प्रश्न १. (A) निम्नलिखित प्रत्येक उपप्रश्न के लिए चार विकल्प दिए गए हैं। इनमें से सही विकल्प चुनकर उत्तर लिखिए। (४ अंक)
(i) \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \). इस निश्चयका का घात लिखिए।
- (A) 1
- (B) 2
- (C) 3
- (D) 4
उत्तर:
(B) 2
(B) 2
स्पष्टीकरण: निश्चयका की कोटि (order) \(2 \times 2\) है।
(ii) निम्नलिखित में से कौनसा समीकरण वर्गसमीकरण है ?
- (A) \( \frac{5}{x} - 3 = x^2 \)
- (B) \( x(x+5) = 2 \)
- (C) \( n - 1 = 2n \)
- (D) \( \frac{1}{x^2}(x+2) = x \)
उत्तर:
(B) \( x(x+5) = 2 \)
स्पष्टीकरण: \( x(x+5) = 2 \Rightarrow x^2 + 5x - 2 = 0 \)। यह समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में है और \(a \neq 0\)।
(B) \( x(x+5) = 2 \)
स्पष्टीकरण: \( x(x+5) = 2 \Rightarrow x^2 + 5x - 2 = 0 \)। यह समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में है और \(a \neq 0\)।
(iii) 4, 4, 4, ... इस अंकगणितीय शृंखला का सामान्य अंतर ................ है।
- (A) 1
- (B) 8
- (C) 4
- (D) 0
उत्तर:
(D) 0
स्पष्टीकरण: \( d = t_{2} - t_{1} = 4 - 4 = 0 \)।
(D) 0
स्पष्टीकरण: \( d = t_{2} - t_{1} = 4 - 4 = 0 \)।
(iv) निम्नलिखित विकल्पों में से कौनसी संभाव्यता नहीं हो सकती ?
- (A) \( \frac{2}{3} \)
- (B) \( \frac{15}{10} \)
- (C) 15%
- (D) 0.7
उत्तर:
(B) \( \frac{15}{10} \)
स्पष्टीकरण: संभाव्यता कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकती। \( \frac{15}{10} = 1.5 > 1 \)।
(B) \( \frac{15}{10} \)
स्पष्टीकरण: संभाव्यता कभी भी 1 से अधिक नहीं हो सकती। \( \frac{15}{10} = 1.5 > 1 \)।
प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए : (४ अंक)
(i) यदि \( 2x + y = 7 \) तथा \( x + 2y = 11 \) हो, तो \( x + y \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
$$ 2x + y = 7 \quad \text{...(I)} $$
$$ x + 2y = 11 \quad \text{...(II)} $$
समीकरण (I) और (II) को जोड़ने पर:
$$ (2x + x) + (y + 2y) = 7 + 11 $$
$$ 3x + 3y = 18 $$
दोनों पक्षों को 3 से भाग देने पर:
$$ x + y = 6 $$
(ii) \( t_n = 3n - 4 \) इस शृंखला का पहला पद ज्ञात कीजिये।
हल:
दिए गए सूत्र में \( n = 1 \) रखने पर:
$$ t_1 = 3(1) - 4 $$
$$ t_1 = 3 - 4 $$
$$ t_1 = -1 $$
शृंखला का पहला पद -1 है।
(iii) GSTIN में कुल कितने अंकाक्षर होते हैं ?
