}{3721} + \cos^2 \theta = 1\)
\(\cos^2 \theta = 1 - \frac{121}{3721} = \frac{3721 - 121}{3721} = \frac{3600}{3721}\)
เคฆोเคจों เคชเค्เคทों เคा เคตเคฐ्เคเคฎूเคฒ เคฒेเคจे เคชเคฐ,
\(\cos \theta = \frac{60}{61}\).
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅฉ. (A) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐเคे เคชुเคจः เคฒिเคिเค (เคोเค เคเค) : (3 เค
ंเค)
(1)
เคจीเคे เคฆी เคเค เคเคृเคคि เคฎें, เคฐेเค XY \(\parallel\) เคญुเคा AC। เคฏเคฆि \(2AX = 3BX\) เคเคฐ \(XY = 9\), เคคो AC เคा เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเค।
เคृเคคि:
\(2AX = 3BX \implies \frac{AX}{BX} = \) \(\frac{3}{2}\)
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (เคฏोเคाเคจुเคชाเคค เคी เค्เคฐिเคฏा เคธे)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
เค เคฌ, \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (เคธเคฎเคฐूเคชเคคा เคी เคो-เคो เคเคธौเคी)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... (I) เคธे
\(\therefore AC =\) 22.5
\(\frac{AX + BX}{BX} = \frac{3+2}{2}\) ... (เคฏोเคाเคจुเคชाเคค เคी เค्เคฐिเคฏा เคธे)
\(\frac{\text{\class{input-box}{AB}}}{BX} = \frac{5}{2}\) ... (I)
เค เคฌ, \(\Delta BCA \sim \Delta BYX\) ... (เคธเคฎเคฐूเคชเคคा เคी เคो-เคो เคเคธौเคी)
\(\therefore \frac{BA}{BX} = \frac{AC}{XY}\)
\(\frac{\text{\class{input-box}{5}}}{\text{\class{input-box}{2}}} = \frac{AC}{9}\) ... (I) เคธे
\(\therefore AC =\) 22.5
(2)
เคธเคฎเคเคคुเคฐ्เคญुเค เคी เคญुเคाเคं เคे เคตเคฐ्เคों เคा เคฏोเคเคซเคฒ เคเคธเคे เคตिเคเคฐ्เคฃों เคे เคตเคฐ्เคों เคे เคฏोเคเคซเคฒ เคे เคฌเคฐाเคฌเคฐ เคนोเคคा เคนै, เคฏเคน เคธिเคฆ्เคง เคเคฐเคจे เคे เคฒिเค เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคृเคคि เคชूเคฐ्เคฃ เคीเคिเค।
เคृเคคि:
PQRS เคเค เคธเคฎเคเคคुเคฐ्เคญुเค เคนै। เคตिเคเคฐ्เคฃ เคชเคฐเคธ्เคชเคฐ เคฌिंเคฆु T เคชเคฐ เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆिเคค เคเคฐเคคे เคนैं।
\(\Delta PQS\) เคฎें, PT เคฎाเคง्เคฏिเคा เคนै। เค เคชोเคฒोเคจिเคฏเคธ เคे เคช्เคฐเคฎेเคฏाเคจुเคธाเคฐ:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
\(\Delta QRS\) เคฎें, RT เคฎाเคง्เคฏिเคा เคนै:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
(I) เคคเคฅा (II) เคो เคोเคก़เคจे เคชเคฐ:
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
เคूँเคि \(PT=RT\), เคคो \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (เคจोเค: \(2PT = PR\) เคเคฐ \(2QT = SQ\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)
\(\Delta PQS\) เคฎें, PT เคฎाเคง्เคฏिเคा เคนै। เค เคชोเคฒोเคจिเคฏเคธ เคे เคช्เคฐเคฎेเคฏाเคจुเคธाเคฐ:
\(PQ^2 + PS^2 =\) \(2PT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (I)
\(\Delta QRS\) เคฎें, RT เคฎाเคง्เคฏिเคा เคนै:
\(QR^2 + SR^2 =\) \(2RT^2\) \(+ 2QT^2\) ... (II)
(I) เคคเคฅा (II) เคो เคोเคก़เคจे เคชเคฐ:
\(PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = 2(PT^2 +\) \(RT^2\) \() + 4QT^2\)
เคूँเคि \(PT=RT\), เคคो \(2(PT^2+PT^2) = 4PT^2\).
