10th Geometry Question Paper Solution July 2025 Hindi Medium | SSC Maharashtra Board

प्रश्न 1

Q. 1 (A) दिये गये पर्यायों में से उचित पर्याय चुनकर लिखिए : (4 अंक)

(1) यदि \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) तथा \(m\angle B=60^{\circ}\) तो \(m\angle E=\) .....

• (A) \(30^{\circ}\)
• (B) \(60^{\circ}\)
• (C) \(90^{\circ}\)
• (D) \(45^{\circ}\)

उत्तर: (B) \(60^{\circ}\)
स्पष्टीकरण: समरूप त्रिभुजों के संगत कोण सर्वांगसम होते हैं। \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) होने के कारण \(\angle B \cong \angle E\). इसलिए \(m\angle E = 60^{\circ}\).

(2) दो बाह्यस्पर्शी वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5.5 सेमी तथा 4.2 सेमी हों, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ..... होगी।

• (A) 9.7 सेमी
• (B) 1.3 सेमी
• (C) 5.5 सेमी
• (D) 4.2 सेमी

उत्तर: (A) 9.7 सेमी
स्पष्टीकरण: यदि दो वृत्त बाह्यस्पर्शी हों, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योगफल के बराबर होती है। \(d = r_1 + r_2 = 5.5 + 4.2 = 9.7\) सेमी.

(3) किसी रेखा द्वारा X-अक्ष की धन दिशा की ओर निर्मित कोण का माप 45° हो, तो उस रेखा का ढाल = .....

• (A) \(\frac{1}{2}\)
• (B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• (C) 1
• (D) \(\sqrt{3}\)

उत्तर: (C) 1
स्पष्टीकरण: रेखा का ढाल \(m = \tan \theta\). यहाँ \(\theta = 45^{\circ}\). \(m = \tan 45^{\circ} = 1\).

(4) 2 सेमी भुजा वाले समघन का घनफल ..... होगा।

• (A) 4 घसेमी
• (B) 2 घसेमी
• (C) 6 घसेमी
• (D) 8 घसेमी

उत्तर: (D) 8 घसेमी
स्पष्टीकरण: समघन का घनफल \(= (\text{भुजा})^3 = 2^3 = 8\) घसेमी.

Q. 1 (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए : (4 अंक)

(1) किसी वर्ग की भुजा 10 सेमी हो, तो उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

सूत्र: वर्ग का विकर्ण = \(\sqrt{2} \times \text{भुजा}\)
\(\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times 10 = 10\sqrt{2}\) सेमी.

(2) दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3:5 हो, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार:
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}\)
क्षेत्रफलों का अनुपात 9:25 है।

(3) बिंदु \(A(2, 3)\) तथा \(B(4, 7)\) से होकर जाने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

ढाल \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\).

(4) यदि \(\sin \theta = \frac{7}{25}\) तो \(\text{cosec } \theta\) का मान ज्ञात कीजिए।

\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{7/25} = \frac{25}{7}\).

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प्रश्न 2

Q. 2 (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके पुनः लिखिए (कोई दो) : (4 अंक)

(1) नीचे दी गई आकृति में रेख \(AR \perp\) भुजा \(BC\), रेख \(AR \perp\) भुजा \(PQ\), तो \(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)}\) ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}}{\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC} \times AR}{PQ \times \class{activity-box}{AR}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC}}{\class{activity-box}{PQ}}\)

(2) नीचे दी गई आकृति में, रेख PS स्पर्शरखाखंड है। रेखा PR वृत्त की छेदनरेखा है। यदि \(PQ=3.6\), \(QR=6.4\) तो PS ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिये।

कृति:
\(PS^{2} = PQ \times \class{activity-box}{PR}\) ... (स्पर्शरेखा छेदनरेखा रेखाखंड प्रमेय)
\(PS^{2} = PQ \times (PQ + \class{activity-box}{QR})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times (3.6 + \class{activity-box}{6.4})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times 10\)
\(PS^{2} = 36\)
\(PS = \class{activity-box}{6}\)

(3) किसी वृत्त चाप का माप \(90^{\circ}\) तथा त्रिज्या 14 सेमी हो, तो उस वृत्त चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
वृत्त चाप की लंबाई \( = \frac{\theta}{360} \times \class{activity-box}{2\pi r}\) ... (सूत्र)
\( = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times \class{activity-box}{14}\)
\( = \frac{1}{4} \times \class{activity-box}{88}\)
वृत्त चाप की लंबाई \( = \class{activity-box}{22}\) सेमी

Q. 2 (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए (कोई चार) : (8 अंक)

(1) नीचे दी गई आकृति में, \(\Delta LMN\) में किरण MT यह \(\angle LMN\) का सम‌द्विभाजक है। यदि \(LM=6\), \(MN=10\), \(TN=8\), तो LT ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज के कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार:
\(\frac{LM}{MN} = \frac{LT}{TN}\)
\(\frac{6}{10} = \frac{LT}{8}\)
\(LT = \frac{6 \times 8}{10}\)
\(LT = \frac{48}{10}\)
\(LT = 4.8\)

(2) किसी गोले की त्रिज्या 7 सेमी हो तो उसका पृष्ठफल ज्ञात कीजिए।

गोले का पृष्ठफल \(= 4\pi r^2\)
\(= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
\(= 4 \times 22 \times 7\)
\(= 88 \times 7\)
पृष्ठफल \(= 616\) वर्ग सेमी.

(3) नीचे दी गई आकृति में \(m(\text{चाप } NS)=125^{\circ}\), \(m(\text{चाप } EF)=37^{\circ}\), तो \(\angle NMS\) का माप ज्ञात कीजिए।

वृत्त के अंतर्भाग में प्रतिच्छेदन करने वाली जीवाओं के गुणधर्म से:
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{चाप } NS) + m(\text{चाप } EF)]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} + 37^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [162^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = 81^{\circ}\)

(4) \(P(22,20)\) और \(Q(0,16)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मध्यबिंदु सूत्र से:
\(x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)
\(x = \frac{22 + 0}{2} = \frac{22}{2} = 11\)
\(y = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18\)
मध्यबिंदु के निर्देशांक (11, 18) हैं।

(5) किसी शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी तथा लंब ऊँचाई 15 सेमी हो, तो उस शंकु का घनफल ज्ञात कीजिए।

शंकु का घनफल \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
\(V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15\)
\(V = 22 \times 7 \times 5\)
\(V = 154 \times 5\)
घनफल \(= 770\) घसेमी

