10th Maths Algebra Question Paper with Solutions July 2024 (Marathi Medium)

SSC इयत्ता १० वी बीजगणित प्रश्नपत्रिका - जुलै २०२४ (उकल)

प्रश्न १. (A) पुढील प्रत्येक उपप्रश्नासाठी चार पर्यायी उत्तरे दिली आहेत. त्यापैकी अचूक पर्याय निवडून त्याचे वर्णाक्षर लिहा : (४ गुण)

(i) x व y ही चले असलेल्या एकसामयिक समीकरणासाठी जर $D_{x}=49$, $D_{y}=-63$ व $D=7$ असेल, तर x = किती ?

पर्याय: (A) 7, (B) -7, (C) 1/7, (D) -1/7
उकल:
क्रेमरच्या पद्धतीनुसार, $x = \frac{D_x}{D}$
$x = \frac{49}{7} = 7$
उत्तर: (A)

(ii) खालीलपैकी कोणते समीकरण हे वर्गसमीकरण आहे ?

पर्याय:
(A) $\frac{5}{x}-3=x^{2}$ (हे घन समीकरण होईल)
(B) $x(x+5)=2$ ($x^2+5x-2=0$, कोटी २ आहे)
(C) $n-1=2n$ (रेषीय समीकरण)
(D) $\frac{1}{x^{2}}(x+2)=x$ (हे घन समीकरण होईल)
उत्तर: (B)

(iii) -10, -6, -2, 2, ... ही क्रमिका ........

पर्याय:
(A) अंकगणिती श्रेढी आहे, कारण $d=-16$
(B) अंकगणिती श्रेढी आहे, कारण $d=4$
(C) अंकगणिती श्रेढी आहे, कारण $d=-4$
(D) अंकगणिती श्रेढी नाही
उकल: $d = t_2 - t_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$.
उत्तर: (B)

(iv) खालील पर्यायांपैकी कोणती संख्या संभाव्यता असू शकणार नाही ?

पर्याय: (A) 2/3, (B) 1.5, (C) 15%, (D) 0.7
उकल: संभाव्यता 0 ते 1 च्या दरम्यान असते. 1.5 ही संख्या 1 पेक्षा मोठी आहे.
उत्तर: (B)

प्रश्न १. (B) खालील उपप्रश्न सोडवा : (४ गुण)

(i) पुढील निश्चयकाची किंमत काढा : $\begin{vmatrix}5 & -2 \\ -3 & 1\end{vmatrix}$

किंमत = $(5 \times 1) - (-2 \times -3)$
$= 5 - (6)$
$= 5 - 6 = -1$
किंमत = -1

(ii) पुढील अंकगणिती श्रेढीसाठी पहिले पद आणि सामान्य फरक काढा : 5, 1, -3, -7...

पहिले पद ($a$) = 5
सामान्य फरक ($d$) = $t_2 - t_1 = 1 - 5 = -4$
a = 5, d = -4

(iii) एका शेअरची दर्शनी किंमत = 100 रुपये; अधिमूल्य = 65 रुपये आहे, तर त्या शेअरचा बाजारभाव काढा.

बाजारभाव (MV) = दर्शनी किंमत + अधिमूल्य
MV = $100 + 65 = 165$
बाजारभाव = 165 रुपये

(iv) एक फासा टाकला असता नमुना अवकाश लिहा.

नमुना अवकाश $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

SSC Mathematics

Maths March 2025 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key

Maths July 2025 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key

Maths March 2024 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key

Maths July 2024 Board Papers

• Mathematics (Paper 1) Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Geometry July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
• Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key

प्रश्न २. (A) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती पूर्ण करून लिहा : (४ गुण)

(i) दिलेल्या समीकरणाचा आलेख काढण्यासाठी खालील सारणी पूर्ण करा : $x+2y=4$

x	-2	0	2
y	3	2	1
(x, y)	(-2, 3)	(0, 2)	(2, 1)

स्पष्टीकरण: जर x=-2, -2+2y=4 → 2y=6 → y=3. जर y=1, x+2(1)=4 → x=2.

(ii) विवेचकाच्या किंमतीवरून खालील वर्गसमीकरणाच्या मुळांचे स्वरूप ठरवा : $m^{2}+2m+9=0$

तुलना करून:
$a = 1, b=2, c=9$
$b^{2}-4ac = 2^{2} - 4 \times 1 \times \boxed{9}$
$= 4 - 36$
$b^{2}-4ac = \boxed{-32}$
$b^{2}-4ac < 0$
वर्गसमीकरणाची मुळे वास्तव संख्या नाहीत.