\(= 4PT^2 + 4QT^2\)
\(= (\) \(2PT\) \()^2 + (2QT)^2\) (เคจोเค: \(2PT = PR\) เคเคฐ \(2QT = SQ\))
\(\therefore PQ^2+PS^2+QR^2+SR^2 = PR^2 +\) \(QS^2\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅฉ. (B) เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคเคช-เคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค (เคोเค เคฆो) : (6 เค
ंเค)
(1)
เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि, เคฌिंเคฆु P(1, –2), Q(5, 2), R(3, –1) เคเคฐ S(–1, –5) เคธเคฎांเคคเคฐ เคเคคुเคฐ्เคญुเค เคे เคถीเคฐ्เคทเคฌिंเคฆु เคนैं।
เคนเคฒ:
เคธเคฎांเคคเคฐ เคเคคुเคฐ्เคญुเค เคे เคตिเคเคฐ्เคฃ เคเค-เคฆूเคธเคฐे เคो เคธเคฎเคฆ्เคตिเคญाเคिเคค เคเคฐเคคे เคนैं। เคฏเคฆि เคตिเคเคฐ्เคฃों เคे เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु เคธเคฎाเคจ เคนों, เคคो เคตเคน เคธเคฎांเคคเคฐ เคเคคुเคฐ्เคญुเค เคนोเคคा เคนै।
เคตिเคเคฐ्เคฃ PR เคा เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\)।
เคตिเคเคฐ्เคฃ QS เคा เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\)।
เคฏเคนाँ เคฆोเคจों เคตिเคเคฐ्เคฃों เคा เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु เคธเคฎाเคจ เคนै।
\(\therefore \square PQRS\) เคเค เคธเคฎांเคคเคฐ เคเคคुเคฐ्เคญुเค เคนै।
เคตिเคเคฐ्เคฃ PR เคा เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु = \(\left(\frac{1+3}{2}, \frac{-2+(-1)}{2}\right) = (2, -1.5)\)।
เคตिเคเคฐ्เคฃ QS เคा เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु = \(\left(\frac{5+(-1)}{2}, \frac{2+(-5)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{-3}{2}\right) = (2, -1.5)\)।
เคฏเคนाँ เคฆोเคจों เคตिเคเคฐ्เคฃों เคा เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु เคธเคฎाเคจ เคนै।
\(\therefore \square PQRS\) เคเค เคธเคฎांเคคเคฐ เคเคคुเคฐ्เคญुเค เคนै।
(2)
เคธिเคฆ्เคง เคीเคिเค เคि, ‘‘เคตृเคค्เคค เคे เคฌाเคน्เคฏ เคญाเค เคฎें เคธ्เคฅिเคค เคฌिंเคฆु เคธे เคเคธ เคตृเคค्เคค เคชเคฐ เคींเคे เคเค เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคाเคंเคก เคธเคฐ्เคตांเคเคธเคฎ เคนोเคคे เคนैं।’’
เคเคชเคชเคค्เคคि:
เคฆเคค्เคค: เคेंเคฆ्เคฐ O เคตाเคฒे เคตृเคค्เคค เคे เคฌाเคน्เคฏ เคญाเค เคฎें เคฌिंเคฆु P เคนै। PA เคเคฐ PB เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคाเคंเคก เคนैं।
เคธाเคง्เคฏ: เคฐेเค PA \(\cong\) เคฐेเค PB।
เคฐเคเคจा: เคค्เคฐिเค्เคฏा OA เคเคฐ OB เคींเคिเค। เคฐेเค OP เคींเคिเค।
เคเคชเคชเคค्เคคि: \(\Delta OAP\) เคเคฐ \(\Delta OBP\) เคฎें,
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคा-เคค्เคฐिเค्เคฏा เคช्เคฐเคฎेเคฏ)
เคเคฐ्เคฃ OP \(\cong\) เคเคฐ्เคฃ OP (เคธाเคฎाเคจ्เคฏ เคญुเคा)
เคญुเคा OA \(\cong\) เคญुเคा OB (เคเค เคนी เคตृเคค्เคค เคी เคค्เคฐिเค्เคฏाเคँ)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (เคเคฐ्เคฃ-เคญुเคा เคเคธौเคी)
\(\therefore\) เคฐेเค PA \(\cong\) เคฐेเค PB (เคธเคฐ्เคตांเคเคธเคฎ เคค्เคฐिเคญुเคों เคी เคธंเคเคค เคญुเคाเคँ)