उत्तर:
GSTIN में कुल 15 अंकाक्षर (Alpha-numerals) होते हैं।
(iv) दो सिक्के एक साथ उछालने पर नमूना अवकाश 'S' लिखिए।
उत्तर:
नमूना अवकाश \( S = \{ HH, HT, TH, TT \} \)।
प्रश्न २. (A) निम्नलिखित में से कोई दो कृति पूर्ण कीजिये : (४ अंक)
(i) \( x + 2y = 4 \) इस समीकरण का आलेख खींचने के लिए निम्न सारणी पूर्ण कीजिए।
हल:
स्पष्टीकरण:
जब \( x = -2 \): \( -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \)।
जब \( y = 1 \): \( x + 2(1) = 4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2 \)।
| x | -2 | 2 |
|---|---|---|
| y | 3 | 1 |
| (x, y) | (-2, 3) | (2, 1) |
जब \( x = -2 \): \( -2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3 \)।
जब \( y = 1 \): \( x + 2(1) = 4 \Rightarrow x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2 \)।
(ii) वर्गसमीकरण तैयार करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए।
हल:
कृति:
मैं एक वर्गसमीकरण हूँ।
मेरा मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) है।
मेरे मूल 5 तथा 12 हैं।
मेरे मूलों का योगफल \( 5 + 12 = 17 \)
मेरे मूलों का गुणनफल \( 5 \times 12 = 60 \)
मैं यह वर्गसमीकरण हूँ \( x^2 - 17x + 60 = 0 \)।
(iii) पुष्पमाला ने 20 रुपये अंकित मूल्य वाले शेयर्स और 4 रुपये अधिमूल्य पर 24,000 रुपये निवेश कर खरीदे तो उसे कितने शेयर्स मिलेंगे, यह कृति पूर्ण कीजिए।
हल:
अंकित मूल्य (FV) = ₹ 20
अधिमूल्य (Premium) = ₹ 4
बाजार मूल्य (MV) = अंकित मूल्य + अधिमूल्य
= 20 + 4
= ₹ 24
शेयर्स की संख्या = \( \frac{\text{कुल निवेश}}{\text{बाजार मूल्य}} \)
= \( \frac{24,000}{\fbox{24}} \)
= 1000 शेयर्स।
प्रश्न २. (B) निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई चार उपप्रश्न हल कीजिए : (८ अंक)
(i) निम्नलिखित युगपत समीकरण हल कीजिए : \( x + y = 3; \quad 3x - 2y = 4 \)
हल:
$$ x + y = 3 \quad \text{...(I)} $$
$$ 3x - 2y = 4 \quad \text{...(II)} $$
समीकरण (I) को 2 से गुणा करें:
$$ 2x + 2y = 6 \quad \text{...(III)} $$
समीकरण (II) और (III) को जोड़ें:
$$ 3x - 2y + 2x + 2y = 4 + 6 $$
$$ 5x = 10 \Rightarrow x = 2 $$
\( x = 2 \) का मान समीकरण (I) में रखने पर:
$$ 2 + y = 3 \Rightarrow y = 1 $$
हल: \( (x, y) = (2, 1) \)
(ii) निम्नलिखित वर्गसमीकरण गुणनखंड विधि से हल कीजिये : \( m^2 + 14m + 13 = 0 \)
हल:
$$ m^2 + 14m + 13 = 0 $$
मध्य पद को विभाजित करें (गुणनफल 13 और योग 14):
$$ m^2 + 13m + 1m + 13 = 0 $$
$$ m(m + 13) + 1(m + 13) = 0 $$
$$ (m + 13)(m + 1) = 0 $$
$$ m + 13 = 0 \text{ या } m + 1 = 0 $$
\( m = -13 \text{ या } m = -1 \)
(iii) निम्नलिखित अंकगणितीय शृंखला का 19वाँ पद ज्ञात कीजिए : 7, 13, 19, 25, ...
हल:
यहाँ, \( a = 7 \), \( d = 13 - 7 = 6 \)।
सूत्र: \( t_n = a + (n-1)d \)
\( n = 19 \) के लिए:
$$ t_{19} = 7 + (19 - 1)6 $$
$$ t_{19} = 7 + 18 \times 6 $$
$$ t_{19} = 7 + 108 $$
$$ t_{19} = 115 $$
19वाँ पद 115 है।
(iv) एक शेयर 2,000 रुपये बाजार मूल्य से बेचा गया। इस पर 0.5% दलाली दी गई हो, तो शेयर की बिक्री के बाद प्राप्त रकम ज्ञात कीजिए।
हल:
बाजार मूल्य (MV) = ₹ 2000, दलाली की दर = 0.5%
$$ \text{दलाली} = \text{MV} \times \frac{0.5}{100} $$
$$ = 2000 \times \frac{5}{1000} = 2 \times 5 = \text{₹ } 10 $$
