10th Geometry Board Question Paper March 2024 with Solutions (Hindi Medium) - Maharashtra Board

प्रश्न १. (A) नीचे दिए प्रत्येक उप-प्रश्न के उत्तर के लिए चार विकल्प दिये हैं। सही विकल्प चुनकर उसका वर्णाक्षर लिखिए : (४ अंक)

(१) नीचे दिए गए दिनांकों में से पायथागोरस का त्रिक कौनसा है ?

• (A) 15/8/17
• (B) 16/8/16
• (C) 3/5/17
• (D) 4/9/15

हल:

उत्तर: (A)

कारण: पायथागोरस के त्रिक $(a, b, c)$ में जहाँ $c$ सबसे बड़ी संख्या है, $a^2 + b^2 = c^2$ होना चाहिए।
यहाँ 15, 8, 17 के लिए:
$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$ $$17^2 = 289$$ LHS = RHS, इसलिए यह पायथागोरस का त्रिक है।

(२) $\sin \theta \times \text{cosec } \theta =$ ?

• (A) 1
• (B) 0
• (C) $\frac{1}{2}$
• (D) $\sqrt{2}$

हल:

उत्तर: (A)

कारण: हम जानते हैं कि $\text{cosec } \theta = \frac{1}{\sin \theta}$।
इसलिए, $\sin \theta \times \frac{1}{\sin \theta} = 1$.

(३) X-अक्ष का ढाल = ?

• (A) 1
• (B) -1
• (C) 0
• (D) अपरिभाषित

हल:

उत्तर: (C)

कारण: X-अक्ष एक क्षैतिज रेखा है। किसी भी क्षैतिज रेखा का ढाल 0 होता है।

(४) ३ सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की सबसे बड़ी जीवा की लंबाई = ?

• (A) 1.5 सेमी
• (B) 3 सेमी
• (C) 6 सेमी
• (D) 9 सेमी

हल:

उत्तर: (C)

कारण: वृत्त की सबसे बड़ी जीवा उसका व्यास होता है।
व्यास $= 2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी}$।

प्रश्न १. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्न हल कीजिए : (४ अंक)

(१) यदि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ और $AB : PQ = 2 : 3$ हो, तो $\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल के प्रमेय के अनुसार:

$$\frac{A(\Delta ABC)}{A(\Delta PQR)} = \frac{AB^2}{PQ^2} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

(२) ५ सेमी तथा ३ सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त परस्पर बाह्यस्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

जब वृत्त बाह्यस्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं का योग होती है।

$$d = r_1 + r_2 = 5 + 3 = 8 \text{ सेमी}$$

(३) यदि वर्ग के विकर्ण की लंबाई $10\sqrt{2}$ सेमी हो, तो उस वर्ग की भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

सूत्र: $\text{विकर्ण} = \text{भुजा} \times \sqrt{2}$

$$10\sqrt{2} = \text{भुजा} \times \sqrt{2}$$ $$\therefore \text{भुजा} = 10 \text{ सेमी}$$

(४) यदि किसी रेखा द्वारा X-अक्ष के धन दिशा के साथ $45^{\circ}$ माप का कोण बनता है, तो उस रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

हल:

ढाल (Slope) $m = \tan \theta$
यहाँ, $\theta = 45^{\circ}$

$$m = \tan 45^{\circ} = 1$$

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प्रश्न २. (A) निम्नलिखित कोई दो कृति पूर्ण करके लिखिए : (४ अंक)

(१) ऊपर दी गयी आकृति में, $\angle ABC$ यह चाप ABC में अंतर्लिखित कोण है। यदि $\angle ABC = 60^{\circ}$ तो $m\angle AOC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

$\angle ABC = \frac{1}{2} m(\text{चाप } AXC)$ ... (अंतर्लिखित कोण का प्रमेय)

$60^{\circ} = \frac{1}{2} m(\text{चाप } AXC)$

120° $= m(\text{चाप } AXC)$

परंतु $m\angle AOC = \text{m(चाप AXC)}$ ... (केंद्रीय कोण का गुणधर्म)

$\therefore m\angle AOC = $ 120°

(२) $\sin^2\theta + \cos^2\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

$\Delta ABC$ में, $\angle ABC = 90^{\circ}, \angle C = \theta$.

