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10th Geometry July 2024 Board Exam Question Paper with Solutions in Hindi Medium

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गणित भाग-२ (भूमिति) - जुलाई २०२४ [हिंदी माध्यम]

समय: २ घंटे | कुल अंक: ४०

प्रश्न १. (A) निम्नलिखित उपप्रश्नों के उत्तरों के लिए चार विकल्प दिये गये हैं। सही विकल्प चुनकर उसका वर्णाक्षर लिखिए। (४ अंक)
१) यदि $\triangle ABC$ तथा $\triangle PQR$ में किसी एकैकी संगति से $\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}$ हो, तो निम्नलिखित में से _____ कथन सत्य है।
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: भुजाओं की समानुपातिकता: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
शीर्षों की संगति: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
अतः, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ या $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
२) दो बाह्यस्पर्शी वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः ५.५ सेमी तथा ३.३ सेमी हों, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी _____ होगी।
  • (A) ४.४ सेमी
  • (B) ८.८ सेमी
  • (C) २.२ सेमी
  • (D) ८.३ सेमी
उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: बाह्यस्पर्शी वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी = त्रिज्याओं का योग = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ सेमी।
३) यदि रेख AB यह Y-अक्ष के समांतर हो तथा बिंदु A के निर्देशांक (१, ३) हों, तो बिंदु B के निर्देशांक _____ हैं।
  • (A) (३, १)
  • (B) (५, ३)
  • (C) (३, ०)
  • (D) (१, -३)
उत्तर: (D)
स्पष्टीकरण: Y-अक्ष के समांतर रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का X-निर्देशांक समान होता है। A का X-निर्देशांक १ है, इसलिए B का X-निर्देशांक भी १ होना चाहिए।
४) १० सेमी भुजा वाले समघन का घनफल _____ होगा।
  • (A) १००० सेमी$^3$
  • (B) १०० सेमी$^3$
  • (C) १०,००० सेमी$^3$
  • (D) १० सेमी$^3$
उत्तर: (A)
स्पष्टीकरण: समघन का घनफल = $(\text{भुजा})^3 = 10^3 = 1000 \text{ सेमी}^3$।
प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए। (४ अंक)
१) $\triangle ABC$ में, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ सेमी हो, तो AB का मान ज्ञात कीजिये।
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज के प्रमेय से, $30^{\circ}$ कोण की सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है।
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ सेमी
२) ऊपर दी गयी आकृति में, $m(\text{चाप } MN) = 70^{\circ}$ हो, तो $\angle MLN$ का माप ज्ञात कीजिये।
अंतर्लिखित कोण के प्रमेय से:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{चाप } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
३) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta$ का मान ज्ञात कीजिये।
हम जानते हैं कि, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \text{cosec } \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
मान = १
४) यदि वृत्त की त्रिज्या ४ सेमी तथा वृत्त चाप की लंबाई १० सेमी हो, तो द्वैत्रिज्य (sector) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
दिया गया है: त्रिज्या ($r$) = ४ सेमी, चाप की लंबाई ($l$) = १० सेमी।
द्वैत्रिज्य का क्षेत्रफल ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
क्षेत्रफल = २० वर्ग सेमी