(iii) स्मिताने 12,000 रुपये गुंतवून 10 रुपये दर्शनी किंमतीचे शेअर्स 2 रुपये अधिमूल्याने घेतले, तर तिला किती शेअर्स मिळतील हे काढण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

$FV=10$, अधिमूल्य = 2 रुपये
बाजारभाव = दर्शनी किंमत + अधिमूल्य = 10 + 2 = 12 रुपये
शेअर्सची संख्या = $\frac{\text{एकूण गुंतवणूक}}{\text{बाजारभाव}}$
$= \frac{12,000}{\boxed{12}}$
$= \boxed{1000} \text{ शेअर्स.}$

प्रश्न २. (B) खालीलपैकी कोणतेही चार उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)

(i) खालील एकसामयिक समीकरणे सोडवा : $x+y=5$, $x-y=3$

$x+y=5$ ... (I)
$x-y=3$ ... (II)
समीकरण (I) व (II) ची बेरीज करू:
$2x = 8 \Rightarrow x = 4$
x ची किंमत समीकरण (I) मध्ये ठेवून:
$4 + y = 5 \Rightarrow y = 1$
उकल: (x, y) = (4, 1)

(ii) जर $x=3$ हे $kx^{2}-10x+3=0$ या समीकरणाचे एक मूळ असेल, तर k ची किंमत काढा.

समीकरणात $x=3$ ठेवू:
$k(3)^2 - 10(3) + 3 = 0$
$9k - 30 + 3 = 0$
$9k - 27 = 0$
$9k = 27 \Rightarrow k = 3$
k = 3

(iii) खालील अंकगणिती श्रेढीचे 19 वे पद काढा : 7, 13, 19, 25...

$a = 7, d = 13 - 7 = 6, n = 19$
सूत्र: $t_n = a + (n-1)d$
$t_{19} = 7 + (19-1)6$
$t_{19} = 7 + (18 \times 6)$
$t_{19} = 7 + 108 = 115$
19 वे पद 115 आहे.

(iv) एका रिस्टवॉच बेल्टची करपात्र किंमत 586 रुपये आहे. GST चा दर 18% आहे, तर ग्राहकाला तो बेल्ट किती रुपयास मिळेल ?

करपात्र किंमत = 586 रुपये
GST रक्कम = $586 \times \frac{18}{100} = 586 \times 0.18 = 105.48$
एकूण किंमत = करपात्र किंमत + GST
एकूण किंमत = $586 + 105.48 = 691.48$
ग्राहकासाठी किंमत = 691.48 रुपये

(v) एका कुटुंबाच्या वार्षिक गुंतवणुकीचा वृत्तालेख दिला आहे. शेअर्स: $60^\circ$, स्थावर मालमत्ता: $120^\circ$, म्युच्युअल फंड: $60^\circ$, बँकेतील ठेव: $90^\circ$, पोस्ट: $30^\circ$. जर शेअर्समधील गुंतवणूक 2,000 रुपये असेल, तर एकूण गुंतवणूक आणि पोस्टातील गुंतवणूक काढा.

(a) शेअर्ससाठी केंद्रीय कोन = $\frac{\text{शेअर्समधील गुंतवणूक}}{\text{एकूण गुंतवणूक}} \times 360^\circ$
$60^\circ = \frac{2000}{\text{एकूण}} \times 360^\circ$
$\text{एकूण गुंतवणूक} = \frac{2000 \times 360}{60} = 2000 \times 6 = 12,000$

(b) पोस्टातील गुंतवणूक:
पोस्टाचा कोन = $30^\circ$
$\text{रक्कम} = \frac{30}{360} \times 12,000 = \frac{1}{12} \times 12,000 = 1,000$
एकूण गुंतवणूक = 12,000 रुपये; पोस्टातील गुंतवणूक = 1,000 रुपये

प्रश्न ३. (A) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करून लिहा : (३ गुण)

(i) एका शेअरचा बाजारभाव 1,000 रुपये असताना तो शेअर विकला व त्यावर 0.1% दलाली दिली तर विक्रीनंतर मिळणारी रक्कम काढा.

