เคช्เคฐเคถ्เคจ 1. (A) เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคชเคฐ्เคฏाเคฏांเคชैเคी เคฏोเค्เคฏ เคชเคฐ्เคฏाเคฏ เคจिเคตเคกा : (4 เคुเคฃ)
(i) \(kx^2 - 7x + 12 = 0\) เคฏा เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคे เคเค เคฎूเคณ 3 เคเคนे, เคคเคฐ \(k =\) ___
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
(A) 1
(B) -1
(C) 3
(D) -3
เคเคเคฒ:
\(kx^2 - 7x + 12 = 0\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค \(x = 3\) เค ेเคตू.
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
เคเคค्เคคเคฐ: (A) 1
\(kx^2 - 7x + 12 = 0\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค \(x = 3\) เค ेเคตू.
\(k(3)^2 - 7(3) + 12 = 0\)
\(9k - 21 + 12 = 0\)
\(9k - 9 = 0\)
\(9k = 9 \Rightarrow k = 1\)
เคเคค्เคคเคฐ: (A) 1
(ii) \(x + 2y = 4\) เคा เคเคฒेเค เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी \(y = 1\) เค
เคธเคคांเคจा \(x\) เคी เคिंเคฎเคค เคिเคคी ?
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
(A) 1
(B) 2
(C) -2
(D) 6
เคเคเคฒ:
\(x + 2y = 4\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค \(y = 1\) เค ेเคตू.
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
เคเคค्เคคเคฐ: (B) 2
\(x + 2y = 4\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค \(y = 1\) เค ेเคตू.
\(x + 2(1) = 4\)
\(x + 2 = 4\)
\(x = 4 - 2 = 2\)
เคเคค्เคคเคฐ: (B) 2
(iii) เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เค
ंเคเคเคฃिเคคी เคถ्เคฐेเคขीเคे \(t_7 = 4\) เคต \(d = -4\), เคคเคฐ \(a =\) ___
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
(A) 6
(B) 7
(C) 20
(D) 28
เคเคเคฒ:
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
เคเคค्เคคเคฐ: (D) 28
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(4 = a + (7-1)(-4)\)
\(4 = a + 6(-4)\)
\(4 = a - 24\)
\(a = 4 + 24 = 28\)
เคเคค्เคคเคฐ: (D) 28
(iv) GSTIN เคฎเคง्เคฏे เคเคूเคฃ ___ เค
ंเคाเค्เคทเคฐे เค
เคธเคคाเคค.
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
(A) 9
(B) 10
(C) 15
(D) 16
เคเคเคฒ:
GSTIN (เคตเคธ्เคคू เคต เคธेเคตा เคเคฐ เคเคณเค เค्เคฐเคฎांเค) เคนा 15 เค ंเคी เค เคธเคคो.
เคเคค्เคคเคฐ: (C) 15
GSTIN (เคตเคธ्เคคू เคต เคธेเคตा เคเคฐ เคเคณเค เค्เคฐเคฎांเค) เคนा 15 เค ंเคी เค เคธเคคो.
เคเคค्เคคเคฐ: (C) 15
เคช्เคฐเคถ्เคจ 1. (B) เคाเคฒीเคฒ เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคธोเคกเคตा : (4 เคुเคฃ)
(i) เคเคฐ \(17x + 15y = 11\) เคเคฃि \(15x + 17y = 21\), เคคเคฐ \(x - y\) เคी เคिंเคฎเคค เคाเคขा.
เคเคเคฒ:
เคธเคฎเคा \(17x + 15y = 11\) ... (I)
เคธเคฎเคा \(15x + 17y = 21\) ... (II)
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ (I) เคฎเคงूเคจ (II) เคตเคा เคเคฐू:
\(2x - 2y = -10\)
เคฆोเคจ्เคนी เคฌाเคूंเคจा 2 เคจे เคญाเคूเคจ:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
เคธเคฎเคा \(17x + 15y = 11\) ... (I)
เคธเคฎเคा \(15x + 17y = 21\) ... (II)
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ (I) เคฎเคงूเคจ (II) เคตเคा เคเคฐू:
\(2x - 2y = -10\)
เคฆोเคจ्เคนी เคฌाเคूंเคจा 2 เคจे เคญाเคूเคจ:
\(\mathbf{x - y = -5}\)
(ii) \(t_n = 3n - 2\) เคฏा เค्เคฐเคฎिเคेเคे เคชเคนिเคฒे เคชเคฆ เคाเคขा.
เคเคเคฒ:
เคชเคนिเคฒे เคชเคฆ เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी \(n = 1\) เค ेเคตू.
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
เคชเคนिเคฒे เคชเคฆ เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी \(n = 1\) เค ेเคตू.
\(t_1 = 3(1) - 2\)
\(t_1 = 3 - 2\)
\(\mathbf{t_1 = 1}\)
(iii) 100 เคฐुเคชเคฏे เคฆเคฐ्เคถเคจी เคिंเคฎเคคीเค्เคฏा เคถेเค
เคฐเคा เคฌाเคाเคฐเคญाเคต 150 เคฐुเคชเคฏे เคเคนे. เคเคฐ เคฆเคฒाเคฒीเคा เคฆเคฐ 2% เค
เคธेเคฒ, เคคเคฐ เคเคा เคถेเค
เคฐเค्เคฏा เคฆเคฒाเคฒीเคी เคฐเค्เคเคฎ เคाเคขा.
เคเคเคฒ:
เคฆเคฒाเคฒी เคนी เคฌाเคाเคฐเคญाเคตाเคตเคฐ (MV) เคाเคขเคฒी เคाเคคे.
เคฆเคฒाเคฒी = เคฆเคฒाเคฒीเคा เคฆเคฐ \(\times\) เคฌाเคाเคฐเคญाเคต
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
เคฆเคฒाเคฒी เคนी เคฌाเคाเคฐเคญाเคตाเคตเคฐ (MV) เคाเคขเคฒी เคाเคคे.
เคฆเคฒाเคฒी = เคฆเคฒाเคฒीเคा เคฆเคฐ \(\times\) เคฌाเคाเคฐเคญाเคต
\(= \frac{2}{100} \times 150\)
\(= 2 \times 1.5\)
\(\mathbf{= \text{₹} 3}\)
(iv) 2, 3, 5 เคฏा เค
ंเคांเคी เคชुเคจเคฐाเคตृเคค्เคคी เคจ เคเคฐเคคा เคฆोเคจ เค
ंเคी เคธंเค्เคฏा เคคเคฏाเคฐ เคเคฐเคฃ्เคฏाเคा เคจเคฎुเคจा เค
เคตเคाเคถ เคฒिเคนा.
เคเคเคฒ:
เค ंเค: 2, 3, 5.
เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
เค ंเค: 2, 3, 5.
เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{23, 25, 32, 35, 52, 53\}\)
SSC Mathematics
Maths March 2025 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2025ViewAnswer Key
Maths July 2025 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2025ViewAnswer Key
Maths March 2024 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry March 2024ViewAnswer Key
Maths July 2024 Board Papers
- Mathematics (Paper 1) Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Marathi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 1) Hindi Medium Algebra July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Geometry July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Marathi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
- Mathematics (Paper 2) Hindi Medium - Geometry July 2024ViewAnswer Key
เคช्เคฐเคถ्เคจ 2. (A) เคाเคฒीเคฒเคชैเคी เคोเคฃเคค्เคฏाเคนी เคฆोเคจ เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐूเคจ เคฒिเคนा : (4 เคुเคฃ)
(i) เคเคฐ (0, 2) เคนी \(2x + 3y = k\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคी เคเคเคฒ เค
เคธेเคฒ, เคคเคฐ \(k\) เคी เคिंเคฎเคค เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी เคाเคฒीเคฒ เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐा :
(0, 2) เคนी \(2x + 3y = k\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคी เคเคเคฒ เคเคนे.
\(x = \Box\) เคเคฃि \(y = \Box\) เคฏा เคिंเคฎเคคी เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค เค ेเคตूเคจ.
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
(0, 2) เคนी \(2x + 3y = k\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคी เคเคเคฒ เคเคนे.
\(x = \Box\) เคเคฃि \(y = \Box\) เคฏा เคिंเคฎเคคी เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค เค ेเคตूเคจ.
\(2 \times \Box + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \Box\)
เคเคค्เคคเคฐ:
\(x = \class{box}{0}\) เคเคฃि \(y = \class{box}{2}\) เคฏा เคिंเคฎเคคी เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค เค ेเคตूเคจ.
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
\(x = \class{box}{0}\) เคเคฃि \(y = \class{box}{2}\) เคฏा เคिंเคฎเคคी เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคค เค ेเคตूเคจ.
\(2 \times \class{box}{0} + 3 \times 2 = k\)
\(0 + 6 = k\)
\(k = \class{box}{6}\)
(ii) เคเคฐ 2 เคเคฃि 5 เคนी เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคी เคฎुเคณे เคเคนेเคค, เคคเคฐ เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคคเคฏाเคฐ เคเคฐเคฃ्เคฏाเคธाเค ी เคाเคฒीเคฒ เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐा :
เคธเคฎเคा \(\alpha = 2\) เคเคฃि \(\beta = 5\) เคนी เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคी เคฎुเคณे เคเคนेเคค.
เคฎिเคณเคฃाเคฐे เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ;
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
เคธเคฎเคा \(\alpha = 2\) เคเคฃि \(\beta = 5\) เคนी เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคी เคฎुเคณे เคเคนेเคค.
เคฎिเคณเคฃाเคฐे เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ;
\(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\)
\(x^2 - (2 + \Box)x + \Box \times 5 = 0\)
\(x^2 - \Box x + \Box = 0\)
เคเคค्เคคเคฐ:
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
\(x^2 - (2 + \class{box}{5})x + \class{box}{2} \times 5 = 0\)
\(x^2 - \class{box}{7}x + \class{box}{10} = 0\)
(iii) เคฆोเคจ เคจाเคฃी เคเคाเค เคตेเคณी เคซेเคเคฃे. เคฏा เคช्เคฐเคฏोเคाเคा เคจเคฎुเคจा เค
เคตเคाเคถ เคต เคเคเคจा A เคต B เคธंเค เคธ्เคตเคฐूเคชाเคค เคฒिเคนिเคฃ्เคฏाเคธाเค ी เคाเคฒीเคฒ เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐा :
เคฆोเคจ เคจाเคฃी เคเคाเค เคตेเคณी เคซेเคเคฒी เค เคธเคคांเคจा เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ 'S' เคเคนे.
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
เคเคเคจा A : เคเคฎीเคค เคเคฎी เคเค เคाเคช เคฎिเคณเคฃे.
\(A = \{ \text{HT, TH,} \Box \}\)
เคเคเคจा B : เคเคเคนी เคाเคช เคจ เคฎिเคณเคฃे.
\(B = \{ \Box \}\)
เคฆोเคจ เคจाเคฃी เคเคाเค เคตेเคณी เคซेเคเคฒी เค เคธเคคांเคจा เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ 'S' เคเคนे.
\(S = \{ \text{HT, TH,} \Box, \Box \}\)
เคเคเคจा A : เคเคฎीเคค เคเคฎी เคเค เคाเคช เคฎिเคณเคฃे.
\(A = \{ \text{HT, TH,} \Box \}\)
เคเคเคจा B : เคเคเคนी เคाเคช เคจ เคฎिเคณเคฃे.
\(B = \{ \Box \}\)
เคเคค्เคคเคฐ:
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
เคเคเคจा A : \(A = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}} \}\)
เคเคเคจा B : \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
\(S = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}}, \class{box}{\text{TT}} \}\)
เคเคเคจा A : \(A = \{ \text{HT, TH,} \class{box}{\text{HH}} \}\)
เคเคเคจा B : \(B = \{ \class{box}{\text{TT}} \}\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 2. (B) เคाเคฒीเคฒเคชैเคी เคोเคฃเคคेเคนी เคाเคฐ เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคธोเคกเคตा : (8 เคुเคฃ)
(i) ABCD เคเคฏเคค เคเคนे. เคเคृเคคीเคค เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคฎाเคนिเคคीเคा เคเคชเคฏोเค เคเคฐूเคจ \(ax+by=c\) เคธ्เคตเคฐूเคชाเคค เคเคเคธाเคฎเคฏिเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃे เคคเคฏाเคฐ เคเคฐा :
[เคเคृเคคी เคตเคฐ्เคฃเคจ: เคเคฏเคค ABCD. เคฌाเคू AB = \(2x + y + 8\), เคฌाเคू CD = \(4x - y\), เคฌाเคू AD = \(2y\), เคฌाเคू BC = \(x + 4\)]
[เคเคृเคคी เคตเคฐ्เคฃเคจ: เคเคฏเคค ABCD. เคฌाเคू AB = \(2x + y + 8\), เคฌाเคू CD = \(4x - y\), เคฌाเคू AD = \(2y\), เคฌाเคू BC = \(x + 4\)]
เคเคเคฒ:
เคเคฏเคคाเค्เคฏा เคธंเคฎुเค เคฌाเคू เคเคเคฐूเคช เค เคธเคคाเคค.
เค เค 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 เคจे เคญाเคूเคจ:
\(x - y = 4\) ... (I)
เค เค 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II) (เคिंเคตा \(x - 2y = -4\))
เคฎिเคณाเคฒेเคฒी เคเคเคธाเคฎเคฏिเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃे:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
เคเคฏเคคाเค्เคฏा เคธंเคฎुเค เคฌाเคू เคเคเคฐूเคช เค เคธเคคाเคค.
