9th Standard Science Half Yearly Exam 2024 Tirunelveli District Answer Key

TVL9S - Tirunelveli District
Common Half Yearly Examination - 2024
Standard 9 - SCIENCE
Time: 3.00 Hours | Marks: 75

I. Choose the correct answer. Write it with the option. (12x1=12)

1) Rulers, measuring tapes and metre scales are used to measure.

• a) mass
• b) weight
• c) time
• d) length

Answer d) length

2) Clouds float atmosphere because of their low

• a) density
• b) pressure
• c) velocity
• d) mass

Answer a) density

3) Electroplating is an example for

• a) heating effect
• b) Chemical effect
• c) Flowing effect
• d) magnetic effect

Answer b) Chemical effect

4) Transformer works on

• a) AC only
• b) DC only
• c) both AC and DC

Answer a) AC only

5) ............. has the same properties throughout the sample

• a) Pure substance
• b) mixture
• c) colloid
• d) suspension

Answer a) Pure substance

6) The term nucleons refer to .............

• a) Protons and electrons
• b) only neutrons
• c) electrons and neutrons
• d) Protons and neutrons

Answer d) Protons and neutrons

7) Example for liquid metal is .............

• a) Sodium
• b) Mercury
• c) Potassium
• d) Oxygen

Answer b) Mercury

8) Acid turn blue litmus paper to .............

• a) green
• b) orange
• c) red
• d) yellow

Answer c) red

9) Poliomyelitis virus enters the body through .............

• a) skin
• b) mouth and nose
• c) ears
• d) eye

Answer b) mouth and nose

10) Food and Adulteration Act was enforced by Government of India in the year .............

• a) 1964
• b) 1954
• c) 1950
• d) 1963

Answer b) 1954

11) The structural and functional unit of the kidney is .............

• a) villi
• b) liver
• c) nephron
• d) ureter

Answer c) nephron

12) Excretory organ of tape worm is .............

• a) flame cells
• b) nephridia
• c) body surface
• d) solenocytes

Answer a) flame cells

II. Answer any 7 questions. (Q.No. 22 is compulsory) (7x2=14)

13) Define least count of any device

Solution The smallest measurement that can be measured accurately by an instrument is called its least count (LC).

14) Differentiate speed and velocity

Solution

Speed	Velocity
Rate of change of distance.	Rate of change of displacement.
It is a scalar quantity.	It is a vector quantity.

15) Why does Helium balloon floats thin air?

Solution Helium gas is less dense than air. Therefore, the buoyant force (upthrust) exerted by the air on the balloon is greater than the weight of the balloon, causing it to float.

16) What are electric lines of force?

Solution Electric lines of force are imaginary lines representing the electric field. They start from a positive charge and end at a negative charge, indicating the direction of the electric field at any point.

17) State-Fleming's left hand rule?

Solution Stretch the thumb, forefinger, and middle finger of the left hand mutually perpendicular to each other. If the forefinger points in the direction of the magnetic field and the middle finger in the direction of the current, then the thumb points in the direction of the force acting on the conductor.

18) Define Sublimation with example.

Solution Sublimation is the process in which a solid substance changes directly into the gas phase without passing through the liquid phase.
Example: Camphor, Iodine, Dry ice.

19) Draw the structure of oxygen atom, write atomic number, mass number, proton and neutron

Solution Atomic Number (Z): 8
Mass Number (A): 16
Number of Protons: 8
Number of Neutrons: 8
Structure:

• Nucleus contains 8 Protons and 8 Neutrons.
• K-shell (1st orbit) contains 2 electrons.
• L-shell (2nd orbit) contains 6 electrons.

20) State Modern periodic law

Solution The physical and chemical properties of elements are periodic functions of their atomic numbers.

21) Differentiate Phototropism and Photonasty

Solution

• Phototropism: Directional growth movement of a plant part in response to light (e.g., shoot bends towards light).
• Photonasty: Non-directional movement of a plant part in response to light intensity (e.g., opening of Moonflower at night).

22) Find the oxidation number of sulphur in \(H_2SO_4\) molecule.

Solution Let the oxidation number of Sulphur be \(x\).
Oxidation number of H = +1
Oxidation number of O = -2
$$2(+1) + x + 4(-2) = 0$$ $$2 + x - 8 = 0$$ $$x - 6 = 0$$ $$x = +6$$ The oxidation number of Sulphur is +6.

III. Answer any 7 questions. (Q.No. 32 is compulsory) (7x4=28)

23) i) Differentiate mass and weight (2)
ii) Fill ups (2)
a) Negative acceleration is called .............
b) Area under velocity - time graph shows .............

Solution i) Mass vs Weight:

Mass	Weight
Quantity of matter contained in a body.	Gravitational force exerted on a body.
Scalar quantity. Remains constant everywhere.	Vector quantity. Varies from place to place.

ii) Fill ups:
a) Retardation (or Deceleration)
b) Displacement (or Distance travelled)

24) i) State Pascal's law (2)
ii) State True or False (2)
a) The weight of fluid displaced determines the buoyant force on an object
b) Hydraulic press is used in the extraction of oil from oil seeds

Solution i) Pascal's Law:
The pressure applied to an enclosed fluid is transmitted undiminished to every point of the fluid and the walls of the container.

ii) True or False:
a) True (Based on Archimedes' Principle)
b) True (Application of Pascal's Law)

25) A bird sitting on a high power electric line is still safe, How?

Solution When a bird sits on a single high-power line, both its feet are at the same electrical potential. Therefore, there is no potential difference between its feet. As a result, no current flows through the bird's body, keeping it safe.

26) Match (2)

• a) Magnetic material - Oersted
• b) Non-magnetic material - Iron
• c) Current and magnetism - Faraday
• d) Electromagnetic Induction - Wood

Fill ups (2)

i) The mirror used in search light is .............
ii) Large ............. mirrors are used in solar furnaces

Solution Match Correctly:
a) Magnetic material - Iron
b) Non-magnetic material - Wood
c) Current and magnetism - Oersted
d) Electromagnetic Induction - Faraday

Fill ups:
i) Concave
ii) Concave

27) a) Define - Tyndall effect (2)
b) Differentiate - Elements and Compounds.

Solution a) Tyndall effect:
The scattering of a beam of light by the colloidal particles present in a solution, making the path of light visible, is called the Tyndall effect.

b) Elements vs Compounds:

Elements	Compounds
Made up of only one kind of atom.	Made up of more than one kind of atom chemically combined.
Cannot be broken down into simpler substances.	Can be broken down into elements by chemical methods.

28) 1) Match (2)

• a) Dalton - Hydrogen atom model
• b) Chadwick - Discovery of nucleus
• c) Rutherford - First atomic theory
• d) Neils Bohr - Discovery of neutrons

2) State any four features of modern periodic law

Solution 1) Match Correctly:
a) Dalton - First atomic theory
b) Chadwick - Discovery of neutrons
c) Rutherford - Discovery of nucleus
d) Neils Bohr - Hydrogen atom model

2) Features of Modern Periodic Table:
1. Elements are arranged in increasing order of atomic numbers.
2. There are 7 horizontal rows called periods.
3. There are 18 vertical columns called groups.
4. Elements are classified into s, p, d, and f blocks based on electronic configuration.

29) List five characteristic features of fishes

Solution 1. They are cold-blooded aquatic vertebrates.
2. The body is streamlined and covered with scales.
3. Respiration takes place through gills.
4. They have fins for locomotion.
5. Heart is two-chambered.

30) What are permanent tissues? Describe the different types of simple permanent tissues

Solution Permanent Tissues: Tissues that have lost the ability to divide and have attained a definite shape, size, and function.

Simple Permanent Tissues:

• Parenchyma: Living cells with thin walls, store food, and provide support.
• Collenchyma: Living cells with thickened corners, provide mechanical support and flexibility.
• Sclerenchyma: Dead cells with thick lignified walls, provide strength and rigidity.

31) a) Why do we sweat?
b) Differentiate Kwarshiorkar from Marasmus

Solution a) Why do we sweat?
Sweating helps in regulating body temperature. When sweat evaporates from the skin surface, it takes latent heat from the body, causing a cooling effect.

b) Kwarshiorkor vs Marasmus:

Kwarshiorkor	Marasmus
Caused by Protein deficiency.	Caused by Protein and Energy (Calorie) deficiency.
Symptoms: Swollen belly (Pot belly), edema.	Symptoms: Severe wasting of muscles, dry skin, "old man" appearance.

32) What do you conclude about the speed of light in diamond if the refractive index of diamond is 2.41?

Solution Refractive Index (\(\mu\)) = Speed of light in vacuum (c) / Speed of light in medium (v)
\(2.41 = \frac{c}{v}\)
\(\Rightarrow v = \frac{c}{2.41}\)
Conclusion: The speed of light in diamond is \(\frac{1}{2.41}\) times the speed of light in vacuum (or air). Light travels very slowly in diamond compared to air.

IV. Answer all questions. (3x7=21)

33) a) How will you find the thickness of a one rupee coin?

(OR)

b) i) Explain the different types of motion? (5)
ii) What are the uses of convex mirror? (2)

Solution a) Finding thickness of a coin using Screw Gauge:
1. Find the Least Count (LC) and Zero Error (ZE) of the screw gauge.
2. Place the coin between the stud and the spindle.
3. Rotate the ratchet until the coin is held gently.
4. Note the Pitch Scale Reading (PSR) and Head Scale Coincidence (HSC).
5. Calculate Total Reading = PSR + (HSC × LC) ± ZC.
6. Repeat for different positions to get the average thickness.

(OR)

b) i) Types of Motion:
1. Linear Motion: Motion along a straight line.
2. Circular Motion: Motion along a circular path.
3. Oscillatory Motion: To and fro motion about a fixed point.
4. Rotatory Motion: Spinning about an axis.
5. Random Motion: Irregular motion.

ii) Uses of Convex Mirror:
1. Used as rear-view mirrors in vehicles.
2. Used in street lights to spread light over a larger area.

34) a) i) State the Gay Lussac's law of combining volumes. Explain with an illustration. (4)
ii) List down the differences between Ionic and Covalent compounds. (3)

(OR)

b) i) Give the test to identify acids and bases. (3)
ii) Explain Tyndall effect and Brownian movement with suitable diagram (4)

Solution a) i) Gay Lussac's Law:
When gases react, they do so in volumes which bear a simple ratio to one another, and to the volume of the gaseous product, provided all measurements are made at the same temperature and pressure.
Illustration: \(H_2 + Cl_2 \rightarrow 2HCl\). 1 volume of Hydrogen reacts with 1 volume of Chlorine to produce 2 volumes of HCl (Ratio 1:1:2).

a) ii) Ionic vs Covalent Compounds:

Ionic Compounds	Covalent Compounds
Formed by transfer of electrons.	Formed by sharing of electrons.
High melting and boiling points.	Low melting and boiling points.
Conduct electricity in molten/solution state.	Do not conduct electricity (mostly).

(OR)

b) i) Tests for Acids and Bases:
1. Litmus Test: Acid turns blue litmus red; Base turns red litmus blue.
2. Phenolphthalein: Acid - Colourless; Base - Pink.
3. Methyl Orange: Acid - Red/Pink; Base - Yellow.

b) ii) Tyndall Effect & Brownian Movement:
Tyndall Effect: Scattering of light by colloidal particles making the light path visible.
Brownian Movement: The continuous, random, zig-zag motion of colloidal particles due to bombardment by dispersion medium molecules. (Diagram: Zig-zag lines representing particle path).