दलाली रक्कम = बाजारभाव $\times$ दलालीचा दर
$= 1000 \times \frac{0.1}{\boxed{100}}$
$= 10 \times 0.1 = \boxed{1}$
विक्रीनंतर मिळणारी रक्कम = बाजारभाव - दलाली
$= 1000 - \boxed{1}$
$= \boxed{999} \text{ रुपये.}$

(ii) एका फाशाच्या पृष्ठभागावर 2, 4, 6, 8, 10, 12 या संख्या आहेत. हा फासा एकदा फेकला तर वरच्या पृष्ठभागावर मिळणारी संख्या पूर्ण वर्ग असण्याची संभाव्यता काढा.

$S = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$
$n(S) = \boxed{6}$
घटना B: संख्या पूर्ण वर्ग असणे. फक्त 4 ही पूर्ण वर्ग संख्या आहे ($2^2$).
$B = \{ \boxed{4} \}$
$n(B) = \boxed{1}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{\boxed{1}}{6}$

प्रश्न ३. (B) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (६ गुण)

(i) खालील एकसामयिक समीकरणे क्रेमरच्या पद्धतीने सोडवा : $4m-2n=-4; 4m+3n=16$.

$D = \begin{vmatrix}4 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix} = (12) - (-8) = 20$
$D_m = \begin{vmatrix}-4 & -2 \\ 16 & 3\end{vmatrix} = (-12) - (-32) = 20$
$D_n = \begin{vmatrix}4 & -4 \\ 4 & 16\end{vmatrix} = (64) - (-16) = 80$
$m = \frac{D_m}{D} = \frac{20}{20} = 1$
$n = \frac{D_n}{D} = \frac{80}{20} = 4$
उकल: (m, n) = (1, 4)

(ii) खालील वर्गसमीकरण सूत्राचा वापर करून सोडवा : $y^{2}+\frac{1}{3}y=2$

3 ने गुणून: $3y^2 + y = 6 \Rightarrow 3y^2 + y - 6 = 0$
$a=3, b=1, c=-6$
$b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(3)(-6) = 1 + 72 = 73$
$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{6}$
मुले: $\frac{-1+\sqrt{73}}{6}, \frac{-1-\sqrt{73}}{6}$

(iii) दोन फासे एकाच वेळी फेकले असता नमुना अवकाश 'S' व $n(S)$ लिहा. तसेच घटना A आणि B लिहा.

$S = \{(1,1)...(6,6)\}$, $n(S) = 36$.
घटना A: अंकांची बेरीज 5 च्या पटीत आहे.
बेरीज 5 किंवा 10 असू शकते.
$A = \{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (4,6), (5,5), (6,4)\}$
$n(A) = 7$

घटना B: अंकांची बेरीज 25 आहे.
जास्तीत जास्त बेरीज 12 (6+6) असते. बेरीज 25 अशक्य आहे.
$B = \{ \}$ (रिक्त संच)
$n(B) = 0$

प्रश्न ४. खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा : (८ गुण)

(i) टोलनाक्यावर जमा होणारा कर (रुपयांत) व वाहन संख्या दिली आहे. त्यावरून जमा होणाऱ्या कराचे 'गृहीतमध्य' पद्धतीने मध्य काढा.

गृहीतमध्य $A = 550$ मानू (500-600 चा वर्गमध्य).

वर्ग (कर)	वर्गमध्य ($x_i$)	$d_i = x_i - 550$	वारंवारता ($f_i$)	$f_i d_i$
300-400	350	-200	80	-16000
400-500	450	-100	110	-11000
500-600	550	0	120	0
600-700	650	100	70	7000
700-800	750	200	40	8000
एकूण			$\sum f_i = 420$	$\sum f_i d_i = -12000$

$\bar{d} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \frac{-12000}{420} \approx -28.57$
मध्य $\bar{X} = A + \bar{d} = 550 + (-28.57) = 521.43$
सरासरी कर = 521.43 रुपये

(ii) मनीषाला 540 केळी काही विद्यार्थ्यांना समान वाटायची आहेत. जर 30 विद्यार्थी जास्त असते तर प्रत्येकाला 3 केळी कमी मिळाली असती. तर विद्यार्थ्यांची संख्या काढा.