$$ \text{प्राप्त रकम} = \text{MV} - \text{दलाली} $$
$$ = 2000 - 10 = \text{₹ } 1990 $$
शेयर बिक्री के बाद प्राप्त रकम ₹ 1,990 है।
(v) कुछ छात्रों द्वारा दैनिक अध्ययन के लिए व्यतीत किए घंटे तथा छात्रों की संख्या की बारंबारता बंटन सारणी दी गई है। इसके आधार पर छात्रों द्वारा अध्ययन के लिए दिए गए समय का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माध्य \( \bar{X} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{300}{60} = 5 \)।
| वर्ग (घंटों में) | वर्गमध्य (\(x_i\)) | छात्रों की संख्या (\(f_i\)) | \(f_i x_i\) |
|---|---|---|---|
| 0-2 | 1 | 8 | 8 |
| 2-4 | 3 | 14 | 42 |
| 4-6 | 5 | 18 | 90 |
| 6-8 | 7 | 10 | 70 |
| 8-10 | 9 | 10 | 90 |
| कुल | \(\sum f_i = 60\) | \(\sum f_i x_i = 300\) |
अध्ययन का माध्य समय 5 घंटे है।
प्रश्न ३. (A) निम्नलिखित में से कोई एक कृति पूर्ण कीजिये : (३ अंक)
(i) श्री मानिकलाल ने 100 रुपये अंकित मूल्य वाले 300 शेयर्स 120 रुपये बाजार मूल्य से खरीदे। उस पर कंपनी ने 7% लाभांश दिया, तो निवेश पर प्रतिफल की दर ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए।
हल:
कृति:
(a) कुल निवेश = शेयर का बाजार मूल्य × शेयर्स की संख्या
= 120 × 300
= ₹ 36,000
(b) लाभांश प्रत्येक शेयर = अंकित मूल्य × लाभांश की दर
= 100 × \( \frac{7}{100} \)
= ₹ 7
कुल लाभांश = 300 × 7 = ₹ 2,100
(c) प्रतिफल की दर = \( \frac{\text{मिला हुआ कुल लाभांश}}{\text{कुल निवेश}} \times 100 \)
= \( \frac{2,100}{36,000} \times 100 \)
= 5.83 %।
(ii) अंकों की पुनरावृत्ति न करते हुए 2, 3, 5 अंकों से दो अंकों वाली संख्या तैयार की, तो उसमें से विषम संख्या मिलने की संभाव्यता ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूर्ण कीजिए।
हल:
कृति:
माना, नमूना अवकाश S है।
\( S = \{23, 25, 32, \fbox{35}, 52, 53\} \)
\( n(S) = \fbox{6} \)
घटना A : वह संख्या विषम हो।
\( A = \{23, 25, \fbox{35}, 53\} \)
\( n(A) = 4 \)
\( P(A) = \fbox{\( \frac{n(A)}{n(S)} \)} \) ............ (सूत्र)
\( P(A) = \frac{\fbox{4}}{6} \)
\( P(A) = \frac{\fbox{2}}{3} \)
प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई दो उपप्रश्न हल कीजिये : (६ अंक)
(i) निम्नलिखित युगपत समीकरण क्रेमर की पद्धति से हल कीजिये : \( 4x + 3y = 18; \quad 3x - 2y = 5 \)
हल:
$$ D = \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (4)(-2) - (3)(3) = -8 - 9 = -17 $$
$$ D_x = \begin{vmatrix} 18 & 3 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = (18)(-2) - (3)(5) = -36 - 15 = -51 $$
$$ D_y = \begin{vmatrix} 4 & 18 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (4)(5) - (18)(3) = 20 - 54 = -34 $$
$$ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-51}{-17} = 3 $$
$$ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-34}{-17} = 2 $$
हल: \( x = 3, y = 2 \)
(ii) निम्नलिखित वर्गसमीकरण सूत्र विधि से हल कीजिये : \( x^2 - 2x - 3 = 0 \)
हल:
\( ax^2 + bx + c = 0 \) से तुलना करने पर: \( a=1, b=-2, c=-3 \)।
$$ b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 $$
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
$$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} $$