35) a) i) Give an account on phylum Arthropoda? (3)
ii) Give the difference between Mitosis and Meiosis. (4)

(OR)

b) i) Write about the elements of Xylem? (4)
ii) Explain the role of food control agencies in India. (3)

Solution a) i) Phylum Arthropoda:
1. Largest phylum in animal kingdom.
2. They have jointed appendages (legs).
3. Body is segmented into head, thorax, and abdomen.
4. Exoskeleton made of chitin.
5. Example: Prawn, Cockroach, Butterfly.

a) ii) Mitosis vs Meiosis:

Mitosis	Meiosis
Occurs in somatic (body) cells.	Occurs in reproductive (germ) cells.
Produces 2 daughter cells.	Produces 4 daughter cells.
Chromosome number remains same (2n).	Chromosome number is halved (n).
Used for growth and repair.	Used for gamete formation.

(OR)

b) i) Elements of Xylem:
1. Tracheids: Elongated, dead cells with tapering ends; conduct water.
2. Vessels (Tracheae): Long tube-like structures; main water-conducting elements.
3. Xylem Parenchyma: Living cells; store food.
4. Xylem Fibres: Dead sclerenchyma fibres; provide mechanical support.

b) ii) Food Control Agencies in India:
1. FSSAI (Food Safety and Standards Authority of India): Regulates food manufacture, storage, and distribution to ensure safety.
2. ISI (Indian Standards Institute): Certifies industrial products like electrical appliances, etc. (Now BIS).
3. AGMARK: Certifies agricultural products (oil, pulses, honey) for quality.
4. FPO (Fruit Process Order): Certifies fruit products like jams and pickles.

10th Tamil - Half Yearly Exam 2024 - Original Question Paper | Thirunelveli District

10 ஆம் வகுப்பு தமிழ் அரையாண்டுப் பொதுத் தேர்வு 2024

திருநெல்வேலி மாவட்டம் - விடைக்குறிப்புகளுடன்

கால அளவு: 3.00 மணிநேரம் | மதிப்பெண்கள்: 100

பகுதி - I (மதிப்பெண்: 15)

i) அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.

ii) கொடுக்கப்பட்ட நான்கு விடைகளில் ஏற்புடைய விடையினைத் தேர்ந்தெடுத்துக் குறியீட்டுடன் விடையைக் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

1) 'கேட்டவர் மகிழப் பாடிய பாடல் இது' - தொடரில் இடம் பெற்றுள்ள தொழிற்பெயரும் வினையாலணையும் பெயரும் முறையே

1. பாடிய; கேட்டவர்
2. பாடல்; பாடிய
3. கேட்டவர்; பாடிய
4. பாடல்; கேட்டவர்

விடை: ஈ) பாடல்; கேட்டவர்

விளக்கம்: 'பாடல்' என்பது பாடுதல் என்ற தொழிலைக் குறிப்பதால் தொழிற்பெயர். 'கேட்டவர்' என்பது கேட்டல் தொழிலைச் செய்தவரைக் குறிப்பதால் வினையாலணையும் பெயர்.

2) பெரிய மீசை சிரித்தார் - கோடிட்ட இடத்துக்கான தொகையின் வகை எது?

1. பண்புத்தொகை
2. உவமைத்தொகை
3. அன்மொழித்தொகை
4. உம்மைத்தொகை

விடை: இ) அன்மொழித்தொகை

விளக்கம்: பெரிய மீசையை உடையவர் சிரித்தார் என, தொகைச்சொல் அல்லாத வேறு சொற்கள் மறைந்து நின்று பொருள் தருவதால் இது அன்மொழித்தொகை ஆகும்.

3) 'சிலம்பு அடைந்திருந்த பாக்கம் எய்தி' என்னும் அடியில் பாக்கம் என்பது .....

1. புத்தூர்
2. மூதூர்
3. பேரூர்
4. சிற்றூர்

விடை: ஈ) சிற்றூர்

விளக்கம்: கடற்கரை ஓரங்களில் உள்ள சிற்றூர்கள் 'பாக்கம்' என அழைக்கப்படும்.

4) எய்துவர் எய்தாப் பழி - இக்குறளடிக்கு பொருந்தும் வாய்பாடு எது?

1. கூவிளம் தேமா மலர்
2. கூவிளம் புளிமா நாள்
3. தேமா புளிமா காசு
4. புளிமா தேமா பிறப்பு

விடை: அ) கூவிளம் தேமா மலர்

விளக்கம்: எய்துவர் (நிரை நேர் - கூவிளம்), எய்தாப் (நேர் நேர் - தேமா), பழி (நிரை - மலர்).

5) குலசேகர ஆழ்வார் 'வித்துவக்கோட்டம்மா' என்று ஆண் தெய்வத்தை அழைக்கப்பாடுகிறார். பூனையார் பால் சோற்றைக் கண்டதும் வருகிறார்-ஆகிய தொடர்களில் இடம் பெற்றுள்ள வழுவமைதி முறையே

1. மரபு வழுவமைதி, திணை வழுவமைதி
2. இட வழுவமைதி, மரபு வழுவமைதி
3. பால் வழுவமைதி, திணை வழுவமைதி
4. கால வழுவமைதி, இட வழுவமைதி

விடை: இ) பால் வழுவமைதி, திணை வழுவமைதி

விளக்கம்: ஆண் தெய்வத்தை 'அம்மா' என அழைப்பது பால் வழுவமைதி. அஃறிணைப் பொருளான பூனையை உயர்திணையாகக் கருதி 'வருகிறார்' என்பது திணை வழுவமைதி.

6) இங்கு நகரப் பேருந்து நிற்குமா? என்று வழிப்போக்கர் கேட்பது .......... வினா. 'அதோ அங்கே நிற்கும்' என்று மற்றொருவர் கூறியது .......... விடை.

1. ஐயவினா, வினா எதிர் வினாதல்
2. அறிவினா, மறை விடை
3. அறியா வினா, சுட்டு விடை
4. கொளல் வினா, இன மொழி விடை

விடை: இ) அறியா வினா, சுட்டு விடை

விளக்கம்: தான் அறியாத ஒன்றைத் தெரிந்துகொள்ளக் கேட்பது அறியா வினா. சுட்டிக்காட்டி விடையளிப்பது சுட்டு விடை.

7) தூக்குமேடை என்னும் நாடகத்தின் பாராட்டுவிழாவில் தான் கலைஞர் என்ற சிறப்புப்பெயர் வழங்கப்பட்டது- இத்தொடருக்கான வினா எது?

1. தூக்குமேடை நாடகத்தில் நடித்தவர் யார்?
2. கலைஞர் என்ற சிறப்புப்பெயர் எப்போது வழங்கப்பட்டது?
3. தூக்குமேடை என்பது திரைப்படமா? நாடகமா?
4. யாருக்குப் பாராட்டு விழா நடத்தப்பட்டது?

விடை: ஆ) கலைஞர் என்ற சிறப்புப்பெயர் எப்போது வழங்கப்பட்டது?

8) 'தன் நாட்டு மக்களுக்குத் தந்தையும் தாயும் மகனுமாக இருந்த அரசன்' என்னும் மெய்க்கீர்த்தித் தொடர் உணர்த்தும் பொருள்

1. மேம்பட்ட நிர்வாகத்திறன் பெற்றவர்
2. மிகுந்த செல்வம் உடையவர்
3. பண்பட்ட மனிதநேயம் கொண்டவர்
4. நெறியோடு நின்று காவல் காப்பவர்

விடை: ஈ) நெறியோடு நின்று காவல் காப்பவர்

9) மேன்மை தரும் அறம் என்பது

1. கைம்மாறு கருதாமல் அறம் செய்வது
2. மறுபிறப்பில் பயன்பெறலாம் என்ற நோக்கில் அறம் செய்வது
3. புகழ் கருதி அறம் செய்வது
4. பதிலுதவி பெறுவதற்காக அறம் செய்வது

விடை: அ) கைம்மாறு கருதாமல் அறம் செய்வது

10) சுதந்திர இந்தியாவின் மகத்தான சாதனையும் சவாலுமாக ஜெயகாந்தன் கருதுவது

1. அரசின் நலத்திட்டங்களைச் செயல்படுத்துதல்
2. பெற்ற சுதந்திரத்தைப் பேணிக்காத்தல்
3. அறிவியல் முன்னேற்றம்
4. வெளிநாட்டு முதலீடுகள்

விடை: ஆ) பெற்ற சுதந்திரத்தைப் பேணிக்காத்தல்

11) வாய்மையே மழைநீராகி - இத்தொடர் வெளிப்படும் அணி

1. உவமை
2. தற்குறிப்பேற்றம்
3. உருவகம்
4. தீவகம்

விடை: இ) உருவகம்

விளக்கம்: உவமை, உவமேயம் இரண்டையும் வேறுபடுத்தாமல் ஒன்றே எனக்கூறுவதால் இது உருவக அணி.

பாடலைப்படித்து பின்வரும் வினாக்களுக்கு (12, 13, 14, 15) விடைதருக.

செம்பொ னடிச்சிறு கிங்கிணி யோடு சிலம்பு கலந்தாடத் திருவரை யரைஞா ணரைமணி யொடுமொளி திகழரை வடமாடப் பைம்பொ னசும்பிய தொந்தி யொடுஞ்சிறு பண்டி சரிந்தாடப் பட்ட நுதற்பொலி பொட்டொடு வட்டச் சுட்டி பதிந்தாடக்

12) இப்பாடல் இடம்பெற்றுள்ள நூல் எது?

1. பெருமாள் திருமொழி
2. முத்துக்குமாரசாமி பிள்ளைத்தமிழ்
3. கம்பராமாயணம்
4. சிலப்பதிகாரம்

விடை: ஆ) முத்துக்குமாரசாமி பிள்ளைத்தமிழ்

13) பாடலின் இலக்கிய வகை

1. பத்துப்பாட்டு
2. சிற்றிலக்கியம்
3. எட்டுத்தொகை
4. பதினெண்கீழ்க்கணக்கு

விடை: ஆ) சிற்றிலக்கியம்

14) இப்பாடலின் ஆசிரியர்

1. பரணர்
2. கபிலர்
3. அதிவீரராம பாண்டியர்
4. குமரகுருபரர்

விடை: ஈ) குமரகுருபரர்

15) 'கிண்கிணி' என்னும் அணிகலன்

1. இடையில் அணிவது
2. தலையில் அணிவது
3. காலில் அணிவது
4. நெற்றியில் அணிவது

விடை: இ) காலில் அணிவது

பகுதி - II (மதிப்பெண்: 18)

பிரிவு - 1 (4 x 2 = 8)

எவையேனும் நான்கு வினாக்களுக்கு மட்டும் விடையளி. வினா எண் 21க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

16) விடைக்கேற்ற வினா அமைக்க.

அ) அமெரிக்காவில் வாழையிலை விருந்து விழாவை ஆண்டு தோறும் கொண்டாடி வருகின்றனர்.

ஆ) கலைஞர் பகுத்தறிவுக் கொள்கை பரப்பும் சிந்தனையாளர்.

அ) வினா: அமெரிக்காவில் ஆண்டுதோறும் எதனைக் கொண்டாடி வருகின்றனர்?

ஆ) வினா: கலைஞர் எத்தகைய சிந்தனையாளர்?

17) வசன கவிதை - குறிப்பு வரைக.

