10th Maths Algebra Question Paper with Solutions July 2024 (Hindi Medium)

SSC इयत्ता १० वीं बीजगणित प्रश्नपत्रिका हल - जुलाई २०२४ (हिंदी माध्यम)

प्रश्न १. (A) निम्नलिखित प्रत्येक उपप्रश्न के लिए चार विकल्प दिये हैं। उनमें से सही विकल्प चुनकर उसका वर्णाक्षर लिखिए : (४ अंक)

(i) x तथा y चरांक वाले युगपत समीकरण के लिए यदि $D_{x}=49$, $D_{y}=-63$ तथा $D=7$ हो, तो $x=$ कितना ?

विकल्प: (A) 7, (B) -7, (C) 1/7, (D) -1/7
हल:
क्रेमर पद्धति के अनुसार, $x = \frac{D_x}{D}$
$x = \frac{49}{7} = 7$
[cite_start]उत्तर: (A) [cite: 497]

(ii) निम्नलिखित में से कौनसा वर्गसमीकरण है ?

विकल्प:
(A) $\frac{5}{x}-3=x^{2}$ (यह घन समीकरण होगा)
(B) $x(x+5)=2$ ($x^2+5x-2=0$, कोटि २ है)
(C) $n-1=2n$ (रेखीय समीकरण)
(D) $\frac{1}{x^{2}}(x+2)=x$ (यह घन समीकरण होगा)
[cite_start]उत्तर: (B) [cite: 510]

(iii) -10, -6, -2, 2, ... यह श्रृंखला ........

विकल्प:
(A) अंकगणितीय श्रेढी है क्योंकि $d=-16$
(B) अंकगणितीय श्रेढी है क्योंकि $d=4$
(C) अंकगणितीय श्रेढी है क्योंकि $d=-4$
(D) अंकगणितीय श्रेढी नहीं है
हल: $d = t_2 - t_1 = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4$.
[cite_start]उत्तर: (B) [cite: 521]

(iv) निम्नलिखित में से कौनसी संभाव्यता हो नहीं सकती ?

विकल्प: (A) 2/3, (B) 1.5, (C) 15%, (D) 0.7
हल: संभाव्यता 0 से 1 के बीच होती है। 1.5 यह संख्या 1 से बड़ी है।
[cite_start]उत्तर: (B) [cite: 530]

प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उपप्रश्न हल कीजिए : (४ अंक)

(i) निम्न निश्चयक का मान ज्ञात कीजिए : $\begin{vmatrix}5 & -2 \\ -3 & 1\end{vmatrix}$

मान = $(5 \times 1) - (-2 \times -3)$
$= 5 - (6)$
$= 5 - 6 = -1$
[cite_start]मान = -1 [cite: 539]

(ii) निम्न अंकगणितीय श्रृंखला का प्रथम पद तथा सामान्य अंतर ज्ञात कीजिए : 5, 1, -3, -7...

प्रथम पद ($a$) = 5
सामान्य अंतर ($d$) = $t_2 - t_1 = 1 - 5 = -4$
[cite_start]a = 5, d = -4 [cite: 541]

(iii) यदि शेयर का अंकित मूल्य = 100 रुपये; अधिमूल्य = 65 रुपये हो, तो उस शेयर का बाजार मूल्य ज्ञात कीजिए।

बाजार मूल्य (MV) = अंकित मूल्य + अधिमूल्य
MV = $100 + 65 = 165$
[cite_start]बाजार मूल्य = 165 रुपये [cite: 545]

(iv) एक पाँसा फेंकने पर नमूना अवकाश लिखिये।

नमूना अवकाश $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
[cite_start]S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [cite: 549]

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प्रश्न २. (A) निम्नलिखित कोई दो कृति पूर्ण कीजिये : (४ अंक)

(i) दिये गये समीकरण का आलेख खींचने के लिए निम्न सारणी पूर्ण कीजिये : $x+2y=4$

x	-2	0	2
y	3	2	1
(x, y)	(-2, 3)	(0, 2)	(2, 1)

स्पष्टीकरण: यदि x=-2, -2+2y=4 → 2y=6 → y=3. [cite_start]यदि y=1, x+2(1)=4 → x=2. [cite: 554]

(ii) विवेचक के मान से वर्गसमीकरण के मूल को निश्चित कीजिए : $m^{2}+2m+9=0$

तुलना करने पर:
$a = 1, b=2, c=9$
$b^{2}-4ac = 2^{2} - 4 \times 1 \times \boxed{9}$
$= 4 - 36$
$b^{2}-4ac = \boxed{-32}$
$b^{2}-4ac < 0$
[cite_start]वर्गसमीकरण के मूल वास्तविक संख्या नहीं हैं। [cite: 559]

