10th Geometry July 2024 Question Paper with Solutions in Marathi

गणित भाग-२ (भूमिती) - जुलै २०२४

वेळ: २ तास | एकूण गुण: ४०

प्रश्न १. (A) खालील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा. (४ गुण)

१) जर $\triangle ABC$ व $\triangle PQR$ मध्ये शिरोबिंदूच्या एकास-एक संगतीत $\frac{AB}{QR}=\frac{BC}{PR}=\frac{CA}{PQ}$, तर खालीलपैकी सत्य विधान _____ आहे.

• (A) $\triangle PQR \sim \triangle ABC$
• (B) $\triangle PQR \sim \triangle CAB$
• (C) $\triangle CBA \sim \triangle PQR$
• (D) $\triangle BCA \sim \triangle PQR$

उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: बाजूंची प्रमाणात संगती: $AB \leftrightarrow QR$, $BC \leftrightarrow PR$, $CA \leftrightarrow PQ$.
शिरोबिंदूंची संगती: $A \leftrightarrow Q$, $B \leftrightarrow R$, $C \leftrightarrow P$.
म्हणून, $\triangle ABC \sim \triangle QRP$ किंवा $\triangle CAB \sim \triangle PQR$.

२) दोन बाह्यस्पर्शी वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे ५.५ सेमी, ३.३ सेमी आहेत, तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर _____ आहे.

• (A) ४.४ सेमी
• (B) ८.८ सेमी
• (C) २.२ सेमी
• (D) ८.३ सेमी

उत्तर: (B)
स्पष्टीकरण: बाह्यस्पर्शी वर्तुळांच्या केंद्रातील अंतर = त्रिज्यांची बेरीज = $r_1 + r_2 = 5.5 + 3.3 = 8.8$ सेमी.

३) रेख AB हा Y-अक्षाला समांतर असून बिंदू A चे निर्देशक (१, ३) आहेत, तर बिंदू B चे निर्देशक _____ आहेत.

• (A) (३, १)
• (B) (५, ३)
• (C) (३, ०)
• (D) (१, -३)

उत्तर: (D)
स्पष्टीकरण: Y-अक्षाला समांतर रेषेवरील सर्व बिंदूंचे X-निर्देशक समान असतात. A चा X-निर्देशक १ आहे, म्हणून B चा X-निर्देशक १ असावा.

४) १० सेमी बाजू असलेल्या घनाचे घनफळ _____ आहे.

• (A) १००० घसेमी
• (B) १०० घसेमी
• (C) १०,००० घसेमी
• (D) १० घसेमी

उत्तर: (A)
स्पष्टीकरण: घनाचे घनफळ = $(\text{बाजू})^3 = 10^3 = 1000 \text{ घसेमी}$.

प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा. (४ गुण)

१) $\triangle ABC$ मध्ये, $\angle B=90^{\circ}$, $\angle C=30^{\circ}$, $AC=12$ सेमी, तर बाजू AB ची किंमत काढा.

$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ त्रिकोणाच्या प्रमेयानुसार, $30^{\circ}$ कोनासमोरील बाजू कर्णाच्या निम्मी असते.
$AB = \frac{1}{2} AC$
$AB = \frac{1}{2} \times 12$
$AB = 6$ सेमी

२) आकृतीमध्ये, $m(\text{कंस } MN) = 70^{\circ}$, तर $\angle MLN$ चे माप किती?

अंतर्लिखित कोनाच्या प्रमेयानुसार:
$\angle MLN = \frac{1}{2} m(\text{कंस } MN)$
$\angle MLN = \frac{1}{2} \times 70^{\circ}$
$\angle MLN = 35^{\circ}$

३) किंमत काढा: $\sin \theta \times \text{cosec } \theta$.

आपल्याला माहित आहे की, $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\therefore \sin \theta \times \text{cosec } \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta}$
किंमत = १

४) जर वर्तुळाची त्रिज्या ४ सेमी आणि वर्तुळकंसाची लांबी १० सेमी असेल, तर वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा.

दिले आहे: त्रिज्या ($r$) = ४ सेमी, कंसाची लांबी ($l$) = १० सेमी.
वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ ($A$) = $\frac{l \times r}{2}$
$A = \frac{10 \times 4}{2} = \frac{40}{2}$
क्षेत्रफळ = २० चौसेमी

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key

Maths July 2025 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key

Maths March 2024 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key

Maths July 2024 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key

प्रश्न २. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणत्याही दोन). (४ गुण)

१) वरील आकृतीमध्ये, जीवा PQ आणि जीवा RS एकमेकीस बिंदू T मध्ये छेदतात. तर $\angle STQ = \frac{1}{2}[m(\text{कंस } SQ) + m(\text{कंस } PR)]$ हे सिद्ध करण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

