प्रश्न 1. (A) दिलेल्या पर्यायांपैकी योग्य पर्याय निवडा : (4 गुण)
(i) \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) या वर्गसमीकरणाचे एक मूळ 3 आहे, तर \(k =\) ___
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
उकल:
\(kx^2 - 7x + 12 = 0\) या समीकरणात \(x = 3\) ठेवू.
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
उत्तर: (A) 1
\(kx^2 - 7x + 12 = 0\) या समीकरणात \(x = 3\) ठेवू.
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
उत्तर: (A) 1
(ii) \(x + 2y = 4\) चा आलेख काढण्यासाठी \(y = 1\) असतांना \(x\) ची किंमत किती ?
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
उकल:
\(x + 2y = 4\) या समीकरणात \(y = 1\) ठेवू.
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
उत्तर: (B) 2
\(x + 2y = 4\) या समीकरणात \(y = 1\) ठेवू.
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
उत्तर: (B) 2
(iii) दिलेल्या अंकगणिती श्रेढीचे \(t_7 = 4\) व \(d = -4\), तर \(a =\) ___
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
उकल:
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
उत्तर: (D) 28
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
उत्तर: (D) 28
(iv) GSTIN मध्ये एकूण ___ अंकाक्षरे असतात.
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
उकल:
GSTIN (वस्तू व सेवा कर ओळख क्रमांक) हा 15 अंकी असतो.
उत्तर: (C) 15
GSTIN (वस्तू व सेवा कर ओळख क्रमांक) हा 15 अंकी असतो.
उत्तर: (C) 15
प्रश्न 1. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (4 गुण)
(i) जर \(17x + 15y = 11\) आणि \(15x + 17y = 21\), तर \(x - y\) ची किंमत काढा.
उकल:
समजा \(17x + 15y = 11\) ... (I)
समजा \(15x + 17y = 21\) ... (II)
समीकरण (I) मधून (II) वजा करू:
\(2x - 2y = -10\)
दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
समजा \(17x + 15y = 11\) ... (I)
समजा \(15x + 17y = 21\) ... (II)
समीकरण (I) मधून (II) वजा करू:
\(2x - 2y = -10\)
दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
(ii) \(t_n = 3n - 2\) या क्रमिकेचे पहिले पद काढा.
उकल:
पहिले पद काढण्यासाठी \(n = 1\) ठेवू.
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
पहिले पद काढण्यासाठी \(n = 1\) ठेवू.
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
(iii) 100 रुपये दर्शनी किंमतीच्या शेअरचा बाजारभाव 150 रुपये आहे. जर दलालीचा दर 2% असेल, तर एका शेअरच्या दलालीची रक्कम काढा.
उकल:
दलाली ही बाजारभावावर (MV) काढली जाते.
दलाली = दलालीचा दर \(\times\) बाजारभाव
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
दलाली ही बाजारभावावर (MV) काढली जाते.
दलाली = दलालीचा दर \(\times\) बाजारभाव
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
(iv) 2, 3, 5 या अंकांची पुनरावृत्ती न करता दोन अंकी संख्या तयार करण्याचा नमुना अवकाश लिहा.
उकल:
अंक: 2, 3, 5.
नमुना अवकाश \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
अंक: 2, 3, 5.
नमुना अवकाश \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
SSC Mathematics
Maths March 2025 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
Maths July 2025 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
Maths March 2024 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
Maths July 2024 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
प्रश्न 2. (A) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती पूर्ण करून लिहा : (4 गुण)
(i) जर (0, 2) ही \(2x + 3y = k\) या समीकरणाची उकल असेल, तर \(k\) ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा :
(0, 2) ही \(2x + 3y = k\) या समीकरणाची उकल आहे.
\(x = \Box\) आणि \(y = \Box\) या किंमती दिलेल्या समीकरणात ठेवून.
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
(0, 2) ही \(2x + 3y = k\) या समीकरणाची उकल आहे.
\(x = \Box\) आणि \(y = \Box\) या किंमती दिलेल्या समीकरणात ठेवून.
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
उत्तर:
\(x = \class{box}{0}\) आणि \(y = \class{box}{2}\) या किंमती दिलेल्या समीकरणात ठेवून.
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
\(x = \class{box}{0}\) आणि \(y = \class{box}{2}\) या किंमती दिलेल्या समीकरणात ठेवून.