เค เค 1 (AB = CD):
\(2x + y + 8 = 4x - y\)
\(2x - 4x + y + y = -8\)
\(-2x + 2y = -8\)
-2 เคจे เคญाเคूเคจ:
\(x - y = 4\) ... (I)
เค เค 2 (AD = BC):
\(2y = x + 4\)
\(-x + 2y = 4\) ... (II) (เคिंเคตा \(x - 2y = -4\))
เคฎिเคณाเคฒेเคฒी เคเคเคธाเคฎเคฏिเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃे:
1) \(x - y = 4\)
2) \(-x + 2y = 4\)
(ii) เคाเคฒीเคฒ เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เค
เคตเคฏเคต เคชเคฆ्เคงเคคीเคจे เคธोเคกเคตा : \(x^2 + x - 20 = 0\)
เคเคเคฒ:
\(x^2 + x - 20 = 0\)
เคฎเคงเคฒ्เคฏा เคชเคฆाเคी เคซोเคก เคเคฐू (เคฌेเคฐीเค = +1, เคुเคฃाเคाเคฐ = -20). เค เคตเคฏเคต +5 เคเคฃि -4 เคเคนेเคค.
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) เคिंเคตा \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) เคिंเคตा \(\mathbf{x = 4}\)
\(x^2 + x - 20 = 0\)
เคฎเคงเคฒ्เคฏा เคชเคฆाเคी เคซोเคก เคเคฐू (เคฌेเคฐीเค = +1, เคुเคฃाเคाเคฐ = -20). เค เคตเคฏเคต +5 เคเคฃि -4 เคเคนेเคค.
\(x^2 + 5x - 4x - 20 = 0\)
\(x(x + 5) - 4(x + 5) = 0\)
\((x + 5)(x - 4) = 0\)
\(x + 5 = 0\) เคिंเคตा \(x - 4 = 0\)
\(\mathbf{x = -5}\) เคिंเคตा \(\mathbf{x = 4}\)
(iii) เคाเคฒीเคฒ เค
ंเคเคเคฃिเคคी เคถ्เคฐेเคขीเคे 19 เคตे เคชเคฆ เคाเคขा : 7, 13, 19, 25, ...
เคเคเคฒ:
เคฏेเคฅे, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
เคฏेเคฅे, \(a = 7\), \(d = 13 - 7 = 6\), \(n = 19\).
เคธूเคค्เคฐ: \(t_n = a + (n-1)d\)
\(t_{19} = 7 + (19 - 1)6\)
\(t_{19} = 7 + 18(6)\)
\(t_{19} = 7 + 108\)
\(\mathbf{t_{19} = 115}\)
(iv) เคฏोเค्เคฏ เคฐीเคคीเคจे เคชिเคธเคฒेเคฒ्เคฏा 52 เคชเคค्เคค्เคฏांเค्เคฏा เคॅเคเคฎเคงूเคจ เคเค เคชเคค्เคคा เคाเคขเคฒा เค
เคธเคคा. เคคो เคชเคค्เคคा เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เค
เคธเคฃे เคฏा เคเคเคจेเคी เคธंเคญाเคต्เคฏเคคा เคाเคขा.
เคเคเคฒ:
เคเคूเคฃ เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ \(n(S) = 52\).
เคธเคฎเคा A เคนी เคเคเคจा 'เคाเคขเคฒेเคฒा เคชเคค्เคคा เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เค เคธเคฃे' เคนी เคเคนे.
เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคชเคค्เคคे (Face cards) เคुเคฒाเคฎ (Jack), เคฐाเคฃी (Queen), เคเคฃि เคฐाเคा (King) เคช्เคฐเคค्เคฏेเค เคช्เคฐเคाเคฐाเคค เค เคธเคคाเคค.
เคเคूเคฃ เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคชเคค्เคคे \(n(A) = 3 \times 4 = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
เคเคूเคฃ เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ \(n(S) = 52\).
เคธเคฎเคा A เคนी เคเคเคจा 'เคाเคขเคฒेเคฒा เคชเคค्เคคा เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เค เคธเคฃे' เคนी เคเคนे.
เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคชเคค्เคคे (Face cards) เคुเคฒाเคฎ (Jack), เคฐाเคฃी (Queen), เคเคฃि เคฐाเคा (King) เคช्เคฐเคค्เคฏेเค เคช्เคฐเคाเคฐाเคค เค เคธเคคाเคค.
เคเคूเคฃ เคिเคค्เคฐเคฏुเค्เคค เคชเคค्เคคे \(n(A) = 3 \times 4 = 12\).
\(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\)
\(P(A) = \frac{12}{52}\)
\(\mathbf{P(A) = \frac{3}{13}}\)
(v) เคाเคฒीเคฒ เคธाเคฐเคฃीเคค เคเคा เคธॉเคซ्เคเคตेเค
เคฐ เคंเคชเคจीเคคीเคฒ เคฆैเคจंเคฆिเคจ เคाเคฎाเคे เคคाเคธ เคต เคคेเคตเคขा เคตेเคณ เคाเคฎ เคเคฐเคฃाเคฑ्เคฏा เคเคฐ्เคฎเคाเคฑ्เคฏांเคी เคธंเค्เคฏा เคฆिเคฒी เคเคนे. เคค्เคฏाเคตเคฐूเคจ 'เคตเคฐเค्เคฏा เคตเคฐ्เคเคฎเคฐ्เคฏाเคฆेเคชेเค्เคทा เคเคฎी' เคธंเคिเคค เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เคตिเคคเคฐเคฃ เคธाเคฐเคฃी เคคเคฏाเคฐ เคเคฐा :
| เคฆैเคจंเคฆिเคจ เคाเคฎाเคे เคคाเคธ | เคเคฐ्เคฎเคाเคฑ्เคฏांเคी เคธंเค्เคฏा |
|---|---|
| 8-10 | 150 |
| 10-12 | 500 |
| 12-14 | 300 |
| 14-16 | 50 |
เคเคเคฒ:
| เคตเคฐ्เค (เคคाเคธ) | เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा (เคเคฐ्เคฎเคाเคฑ्เคฏांเคी เคธंเค्เคฏा) | 'เคชेเค्เคทा เคเคฎी' เคธंเคिเคค เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा |
|---|---|---|
| 8-10 | 150 | 150 |
| 10-12 | 500 | 150 + 500 = 650 |
| 12-14 | 300 | 650 + 300 = 950 |
| 14-16 | 50 | 950 + 50 = 1000 |
เคช्เคฐเคถ्เคจ 3. (A) เคाเคฒीเคฒเคชैเคी เคोเคฃเคคीเคนी เคเค เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐूเคจ เคฒिเคนा : (3 เคुเคฃ)
(i) เคाเคฒीเคฒ เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เคตिเคคเคฐเคฃ เคธाเคฐเคฃीเคค เคเคा เคชेเค्เคฐोเคฒเคชंเคชाเคตเคฐ เคชेเค्เคฐोเคฒ เคญเคฐเคฃाเคฑ्เคฏा เคตाเคนเคจांเคी เคธंเค्เคฏा เคเคฃि เคตाเคนเคจांเคฎเคง्เคฏे เคญเคฐเคฒेเคฒे เคชेเค्เคฐोเคฒ เคฏाเคी เคฎाเคนिเคคी เคฆिเคฒी เคเคนे. เคค्เคฏाเคตเคฐूเคจ เคตाเคนเคจाเคค เคญเคฐเคฒेเคฒ्เคฏा เคชेเค्เคฐोเคฒเค्เคฏा เคเคाเคฐเคฎाเคจाเคे เคฌเคนुเคฒเค เคाเคขเคฃ्เคฏाเคी เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐा :
[เคธाเคฐเคฃीเคค เคฌเคนुเคฒเคीเคฏ เคตเคฐ्เค 3.5-6.5 เค เคธूเคจ เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा 40 เคเคนे. เคเคงीเคी เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा 33, เคจंเคคเคฐเคी เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा 27]
เคृเคคी:
เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคธाเคฐเคฃीเคตเคฐूเคจ, เคฌเคนुเคฒเคीเคฏ เคตเคฐ्เค = 3.5-6.5 เคเคนे.