प्रश्न 3

Q. 3 (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए (कोई एक) : (3 अंक)

(1) यदि \(\tan \theta=1\), तो \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta}\) का मान ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
\(\tan \theta = 1\) (दत्त)
परंतु \(\tan \class{activity-box}{45^{\circ}} = 1\)
\(\therefore \theta = \class{activity-box}{45^{\circ}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{\sin 45^{\circ}+\cos 45^{\circ}}{\sec 45^{\circ}+\text{cosec } 45^{\circ}}\)

\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} + \class{activity-box}{\sqrt{2}}}\)

\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{\class{activity-box}{2\sqrt{2}}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{1}{\class{activity-box}{2}}\)

(2) नीचे दी गई आकृति में, केंद्र वाले वृत्त की जीवा AB की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो \(\angle AOB\), चाप AB, और \(\angle ACB\) का माप ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
आकृति \(\Delta AOB\) में,
\(AO = OB = AB\) (त्रिज्या और दत्त)
\(\therefore \Delta AOB\) यह \(\class{activity-box}{\text{समबाहु}}\) त्रिभुज है।
\(m\angle AOB = \class{activity-box}{60^{\circ}}\)
\(m\angle AOB = m(\text{चाप } AB) = \class{activity-box}{60^{\circ}}\) (चाप का माप की परिभाषा)
\(m\angle ACB = \frac{1}{2} \times \class{activity-box}{m(\text{चाप } AB)}\)
\(= \frac{1}{2} \times 60^{\circ}\)
\(m\angle ACB = \class{activity-box}{30^{\circ}}\)

Q. 3 (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए (कोई दो) : (6 अंक)

(1) यदि बिंदु P बिंदुओं \(A(-1, 7)\) और \(B(4,3)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:3 अनुपात में विभाजित करता हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

माना \(A(x_1, y_1) = (-1, 7)\) और \(B(x_2, y_2) = (4, 3)\) (प्रश्न में y2=3 दिया है, लेकिन पिछले पेपर्स में y2=-3 था, यहाँ PDF में 3 दिखता है, हम PDF के अनुसार 4,3 मानकर हल करते हैं या मानक प्रश्न के अनुसार। PDF में '3' है, लेकिन सामान्यतः यह प्रश्न '4,-3' के साथ आता है। हम दिए गए मान (4,3) से हल करेंगे).
*नोट: यदि PDF में अस्पष्टता के कारण यह -3 है, तो उत्तर (1,3) होगा। यदि यह 3 है, तो नीचे दिया गया हल होगा।*
विभाजन सूत्र: \(m:n = 2:3\)
\(x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2+3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1\)
\(y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{2(3) + 3(7)}{2+3} = \frac{6 + 21}{5} = \frac{27}{5} = 5.4\)
(यदि B(4,-3) होता तो y = 3 आता। यहाँ PDF टेक्स्ट में 'B(4,3)' लिखा है।)
निर्देशांक: P(1, 5.4) या मानक प्रश्न के अनुसार P(1, 3)।

(2) O केंद्र तथा 3.4 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। उसमें 5.7 सेमी लंबाई वाली जीवा MN खींचिए। बिंदु M तथा बिंदु N से वृत्त की स्पर्शरखा खींचिए।

रचना के चरण:
1. बिंदु O केंद्र लेकर 3.4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त पर कोई बिंदु M लीजिए। कंपास में 5.7 सेमी की दूरी लेकर बिंदु M से वृत्त पर चाप काटकर बिंदु N प्राप्त कीजिए।
3. किरण OM और किरण ON खींचिए।
4. बिंदु M पर त्रिज्या OM को लंब रेखा खींचिए (स्पर्शरेखा)।
5. बिंदु N पर त्रिज्या ON को लंब रेखा खींचिए (स्पर्शरेखा)।

(3) आँधी के कारण किसी पेड़ का सिरा टूटकर जमीन से \(60^{\circ}\) माप का कोण बनाता है। पेड़ का जमीन पर टिका हुआ सिरा तथा पेड़ के तने के बीच की दूरी 20 मीटर हो, तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

माना AB पेड़ का बचा हुआ भाग और AC टूटा हुआ भाग (कर्ण) है।
सिरा C जमीन को छूता है, जहाँ BC = 20 मी, \(\angle C = 60^{\circ}\).
समकोण \(\Delta ABC\) में:
\(\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{20} \Rightarrow AB = 20\sqrt{3}\) मी.
\(\cos 60^{\circ} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{AC} \Rightarrow AC = 40\) मी.
पेड़ की कुल ऊँचाई = \(AC + AB = 40 + 20\sqrt{3}\) मी.
पेड़ की ऊँचाई \(20(2 + \sqrt{3})\) मीटर है।

(4) सिद्ध करो कि 'समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।'

पाइथागोरस प्रमेय:
दत्त: \(\Delta ABC\) में, \(\angle ABC = 90^\circ\).
साध्य: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
रचना: रेख \(BD \perp\) भुजा \(AC\) खींचिए, \(A-D-C\).
उपपत्ति:
समकोण \(\Delta ABC\) में, \(BD \perp AC\).
\(\therefore \Delta ABC \sim \Delta ADB\) (समकोण त्रिभुजों की समरूपता)
\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB^2 = AD \times AC\) ... (I)
इसी प्रकार, \(\Delta ABC \sim \Delta BDC\)
\(\frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC^2 = DC \times AC\) ... (II)
समीकरण (I) और (II) को जोड़ने पर:
\(AB^2 + BC^2 = AD \times AC + DC \times AC\)
\(AB^2 + BC^2 = AC (AD + DC)\)
\(AB^2 + BC^2 = AC \times AC\) (चूँकि A-D-C)
\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4

Q. 4 निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए (कोई दो) : (8 अंक)

(1) \(\Delta ABC\) की भुजाओं की लंबाई 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी है। \(\Delta PQR\) की परिमिति 90 सेमी है। यदि \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\) हों, तो \(\Delta PQR\) की संगत भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

\(\Delta ABC\) की परिमिति \(= 4 + 5 + 6 = 15\) सेमी।
चूँकि \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\), परिमिति का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
\(\frac{\text{परिमिति}(\Delta PQR)}{\text{परिमिति}(\Delta ABC)} = \frac{90}{15} = 6\).
अतः गुणक (Scale factor) \(k = 6\).
\(\Delta PQR\) की भुजाएँ:
भुजा 1: \(4 \times 6 = 24\) सेमी।
भुजा 2: \(5 \times 6 = 30\) सेमी।
भुजा 3: \(6 \times 6 = 36\) सेमी।
भुजाओं की लंबाइयाँ 24 सेमी, 30 सेमी, और 36 सेमी हैं।