เคเคคि เคธिเคฆ्เคงเคฎ्।
เคธाเคง्เคฏ: เคฐेเค PA \(\cong\) เคฐेเค PB।
เคฐเคเคจा: เคค्เคฐिเค्เคฏा OA เคเคฐ OB เคींเคिเค। เคฐेเค OP เคींเคिเค।
เคเคชเคชเคค्เคคि: \(\Delta OAP\) เคเคฐ \(\Delta OBP\) เคฎें,
\(\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ\) (เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคा-เคค्เคฐिเค्เคฏा เคช्เคฐเคฎेเคฏ)
เคเคฐ्เคฃ OP \(\cong\) เคเคฐ्เคฃ OP (เคธाเคฎाเคจ्เคฏ เคญुเคा)
เคญुเคा OA \(\cong\) เคญुเคा OB (เคเค เคนी เคตृเคค्เคค เคी เคค्เคฐिเค्เคฏाเคँ)
\(\therefore \Delta OAP \cong \Delta OBP\) (เคเคฐ्เคฃ-เคญुเคा เคเคธौเคी)
\(\therefore\) เคฐेเค PA \(\cong\) เคฐेเค PB (เคธเคฐ्เคตांเคเคธเคฎ เคค्เคฐिเคญुเคों เคी เคธंเคเคค เคญुเคाเคँ)
เคเคคि เคธिเคฆ्เคงเคฎ्।
(3)
4.1 เคธेเคฎी เคค्เคฐिเค्เคฏा เคตाเคฒा เคเค เคตृเคค्เคค เคींเคिเค। เคตृเคค्เคค เคे เคेंเคฆ्เคฐ เคธे 7.3 เคธेเคฎी เคฆूเคฐ เคธ्เคฅिเคค เคฌिंเคฆु เคธे เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคा เคींเคिเค।
เคฐเคเคจा เคे เคธोเคชाเคจ:
1. เคेंเคฆ्เคฐ O เคฒेเคเคฐ 4.1 เคธेเคฎी เคค्เคฐिเค्เคฏा เคा เคตृเคค्เคค เคींเคिเค।
2. เคेंเคฆ्เคฐ O เคธे 7.3 เคธेเคฎी เคฆूเคฐी เคชเคฐ เคฌिंเคฆु P เคฒीเคिเค।
3. เคฐेเค OP เคा เคฒंเคฌเคธเคฎเคฆ्เคตिเคญाเคเค เคींเคिเค। เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु เคो M เคจाเคฎ เคฆें।
4. M เคो เคेंเคฆ्เคฐ เคเคฐ เคค्เคฐिเค्เคฏा OM เคฒेเคเคฐ เคाเคช เคींเคिเค เคो เคฎूเคฒ เคตृเคค्เคค เคो A เคเคฐ B เคฎें เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆिเคค เคเคฐें।
5. เคฐेเคा PA เคเคฐ PB เคींเคिเค। เคฏे เค เคญीเคท्เค เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคाเคँ เคนैं।
2. เคेंเคฆ्เคฐ O เคธे 7.3 เคธेเคฎी เคฆूเคฐी เคชเคฐ เคฌिंเคฆु P เคฒीเคिเค।
3. เคฐेเค OP เคा เคฒंเคฌเคธเคฎเคฆ्เคตिเคญाเคเค เคींเคिเค। เคฎเคง्เคฏเคฌिंเคฆु เคो M เคจाเคฎ เคฆें।
4. M เคो เคेंเคฆ्เคฐ เคเคฐ เคค्เคฐिเค्เคฏा OM เคฒेเคเคฐ เคाเคช เคींเคिเค เคो เคฎूเคฒ เคตृเคค्เคค เคो A เคเคฐ B เคฎें เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆिเคค เคเคฐें।
5. เคฐेเคा PA เคเคฐ PB เคींเคिเค। เคฏे เค เคญीเคท्เค เคธ्เคชเคฐ्เคถ เคฐेเคाเคँ เคนैं।
(4)
30 เคธेเคฎी เคค्เคฐिเค्เคฏा เคे เคเค เค ोเคธ เคोเคฒे เคो เคชिเคเคฒाเคเคฐ เคเคธเคธे 10 เคธेเคฎी เคค्เคฐिเค्เคฏा เคตाเคฒे เคคเคฅा 6 เคธेเคฎी เคँเคाเค เคตाเคฒे เค ोเคธ เคตृเคค्เคคाเคाเคฐ เคฌेเคฒเคจ เคฌเคจाเค เคเค เคคो เคเคธเคธे เคฌเคจे เคตृเคค्เคคाเคाเคฐ เคฌेเคฒเคจों เคी เคธंเค्เคฏा เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคฎाเคจा \(n\) เคฌेเคฒเคจ เคฌเคจेंเคे।
เคोเคฒे เคा เคเคจเคซเคฒ = \(n \times\) เคเค เคฌेเคฒเคจ เคा เคเคจเคซเคฒ
เคोเคฒा: \(R = 30\). เคฌेเคฒเคจ: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
เคเคค्เคคเคฐ: 60 เคฌेเคฒเคจ เคฌเคจेंเคे।
เคोเคฒे เคा เคเคจเคซเคฒ = \(n \times\) เคเค เคฌेเคฒเคจ เคा เคเคจเคซเคฒ
เคोเคฒा: \(R = 30\). เคฌेเคฒเคจ: \(r = 10, h = 6\).