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
(ii) जर 2 आणि 5 ही वर्गसमीकरणाची मुळे आहेत, तर वर्गसमीकरण तयार करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा :
समजा \(\alpha = 2\) आणि \(\beta = 5\) ही वर्गसमीकरणाची मुळे आहेत.
मिळणारे वर्गसमीकरण;
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
समजा \(\alpha = 2\) आणि \(\beta = 5\) ही वर्गसमीकरणाची मुळे आहेत.
मिळणारे वर्गसमीकरण;
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
उत्तर:
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
(iii) दोन नाणी एकाच वेळी फेकणे. या प्रयोगाचा नमुना अवकाश व घटना A व B संच स्वरूपात लिहिण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा :
दोन नाणी एकाच वेळी फेकली असतांना नमुना अवकाश 'S' आहे.
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
घटना A : कमीत कमी एक छाप मिळणे.
\(A = \{ \text{HT, TH,} \Box \}\)
घटना B : एकही छाप न मिळणे.
\(B = \{ \Box \}\)
दोन नाणी एकाच वेळी फेकली असतांना नमुना अवकाश 'S' आहे.
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
घटना A : कमीत कमी एक छाप मिळणे.
\(A = \{ \text{HT, TH,} \Box \}\)
घटना B : एकही छाप न मिळणे.
\(B = \{ \Box \}\)
उत्तर:
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
घटना A : \(A = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}} \}\)
घटना B : \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
घटना A : \(A = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}} \}\)
घटना B : \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
प्रश्न 2. (B) खालीलपैकी कोणतेही चार उपप्रश्न सोडवा : (8 गुण)
(i) ABCD आयत आहे. आकृतीत दिलेल्या माहितीचा उपयोग करून \(ax+by=c\) स्वरूपात एकसामयिक समीकरणे तयार करा :
[आकृती वर्णन: आयत ABCD. बाजू AB = \(2x + y + 8\), बाजू CD = \(4x - y\), बाजू AD = \(2y\), बाजू BC = \(x + 4\)]
[आकृती वर्णन: आयत ABCD. बाजू AB = \(2x + y + 8\), बाजू CD = \(4x - y\), बाजू AD = \(2y\), बाजू BC = \(x + 4\)]
उकल:
आयताच्या संमुख बाजू एकरूप असतात.
अट 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 ने भागून:
\(x - y = 4\) ... (I)
अट 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II) (किंवा \(x - 2y = -4\))
मिळालेली एकसामयिक समीकरणे:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
आयताच्या संमुख बाजू एकरूप असतात.
अट 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 ने भागून:
\(x - y = 4\) ... (I)
अट 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II) (किंवा \(x - 2y = -4\))
मिळालेली एकसामयिक समीकरणे:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
(ii) खालील वर्गसमीकरण अवयव पद्धतीने सोडवा : \(x^2 + x - 20 = 0\)
उकल:
\(x^2 + x - 20 = 0\)
मधल्या पदाची फोड करू (बेरीज = +1, गुणाकार = -20). अवयव +5 आणि -4 आहेत.
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) किंवा \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) किंवा \(\mathbf{x = 4}\)
\(x^2 + x - 20 = 0\)
मधल्या पदाची फोड करू (बेरीज = +1, गुणाकार = -20). अवयव +5 आणि -4 आहेत.
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) किंवा \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) किंवा \(\mathbf{x = 4}\)
(iii) खालील अंकगणिती श्रेढीचे 19 वे पद काढा : 7, 13, 19, 25, ...
उकल:
येथे, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
येथे, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
सूत्र: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
(iv) योग्य रीतीने पिसलेल्या 52 पत्त्यांच्या कॅटमधून एक पत्ता काढला असता. तो पत्ता चित्रयुक्त असणे या घटनेची संभाव्यता काढा.
उकल:
एकूण नमुना अवकाश \(n(S) = 52\).
समजा A ही घटना 'काढलेला पत्ता चित्रयुक्त असणे' ही आहे.
चित्रयुक्त पत्ते (Face cards) गुलाम (Jack), राणी (Queen), आणि राजा (King) प्रत्येक प्रकारात असतात.
एकूण चित्रयुक्त पत्ते \(n(A) = 3 \times 4 = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
एकूण नमुना अवकाश \(n(S) = 52\).
