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10th Geometry July 2024 Board Exam Question Paper with Solutions in Hindi Medium

गणित भाग-२ (भूमिति) - जुलाई २०२४ [हिंदी माध्यम]

समय: २ घंटे | कुल अंक: ४०

प्रश्न १. (A) निम्नलिखित उपप्रश्नों के उत्तरों के लिए चार विकल्प दिये गये हैं। सही विकल्प चुनकर उसका वर्णाक्षर लिखिए। (४ अंक)
१) यदि $\triangle ABC$ तथा $\triangle PQR$ में किसी एकैकी संगति से $\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}$ हो, तो निम्नलिखित में से _____ कथन सत्य है।
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: भुजाओं की समानुपातिकता: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
शीर्षों की संगति: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
अतः, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ या $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
२) दो बाह्यस्पर्शी वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः ५.५ सेमी तथा ३.३ सेमी हों, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी _____ होगी।
  • (A) ४.४ सेमी
  • (B) ८.८ सेमी
  • (C) २.२ सेमी
  • (D) ८.३ सेमी
उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: बाह्यस्पर्शी वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी = त्रिज्याओं का योग = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ सेमी।
३) यदि रेख AB यह Y-अक्ष के समांतर हो तथा बिंदु A के निर्देशांक (१, ३) हों, तो बिंदु B के निर्देशांक _____ हैं।
  • (A) (३, १)
  • (B) (५, ३)
  • (C) (३, ०)
  • (D) (१, -३)
उत्तर: (D)
स्पष्टीकरण: Y-अक्ष के समांतर रेखा पर स्थित सभी बिंदुओं का X-निर्देशांक समान होता है। A का X-निर्देशांक १ है, इसलिए B का X-निर्देशांक भी १ होना चाहिए।
४) १० सेमी भुजा वाले समघन का घनफल _____ होगा।
  • (A) १००० सेमी$^3$
  • (B) १०० सेमी$^3$
  • (C) १०,००० सेमी$^3$
  • (D) १० सेमी$^3$
उत्तर: (A)
स्पष्टीकरण: समघन का घनफल = $(\text{भुजा})^3 = 10^3 = 1000 \text{ सेमी}^3$।
प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए। (४ अंक)
१) $\triangle ABC$ में, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ सेमी हो, तो AB का मान ज्ञात कीजिये।
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिभुज के प्रमेय से, $30^{\circ}$ कोण की सम्मुख भुजा कर्ण की आधी होती है।
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ सेमी
२) ऊपर दी गयी आकृति में, $m(\text{चाप } MN) = 70^{\circ}$ हो, तो $\angle MLN$ का माप ज्ञात कीजिये।
अंतर्लिखित कोण के प्रमेय से:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{चाप } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
३) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta$ का मान ज्ञात कीजिये।
हम जानते हैं कि, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \text{cosec } \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
मान = १
४) यदि वृत्त की त्रिज्या ४ सेमी तथा वृत्त चाप की लंबाई १० सेमी हो, तो द्वैत्रिज्य (sector) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।
दिया गया है: त्रिज्या ($r$) = ४ सेमी, चाप की लंबाई ($l$) = १० सेमी।
द्वैत्रिज्य का क्षेत्रफल ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
क्षेत्रफल = २० वर्ग सेमी