உரைநடையும் கவிதையும் இணைந்து யாப்புக் கட்டுகளுக்கு அப்பாற்பட்டு உருவாக்கப்படும் கவிதை வடிவம் வசன கவிதை எனப்படும். இதனை பாரதியார் தமிழுக்கு அறிமுகப்படுத்தினார். இது ஆங்கிலத்தில் Prose Poetry (Free verse) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

18) விருந்தினரை மகிழ்வித்துக் கூறும் முகமன் சொற்களை எழுதுக.

"வாருங்கள்", "வணக்கம்", "உள்ளே வாருங்கள்", "அமருங்கள்", "நலமாக உள்ளீர்களா?", "வீட்டில் அனைவரும் நலமா?" போன்ற சொற்கள் விருந்தினரை மகிழ்விக்கும் முகமன் சொற்கள் ஆகும்.

19) குறிப்பு வரைக. - அவையம்

அறம் கூறும் மன்றங்கள் அரசனின் அறநெறி ஆட்சிக்குத் துணைபுரிந்தன. அறம் கூறுவோர் கூடும் இடம் 'அறஅவையம்' அல்லது 'அறங்கூறு அவையம்' என்று அழைக்கப்பட்டது. இங்கு சான்றோர்கள் கூடி இருந்து வழக்குகளை ஆராய்ந்து தீர்ப்பு வழங்குவர்.

20) மெய்க்கீர்த்தி பாடப்படுவதன் நோக்கம் யாது?

ஒரு மன்னனுடைய புகழையும், வீரத்தையும், கொடைத்திறனையும், அவனது ஆட்சியில் மக்கள் எவ்வளவு செழிப்பாக வாழ்ந்தார்கள் என்பதையும் புகழ்ந்து பாடுவதே மெய்க்கீர்த்தி பாடப்படுவதன் நோக்கமாகும். இது கல்லிலும் செப்பேடுகளிலும் பொறிக்கப்பட்டது.

21) ‘அறிவு' என முடியும் திருக்குறளை அடி பிறழாமல் எழுதுக.

குறள்:

எப்பொருள் யார்யார்வாய்க் கேட்பினும் அப்பொருள்
மெய்ப்பொருள் காண்ப தறிவு.

பிரிவு - 2 (5 x 2 = 10)

எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு மட்டும் விடையளி.

22) சொற்களைப் பிரித்து பொருள் தருக.

அ) விருந்தாமரை ஆ) பலகையொலி

அ) விருந்தாமரை: விருந்து + ஆம் + அரை

பொருள்: புதியதாக வருகின்ற வண்டுகள்.

ஆ) பலகையொலி: பலகை + ஒலி

பொருள்: சங்கப்பலகை எழுப்பிய ஒலி.

23) பாரதியார் கவிஞர், நூலகம் சென்றார் அவர் யார்? ஆகிய தொடர்களில் எழுவாயுடன் தொடரும் பயனிலைகள் யாவை?

முதல் தொடரில், எழுவாய்: பாரதியார், பயனிலை: கவிஞர் (பெயர்ப்பயனிலை)

இரண்டாம் தொடரில், எழுவாய்: அவர், பயனிலை: சென்றார் (வினைப்பயனிலை)

மூன்றாம் தொடரில், எழுவாய்: அவர், பயனிலை: யார்? (வினாப்பயனிலை)

24) இடம் எத்தனை வகைப்படும்? அவை யாவை?

இடம் மூன்று வகைப்படும். அவை:

1. தன்மை: பேசுபவரைக் குறிப்பது (நான், நாம்).
2. முன்னிலை: கேட்பவரைக் குறிப்பது (நீ, நீர், நீங்கள்).
3. படர்க்கை: பேசப்படுபவரைக் குறிப்பது (அவன், அவள், அது, அவர்கள், அவைகள்).

25) மயங்கிய - பகுபத உறுப்பிலக்கணம் தருக.

மயங்கிய = மயங்கு + இன் + ய் + அ

• மயங்கு - பகுதி
• இன் - இறந்தகால இடைநிலை (புணர்ந்து கெட்டது)
• ய் - உடம்படுமெய்
• அ - பெயரெச்ச விகுதி

26) பொருத்தமான நிறுத்தற்குறியிடுக.

வெண்கலம் செம்புப்பாத்திரங்கள் செய்வோர் மரத்தச்சர் இரும்புக் கொல்லர் ஓவியர் மண் பொம்மைகள் செய்பவர் சிற்பிகள் ஆகியோர் உள்ளனர் பொற்கொல்லர் இரத்தின வேலை செய்பவர் தையற்காரர் தோல்பொருள் தைப்பவர் துணியாலும் கட்டைகளாலும் பொம்மைகள் செய்பவர் ஆகியோர் உள்ளனர்.

வெண்கலம், செம்புப்பாத்திரங்கள் செய்வோர், மரத்தச்சர், இரும்புக் கொல்லர், ஓவியர், மண் பொம்மைகள் செய்பவர், சிற்பிகள் ஆகியோர் உள்ளனர். பொற்கொல்லர், இரத்தின வேலை செய்பவர், தையற்காரர், தோல்பொருள் தைப்பவர், துணியாலும் கட்டைகளாலும் பொம்மைகள் செய்பவர் ஆகியோர் உள்ளனர்.

27) கலைச்சொற்கள் தருக.

அ) Regional Literature ஆ) Renaissance

அ) Regional Literature - வட்டார இலக்கியம்

ஆ) Renaissance - மறுமலர்ச்சி

28) புறத்திணைகளில் எதிரெதிர்த் திணைகளை அட்டவணைப்படுத்துக.

புறத்திணை	எதிர்த்திணை	விளக்கம்
வெட்சி	கரந்தை	நிரை கவர்தல் - நிரை மீட்டல்
வஞ்சி	காஞ்சி	மண்ணாசை கருதி போருக்குச் செல்லுதல் - நாட்டைப் பாதுகாக்க எதிர்த்துப் போரிடல்
நொச்சி	உழிஞை	மதிலைக் காத்தல் - மதிலைச் சுற்றி வளைத்தல்

பகுதி - III (மதிப்பெண்: 18)

பிரிவு - 1 (2 x 3 = 6)

எவையேனும் இரண்டு வினாக்களுக்கு மட்டும் சுருக்கமாக விடையளி.

29) ‘பலர்புகு வாயில் அடைப்பக் கடவுநர் வருவீர் உளீரோ' - வினவுவது ஏன்?

கோவலனும் கண்ணகியும் மாதரி வீட்டில் அடைக்கலமாக இருந்தனர். மாலை நேரத்தில், வீட்டிற்கு வெளியே இருப்பவர்கள் உள்ளே வரவும், உள்ளே இருப்பவர்கள் வெளியே செல்லவும் வாய்ப்புள்ளது. எனவே, இரவில் அந்தப் பெரிய கதவை அடைக்கும் முன்பு, "வெளியே செல்ல வேண்டியவர்கள் யாரேனும் உள்ளீர்களா?" என்று கேட்டுவிட்டு கதவை அடைப்பதற்காக அவ்வாறு வினவப்பட்டது. இது அக்கால மக்களின் பாதுகாப்பு உணர்வையும், அக்கறையையும் காட்டுகிறது.

30) தலையைக் கொடுத்தேனும் தலைநகரைக் காப்போம் - இடஞ்சுட்டிப் பொருள் விளக்குக.

இடம்: இத்தொடர் ம.பொ.சிவஞானம் அவர்களின் எனது போராட்டம் என்னும் தன்வரலாற்று நூலில் இடம்பெற்றுள்ளது.

பொருள்: மொழிவாரி மாநிலங்கள் பிரிக்கப்பட்டபோது, ஆந்திராவின் தலைநகராகச் சென்னையைக் கேட்டனர். அப்போது, சென்னை தமிழர்களுக்கே உரியது என்பதை நிலைநாட்ட ம.பொ.சி. தலைமையில் மாபெரும் போராட்டம் நடைபெற்றது.

விளக்கம்: சென்னையைத் தமிழகத்துடன் தக்கவைத்துக்கொள்ள நடந்த அந்தப் போராட்டத்தின் தீவிரத்தை உணர்த்தும் வகையில், "தலைநகர் காக்க தன் தலையைக் கொடுத்தேனும் தலைநகரை மீட்போம்" என்று ம.பொ.சி. முழங்கினார். இம்முழக்கம் மக்களின் உணர்வுகளைத் தட்டி எழுப்பி, போராட்டத்தை வலுப்படுத்தியது.

31) உரைப்பத்தியைப் படித்து பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க.

மருவூர்ப்பாக்கத்தின் தெருக்களில் பிட்டு வணிகம் செய்பவரும் அப்பம் சுடுபவரும் கள் விற்கும் வலைச்சியரும் மீன் விற்கும் பரதவரும் உள்ளனர். மேலும் வெண்மையான உப்பு விற்கும் உமணரும் வெற்றிலை விற்பவரும் ஏலம் முதலான ஐந்து நறுமணப்பொருள்கள் விற்பவரும் பலவகையான இறைச்சிகள் விற்பவரும் எண்ணெய் வணிகரும் இங்கு வணிகம் செய்கின்றனர்.

வினாக்கள்:

1. மருவூர்ப்பாக்கத்தில் மீன் விற்பவர் யார்?
2. வெண்மையான உப்பு விற்பவர் யார்?
3. அப்பம் சுடுபவரும் கள் விற்பவரும் யார்?

1. மருவூர்ப்பாக்கத்தில் மீன் விற்பவர் பரதவர்.
2. வெண்மையான உப்பு விற்பவர் உமணர்.
3. அப்பம் சுடுபவரும், கள் விற்பவர் வலைச்சியரும் ஆவர்.

பிரிவு - 2 (2 x 3 = 6)

எவையேனும் இரண்டு வினாக்களுக்கு மட்டும் விடையளி. வினா எண் 34க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

32) முதல் மழை விழுந்ததும் என்னவெல்லாம் நிகழ்வதாக கு.ப.ரா கவிபாடுகிறார்?

கு.ப.ரா எழுதிய 'ஒரு நாள்' என்ற கவிதையில், முதல் மழை விழுந்ததும் பின்வரும் நிகழ்வுகள் நடப்பதாகக் கூறுகிறார்:

• வெகுநாட்களாகப் புழுங்கிய மண், மழையின் ஈரத்தால் புழுதி மணம் வீசுகிறது.
• மண்ணின் அடியில் உறங்கிக்கிடந்த விதைகள், மழையால் உயிர் பெற்று முளைவிடுகின்றன.
• நத்தைகள், பூச்சிகள், தவளைகள் போன்ற உயிரினங்கள் வெளிவந்து தங்கள் மகிழ்ச்சியை வெளிப்படுத்துகின்றன.
• வானம் இருண்டு, மின்னல் வெட்டி, இடி இடித்து, குளிர்ந்த காற்று வீசுகிறது.

33) தமிழழகனார் தமிழையும் கடலையும் இரட்டுற மொழியும் பாங்கினை விளக்குக.

தமிழழகனார், முத்தமிழ் துய்ப்பதால் முச்சங்கம் கண்டதால் மெத்த வணிகலமும் மேவலால் நித்தம் அணைகிடந்தே சங்கத் தவர்காக்க ஆழிக்கு இணைக்கிடந்த தேதமிழ் ஈண்டு என்ற பாடலில் தமிழையும் கடலையும் ஒப்பிடுகிறார்.