(2) \(\Delta ABC \sim \Delta PBR\), \(BC=8\) सेमी, \(AC=10\) सेमी, \(\angle B=90^{\circ}\), \(\frac{BC}{BR}=\frac{5}{4}\) तो \(\Delta PBR\) की रचना कीजिए।

रचना विश्लेषण:
बिंदु B उभयनिष्ठ है। \(\Delta ABC\) दिया गया है और \(\Delta PBR\) बनाना है।
\(\frac{BC}{BR} = \frac{5}{4}\), इसलिए PBR की भुजाएँ ABC से छोटी होंगी।
चरण:
1. \(\Delta ABC\) बनाएँ जिसमें \(BC=8, \angle B=90^{\circ}\)। पाइथागोरस से \(AB = 6\) सेमी।
2. बिंदु B से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण खींचें।
3. किरण पर 5 समान भाग अंकित करें (\(B_1\) से \(B_5\))。
4. \(B_5\) को C से मिलाएँ।
5. \(B_4\) से \(B_5C\) के समांतर रेखा खींचें जो BC को R पर काटे।
6. R से AC के समांतर रेखा खींचें जो AB को P पर काटे।
7. \(\Delta PBR\) अभीष्ट त्रिभुज है।

(3) नीचे दी गई आकृति में, \(\Delta ABC\) यह समद्विबाहु त्रिभुज है तथा उसकी परिमिति 44 सेमी है। त्रिभुज के आधार BC की लंबाई 12 सेमी है। भुजा AB और भुजा AC सर्वांगसम हैं। आकृति में दर्शाए अनुसार एक वृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है, तो बिंदु A से वृत्त के स्पर्शरखाखंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।

परिमिति = 44 सेमी, आधार \(BC = 12\) सेमी।
\(AB + AC + BC = 44\)
\(2AB + 12 = 44\) (चूँकि \(AB \cong AC\))
\(2AB = 32 \Rightarrow AB = 16\) सेमी।
मान लीजिए वृत्त भुजाओं को P (AB पर), Q (AC पर), और R (BC पर) स्पर्श करता है।
स्पर्शरेखाखंड प्रमेय से: \(BP = BR\), \(CR = CQ\), \(AP = AQ\).
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, R आधार BC का मध्यबिंदु है।
\(\therefore BR = \frac{12}{2} = 6\) सेमी।
\(BP = BR\) होने से, \(BP = 6\) सेमी।
हमें A से स्पर्शरेखाखंड (AP) ज्ञात करना है।
\(A - P - B\), अतः \(AP = AB - BP\)
\(AP = 16 - 6 = 10\) सेमी।
बिंदु A से स्पर्शरेखाखंड की लंबाई 10 सेमी है।

प्रश्न 5

Q. 5 निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए (कोई एक) : (3 अंक)

(1) 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी भुजा वाला समकोण त्रिभुज \(\Delta ABC\) खींचो। \(\Delta ABC\) के कर्ण पर माध्यिका खींचिए।

1. माध्यिका की लंबाई नापकर लिखिए।
2. माध्यिका और कर्ण की लंबाई से निष्कर्ष लिखिए।

हल:
1. 3, 4, 5 सेमी भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनाएँ (5 सेमी कर्ण होगा)।
2. कर्ण (5 सेमी) का मध्यबिंदु M ज्ञात करें।
3. समकोण वाले शीर्ष को M से मिलाएँ (माध्यिका)।
(i) मापन: माध्यिका की लंबाई 2.5 सेमी होगी।
(ii) निष्कर्ष: समकोण त्रिभुज में कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।

(2) नीचे दी गई आकृति का निरीक्षण करके प्रश्नों के उत्तर लिखिये :

1. ठोस शंकु के कितने पृष्ठभाग हैं ?
2. शंकु की तिरछी ऊँचाई और लंब ऊँचाई का नाम लिखिए।
3. यदि तिरछी ऊँचाई 10 सेमी और लंब ऊँचाई 8 सेमी हो तो शंकु के व्यास की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
(i) ठोस शंकु के 2 पृष्ठभाग होते हैं (1 वक्रपृष्ठ और 1 वृत्ताकार आधार)।
(ii) आकृति से:
- तिरछी ऊँचाई: रेख PB या रेख PA
- लंब ऊँचाई: रेख PO
(iii) तिरछी ऊँचाई \(l = 10\), ऊँचाई \(h = 8\), त्रिज्या \(r\).
\(r^2 + h^2 = l^2\)
\(r^2 + 8^2 = 10^2\)
\(r^2 + 64 = 100 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6\) सेमी।
व्यास \(= 2r = 2 \times 6 = 12\) सेमी।
शंकु का व्यास 12 सेमी है।

10th Geometry Question Paper Solution July 2025 Marathi Medium | SSC Maharashtra Board

प्रश्न १

प्रश्न १ (A) दिलेल्या पर्यायांपैकी योग्य पर्याय निवडा : (४ गुण)

(१) जर \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) आणि \(m\angle B=60^{\circ}\), तर \(m\angle E=\) .....

• (A) \(30^{\circ}\)
• (B) \(60^{\circ}\)
• (C) \(90^{\circ}\)
• (D) \(45^{\circ}\)

उत्तर: (B) \(60^{\circ}\)
स्पष्टीकरण: समरूप त्रिकोणांचे संगत कोन एकरूप असतात. \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) असल्याने \(\angle B \cong \angle E\). म्हणून \(m\angle E = 60^{\circ}\).

(२) बाह्यस्पर्शी असलेल्या दोन वर्तुळांच्या त्रिज्या अनुक्रमे 5.5 सेमी व 4.2 सेमी असतील, तर त्यांच्या केंद्रातील अंतर ..... आहे.

• (A) 9.7 सेमी
• (B) 1.3 सेमी
• (C) 5.5 सेमी
• (D) 4.2 सेमी

उत्तर: (A) 9.7 सेमी
स्पष्टीकरण: दोन वर्तुळे परस्परांना बाहेरून स्पर्श करत असतील तर त्यांच्या केंद्रांमधील अंतर त्यांच्या त्रिज्यांच्या बेरजेइतके असते. \(d = r_1 + r_2 = 5.5 + 4.2 = 9.7\) सेमी.