\(\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \pi r^2 h\)
\(\frac{4}{3} (30)^3 = n (10)^2 (6)\)
\(\frac{4}{3} \times 27000 = n \times 100 \times 6\)
\(36000 = 600n\)
\(n = \frac{36000}{600} = 60\).
เคเคค्เคคเคฐ: 60 เคฌेเคฒเคจ เคฌเคจेंเคे।
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅช. เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค (เคोเค เคฆो) : (8 เค
ंเค)
(1)
เคจीเคे เคฆी เคเค เคเคृเคคि เคฎें \(DE \parallel BC\)। (i) เคฏเคฆि DE=4, BC=8, A(\(\Delta\)ADE)=25, เคคो A(\(\Delta\)ABC) เค्เคाเคค เคीเคिเค। (ii) เคฏเคฆि DE:BC = 3:5, เคคो A(\(\Delta\)ADE) : A(\(\square\)DBCE) เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
\(DE \parallel BC\) เคนोเคจे เคे เคाเคฐเคฃ, \(\Delta ADE \sim \Delta ABC\) (เคो-เคो เคเคธौเคी)।
(i) เคธเคฎเคฐूเคช เคค्เคฐिเคญुเคों เคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒों เคे เคช्เคฐเคฎेเคฏ เคธे:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी।
(ii) เคฏเคฆि \(DE:BC = 3:5\), เคคो เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒों เคा เค เคจुเคชाเคค = \(3^2:5^2 = 9:25\).
เคฎाเคจा \(A(\Delta ADE) = 9k\) เคเคฐ \(A(\Delta ABC) = 25k\).
\(\square DBCE\) เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
เค เคจुเคชाเคค \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).
(i) เคธเคฎเคฐूเคช เคค्เคฐिเคญुเคों เคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒों เคे เคช्เคฐเคฎेเคฏ เคธे:
\(\frac{A(\Delta ADE)}{A(\Delta ABC)} = \frac{DE^2}{BC^2} = (\frac{4}{8})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\)
\(\frac{25}{A(\Delta ABC)} = \frac{1}{4} \implies A(\Delta ABC) = 100\) เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी।
(ii) เคฏเคฆि \(DE:BC = 3:5\), เคคो เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒों เคा เค เคจुเคชाเคค = \(3^2:5^2 = 9:25\).
เคฎाเคจा \(A(\Delta ADE) = 9k\) เคเคฐ \(A(\Delta ABC) = 25k\).
\(\square DBCE\) เคा เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคฒ = \(A(\Delta ABC) - A(\Delta ADE) = 25k - 9k = 16k\).
เค เคจुเคชाเคค \(A(\Delta ADE) : A(\square DBCE) = 9k : 16k = 9:16\).