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प्रश्न २. (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके लिखिये (कोई दो)। (४ अंक)
१) ऊपर दी गयी आकृति में, जीवा PQ और जीवा RS परस्पर बिंदु T में प्रतिच्छेदित करती हैं, तो $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{चाप } SQ) + m(\text{चाप } PR)]$ सिद्ध करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (त्रिभुज के बहिष्कोण का प्रमेय)
$= \frac{1}{2} m(\text{चाप } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{चाप } PR)$ (अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{चाप } SQ)$ + $m(\text{चाप } PR)$ $]$
२) यदि $\sec \theta = \frac{25}{7}$ हो, तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिये।
सर्वसमिका से,
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
३) शंकु के आधार की त्रिज्या ७ सेमी और लंब ऊँचाई ६ सेमी है, तो शंकु का घनफल ज्ञात करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
शंकु का घनफल = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
शंकु का घनफल = ३०८ सेमी$^3$
प्रश्न २. (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिये (कोई चार)। (८ अंक)
१) बिंदु P केंद्र और ३.२ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित बिंदु M पर वृत्त की स्पर्श रेखा की रचना कीजिये।
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it रचना के सोपान:
१. केंद्र P और ३.२ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
२. वृत्त पर कोई बिंदु M लीजिए।
३. किरण PM खींचिए।
४. बिंदु M से किरण PM पर लंब रेखा खींचिए। यह रेखा अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
२) $\triangle PQR$ में, रेख RS यह $\angle PRQ$ का कोण समद्विभाजक है। यदि $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$ हो, तो SQ ज्ञात कीजिये।
त्रिभुज के कोण समद्विभाजक प्रमेय से:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ इकाई
३) १४ सेमी व्यास वाले गोले का पृष्ठफल ज्ञात कीजिये।
व्यास = १४ सेमी $\therefore$ त्रिज्या ($r$) = ७ सेमी।
गोले का पृष्ठफल = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
पृष्ठफल = ६१६ वर्ग सेमी
४) आकृति में, $\angle PQR=90^{\circ}$, रेख $QN \perp$ रेख PR, $PN=9, NR=16$ हो, तो QN ज्ञात कीजिये।
ज्यामितीय माध्य के प्रमेय से:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
वर्गमूल लेने पर,
$QN = 12$ इकाई
५) बिंदु $A(3,3)$ और $B(5,7)$ में से होकर जाने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिये।
रेखा का ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
ढाल = २
प्रश्न ३. (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके लिखिये (कोई एक)। (३ अंक)
१) आकृति में, AB || CD || EF। यदि $AC=12, CE=9, BD=8$ हो, तो DF ज्ञात करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
तीन समांतर रेखाएँ तथा उनकी तिर्यक रेखा का गुणधर्म:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
२) लंबवृत्ताकार बेलन के आधार की त्रिज्या ७ सेमी और ऊँचाई २१ सेमी हो, तो उसका घनफल तथा आधार की परिधि ज्ञात करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
लंबवृत्ताकार बेलन का घनफल = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
घनफल = ३२३४ सेमी$^3$