(३) एका रेषेने X-अक्षाच्या धन दिशेशी \(45^{\circ}\) चा कोन केला आहे. म्हणून त्या रेषेचा चढ = .....

• (A) \(\frac{1}{2}\)
• (B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• (C) 1
• (D) \(\sqrt{3}\)

उत्तर: (C) 1
स्पष्टीकरण: रेषेचा चढ \(m = \tan \theta\). येथे \(\theta = 45^{\circ}\). \(m = \tan 45^{\circ} = 1\).

(४) 2 सेमी बाजू असलेल्या घनाचे घनफळ ..... आहे.

• (A) 4 घसेमी
• (B) 2 घसेमी
• (C) 6 घसेमी
• (D) 8 घसेमी

उत्तर: (D) 8 घसेमी
स्पष्टीकरण: घनाचे घनफळ \(= (\text{बाजू})^3 = 2^3 = 8\) घसेमी.

प्रश्न १ (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)

(१) एका चौरसाची बाजू 10 सेमी आहे, तर त्याच्या कर्णाची लांबी काढा.

सूत्र: चौरसाचा कर्ण = \(\sqrt{2} \times \text{बाजू}\)
\(\text{कर्ण} = \sqrt{2} \times 10 = 10\sqrt{2}\) सेमी.

(२) दोन समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजूंचे गुणोत्तर 3:5 आहे, तर त्यांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर काढा.

समरूप त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांच्या प्रमेयानुसार:
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}\)
क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर 9:25 आहे.

(३) \(A(2, 3)\) आणि \(B(4, 7)\) या बिंदूतून जाणाऱ्या रेषेचा चढ काढा.

चढ \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\).

(४) जर \(\sin \theta = \frac{7}{25}\) तर \(\text{cosec } \theta\) ची किंमत काढा.

\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{7/25} = \frac{25}{7}\).

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Maths July 2024 Board Papers

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प्रश्न २

प्रश्न २ (A) खालील कृती पूर्ण करून पुन्हा लिहा (कोणत्याही दोन) : (४ गुण)

(१) खालील आकृतीमध्ये रेख \(AR \perp\) बाजू \(BC\), रेख \(AR \perp\) बाजू \(PQ\), तर \(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)}\) काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\text{पाया} \times \text{उंची}}{\text{पाया} \times \text{उंची}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC} \times AR}{PQ \times \class{activity-box}{AR}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC}}{\class{activity-box}{PQ}}\)

(२) खालील आकृतीमध्ये, रेख PS हा स्पर्शिकाखंड आहे. रेषा PR ही वृत्तछेदिका आहे. जर \(PQ=3.6\), \(QR=6.4\) तर PS काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:
\(PS^{2} = PQ \times \class{activity-box}{PR}\) ... (स्पर्शिका छेदिका रेषाखंडाचे प्रमेय)
\(PS^{2} = PQ \times (PQ + \class{activity-box}{QR})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times (3.6 + \class{activity-box}{6.4})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times 10\)
\(PS^{2} = 36\)
\(PS = \class{activity-box}{6}\)

(३) एका वर्तुळकंसाचे माप \(90^{\circ}\) आणि त्रिज्या 14 सेमी आहे, तर त्या वर्तुळकंसाची लांबी काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:
वर्तुळकंसाची लांबी \( = \frac{\theta}{360} \times \class{activity-box}{2\pi r}\) ... (सूत्र)
\( = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times \class{activity-box}{14}\)
\( = \frac{1}{4} \times \class{activity-box}{88}\)
वर्तुळकंसाची लांबी \( = \class{activity-box}{22}\) सेमी

प्रश्न २ (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही चार) : (८ गुण)

(१) खालील आकृतीत, \(\Delta LMN\) मध्ये किरण MT हा \(\angle LMN\) चा दुभाजक आहे. जर \(LM=6\), \(MN=10\), \(TN=8\), तर LT काढा.

त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकाच्या प्रमेयानुसार:
\(\frac{LM}{MN} = \frac{LT}{TN}\)
\(\frac{6}{10} = \frac{LT}{8}\)
\(LT = \frac{6 \times 8}{10}\)
\(LT = \frac{48}{10}\)
\(LT = 4.8\)

(२) एका गोलाची त्रिज्या 7 सेमी असेल तर त्याचे पृष्ठफळ काढा.

गोलाचे पृष्ठफळ \(= 4\pi r^2\)
\(= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
\(= 4 \times 22 \times 7\)
\(= 88 \times 7\)
पृष्ठफळ \(= 616\) चौ. सेमी.

(३) खालील आकृतीमध्ये \(m(\text{कंस } NS)=125^{\circ}\), \(m(\text{कंस } EF)=37^{\circ}\), तर \(\angle NMS\) चे माप काढा.

जीवा वर्तुळाच्या अंतर्भागात छेदत असल्यामुळे:
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{कंस } NS) + m(\text{कंस } EF)]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} + 37^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [162^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = 81^{\circ}\)

(४) \(P(22,20)\) आणि \(Q(0,16)\) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाच्या मध्यबिंदूचे निर्देशक काढा.

मध्यबिंदूच्या सूत्रानुसार:
\(x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)
\(x = \frac{22 + 0}{2} = \frac{22}{2} = 11\)
\(y = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18\)
मध्यबिंदूचे निर्देशक (11, 18) आहेत.

(५) एका शंकूच्या तळाची त्रिज्या 7 सेमी असून त्याची लंबउंची 15 सेमी आहे. तर त्या शंकूचे घनफळ काढा.

शंकूचे घनफळ \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
\(V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15\)
\(V = 22 \times 7 \times 5\)
\(V = 154 \times 5\)
घनफळ \(= 770\) घसेमी

प्रश्न ३

प्रश्न ३ (A) खालील कृती पूर्ण करा व पुन्हा लिहा (कोणतीही एक) : (३ गुण)

(१) जर \(\tan \theta=1\), तर \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta}\) ची किंमत काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:
\(\tan \theta = 1\) (दिलेले)
परंतु \(\tan \class{activity-box}{45^{\circ}} = 1\)
\(\therefore \theta = \class{activity-box}{45^{\circ}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{\sin 45^{\circ}+\cos 45^{\circ}}{\sec 45^{\circ}+\text{cosec } 45^{\circ}}\)

\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} + \class{activity-box}{\sqrt{2}}}\)

\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{\class{activity-box}{2\sqrt{2}}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{1}{\class{activity-box}{2}}\)