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प्रश्न २. (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके लिखिये (कोई दो)। (४ अंक)
१) ऊपर दी गयी आकृति में, जीवा PQ और जीवा RS परस्पर बिंदु T में प्रतिच्छेदित करती हैं, तो $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{चाप } SQ) + m(\text{चाप } PR)]$ सिद्ध करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (त्रिभुज के बहिष्कोण का प्रमेय)
$= \frac{1}{2} m(\text{चाप } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{चाप } PR)$ (अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{चाप } SQ)$ + $m(\text{चाप } PR)$ $]$
२) यदि $\sec \theta = \frac{25}{7}$ हो, तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिये।
सर्वसमिका से,
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
३) शंकु के आधार की त्रिज्या ७ सेमी और लंब ऊँचाई ६ सेमी है, तो शंकु का घनफल ज्ञात करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
शंकु का घनफल = $\frac{1}{3} \pi r^2 h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
शंकु का घनफल = ३०८ सेमी$^3$
प्रश्न २. (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिये (कोई चार)। (८ अंक)
१) बिंदु P केंद्र और ३.२ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त पर स्थित बिंदु M पर वृत्त की स्पर्श रेखा की रचना कीजिये।
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it रचना के सोपान:
१. केंद्र P और ३.२ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
२. वृत्त पर कोई बिंदु M लीजिए।
३. किरण PM खींचिए।
४. बिंदु M से किरण PM पर लंब रेखा खींचिए। यह रेखा अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
२) $\triangle PQR$ में, रेख RS यह $\angle PRQ$ का कोण समद्विभाजक है। यदि $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$ हो, तो SQ ज्ञात कीजिये।
त्रिभुज के कोण समद्विभाजक प्रमेय से:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ इकाई
३) १४ सेमी व्यास वाले गोले का पृष्ठफल ज्ञात कीजिये।
व्यास = १४ सेमी $\therefore$ त्रिज्या ($r$) = ७ सेमी।
गोले का पृष्ठफल = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
पृष्ठफल = ६१६ वर्ग सेमी
४) आकृति में, $\angle PQR=90^{\circ}$, रेख $QN \perp$ रेख PR, $PN=9, NR=16$ हो, तो QN ज्ञात कीजिये।
ज्यामितीय माध्य के प्रमेय से:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
वर्गमूल लेने पर,
$QN = 12$ इकाई
५) बिंदु $A(3,3)$ और $B(5,7)$ में से होकर जाने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिये।
रेखा का ढाल $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
ढाल = २
प्रश्न ३. (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके लिखिये (कोई एक)। (३ अंक)
१) आकृति में, AB || CD || EF। यदि $AC=12, CE=9, BD=8$ हो, तो DF ज्ञात करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
तीन समांतर रेखाएँ तथा उनकी तिर्यक रेखा का गुणधर्म:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
२) लंबवृत्ताकार बेलन के आधार की त्रिज्या ७ सेमी और ऊँचाई २१ सेमी हो, तो उसका घनफल तथा आधार की परिधि ज्ञात करने के लिए कृति पूर्ण कीजिये।
लंबवृत्ताकार बेलन का घनफल = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
घनफल = ३२३४ सेमी$^3$