$AB^2 + BC^2 = $ AC² ... (पायथागोरस प्रमेय)

दोनों पक्षों में $AC^2$ से भाग देने पर:

$\frac{AB^2}{AC^2} + \frac{BC^2}{AC^2} = \frac{AC^2}{AC^2}$

$(\frac{AB}{AC})^2 + (\frac{BC}{AC})^2 = 1$

परन्तु $\frac{AB}{AC} = $ sin θ और $\frac{BC}{AC} = $ cos θ

$\therefore \sin^2\theta + \cos^2\theta = $ 1

(३) ABCD एक वर्ग है और एक वृत्त उसमें अंतर्लिखित है। वर्ग की सभी भुजायें वृत्त को स्पर्श करती हैं। यदि $AB = 14$ सेमी, तो रेखांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² (सूत्र)

$= 14^2 = $ 196 $\text{वर्ग सेमी}$

वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (सूत्र)

चूँकि वर्ग की भुजा 14 सेमी है, इसलिए त्रिज्या $r = 7$ सेमी।

$= \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \text{ वर्ग सेमी}$

रेखांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - वृत्त का क्षेत्रफल

$= 196 - 154 = $ 42 $\text{वर्ग सेमी}$

प्रश्न २. (B) नीचे दिये उपप्रश्न हल कीजिए (कोई चार) : (८ अंक)

(१) यदि किसी वृत्त के वैत्रिज्य (sector) की त्रिज्या ३.५ सेमी तथा उसके चाप की लंबाई २.२ सेमी हो, तो उस वैत्रिज्य का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है: $r = 3.5 \text{ सेमी}, l = 2.2 \text{ सेमी}$।
वैत्रिज्य का क्षेत्रफल $A = \frac{l \times r}{2}$

$$A = \frac{2.2 \times 3.5}{2}$$ $$A = 1.1 \times 3.5$$ $$A = 3.85 \text{ वर्ग सेमी}$$

(२) यदि किसी समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ ९ सेमी तथा १२ सेमी हों, तो उसके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए भुजाएँ $a=9, b=12$ हैं। पायथागोरस प्रमेय से:

$$\text{विकर्ण}^2 = 9^2 + 12^2$$ $$\text{विकर्ण}^2 = 81 + 144 = 225$$ $$\text{विकर्ण} = \sqrt{225} = 15 \text{ सेमी}$$

(३) ऊपर दी गयी आकृति में, $m(\text{चाप } NS) = 125^{\circ}, m(\text{चाप } EF) = 37^{\circ}$ हो, तो $\angle NMS$ ज्ञात कीजिए।

हल:

जब दो जीवाएँ वृत्त के बाहर प्रतिच्छेदित करती हैं, तो बना कोण उनके द्वारा अंतर्खंडित चापों के माप के अंतर का आधा होता है।

$$\angle NMS = \frac{1}{2} [m(\text{चाप } NS) - m(\text{चाप } EF)]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [125^{\circ} - 37^{\circ}]$$ $$\angle NMS = \frac{1}{2} [88^{\circ}]$$ $$\angle NMS = 44^{\circ}$$

(४) बिंदु $A(2,3)$ तथा $B(4,7)$ में से होकर जाने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए $A(x_1, y_1) = (2,3)$ और $B(x_2, y_2) = (4,7)$।

$$\text{ढाल } m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$$

(५) ७ सेमी त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठफल ज्ञात कीजिए।

हल:

गोले का पृष्ठफल $= 4\pi r^2$

$$= 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$$ $$= 4 \times 22 \times 7$$ $$= 88 \times 7 = 616 \text{ वर्ग सेमी}$$

प्रश्न ३. (A) नीचे दी गई कृति पूर्ण करके लिखिए (कोई एक) : (३ अंक)

(१) $\Delta ABC$ में, किरण BD यह $\angle ABC$ का कोण समद्विभाजक है, DE || BC. तो सिद्ध कीजिए $\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EB}$.

हल:

उपपत्ति:

$\Delta ABC$ में, किरण BD यह $\angle B$ को समद्विभाजित करता है।

$\therefore \frac{\text{AB}}{BC} = \frac{AD}{DC}$ ... (I) (कोण समद्विभाजक का प्रमेय)

$\Delta ABC$ में, DE || BC

$\therefore \frac{\text{AE}}{EB} = \frac{AD}{DC}$ ... (II) (समानुपात का मूलभूत प्रमेय)

(I) व (II) से,

$\frac{AB}{\text{BC}} = \frac{\text{AE}}{EB}$

(रिक्त स्थान: AB, AE, BC, AE)

(२) वृत्त की जीवाएँ अंतर्भाग में प्रतिच्छेदित करती हैं, इस प्रमेय की उपपत्ति: $AE \times EB = CE \times ED$.