आधार की परिधि = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
परिधि = ४४ सेमी
प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिये (कोई दो)। (६ अंक)
१) सिद्ध कीजिये, 'चक्रीय चतुर्भुज के संमुख कोण परस्पर संपूरक होते हैं।'
दत्त: $\square ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
साध्य: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ तथा $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
उपपत्ति:
$\angle ADC$ एक अंतर्लिखित कोण है और इसने चाप ABC को अंतर्खंडित किया है।
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{चाप } ABC)$ ... (I)
इसी प्रकार, $\angle ABC$ एक अंतर्लिखित कोण है और इसने चाप ADC को अंतर्खंडित किया है।
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{चाप } ADC)$ ... (II)
(I) और (II) को जोड़ने पर:
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{चाप } ABC) + m(\text{चाप } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (क्योंकि चाप ABC + चाप ADC मिलकर पूर्ण वृत्त बनाते हैं)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
इसी प्रकार, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ सिद्ध किया जा सकता है।
२) केंद्र P और ३.५ सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिये। वृत्त के केंद्र से ८ सेमी दूरी पर कोई बिंदु Q लीजिये। बिंदु Q से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिये।
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. रचना के सोपान:
१. केंद्र P और ३.५ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
२. केंद्र P से ८ सेमी की दूरी पर एक बिंदु Q लीजिए।
३. रेख PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्यबिंदू M प्राप्त कीजिए।
४. M को केंद्र मानकर और त्रिज्या MP लेकर एक वृत्त (या चाप) खींचिए जो मूल वृत्त को बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करे।
५. किरण QA और किरण QB खींचिए।
ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
३) बिंदु P(-2, 3), Q(1, 2), R(4, 1) एकरेखीय हैं, यह दर्शाओ।
रेखा का ढाल = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
रेख PQ का ढाल = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
रेख QR का ढाल = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
चूँकि, रेख PQ का ढाल = रेख QR का ढाल है और बिंदु Q सामान्य है,
अतः बिंदु P, Q और R एकरेखीय हैं।
४) यदि $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ तथा $QR=20$ हो, तो MN ज्ञात कीजिये।
दिया है: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय से:
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ इकाई
प्रश्न ४. निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिये (कोई दो)। (८ अंक)
१) $\triangle ABC$ यह समबाहु त्रिभुज है। बिंदु D यह रेख BC पर इस प्रकार है कि $BD = \frac{1}{5} BC$ हो, तो सिद्ध कीजिये कि $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में $AM \perp BC$ खींचिए। समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब ही माध्यिका होती है।
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
दिया है $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
समकोण $\triangle AMC$ में, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई)।
अब, समकोण $\triangle AMD$ में, पाइथागोरस प्रमेय से:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
$BC = AB$ रखने पर:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
२) $\triangle LMN \sim \triangle LQP$, $\triangle LMN$ में $LM=3.6$ सेमी, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ सेमी और $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ हो, तो $\triangle LQP$ की रचना कीजिये।
विश्लेषण:
शीर्ष L सामान्य है।
अनुपात $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ है, अर्थात $\triangle LQP$ की भुजाएँ $\triangle LMN$ की भुजाओं से बड़ी हैं।
रचना के सोपान:
१. दी गई मापों का $\triangle LMN$ बनाइए ($LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$)।
२. बिंदु L से एक किरण खींचिए जो भुजा LM के साथ न्यूनकोण बनाए।
३. किरण पर समान दूरी पर ७ चाप लगाइए ($A_1$ से $A_7$)।
४. बिंदु $A_4$ को बिंदु M से मिलाइए (क्योंकि LM 4 भाग के संगत है)।
५. बिंदु $A_7$ से रेख $A_4M$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई भुजा LM को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करे।
६. बिंदु Q से भुजा MN के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई भुजा LN को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle LQP$ अभीष्ट त्रिभुज है।
३) नदी के पाट की चौड़ाई ज्ञात करने के लिए एक व्यक्ति... पेड़ की चोटी को देखता है। उस समय ६०° माप का उन्नत कोण बनता है। २४ मीटर की दूरी पर पीछे जाकर... ३०° माप का उन्नत कोण बनता है, तो नदी की चौड़ाई और पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिये।
माना पेड़ की ऊँचाई = $h$ मीटर और नदी की चौड़ाई = $x$ मीटर।
स्थिति १: ६०° कोण।
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
स्थिति २: २४ मी पीछे जाने पर, दूरी = $(x + 24)$ मी, कोण ३०°।
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
(I) से $h$ का मान रखने पर:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ मी}}$ (नदी की चौड़ाई)
अब, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ मी।
पेड़ की ऊँचाई = २०.७६ मी.
प्रश्न ५. निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिये (कोई एक)। (३ अंक)
१) किसी वृत्ताकार बगीचे का व्यास १३ मी. तथा बगीचे के दो प्रवेशद्वारों के बीच की दूरी १३ मी. है। बगीचे की परिधि पर एक विद्युत खंभा इस प्रकार खड़ा करना है कि प्रत्येक प्रवेशद्वार से खंभे तक की दूरियों में होने वाला अंतर ७ मी. हो। ऐसा खंभा खड़ा कर सकते हैं क्या? यदि कर सकते हैं तो खंभे की दोनों प्रवेशद्वारों से होने वाली दूरियाँ ज्ञात कीजिये।
माना प्रवेशद्वार A और B हैं। $AB = 13$ मी. व्यास = १३ मी.
चूँकि जीवा AB = व्यास है, अतः A और B व्यास के अंत्यबिंदु हैं।
माना खंभा बिंदु P पर है। $\angle APB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)।
माना $PA = x$ और $PB = y$।
दिया गया अंतर ७ मी है: $|x - y| = 7$.
समकोण $\triangle APB$ में: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
सूत्र से: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
अब, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
समीकरणों को हल करने पर ($x+y=17$ और $x-y=7$):
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
हाँ, ऐसा खंभा खड़ा किया जा सकता है। प्रवेशद्वारों से उसकी दूरियाँ १२ मी और ५ मी होंगी।
२) यदि $x - 6y + 11 = 0$ यह रेखा (8, -1) और (0, k) इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करती हो, तो k का मान ज्ञात कीजिये।
माना $A=(8, -1)$ और $B=(0, k)$।
रेखाखंड AB को रेखा समद्विभाजित करती है, इसका अर्थ है कि AB का मध्यबिंदु उस रेखा पर स्थित है।
मध्यबिंदु $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$।
इस बिंदु को रेखा के समीकरण $x - 6y + 11 = 0$ में रखने पर:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
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