आधार की परिधि = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
परिधि = ४४ सेमी
प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिये (कोई दो)। (६ अंक)
१) सिद्ध कीजिये, 'चक्रीय चतुर्भुज के संमुख कोण परस्पर संपूरक होते हैं।'
दत्त: $\square ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
साध्य: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ तथा $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
उपपत्ति:
$\angle ADC$ एक अंतर्लिखित कोण है और इसने चाप ABC को अंतर्खंडित किया है।
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{चाप } ABC)$ ... (I)
इसी प्रकार, $\angle ABC$ एक अंतर्लिखित कोण है और इसने चाप ADC को अंतर्खंडित किया है।
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{चाप } ADC)$ ... (II)
(I) और (II) को जोड़ने पर:
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{चाप } ABC) + m(\text{चाप } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (क्योंकि चाप ABC + चाप ADC मिलकर पूर्ण वृत्त बनाते हैं)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
इसी प्रकार, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ सिद्ध किया जा सकता है।
२) केंद्र P और ३.५ सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिये। वृत्त के केंद्र से ८ सेमी दूरी पर कोई बिंदु Q लीजिये। बिंदु Q से वृत्त की स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिये।
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. रचना के सोपान:
१. केंद्र P और ३.५ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
२. केंद्र P से ८ सेमी की दूरी पर एक बिंदु Q लीजिए।
३. रेख PQ का लंब समद्विभाजक खींचकर मध्यबिंदू M प्राप्त कीजिए।
४. M को केंद्र मानकर और त्रिज्या MP लेकर एक वृत्त (या चाप) खींचिए जो मूल वृत्त को बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करे।
५. किरण QA और किरण QB खींचिए।
ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
३) बिंदु P(-2, 3), Q(1, 2), R(4, 1) एकरेखीय हैं, यह दर्शाओ।
रेखा का ढाल = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
रेख PQ का ढाल = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
रेख QR का ढाल = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
चूँकि, रेख PQ का ढाल = रेख QR का ढाल है और बिंदु Q सामान्य है,
अतः बिंदु P, Q और R एकरेखीय हैं।
४) यदि $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ तथा $QR=20$ हो, तो MN ज्ञात कीजिये।
दिया है: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय से:
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ इकाई
प्रश्न ४. निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिये (कोई दो)। (८ अंक)
१) $\triangle ABC$ यह समबाहु त्रिभुज है। बिंदु D यह रेख BC पर इस प्रकार है कि $BD = \frac{1}{5} BC$ हो, तो सिद्ध कीजिये कि $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
उपपत्ति:
$\triangle ABC$ में $AM \perp BC$ खींचिए। समबाहु त्रिभुज में शीर्षलंब ही माध्यिका होती है।
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
दिया है $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
समकोण $\triangle AMC$ में, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई)।
अब, समकोण $\triangle AMD$ में, पाइथागोरस प्रमेय से:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
$BC = AB$ रखने पर:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
२) $\triangle LMN \sim \triangle LQP$, $\triangle LMN$ में $LM=3.6$ सेमी, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ सेमी और $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ हो, तो $\triangle LQP$ की रचना कीजिये।
विश्लेषण:
शीर्ष L सामान्य है।
अनुपात $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ है, अर्थात $\triangle LQP$ की भुजाएँ $\triangle LMN$ की भुजाओं से बड़ी हैं।
रचना के सोपान:
१. दी गई मापों का $\triangle LMN$ बनाइए ($LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$)।
२. बिंदु L से एक किरण खींचिए जो भुजा LM के साथ न्यूनकोण बनाए।
३. किरण पर समान दूरी पर ७ चाप लगाइए ($A_1$ से $A_7$)।
४. बिंदु $A_4$ को बिंदु M से मिलाइए (क्योंकि LM 4 भाग के संगत है)।
५. बिंदु $A_7$ से रेख $A_4M$ के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई भुजा LM को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करे।
६. बिंदु Q से भुजा MN के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ाई गई भुजा LN को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करे।
$\triangle LQP$ अभीष्ट त्रिभुज है।
३) नदी के पाट की चौड़ाई ज्ञात करने के लिए एक व्यक्ति... पेड़ की चोटी को देखता है। उस समय ६०° माप का उन्नत कोण बनता है। २४ मीटर की दूरी पर पीछे जाकर... ३०° माप का उन्नत कोण बनता है, तो नदी की चौड़ाई और पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिये।
माना पेड़ की ऊँचाई = $h$ मीटर और नदी की चौड़ाई = $x$ मीटर।
स्थिति १: ६०° कोण।
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
स्थिति २: २४ मी पीछे जाने पर, दूरी = $(x + 24)$ मी, कोण ३०°।
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
(I) से $h$ का मान रखने पर:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ मी}}$ (नदी की चौड़ाई)
अब, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ मी।
पेड़ की ऊँचाई = २०.७६ मी.
प्रश्न ५. निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिये (कोई एक)। (३ अंक)
१) किसी वृत्ताकार बगीचे का व्यास १३ मी. तथा बगीचे के दो प्रवेशद्वारों के बीच की दूरी १३ मी. है। बगीचे की परिधि पर एक विद्युत खंभा इस प्रकार खड़ा करना है कि प्रत्येक प्रवेशद्वार से खंभे तक की दूरियों में होने वाला अंतर ७ मी. हो। ऐसा खंभा खड़ा कर सकते हैं क्या? यदि कर सकते हैं तो खंभे की दोनों प्रवेशद्वारों से होने वाली दूरियाँ ज्ञात कीजिये।
माना प्रवेशद्वार A और B हैं। $AB = 13$ मी. व्यास = १३ मी.
चूँकि जीवा AB = व्यास है, अतः A और B व्यास के अंत्यबिंदु हैं।
माना खंभा बिंदु P पर है। $\angle APB = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त का कोण)।
माना $PA = x$ और $PB = y$।
दिया गया अंतर ७ मी है: $|x - y| = 7$.
समकोण $\triangle APB$ में: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
सूत्र से: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
अब, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
समीकरणों को हल करने पर ($x+y=17$ और $x-y=7$):
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
हाँ, ऐसा खंभा खड़ा किया जा सकता है। प्रवेशद्वारों से उसकी दूरियाँ १२ मी और ५ मी होंगी।
२) यदि $x - 6y + 11 = 0$ यह रेखा (8, -1) और (0, k) इन दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करती हो, तो k का मान ज्ञात कीजिये।
माना $A=(8, -1)$ और $B=(0, k)$।
रेखाखंड AB को रेखा समद्विभाजित करती है, इसका अर्थ है कि AB का मध्यबिंदु उस रेखा पर स्थित है।
मध्यबिंदु $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$।
इस बिंदु को रेखा के समीकरण $x - 6y + 11 = 0$ में रखने पर:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
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10th Geometry July 2024 Question Paper with Solutions in Marathi

