10th Geometry Question Paper Solution July 2025 Hindi Medium | SSC Maharashtra Board

प्रश्न 1

Q. 1 (A) दिये गये पर्यायों में से उचित पर्याय चुनकर लिखिए : (4 अंक)

(1) यदि \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) तथा \(m\angle B=60^{\circ}\) तो \(m\angle E=\) .....

• (A) \(30^{\circ}\)
• (B) \(60^{\circ}\)
• (C) \(90^{\circ}\)
• (D) \(45^{\circ}\)

उत्तर: (B) \(60^{\circ}\)
स्पष्टीकरण: समरूप त्रिभुजों के संगत कोण सर्वांगसम होते हैं। \(\Delta ABC \sim \Delta DEF\) होने के कारण \(\angle B \cong \angle E\). इसलिए \(m\angle E = 60^{\circ}\).

(2) दो बाह्यस्पर्शी वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5.5 सेमी तथा 4.2 सेमी हों, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ..... होगी।

• (A) 9.7 सेमी
• (B) 1.3 सेमी
• (C) 5.5 सेमी
• (D) 4.2 सेमी

उत्तर: (A) 9.7 सेमी
स्पष्टीकरण: यदि दो वृत्त बाह्यस्पर्शी हों, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योगफल के बराबर होती है। \(d = r_1 + r_2 = 5.5 + 4.2 = 9.7\) सेमी.

(3) किसी रेखा द्वारा X-अक्ष की धन दिशा की ओर निर्मित कोण का माप 45° हो, तो उस रेखा का ढाल = .....

• (A) \(\frac{1}{2}\)
• (B) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
• (C) 1
• (D) \(\sqrt{3}\)

उत्तर: (C) 1
स्पष्टीकरण: रेखा का ढाल \(m = \tan \theta\). यहाँ \(\theta = 45^{\circ}\). \(m = \tan 45^{\circ} = 1\).

(4) 2 सेमी भुजा वाले समघन का घनफल ..... होगा।

• (A) 4 घसेमी
• (B) 2 घसेमी
• (C) 6 घसेमी
• (D) 8 घसेमी

उत्तर: (D) 8 घसेमी
स्पष्टीकरण: समघन का घनफल \(= (\text{भुजा})^3 = 2^3 = 8\) घसेमी.

Q. 1 (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए : (4 अंक)

(1) किसी वर्ग की भुजा 10 सेमी हो, तो उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

सूत्र: वर्ग का विकर्ण = \(\sqrt{2} \times \text{भुजा}\)
\(\text{विकर्ण} = \sqrt{2} \times 10 = 10\sqrt{2}\) सेमी.

(2) दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 3:5 हो, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के प्रमेय के अनुसार:
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{s_1^2}{s_2^2}\)
\(\frac{A_1}{A_2} = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}\)
क्षेत्रफलों का अनुपात 9:25 है।

(3) बिंदु \(A(2, 3)\) तथा \(B(4, 7)\) से होकर जाने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

ढाल \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2\).

(4) यदि \(\sin \theta = \frac{7}{25}\) तो \(\text{cosec } \theta\) का मान ज्ञात कीजिए।

\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}\)
\(\text{cosec } \theta = \frac{1}{7/25} = \frac{25}{7}\).

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प्रश्न 2

Q. 2 (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण करके पुनः लिखिए (कोई दो) : (4 अंक)

(1) नीचे दी गई आकृति में रेख \(AR \perp\) भुजा \(BC\), रेख \(AR \perp\) भुजा \(PQ\), तो \(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)}\) ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}}{\text{आधार} \times \text{ऊँचाई}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC} \times AR}{PQ \times \class{activity-box}{AR}}\)
\(\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta APQ)} = \frac{\class{activity-box}{BC}}{\class{activity-box}{PQ}}\)