தமிழ்	கடல்
இயல், இசை, நாடகம் என முத்தமிழாய் வளர்ந்தது.	முத்தினையும் அமிழ்தினையும் தருகிறது.
முதல், இடை, கடை ஆகிய முச்சங்கங்களால் வளர்க்கப்பட்டது.	வெண்சங்கு, சலஞ்சலம், பாஞ்சசன்யம் ஆகிய மூன்று வகைச் சங்குகளைத் தருகிறது.
ஐம்பெருங்காப்பியங்களை அணிகலன்களாகப் பெற்றது.	மிகுதியான வணிகக் கப்பல்கள் செல்லும்படி உள்ளது.
சங்கப் பலகையில் அமர்ந்திருந்த சங்கப் புலவர்களால் காக்கப்பட்டது.	தன் அலையால் சங்கினைத் தடுத்து நிறுத்திக் காக்கிறது.

34) அடிபிறழாமல் எழுதுக.

அ) விருந்தினனாக ஒருவன் எனத் தொடங்கும் காசிக்காண்டப் பாடல்

(அல்லது)

ஆ) மாற்றம் எனது எனத் தொடங்கும் காலக்கணிதப் பாடல்

அ) காசிக்காண்டப் பாடல்:

விருந்தினனாக ஒருவன் வந்து எதிரின்
வியத்தல் நன்மொழி இனிது உரைத்தல்
திருத்தெரு நோக்கல் வருக என உரைத்தல்
எழுதல் முன் மகிழ்வன செப்பல்
பொருந்து மற்று அவன் தன் அருகுற இருத்தல்
போமெனில் பின்செல்வ தாதல்
பரிந்துநன் முகமன் வழங்கல் இவ்வொன்பான்
ஒழுக்கமும் வழிபடும் பண்பே.

ஆ) காலக்கணிதப் பாடல்:

மாற்றம் எனது மானிடத் தத்துவம்;
மாறும் உலகின் மகத்துவம் அறிவேன்!
எவ்வவை தீமை எவ்வவை நன்மை
என்ப தறிந்து ஏகுமின் சாலை!
தலைவர் மாறுவர்; தர்பார் மாறும்;
தத்துவம் மட்டுமே அட்சய பாத்திரம்!
கொள்வோர் கொள்க; குரைப்போர் குரைக்க!
உள்வாய் வார்த்தை உடம்பு தொடாது;
நானே தொடக்கம்; நானே முடிவு;
நான்உரைப் பதுதான் நாட்டின் சட்டம்!

பிரிவு - 3 (2 x 3 = 6)

எவையேனும் இரண்டு வினாக்களுக்கு மட்டும் விடையளி.

35) வினா வகை எத்தனை? அவை யாவை?

வினா ஆறு வகைப்படும். அவை:

1. அறிவினா: தான் விடை அறிந்திருந்தும், அவ்விடை பிறருக்குத் தெரியுமா என்பதை அறியும் பொருட்டு வினவுவது.
2. அறியா வினா: தான் அறியாத ஒன்றை அறிந்து கொள்வதற்காக வினவுவது.
3. ஐய வினா: ஐயம் நீங்கித் தெளிவு பெறுவதற்காகக் கேட்கப்படுவது.
4. கொளல் வினா: தான் ஒரு பொருளை வாங்கிக் கொள்ளும் பொருட்டு வினவுவது.
5. கொடை வினா: பிறருக்கு ஒரு பொருளைக் கொடுத்து உதவும் பொருட்டு வினவுவது.
6. ஏவல் வினா: ஒரு செயலைச் செய்யுமாறு ஏவுதற் பொருட்டு வினவுவது.

36) குற்றம் இலனாய்க் குடிசெய்து வாழ்வானைச்
சுற்றமாச் சுற்றும் உலகு - இக்குறட்பாவை அலகிட்டு வாய்பாடு தருக.

சீர்	அசை	வாய்பாடு
குற்றம்	நிரை	மலர்
இலனாய்க்	நிரை நேர்	புளிமா
குடிசெய்து	நிரை நிரை	கருவிளம்
வாழ்வானைச்	நேர் நேர் நேர்	தேமாங்காய்
சுற்றமாச்	நிரை நேர்	புளிமா
சுற்றும்	நேர் நேர்	தேமா
உலகு	நிரைபு	பிறப்பு

37) அன்பும் அறனும் உடைத்தாயின் இல்வாழ்க்கை
பண்பும் பயனும் அது - இப்பாடலில் பயின்று வரும் அணியை விளக்கி எழுதுக.

இக்குறட்பாவில் பயின்று வந்துள்ள அணி உருவக அணி ஆகும்.

அணி விளக்கம்: உவமை, உவமேயம் ஆகிய இரண்டையும் வேறுபடுத்தாமல், இரண்டும் ஒன்றே என்று கூறுவது உருவக அணி.

பொருத்தம்: இக்குறளில், இல்வாழ்க்கையை 'பண்பு', 'பயன்' என்று உருவகப்படுத்தியுள்ளார். இல்வாழ்க்கையின் பண்பும் அதுவே, பயனும் அதுவே என்று இல்வாழ்க்கையின் மீது பண்பையும் பயனையும் ஏற்றிக் கூறுவதால் இது உருவக அணி ஆயிற்று.

பகுதி - IV (மதிப்பெண்: 25) (5 x 5 = 25)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி.

38) அ) இறைவன் புலவர் இடைக்காடன் குரலுக்குச் செவி சாய்ந்த நிகழ்வை நயத்துடன் எழுதுக.

முன்னுரை:

பாண்டிய நாட்டை ஆண்டு வந்த குசேல பாண்டியன், கல்வியில் சிறந்தவனாக இருந்தாலும், கபிலரின் நண்பரான இடைக்காடனார் என்ற புலவரை அவமதித்தான். இதனால் மனம் வருந்திய இடைக்காடனார், இறைவனிடம் முறையிட்டார். இறைவன் புலவரின் துயர்தீர்த்த நிகழ்வை இக்கட்டுரையில் காண்போம்.

இடைக்காடனாரின் வருத்தம்:

இடைக்காடனார், மன்னன் முன் தாம் இயற்றிய கவிதையைப் பாடினார். மன்னனோ, கவிதையைப் பாராட்டாமல் புலவரை அவமதித்தான். இதனால் வருந்திய இடைக்காடனார், இறைவனான சோமசுந்தரக் கடவுளிடம் சென்று, "மன்னன் என்னை அவமதித்தது, உன்னை அவமதித்தது போலாகும். சொல்லின் வடிவான உமையம்மைக்கும், பொருளின் வடிவான உனக்கும் அவமதிப்பு நேர்ந்துவிட்டது" என்று முறையிட்டார்.

இறைவனின் செயல்:

புலவரின் மன வருத்தத்தைக் கண்ட இறைவன், தன் லிங்க வடிவத்தை மறைத்து, கடம்பவனக் கோயிலை விட்டு நீங்கி, வைகை ஆற்றின் தென்கரையில் சென்று தங்கினார். மறுநாள் காலை, கோயிலில் இறைவனைக் காணாத கோயில் பணியாளர்கள் மன்னனிடம் தெரிவித்தனர்.

மன்னனின் தவிப்பு:

இறைவன் தன்னை விட்டு நீங்கியதை அறிந்த மன்னன், தன் பிழையை உணர்ந்தான். "நான் அறியாமல் ஏதேனும் பிழை செய்தேனோ? என் ஆட்சியில் ஏதேனும் தவறு நிகழ்ந்ததா?" என்று புலம்பி, இறைவனைத் தேடி அலைந்தான். அப்போது, இறைவன் அசரீரியாக, "மன்னா, நீ இடைக்காடனாரை அவமதித்ததால் இங்கு வந்தோம்" என்றார்.

பிழை பொறுத்தல்:

மன்னன் தன் தவற்றை உணர்ந்து, இடைக்காடனாரை 찾아ச் சென்று மன்னிப்புக் கேட்டான். அவரைப் பொன்னிருக்கையில் அமர்த்தி, தன் மணிமுடியால் அவர் பாதங்களைத் தொட்டு வணங்கினான். புலவரும் மன்னனை மன்னித்தார். அதன்பின், இறைவன் மீண்டும் கோயிலுக்குத் திரும்பினார்.

முடிவுரை:

இறைவன், தன் அடியவர்களின் துயரைத் தீர்க்கும் கருணை உள்ளம் கொண்டவர் என்பதை இந்நிகழ்வு உணர்த்துகிறது. புலவர்களுக்கும், கல்விக்கும் அளிக்கப்பட வேண்டிய மரியாதையையும் இது காட்டுகிறது.

39) அ) மாநில அளவில் நடைபெற்ற 'மரம் இயற்கையின் வரம்' எனும் தலைப்பிலான கட்டுரைப் போட்டியில் வெற்றி பெற்று முதல் பரிசு பெற்ற தோழனை வாழ்த்தி மடல் எழுதுக.

வாழ்த்து மடல்

அன்புடன்,
க. இளமாறன்,
12, பாரதி தெரு,
பாளையங்கோட்டை,
திருநெல்வேலி - 627002.
20.12.2024

என் இனிய நண்பன் செழியனுக்கு,

நலம், நலமறிய ஆவல். இன்று காலை செய்தித்தாள்களில் உன் புகைப்படத்தைக் கண்டேன். 'மரம் இயற்கையின் வரம்' என்ற தலைப்பில் மாநில அளவில் நடைபெற்ற கட்டுரைப் போட்டியில் நீ முதல் பரிசு பெற்ற செய்தி அறிந்து எல்லையில்லா மகிழ்ச்சி அடைந்தேன். என் மனமார்ந்த வாழ்த்துகள்!

சிறுவயது முதலே உனக்கு இயற்கையின் மீதும், மரங்களின் மீதும் இருந்த ஆர்வம் எனக்குத் தெரியும். உன் எழுத்தாற்றலும், சிந்தனைத் தெளிவும் உன்னை இந்த உயரத்திற்கு கொண்டு சென்றுள்ளது. இயற்கையைப் பாதுகாப்பதன் அவசியத்தை உன் கட்டுரை சிறப்பாக எடுத்துரைத்திருக்கும் என்பதில் எனக்கு எந்த ஐயமும் இல்லை. உன் வெற்றி எனக்கும், நம் பள்ளிக்கும், நம் ஊருக்கும் பெருமை சேர்த்துள்ளது.

நீ மென்மேலும் பல வெற்றிகளைப் பெற்று, உன் எழுத்துகளால் சமூகத்தில் நல்ல மாற்றங்களை ஏற்படுத்த வேண்டும் என மனதார வாழ்த்துகிறேன்.

உன் பெற்றோருக்கு என் வணக்கத்தைத் தெரிவி. மீண்டும் ஒருமுறை என் வாழ்த்துகள் நண்பா!

இப்படிக்கு,
உன் அன்பு நண்பன்,
க. இளமாறன்.

உறைமேல் முகவரி:

பெறுநர்,
ச. செழியன்,
25, காந்தி நகர்,
மதுரை - 625020.

40) காட்சியைக் கண்டு கவினுற எழுதுக.

மேற்கண்ட காட்சிக்கு பொருத்தமான கவிதை வரிகள்.

தாளத்தோடு தப்பாமல் ஆடும் கால்கள்,
ஒத்த இசையில் ஒருங்கிணைந்த கரங்கள்,
தமிழர் கலையின் பெருமையைச் சொல்லும் நிமிடங்கள்!
ஆணும் பெண்ணும் அணிவகுத்து ஆடுகையில்,
ஆனந்தம் பொங்குதே பார்வையாளர் நெஞ்சங்களில்!
மண்ணின் மணத்தோடு கலையின் மணம் வீச,
விண்ணதிர முழங்குதே நாட்டுப்புற இசை!