गणित भाग-२ (भूमिती) - जुलै २०२४

वेळ: २ तास | एकूण गुण: ४०

प्रश्न १. (A) खालील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा. (४ गुण)
१) जर $\triangle ABC$ व $\triangle PQR$ मध्ये शिरोबिंदूच्या एकास-एक संगतीत $\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}$, तर खालीलपैकी सत्य विधान _____ आहे.
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: बाजूंची प्रमाणात संगती: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
शिरोबिंदूंची संगती: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
म्हणून, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ किंवा $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
२) दोन बाह्यस्पर्शी वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे ५.५ सेमी, ३.३ सेमी आहेत, तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर _____ आहे.
  • (A) ४.४ सेमी
  • (B) ८.८ सेमी
  • (C) २.२ सेमी
  • (D) ८.३ सेमी
उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: बाह्यस्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्रातील अंतर = त्रिज्यांची बेरीज = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ सेमी.
३) रेख AB हा Y-अक्षाला समांतर असून बिंदू A चे निर्देशक (१, ३) आहेत, तर बिंदू B चे निर्देशक _____ आहेत.
  • (A) (३, १)
  • (B) (५, ३)
  • (C) (३, ०)
  • (D) (१, -३)
उत्तर: (D)
स्पष्टीकरण: Y-अक्षाला समांतर रेषेवरील सर्व बिंदूंचे X-निर्देशक समान असतात. A चा X-निर्देशक १ आहे, म्हणून B चा X-निर्देशक १ असावा.
४) १० सेमी बाजू असलेल्या घनाचे घनफळ _____ आहे.
  • (A) १००० घसेमी
  • (B) १०० घसेमी
  • (C) १०,००० घसेमी
  • (D) १० घसेमी
उत्तर: (A)
स्पष्टीकरण: घनाचे घनफळ = $(\text{बाजू})^3 = 10^3 = 1000 \text{ घसेमी}$.
प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. (४ गुण)
१) $\triangle ABC$ मध्ये, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ सेमी, तर बाजू AB ची किंमत काढा.
$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार, $30^{\circ}$ कोनासमोरील बाजू कर्णाच्या निम्मी असते.
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ सेमी
२) आकृतीमध्ये, $m(\text{कंस } MN) = 70^{\circ}$, तर $\angle MLN$ चे माप किती?
अंतर्लिखित कोनाच्या प्रमेयानुसार:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{कंस } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
३) किंमत काढा: $\sin \theta \times \text{cosec } \theta$.
आपल्याला माहित आहे की, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \text{cosec } \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
किंमत = १
४) जर वर्तुळाची त्रिज्या ४ सेमी आणि वर्तुळकंसाची लांबी १० सेमी असेल, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.
दिले आहे: त्रिज्या ($r$) = ४ सेमी, कंसाची लांबी ($l$) = १० सेमी.
वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
क्षेत्रफळ = २० चौसेमी

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प्रश्न २. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणत्याही दोन). (४ गुण)
१) वरील आकृतीमध्ये, जीवा PQ आणि जीवा RS एकमेकीस बिंदू T मध्ये छेदतात. तर $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{कंस } SQ) + m(\text{कंस } PR)]$ हे सिद्ध करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (त्रिकोणाच्या दूरस्थ आंतरकोनांचे प्रमेय)
$= \frac{1}{2} m(\text{कंस } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{कंस } PR)$ (अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{कंस } SQ)$ + $m(\text{कंस } PR)$ $]$
२) जर $\sec \theta = \frac{25}{7}$ तर $\tan \theta$ ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
३) एका शंकूच्या तळाची त्रिज्या ७ सेमी असून त्याची लंब उंची ६ सेमी आहे, तर शंकूचे घनफळ काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
शंकूचे घनफळ = $\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
शंकूचे घनफळ = ३०८ घसेमी
प्रश्न २. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही चार). (८ गुण)
१) केंद्र P व त्रिज्या ३.२ सेमी असलेल्या वर्तुळाला त्यावरील M बिंदूतून स्पर्शिका काढा.
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it रचनेच्या पायऱ्या:
१. P केंद्र व ३.२ सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढा.
२. वर्तुळावर कुठेही बिंदू M घ्या.
३. किरण PM काढा.
४. बिंदू M मधून किरण PM ला लंब रेषा काढा. ही रेषा अपेक्षित स्पर्शिका आहे.
२) $\triangle PQR$ मध्ये, रेख RS हा $\angle PRQ$ चा दुभाजक आहे. जर $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$, तर SQ काढा.
त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकाच्या प्रमेयानुसार:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ एकक
३) एका गोलाचा व्यास १४ सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.
व्यास = १४ सेमी $\therefore$ त्रिज्या ($r$) = ७ सेमी.
गोलाचे वक्रपृष्ठफळ = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
वक्रपृष्ठफळ = ६१६ चौसेमी
४) आकृतीमध्ये, $\angle PQR=90^{\circ}$, रेख $QN \perp$ रेख PR, $PN=9, NR=16$, तर QN काढा.
भूमितीमध्याच्या प्रमेयानुसार:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन,
$QN = 12$ एकक
५) $A(3,3)$ आणि $B(5,7)$ या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.
रेषेचा चढ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
चढ = २
प्रश्न ३. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणतीही एक). (३ गुण)
१) आकृतीत AB || CD || EF. जर $AC=12, CE=9, BD=8$, तर DF काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
तीन समांतर रेषा व छेदिका यांचा गुणधर्म:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
२) एका वृत्तचितीच्या तळाची त्रिज्या ७ सेमी आणि उंची २१ सेमी आहे. तर वृत्तचितीचे घनफळ व तळाचा परीघ काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.
वृत्तचितीचे घनफळ = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
घनफळ = ३२३४ घसेमी