(२) खालील आकृतीमध्ये केंद्र O असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB ची लांबी वर्तुळाच्या त्रिज्येएवढी आहे. तर \(\angle AOB\), कंस AB, आणि \(\angle ACB\) यांची मापे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:
आकृतीत \(\Delta AOB\) मध्ये,
\(AO = OB = AB\) (दिलेले)
\(\therefore \Delta AOB\) हा \(\class{activity-box}{\text{समभुज}}\) त्रिकोण आहे.
\(\therefore m\angle AOB = \class{activity-box}{60^{\circ}}\)
\(m\angle AOB = m(\text{कंस } AB) = \class{activity-box}{60^{\circ}}\) (कंसाच्या मापाची व्याख्या)
\(m\angle ACB = \frac{1}{2} \times \class{activity-box}{m(\text{कंस } AB)}\)
\(= \frac{1}{2} \times 60^{\circ}\)
\(m\angle ACB = \class{activity-box}{30^{\circ}}\)

प्रश्न ३ (B) खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : (६ गुण)

(१) जर P बिंदू हा \(A(-1, 7)\) आणि \(B(4,-3)\) यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडाचे 2:3 या गुणोत्तरात विभाजन करत असेल तर P बिंदूचे निर्देशक काढा.

समजा \(A(x_1, y_1) = (-1, 7)\) आणि \(B(x_2, y_2) = (4, -3)\).
गुणोत्तर \(m:n = 2:3\).
विभाजनाच्या सूत्रानुसार:
\(x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2+3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1\)
\(y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{2(-3) + 3(7)}{2+3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
P बिंदूचे निर्देशक (1, 3) आहेत.

(२) केंद्र O असलेले 3.4 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. त्यामध्ये 5.7 सेमी लांबीची जीवा MN काढा. बिंदू M व बिंदू N मधून वर्तुळाला स्पर्शिका काढा.

रचनेच्या पायऱ्या:
१. केंद्र O घेऊन 3.4 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा.
२. वर्तुळावर कुठेही बिंदू M घ्या. कंपासमध्ये 5.7 सेमी अंतर घेऊन M वरून वर्तुळावर बिंदू N निश्चित करा.
३. किरण OM आणि किरण ON काढा.
४. बिंदू M पाशी किरण OM ला लंब रेषा काढा (स्पर्शिका).
५. बिंदू N पाशी किरण ON ला लंब रेषा काढा (स्पर्शिका).

(३) वादळामुळे एक झाड मोडले आणि झाडाचा शेंडा जमिनीवर टेकला. मोडलेला भाग जमिनीशी \(60^{\circ}\) चा कोन करतो. झाडाचा शेंडा आणि बुंधा यांमधील अंतर 20 मी. असल्यास झाडाची उंची काढा.

समजा AB हा झाडाचा उरलेला भाग आणि AC हा मोडलेला भाग (कर्ण) आहे.
शेंडा C बिंदूवर जमिनीला टेकतो, पाया B पासून 20 मी अंतरावर. \(\angle C = 60^{\circ}\).
काटकोन \(\Delta ABC\) मध्ये:
\(\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{20} \Rightarrow AB = 20\sqrt{3}\) मी.
\(\cos 60^{\circ} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{AC} \Rightarrow AC = 40\) मी.
झाडाची एकूण उंची = मोडलेला भाग + उरलेला भाग = \(AC + AB\)
\(= 40 + 20\sqrt{3}\) मी.
झाडाची उंची \(20(2 + \sqrt{3})\) मी आहे.

(४) सिद्ध करा की 'काटकोन त्रिकोणात कर्णाचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गाच्या बेरजेइतका असतो'.

सिद्धता (पायथागोरसचे प्रमेय):
पक्ष: \(\Delta ABC\) मध्ये, \(\angle ABC = 90^\circ\).
साध्य: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
रचना: रेख \(BD \perp\) बाजू \(AC\) काढा, \(A-D-C\).
सिद्धता:
काटकोन \(\Delta ABC\) मध्ये, \(BD \perp AC\).
\(\therefore \Delta ABC \sim \Delta ADB\) (काटकोन त्रिकोणांची समरूपता)
\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB^2 = AD \times AC\) ... (I)
तसेच, \(\Delta ABC \sim \Delta BDC\)
\(\frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC^2 = DC \times AC\) ... (II)
समीकरण (I) व (II) ची बेरीज करून:
\(AB^2 + BC^2 = AD \times AC + DC \times AC\)
\(AB^2 + BC^2 = AC (AD + DC)\)
\(AB^2 + BC^2 = AC \times AC\) (कारण A-D-C)
\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
सिद्ध झाले.

प्रश्न ४

प्रश्न ४ खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणतेही दोन) : (८ गुण)

(१) \(\Delta ABC\) च्या बाजूंची लांबी 4 सेमी, 5 सेमी आणि 6 सेमी आहेत. \(\Delta PQR\) ची परिमिती 90 सेमी आहे. जर \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\) असतील, तर \(\Delta PQR\) च्या संगत बाजूंची लांबी काढा.

\(\Delta ABC\) ची परिमिती \(= 4 + 5 + 6 = 15\) सेमी.
\(\Delta ABC \sim \Delta PQR\) असल्याने, परिमितींचे गुणोत्तर हे संगत बाजूंच्या गुणोत्तराएवढे असते.
\(\frac{\text{परिमिती}(\Delta PQR)}{\text{परिमिती}(\Delta ABC)} = \frac{90}{15} = 6\).
म्हणून प्रमाण (Scale factor) \(k = 6\).
\(\Delta PQR\) च्या बाजू:
बाजू 1: \(4 \times 6 = 24\) सेमी.
बाजू 2: \(5 \times 6 = 30\) सेमी.
बाजू 3: \(6 \times 6 = 36\) सेमी.
बाजूंची लांबी 24 सेमी, 30 सेमी, आणि 36 सेमी आहे.

(२) \(\Delta ABC \sim \Delta PBR\), \(BC=8\) सेमी, \(AC=10\) सेमी, \(\angle B=90^{\circ}\), \(\frac{BC}{BR}=\frac{5}{4}\) तर \(\Delta PBR\) काढा.