(iii) स्मिता ने 12,000 रुपये निवेश कर 10 रुपये अंकित मूल्य वाले शेयर्स प्रति शेयर 2 रुपये अधिमूल्य पर खरीदे, तो उसे कुल कितने शेयर्स प्राप्त होंगे। यह ज्ञात करने के लिए निम्न कृति पूरी कीजिए।

$FV=10$, अधिमूल्य = 2 रुपये
बाजार मूल्य = अंकित मूल्य + अधिमूल्य = 10 + 2 = 12 रुपये
शेयर्स की संख्या = $\frac{\text{कुल निवेश}}{\text{बाजार मूल्य}}$
$= \frac{12,000}{\boxed{12}}$
[cite_start]$= \boxed{1000} \text{ शेयर्स.}$ [cite: 572]

प्रश्न २. (B) निम्नलिखित कोई भी चार उपप्रश्न हल कीजिए : (८ अंक)

(i) निम्नलिखित युगपत समीकरणों को हल कीजिए : $x+y=5$, $x-y=3$

$x+y=5$ ... (I)
$x-y=3$ ... (II)
समीकरण (I) और (II) जोड़ने पर:
$2x = 8 \Rightarrow x = 4$
x का मान समीकरण (I) में रखने पर:
$4 + y = 5 \Rightarrow y = 1$
[cite_start]हल: (x, y) = (4, 1) [cite: 590]

(ii) यदि $x=3$ यह $kx^{2}-10x+3=0$ समीकरण का एक मूल है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण में $x=3$ रखने पर:
$k(3)^2 - 10(3) + 3 = 0$
$9k - 30 + 3 = 0$
$9k - 27 = 0$
$9k = 27 \Rightarrow k = 3$
[cite_start]k = 3 [cite: 591]

(iii) दी हुई अंकगणितीय श्रृंखला का 19वाँ पद ज्ञात कीजिये : 7, 13, 19, 25...

$a = 7, d = 13 - 7 = 6, n = 19$
सूत्र: $t_n = a + (n-1)d$
$t_{19} = 7 + (19-1)6$
$t_{19} = 7 + (18 \times 6)$
$t_{19} = 7 + 108 = 115$
[cite_start]19वाँ पद 115 है। [cite: 596]

(iv) किसी रिस्ट वॉच बेल्ट का करपात्र मूल्य 586 रुपये है। GST की दर यदि 18% हो, तो बेल्ट ग्राहक को कितने रुपयों में प्राप्त होगी ?

करपात्र मूल्य = 586 रुपये
GST राशि = $586 \times \frac{18}{100} = 586 \times 0.18 = 105.48$
कुल मूल्य = करपात्र मूल्य + GST
कुल मूल्य = $586 + 105.48 = 691.48$
[cite_start]ग्राहक के लिए मूल्य = 691.48 रुपये [cite: 597]

(v) किसी परिवार में वार्षिक निवेश का वृत्तालेख दिया गया है। शेयर्स: $60^\circ$, स्थानीय मालमत्ता: $120^\circ$, म्युच्युअल फंड: $60^\circ$, बैंक में सीधी जमा: $90^\circ$, डाकघर: $30^\circ$. यदि शेयर्स में निवेश राशि 2,000 हो, तो कुल निवेश और डाकघर में निवेश ज्ञात कीजिये।

(a) शेयर्स के लिए केंद्रीय कोण = $\frac{\text{शेयर्स में निवेश}}{\text{कुल निवेश}} \times 360^\circ$
$60^\circ = \frac{2000}{\text{कुल}} \times 360^\circ$
$\text{कुल निवेश} = \frac{2000 \times 360}{60} = 2000 \times 6 = 12,000$

(b) डाकघर में निवेश:
डाकघर का कोण = $30^\circ$
$\text{राशि} = \frac{30}{360} \times 12,000 = \frac{1}{12} \times 12,000 = 1,000$
कुल निवेश = 12,000 रुपये; [cite_start]डाकघर में निवेश = 1,000 रुपये [cite: 614]

प्रश्न ३. (A) निम्नलिखित कोई भी एक कृति पूरी कीजिये : (३ अंक)

(i) किसी एक शेयर का बाजार मूल्य 1,000 रुपये है। उस शेयर को बेचने पर उस पर 0.1% दलाली दी, तो बेचने के बाद मिलने वाली रकम कितनी है ?