42) ஆ) மொழிபெயர்க்க

Kalaignar Karunanidhi is known for his contributions to Tamil literature. His contributions cover a wide range: poems, letters, screenplays, novels, biographies, historical novels, stage-plays, dialogues and movie songs. He has written Kuraloviam for Thirukural, Tholkaappiya Poonga, Poombukar, as well as many poems, essays and books. Apart from literature, Karunanidhi has also contributed to the Tamil language through art and architecture. Like the Kuraloviyam, in which Kalaignar wrote about Thirukkural, through the construction of Valluvar Kottam he gave an architectural presence to Thiruvalluvar, in Chennai. At Kanyakumari, Karunanidhi constructed a 133-foot-high statue of Thiruvalluvar in honour of the scholar.

மொழிபெயர்ப்பு:

கலைஞர் கருணாநிதி, தமிழ் இலக்கியத்திற்கு ஆற்றிய பங்களிப்புகளுக்காக அறியப்படுகிறார். கவிதைகள், கடிதங்கள், திரைக்கதைகள், புதினங்கள், வாழ்க்கை வரலாறுகள், வரலாற்றுப் புதினங்கள், நாடகங்கள், உரையாடல்கள் மற்றும் திரைப்படப் பாடல்கள் என அவரது பங்களிப்புகள் பரந்து விரிந்தவை. அவர் திருக்குறளுக்காக குறளோவியம், தொல்காப்பியப் பூங்கா, பூம்புகார் ஆகியவற்றுடன் பல கவிதைகள், கட்டுரைகள் மற்றும் நூல்களையும் எழுதியுள்ளார். இலக்கியம் தவிர, கலை மற்றும் கட்டிடக்கலை மூலமாகவும் கருணாநிதி தமிழ் மொழிக்கு பங்களித்துள்ளார். திருக்குறளைப் பற்றி கலைஞர் எழுதிய குறளோவியத்தைப் போலவே, சென்னையில் வள்ளுவர் கோட்டத்தைக் கட்டுவதன் மூலம் திருவள்ளுவருக்கு ஒரு கட்டிடக்கலை அடையாளத்தை வழங்கினார். கன்னியாகுமரியில், அந்த அறிஞருக்கு மரியாதை செலுத்தும் விதமாக 133 அடி உயரமுள்ள திருவள்ளுவர் சிலையை கருணாநிதி நிறுவினார்.

பகுதி - V (மதிப்பெண்: 24) (3 x 8 = 24)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி.

43) அ) தமிழின் இலக்கிய வளம் - கல்வி மொழி - பிறமொழிகளில் உள்ள இலக்கிய வளங்கள் - அறிவியல் கருத்துகள் - பிற துறைக் கருத்துகள் - தமிழுக்கு - மேற்கண்ட குறிப்புகளைக் கொண்டு 'செம்மொழித் தமிழுக்கு வளம் சேர்க்கும் மொழிபெயர்ப்புக் கலை' என்ற தலைப்பில் வார இதழ் ஒன்றுக்கு நடுப்பக்கக் கட்டுரை எழுதுக.

செம்மொழித் தமிழுக்கு வளம் சேர்க்கும் மொழிபெயர்ப்புக் கலை

முன்னுரை:

‘பிறமொழி நூல்கள் தமிழில் மொழிபெயர்க்கப்பட வேண்டும்’ என்று மகாகவி பாரதியார் கண்ட கனவு இன்று நனவாகி வருகிறது. ஒரு மொழியில் உணர்த்தப்பட்டதை வேறொரு மொழியில் வெளியிடுவது மொழிபெயர்ப்பு. உலக நாகரிக வளர்ச்சிக்கும், பண்பாட்டுப் பரவலுக்கும் மொழிபெயர்ப்பு ஒரு முக்கியக் காரணமாகும். செம்மொழித் தமிழுக்கு மொழிபெயர்ப்புக் கலை எவ்வாறு வளம் சேர்க்கிறது என்பதைக் காண்போம்.

இலக்கிய வளம்:

சங்க இலக்கியம் தொடங்கி இன்றைய நவீன இலக்கியம் வரை தமிழில் இலக்கிய வளம் நிறைந்துள்ளது. இருந்தபோதிலும், ஷேக்ஸ்பியரின் நாடகங்கள், டால்ஸ்டாயின் கதைகள், ரூமியின் கவிதைகள் போன்றவை தமிழில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டபோது, தமிழ் இலக்கிய உலகம் புதிய வடிவங்களையும், உள்ளடக்கங்களையும் பெற்றது. பிறமொழி இலக்கியங்கள், நம் படைப்பாளிகளுக்கு புதிய சிந்தனைகளையும், உத்திகளையும் வழங்குகின்றன.

கல்வி மற்றும் அறிவியல் மொழி:

இன்று அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்பத் துறைகளில் ஆங்கிலம் ஆதிக்கம் செலுத்துகிறது. மருத்துவவியல், பொறியியல், கணினி அறிவியல் போன்ற துறைகளில் உள்ள நூல்களைத் தமிழில் மொழிபெயர்ப்பதன் மூலம், தமிழ் மாணவர்கள் தங்கள் தாய்மொழியிலேயே உயர்கல்வி கற்க முடியும். இது அவர்களின் புரிதல் திறனை அதிகரித்து, புதிய கண்டுபிடிப்புகளை உருவாக்க வழிவகுக்கும்.

பிற துறைச் செல்வங்கள்:

பொருளாதாரம், தத்துவம், வரலாறு, உளவியல் போன்ற பல்வேறு துறைகளில் உலக அளவில் வெளியாகும் சிறந்த நூல்களைத் தமிழில் கொண்டு வருவது அவசியம். இது தமிழர்களின் அறிவு क्षિતિिजத்தை விரிவுபடுத்தும். பிற நாட்டு மக்களின் பண்பாடு, வரலாறு, வாழ்க்கை முறை ஆகியவற்றை அறிந்து கொள்ள மொழிபெயர்ப்பு உதவுகிறது.

மொழிபெயர்ப்பின் சவால்கள்:

மொழிபெயர்ப்பு என்பது வெறுமனே சொல்மாற்றம் அன்று; அது பண்பாட்டு மாற்றம். மூலமொழியின் ಸೊಗசு குன்றாமல், இலக்கு மொழியின் மரபுக்கேற்ப மொழிபெயர்ப்பது ஒரு கலை. இதற்கு இரு மொழிகளிலும் ஆழ்ந்த புலமை தேவை.

முடிவுரை:

மொழிபெயர்ப்பு என்பது ஒரு ஜன்னல். அதன் வழியாகத்தான் வெளி உலகத்தின் அறிவு ஒளி நம்மை வந்தடைகிறது. தரமான மொழிபெயர்ப்புகள் மூலம் உலகத்தின் சிறந்த அறிவுக் கருவூலங்களைத் தமிழுக்குக் கொண்டு வந்து, நம் செம்மொழியை மேலும் செழுமைப்படுத்துவோம்.

44) ஆ) அன்னமய்யா என்னும் பெயருக்கும் அவரின் செயலுக்கும் உள்ள பொருத்தப்பாட்டினைக் கோபாலபுரத்து மக்கள் கதைப்பகுதி கொண்டு விவரிக்க.

முன்னுரை:

கி. ராஜநாராயணன் எழுதிய 'கோபாலபுரத்து மக்கள்' கதையில் வரும் அன்னமய்யா என்ற கதாபாத்திரம், தன் பெயருக்கு ஏற்றார்போல் அன்னம் அளிக்கும் தாயாக விளங்குகிறார். அவரின் பெயருக்கும் செயலுக்கும் உள்ள பொருத்தப்பாட்டை இக்கட்டுரையில் விரிவாகக் காண்போம்.

பெயர்க்காரணம்:

‘அன்னம்’ என்றால் சோறு. ‘அய்யா’ என்பது மரியாதைக்குரிய சொல். அன்னம் அளிப்பவர் என்பதால் ‘அன்னமய்யா’ என்ற பெயர் அவருக்குப் பொருத்தமாக அமைந்துள்ளது. பசியோடு வருபவர்களுக்கு இல்லை என்று சொல்லாமல் உணவு வழங்கும் அவரது பண்பு, இப்பெயரை सार्थकமாக்குகிறது.

பசியைப் போக்கும் செயல்:

வறட்சியால் பாதிக்கப்பட்டு, பசியால் வாடி, தமது ஊரை விட்டு வெளியேறி வந்த மக்களுக்கு அன்னமய்யா அடைக்கலம் தருகிறார். அவர்களிடம் எந்தப் பிரதிபலனையும் எதிர்பார்க்காமல், தன் வீட்டில் இருந்த தானியங்களைக் கொண்டு கஞ்சி காய்ச்சிக் கொடுக்கிறார். அவரின் மனிதாபிமானச் செயல், கோபாலபுரத்து மக்களின் பசியைப் போக்குகிறது. வெறும் உணவை மட்டும் அவர் அளிக்கவில்லை; அன்பையும், ஆதரவையும் சேர்த்தே அளிக்கிறார்.

தாய்மை உள்ளம்:

ஒரு தாய் தன் பிள்ளைகளின் பசியைப் பொறுக்க முடியாதது போல, அன்னமய்யா பசியால் வாடும் மக்களின் துயரத்தைக் கண்டு பொறுக்க முடியாமல் அவர்களுக்கு உதவுகிறார். அவரின் செயலில் தாய்மை உள்ளம் வெளிப்படுகிறது. "வந்தவங்கள பசியோட அனுப்புறது நம்ம வீட்டு வழக்கமில்ல" என்று அவர் கூறுவது, அவரின் உயர்ந்த பண்பைக் காட்டுகிறது.

பொருத்தப்பாடு:

விருந்தோம்பல் பண்பின் இலக்கணமாகத் திகழும் அன்னமய்யா, தனது பெயருக்கு முழுமையான ನ್ಯಾಯத்தை வழங்குகிறார். ஒரு மனிதனின் பெயர் அவனது குணத்தையும், செயலையும் பிரதிபலிக்க வேண்டும் என்பதற்கு அன்னமய்யாவின் கதாபாத்திரம் ஒரு சிறந்த எடுத்துக்காட்டு. பசிப்பிணி என்னும் நோய்க்கு மருந்தாக விளங்கும் அன்னமய்யாவின் செயல், அவரது பெயரை என்றென்றும் நிலைத்திருக்கச் செய்கிறது.

முடிவுரை:

இவ்வாறு, அன்னமய்யா என்ற பெயர், பசியைப் போக்கும் அவரது உன்னதமான செயலோடு பின்னிப் பிணைந்துள்ளது. பெயருக்கேற்ற செயல்களால் அவர் கோபாலபுரத்து மக்களின் மனதில் நீங்கா இடம் பிடிக்கிறார்.

10th Maths - 2nd Mid Term Exam 2024 - Original Question Paper | Tirunelveli District | Tamil Medium

10ஆம் வகுப்பு கணிதம் - இரண்டாம் இடைப் பருவத் தேர்வு 2024 வினாத்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்

TVL10M - திருநெல்வேலி மாவட்டம்
இரண்டாம் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024
வகுப்பு 10 - கணிதம்
காலம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50

பகுதி - I

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி: (7×1=7)

1) நிரல்கள் மற்றும் நிரைகள் சம எண்ணிக்கையில் இல்லாத அணி

• a) மூலைவிட்ட அணி
• b) செவ்வக அணி
• c) சதுர அணி
• d) அலகு அணி

விடை: b) செவ்வக அணி
விளக்கம்: ஒரு அணியில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.