रचनेचे विश्लेषण:
बिंदू B हा सामाईक आहे. \(\Delta ABC\) च्या मापांवरून तो काढावा. आपल्याला \(\Delta PBR\) काढायचा आहे.
दिलेले गुणोत्तर \(\frac{BC}{BR} = \frac{5}{4}\) आहे, म्हणून PBR च्या बाजू ABC पेक्षा लहान आहेत.
पायऱ्या:
१. \(\Delta ABC\) काढा जिथे \(BC=8, \angle B=90^{\circ}\). पायथागोरसने, \(AB = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\) सेमी.
२. बिंदू B मधून किरण काढा जो BC शी लघुकोन करेल.
३. त्या किरणावर 5 समान भाग करा (\(B_1\) ते \(B_5\)).
४. \(B_5\) ला बिंदू C जोडा.
५. \(B_4\) मधून \(B_5C\) ला समांतर रेषा काढा, जी BC ला R मध्ये छेदेल.
६. बिंदू R मधून बाजू AC ला समांतर रेषा काढा, जी AB ला P मध्ये छेदेल.
७. \(\Delta PBR\) हा अपेक्षित त्रिकोण आहे.

(३) खालील आकृतीमध्ये \(\Delta ABC\) हा समद्विभुज त्रिकोण असून त्याची परिमिती 44 सेमी आहे. त्रिकोणाचा पाया BC ची लांबी 12 सेमी आहे. बाजू AB आणि बाजू AC या एकरूप आहेत. आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे एक वर्तुळ त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजूंना स्पर्श करते, तर बिंदू A पासून वर्तुळाला काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.

परिमिती = 44 सेमी, पाया \(BC = 12\) सेमी.
\(AB + AC + BC = 44\)
\(2AB + 12 = 44\) (कारण \(AB \cong AC\))
\(2AB = 32 \Rightarrow AB = 16\) सेमी.
समजा वर्तुळ बाजू AB ला P, AC ला Q, आणि BC ला R मध्ये स्पर्श करते.
स्पर्शिकाखंडाच्या प्रमेयानुसार: \(BP = BR\), \(CR = CQ\), \(AP = AQ\).
\(\Delta ABC\) हा समद्विभुज त्रिकोण असल्याने आणि वर्तुळ पायाला R मध्ये स्पर्श करत असल्याने, R हा BC चा मध्यबिंदू आहे.
\(\therefore BR = \frac{12}{2} = 6\) सेमी.
\(BP = BR\) असल्याने, \(BP = 6\) सेमी.
आपल्याला A पासूनचा स्पर्शिकाखंड (AP) काढायचा आहे.
\(A - P - B\), म्हणून \(AP = AB - BP\)
\(AP = 16 - 6 = 10\) सेमी.
बिंदू A पासून काढलेल्या स्पर्शिकाखंडाची लांबी 10 सेमी आहे.

प्रश्न ५

प्रश्न ५ खालील उपप्रश्न सोडवा (कोणताही एक) : (३ गुण)

(१) काटकोन \(\Delta ABC\) हा 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी बाजू असणारा काढा. \(\Delta ABC\) च्या कर्णावर मध्यगा काढा.

1. मध्यगेची लांबी मोजा व लिहा.
2. मध्यगा व कर्णाच्या लांबीवरून निरीक्षण लिहा.

उत्तर:
१. 3 सेमी, 4 सेमी बाजू आणि 5 सेमी कर्ण असलेला काटकोन त्रिकोण काढा.
२. कर्णाचा (5 सेमी बाजूचा) मध्यबिंदू M मिळवा.
३. काटकोन बिंदू आणि M यांना जोडणारा रेषाखंड (मध्यगा) काढा.
(i) मोजमाप: मध्यगेची लांबी 2.5 सेमी भरेल.
(ii) निरीक्षण: काटकोन त्रिकोणात कर्णावर काढलेल्या मध्यगेची लांबी ही कर्णाच्या निम्मी असते.

(२) खालील आकृतीचे निरीक्षण करून प्रश्नांची उत्तरे लिहा :

1. भरीव शंकूला किती पृष्ठे आहेत?
2. शंकूची तिरकस उंची व लंबउंची दर्शवणाऱ्या रेषाखंडाची नावे आकृतीवरून लिहा.
3. जर तिरकस उंची 10 सेमी आणि लंबउंची 8 सेमी असेल, तर शंकूच्या व्यासाची लांबी काढा.

उत्तरे:
(i) भरीव शंकूला 2 पृष्ठे असतात (1 वक्रपृष्ठ + 1 वर्तुळाकार तळ).
(ii) आकृतीवरून:
- तिरकस उंची: रेख PB किंवा रेख PA.
- लंबउंची: रेख PO.
(iii) तिरकस उंची \(l = 10\), उंची \(h = 8\), त्रिज्या \(r\).
\(r^2 + h^2 = l^2\)
\(r^2 + 8^2 = 10^2\)
\(r^2 + 64 = 100 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6\) सेमी.
व्यास \(= 2r = 2 \times 6 = 12\) सेमी.
शंकूच्या तळाचा व्यास 12 सेमी आहे.

10th Geometry Question Paper Solution July 2025 | SSC Maharashtra Board

Question 1

Q. 1 (A) Choose the correct alternative from given: (4 Marks)

(1) If \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\), \(m\angle B=60^{\circ}\), then \(m\angle E=\)

• (A) \(30^{\circ}\)
• (B) \(60^{\circ}\)
• (C) \(90^{\circ}\)
• (D) \(45^{\circ}\)

Answer: (B) \(60^{\circ}\)
Explanation: In similar triangles, corresponding angles are congruent. Since \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\), \(\angle B \cong \angle E\). Therefore, \(m\angle E = 60^{\circ}\).

(2) Two circles of radii 5.5 cm and 4.2 cm touch each other externally then distance between their centres is

• (A) 9.7 cm
• (B) 1.3 cm
• (C) 5.5 cm
• (D) 4.2 cm

Answer: (A) 9.7 cm
Explanation: When circles touch externally, the distance between their centres is the sum of their radii. \(d = r_1 + r_2 = 5.5 + 4.2 = 9.7\) cm.

(3) A line makes an angle of \(45^{\circ}\) with the positive direction of X-axis. So the slope of the line is

• (A) \(\frac{1}{2}\)
• (B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• (C) 1
• (D) \(\sqrt{3}\)

Answer: (C) 1
Explanation: Slope \(m = \tan \theta\). Here \(\theta = 45^{\circ}\). \(m = \tan 45^{\circ} = 1\).

(4) The volume of a cube of side 2 cm is

• (A) \(4~cm^{3}\)
• (B) \(2~cm^{3}\)
• (C) \(6~cm^{3}\)
• (D) \(8~cm^{3}\)

Answer: (D) \(8~cm^{3}\)
Explanation: Volume of cube \(= (\text{side})^3 = 2^3 = 8~cm^3\).