समजा A ही घटना 'काढलेला पत्ता चित्रयुक्त असणे' ही आहे.
चित्रयुक्त पत्ते (Face cards) गुलाम (Jack), राणी (Queen), आणि राजा (King) प्रत्येक प्रकारात असतात.
एकूण चित्रयुक्त पत्ते \(n(A) = 3 \times 4 = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
(v) खालील सारणीत एका सॉफ्टवेअर कंपनीतील दैनंदिन कामाचे तास व तेवढा वेळ काम करणाऱ्या कर्मचाऱ्यांची संख्या दिली आहे. त्यावरून 'वरच्या वर्गमर्यादेपेक्षा कमी' संचित वारंवारता वितरण सारणी तयार करा :
| दैनंदिन कामाचे तास | कर्मचाऱ्यांची संख्या |
|---|---|
| 8-10 | 150 |
| 10-12 | 500 |
| 12-14 | 300 |
| 14-16 | 50 |
उकल:
| वर्ग (तास) | वारंवारता (कर्मचाऱ्यांची संख्या) | 'पेक्षा कमी' संचित वारंवारता |
|---|---|---|
| 8-10 | 150 | 150 |
| 10-12 | 500 | 150 + 500 = 650 |
| 12-14 | 300 | 650 + 300 = 950 |
| 14-16 | 50 | 950 + 50 = 1000 |
प्रश्न 3. (A) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करून लिहा : (3 गुण)
(i) खालील वारंवारता वितरण सारणीत एका पेट्रोलपंपावर पेट्रोल भरणाऱ्या वाहनांची संख्या आणि वाहनांमध्ये भरलेले पेट्रोल याची माहिती दिली आहे. त्यावरून वाहनात भरलेल्या पेट्रोलच्या आकारमानाचे बहुलक काढण्याची कृती पूर्ण करा :
[सारणीत बहुलकीय वर्ग 3.5-6.5 असून वारंवारता 40 आहे. आधीची वारंवारता 33, नंतरची वारंवारता 27]
कृती:
दिलेल्या सारणीवरून, बहुलकीय वर्ग = 3.5-6.5 आहे.
बहुलक \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
बहुलक \( = \Box\)
वाहनात भरलेल्या पेट्रोलच्या आकारमानाचा बहुलक \(\Box\) आहे.
[सारणीत बहुलकीय वर्ग 3.5-6.5 असून वारंवारता 40 आहे. आधीची वारंवारता 33, नंतरची वारंवारता 27]
कृती:
दिलेल्या सारणीवरून, बहुलकीय वर्ग = 3.5-6.5 आहे.
बहुलक \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
बहुलक \( = \Box\)
वाहनात भरलेल्या पेट्रोलच्या आकारमानाचा बहुलक \(\Box\) आहे.
उत्तर:
बहुलक \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
बहुलक \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
बहुलक \( = 3.5 + 1.05\)
बहुलक \( = \class{box}{4.55}\)
वाहनात भरलेल्या पेट्रोलच्या आकारमानाचा बहुलक 4.55 लीटर आहे.
बहुलक \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
बहुलक \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
बहुलक \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
बहुलक \( = 3.5 + 1.05\)
बहुलक \( = \class{box}{4.55}\)
वाहनात भरलेल्या पेट्रोलच्या आकारमानाचा बहुलक 4.55 लीटर आहे.
(ii) खेळण्यातील एका रिमोट कन्ट्रोल कारची जीएसटी करासह एकूण किंमत 2360 रुपये आहे. जीएसटीचा दर 18% आहे. तर त्या कारची करपात्र किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा :
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
कारची करपात्र किंमत \(\Box\) रुपये आहे.
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
कारची करपात्र किंमत \(\Box\) रुपये आहे.
उत्तर:
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
कारची करपात्र किंमत \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) रुपये आहे.
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
कारची करपात्र किंमत \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) रुपये आहे.
प्रश्न 3. (B) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (6 गुण)
(i) सूत्राचा उपयोग करून खालील वर्गसमीकरण सोडवा : \(3m^2 - m - 10 = 0\)
उकल:
\(3m^2 - m - 10 = 0\) ची तुलना \(am^2 + bm + c = 0\) शी करून.