(2)
\(\Delta ABC \sim \Delta PQR\)। \(\Delta ABC\) เคฎें, \(AB=3.6, BC=4, AC=4.2\)। \(\Delta ABC\) เคเคฐ \(\Delta PQR\) เคी เคธंเคเคค เคญुเคाเคं เคा เค
เคจुเคชाเคค 2:3 เคนै, เคคो \(\Delta ABC\) เคเคฐ \(\Delta PQR\) เคी เคฐเคเคจा เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
เคฆिเคฏा เคเคฏा เคนै: \(\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AC}{PR} = \frac{2}{3}\)।
\(\Delta PQR\) เคी เคญुเคाเคं เคी เคเคฃเคจा:
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) เคธेเคฎी।
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) เคธेเคฎी।
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) เคธेเคฎी।
เคฐเคเคจा:
1. เคญुเคाเคँ 3.6, 4, 4.2 เคฒेเคเคฐ \(\Delta ABC\) เคฌเคจाเคเค।
2. เคญुเคाเคँ 5.4, 6, 6.3 เคฒेเคเคฐ \(\Delta PQR\) เคฌเคจाเคเค।
\(\Delta PQR\) เคी เคญुเคाเคं เคी เคเคฃเคจा:
\(PQ = \frac{3}{2} AB = 1.5 \times 3.6 = 5.4\) เคธेเคฎी।
\(QR = \frac{3}{2} BC = 1.5 \times 4 = 6.0\) เคธेเคฎी।
\(PR = \frac{3}{2} AC = 1.5 \times 4.2 = 6.3\) เคธेเคฎी।
เคฐเคเคจा:
1. เคญुเคाเคँ 3.6, 4, 4.2 เคฒेเคเคฐ \(\Delta ABC\) เคฌเคจाเคเค।
2. เคญुเคाเคँ 5.4, 6, 6.3 เคฒेเคเคฐ \(\Delta PQR\) เคฌเคจाเคเค।
(3)
เคถंเคु เคेเคฆ เคे เคตृเคค्เคคाเคाเคฐ เคญाเค เคी เคค्เคฐिเค्เคฏा เค्เคฐเคฎเคถः 14 เคธेเคฎी เคคเคฅा 8 เคธेเคฎी เคนै। เคฏเคฆि เคถंเคु เคेเคฆ เคी เคँเคाเค 8 เคธेเคฎी เคนो, เคคो เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคे เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคीเคिเค : (\(\pi = 3.14\)) (i) เคตเค्เคฐเคชृเคท्เค เคซเคฒ (ii) เคธंเคชूเคฐ्เคฃ เคชृเคท्เค เคซเคฒ (iii) เคเคจเคซเคฒ।
เคนเคฒ:
\(r_1 = 14, r_2 = 8, h = 8\).
เคคिเคฐเคी เคँเคाเค \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) เคธेเคฎी।
(i) เคตเค्เคฐเคชृเคท्เค เคซเคฒ = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी।
(ii) เคธंเคชूเคฐ्เคฃ เคชृเคท्เค เคซเคฒ = เคตเค्เคฐเคชृเคท्เค เคซเคฒ + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी।
(iii) เคเคจเคซเคฒ = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) เคเคจเคธेเคฎी।
เคคिเคฐเคी เคँเคाเค \(l = \sqrt{h^2 + (r_1-r_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = 10\) เคธेเคฎी।
(i) เคตเค्เคฐเคชृเคท्เค เคซเคฒ = \(\pi(r_1+r_2)l = 3.14(14+8)10 = 3.14(220) = 690.8\) เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी।
(ii) เคธंเคชूเคฐ्เคฃ เคชृเคท्เค เคซเคฒ = เคตเค्เคฐเคชृเคท्เค เคซเคฒ + \(\pi r_1^2 + \pi r_2^2\)
\(= 690.8 + 3.14(14^2) + 3.14(8^2)\)
\(= 690.8 + 3.14(196) + 3.14(64) = 690.8 + 615.44 + 200.96 = 1507.2\) เคตเคฐ्เคเคธेเคฎी।
(iii) เคเคจเคซเคฒ = \(\frac{1}{3} \pi h (r_1^2 + r_2^2 + r_1r_2)\)
\(= \frac{1}{3} (3.14)(8) (196 + 64 + 112)\)
\(= \frac{25.12}{3} (372) = 25.12 \times 124 = 3114.88\) เคเคจเคธेเคฎी।
เคช्เคฐเคถ्เคจ เฅซ. เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคนเคฒ เคीเคिเค (เคोเค เคเค) : (3 เค