(2) नीचे दी गई आकृति में, रेख PS स्पर्शरखाखंड है। रेखा PR वृत्त की छेदनरेखा है। यदि \(PQ=3.6\), \(QR=6.4\) तो PS ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिये।

कृति:
\(PS^{2} = PQ \times \class{activity-box}{PR}\) ... (स्पर्शरेखा छेदनरेखा रेखाखंड प्रमेय)
\(PS^{2} = PQ \times (PQ + \class{activity-box}{QR})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times (3.6 + \class{activity-box}{6.4})\)
\(PS^{2} = 3.6 \times 10\)
\(PS^{2} = 36\)
\(PS = \class{activity-box}{6}\)

(3) किसी वृत्त चाप का माप \(90^{\circ}\) तथा त्रिज्या 14 सेमी हो, तो उस वृत्त चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
वृत्त चाप की लंबाई \( = \frac{\theta}{360} \times \class{activity-box}{2\pi r}\) ... (सूत्र)
\( = \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times \class{activity-box}{14}\)
\( = \frac{1}{4} \times \class{activity-box}{88}\)
वृत्त चाप की लंबाई \( = \class{activity-box}{22}\) सेमी

Q. 2 (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए (कोई चार) : (8 अंक)

(1) नीचे दी गई आकृति में, \(\Delta LMN\) में किरण MT यह \(\angle LMN\) का सम‌द्विभाजक है। यदि \(LM=6\), \(MN=10\), \(TN=8\), तो LT ज्ञात कीजिए।

त्रिभुज के कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार:
\(\frac{LM}{MN} = \frac{LT}{TN}\)
\(\frac{6}{10} = \frac{LT}{8}\)
\(LT = \frac{6 \times 8}{10}\)
\(LT = \frac{48}{10}\)
\(LT = 4.8\)

(2) किसी गोले की त्रिज्या 7 सेमी हो तो उसका पृष्ठफल ज्ञात कीजिए।

गोले का पृष्ठफल \(= 4\pi r^2\)
\(= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\)
\(= 4 \times 22 \times 7\)
\(= 88 \times 7\)
पृष्ठफल \(= 616\) वर्ग सेमी.

(3) नीचे दी गई आकृति में \(m(\text{चाप } NS)=125^{\circ}\), \(m(\text{चाप } EF)=37^{\circ}\), तो \(\angle NMS\) का माप ज्ञात कीजिए।

वृत्त के अंतर्भाग में प्रतिच्छेदन करने वाली जीवाओं के गुणधर्म से:
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{चाप } NS) + m(\text{चाप } EF)]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} + 37^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = \frac{1}{2} [162^{\circ}]\)
\(m\angle NMS = 81^{\circ}\)

(4) \(P(22,20)\) और \(Q(0,16)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मध्यबिंदु सूत्र से:
\(x = \frac{x_1 + x_2}{2}, y = \frac{y_1 + y_2}{2}\)
\(x = \frac{22 + 0}{2} = \frac{22}{2} = 11\)
\(y = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18\)
मध्यबिंदु के निर्देशांक (11, 18) हैं।

(5) किसी शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी तथा लंब ऊँचाई 15 सेमी हो, तो उस शंकु का घनफल ज्ञात कीजिए।

शंकु का घनफल \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
\(V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7 \times 15\)
\(V = 22 \times 7 \times 5\)
\(V = 154 \times 5\)
घनफल \(= 770\) घसेमी

प्रश्न 3

Q. 3 (A) निम्नलिखित कृति पूर्ण कीजिए (कोई एक) : (3 अंक)

(1) यदि \(\tan \theta=1\), तो \(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta}\) का मान ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
\(\tan \theta = 1\) (दत्त)
परंतु \(\tan \class{activity-box}{45^{\circ}} = 1\)
\(\therefore \theta = \class{activity-box}{45^{\circ}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{\sin 45^{\circ}+\cos 45^{\circ}}{\sec 45^{\circ}+\text{cosec } 45^{\circ}}\)

\( = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2} + \class{activity-box}{\sqrt{2}}}\)

\( = \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{\class{activity-box}{2\sqrt{2}}}\)

\(\frac{\sin \theta+\cos \theta}{\sec \theta+\text{cosec } \theta} = \frac{1}{\class{activity-box}{2}}\)

(2) नीचे दी गई आकृति में, केंद्र वाले वृत्त की जीवा AB की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो \(\angle AOB\), चाप AB, और \(\angle ACB\) का माप ज्ञात करने के लिये निम्न कृति पूर्ण कीजिए।

कृति:
आकृति \(\Delta AOB\) में,
\(AO = OB = AB\) (त्रिज्या और दत्त)
\(\therefore \Delta AOB\) यह \(\class{activity-box}{\text{समबाहु}}\) त्रिभुज है।
\(m\angle AOB = \class{activity-box}{60^{\circ}}\)
\(m\angle AOB = m(\text{चाप } AB) = \class{activity-box}{60^{\circ}}\) (चाप का माप की परिभाषा)
\(m\angle ACB = \frac{1}{2} \times \class{activity-box}{m(\text{चाप } AB)}\)
\(= \frac{1}{2} \times 60^{\circ}\)
\(m\angle ACB = \class{activity-box}{30^{\circ}}\)

Q. 3 (B) निम्नलिखित उपप्रश्नों को हल कीजिए (कोई दो) : (6 अंक)

(1) यदि बिंदु P बिंदुओं \(A(-1, 7)\) और \(B(4,3)\) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:3 अनुपात में विभाजित करता हो तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

माना \(A(x_1, y_1) = (-1, 7)\) और \(B(x_2, y_2) = (4, 3)\) (प्रश्न में y2=3 दिया है, लेकिन पिछले पेपर्स में y2=-3 था, यहाँ PDF में 3 दिखता है, हम PDF के अनुसार 4,3 मानकर हल करते हैं या मानक प्रश्न के अनुसार। PDF में '3' है, लेकिन सामान्यतः यह प्रश्न '4,-3' के साथ आता है। हम दिए गए मान (4,3) से हल करेंगे).
*नोट: यदि PDF में अस्पष्टता के कारण यह -3 है, तो उत्तर (1,3) होगा। यदि यह 3 है, तो नीचे दिया गया हल होगा।*
विभाजन सूत्र: \(m:n = 2:3\)
\(x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n} = \frac{2(4) + 3(-1)}{2+3} = \frac{8 - 3}{5} = \frac{5}{5} = 1\)
\(y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n} = \frac{2(3) + 3(7)}{2+3} = \frac{6 + 21}{5} = \frac{27}{5} = 5.4\)
(यदि B(4,-3) होता तो y = 3 आता। यहाँ PDF टेक्स्ट में 'B(4,3)' लिखा है।)
निर्देशांक: P(1, 5.4) या मानक प्रश्न के अनुसार P(1, 3)।

(2) O केंद्र तथा 3.4 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। उसमें 5.7 सेमी लंबाई वाली जीवा MN खींचिए। बिंदु M तथा बिंदु N से वृत्त की स्पर्शरखा खींचिए।

रचना के चरण:
1. बिंदु O केंद्र लेकर 3.4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त पर कोई बिंदु M लीजिए। कंपास में 5.7 सेमी की दूरी लेकर बिंदु M से वृत्त पर चाप काटकर बिंदु N प्राप्त कीजिए।
3. किरण OM और किरण ON खींचिए।
4. बिंदु M पर त्रिज्या OM को लंब रेखा खींचिए (स्पर्शरेखा)।
5. बिंदु N पर त्रिज्या ON को लंब रेखा खींचिए (स्पर्शरेखा)।

(3) आँधी के कारण किसी पेड़ का सिरा टूटकर जमीन से \(60^{\circ}\) माप का कोण बनाता है। पेड़ का जमीन पर टिका हुआ सिरा तथा पेड़ के तने के बीच की दूरी 20 मीटर हो, तो पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