हल:

$\Delta CAE$ और $\Delta BDE$ में,

$\angle AEC \cong \angle DEB$ ... (शीर्षाभिमुख कोण)

$\angle CAE \cong $ ∠BDE ... (एक ही चाप में अंतर्लिखित कोण)

$\therefore \Delta CAE \sim \Delta BDE$ ... (समरूपता की को-को कसौटी)

$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{CE}{\text{EB}}$ ... (समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)

$\therefore AE \times EB = CE \times ED$

प्रश्न ३. (B) निम्नलिखित उप-प्रश्नों को हल कीजिए (कोई दो) : (६ अंक)

(१) नीचे दिए गए बिंदु एकरेखीय हैं या नहीं इसकी जाँच कीजिए। $A(1,-3), B(2,-5), C(-4,7)$

हल:

बिंदु एकरेखीय होने के लिए, रेखा AB का ढाल = रेखा BC का ढाल होना चाहिए।

रेखा AB का ढाल = $\frac{-5 - (-3)}{2 - 1} = \frac{-2}{1} = -2$

रेखा BC का ढाल = $\frac{7 - (-5)}{-4 - 2} = \frac{12}{-6} = -2$

यहाँ रेखा AB का ढाल = रेखा BC का ढाल है और बिंदु B सामान्य है, इसलिए बिंदु A, B और C एकरेखीय हैं।

(२) $\Delta ABC \sim \Delta LMN$. $\Delta ABC$ में, $AB=5.5, BC=6, CA=4.5$. $\Delta ABC$ तथा $\Delta LMN$ की रचना कीजिए यदि $\frac{BC}{MN} = \frac{5}{4}$.

हल:

विश्लेषण:
$\Delta ABC \sim \Delta LMN$, इसलिए उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती होंगी।
$\frac{AB}{LM} = \frac{BC}{MN} = \frac{AC}{LN} = \frac{5}{4}$

$\Delta LMN$ की भुजाओं की गणना:

• $LM = AB \times \frac{4}{5} = 5.5 \times 0.8 = 4.4 \text{ सेमी}$
• $MN = BC \times \frac{4}{5} = 6 \times 0.8 = 4.8 \text{ सेमी}$
• $LN = AC \times \frac{4}{5} = 4.5 \times 0.8 = 3.6 \text{ सेमी}$

रचना:
१. ५.५ सेमी, ६ सेमी और ४.५ सेमी भुजाओं वाला $\Delta ABC$ बनाइये।
२. ४.४ सेमी, ४.८ सेमी और ३.६ सेमी भुजाओं वाला $\Delta LMN$ बनाइये।

(३) $\Delta PQR$ में, रेख PM माध्यिका है। $PM=9$ और $PQ^2 + PR^2 = 290$ हो, तो QR ज्ञात कीजिए।

हल:

अपोलोनियस प्रमेय के अनुसार:

$$PQ^2 + PR^2 = 2(PM^2 + QM^2)$$ $$290 = 2(9^2 + QM^2)$$ $$145 = 81 + QM^2$$ $$QM^2 = 145 - 81 = 64$$ $$QM = 8$$

PM माध्यिका है, इसलिए M, QR का मध्यबिंदु है।
$\therefore QR = 2 \times QM = 2 \times 8 = 16$.

(४) सिद्ध कीजिए: "यदि किसी त्रिभुज की किसी एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा उसकी अन्य दो भुजाओं को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करे तो वह रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।"

हल:

दत्त: $\Delta ABC$ में, रेखा $l || \text{ भुजा } BC$ और रेखा $AB$ को $P$ पर तथा $AC$ को $Q$ पर प्रतिच्छेदित करती है।
साध्य: $\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$
रचना: रेख $PC$ तथा रेख $BQ$ खींचिये।
उपपत्ति:
$\Delta APQ$ तथा $\Delta BPQ$ समान ऊँचाई वाले त्रिभुज हैं।
$\therefore \frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta BPQ)} = \frac{AP}{PB}$ ... (I) (क्षेत्रफल आधार के अनुपात में)
इसी प्रकार, $\frac{A(\Delta APQ)}{A(\Delta CPQ)} = \frac{AQ}{QC}$ ... (II)
$\Delta BPQ$ तथा $\Delta CPQ$ दो समांतर रेखाओं $PQ$ और $BC$ के बीच स्थित हैं, इसलिए उनकी ऊँचाई समान है। उनका आधार $PQ$ भी समान है।
$\therefore A(\Delta BPQ) = A(\Delta CPQ)$ ... (III)
(I), (II) और (III) से:
$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$.