ंเค)
(1)
ABCD เคเค เคเคฏเคค เคนै। เคฐेเค AD เคो เคต्เคฏाเคธ เคฎाเคจเคเคฐ เคตिเคเคฐ्เคฃ BD เคो เคฌिंเคฆु X เคฎें เคช्เคฐเคคिเค्เคेเคฆिเคค เคเคฐเคจे เคตाเคฒा เคเค เค
เคฐ्เคงเคตृเคค्เคค AXD เคฌเคจाเคฏा เคเคฏा। เคฏเคฆि AB = 12 เคธेเคฎी, AD = 9 เคธेเคฎी, เคคो BD เคเคฐ BX เคे เคฎाเคจ เค्เคाเคค เคीเคिเค।
เคนเคฒ:
\(\Delta DAB\) เคฎें, \(\angle A = 90^\circ\) (เคเคฏเคค เคा เคोเคฃ)।
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) เคธेเคฎी।
AD เค เคฐ्เคงเคตृเคค्เคค เคा เคต्เคฏाเคธ เคนै, เค เคคः \(\angle AXD = 90^\circ\) (เค เคฐ्เคงเคตृเคค्เคค เคा เคोเคฃ)।
เคเคธเคฒिเค, \(AX \perp BD\)।
เคธเคฎเคोเคฃ \(\Delta DAB\) เคฎें, เคฐेเค AX เคเคฐ्เคฃ เคชเคฐ เคกाเคฒा เคเคฏा เคฒंเคฌ เคนै।
เคญूเคฎिเคคीเคฏ เคฎाเคง्เคฏ เคे เคुเคฃเคงเคฐ्เคฎ เค เคจुเคธाเคฐ (เคฏा เคธเคฎเคฐूเคชเคคा เคธे): \(AB^2 = BX \times BD\)।
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) เคธेเคฎी।
เคเคค्เคคเคฐ: BD = 15 เคธेเคฎी, BX = 9.6 เคธेเคฎी।
\(BD = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15\) เคธेเคฎी।
AD เค เคฐ्เคงเคตृเคค्เคค เคा เคต्เคฏाเคธ เคนै, เค เคคः \(\angle AXD = 90^\circ\) (เค เคฐ्เคงเคตृเคค्เคค เคा เคोเคฃ)।
เคเคธเคฒिเค, \(AX \perp BD\)।
เคธเคฎเคोเคฃ \(\Delta DAB\) เคฎें, เคฐेเค AX เคเคฐ्เคฃ เคชเคฐ เคกाเคฒा เคเคฏा เคฒंเคฌ เคนै।
เคญूเคฎिเคคीเคฏ เคฎाเคง्เคฏ เคे เคुเคฃเคงเคฐ्เคฎ เค เคจुเคธाเคฐ (เคฏा เคธเคฎเคฐूเคชเคคा เคธे): \(AB^2 = BX \times BD\)।
\(12^2 = BX \times 15\)
\(144 = 15 BX\)
\(BX = \frac{144}{15} = 9.6\) เคธेเคฎी।
เคเคค्เคคเคฐ: BD = 15 เคธेเคฎी, BX = 9.6 เคธेเคฎी।
(2)
\(\theta = 30^\circ\) เคฒेเคเคฐ เคจिเคฎ्เคจเคฒिเคिเคค เคค्เคฐिเคोเคฃเคฎिเคคीเคฏ เคธเคฐ्เคตเคธเคฎिเคाเคं เคी เคाँเค เคीเคिเค : (i) \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), (ii) \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\), (iii) \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\)।
เคนเคฒ:
(i) \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = (\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\). เคธเคค्เคฏाเคชिเคค เคนुเค।
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). เคฌाเคฏाँ เคชเค्เคท = เคฆाเคฏाँ เคชเค्เคท। เคธเคค्เคฏाเคชिเคค เคนुเค।
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). เคฌाเคฏाँ เคชเค्เคท = เคฆाเคฏाँ เคชเค्เคท। เคธเคค्เคฏाเคชिเคค เคนुเค।
(ii) \(1 + \tan^2 30^\circ = 1 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\).
\(\sec^2 30^\circ = (\frac{2}{\sqrt{3}})^2 = \frac{4}{3}\). เคฌाเคฏाँ เคชเค्เคท = เคฆाเคฏाँ เคชเค्เคท। เคธเคค्เคฏाเคชिเคค เคนुเค।
(iii) \(1 + \cot^2 30^\circ = 1 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\).
\(\text{cosec}^2 30^\circ = (2)^2 = 4\). เคฌाเคฏाँ เคชเค्เคท = เคฆाเคฏाँ เคชเค्เคท। เคธเคค्เคฏाเคชिเคค เคนुเค।
No comments:
Post a Comment