दलाली रकम = बाजार मूल्य $\times$ दलाली की दर
$= 1000 \times \frac{0.1}{\boxed{100}}$
$= 10 \times 0.1 = \boxed{1}$
शेयर बेचने पर मिलने वाली रकम = बाजार मूल्य - दलाली
$= 1000 - \boxed{1}$
[cite_start]$= \boxed{999} \text{ रुपये.}$ [cite: 625]

(ii) एक पाँसे के ऊपरी पृष्ठभाग पर 2, 4, 6, 8, 10, 12 संख्याएँ हैं। यह पाँसा एक बार उछालने पर ऊपरी पृष्ठभाग पर मिलने वाली संख्या पूर्ण वर्ग हो यह संभाव्यता मिलने की कृति पूर्ण कीजिए।

$S = \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$
$n(S) = \boxed{6}$
घटना B: संख्या पूर्ण वर्ग होना। केवल 4 यह पूर्ण वर्ग संख्या है ($2^2$).
$B = \{ \boxed{4} \}$
$n(B) = \boxed{1}$
[cite_start]$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{\boxed{1}}{6}$ [cite: 638]

प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित कोई दो उपप्रश्न हल कीजिये : (६ अंक)

(i) निम्नलिखित युगपत समीकरण क्रेमर पद्धति से हल कीजिए : $4m-2n=-4; 4m+3n=16$.

$D = \begin{vmatrix}4 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix} = (12) - (-8) = 20$
$D_m = \begin{vmatrix}-4 & -2 \\ 16 & 3\end{vmatrix} = (-12) - (-32) = 20$
$D_n = \begin{vmatrix}4 & -4 \\ 4 & 16\end{vmatrix} = (64) - (-16) = 80$
$m = \frac{D_m}{D} = \frac{20}{20} = 1$
$n = \frac{D_n}{D} = \frac{80}{20} = 4$
[cite_start]हल: (m, n) = (1, 4) [cite: 651]

(ii) निम्नलिखित वर्गसमीकरण सूत्र पद्धति से हल कीजिए : $y^{2}+\frac{1}{3}y=2$

3 से गुणा करने पर: $3y^2 + y = 6 \Rightarrow 3y^2 + y - 6 = 0$
$a=3, b=1, c=-6$
$b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(3)(-6) = 1 + 72 = 73$
$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$y = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{6}$
[cite_start]मूल: $\frac{-1+\sqrt{73}}{6}, \frac{-1-\sqrt{73}}{6}$ [cite: 657]

(iii) दो पाँसे उछालने पर नमूना अवकाश 'S' तथा $n(S)$ लिखो तथा घटना A और B लिखिए।

$S = \{(1,1)...(6,6)\}$, $n(S) = 36$.
घटना A: संख्याओं का योगफल 5 का गुणज है।
योगफल 5 या 10 हो सकता है।
$A = \{(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (4,6), (5,5), (6,4)\}$
$n(A) = 7$

घटना B: संख्याओं का योगफल 25 है।
अधिकतम योगफल 12 (6+6) होता है। योगफल 25 असंभव है।
$B = \{ \}$ (रिक्त समुच्चय)
[cite_start]$n(B) = 0$ [cite: 658]

प्रश्न ४. निम्नलिखित कोई भी दो उपप्रश्न हल कीजिए : (८ अंक)

(i) टोल नाके पर जमा कर (रुपयों में) व वाहनों की संख्या दी गई है। जमा किए गए कर का माध्य "अनुमानित माध्य" पद्धति से ज्ञात कीजिए।

अनुमानित माध्य $A = 550$ मानेंगे (500-600 का वर्गमध्य)।

वर्ग (कर)	वर्गमध्य ($x_i$)	$d_i = x_i - 550$	बारंबारता ($f_i$)	$f_i d_i$
300-400	350	-200	80	-16000
400-500	450	-100	110	-11000
500-600	550	0	120	0
600-700	650	100	70	7000
700-800	750	200	40	8000
कुल			$\sum f_i = 420$	$\sum f_i d_i = -12000$

$\bar{d} = \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i} = \frac{-12000}{420} \approx -28.57$
माध्य $\bar{X} = A + \bar{d} = 550 + (-28.57) = 521.43$
[cite_start]औसत कर = 521.43 रुपये [cite: 664]

(ii) मनीषा को 540 केले कुछ छात्रों में समान रूप से बाँटने हैं। यदि 30 छात्र अधिक होते तो प्रत्येक छात्र को 3 केले कम मिलते तो छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।