เคฌเคนुเคฒเค \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \Box\)
เคตाเคนเคจाเคค เคญเคฐเคฒेเคฒ्เคฏा เคชेเค्เคฐोเคฒเค्เคฏा เคเคाเคฐเคฎाเคจाเคा เคฌเคนुเคฒเค \(\Box\) เคเคนे.
[เคธाเคฐเคฃीเคค เคฌเคนुเคฒเคीเคฏ เคตเคฐ्เค 3.5-6.5 เค เคธूเคจ เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा 40 เคเคนे. เคเคงीเคी เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा 33, เคจंเคคเคฐเคी เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा 27]
เคृเคคी:
เคฆिเคฒेเคฒ्เคฏा เคธाเคฐเคฃीเคตเคฐूเคจ, เคฌเคนुเคฒเคीเคฏ เคตเคฐ्เค = 3.5-6.5 เคเคนे.
เคฌเคนुเคฒเค \( = \boxed{\Box} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \boxed{\Box}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \Box\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{7}{80 - 60}\right] \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \Box\)
เคตाเคนเคจाเคค เคญเคฐเคฒेเคฒ्เคฏा เคชेเค्เคฐोเคฒเค्เคฏा เคเคाเคฐเคฎाเคจाเคा เคฌเคนुเคฒเค \(\Box\) เคเคนे.
เคเคค्เคคเคฐ:
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + 1.05\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{4.55}\)
เคตाเคนเคจाเคค เคญเคฐเคฒेเคฒ्เคฏा เคชेเค्เคฐोเคฒเค्เคฏा เคเคाเคฐเคฎाเคจाเคा เคฌเคนुเคฒเค 4.55 เคฒीเคเคฐ เคเคนे.
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{L} + \left[\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - \class{box}{f_2}}\right] \times h\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \left[\frac{40 - 33}{2(40) - 33 - 27}\right] \times \class{box}{3}\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + \frac{7}{20} \times 3\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = 3.5 + 1.05\)
เคฌเคนुเคฒเค \( = \class{box}{4.55}\)
เคตाเคนเคจाเคค เคญเคฐเคฒेเคฒ्เคฏा เคชेเค्เคฐोเคฒเค्เคฏा เคเคाเคฐเคฎाเคจाเคा เคฌเคนुเคฒเค 4.55 เคฒीเคเคฐ เคเคนे.
(ii) เคेเคณเคฃ्เคฏाเคคीเคฒ เคเคा เคฐिเคฎोเค เคเคจ्เค्เคฐोเคฒ เคाเคฐเคी เคीเคเคธเคी เคเคฐाเคธเคน เคเคूเคฃ เคिंเคฎเคค 2360 เคฐुเคชเคฏे เคเคนे. เคीเคเคธเคीเคा เคฆเคฐ 18% เคเคนे. เคคเคฐ เคค्เคฏा เคाเคฐเคी เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคिंเคฎเคค เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी เคाเคฒीเคฒ เคृเคคी เคชूเคฐ्เคฃ เคเคฐा :
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
เคाเคฐเคी เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคिंเคฎเคค \(\Box\) เคฐुเคชเคฏे เคเคนे.
\(2360 = \boxed{\Box} + \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\Box}{100} \times x\)
\(2360 \times 100 = 118x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\Box}\)
เคाเคฐเคी เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคिंเคฎเคค \(\Box\) เคฐुเคชเคฏे เคเคนे.
เคเคค्เคคเคฐ:
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
เคाเคฐเคी เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคिंเคฎเคค \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) เคฐुเคชเคฏे เคเคนे.
\(2360 = \class{box}{x} + \frac{\class{box}{18}}{100} \times x\)
\(2360 = \frac{\class{box}{118}}{100} \times x\)
\(x = \frac{2360 \times 100}{\class{box}{118}}\)
\(x = 20 \times 100\)
เคाเคฐเคी เคเคฐเคชाเคค्เคฐ เคिंเคฎเคค \(\mathbf{\text{₹} 2000}\) เคฐुเคชเคฏे เคเคนे.
เคช्เคฐเคถ्เคจ 3. (B) เคाเคฒीเคฒเคชैเคी เคोเคฃเคคेเคนी เคฆोเคจ เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคธोเคกเคตा : (6 เคुเคฃ)
(i) เคธूเคค्เคฐाเคा เคเคชเคฏोเค เคเคฐूเคจ เคाเคฒीเคฒ เคตเคฐ्เคเคธเคฎीเคเคฐเคฃ เคธोเคกเคตा : \(3m^2 - m - 10 = 0\)
เคเคเคฒ:
\(3m^2 - m - 10 = 0\) เคी เคคुเคฒเคจा \(am^2 + bm + c = 0\) เคถी เคเคฐूเคจ.
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
เคธूเคค्เคฐ: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
เคชเคนिเคฒी เคถเค्เคฏเคคा: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
เคฆुเคธเคฐी เคถเค्เคฏเคคा: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
\(3m^2 - m - 10 = 0\) เคी เคคुเคฒเคจा \(am^2 + bm + c = 0\) เคถी เคเคฐूเคจ.