माना AB पेड़ का बचा हुआ भाग और AC टूटा हुआ भाग (कर्ण) है।
सिरा C जमीन को छूता है, जहाँ BC = 20 मी, \(\angle C = 60^{\circ}\).
समकोण \(\Delta ABC\) में:
\(\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{AB}{20} \Rightarrow AB = 20\sqrt{3}\) मी.
\(\cos 60^{\circ} = \frac{BC}{AC} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{20}{AC} \Rightarrow AC = 40\) मी.
पेड़ की कुल ऊँचाई = \(AC + AB = 40 + 20\sqrt{3}\) मी.
पेड़ की ऊँचाई \(20(2 + \sqrt{3})\) मीटर है।

(4) सिद्ध करो कि 'समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।'

पाइथागोरस प्रमेय:
दत्त: \(\Delta ABC\) में, \(\angle ABC = 90^\circ\).
साध्य: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).
रचना: रेख \(BD \perp\) भुजा \(AC\) खींचिए, \(A-D-C\).
उपपत्ति:
समकोण \(\Delta ABC\) में, \(BD \perp AC\).
\(\therefore \Delta ABC \sim \Delta ADB\) (समकोण त्रिभुजों की समरूपता)
\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AB^2 = AD \times AC\) ... (I)
इसी प्रकार, \(\Delta ABC \sim \Delta BDC\)
\(\frac{BC}{DC} = \frac{AC}{BC} \Rightarrow BC^2 = DC \times AC\) ... (II)
समीकरण (I) और (II) को जोड़ने पर:
\(AB^2 + BC^2 = AD \times AC + DC \times AC\)
\(AB^2 + BC^2 = AC (AD + DC)\)
\(AB^2 + BC^2 = AC \times AC\) (चूँकि A-D-C)
\(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4

Q. 4 निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए (कोई दो) : (8 अंक)

(1) \(\Delta ABC\) की भुजाओं की लंबाई 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी है। \(\Delta PQR\) की परिमिति 90 सेमी है। यदि \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\) हों, तो \(\Delta PQR\) की संगत भुजाओं की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

\(\Delta ABC\) की परिमिति \(= 4 + 5 + 6 = 15\) सेमी।
चूँकि \(\Delta ABC \sim \Delta PQR\), परिमिति का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है।
\(\frac{\text{परिमिति}(\Delta PQR)}{\text{परिमिति}(\Delta ABC)} = \frac{90}{15} = 6\).
अतः गुणक (Scale factor) \(k = 6\).
\(\Delta PQR\) की भुजाएँ:
भुजा 1: \(4 \times 6 = 24\) सेमी।
भुजा 2: \(5 \times 6 = 30\) सेमी।
भुजा 3: \(6 \times 6 = 36\) सेमी।
भुजाओं की लंबाइयाँ 24 सेमी, 30 सेमी, और 36 सेमी हैं।

(2) \(\Delta ABC \sim \Delta PBR\), \(BC=8\) सेमी, \(AC=10\) सेमी, \(\angle B=90^{\circ}\), \(\frac{BC}{BR}=\frac{5}{4}\) तो \(\Delta PBR\) की रचना कीजिए।

रचना विश्लेषण:
बिंदु B उभयनिष्ठ है। \(\Delta ABC\) दिया गया है और \(\Delta PBR\) बनाना है।
\(\frac{BC}{BR} = \frac{5}{4}\), इसलिए PBR की भुजाएँ ABC से छोटी होंगी।
चरण:
1. \(\Delta ABC\) बनाएँ जिसमें \(BC=8, \angle B=90^{\circ}\)। पाइथागोरस से \(AB = 6\) सेमी।
2. बिंदु B से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण खींचें।
3. किरण पर 5 समान भाग अंकित करें (\(B_1\) से \(B_5\))。
4. \(B_5\) को C से मिलाएँ।
5. \(B_4\) से \(B_5C\) के समांतर रेखा खींचें जो BC को R पर काटे।
6. R से AC के समांतर रेखा खींचें जो AB को P पर काटे।
7. \(\Delta PBR\) अभीष्ट त्रिभुज है।