तळाचा परीघ = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
परीघ = ४४ सेमी
प्रश्न ३. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन). (६ गुण)
१) सिद्ध करा, 'चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात'.
पक्ष: $\square ABCD$ हा चक्रीय चौकोन आहे.
साध्य: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ आणि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
सिद्धता:
$\angle ADC$ हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ABC अंतर्खंडित केला आहे.
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } ABC)$ ... (I)
त्याचप्रमाणे, $\angle ABC$ हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ADC अंतर्खंडित केला आहे.
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } ADC)$ ... (II)
(I) व (II) ची बेरीज करून:
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{कंस } ABC) + m(\text{कंस } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (कारण कंस ABC + कंस ADC मिळून पूर्ण वर्तुळ तयार होते)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
त्याचप्रमाणे, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ हे सिद्ध करता येईल.
२) केंद्र P व ३.५ सेमी त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा. वर्तुळकेंद्रापासून ८ सेमी अंतरावर बिंदू घ्या. Q बिंदूतून वर्तुळाला स्पर्शिका काढा.
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. रचनेच्या पायऱ्या:
१. P केंद्र व ३.५ सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
२. P पासून ८ सेमी अंतरावर बिंदू Q घ्या.
३. रेख PQ चा लंबदुभाजक काढून त्याचा मध्यबिंदू M मिळवा.
४. M केंद्र व PM त्रिज्येने मूळ वर्तुळाला छेदणारे कंस (किंवा वर्तुळ) काढा, छेदनबिंदूंना A व B नाव द्या.
५. रेषा QA आणि रेषा QB काढा.
ह्या अपेक्षित स्पर्शिका आहेत.
३) P(-2, 3), Q(1, 2), R(4, 1) हे बिंदू एकरेषीय आहेत हे दाखवा.
रेषेचा चढ = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
रेषा PQ चा चढ = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
रेषा QR चा चढ = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
येथे, रेषा PQ चा चढ = रेषा QR चा चढ आणि बिंदू Q सामाईक आहे.
म्हणून, बिंदू P, Q आणि R हे एकरेषीय आहेत.
४) जर $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ आणि $QR=20$, तर MN काढा.
दिले आहे: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ एकक
प्रश्न ४. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन). (८ गुण)
१) $\triangle ABC$ हा समभुज त्रिकोण आहे. बिंदू D हा बाजू BC वर अशाप्रकारे आहे की $BD = \frac{1}{5} BC$. तर सिद्ध करा की $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
सिद्धता:
$\triangle ABC$ मध्ये रेख $AM \perp$ बाजू $BC$ काढा. समभुज त्रिकोणात शिरोलंब हा मध्यगा असतो.
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
दिले आहे $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
काटकोन $\triangle AMC$ मध्ये, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (समभुज त्रिकोणाची उंची).
आता, काटकोन $\triangle AMD$ मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
$BC = AB$ असल्याने:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
२) $\triangle LMN \sim \triangle LQP$. $\triangle LMN$ मध्ये, $LM=3.6$ सेमी, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ सेमी आणि $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$. तर $\triangle LQP$ काढा.