माना छात्रों की मूल संख्या = $x$. प्रत्येक को मिलने वाले केले = $540/x$.
नई छात्र संख्या = $x+30$. नए केले प्रति छात्र = $540/(x+30)$.
शर्त: पुराना हिस्सा - नया हिस्सा = 3
$\frac{540}{x} - \frac{540}{x+30} = 3$
3 से भाग देने पर: $\frac{180}{x} - \frac{180}{x+30} = 1$
$180(x+30) - 180x = x(x+30)$
$180x + 5400 - 180x = x^2 + 30x$
$x^2 + 30x - 5400 = 0$
5400 के गुणनखंड जिनका अंतर 30 है: 90 और 60.
$(x+90)(x-60) = 0$
$x = 60$ (छात्र संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
[cite_start]छात्रों की संख्या = 60 [cite: 671]

(iii) 2,000 रुपये का 10% साधारण ब्याज की दर से निवेश किया तो प्रत्येक वर्ष के अंत में मिलने वाली ब्याज की रकम क्या अंकगणितीय श्रृंखला होगी ? 10 वर्ष बाद प्राप्त होने वाली ब्याज की रकम ज्ञात कीजिए।

मूलधन = 2000, दर = 10%.
वर्ष 1 का ब्याज: $(2000 \times 10 \times 1)/100 = 200$
वर्ष 2 का ब्याज: $(2000 \times 10 \times 2)/100 = 400$
वर्ष 3 का ब्याज: 600...
श्रृंखला: 200, 400, 600...
सामान्य अंतर $d = 200$ स्थिर है। इसलिए यह अंकगणितीय श्रेढी है।
10 वर्ष बाद का ब्याज ($t_{10}$):
$t_{10} = a + 9d = 200 + 9(200) = 200 + 1800 = 2000$.
[cite_start]10 वर्ष बाद ब्याज = 2,000 रुपये [cite: 673]

(iv) [सांख्यिकी - बहुलक] बारंबारता सारणी तैयार कीजिए और बहुलक ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: 0-20 (10%), 20-40 (20%), 40-60 (35%), 60-80 (20%), 80-100 (बचे हुए 30 छात्र)।
कुल प्रतिशत = $10+20+35+20 = 85\%$. बचे हुए = $15\%$.
यदि $15\% = 30$ छात्र, तो कुल छात्र $N = (30/15) \times 100 = 200$.
बारंबारता सारणी:
0-20: $10\% \text{ of } 200 = 20$
20-40: $20\% \text{ of } 200 = 40$ ($f_0$)
40-60: $35\% \text{ of } 200 = 70$ ($f_1$ - बहुलकीय वर्ग)
60-80: $20\% \text{ of } 200 = 40$ ($f_2$)
80-100: 30

बहुलक:
बहुलकीय वर्ग: 40-60. $L=40, h=20, f_1=70, f_0=40, f_2=40$.
बहुलक $= L + [\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}] \times h$
$= 40 + [\frac{70-40}{140-40-40}] \times 20$
$= 40 + [\frac{30}{60}] \times 20$
$= 40 + 10 = 50$
[cite_start]बहुलक = 50 अंक [cite: 678]

प्रश्न ५. निम्नलिखित प्रश्नों में से कोई एक उपप्रश्न हल कीजिये : (३ अंक)

(i) निम्न सामग्री आयतालेख द्वारा दर्शाओ :

दी गई जानकारी: 60-80 (4), 80-100 (12), 100-120 (16), 120-140 (8).
नोट: इसके लिए आलेख बनाना आवश्यक है। [cite_start]X-अक्ष पर 'बुद्धयांक' और Y-अक्ष पर 'छात्र संख्या' लेकर सलग स्तंभ बनाएँ। [cite: 689]

(ii) आकृति में दी गई जानकारी के आधार से आयत की लंबाई तथा चौड़ाई सेमी में ज्ञात कीजिए।

आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
1) $2m + 3n + 5 = 5m + n$
$5m - 2m + n - 3n = 5$
$3m - 2n = 5$ ... (I)

2) $3m - 2n + 7 = m + n - 3$
$3m - m - 2n - n = -3 - 7$
$2m - 3n = -10$ ... (II)

समीकरण (I) को 3 से और (II) को 2 से गुणा करें:
$9m - 6n = 15$
$4m - 6n = -20$
घटाने पर: $5m = 35 \Rightarrow m = 7$.

m=7 समीकरण (I) में रखने पर:
$3(7) - 2n = 5$
$21 - 5 = 2n$
$16 = 2n \Rightarrow n = 8$.

आयत की विमाएँ:
लंबाई $= 5m + n = 5(7) + 8 = 35 + 8 = 43$.
चौड़ाई $= m + n - 3 = 7 + 8 - 3 = 12$.
[cite_start]लंबाई = 43 सेमी, चौड़ाई = 12 सेमी [cite: 692]