Q. 1 (B) Solve the following subquestions: (4 Marks)

(1) Find the diagonal of square whose side is 10 cm.

Formula: Diagonal of square = \(\sqrt{2} \times \text{side}\)
\(\text{Diagonal} = \sqrt{2} \times 10 = 10\sqrt{2}\) cm.

(2) The ratio of corresponding sides of similar triangles is 3:5, then find the ratio of their areas.

By Theorem of Areas of Similar Triangles:
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}\)
Ratio of areas is 9:25.

(3) Find the slope of the line passing through the points \(A(2, 3)\) and \(B(4,7)\).

Slope \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\).

(4) If \(\sin \theta = \frac{7}{25}\), then find the value of \(\text{cosec } \theta\).

\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{7/25} = \frac{25}{7}\).

SSC Mathematics

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Question 2

Q. 2 (A) Complete the following activities and rewrite it (any two): (4 Marks)

(1) In the given figure, \(AR \perp BC\), \(AR \perp PQ\), then complete the activity for finding \(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)}\).

[Figure shows two triangles ABC and APQ with a common height AR]

Activity:
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\text{Base} \times \text{Height}}{\text{Base} \times \text{Height}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC} \times AR}{PQ \times \class{activity-box}{AR}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC}}{\class{activity-box}{PQ}}\)

(2) In the figure, seg PS is a tangent segment, line PR is a secant. If \(PQ=3.6\), \(QR=6.4\) then find PS by completing the following activity.

Activity:
\(PS^{2} = PQ \times \class{activity-box}{PR}\) ... (Tangent Secant Segments Theorem)
\(PS^{2} = PQ \times (PQ + \class{activity-box}{QR})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times (3.6 + \class{activity-box}{6.4})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times 10\)
\(PS^{2} = 36\)
\(PS = \class{activity-box}{6}\)

(3) Measure of an arc of a circle is \(90^{\circ}\) and its radius is 14 cm. Complete the following activity to find the length of an arc.

Activity:
Length of an arc \( = \frac{\theta}{360} \times \class{activity-box}{2\pi r}\) ... (Formula)
\( = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times \class{activity-box}{14}\)
\( = \frac{1}{4} \times \class{activity-box}{88}\)
Length of an arc \( = \class{activity-box}{22}\) cm

Q. 2 (B) Solve the following subquestions (any four): (8 Marks)

(1) In \(\Delta LMN\), ray MT bisects \(\angle LMN\). If \(LM=6\), \(MN=10\), \(TN=8\), then find LT.

By Theorem of Angle Bisector of a triangle:
\(\frac{LM}{MN} = \frac{LT}{TN}\)
\(\frac{6}{10} = \frac{LT}{8}\)
\(LT = \frac{6 \times 8}{10}\)
\(LT = \frac{48}{10}\)
\(LT = 4.8\)

(2) Find surface area of sphere of radius 7 cm.

Surface Area of Sphere \(= 4\pi r^2\)
\(= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
\(= 4 \times 22 \times 7\)
\(= 88 \times 7\)
Surface Area \(= 616\) sq. cm.

(3) In the figure, \(m(\text{arc } NS)=125^{\circ}\), \(m(\text{arc } EF)=37^{\circ}\). Find \(m\angle NMS\).

Since chords intersect inside the circle:
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{arc } NS) + m(\text{arc } EF)]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} + 37^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [162^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = 81^{\circ}\)

(4) Find the co-ordinates of midpoint of the segment joining the points \(P(22,20)\) and \(Q(0,16)\).

By Midpoint Formula:
\(x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)
\(x = \frac{22 + 0}{2} = \frac{22}{2} = 11\)
\(y = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18\)
Co-ordinates of midpoint are (11, 18).

(5) Find the volume of a cone if radius of its base is 7 cm and its perpendicular height is 15 cm.

Volume of cone \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
\(V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15\)
\(V = 22 \times 7 \times 5\)
\(V = 154 \times 5\)
Volume \(= 770~cm^3\)

Question 3

Q. 3 (A) Complete the following activities and rewrite it (any one): (3 Marks)

(1) If \(\tan \theta=1\), then find the value of \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta}\) by completing the activity.

Activity:
\(\tan \theta = 1\) (given)
but \(\tan \class{activity-box}{45^{\circ}} = 1\)
\(\therefore \theta = \class{activity-box}{45^{\circ}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{\sin 45^{\circ}+\cos 45^{\circ}}{\sec 45^{\circ}+\text{cosec } 45^{\circ}}\)

\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} + \class{activity-box}{\sqrt{2}}}\)

\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{\class{activity-box}{2\sqrt{2}}}\)

Final Answer: \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{1}{\class{activity-box}{2}}\)

(2) In the figure, point O is the centre and chord AB is equal to the radius. Find measures of \(\angle AOB\), arc AB, and \(\angle ACB\).

Activity:
In \(\Delta AOB\),
\(AO = OB = AB\) (given and radii)
\(\therefore \Delta AOB\) is an \(\class{activity-box}{\text{equilateral}}\) triangle.
\(\therefore m\angle AOB = \class{activity-box}{60^{\circ}}\)
\(m\angle AOB = m(\text{arc } AB) = \class{activity-box}{60^{\circ}}\) (definition of measure of an arc)
\(m\angle ACB = \frac{1}{2} \times \class{activity-box}{m(\text{arc } AB)}\)
\(= \frac{1}{2} \times 60^{\circ}\)
\(m\angle ACB = \class{activity-box}{30^{\circ}}\)

Q. 3 (B) Solve the following subquestions (any two): (6 Marks)

(1) Find co-ordinates of point P, if P divides the line segment joining the points \(A(-1,7)\) and \(B(4,-3)\) in the ratio 2:3.

Let \(A(x_1, y_1) = (-1, 7)\) and \(B(x_2, y_2) = (4, -3)\).
Ratio \(m:n = 2:3\).
By Section Formula:
\(x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2+3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1\)
\(y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{2(-3) + 3(7)}{2+3} = \frac{-6 + 21}{5} = \frac{15}{5} = 3\)
Co-ordinates of P are (1, 3).

(2) Draw a circle with centre O of radius 3.4 cm. Draw a chord MN of length 5.7 cm in it. Construct tangents at point M and N to the circle.