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
सूत्र: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
पहिली शक्यता: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
दुसरी शक्यता: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
\(3m^2 - m - 10 = 0\) ची तुलना \(am^2 + bm + c = 0\) शी करून.
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
सूत्र: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
पहिली शक्यता: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
दुसरी शक्यता: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
(ii) खालील एकसामयिक समीकरणे क्रेमरच्या पद्धतीने सोडवा : \(3x - 4y = 10\), \(4x + 3y = 5\)
उकल:
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
क्रेमरच्या पद्धतीनुसार:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
उकल: \((x, y) = (2, -1)\)
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
क्रेमरच्या पद्धतीनुसार:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
उकल: \((x, y) = (2, -1)\)
(iii) 10 रुपये दर्शनी किंमतीचे 50 शेअर्स 25 रुपये बाजारभावाने विकत घेतले. त्यांवर कंपनीने 30% लाभांश घोषित केला, तर : (1) एकूण गुंतवणूक किती ? (2) मिळालेला लाभांश किती ? (3) गुंतवणुकीवरील परताव्याचा दर काढा.
उकल:
दिलेली माहिती: शेअर्सची संख्या = 50, दर्शनी किंमत (FV) = \(\text{₹} 10\), बाजारभाव (MV) = \(\text{₹} 25\), लाभांश दर = 30%.
(1) एकूण गुंतवणूक:
एकूण गुंतवणूक = शेअर्सची संख्या \(\times\) बाजारभाव
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) मिळालेला लाभांश:
एका शेअरवरील लाभांश = दर \(\times\) दर्शनी किंमत = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
एकूण लाभांश = एका शेअरवरील लाभांश \(\times\) शेअर्सची संख्या
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) परताव्याचा दर (RoR):
RoR = \(\frac{\text{एकूण लाभांश}}{\text{एकूण गुंतवणूक}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
दिलेली माहिती: शेअर्सची संख्या = 50, दर्शनी किंमत (FV) = \(\text{₹} 10\), बाजारभाव (MV) = \(\text{₹} 25\), लाभांश दर = 30%.
(1) एकूण गुंतवणूक:
एकूण गुंतवणूक = शेअर्सची संख्या \(\times\) बाजारभाव
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) मिळालेला लाभांश:
एका शेअरवरील लाभांश = दर \(\times\) दर्शनी किंमत = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
एकूण लाभांश = एका शेअरवरील लाभांश \(\times\) शेअर्सची संख्या
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) परताव्याचा दर (RoR):
RoR = \(\frac{\text{एकूण लाभांश}}{\text{एकूण गुंतवणूक}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
(iv) एक नाणे व एक फासा एकाच वेळी फेकले असता. खालील घटनांची संभाव्यता काढा :
घटना A : छाप व मूळ संख्या मिळणे अशी आहे.
घटना B : काटा व विषम संख्या मिळणे अशी आहे.
घटना A : छाप व मूळ संख्या मिळणे अशी आहे.
घटना B : काटा व विषम संख्या मिळणे अशी आहे.
उकल:
नमुना अवकाश \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
घटना A : छाप आणि मूळ संख्या
फाश्यावरील मूळ संख्या: 2, 3, 5.
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
घटना B : काटा आणि विषम संख्या
फाश्यावरील विषम संख्या: 1, 3, 5.
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
नमुना अवकाश \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
घटना A : छाप आणि मूळ संख्या
फाश्यावरील मूळ संख्या: 2, 3, 5.
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
घटना B : काटा आणि विषम संख्या
फाश्यावरील विषम संख्या: 1, 3, 5.
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
प्रश्न 4. खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (8 गुण)
(i) एक टाकी दोन नळाच्या साहाय्याने 6 तासात पूर्ण भरते. ती टाकी भरण्यास लहान नळाला मोठ्या नळापेक्षा 5 तास जास्त लागतात तर प्रत्येक नळाने ती टाकी भरण्यास किती वेळ लागेल ?
उकल:
समजा मोठ्या नळाला टाकी भरण्यासाठी \(x\) तास लागतात.
त्यामुळे लहान नळाला \((x + 5)\) तास लागतील.
1 तासात, मोठा नळ \(\frac{1}{x}\) भाग भरतो.
1 तासात, लहान नळ \(\frac{1}{x+5}\) भाग भरतो.