विश्लेषण:
येथे L हा सामाईक शिरोबिंदू आहे.
गुणोत्तर $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ आहे, म्हणजेच $\triangle LQP$ च्या बाजू $\triangle LMN$ च्या बाजूंपेक्षा मोठ्या आहेत.
रचनेच्या पायऱ्या:
१. दिलेल्या मापांचा $\triangle LMN$ काढा ($LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$).
२. बिंदू L मधून बाजू LM शी लघुकोन करणारा एक किरण काढा.
३. त्या किरणावर समान अंतरावर ७ खुणा करा ($A_1$ ते $A_7$).
४. बिंदू $A_4$ आणि बिंदू M जोडा (कारण LM चे प्रमाण ४ आहे).
५. बिंदू $A_7$ मधून रेषा $A_4M$ ला समांतर रेषा काढा, जी वाढवलेल्या रेषा LM ला Q मध्ये छेदेल.
६. बिंदू Q मधून बाजू MN ला समांतर रेषा काढा, जी वाढवलेल्या रेषा LN ला P मध्ये छेदेल.
$\triangle LQP$ हा अपेक्षित त्रिकोण तयार होईल.
३) नदीच्या पात्राची रुंदी काढण्यासाठी एका माणसाने पात्राच्या एका काठावरून... झाडाच्या शेंड्याकडे पाहिले असता ६०° मापाचा उन्नतकोन होतो. २४ मी. अंतर मागे जाऊन... उन्नतकोन ३०° होतो, तर नदीपात्राची रुंदी आणि झाडाची उंची काढा.
समजा झाडाची उंची = $h$ मी. आणि नदीची रुंदी = $x$ मी.
स्थिती १: ६०° कोन.
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
स्थिती २: २४ मी मागे गेल्यावर, अंतर = $(x + 24)$ मी, कोन ३०°.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
(I) मधून $h$ ची किंमत ठेवून:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ मी}}$ (नदीची रुंदी)
आता, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ मी.
झाडाची उंची = २०.७६ मी.
प्रश्न ५. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणताही एक). (३ गुण)
१) एका वर्तुळाकार बागेचा व्यास १३ मीटर असून बागेच्या दोन प्रवेशद्वारामधील अंतर १३ मीटर आहे. बागेच्या परिघावर एक विद्युत खांब असा उभा करावयाचा आहे, जेणेकरून प्रत्येक प्रवेशद्वारापासून व खांबापर्यंतच्या अंतरातील फरक ७ मीटर असेल. असा खांब उभा करता येईल का? येत असल्यास खांबाचे दोन्ही प्रवेशद्वारापासूनचे अंतर काढा.
समजा प्रवेशद्वारे A आणि B आहेत. $AB = 13$ मी. व्यास = १३ मी.
येथे जीवा AB = व्यास असल्याने, A आणि B हे व्यासाचे अंत्यबिंदू आहेत.
समजा खांब P बिंदूवर आहे. $\angle APB = 90^{\circ}$ (अर्धवर्तुळातील कोन).
समजा $PA = x$ आणि $PB = y$.
दिलेला फरक ७ मी आहे: $|x - y| = 7$.
काटकोन $\triangle APB$ मध्ये: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
आपल्याला माहित आहे: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
आता, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
समीकरणे सोडवून ($x+y=17$ आणि $x-y=7$):
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
होय, असा खांब उभा करता येईल. त्याची प्रवेशद्वारांपासूनची अंतरे १२ मी आणि ५ मी असतील.
२) $x - 6y + 11 = 0$ ही रेषा (8, -1) आणि (0, k) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला दुभागते, तर k ची किंमत काढा.
समजा $A=(8, -1)$ आणि $B=(0, k)$.
रेषाखंड AB ला रेषा दुभागते, म्हणजेच AB चा मध्यबिंदू त्या रेषेवर आहे.
मध्यबिंदू $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$.
हा बिंदू $x - 6y + 11 = 0$ या समीकरणात ठेवू:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
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10th Geometry July 2024 Board Exam Question Paper with Solutions