2) A என்ற அணியின் வரிசை 2×3, B என்ற அணியின் வரிசை 3×4 எனில், AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை

• a) 3
• b) 4
• c) 2
• d) 5

விடை: b) 4
விளக்கம்: A-யின் வரிசை m×n, B-யின் வரிசை n×p எனில், AB-யின் வரிசை m×p ஆகும். இங்கு A-யின் வரிசை 2×3, B-யின் வரிசை 3×4. எனவே, AB-யின் வரிசை 2×4 ஆகும். AB-யின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4.

3) வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம்

• a) மையம்
• b) தொடுபுள்ளி
• c) முடிவிலி
• d) நாண்

விடை: b) தொடுபுள்ளி
விளக்கம்: வட்டத்தின் எந்தவொரு புள்ளியிடத்தும் வரையப்படும் தொடுகோடு, அப்புள்ளி வழியே செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும். அந்தப் புள்ளி தொடுபுள்ளி எனப்படும்.

4) கணிதத்தின் முதல் தேற்றம்

• a) பிதாகரஸ்
• b) சிவாஸ்
• c) தேல்ஸ்
• d) மெனிலாஸ்

விடை: c) தேல்ஸ்
விளக்கம்: தேல்ஸ் தேற்றம் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) வடிவவியலில் ஒரு முக்கியமான மற்றும் பழமையான தேற்றமாகக் கருதப்படுகிறது.

5) ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \(\sqrt{3}:1\) எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றகோண அளவானது

• a) 45°
• b) 30°
• c) 90°
• d) 60°

விடை: d) 60°
விளக்கம்: \(\tan \theta = \frac{\text{உயரம்}}{\text{நிழலின் நீளம்}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). எனவே, \(\theta = 60°\).

6) ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்ட கூம்பின் ஆரம்

• a) 12 செ.மீ
• b) 10 செ.மீ
• c) 13 செ.மீ
• d) 5 செ.மீ

விடை: d) 5 செ.மீ
விளக்கம்: கேள்வியிலேயே கூம்பின் ஆரம் 5 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (குறிப்பு: இந்த வினாவில் 'உயரம்' என்பதற்குப் பதிலாக 'ஆரம்' எனக் கேட்கப்பட்டுள்ளது ஒரு அச்சுப்பிழையாக இருக்கலாம். உயரம் கேட்டால், \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) செ.மீ. அப்போது விடை (a) ஆக இருக்கும்.)

7) ஒரு கூம்பின் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு ஆகியவற்றின் வித்தியாசம்

• a) \(\pi r^2 h\)
• b) \(\pi r l\)
• c) \(\pi r^2\)
• d) \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

விடை: c) \(\pi r^2\)
விளக்கம்: மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) = \(\pi r (l+r) = \pi r l + \pi r^2\). வளைபரப்பு (CSA) = \(\pi r l\). வித்தியாசம் = TSA - CSA = \((\pi r l + \pi r^2) - \pi r l = \pi r^2\).

பகுதி - II

எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (5×2=10)
கேள்வி எண் 14 கட்டாய வினா.

8) \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) எனில் \((A^T)^T = A\) என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட அணி, \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \).
A-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( A^T = \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{17} & 8 \\ 2 & 0.7 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \).
\(A^T\)-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} = A \).
எனவே, \((A^T)^T = A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

9) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) எனில் \(A+B = B+A\) என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:
\( A+B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (1)

\( B+A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(A+B = B+A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

10) 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவில் உள்ள புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் காண்க.

தீர்வு:
வட்டத்தின் ஆரம் (r) = 3 செ.மீ.
மையத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம் (d) = 5 செ.மீ.
தொடுகோடு, ஆரம் மற்றும் மையத்தை புள்ளியுடன் இணைக்கும் கோடு ஆகியவை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
தொடுகோட்டின் நீளம் \( = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) செ.மீ.
எனவே, தொடுகோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ.

11) ஒரு கோபுரம் தரைக்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. கோபுரத்தின் அடிப்பகுதியிலிருந்து தரையில் 48மீ. தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு:
கோபுரத்தின் உயரம் h மீ என்க.
தொலைவு = 48 மீ, ஏற்றக்கோணம் \(\theta = 30°\).
\( \tan \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \(16\sqrt{3}\) மீ ஆகும்.

12) 88 ச.செ.மீ வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 14 செ.மீ எனில் உருளையின் விட்டம் காண்க.

தீர்வு:
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 88 ச.செ.மீ.
உயரம் (h) = 14 செ.மீ.
CSA சூத்திரம்: \( 2\pi rh = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 88 \)
\( 2 \times 22 \times r \times 2 = 88 \)
\( 88r = 88 \)
\( r = 1 \) செ.மீ.
விட்டம் (d) = 2r = 2 \(\times\) 1 = 2 செ.மீ.
உருளையின் விட்டம் 2 செ.மீ.

13) ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு 1386 ச.மீ எனில், அதன் மொத்தப்புறப்பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:
அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு (வட்டத்தின் பரப்பு) = \(\pi r^2 = 1386\) ச.மீ.
அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்புறப்பரப்பு (TSA) = \(3\pi r^2\).
TSA = \(3 \times (\pi r^2) = 3 \times 1386 = 4158\) ச.மீ.
எனவே, மொத்தப்புறப்பரப்பு 4158 ச.மீ.

14) இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில், அவற்றின் கனஅளவுகளின் விகிதம் காண்க. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:
இரு கோளங்களின் ஆரங்கள் \(r_1\) மற்றும் \(r_2\) என்க.
ஆரங்களின் விகிதம், \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{7}\).
கோளத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
கனஅளவுகளின் விகிதம், \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343}\).
எனவே, கனஅளவுகளின் விகிதம் 64:343.

பகுதி - III

எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (5×5=25)
கேள்வி எண் 21 கட்டாய வினா.

15) \( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( C = \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \) எனில், A+(B+C) = (A+B)+C என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:
இடது கை பக்கம் (LHS): A+(B+C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} \)

\( A+(B+C) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (1)

வலது கை பக்கம் (RHS): (A+B)+C
\( A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} \)

\( (A+B)+C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A+(B+C) = (A+B)+C என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) எனில் CD-AB = 0 எனுமாறு அணி Dஐக் காண்க.

தீர்வு:
CD - AB = 0 எனில், CD = AB.
முதலில் AB ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\( AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(6)+(0)(8) & (3)(3)+(0)(5) \\ (4)(6)+(5)(8) & (4)(3)+(5)(5) \end{pmatrix} \)
\( AB = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 24+40 & 12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)

D என்பது 2x2 வரிசையுடைய அணி. \( D = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) என்க.
\( CD = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} \)

CD = AB என்பதால்,
\( \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
ஒத்த உறுப்புகளை சமன்படுத்த,
3a + 6c = 18 => a + 2c = 6 --- (1)
a + c = 64 --- (2)
(2) - (1) => (a+c) - (a+2c) = 64-6 => -c = 58 => c = -58
c = -58 ஐ (2) இல் பிரதியிட, a - 58 = 64 => a = 122.

3b + 6d = 9 => b + 2d = 3 --- (3)
b + d = 37 --- (4)
(4) - (3) => (b+d) - (b+2d) = 37-3 => -d = 34 => d = -34
d = -34 ஐ (4) இல் பிரதியிட, b - 34 = 37 => b = 71.

எனவே, \( D = \begin{pmatrix} 122 & 71 \\ -58 & -34 \end{pmatrix} \).

18) தரையின் மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து 30மீ உயரமுள்ள கட்டிடத்தின் மேலுள்ள ஒரு கோபுரத்தின் அடி மற்றும் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 45° மற்றும் 60° எனில் கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\(\sqrt{3}=1.732\))

தீர்வு:
கட்டிடத்தின் உயரம் (BC) = 30 மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் (CD) = h மீ என்க.
புள்ளி A யிலிருந்து கட்டிடத்தின் அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரம் AB = x மீ.
செங்கோண முக்கோணம் ABC இல்,
\(\tan 45° = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{x}\)
\(1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) மீ.

செங்கோண முக்கோணம் ABD இல்,
\(\tan 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BC+CD}{AB} = \frac{30+h}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30+h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30+h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)\)
\(h = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96\) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் 21.96 மீ ஆகும்.

19) ஒரு உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ எனில், உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை:
உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரத்தின் விகிதம் = 5:7.
ஆரம் \(r = 5x\) என்க.
உயரம் \(h = 7x\) என்க.
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 5500 ச.செ.மீ.

உருளையின் வளைபரப்புக்கான சூத்திரம் \(2\pi rh\).
\( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x \times x = 5500 \) (7-ஐ நீக்கிய பிறகு)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} \)
\( x^2 = \frac{550}{22} \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = \sqrt{25} = 5 \)

இப்போது, ஆரம் மற்றும் உயரத்தைக் கணக்கிடுவோம்:
ஆரம் \(r = 5x = 5 \times 5 = 25\) செ.மீ.
உயரம் \(h = 7x = 7 \times 5 = 35\) செ.மீ.

விடை:
உருளையின் ஆரம் 25 செ.மீ మరియు உயரம் 35 செ.மீ ஆகும்.

20) பிதாகரஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தீர்வு:
கூற்று: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
நிறுவல்:
\(\triangle ABC\)-யில் \(\angle A = 90^\circ\).
நாம் நிறுவ வேண்டியது: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
வரைதல்: \(AD \perp BC\) வரைக.
நிறுபணம்:
\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DBA\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle B\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle BDA = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\).
\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB\) --- (1)

\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DAC\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle C\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DAC\).
\(\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC\) --- (2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-ஐக் கூட்ட,
\(AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC)\)
\( = BC(DB+DC)\)
\( = BC(BC) = BC^2\)
எனவே, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

21) 45 செ.மீ உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ எனில் இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவைக் காண்க. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:
இடைக்கண்டத்தின் உயரம் (h) = 45 செ.மீ.
பெரிய ஆரம் (R) = 28 செ.மீ.
சிறிய ஆரம் (r) = 7 செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{330}{7} \times (1029) \)
\( V = 330 \times 147 \)
\( V = 48510 \) க.செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு 48510 க.செ.மீ. ஆகும்.

பகுதி - IV

ஏதேனும் ஒரு வினாவிற்கு மட்டும் விடையளிக்கவும்: (1×8=8)

22) a) 6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து PA மற்றும் PB என்ற இரு தொடுகோடுகள் வரைந்து அவற்றின் நீளங்களை அளவிடுக.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை: விட்டம் = 6 செ.மீ, எனவே ஆரம் (r) = 3 செ.மீ. மையத்திலிருந்து புள்ளி P-யின் தொலைவு (OP) = 8 செ.மீ.
வரைமுறை:
1. O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
2. O-விலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். OP-ஐ இணைக்கவும்.
3. OP-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
4. M-ஐ மையமாகவும் MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
5. PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்கவும். இவையே தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும்.
அளவிடுதல்: அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி அளந்தால், PA = PB = 7.4 செ.மீ (தோராயமாக).
சரிபார்த்தல்:
செங்கோண முக்கோணம் OAP-ல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \)
\( PA = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} \)
\( \sqrt{55} \approx 7.416 \) செ.மீ.
எனவே, வரைமுறை சரிபார்க்கப்பட்டது.

(அல்லது)

b) இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வுகளின் தன்மையை வரைபடம் மூலம் காண்க: \(x^2 - 9x + 20 = 0\).