$\angle STQ = \angle SPQ + $ $\angle PSQ$ (त्रिकोणाच्या दूरस्थ आंतरकोनांचे प्रमेय)
$= \frac{1}{2} m(\text{कंस } SQ) + $ $\frac{1}{2} m(\text{कंस } PR)$ (अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)
$= \frac{1}{2} [$ $m(\text{कंस } SQ)$ + $m(\text{कंस } PR)$ $]$

२) जर $\sec \theta = \frac{25}{7}$ तर $\tan \theta$ ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \tan^2\theta = $ $(\frac{25}{7})^2$
$\tan^2\theta = \frac{625}{49} - $ 1
$\tan^2\theta = \frac{625 - 49}{49}$
$\tan^2\theta = \frac{576}{49}$
$\tan \theta = $ $\frac{24}{7}$

३) एका शंकूच्या तळाची त्रिज्या ७ सेमी असून त्याची लंब उंची ६ सेमी आहे, तर शंकूचे घनफळ काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

शंकूचे घनफळ = $\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $7^2$ $\times 6$
$= \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times $ $49$ $\times 6$
शंकूचे घनफळ = ३०८ घसेमी

प्रश्न २. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही चार). (८ गुण)

१) केंद्र P व त्रिज्या ३.२ सेमी असलेल्या वर्तुळाला त्यावरील M बिंदूतून स्पर्शिका काढा.

रचनेच्या पायऱ्या:
१. P केंद्र व ३.२ सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढा.
२. वर्तुळावर कुठेही बिंदू M घ्या.
३. किरण PM काढा.
४. बिंदू M मधून किरण PM ला लंब रेषा काढा. ही रेषा अपेक्षित स्पर्शिका आहे.

२) $\triangle PQR$ मध्ये, रेख RS हा $\angle PRQ$ चा दुभाजक आहे. जर $PR=15$, $RQ=20$, $PS=12$, तर SQ काढा.

त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकाच्या प्रमेयानुसार:
$\frac{PR}{RQ} = \frac{PS}{SQ}$
$\frac{15}{20} = \frac{12}{SQ}$
$SQ = \frac{20 \times 12}{15}$
$SQ = \frac{240}{15}$
$SQ = 16$ एकक

३) एका गोलाचा व्यास १४ सेमी असेल तर त्याचे वक्रपृष्ठफळ काढा.

व्यास = १४ सेमी $\therefore$ त्रिज्या ($r$) = ७ सेमी.
गोलाचे वक्रपृष्ठफळ = $4\pi r^2$
$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$
$= 4 \times 22 \times 7$
$= 88 \times 7$
वक्रपृष्ठफळ = ६१६ चौसेमी

४) आकृतीमध्ये, $\angle PQR=90^{\circ}$, रेख $QN \perp$ रेख PR, $PN=9, NR=16$, तर QN काढा.

भूमितीमध्याच्या प्रमेयानुसार:
$QN^2 = PN \times NR$
$QN^2 = 9 \times 16$
$QN^2 = 144$
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन,
$QN = 12$ एकक

५) $A(3,3)$ आणि $B(5,7)$ या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.

रेषेचा चढ $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$m = \frac{7 - 3}{5 - 3}$
$m = \frac{4}{2}$
चढ = २

प्रश्न ३. (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणतीही एक). (३ गुण)

१) आकृतीत AB || CD || EF. जर $AC=12, CE=9, BD=8$, तर DF काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

तीन समांतर रेषा व छेदिका यांचा गुणधर्म:
$\frac{AC}{CE} = \frac{BD}{DF}$
$\frac{12}{9} = \frac{8}{DF}$
$DF = \frac{8 \times 9}{12}$
$DF = $ 6

२) एका वृत्तचितीच्या तळाची त्रिज्या ७ सेमी आणि उंची २१ सेमी आहे. तर वृत्तचितीचे घनफळ व तळाचा परीघ काढण्यासाठी कृती पूर्ण करा.

वृत्तचितीचे घनफळ = $\pi r^2 h$
$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times $ 21
$= 154 \times 21$
घनफळ = ३२३४ घसेमी

तळाचा परीघ = $2\pi r$
$= 2 \times \frac{22}{7} \times $ 7
परीघ = ४४ सेमी

प्रश्न ३. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन). (६ गुण)

१) सिद्ध करा, 'चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात'.