(3) नीचे दी गई आकृति में, \(\Delta ABC\) यह समद्विबाहु त्रिभुज है तथा उसकी परिमिति 44 सेमी है। त्रिभुज के आधार BC की लंबाई 12 सेमी है। भुजा AB और भुजा AC सर्वांगसम हैं। आकृति में दर्शाए अनुसार एक वृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है, तो बिंदु A से वृत्त के स्पर्शरखाखंड की लंबाई ज्ञात कीजिए।

परिमिति = 44 सेमी, आधार \(BC = 12\) सेमी।
\(AB + AC + BC = 44\)
\(2AB + 12 = 44\) (चूँकि \(AB \cong AC\))
\(2AB = 32 \Rightarrow AB = 16\) सेमी।
मान लीजिए वृत्त भुजाओं को P (AB पर), Q (AC पर), और R (BC पर) स्पर्श करता है।
स्पर्शरेखाखंड प्रमेय से: \(BP = BR\), \(CR = CQ\), \(AP = AQ\).
चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, R आधार BC का मध्यबिंदु है।
\(\therefore BR = \frac{12}{2} = 6\) सेमी।
\(BP = BR\) होने से, \(BP = 6\) सेमी।
हमें A से स्पर्शरेखाखंड (AP) ज्ञात करना है।
\(A - P - B\), अतः \(AP = AB - BP\)
\(AP = 16 - 6 = 10\) सेमी।
बिंदु A से स्पर्शरेखाखंड की लंबाई 10 सेमी है।

प्रश्न 5

Q. 5 निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए (कोई एक) : (3 अंक)

(1) 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी भुजा वाला समकोण त्रिभुज \(\Delta ABC\) खींचो। \(\Delta ABC\) के कर्ण पर माध्यिका खींचिए।

1. माध्यिका की लंबाई नापकर लिखिए।
2. माध्यिका और कर्ण की लंबाई से निष्कर्ष लिखिए।

हल:
1. 3, 4, 5 सेमी भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बनाएँ (5 सेमी कर्ण होगा)।
2. कर्ण (5 सेमी) का मध्यबिंदु M ज्ञात करें।
3. समकोण वाले शीर्ष को M से मिलाएँ (माध्यिका)।
(i) मापन: माध्यिका की लंबाई 2.5 सेमी होगी।
(ii) निष्कर्ष: समकोण त्रिभुज में कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।

(2) नीचे दी गई आकृति का निरीक्षण करके प्रश्नों के उत्तर लिखिये :

1. ठोस शंकु के कितने पृष्ठभाग हैं ?
2. शंकु की तिरछी ऊँचाई और लंब ऊँचाई का नाम लिखिए।
3. यदि तिरछी ऊँचाई 10 सेमी और लंब ऊँचाई 8 सेमी हो तो शंकु के व्यास की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर:
(i) ठोस शंकु के 2 पृष्ठभाग होते हैं (1 वक्रपृष्ठ और 1 वृत्ताकार आधार)।
(ii) आकृति से:
- तिरछी ऊँचाई: रेख PB या रेख PA
- लंब ऊँचाई: रेख PO
(iii) तिरछी ऊँचाई \(l = 10\), ऊँचाई \(h = 8\), त्रिज्या \(r\).
\(r^2 + h^2 = l^2\)
\(r^2 + 8^2 = 10^2\)
\(r^2 + 64 = 100 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6\) सेमी।
व्यास \(= 2r = 2 \times 6 = 12\) सेमी।
शंकु का व्यास 12 सेमी है।