प्रश्न ४. निम्नलिखित उप-प्रश्नों को हल कीजिए (कोई दो) : (८ अंक)

(१) यदि $\frac{1}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta} - \frac{1}{\tan^2\theta} - \frac{1}{\cot^2\theta} - \frac{1}{\sec^2\theta} - \frac{1}{\text{cosec}^2\theta} = -3$, तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल:

समीकरण को सरल करने पर:

$\text{cosec}^2\theta - \sec^2\theta - \cot^2\theta - \tan^2\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta = -3$

पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$(\text{cosec}^2\theta - \cot^2\theta) - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - (\sin^2\theta + \cos^2\theta) = -3$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके: $\text{cosec}^2 - \cot^2 = 1$ और $\sin^2 + \cos^2 = 1$

$1 - (\sec^2\theta + \tan^2\theta) - 1 = -3$

$-(\sec^2\theta + \tan^2\theta) = -3$

$\sec^2\theta + \tan^2\theta = 3$

$\sec^2\theta$ को $1 + \tan^2\theta$ से बदलने पर:

$(1 + \tan^2\theta) + \tan^2\theta = 3$

$1 + 2\tan^2\theta = 3$

$2\tan^2\theta = 2 \implies \tan^2\theta = 1$

$\tan \theta = 1$

$\therefore \theta = 45^{\circ}$

(२) किसी लंबवृत्ताकार बेलन की त्रिज्या १२ सेमी है जिसमें २० सेमी ऊँचाई तक पानी भरा है। एक गोलाकार धातु की गेंद उसमें डुबाने पर पानी की ऊँचाई ६.७५ सेमी से बढ़ती है, तो उस धातु की गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

विस्थापित पानी का आयतन (बढ़ी हुई ऊँचाई) डूबे हुए गोले के आयतन के बराबर होता है।

बेलन की त्रिज्या ($R$) = 12 सेमी
ऊँचाई में वृद्धि ($h$) = 6.75 सेमी
मान लीजिए गोले की त्रिज्या $r$ है।

गोले का आयतन = बेलन में बढ़े हुए पानी का आयतन

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = \pi R^2 h$$ $$\frac{4}{3} r^3 = (12)^2 \times 6.75$$ $$r^3 = \frac{144 \times 6.75 \times 3}{4}$$ $$r^3 = 36 \times 20.25$$ $$r^3 = 729$$ $$r = 9 \text{ सेमी}$$

(३) 'O' केंद्र तथा ३ सेमी त्रिज्या का एक वृत्त बनाइए। वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखाखंड PA तथा PB इस प्रकार बनाइये कि $\angle APB=70^{\circ}$।

हल:

रचना के चरण:

1. O केंद्र और ३ सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाइये।
2. हमें स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $70^{\circ}$ चाहिए। इसलिए, केंद्रीय कोण इसका संपूरक होगा ($\angle AOB + \angle APB = 180^{\circ}$)।
3. $\therefore \angle AOB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$।
4. एक त्रिज्या OA खींचिये। दूसरी त्रिज्या OB इस प्रकार खींचिये कि $\angle AOB = 110^{\circ}$ हो।
5. बिंदु A पर OA के लंबवत रेखा खींचिये और बिंदु B पर OB के लंबवत रेखा खींचिये (स्पर्शरेखा प्रमेय)।
6. ये दोनों लंबवत रेखाएँ जिस बिंदु पर मिलेंगी, वह बिंदु P होगा।

प्रश्न ५. निम्नलिखित उप-प्रश्नों को हल कीजिए (कोई एक) : (३ अंक)

(१) ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD. समलंब ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं। इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए :

हल:

(a) दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये:
(एक समलंब चतुर्भुज ABCD बनाइये जिसमें AB और CD समांतर हों और विकर्ण AC तथा BD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हों।)

(b) उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए:
एकांतर कोण: $\angle CDB \cong \angle ABD$ (क्योंकि AB || CD)।
शीर्षाभिमुख कोण: $\angle APB \cong \angle CPD$।

(c) समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुजों के नाम लिखिए:
$\Delta APB \sim \Delta CPD$ (समरूपता की को-को कसौटी, क्योंकि एकांतर कोण और शीर्षाभिमुख कोण सर्वांगसम हैं)।

(२) 'O' केंद्र वाले वृत्त की रेख AB जीवा है। AOC वृत्त का व्यास है। AT वृत्त के बिन्दु A पर बनी स्पर्शरेखा है। इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए :

हल:

(a) दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये:
(वृत्त बनाइये, केंद्र O, व्यास AC, जीवा AB और A से गुजरने वाली स्पर्शरेखा AT दर्शाइये।)

(b) $\angle CAT$ तथा $\angle ABC$ की माप ज्ञात करने के लिए संबंधित प्रमेय का कथन लिखिए:
$\angle CAT = 90^{\circ}$ (स्पर्शरेखा प्रमेय: स्पर्शरेखा स्पर्शबिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है)।
$\angle ABC = 90^{\circ}$ (अर्धवृत्त में बना अंतर्लिखित कोण समकोण होता है)।

(c) क्या $\angle CAT$ तथा $\angle ABC$ एकरूप हैं ? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये:
[cite_start]हाँ, वे एकरूप हैं [cite: 809]।
पुष्टि: जैसा कि ऊपर सिद्ध किया गया है, दोनों कोणों का माप $90^{\circ}$ है।