தீர்வு:
\(y = x^2 - 9x + 20\) என்க.
முதலில் x-க்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுத்து y-யின் மதிப்புகளைக் காண அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.

x	-1	0	1	2	3	4	4.5	5	6
x²	1	0	1	4	9	16	20.25	25	36
-9x	9	0	-9	-18	-27	-36	-40.5	-45	-54
+20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
y	30	20	12	6	2	0	-0.25	0	2

வரைபடம்:
மேற்கண்ட புள்ளிகளை (-1,30), (0,20), (1,12), (2,6), (3,2), (4,0), (4.5, -0.25), (5,0), (6,2) வரைபடத்தாளில் குறித்து, அவற்றை ஒரு மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். நமக்கு ஒரு பரவளையம் (parabola) கிடைக்கும்.
தீர்வின் தன்மை:
வரைபடம் x-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை. (மூலங்கள் 4 மற்றும் 5).

10th Maths - Quarterly Exam 2025 - Tamil Medium Original Question Paper | Tirunelveli District

10th Maths Quarterly Exam Question Paper 2025 with Complete Solutions | Tirunelveli District

திருநெல்வேலி மாவட்டம்

காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - செப்டம்பர் 2025

வகுப்பு 10 - கணிதம்

காலம்: 3.00 மணி | மதிப்பெண்கள்: 100

விடைகள்

பகுதி-I (14×1=14)

குறிப்பு : அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.

1) n(A) = m மற்றும் n(B) = n என்க. A-லிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை

• a) \(m^n\)
• b) \(n^m\)
• c) \(2^{mn}-1\)
• d) \(2^{mn}\)

விடை:

c) \(2^{mn}-1\)

விளக்கம்:
A-லிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}\).
வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = மொத்த உறவுகள் - வெற்று உறவு (1)
= \(2^{mn}-1\).

2) \(f(x) = 2x^2\) மற்றும் \(g(x) = \frac{1}{3x}\) எனில் f o g ஆனது

• a) \(\frac{3}{2x^2}\)
• b) \(\frac{2}{3x^2}\)
• c) \(\frac{9x^2}{2}\)
• d) \(\frac{1}{6x^2}\)

விடை:

(வினாவில் பிழை இருக்கலாம். சரியான கணக்கீடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

விளக்கம்:
\(f o g(x) = f(g(x))\)
\(f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right)\)
\( = 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2\)
\( = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right)\)
\( = \frac{2}{9x^2}\)
கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் இந்த விடை இல்லை. ஒருவேளை கேள்வி \(g \circ f\) ஆக இருந்திருந்தால்,
\(g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x^2) = \frac{1}{3(2x^2)} = \frac{1}{6x^2}\). இது விருப்பம் (d) உடன் பொருந்துகிறது.

3) g = {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)} என்ற சார்பானது \(g(x) = \alpha x + \beta\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\)-வின் மதிப்பானது

• a) (-1,2)
• b) (2,-1)
• c) (-1,-2)
• d) (1,2)

விடை:

b) (2,-1)

விளக்கம்:
\(g(x) = \alpha x + \beta\).
(1,1) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட: \(g(1)=1 \implies \alpha(1) + \beta = 1 \implies \alpha + \beta = 1\) ...(1)
(2,3) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட: \(g(2)=3 \implies \alpha(2) + \beta = 3 \implies 2\alpha + \beta = 3\) ...(2)
சமன்பாடு (2) - (1): \((2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 3 - 1 \implies \alpha = 2\)
\(\alpha = 2\) என (1)-ல் பிரதியிட: \(2 + \beta = 1 \implies \beta = -1\).
எனவே, \((\alpha, \beta) = (2, -1)\).

4) 65 மற்றும் 117 -யின்மீ.பொ.வ வை 65m - 117 என்ற வடிவில் எழுதும் போது, m-ன் மதிப்பு

• a) 4
• b) 2
• c) 1
• d) 3

விடை:

b) 2

விளக்கம்:
யூக்ளிடின் வகுத்தல் முறைப்படி 65 மற்றும் 117-ன் மீ.பொ.வ காண்போம்.
\(117 = 1 \times 65 + 52\)
\(65 = 1 \times 52 + 13\)
\(52 = 4 \times 13 + 0\)
மீ.பொ.வ = 13.
கணக்கின்படி, \(65m - 117 = 13\).
\(65m = 117 + 13 = 130\).
\(m = \frac{130}{65} = 2\).

5) ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n வது உறுப்பு 2n-1 எனில் அந்த கூட்டுத்தொடரின் முதல் 'n' உறுப்புகளின் கூடுதல்

• a) \(n^2\)
• b) \(2n-1\)
• c) \(n+2\)
• d) \(n(n+2)\)

விடை:

a) \(n^2\)

விளக்கம்:
\(t_n = 2n-1\).
முதல் உறுப்பு, \(a = t_1 = 2(1)-1 = 1\).
கடைசி உறுப்பு, \(l = t_n = 2n-1\).
கூடுதல், \(S_n = \frac{n}{2}(a+l)\)
\(S_n = \frac{n}{2}(1 + 2n-1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2\).

6) கீழ்க்காண்பனவற்றுள் எது \(y^2 + \frac{1}{y^2}\) க்குச் சமம் இல்லை

கொடுக்கப்பட்டுள்ள வினாத்தாளில் உள்ள வினாவில் பிழை உள்ளது. எனவே இங்கு சரியான வினா மற்றும் விடை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

• a) \(\frac{y^4+1}{y^2}\)
• b) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
• c) \(\left(y-\frac{1}{y}\right)^2 + 2\)
• d) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 - 2\)

விடை:

b) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

விளக்கம்:
a) \(\frac{y^4+1}{y^2} = \frac{y^4}{y^2} + \frac{1}{y^2} = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
b) \((y+\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம் இல்லை).

c) \((y-\frac{1}{y})^2 + 2 = (y^2 - 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) + 2 = y^2 - 2 + \frac{1}{y^2} + 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
d) \((y+\frac{1}{y})^2 - 2 = (y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) - 2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).

7) ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ________ ஆகும்.

• a) நேர்க்கோடு
• b) வட்டம்
• c) பரவளையம்
• d) அதிபரவளையம்

விடை:

a) நேர்க்கோடு

விளக்கம்:
ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் (Linear Equation) வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகவே இருக்கும்.

8) இரு சமபக்க முக்கோணம் \(\triangle ABC\)-யில் \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் AC = 5 செ.மீ, எனில் AB ஆனது

• a) 2.5 செ.மீ
• b) 5 செ.மீ
• c) 10 செ.மீ
• d) \(5\sqrt{2}\) செ.மீ

விடை:

d) \(5\sqrt{2}\) செ.மீ

விளக்கம்:
\(\triangle ABC\) ஒரு இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணம். \(\angle C = 90^\circ\).
எனவே, AC = BC = 5 செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).
\(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) செ.மீ.

9) \(\triangle ABC\)-யில் DE || BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில், AE-யின் நீளம்

• a) 1.4 செ.மீ
• b) 1.8 செ.மீ
• c) 1.2 செ.மீ
• d) 1.05 செ.மீ

விடை:

a) 1.4 செ.மீ

விளக்கம்:
அடிப்படை விகிதசம தேற்றப்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்), DE || BC எனில்,
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{2.1 \times 24}{36} = \frac{2.1 \times 2}{3} = 0.7 \times 2 = 1.4\) செ.மீ.

10) \(3x - y = 4\) மற்றும் \(x + y = 8\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி

• a) (5,3)
• b) (2,4)
• c) (3,5)
• d) (4,4)

விடை:

c) (3,5)

விளக்கம்:
\(3x - y = 4\) ...(1)
\(x + y = 8\) ...(2)
(1) + (2) \(\implies 4x = 12 \implies x = 3\).
x = 3 என (2)-ல் பிரதியிட: \(3 + y = 8 \implies y = 5\).
சந்திக்கும் புள்ளி (3,5).

11) (2,1) ஐ சந்திப்பு புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்

• a) \(x - y - 3 = 0 ; 3x - y - 7 = 0\)
• b) \(x + y = 3 ; 3x + y = 7\)
• c) \(3x + y = 3 ; x+y = 7\)
• d) \(x + 3y - 3 = 0 ; x-y-7= 0\)

விடை:

b) \(x + y = 3 ; 3x + y = 7\)

விளக்கம்:
புள்ளி (2,1) ஐ ஒவ்வொரு விருப்பத்திலும் பிரதியிட்டு சரிபார்க்க வேண்டும்.
விருப்பம் b):
\(x + y = 3 \implies 2 + 1 = 3\) (சரி).
\(3x + y = 7 \implies 3(2) + 1 = 6+1=7\) (சரி).
எனவே, இதுவே சரியான விடை.

12) (2,–3), (3,2) மற்றும் (−2,5) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு

• a) 11
• b) 12
• c) 14
• d) 13

விடை:

(விருப்பங்களில் பிழை. சரியான விடை 12.5)

விளக்கம்:
முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|\)
= \(\frac{1}{2} |2(2-5) + 3(5-(-3)) + (-2)(-3-2)|\)
= \(\frac{1}{2} |2(-3) + 3(8) - 2(-5)|\)
= \(\frac{1}{2} |-6 + 24 + 10|\)
= \(\frac{1}{2} |28| = 14\) சதுர அலகுகள்.
Short-cut method: \( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & 5 & -3 \end{vmatrix} \) \( = \frac{1}{2} |((2)(2)+(3)(5)+(-2)(-3)) - ((-3)(3)+(2)(-2)+(5)(2))| \) \( = \frac{1}{2} |(4+15+6) - (-9-4+10)| \) \( = \frac{1}{2} |25 - (-3)| = \frac{1}{2} |28| = 14 \). விடை: c) 14

13) \(tan \theta \ cosec^2 \theta - tan \theta\)-ன் மதிப்பு

• a) \(\sec \theta\)
• b) \(\cot^2 \theta\)
• c) \(\sin \theta\)
• d) \(\cot \theta\)

விடை:

d) \(\cot \theta\)

விளக்கம்:
\(tan \theta \ cosec^2 \theta - tan \theta = tan \theta (cosec^2 \theta - 1)\)
\(cosec^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta\) என்ற முற்றொருமையை பயன்படுத்த,
\( = tan \theta (\cot^2 \theta)\)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\)
\( = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta\).

14) \(\sin \theta + \cos \theta = a\) மற்றும் \(\sec \theta + \text{cosec} \theta = b\) எனில் \(b(a^2-1)\)-ன் மதிப்பு

• a) 2a
• b) 3a
• c) 0
• d) 2ab

விடை:

a) 2a

விளக்கம்:
\(a = \sin \theta + \cos \theta \implies a^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta\).
\(a^2 - 1 = 2\sin \theta \cos \theta\).
\(b = \sec \theta + \text{cosec} \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{a}{\sin \theta \cos \theta}\).
\(b(a^2 - 1) = \left(\frac{a}{\sin \theta \cos \theta}\right) \times (2\sin \theta \cos \theta)\)
\( = 2a\).

பகுதி-II (10×2=20)

குறிப்பு : எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். வினா எண் 28க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

15) BXA = {(-2,3),(-2,4),(0,3),(0,4),(3,3),(3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

விடை:

BXA-ல் உள்ள முதல் உறுப்புகள் B கணத்தின் உறுப்புகள். இரண்டாவது உறுப்புகள் A கணத்தின் உறுப்புகள்.
B கணத்தின் உறுப்புகள் = {-2, 0, 3}
A கணத்தின் உறுப்புகள் = {3, 4}
எனவே, A = {3, 4} மற்றும் B = {-2, 0, 3}.