\(a = 3, b = -1, c = -10\)
\(b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-10)\)
\(= 1 + 120 = 121\)
เคธूเคค्เคฐ: \(m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{121}}{2(3)}\)
\(m = \frac{1 \pm 11}{6}\)
เคชเคนिเคฒी เคถเค्เคฏเคคा: \(m = \frac{1 + 11}{6} = \frac{12}{6} = 2\)
เคฆुเคธเคฐी เคถเค्เคฏเคคा: \(m = \frac{1 - 11}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}\)
\(\mathbf{m = 2, m = -\frac{5}{3}}\)
(ii) เคाเคฒीเคฒ เคเคเคธाเคฎเคฏिเค เคธเคฎीเคเคฐเคฃे เค्เคฐेเคฎเคฐเค्เคฏा เคชเคฆ्เคงเคคीเคจे เคธोเคกเคตा : \(3x - 4y = 10\), \(4x + 3y = 5\)
เคเคเคฒ:
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
เค्เคฐेเคฎเคฐเค्เคฏा เคชเคฆ्เคงเคคीเคจुเคธाเคฐ:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
เคเคเคฒ: \((x, y) = (2, -1)\)
\(D = \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (3 \times 3) - (-4 \times 4) = 9 - (-16) = 25\)
\(D_x = \begin{vmatrix} 10 & -4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (10 \times 3) - (-4 \times 5) = 30 - (-20) = 50\)
\(D_y = \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (3 \times 5) - (10 \times 4) = 15 - 40 = -25\)
เค्เคฐेเคฎเคฐเค्เคฏा เคชเคฆ्เคงเคคीเคจुเคธाเคฐ:
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{50}{25} = \mathbf{2}\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-25}{25} = \mathbf{-1}\)
เคเคเคฒ: \((x, y) = (2, -1)\)
(iii) 10 เคฐुเคชเคฏे เคฆเคฐ्เคถเคจी เคिंเคฎเคคीเคे 50 เคถेเค
เคฐ्เคธ 25 เคฐुเคชเคฏे เคฌाเคाเคฐเคญाเคตाเคจे เคตिเคเคค เคेเคคเคฒे. เคค्เคฏांเคตเคฐ เคंเคชเคจीเคจे 30% เคฒाเคญांเคถ เคोเคทिเคค เคेเคฒा, เคคเคฐ : (1) เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค เคिเคคी ? (2) เคฎिเคณाเคฒेเคฒा เคฒाเคญांเคถ เคिเคคी ? (3) เคुंเคคเคตเคฃुเคीเคตเคฐीเคฒ เคชเคฐเคคाเคต्เคฏाเคा เคฆเคฐ เคाเคขा.
เคเคเคฒ:
เคฆिเคฒेเคฒी เคฎाเคนिเคคी: เคถेเค เคฐ्เคธเคी เคธंเค्เคฏा = 50, เคฆเคฐ्เคถเคจी เคिंเคฎเคค (FV) = \(\text{₹} 10\), เคฌाเคाเคฐเคญाเคต (MV) = \(\text{₹} 25\), เคฒाเคญांเคถ เคฆเคฐ = 30%.
(1) เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค:
เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค = เคถेเค เคฐ्เคธเคी เคธंเค्เคฏा \(\times\) เคฌाเคाเคฐเคญाเคต
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) เคฎिเคณाเคฒेเคฒा เคฒाเคญांเคถ:
เคเคा เคถेเค เคฐเคตเคฐीเคฒ เคฒाเคญांเคถ = เคฆเคฐ \(\times\) เคฆเคฐ्เคถเคจी เคिंเคฎเคค = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
เคเคूเคฃ เคฒाเคญांเคถ = เคเคा เคถेเค เคฐเคตเคฐीเคฒ เคฒाเคญांเคถ \(\times\) เคถेเค เคฐ्เคธเคी เคธंเค्เคฏा
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) เคชเคฐเคคाเคต्เคฏाเคा เคฆเคฐ (RoR):
RoR = \(\frac{\text{เคเคूเคฃ เคฒाเคญांเคถ}}{\text{เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
เคฆिเคฒेเคฒी เคฎाเคนिเคคी: เคถेเค เคฐ्เคธเคी เคธंเค्เคฏा = 50, เคฆเคฐ्เคถเคจी เคिंเคฎเคค (FV) = \(\text{₹} 10\), เคฌाเคाเคฐเคญाเคต (MV) = \(\text{₹} 25\), เคฒाเคญांเคถ เคฆเคฐ = 30%.
(1) เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค:
เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค = เคถेเค เคฐ्เคธเคी เคธंเค्เคฏा \(\times\) เคฌाเคाเคฐเคญाเคต
\(= 50 \times 25 = \mathbf{\text{₹} 1250}\)
(2) เคฎिเคณाเคฒेเคฒा เคฒाเคญांเคถ:
เคเคा เคถेเค เคฐเคตเคฐीเคฒ เคฒाเคญांเคถ = เคฆเคฐ \(\times\) เคฆเคฐ्เคถเคจी เคिंเคฎเคค = \(\frac{30}{100} \times 10 = \text{₹} 3\)
เคเคूเคฃ เคฒाเคญांเคถ = เคเคा เคถेเค เคฐเคตเคฐीเคฒ เคฒाเคญांเคถ \(\times\) เคถेเค เคฐ्เคธเคी เคธंเค्เคฏा
\(= 3 \times 50 = \mathbf{\text{₹} 150}\)
(3) เคชเคฐเคคाเคต्เคฏाเคा เคฆเคฐ (RoR):
RoR = \(\frac{\text{เคเคूเคฃ เคฒाเคญांเคถ}}{\text{เคเคूเคฃ เคुंเคคเคตเคฃूเค}} \times 100\)
RoR = \(\frac{150}{1250} \times 100\)
RoR = \(\frac{15}{125} \times 100\)
RoR = \(\frac{3}{25} \times 100\)
RoR = \(3 \times 4 = \mathbf{12\%}\)
(iv) เคเค เคจाเคฃे เคต เคเค เคซाเคธा เคเคाเค เคตेเคณी เคซेเคเคฒे เค
เคธเคคा. เคाเคฒीเคฒ เคเคเคจांเคी เคธंเคญाเคต्เคฏเคคा เคाเคขा :
เคเคเคจा A : เคाเคช เคต เคฎूเคณ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคณเคฃे เค เคถी เคเคนे.
เคเคเคจा B : เคाเคा เคต เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคณเคฃे เค เคถी เคเคนे.
เคเคเคจा A : เคाเคช เคต เคฎूเคณ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคณเคฃे เค เคถी เคเคนे.
เคเคเคจा B : เคाเคा เคต เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा เคฎिเคณเคฃे เค เคถी เคเคนे.
เคเคเคฒ:
เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
เคเคเคจा A : เคाเคช เคเคฃि เคฎूเคณ เคธंเค्เคฏा
เคซाเคถ्เคฏाเคตเคฐीเคฒ เคฎूเคณ เคธंเค्เคฏा: 2, 3, 5.
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคเคเคจा B : เคाเคा เคเคฃि เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा
เคซाเคถ्เคฏाเคตเคฐीเคฒ เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा: 1, 3, 5.