दोन्ही मिळून टाकी 6 तासात भरतात, म्हणून 1 तासात ते \(\frac{1}{6}\) भाग भरतात.
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 चे अवयव ज्यांची बेरीज -7 आहे, ते -10 आणि +3 आहेत.
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) किंवा \(x = -3\)
वेळ ऋण असू शकत नाही, म्हणून \(x = 10\).
मोठ्या नळाला लागणारा वेळ = \(\mathbf{10 \text{ तास}}\).
लहान नळाला लागणारा वेळ = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ तास}}\).
समजा मोठ्या नळाला टाकी भरण्यासाठी \(x\) तास लागतात.
त्यामुळे लहान नळाला \((x + 5)\) तास लागतील.
1 तासात, मोठा नळ \(\frac{1}{x}\) भाग भरतो.
1 तासात, लहान नळ \(\frac{1}{x+5}\) भाग भरतो.
दोन्ही मिळून टाकी 6 तासात भरतात, म्हणून 1 तासात ते \(\frac{1}{6}\) भाग भरतात.
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 चे अवयव ज्यांची बेरीज -7 आहे, ते -10 आणि +3 आहेत.
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) किंवा \(x = -3\)
वेळ ऋण असू शकत नाही, म्हणून \(x = 10\).
मोठ्या नळाला लागणारा वेळ = \(\mathbf{10 \text{ तास}}\).
लहान नळाला लागणारा वेळ = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ तास}}\).
(ii) एका परीक्षेच्या निकालाच्या टक्केवारीचे वर्ग आणि त्या वर्गात असणारी विद्यार्थी संख्या खालील सारणीत दिली आहे. या सारणीवरून आयतालेख न काढता वारंवारता बहुभुज काढा :
| निकाल (टक्के) | विद्यार्थी संख्या |
|---|---|
| 20-40 | 25 |
| 40-60 | 65 |
| 60-80 | 80 |
| 80-100 | 15 |
उकल:
वारंवारता बहुभुज काढण्यासाठी, आपल्याला वर्गमध्य काढावे लागतील. तसेच सुरुवातीला आणि शेवटी शून्य वारंवारता असलेले वर्ग घ्यावे लागतील.
(टीप: हे बिंदू आलेख कागदावर स्थापन करून त्यांना क्रमाने जोडून वारंवारता बहुभुज काढा.)
वारंवारता बहुभुज काढण्यासाठी, आपल्याला वर्गमध्य काढावे लागतील. तसेच सुरुवातीला आणि शेवटी शून्य वारंवारता असलेले वर्ग घ्यावे लागतील.
| वर्ग | वर्गमध्य (x) | वारंवारता (y) | बिंदूचे निर्देशक (x, y) |
|---|---|---|---|
| 0-20 | 10 | 0 | (10, 0) |
| 20-40 | 30 | 25 | (30, 25) |
| 40-60 | 50 | 65 | (50, 65) |
| 60-80 | 70 | 80 | (70, 80) |
| 80-100 | 90 | 15 | (90, 15) |
| 100-120 | 110 | 0 | (110, 0) |
(iii) कविताने एका महिला बचत गटात महिन्याच्या पहिल्या दिवशी 20 रुपये, दुसऱ्या दिवशी 40 रुपये व तिसऱ्या दिवशी 60 रुपये अशा प्रकारे पैसे गुंतविल्यास तिची फेब्रुवारी 2020 या महिन्याची एकूण बचत किती ?
उकल:
बचत: 20, 40, 60, ...
ही एक अंकगणिती श्रेढी (A.P.) आहे, येथे \(a = 20\), \(d = 20\).
फेब्रुवारी 2020 हे लीप वर्ष आहे, म्हणून त्यात 29 दिवस असतात. म्हणून, \(n = 29\).
आपल्याला एकूण बचत \(S_n\) काढायची आहे.
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[600]\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{फेब्रुवारी 2020 मधील एकूण बचत = \text{₹} 8700}}\)
बचत: 20, 40, 60, ...
ही एक अंकगणिती श्रेढी (A.P.) आहे, येथे \(a = 20\), \(d = 20\).
फेब्रुवारी 2020 हे लीप वर्ष आहे, म्हणून त्यात 29 दिवस असतात. म्हणून, \(n = 29\).