पक्ष: $\square ABCD$ हा चक्रीय चौकोन आहे.
साध्य: $\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ आणि $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$.
सिद्धता:
$\angle ADC$ हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ABC अंतर्खंडित केला आहे.
$\therefore \angle ADC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } ABC)$ ... (I)
त्याचप्रमाणे, $\angle ABC$ हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ADC अंतर्खंडित केला आहे.
$\therefore \angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{कंस } ADC)$ ... (II)
(I) व (II) ची बेरीज करून:
$\angle ADC + \angle ABC = \frac{1}{2} [m(\text{कंस } ABC) + m(\text{कंस } ADC)]$
$\angle D + \angle B = \frac{1}{2} [360^{\circ}]$ (कारण कंस ABC + कंस ADC मिळून पूर्ण वर्तुळ तयार होते)
$\mathbf{\angle D + \angle B = 180^{\circ}}$
त्याचप्रमाणे, $\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ हे सिद्ध करता येईल.

२) केंद्र P व ३.५ सेमी त्रिज्या घेऊन एक वर्तुळ काढा. वर्तुळकेंद्रापासून ८ सेमी अंतरावर बिंदू घ्या. Q बिंदूतून वर्तुळाला स्पर्शिका काढा.

रचनेच्या पायऱ्या:
१. P केंद्र व ३.५ सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
२. P पासून ८ सेमी अंतरावर बिंदू Q घ्या.
३. रेख PQ चा लंबदुभाजक काढून त्याचा मध्यबिंदू M मिळवा.
४. M केंद्र व PM त्रिज्येने मूळ वर्तुळाला छेदणारे कंस (किंवा वर्तुळ) काढा, छेदनबिंदूंना A व B नाव द्या.
५. रेषा QA आणि रेषा QB काढा.
ह्या अपेक्षित स्पर्शिका आहेत.

३) P(-2, 3), Q(1, 2), R(4, 1) हे बिंदू एकरेषीय आहेत हे दाखवा.

रेषेचा चढ = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
रेषा PQ चा चढ = $\frac{2 - 3}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}$
रेषा QR चा चढ = $\frac{1 - 2}{4 - 1} = \frac{-1}{3}$
येथे, रेषा PQ चा चढ = रेषा QR चा चढ आणि बिंदू Q सामाईक आहे.
म्हणून, बिंदू P, Q आणि R हे एकरेषीय आहेत.

४) जर $\triangle PQR \sim \triangle LMN$, $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$ आणि $QR=20$, तर MN काढा.

दिले आहे: $9 \times A(\triangle PQR) = 16 \times A(\triangle LMN)$
$\therefore \frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{16}{9}$
समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:
$\frac{A(\triangle PQR)}{A(\triangle LMN)} = \frac{QR^2}{MN^2}$
$\frac{16}{9} = (\frac{20}{MN})^2$
दोन्ही बाजूंचे वर्गमूळ घेऊन:
$\frac{4}{3} = \frac{20}{MN}$
$MN = \frac{20 \times 3}{4}$
$MN = 15$ एकक

प्रश्न ४. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन). (८ गुण)

१) $\triangle ABC$ हा समभुज त्रिकोण आहे. बिंदू D हा बाजू BC वर अशाप्रकारे आहे की $BD = \frac{1}{5} BC$. तर सिद्ध करा की $\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}$.

सिद्धता:
$\triangle ABC$ मध्ये रेख $AM \perp$ बाजू $BC$ काढा. समभुज त्रिकोणात शिरोलंब हा मध्यगा असतो.
$\therefore BM = \frac{1}{2} BC$.
दिले आहे $BD = \frac{1}{5} BC$.
$DM = BM - BD = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{5}BC = \frac{5-2}{10}BC = \frac{3}{10}BC$.
काटकोन $\triangle AMC$ मध्ये, $AM = \frac{\sqrt{3}}{2} AB$ (समभुज त्रिकोणाची उंची).
आता, काटकोन $\triangle AMD$ मध्ये, पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार:
$AD^2 = AM^2 + DM^2$
$BC = AB$ असल्याने:
$AD^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2} AB)^2 + (\frac{3}{10} AB)^2$
$AD^2 = \frac{3}{4} AB^2 + \frac{9}{100} AB^2$
$AD^2 = AB^2 (\frac{75}{100} + \frac{9}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{84}{100})$
$AD^2 = AB^2 (\frac{21}{25})$
$\therefore \mathbf{\frac{AD^2}{AB^2} = \frac{21}{25}}$

२) $\triangle LMN \sim \triangle LQP$. $\triangle LMN$ मध्ये, $LM=3.6$ सेमी, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$ सेमी आणि $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$. तर $\triangle LQP$ काढा.