Steps of Construction:

1. Draw a circle with centre O and radius 3.4 cm.
2. Take a point M on the circle. Using a ruler, measure 5.7 cm and mark point N on the circle to draw chord MN.
3. Draw ray OM and ray ON extending outwards.
4. Construct a perpendicular line to ray OM at point M. This is the tangent at M.
5. Construct a perpendicular line to ray ON at point N. This is the tangent at N.

(3) A storm broke a tree and the treetop rested 20 m from the base of the tree, making an angle of \(60^{\circ}\) with the horizontal. Find the height of the tree.

Let AB be the remaining tree height and AC be the broken part (hypotenuse).
The top touches ground at C, 20m from base B. \(\angle C = 60^{\circ}\).
In \(\Delta ABC\) (Right angled at B):
\(\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{20} \Rightarrow AB = 20\sqrt{3}\) m.
\(\cos 60^{\circ} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{AC} \Rightarrow AC = 40\) m.
Total Height = Broken part + Remaining part = \(AC + AB\)
\(= 40 + 20\sqrt{3}\) m.
Height of tree is \(20(2 + \sqrt{3})\) m.

(4) Prove that, 'In a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of remaining two sides'.

Proof (Pythagoras Theorem):
Given: In \(\Delta ABC, \angle ABC = 90^\circ\).
To Prove: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
Construction: Draw \(BD \perp AC\), \(A-D-C\).
Proof:
In right angled \(\Delta ABC\), \(BD \perp AC\).
\(\therefore \Delta ABC \sim \Delta ADB\) (Similarity of right angled triangles)
\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB^2 = AD \times AC\) ... (I)
Similarly, \(\Delta ABC \sim \Delta BDC\)
\(\frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC^2 = DC \times AC\) ... (II)
Adding (I) and (II):
\(AB^2 + BC^2 = AD \times AC + DC \times AC\)
\(AB^2 + BC^2 = AC (AD + DC)\)
\(AB^2 + BC^2 = AC \times AC\) (Since A-D-C)
\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
Hence Proved.

Question 4

Q. 4 Solve the following subquestions (any two): (8 Marks)

(1) \(\Delta ABC\) has sides of length 4 cm, 5 cm and 6 cm while \(\Delta PQR\) has perimeter of 90 cm. If \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\), then find the length of corresponding sides of \(\Delta PQR\).

Perimeter of \(\Delta ABC = 4 + 5 + 6 = 15\) cm.
Since \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\), ratio of perimeters equals ratio of corresponding sides.
\(\frac{\text{Perimeter}(\Delta PQR)}{\text{Perimeter}(\Delta ABC)} = \frac{90}{15} = 6\).
Therefore, scale factor \(k = 6\).
Sides of \(\Delta PQR\):
Side 1: \(4 \times 6 = 24\) cm.
Side 2: \(5 \times 6 = 30\) cm.
Side 3: \(6 \times 6 = 36\) cm.
Sides are 24 cm, 30 cm, and 36 cm.

(2) \(\Delta ABC \sim \Delta PBR\), \(BC=8\) cm, \(AC=10\) cm, \(\angle B=90^{\circ}\), \(\frac{BC}{BR}=\frac{5}{4}\) then construct \(\Delta PBR\).

Construction Analysis:
Vertex B is common. \(\Delta ABC\) is given. We need to construct \(\Delta PBR\).
Since \(\frac{BC}{BR} = \frac{5}{4}\), side of PBR is smaller than ABC.
Steps:
1. Draw \(\Delta ABC\) with \(BC=8, \angle B=90^{\circ}\). Using Pythagoras, \(AB = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\) cm. Draw AB=6, BC=8, join AC.
2. Draw a ray from B making an acute angle with BC.
3. Mark 5 equal points on the ray (\(B_1\) to \(B_5\)).
4. Join \(B_5\) to C.
5. Draw a line parallel to \(B_5C\) from \(B_4\), intersecting BC at R.
6. From R, draw a line parallel to AC intersecting AB at P.
7. \(\Delta PBR\) is the required triangle.

(3) In the figure \(\Delta ABC\) is an isosceles triangle with perimeter 44 cm. The base BC is of length 12 cm. Side AB and AC are congruent. A circle touches the three sides of triangle as shown. Find the length of tangent segment from A to circle.

Perimeter = 44 cm, Base \(BC = 12\) cm.
\(AB + AC + BC = 44\)
\(2AB + 12 = 44\) (Since \(AB \cong AC\))
\(2AB = 32 \Rightarrow AB = 16\) cm.
Let points of contact be P on AB, Q on AC, R on BC.
By Tangent Segment Theorem: \(BP = BR\), \(CR = CQ\), \(AP = AQ\).
Since \(\Delta ABC\) is isosceles and circle touches base at R, R is the midpoint of BC (Altitude of isosceles triangle is median and angle bisector).
\(\therefore BR = \frac{12}{2} = 6\) cm.
Since \(BP = BR\), then \(BP = 6\) cm.
We need to find tangent from A, which is AP.
\(A - P - B\), so \(AP = AB - BP\)
\(AP = 16 - 6 = 10\) cm.
Length of tangent segment from A is 10 cm.

Question 5

Q. 5 Solve the following subquestions (any one): (3 Marks)

(1) Draw right-angled \(\Delta ABC\) of lengths of sides 3 cm, 4 cm and 5 cm. Draw median on the hypotenuse of \(\Delta ABC\). Measure the length of median and write your observations.

Solution:
1. Construct \(\Delta ABC\) with sides 3, 4, and hypotenuse 5.
2. Find midpoint M of hypotenuse (5 cm).
3. Draw segment joining opposite vertex (Right angle) to M.
Measurement: The median length will be 2.5 cm.
Observation: In a right-angled triangle, the length of the median drawn to the hypotenuse is exactly half the length of the hypotenuse.

(2) Observe the given figure of a solid cone and answer:

1. How many surfaces does a solid cone have?
2. What are the names of slant height and perpendicular height in the figure?
3. If slant height is 10 cm and perpendicular height is 8 cm, find diameter of base?

Answers:
(i) A solid cone has 2 surfaces (1 curved surface + 1 flat circular base).
(ii) In the figure (assuming standard notation P vertex, O center, A/B on rim):
- Slant height is seg PB or seg PA.
- Perpendicular height is seg PO.
(iii) Let slant height \(l = 10\), height \(h = 8\), radius \(r\).
\(r^2 + h^2 = l^2\)
\(r^2 + 8^2 = 10^2\)
\(r^2 + 64 = 100 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6\) cm.
Diameter \(= 2r = 2 \times 6 = 12\) cm.
Diameter of base is 12 cm.