Mathematics Part II (Geometry) - July 2024

Time: 2 Hours | Max. Marks: 40

Q.1 (A) Choose the correct alternative. (4 Marks)
1. In $\triangle ABC$ and $\triangle PQR$, in a one to one correspondence of vertices, if $\frac{AB}{QR} = \frac{BC}{PR} = \frac{CA}{PQ}$, then which of the following statements is true?
  • (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
  • (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
  • (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
  • (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$
Answer: (B)
Explanation: The sides are proportional as follows: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
Ordering vertices: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
Therefore, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ or $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.
2. Two circles of radii 5.5 cm and 3.3 cm respectively touch each other externally. Then the distance between their centres is ____.
  • (A) 4.4 cm
  • (B) 8.8 cm
  • (C) 2.2 cm
  • (D) 8.3 cm
Answer: (B)
Explanation: Distance between centres of externally touching circles = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ cm.
3. Seg AB is parallel to Y-axis and co-ordinates of point A are (1, 3), then the co-ordinates of point B are ____.
  • (A) (3, 1)
  • (B) (5, 3)
  • (C) (3, 0)
  • (D) (1, -3)
Answer: (D)
Explanation: A line parallel to the Y-axis has a constant X-coordinate. Since A is (1, 3), the X-coordinate of B must be 1. Only option (D) matches.
4. The volume of a cube of side 10 cm is ____.
  • (A) $1000 \text{ cm}^3$
  • (B) $100 \text{ cm}^3$
  • (C) $10,000 \text{ cm}^3$
  • (D) $10 \text{ cm}^3$
Answer: (A)
Explanation: Volume of cube = $(\text{side})^3 = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3$.
Q.1 (B) Solve the following subquestions. (4 Marks)
1. In $\triangle ABC$, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ cm, then find AB.
By $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ theorem, the side opposite to $30^{\circ}$ is half the hypotenuse.
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ cm
2. In a circle, if $m(\text{arc } MN) = 70^{\circ}$, find $\angle MLN$.
By Inscribed Angle Theorem:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{arc } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$
3. Find the value of $\sin \theta \times \csc \theta$.
We know that $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \csc \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
Value = 1
4. If radius of a circle is 4 cm and length of an arc is 10 cm, then find the area of the sector.
Given: $r = 4$ cm, length of arc ($l$) = 10 cm.
Area of Sector ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
Area = 20 cm$^2$

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Maths March 2025 Board Papers

Maths July 2025 Board Papers

Maths March 2024 Board Papers

Maths July 2024 Board Papers

Q.2 (A) Complete the activities (Any 2). (4 Marks)
1. Chord PQ and chord RS intersect at point T. Prove $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{arc } SQ) + m(\text{arc } PR)]$.
$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (Exterior angle theorem of a triangle)
$= \frac{1}{2} m(\text{arc } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{arc } PR)$ (Inscribed angle theorem)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{arc } SQ)$ + $m(\text{arc } PR)$ $]$
2. If $\sec \theta = \frac{25}{7}$, find the value of $\tan \theta$.
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$
3. Find the volume of a cone if radius is 7 cm and height is 6 cm.
Volume of cone = $\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
Volume of cone = 308 cm$^3$
Q.2 (B) Solve the following (Any 4). (8 Marks)
1. Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it.
Construct a tangent to a circle with centre P and radius 3.2 cm at any point M on it Steps of construction:
1. Draw a circle with centre P and radius 3.2 cm.
2. Take any point M on the circle.
3. Draw ray PM.
4. Draw a line perpendicular to ray PM passing through point M. This line is the required tangent.
2. In $\triangle PQR$, seg RS bisects $\angle PRQ$. If $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$, then find SQ.
By the Angle Bisector Theorem:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ units
3. Find the surface area of a sphere of diameter 14 cm.
Diameter = 14 cm $\therefore$ Radius ($r$) = 7 cm.
Surface Area = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
Surface Area = 616 cm$^2$
4. In $\triangle PQR, \angle PQR=90^{\circ}$, seg $QN \perp$ seg PR, $PN=9, NR=16$, find QN.
By Theorem of Geometric Mean:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
Taking square root,
$QN = 12$ units
5. Find the slope of the line passing through the points A(3,3) and B(5,7).
Slope $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
Slope = 2
Q.3 (A) Complete the activities (Any 1). (3 Marks)
1. Line AB || Line CD || Line EF. If $AC=12, CE=9, BD=8$, find DF.
Property of three parallel lines and their transversal:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6
2. Cylinder: Radius 7 cm, Height 21 cm. Find Volume and Circumference of base.
Volume of cylinder = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
Volume = 3234 cm$^3$