विश्लेषण:
येथे L हा सामाईक शिरोबिंदू आहे.
गुणोत्तर $\frac{LM}{LQ} = \frac{4}{7}$ आहे, म्हणजेच $\triangle LQP$ च्या बाजू $\triangle LMN$ च्या बाजूंपेक्षा मोठ्या आहेत.
रचनेच्या पायऱ्या:
१. दिलेल्या मापांचा $\triangle LMN$ काढा ($LM=3.6$, $\angle L=50^{\circ}$, $LN=4.2$).
२. बिंदू L मधून बाजू LM शी लघुकोन करणारा एक किरण काढा.
३. त्या किरणावर समान अंतरावर ७ खुणा करा ($A_1$ ते $A_7$).
४. बिंदू $A_4$ आणि बिंदू M जोडा (कारण LM चे प्रमाण ४ आहे).
५. बिंदू $A_7$ मधून रेषा $A_4M$ ला समांतर रेषा काढा, जी वाढवलेल्या रेषा LM ला Q मध्ये छेदेल.
६. बिंदू Q मधून बाजू MN ला समांतर रेषा काढा, जी वाढवलेल्या रेषा LN ला P मध्ये छेदेल.
$\triangle LQP$ हा अपेक्षित त्रिकोण तयार होईल.

३) नदीच्या पात्राची रुंदी काढण्यासाठी एका माणसाने पात्राच्या एका काठावरून... झाडाच्या शेंड्याकडे पाहिले असता ६०° मापाचा उन्नतकोन होतो. २४ मी. अंतर मागे जाऊन... उन्नतकोन ३०° होतो, तर नदीपात्राची रुंदी आणि झाडाची उंची काढा.

समजा झाडाची उंची = $h$ मी. आणि नदीची रुंदी = $x$ मी.
स्थिती १: ६०° कोन.
$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{x} \Rightarrow h = x\sqrt{3}$ ... (I)
स्थिती २: २४ मी मागे गेल्यावर, अंतर = $(x + 24)$ मी, कोन ३०°.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+24} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{x+24}$
$h\sqrt{3} = x + 24$
(I) मधून $h$ ची किंमत ठेवून:
$(x\sqrt{3})\sqrt{3} = x + 24$
$3x = x + 24$
$2x = 24 \Rightarrow \mathbf{x = 12 \text{ मी}}$ (नदीची रुंदी)
आता, $h = 12\sqrt{3} = 12 \times 1.73 = 20.76$ मी.
झाडाची उंची = २०.७६ मी.

प्रश्न ५. खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणताही एक). (३ गुण)

१) एका वर्तुळाकार बागेचा व्यास १३ मीटर असून बागेच्या दोन प्रवेशद्वारामधील अंतर १३ मीटर आहे. बागेच्या परिघावर एक विद्युत खांब असा उभा करावयाचा आहे, जेणेकरून प्रत्येक प्रवेशद्वारापासून व खांबापर्यंतच्या अंतरातील फरक ७ मीटर असेल. असा खांब उभा करता येईल का? येत असल्यास खांबाचे दोन्ही प्रवेशद्वारापासूनचे अंतर काढा.

समजा प्रवेशद्वारे A आणि B आहेत. $AB = 13$ मी. व्यास = १३ मी.
येथे जीवा AB = व्यास असल्याने, A आणि B हे व्यासाचे अंत्यबिंदू आहेत.
समजा खांब P बिंदूवर आहे. $\angle APB = 90^{\circ}$ (अर्धवर्तुळातील कोन).
समजा $PA = x$ आणि $PB = y$.
दिलेला फरक ७ मी आहे: $|x - y| = 7$.
काटकोन $\triangle APB$ मध्ये: $x^2 + y^2 = 13^2 = 169$.
आपल्याला माहित आहे: $(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$7^2 = 169 - 2xy \Rightarrow 49 = 169 - 2xy \Rightarrow 2xy = 120$.
आता, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 169 + 120 = 289$.
$\therefore x + y = 17$.
समीकरणे सोडवून ($x+y=17$ आणि $x-y=7$):
$2x = 24 \Rightarrow x = 12$.
$y = 5$.
होय, असा खांब उभा करता येईल. त्याची प्रवेशद्वारांपासूनची अंतरे १२ मी आणि ५ मी असतील.

२) $x - 6y + 11 = 0$ ही रेषा (8, -1) आणि (0, k) या बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाला दुभागते, तर k ची किंमत काढा.

समजा $A=(8, -1)$ आणि $B=(0, k)$.
रेषाखंड AB ला रेषा दुभागते, म्हणजेच AB चा मध्यबिंदू त्या रेषेवर आहे.
मध्यबिंदू $M = (\frac{8+0}{2}, \frac{-1+k}{2}) = (4, \frac{k-1}{2})$.
हा बिंदू $x - 6y + 11 = 0$ या समीकरणात ठेवू:
$4 - 6(\frac{k-1}{2}) + 11 = 0$
$4 - 3(k-1) + 11 = 0$
$4 - 3k + 3 + 11 = 0$
$18 - 3k = 0$
$3k = 18$
$k = 6$