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคจเคฎुเคจा เค เคตเคाเคถ \(S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}\)
\(n(S) = 12\)
เคเคเคจा A : เคाเคช เคเคฃि เคฎूเคณ เคธंเค्เคฏा
เคซाเคถ्เคฏाเคตเคฐीเคฒ เคฎूเคณ เคธंเค्เคฏा: 2, 3, 5.
\(A = \{H2, H3, H5\}\)
\(n(A) = 3\)
\(P(A) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคเคเคจा B : เคाเคा เคเคฃि เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा
เคซाเคถ्เคฏाเคตเคฐीเคฒ เคตिเคทเคฎ เคธंเค्เคฏा: 1, 3, 5.
\(B = \{T1, T3, T5\}\)
\(n(B) = 3\)
\(P(B) = \frac{3}{12} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 4. เคाเคฒीเคฒเคชैเคी เคोเคฃเคคेเคนी เคฆोเคจ เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคธोเคกเคตा : (8 เคुเคฃ)
(i) เคเค เคाเคी เคฆोเคจ เคจเคณाเค्เคฏा เคธाเคนाเคฏ्เคฏाเคจे 6 เคคाเคธाเคค เคชूเคฐ्เคฃ เคญเคฐเคคे. เคคी เคाเคी เคญเคฐเคฃ्เคฏाเคธ เคฒเคนाเคจ เคจเคณाเคฒा เคฎोเค ्เคฏा เคจเคณाเคชेเค्เคทा 5 เคคाเคธ เคाเคธ्เคค เคฒाเคเคคाเคค เคคเคฐ เคช्เคฐเคค्เคฏेเค เคจเคณाเคจे เคคी เคाเคी เคญเคฐเคฃ्เคฏाเคธ เคिเคคी เคตेเคณ เคฒाเคेเคฒ ?
เคเคเคฒ:
เคธเคฎเคा เคฎोเค ्เคฏा เคจเคณाเคฒा เคाเคी เคญเคฐเคฃ्เคฏाเคธाเค ी \(x\) เคคाเคธ เคฒाเคเคคाเคค.
เคค्เคฏाเคฎुเคณे เคฒเคนाเคจ เคจเคณाเคฒा \((x + 5)\) เคคाเคธ เคฒाเคเคคीเคฒ.
1 เคคाเคธाเคค, เคฎोเค ा เคจเคณ \(\frac{1}{x}\) เคญाเค เคญเคฐเคคो.
1 เคคाเคธाเคค, เคฒเคนाเคจ เคจเคณ \(\frac{1}{x+5}\) เคญाเค เคญเคฐเคคो.
เคฆोเคจ्เคนी เคฎिเคณूเคจ เคाเคी 6 เคคाเคธाเคค เคญเคฐเคคाเคค, เคฎ्เคนเคฃूเคจ 1 เคคाเคธाเคค เคคे \(\frac{1}{6}\) เคญाเค เคญเคฐเคคाเคค.
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 เคे เค เคตเคฏเคต เค्เคฏांเคी เคฌेเคฐीเค -7 เคเคนे, เคคे -10 เคเคฃि +3 เคเคนेเคค.
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) เคिंเคตा \(x = -3\)
เคตेเคณ เคเคฃ เค เคธू เคถเคเคค เคจाเคนी, เคฎ्เคนเคฃूเคจ \(x = 10\).
เคฎोเค ्เคฏा เคจเคณाเคฒा เคฒाเคเคฃाเคฐा เคตेเคณ = \(\mathbf{10 \text{ เคคाเคธ}}\).
เคฒเคนाเคจ เคจเคณाเคฒा เคฒाเคเคฃाเคฐा เคตेเคณ = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ เคคाเคธ}}\).
เคธเคฎเคा เคฎोเค ्เคฏा เคจเคณाเคฒा เคाเคी เคญเคฐเคฃ्เคฏाเคธाเค ी \(x\) เคคाเคธ เคฒाเคเคคाเคค.
เคค्เคฏाเคฎुเคณे เคฒเคนाเคจ เคจเคณाเคฒा \((x + 5)\) เคคाเคธ เคฒाเคเคคीเคฒ.
1 เคคाเคธाเคค, เคฎोเค ा เคจเคณ \(\frac{1}{x}\) เคญाเค เคญเคฐเคคो.
1 เคคाเคธाเคค, เคฒเคนाเคจ เคจเคณ \(\frac{1}{x+5}\) เคญाเค เคญเคฐเคคो.
เคฆोเคจ्เคนी เคฎिเคณूเคจ เคाเคी 6 เคคाเคธाเคค เคญเคฐเคคाเคค, เคฎ्เคนเคฃूเคจ 1 เคคाเคธाเคค เคคे \(\frac{1}{6}\) เคญाเค เคญเคฐเคคाเคค.
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{x + 5 + x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 + 5x} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(12x + 30 = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
-30 เคे เค เคตเคฏเคต เค्เคฏांเคी เคฌेเคฐीเค -7 เคเคนे, เคคे -10 เคเคฃि +3 เคเคนेเคค.
\((x - 10)(x + 3) = 0\)
\(x = 10\) เคिंเคตा \(x = -3\)
เคตेเคณ เคเคฃ เค เคธू เคถเคเคค เคจाเคนी, เคฎ्เคนเคฃूเคจ \(x = 10\).
เคฎोเค ्เคฏा เคจเคณाเคฒा เคฒाเคเคฃाเคฐा เคตेเคณ = \(\mathbf{10 \text{ เคคाเคธ}}\).
เคฒเคนाเคจ เคจเคณाเคฒा เคฒाเคเคฃाเคฐा เคตेเคณ = \(10 + 5 = \mathbf{15 \text{ เคคाเคธ}}\).
(ii) เคเคा เคชเคฐीเค्เคทेเค्เคฏा เคจिเคाเคฒाเค्เคฏा เคเค्เคेเคตाเคฐीเคे เคตเคฐ्เค เคเคฃि เคค्เคฏा เคตเคฐ्เคाเคค เค
เคธเคฃाเคฐी เคตिเคฆ्เคฏाเคฐ्เคฅी เคธंเค्เคฏा เคाเคฒीเคฒ เคธाเคฐเคฃीเคค เคฆिเคฒी เคเคนे. เคฏा เคธाเคฐเคฃीเคตเคฐूเคจ เคเคฏเคคाเคฒेเค เคจ เคाเคขเคคा เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคाเคขा :
| เคจिเคाเคฒ (เคเค्เคे) | เคตिเคฆ्เคฏाเคฐ्เคฅी เคธंเค्เคฏा |
|---|---|
| 20-40 | 25 |
| 40-60 | 65 |
| 60-80 | 80 |
| 80-100 | 15 |
เคเคเคฒ:
เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी, เคเคชเคฒ्เคฏाเคฒा เคตเคฐ्เคเคฎเคง्เคฏ เคाเคขाเคตे เคฒाเคเคคीเคฒ. เคคเคธेเค เคธुเคฐुเคตाเคคीเคฒा เคเคฃि เคถेเคตเคी เคถूเคจ्เคฏ เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เค เคธเคฒेเคฒे เคตเคฐ्เค เค्เคฏाเคตे เคฒाเคเคคीเคฒ.