$$ x = \frac{2 \pm 4}{2} $$
$$ x = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{या} \quad x = \frac{2-4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$
मूल 3 और -1 हैं।
(iii) तीन लड़के तथा 2 लड़कियों में से दो सदस्यों की एक समिति बनानी है, तो निम्न घटनाओं की संभाव्यता ज्ञात कीजिए।
हल:
लड़कों को \( B_1, B_2, B_3 \) और लड़कियों को \( G_1, G_2 \) मान लें।
नमूना अवकाश \( S = \{ B_1B_2, B_1B_3, B_2B_3, B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2, G_1G_2 \} \)।
\( n(S) = 10 \)।
घटना A: समिति में कम से कम एक लड़की हो। \( A = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2, G_1G_2 \} \)। \( n(A) = 7 \)। \( P(A) = \frac{7}{10} \)।
घटना B: समिति में एक लड़का तथा एक लड़की हो। \( B = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2 \} \)। \( n(B) = 6 \)। \( P(B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)।
घटना A: समिति में कम से कम एक लड़की हो। \( A = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2, G_1G_2 \} \)। \( n(A) = 7 \)। \( P(A) = \frac{7}{10} \)।
घटना B: समिति में एक लड़का तथा एक लड़की हो। \( B = \{ B_1G_1, B_1G_2, B_2G_1, B_2G_2, B_3G_1, B_3G_2 \} \)। \( n(B) = 6 \)। \( P(B) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)।
(iv) किसी जनरल स्टोर्स में अलग-अलग वस्तुओं की कीमत तथा उन वस्तुओं की माँग की बारंबारता बंटन सारणी दी गई है। इसके आधार पर कीमत की माध्यिका ज्ञात कीजिए।
हल:
\( N = 400 \Rightarrow N/2 = 200 \)।
200 संख्या 240 के वर्ग में आती है, इसलिए माध्यिका वर्ग 20-40 है।
\( L = 20, f = 100, cf = 140, h = 20 \)।
$$ \text{माध्यिका} = L + \left( \frac{N/2 - cf}{f} \right) \times h $$
$$ = 20 + \left( \frac{200 - 140}{100} \right) \times 20 $$
$$ = 20 + \left( \frac{60}{100} \right) \times 20 $$
$$ = 20 + (0.6 \times 20) = 20 + 12 = 32 $$
| वस्तुओं की कीमत (वर्ग) | वस्तुओं की संख्या (f) | संचयी बारंबारता (cf) |
|---|---|---|
| 0 - 20 (20 से कम) | 140 | 140 |
| 20 - 40 | 100 | 240 |
| 40 - 60 | 80 | 320 |
| 60 - 80 | 60 | 380 |
| 80 - 100 | 20 | 400 |
कीमत की माध्यिका ₹ 32 है।
प्रश्न ४. निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई दो उपप्रश्न हल कीजिए : (८ अंक)
(i) \( (m - 12) x^2 + 2(m - 12) x + 2 = 0 \) इस वर्गसमीकरण के मूल समान तथा वास्तविक हों तो \( m \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ \( a = m-12 \), \( b = 2(m-12) \), \( c = 2 \)।
मूल वास्तविक और समान हैं, इसलिए विवेचक \( \Delta = 0 \)।
$$ b^2 - 4ac = 0 $$
$$ [2(m-12)]^2 - 4(m-12)(2) = 0 $$
$$ 4(m-12)^2 - 8(m-12) = 0 $$
4 से भाग देने पर:
$$ (m-12)^2 - 2(m-12) = 0 $$
\( (m-12) \) कॉमन लेने पर:
$$ (m-12)[ (m-12) - 2 ] = 0 $$
$$ (m-12)(m-14) = 0 $$
$$ m = 12 \text{ या } m = 14 $$
परंतु यह वर्गसमीकरण है, इसलिए \( a \neq 0 \), अर्थात \( m-12 \neq 0 \Rightarrow m \neq 12 \)।
इसलिए, \( m = 14 \)।
(ii) एक किसान ने 1,000 रुपये कर्ज लिया तथा उस पर 140 रुपये ब्याज देने का वायदा किया। प्रत्येक किस्त के बाद 10 रुपये कम करते हुए कुल 12 किस्तों में उसने कर्ज का भुगतान किया, तो भुगतान की गई पहली तथा अंतिम किस्त कितनी होगी ?