समजा विद्यार्थ्यांची मूळ संख्या = $x$. प्रत्येकाला मिळणारी केळी = $540/x$.
नवीन विद्यार्थी संख्या = $x+30$. नवीन केळी संख्या = $540/(x+30)$.
अट: जुने वाटप - नवीन वाटप = 3
$\frac{540}{x} - \frac{540}{x+30} = 3$
3 ने भागून: $\frac{180}{x} - \frac{180}{x+30} = 1$
$180(x+30) - 180x = x(x+30)$
$180x + 5400 - 180x = x^2 + 30x$
$x^2 + 30x - 5400 = 0$
5400 चे अवयव ज्यांचा फरक 30 आहे: 90 आणि 60.
$(x+90)(x-60) = 0$
$x = 60$ (विद्यार्थी संख्या ऋण असू शकत नाही).
विद्यार्थ्यांची संख्या = 60

(iii) 2,000 रुपयांची रक्कम 10% सरळव्याज दराने गुंतवली, तर व्याजाची रक्कम अंकगणितीय श्रेढी होईल का ते तपासा. 10 वर्षानंतर मिळणाऱ्या व्याजाची रक्कम काढा.

मुद्दल = 2000, दर = 10%.
वर्ष 1 चे व्याज: $(2000 \times 10 \times 1)/100 = 200$
वर्ष 2 चे व्याज: $(2000 \times 10 \times 2)/100 = 400$
वर्ष 3 चे व्याज: 600...
क्रमिका: 200, 400, 600...
सामान्य फरक $d = 200$ स्थिर आहे. म्हणून ही अंकगणितीय श्रेढी आहे.
10 वर्षानंतरचे व्याज ($t_{10}$):
$t_{10} = a + 9d = 200 + 9(200) = 200 + 1800 = 2000$.
10 वर्षानंतर मिळणारे व्याज = 2,000 रुपये

(iv) [सांख्यिकी - बहुलक] वर्गीकृत वारंवारता सारणी तयार करा आणि बहुलक काढा.

दिलेली माहिती: 0-20 (10%), 20-40 (20%), 40-60 (35%), 60-80 (20%), 80-100 (उरलेले 30 विद्यार्थी).
एकूण टक्केवारी = $10+20+35+20 = 85\%$. उरलेले = $15\%$.
जर $15\% = 30$ विद्यार्थी, तर एकूण विद्यार्थी $N = (30/15) \times 100 = 200$.
वारंवारता सारणी:
0-20: $10\% \text{ of } 200 = 20$
20-40: $20\% \text{ of } 200 = 40$ ($f_0$)
40-60: $35\% \text{ of } 200 = 70$ ($f_1$ - बहुलकीय वर्ग)
60-80: $20\% \text{ of } 200 = 40$ ($f_2$)
80-100: 30

बहुलक:
बहुलकीय वर्ग: 40-60. $L=40, h=20, f_1=70, f_0=40, f_2=40$.
बहुलक $= L + [\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}] \times h$
$= 40 + [\frac{70-40}{140-40-40}] \times 20$
$= 40 + [\frac{30}{60}] \times 20$
$= 40 + 10 = 50$
बहुलक = 50 गुण

प्रश्न ५. खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा : (३ गुण)

(i) पुढील सामग्री आयतालेखाद्वारे दर्शवा :

दिलेली माहिती: 60-80 (4), 80-100 (12), 100-120 (16), 120-140 (8).
टीप: यासाठी आलेख काढणे आवश्यक आहे. X-अक्षावर 'बुद्धयांक' आणि Y-अक्षावर 'विद्यार्थी संख्या' घेऊन सलग स्तंभ काढावेत.

(ii) आकृतीमध्ये दिलेल्या माहितीवरून आयताची लांबी व रुंदी काढा.

आयताच्या समोरासमोरच्या बाजू समान असतात.
1) $2m + 3n + 5 = 5m + n$
$5m - 2m + n - 3n = 5$
$3m - 2n = 5$ ... (I)

2) $3m - 2n + 7 = m + n - 3$
$3m - m - 2n - n = -3 - 7$
$2m - 3n = -10$ ... (II)

समीकरण (I) ला 3 ने आणि (II) ला 2 ने गुणू:
$9m - 6n = 15$
$4m - 6n = -20$
वजाबाकी करून: $5m = 35 \Rightarrow m = 7$.

m=7 समीकरण (I) मध्ये ठेवू:
$3(7) - 2n = 5$
$21 - 5 = 2n$
$16 = 2n \Rightarrow n = 8$.

आयताची मापे:
लांबी $= 5m + n = 5(7) + 8 = 35 + 8 = 43$.
रुंदी $= m + n - 3 = 7 + 8 - 3 = 12$.
लांबी = 43 सेमी, रुंदी = 12 सेमी