आपल्याला एकूण बचत \(S_n\) काढायची आहे.
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[600]\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{फेब्रुवारी 2020 मधील एकूण बचत = \text{₹} 8700}}\)
प्रश्न 5. खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा : (3 गुण)
(i) शाळेच्या प्रशासनाने एका वर्षी विविध खेळावर खर्च केलेली रक्कम वृत्तालेखात दाखवली आहे. क्रिकेट \(160^\circ\), कबड्डी \(55^\circ\), फुटबॉल \(45^\circ\), हॉकी \(100^\circ\). जर फुटबॉलवर खर्च केलेली रक्कम 9,000 रुपये असेल, तर पुढील प्रश्नांची उत्तरे लिहा :
(a) खेळावर एकूण किती रक्कम खर्च केली ?
(b) क्रिकेटवर किती रक्कम खर्च केली ?
(a) खेळावर एकूण किती रक्कम खर्च केली ?
(b) क्रिकेटवर किती रक्कम खर्च केली ?
उकल:
(a) खेळावर खर्च केलेली एकूण रक्कम:
समजा एकूण रक्कम \(x\) आहे.
फुटबॉलसाठी केंद्रीय कोन = \(45^\circ\). रक्कम = \(\text{₹} 9000\).
सूत्र: \(\text{केंद्रीय कोन} = \frac{\text{घटकाची किंमत}}{\text{एकूण किंमत}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{एकूण रक्कम = \text{₹} 72,000}}\)
(b) क्रिकेटवर खर्च केलेली रक्कम:
क्रिकेटसाठी कोन = \(160^\circ\).
रक्कम = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(a) खेळावर खर्च केलेली एकूण रक्कम:
समजा एकूण रक्कम \(x\) आहे.
फुटबॉलसाठी केंद्रीय कोन = \(45^\circ\). रक्कम = \(\text{₹} 9000\).
सूत्र: \(\text{केंद्रीय कोन} = \frac{\text{घटकाची किंमत}}{\text{एकूण किंमत}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{एकूण रक्कम = \text{₹} 72,000}}\)
(b) क्रिकेटवर खर्च केलेली रक्कम:
क्रिकेटसाठी कोन = \(160^\circ\).
रक्कम = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(ii) \(x + y = 4\) या समीकरणाचा आलेख काढा व खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा :
(a) रेषेने X व Y अक्षांशी तयार केलेल्या त्रिकोणाचा बाजूवरून प्रकार लिहा.
(b) त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
(a) रेषेने X व Y अक्षांशी तयार केलेल्या त्रिकोणाचा बाजूवरून प्रकार लिहा.
(b) त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.
उकल:
समीकरण: \(x + y = 4\)
अक्षद बिंदू: जेव्हा \(x=0, y=4\) (बिंदू A: 0, 4). जेव्हा \(y=0, x=4\) (बिंदू B: 4, 0). आरंभबिंदू O (0,0) आहे.
(a) त्रिकोणाचा प्रकार:
तयार झालेला त्रिकोण \(\Delta OAB\) आहे.
बाजू OA = 4 एकक. बाजू OB = 4 एकक.
दोन बाजू समान आहेत आणि अक्षांमधील कोन \(90^\circ\) आहे, म्हणून हा समद्विभुज काटकोन त्रिकोण आहे.
(b) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ:
क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची}\)
क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
क्षेत्रफळ = \(\mathbf{8 \text{ चौरस एकक}}\)
समीकरण: \(x + y = 4\)
अक्षद बिंदू: जेव्हा \(x=0, y=4\) (बिंदू A: 0, 4). जेव्हा \(y=0, x=4\) (बिंदू B: 4, 0). आरंभबिंदू O (0,0) आहे.
(a) त्रिकोणाचा प्रकार:
तयार झालेला त्रिकोण \(\Delta OAB\) आहे.
बाजू OA = 4 एकक. बाजू OB = 4 एकक.
दोन बाजू समान आहेत आणि अक्षांमधील कोन \(90^\circ\) आहे, म्हणून हा समद्विभुज काटकोन त्रिकोण आहे.
(b) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ:
क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} \times \text{पाया} \times \text{उंची}\)
क्षेत्रफळ = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
क्षेत्रफळ = \(\mathbf{8 \text{ चौरस एकक}}\)
No comments:
Post a Comment