हल:
कुल भुगतान की जाने वाली राशि \( S_n = 1000 + 140 = 1140 \)।
किस्तों की संख्या \( n = 12 \)।
किस्तें अंकगणितीय शृंखला में हैं, अंतर \( d = -10 \)।
सूत्र: \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \)
$$ 1140 = \frac{12}{2}[2a + (11)(-10)] $$
$$ 1140 = 6[2a - 110] $$
$$ \frac{1140}{6} = 2a - 110 $$
$$ 190 = 2a - 110 $$
$$ 2a = 300 \Rightarrow a = 150 $$
पहली किस्त \( a = 150 \)।
अंतिम किस्त \( t_{12} = a + 11d = 150 + 11(-10) = 150 - 110 = 40 \)।
पहली किस्त: ₹ 150, अंतिम किस्त: ₹ 40।
(iii) निम्नलिखित सारणी 180 छात्रों के गणित विषय में मिले अंक दर्शाती है : 'x' का मान ज्ञात कीजिए तथा आयतालेख खींचिए।
हल:
कुल छात्र = 180।
$$ 25 + x + 30 + 2x + 65 = 180 $$
$$ 3x + 120 = 180 $$
$$ 3x = 60 \Rightarrow x = 20 $$
बारंबारताएँ इस प्रकार होंगी: 25, 20, 30, 40 (क्योंकि 2x=40), 65।
आयतालेख के लिए डेटा:
- 0-10: 25
- 10-20: 20
- 20-30: 30
- 30-40: 40
- 40-50: 65
(उपरोक्त डेटा का उपयोग करके X-अक्ष पर अंक और Y-अक्ष पर छात्रों की संख्या लेकर आयतालेख खींचिए।)
प्रश्न ५. निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई एक उपप्रश्न हल कीजिये : (३ अंक)
(i) एक ही आलेख कागज पर \( 2x = y + 2 \) तथा \( 4x + 3y = 24 \) इन समीकरणों को दर्शाने वाला आलेख खींचिए। X-अक्ष तथा दोनों समीकरणों की रेखाओं से प्राप्त होने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण:
1. \( 2x - y = 2 \) (बिंदु: \( (1,0), (0,-2) \))
2. \( 4x + 3y = 24 \) (बिंदु: \( (6,0), (0,8) \))
प्रतिच्छेदन बिंदु:
समीकरण हल करने पर, \( x = 3, y = 4 \)। त्रिभुज का शीर्ष \( C(3,4) \)।
X-अक्ष पर त्रिभुज के शीर्ष:
रेखा 1 X-अक्ष को \( y=0 \) पर काटती है \(\Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \)। बिंदु \( A(1,0) \)।
रेखा 2 X-अक्ष को \( y=0 \) पर काटती है \(\Rightarrow 4x=24 \Rightarrow x=6 \)। बिंदु \( B(6,0) \)।
क्षेत्रफल:
आधार \( AB = 6 - 1 = 5 \) इकाइयाँ।
ऊँचाई \( h = \) प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक \( = 4 \) इकाइयाँ।
$$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \text{ वर्ग इकाइयाँ}। $$
समीकरण:
1. \( 2x - y = 2 \) (बिंदु: \( (1,0), (0,-2) \))
2. \( 4x + 3y = 24 \) (बिंदु: \( (6,0), (0,8) \))
प्रतिच्छेदन बिंदु:
समीकरण हल करने पर, \( x = 3, y = 4 \)। त्रिभुज का शीर्ष \( C(3,4) \)।
X-अक्ष पर त्रिभुज के शीर्ष:
रेखा 1 X-अक्ष को \( y=0 \) पर काटती है \(\Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \)। बिंदु \( A(1,0) \)।
रेखा 2 X-अक्ष को \( y=0 \) पर काटती है \(\Rightarrow 4x=24 \Rightarrow x=6 \)। बिंदु \( B(6,0) \)।
क्षेत्रफल:
आधार \( AB = 6 - 1 = 5 \) इकाइयाँ।
ऊँचाई \( h = \) प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक \( = 4 \) इकाइयाँ।
$$ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10 \text{ वर्ग इकाइयाँ}। $$
(ii) निम्न वृत्तालेख में एक रक्त गट परीक्षण कैम्प में विभिन्न रक्त गटों के व्यक्तियों का प्रतिशत अनुसार वर्गीकरण किया है। तो निम्न प्रश्नों के उत्तर लिखिए :
हल:
आकृति से: A = 20%, AB = 5%, B = 30%।
शेष समूह O है: \( 100 - (20+5+30) = 45\% \)।
(a) प्रत्येक रक्त गट के लिए केंद्रीय कोण का माप ज्ञात कीजिए।
$$ \theta = \frac{\text{प्रतिशत}}{100} \times 360^\circ $$
- समूह A: \( 0.20 \times 360 = 72^\circ \)
- समूह B: \( 0.30 \times 360 = 108^\circ \)
- समूह AB: \( 0.05 \times 360 = 18^\circ \)
- समूह O: \( 0.45 \times 360 = 162^\circ \)
कुल व्यक्तियों की संख्या = 2000।