Circumference of base = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
Circumference = 44 cm
Q.3 (B) Solve the following (Any 2). (6 Marks)
1. Prove that, 'Opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary'.
Given: $\square ABCD$ is cyclic.
To Prove: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ and $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
Proof:
$\angle ADC$ is an inscribed angle intercepting arc ABC.
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{arc } ABC)$ ... (I)
Similarly, $\angle ABC$ is an inscribed angle intercepting arc ADC.
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{arc } ADC)$ ... (II)
Adding (I) and (II):
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{arc } ABC) + m(\text{arc } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (Since arc ABC + arc ADC constitutes the complete circle)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
Similarly, we can prove $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
2. Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q.
Draw a circle with centre P and radius 3.5 cm. Take point Q at a distance 8 cm from the centre. Construct tangents to the circle from point Q. Construction Steps:
1. Draw circle with centre P, $r = 3.5$ cm.
2. Draw segment PQ = 8 cm.
3. Draw perpendicular bisector of seg PQ to find midpoint M.
4. Draw a circle (or arcs) with centre M and radius MP to cut the original circle at points A and B.
5. Draw line QA and line QB.
QA and QB are the required tangents.
3. Show that points $P(-2,3)$, $Q(1,2)$, $R(4,1)$ are collinear.
Slope of line = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Slope of PQ = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
Slope of QR = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
Since Slope of PQ = Slope of QR and point Q is common,
Points P, Q, and R are collinear.
4. If $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ and $QR=20$, then find MN.
Given: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
Since triangles are similar, ratio of areas = ratio of squares of corresponding sides.
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
Taking square root of both sides:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ units
Q.4 Solve the following (Any 2). (8 Marks)
1. $\triangle ABC$ is an equilateral triangle. Point D is on seg BC such that $BD = \frac{1}{5} BC$. Then prove that $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.
Proof:
Draw $AM \perp BC$. Since $\triangle ABC$ is equilateral, AM is the median.
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
Given $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
In right angled $\triangle AMC$, height $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (Altitude of equilateral triangle).
Now, in right angled $\triangle AMD$, by Pythagoras theorem:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
Since $AB = BC$ (Equilateral), substitute BC with AB:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$
2. $\triangle LMN \sim \triangle LQP$. In $\triangle LMN$, $LM=3.6$ cm, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ cm and $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$. Construct $\triangle LQP$.
Analysis:
Since vertex L is common, we treat this as constructing similar triangles with a common vertex.
Ratio $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ implies sides of $\triangle LQP$ are larger than $\triangle LMN$.
Steps:
1. Draw $\triangle LMN$ with $LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$.
2. Draw a ray from L at an acute angle to LM.
3. Mark 7 equal points on the ray ($A_1$ to $A_7$).
4. Join $A_4$ to M (Since LM corresponds to 4 parts).
5. Draw a line parallel to $A_4M$ from $A_7$ intersecting line LM extended at Q.
6. From Q, draw a line parallel to MN intersecting line LN extended at P.
$\triangle LQP$ is the required triangle.
3. To find the width of the river, a man observes the top of a tree on the opposite bank making an angle of elevation of $60^{\circ}$. When he moves 24 meter backward... angle becomes $30^{\circ}$. Find height of tree and width of river. ($\sqrt{3}=1.73$)
Let height of tree = $h$ m. Let initial width of river = $x$ m.
Case 1: Angle $60^{\circ}$.
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
Case 2: Angle $30^{\circ}$ from distance $(x + 24)$.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
Substitute $h$ from (I):
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ m}}$ (Width of river)
Now, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ m.
Height of tree = 20.76 m.
Q.5 Solve the following (Any 1). (3 Marks)
1. The diameter of a circular garden is 13 m. The distance between two gates is 13 m. An electric pole is to be erected on the circumference such that the difference between distance of the pole from each gate is 7 m. Can such a pole be erected? If yes, find distances.
Let gates be A and B. $AB = 13$ m. Diameter = 13 m.
Since chord AB = Diameter, the gates are at opposite ends of the diameter.
Let Pole be at P. $\angle APB = 90^{\circ}$ (Angle in a semicircle).
Let $PA = x$ and $PB = y$.
Given difference is 7m: $|x - y| = 7$.
In right $\triangle APB$: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
We know: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
Now, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
Solving $x+y=17$ and $x-y=7$:
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
Yes, the pole can be erected at distances 12 m and 5 m from the gates.
2. The line $x - 6y + 11 = 0$ bisects the segment joining points (8, -1) and (0, k), find k.
Let $A=(8, -1)$ and $B=(0, k)$.
Since the line bisects segment AB, the midpoint of AB lies on the line.
Midpoint $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$.
Substitute M in equation $x - 6y + 11 = 0$:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$
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