(เคीเคช: เคนे เคฌिंเคฆू เคเคฒेเค เคाเคเคฆाเคตเคฐ เคธ्เคฅाเคชเคจ เคเคฐूเคจ เคค्เคฏांเคจा เค्เคฐเคฎाเคจे เคोเคกूเคจ เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคाเคขा.)
เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เคฌเคนुเคญुเค เคाเคขเคฃ्เคฏाเคธाเค ी, เคเคชเคฒ्เคฏाเคฒा เคตเคฐ्เคเคฎเคง्เคฏ เคाเคขाเคตे เคฒाเคเคคीเคฒ. เคคเคธेเค เคธुเคฐुเคตाเคคीเคฒा เคเคฃि เคถेเคตเคी เคถूเคจ्เคฏ เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा เค เคธเคฒेเคฒे เคตเคฐ्เค เค्เคฏाเคตे เคฒाเคเคคीเคฒ.
| เคตเคฐ्เค | เคตเคฐ्เคเคฎเคง्เคฏ (x) | เคตाเคฐंเคตाเคฐเคคा (y) | เคฌिंเคฆूเคे เคจिเคฐ्เคฆेเคถเค (x, y) |
|---|---|---|---|
| 0-20 | 10 | 0 | (10, 0) |
| 20-40 | 30 | 25 | (30, 25) |
| 40-60 | 50 | 65 | (50, 65) |
| 60-80 | 70 | 80 | (70, 80) |
| 80-100 | 90 | 15 | (90, 15) |
| 100-120 | 110 | 0 | (110, 0) |
(iii) เคเคตिเคคाเคจे เคเคा เคฎเคนिเคฒा เคฌเคเคค เคเคाเคค เคฎเคนिเคจ्เคฏाเค्เคฏा เคชเคนिเคฒ्เคฏा เคฆिเคตเคถी 20 เคฐुเคชเคฏे, เคฆुเคธเคฑ्เคฏा เคฆिเคตเคถी 40 เคฐुเคชเคฏे เคต เคคिเคธเคฑ्เคฏा เคฆिเคตเคถी 60 เคฐुเคชเคฏे เค
เคถा เคช्เคฐเคाเคฐे เคชैเคธे เคुंเคคเคตिเคฒ्เคฏाเคธ เคคिเคी เคซेเคฌ्เคฐुเคตाเคฐी 2020 เคฏा เคฎเคนिเคจ्เคฏाเคी เคเคूเคฃ เคฌเคเคค เคिเคคी ?
เคเคเคฒ:
เคฌเคเคค: 20, 40, 60, ...
เคนी เคเค เค ंเคเคเคฃिเคคी เคถ्เคฐेเคขी (A.P.) เคเคนे, เคฏेเคฅे \(a = 20\), \(d = 20\).
เคซेเคฌ्เคฐुเคตाเคฐी 2020 เคนे เคฒीเคช เคตเคฐ्เคท เคเคนे, เคฎ्เคนเคฃूเคจ เคค्เคฏाเคค 29 เคฆिเคตเคธ เค เคธเคคाเคค. เคฎ्เคนเคฃूเคจ, \(n = 29\).
เคเคชเคฒ्เคฏाเคฒा เคเคूเคฃ เคฌเคเคค \(S_n\) เคाเคขाเคฏเคी เคเคนे.
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{เคซेเคฌ्เคฐुเคตाเคฐी 2020 เคฎเคงीเคฒ เคเคूเคฃ เคฌเคเคค = \text{₹} 8700}}\)
เคฌเคเคค: 20, 40, 60, ...
เคนी เคเค เค ंเคเคเคฃिเคคी เคถ्เคฐेเคขी (A.P.) เคเคนे, เคฏेเคฅे \(a = 20\), \(d = 20\).
เคซेเคฌ्เคฐुเคตाเคฐी 2020 เคนे เคฒीเคช เคตเคฐ्เคท เคเคนे, เคฎ्เคนเคฃूเคจ เคค्เคฏाเคค 29 เคฆिเคตเคธ เค เคธเคคाเคค. เคฎ्เคนเคฃूเคจ, \(n = 29\).
เคเคชเคฒ्เคฏाเคฒा เคเคूเคฃ เคฌเคเคค \(S_n\) เคाเคขाเคฏเคी เคเคนे.
\(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[2(20) + (29-1)20]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 28(20)]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}[40 + 560]\)
\(S_{29} = \frac{29}{2}\)
\(S_{29} = 29 \times 300\)
\(S_{29} = 8700\)
\(\mathbf{\text{เคซेเคฌ्เคฐुเคตाเคฐी 2020 เคฎเคงीเคฒ เคเคूเคฃ เคฌเคเคค = \text{₹} 8700}}\)
เคช्เคฐเคถ्เคจ 5. เคाเคฒीเคฒเคชैเคी เคोเคฃเคคाเคนी เคเค เคเคชเคช्เคฐเคถ्เคจ เคธोเคกเคตा : (3 เคुเคฃ)
(i) เคถाเคณेเค्เคฏा เคช्เคฐเคถाเคธเคจाเคจे เคเคा เคตเคฐ्เคทी เคตिเคตिเคง เคेเคณाเคตเคฐ เคเคฐ्เค เคेเคฒेเคฒी เคฐเค्เคเคฎ เคตृเคค्เคคाเคฒेเคाเคค เคฆाเคเคตเคฒी เคเคนे. เค्เคฐिเคेเค \(160^\circ\), เคเคฌเคก्เคกी \(55^\circ\), เคซुเคเคฌॉเคฒ \(45^\circ\), เคนॉเคी \(100^\circ\). เคเคฐ เคซुเคเคฌॉเคฒเคตเคฐ เคเคฐ्เค เคेเคฒेเคฒी เคฐเค्เคเคฎ 9,000 เคฐुเคชเคฏे เค
เคธेเคฒ, เคคเคฐ เคชुเคขीเคฒ เคช्เคฐเคถ्เคจांเคी เคเคค्เคคเคฐे เคฒिเคนा :
(a) เคेเคณाเคตเคฐ เคเคूเคฃ เคिเคคी เคฐเค्เคเคฎ เคเคฐ्เค เคेเคฒी ?
(b) เค्เคฐिเคेเคเคตเคฐ เคिเคคी เคฐเค्เคเคฎ เคเคฐ्เค เคेเคฒी ?
(a) เคेเคณाเคตเคฐ เคเคूเคฃ เคिเคคी เคฐเค्เคเคฎ เคเคฐ्เค เคेเคฒी ?
(b) เค्เคฐिเคेเคเคตเคฐ เคिเคคी เคฐเค्เคเคฎ เคเคฐ्เค เคेเคฒी ?
เคเคเคฒ:
(a) เคेเคณाเคตเคฐ เคเคฐ्เค เคेเคฒेเคฒी เคเคूเคฃ เคฐเค्เคเคฎ:
เคธเคฎเคा เคเคूเคฃ เคฐเค्เคเคฎ \(x\) เคเคนे.
เคซुเคเคฌॉเคฒเคธाเค ी เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคจ = \(45^\circ\). เคฐเค्เคเคฎ = \(\text{₹} 9000\).
เคธूเคค्เคฐ: \(\text{เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคจ} = \frac{\text{เคเคเคाเคी เคिंเคฎเคค}}{\text{เคเคूเคฃ เคिंเคฎเคค}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{เคเคूเคฃ เคฐเค्เคเคฎ = \text{₹} 72,000}}\)
(b) เค्เคฐिเคेเคเคตเคฐ เคเคฐ्เค เคेเคฒेเคฒी เคฐเค्เคเคฎ:
เค्เคฐिเคेเคเคธाเค ी เคोเคจ = \(160^\circ\).
เคฐเค्เคเคฎ = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(a) เคेเคณाเคตเคฐ เคเคฐ्เค เคेเคฒेเคฒी เคเคूเคฃ เคฐเค्เคเคฎ:
เคธเคฎเคा เคเคूเคฃ เคฐเค्เคเคฎ \(x\) เคเคนे.
เคซुเคเคฌॉเคฒเคธाเค ी เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคจ = \(45^\circ\). เคฐเค्เคเคฎ = \(\text{₹} 9000\).
เคธूเคค्เคฐ: \(\text{เคेंเคฆ्เคฐीเคฏ เคोเคจ} = \frac{\text{เคเคเคाเคी เคिंเคฎเคค}}{\text{เคเคूเคฃ เคिंเคฎเคค}} \times 360^\circ\)
\(45^\circ = \frac{9000}{x} \times 360^\circ\)
\(x = \frac{9000 \times 360}{45}\)
\(x = 9000 \times 8\)
\(x = 72,000\)
\(\mathbf{\text{เคเคूเคฃ เคฐเค्เคเคฎ = \text{₹} 72,000}}\)
(b) เค्เคฐिเคेเคเคตเคฐ เคเคฐ्เค เคेเคฒेเคฒी เคฐเค्เคเคฎ:
เค्เคฐिเคेเคเคธाเค ी เคोเคจ = \(160^\circ\).
เคฐเค्เคเคฎ = \(\frac{160}{360} \times 72000\)
\(= \frac{4}{9} \times 72000\)
\(= 4 \times 8000\)
\(\mathbf{= \text{₹} 32,000}\)
(ii) \(x + y = 4\) เคฏा เคธเคฎीเคเคฐเคฃाเคा เคเคฒेเค เคाเคขा เคต เคाเคฒीเคฒ เคช्เคฐเคถ्เคจांเคी เคเคค्เคคเคฐे เคฒिเคนा :
(a) เคฐेเคทेเคจे X เคต Y เค เค्เคทांเคถी เคคเคฏाเคฐ เคेเคฒेเคฒ्เคฏा เคค्เคฐिเคोเคฃाเคा เคฌाเคूเคตเคฐूเคจ เคช्เคฐเคाเคฐ เคฒिเคนा.
(b) เคค्เคฏा เคค्เคฐिเคोเคฃाเคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ เคाเคขा.
(a) เคฐेเคทेเคจे X เคต Y เค เค्เคทांเคถी เคคเคฏाเคฐ เคेเคฒेเคฒ्เคฏा เคค्เคฐिเคोเคฃाเคा เคฌाเคूเคตเคฐूเคจ เคช्เคฐเคाเคฐ เคฒिเคนा.
(b) เคค्เคฏा เคค्เคฐिเคोเคฃाเคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ เคाเคขा.
เคเคเคฒ:
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ: \(x + y = 4\)
เค เค्เคทเคฆ เคฌिंเคฆू: เคेเคต्เคนा \(x=0, y=4\) (เคฌिंเคฆू A: 0, 4). เคेเคต्เคนा \(y=0, x=4\) (เคฌिंเคฆू B: 4, 0). เคเคฐंเคญเคฌिंเคฆू O (0,0) เคเคนे.
(a) เคค्เคฐिเคोเคฃाเคा เคช्เคฐเคाเคฐ:
เคคเคฏाเคฐ เคाเคฒेเคฒा เคค्เคฐिเคोเคฃ \(\Delta OAB\) เคเคนे.
เคฌाเคू OA = 4 เคเคเค. เคฌाเคू OB = 4 เคเคเค.
เคฆोเคจ เคฌाเคू เคธเคฎाเคจ เคเคนेเคค เคเคฃि เค เค्เคทांเคฎเคงीเคฒ เคोเคจ \(90^\circ\) เคเคนे, เคฎ्เคนเคฃूเคจ เคนा เคธเคฎเคฆ्เคตिเคญुเค เคाเคเคोเคจ เคค्เคฐिเคोเคฃ เคเคนे.
(b) เคค्เคฐिเคोเคฃाเคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ:
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ = \(\frac{1}{2} \times \text{เคชाเคฏा} \times \text{เคंเคी}\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ = \(\mathbf{8 \text{ เคौเคฐเคธ เคเคเค}}\)
เคธเคฎीเคเคฐเคฃ: \(x + y = 4\)
เค เค्เคทเคฆ เคฌिंเคฆू: เคेเคต्เคนा \(x=0, y=4\) (เคฌिंเคฆू A: 0, 4). เคेเคต्เคนा \(y=0, x=4\) (เคฌिंเคฆू B: 4, 0). เคเคฐंเคญเคฌिंเคฆू O (0,0) เคเคนे.
(a) เคค्เคฐिเคोเคฃाเคा เคช्เคฐเคाเคฐ:
เคคเคฏाเคฐ เคाเคฒेเคฒा เคค्เคฐिเคोเคฃ \(\Delta OAB\) เคเคนे.
เคฌाเคू OA = 4 เคเคเค. เคฌाเคू OB = 4 เคเคเค.
เคฆोเคจ เคฌाเคू เคธเคฎाเคจ เคเคนेเคค เคเคฃि เค เค्เคทांเคฎเคงीเคฒ เคोเคจ \(90^\circ\) เคเคนे, เคฎ्เคนเคฃूเคจ เคนा เคธเคฎเคฆ्เคตिเคญुเค เคाเคเคोเคจ เคค्เคฐिเคोเคฃ เคเคนे.
(b) เคค्เคฐिเคोเคฃाเคे เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ:
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ = \(\frac{1}{2} \times \text{เคชाเคฏा} \times \text{เคंเคी}\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ = \(\frac{1}{2} \times 4 \times 4\)
เค्เคทेเคค्เคฐเคซเคณ = \(\mathbf{8 \text{ เคौเคฐเคธ เคเคเค}}\)