16) ஒரு விமானம் 500 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. விமானம் 'd' தொலைவு செல்வதற்கு ஆகும் காலத்தை t (மணியில்)-ன் சார்பாக வெளிப்படுத்துக.

விடை:

இங்கு, விமானத்தின் வேகம் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 500 கி.மீ ஆகும். நாம் 'd' தொலைவை 't' காலத்தின் சார்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும்.

நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரம்:

வேகம் = \(\frac{தொலைவு}{காலம்}\)

இந்த சூத்திரத்தை தொலைவிற்காக மாற்றி எழுதலாம்:

தொலைவு = வேகம் × காலம்

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

• தொலைவு = d
• வேகம் = 500 கி.மீ/மணி
• காலம் = t (மணியில்)

எனவே, சமன்பாடு:

\(d = 500 \times t\)

இதை சார்பாக எழுதும்போது:

\(d(t) = 500t\)

இதுவே 'd' தொலைவிற்கான சார்பு, 't' காலத்தைப் பொறுத்து ஆகும்.

17) \(a^b \times b^a = 800\) என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐ காண்க.

விடை:

800 ஐ பகா காரணிப்படுத்த:
\(800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(a^b \times b^a = 800\)
\(a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2\)
இதை ஒப்பிடும் போது, a = 2 மற்றும் b = 5 (அல்லது a=5, b=2) என கிடைக்கிறது.
சரிபார்ப்பு: \(2^5 \times 5^2 = 32 \times 25 = 800\).
எனவே, a = 2, b = 5.

18) 1, -3, 9, −27,.... என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

விடை:

இத்தொடர் ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (G.P).
முதல் உறுப்பு, a = 1
பொது விகிதம், \(r = \frac{-3}{1} = -3\). \(r < 1\).
n = 8.
கூடுதல் சூத்திரம், \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}\)
\(S_8 = \frac{1((-3)^8 - 1)}{-3-1} = \frac{6561 - 1}{-4} = \frac{6560}{-4} = -1640\).
முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் -1640.

19) மீ.சி.ம காண்க: \(x^4 – 1, x^2 – 2x + 1\)

விடை:

படி 1: முதல் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்

\(p(x) = x^4 - 1\)
= \((x^2)^2 - 1^2\)   (a²-b² = (a-b)(a+b) முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி)
= \((x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
= \((x-1)(x+1)(x^2 + 1)\)

படி 2: இரண்டாம் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்

\(q(x) = x^2 - 2x + 1\)
= \((x-1)^2\)   (a²-2ab+b² = (a-b)² முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி)

படி 3: மீ.சி.ம (L.C.M) காணுதல்

மீ.சி.ம என்பது அனைத்துக் காரணிகளின் அதிகபட்ச அடுக்குகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.

• \((x-1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 2
• \((x+1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 1
• \((x^2+1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 1

எனவே, மீ.சி.ம = \((x-1)^2(x+1)(x^2+1)\)

20) சூத்திர முறையைப் பயன்படுத்தி \(2x^2 - 3x - 3 = 0\) ஐத் தீர்க்க.

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(2x^2 - 3x - 3 = 0\)
இதை \(ax^2 + bx + c = 0\) உடன் ஒப்பிட, a=2, b=-3, c=-3.
சூத்திரம்: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}\)
எனவே, தீர்வுகள்: \(x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\) மற்றும் \(x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}\).

21) \(3x^2 + 7x – 2 = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\) எனில் \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\) ன் மதிப்பைக் காண்க.

விடை:

சமன்பாடு: \(3x^2 + 7x - 2 = 0\)
மூலங்களின் கூடுதல்: \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}\)
மூலங்களின் பெருக்கல்: \(\alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{2}{3}\)
நாம் காண வேண்டியது: \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\)
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\)
\( = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{49}{9} + \frac{4}{3} = \frac{49+12}{9} = \frac{61}{9}\)
\(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{61/9}{-2/3} = \frac{61}{9} \times \frac{-3}{2} = -\frac{61}{6}\).

22) \(\triangle ABC\) ஆனது \(\triangle DEF\) க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் \(\triangle ABC\) யின் பரப்பு = 54 செ.மீ² எனில், \(\triangle DEF\) யின் பரப்பைக் காண்க.

விடை:

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதமானது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
\(\frac{\text{பரப்பு}(\triangle ABC)}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2\)
\(\frac{54}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)
பரப்பு(\(\triangle DEF\)) = \(54 \times \frac{16}{9} = 6 \times 16 = 96\) செ.மீ².

23) \(\triangle ABC\) யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது. \(\frac{AD}{DB} = \frac{3}{4}\) மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில் AE-யின் மதிப்பு காண்க.

விடை:

தேல்ஸ் தேற்றப்படி, DE || BC எனில்,
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{AE}{EC}\). எனவே, AE = 3k, EC = 4k.
AC = AE + EC = 3k + 4k = 7k.
கொடுக்கப்பட்டது AC = 15 செ.மீ.
\(7k = 15 \implies k = \frac{15}{7}\)
AE = 3k = \(3 \times \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43\) செ.மீ.

24) (14,10) மற்றும் (14,-6) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

விடை:

புள்ளிகள் \((x_1, y_1) = (14, 10)\) மற்றும் \((x_2, y_2) = (14, -6)\).
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}\).
பகுதி பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை. இது ஒரு செங்குத்து கோடு.

25) \(12y = -(p+3)x+12\), \(12x - 7y = 16\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் 'p'-யின் மதிப்பைக் காண்க.

விடை:

முதல் கோடு: \(12y = -(p+3)x + 12 \implies (p+3)x + 12y - 12 = 0\)
இதன் சாய்வு \(m_1 = -\frac{\text{x-ன் குணகம்}}{\text{y-ன் குணகம்}} = -\frac{p+3}{12}\)
இரண்டாம் கோடு: \(12x - 7y = 16\)
இதன் சாய்வு \(m_2 = -\frac{12}{-7} = \frac{12}{7}\)
கோடுகள் செங்குத்து என்பதால், \(m_1 \times m_2 = -1\)
\(\left(-\frac{p+3}{12}\right) \times \left(\frac{12}{7}\right) = -1\)
\(-\frac{p+3}{7} = -1 \implies p+3 = 7 \implies p = 4\).

26) \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} = \sec \theta - \tan \theta\) என நிரூபி.

விடை:

இடது பக்கம் (LHS) = \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}\)
தொகுதியையும் பகுதியையும் \((1-\sin\theta)\) ஆல் பெருக்க,
LHS = \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \times \frac{1 - \sin \theta}{1 - \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos \theta (1 - \sin \theta)}{1 - \sin^2 \theta}\)
= \(\frac{\cos \theta (1 - \sin \theta)}{\cos^2 \theta}\) (ஏனெனில் \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\))
= \(\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\sec \theta - \tan \theta\) = வலது பக்கம் (RHS).
நிரூபிக்கப்பட்டது.

27) \(\cot^2 \theta - \frac{1}{\sin^2\theta} = -1\) என நிரூபி.

விடை:

இடது பக்கம் (LHS) = \(\cot^2 \theta - \frac{1}{\sin^2\theta}\)
நமக்கு தெரியும், \(\frac{1}{\sin \theta} = \text{cosec} \theta\).
LHS = \(\cot^2 \theta - \text{cosec}^2 \theta\)
முற்றொருமைப்படி, \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\).
எனவே, \(\cot^2 \theta - \text{cosec}^2 \theta = -1\).
LHS = -1 = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

28) (கட்டாய வினா) ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (−6,-4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால்புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில் பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை:

மிகக் குறுகிய தூரம் என்பது இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான நேர்க்கோடு ஆகும்.
புள்ளிகள் A(-6,-4) மற்றும் B(5,11).
இரு புள்ளி வடிவச் சமன்பாடு: \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)}\)
\(\frac{y+4}{15} = \frac{x+6}{11}\)
\(11(y+4) = 15(x+6)\)
\(11y + 44 = 15x + 90\)
\(15x - 11y + 90 - 44 = 0\)
\(15x - 11y + 46 = 0\).
இதுவே தேவையான பாதையின் சமன்பாடு.

பகுதி-III (10×5=50)

குறிப்பு : எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். வினா எண் 42க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

29) \(A = \{x \in W | x < 2\}\), \(B = \{x \in N | 1 < x \le 4\}\) மற்றும் \(C = \{3,5\}\) எனில் \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்ற சமன்பாட்டைச் சரிபார்.

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:

• \(A = \{x \in W | x < 2\} = \{0, 1\}\)   (W = முழு எண்கள், 2-ஐ விடச் சிறியவை)
• \(B = \{x \in N | 1 < x \le 4\} = \{2, 3, 4\}\)   (N = இயல் எண்கள், 1-ஐ விடப் பெரியவை மற்றும் 4-க்கு சமமானவை அல்லது சிறியவை)
• \(C = \{3, 5\}\)

---

இடது பக்கம் (LHS): \(A \times (B \cap C)\)

முதலில், \(B \cap C\) காண்போம்:

\(B \cap C = \{2, 3, 4\} \cap \{3, 5\} = \{3\}\)

இப்போது, \(A \times (B \cap C)\) காண்போம்:

\(A \times (B \cap C) = \{0, 1\} \times \{3\}\)

\( = \{(0,3), (1,3)\}\) ...(1)

---

வலது பக்கம் (RHS): \((A \times B) \cap (A \times C)\)

முதலில், \(A \times B\) காண்போம்:

\(A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}\)

அடுத்து, \(A \times C\) காண்போம்:

\(A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}\)

இப்போது, \((A \times B) \cap (A \times C)\) காண்போம் (இரண்டு கணங்களுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள்):

\( = \{(0,3), (1,3)\}\) ...(2)

---

சரிபார்த்தல்:

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது தெளிவாகிறது.

எனவே, \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

30) f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x எனில் \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) என நிறுவுக.

விடை:

LHS: \(f \circ (g \circ h)\)
முதலில் \(g \circ h(x)\) காண்போம்:
\(g \circ h(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x\).
இப்போது \(f \circ (g \circ h)(x)\):
\(f(g \circ h(x)) = f(1 - 6x) = 2(1-6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x\) ...(1)

RHS: \((f \circ g) \circ h\)
முதலில் \(f \circ g(x)\) காண்போம்:
\(f \circ g(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x\).
இப்போது \((f \circ g) \circ h(x)\):
\((f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x\) ...(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\). சார்புகளின் சேர்ப்பு பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

31) f என்ற சார்பானது \(f(x) = \begin{cases} x+2 & ; x > 1 \\ 2 & ; -1 \le x \le 1 \\ x-1 & ; -3 < x < -1 \end{cases}\) என வரையறுக்கப்பட்டால் (i) f(3) (ii) f(0) (iii) f(−1.5) (iv) f(2) + f(-2) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

(i) f(3):
இங்கு \(x=3 > 1\), எனவே \(f(x) = x+2\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(3) = 3 + 2 = 5\).

(ii) f(0):
இங்கு \(-1 \le 0 \le 1\), எனவே \(f(x) = 2\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(0) = 2\).

(iii) f(-1.5):
இங்கு \(-3 < -1.5 < -1\), எனவே \(f(x) = x-1\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(-1.5) = -1.5 - 1 = -2.5\).

(iv) f(2) + f(-2):
f(2) காண: \(x=2 > 1 \implies f(x) = x+2 \implies f(2) = 2+2 = 4\).
f(-2) காண: \(-3 < -2 < -1 \implies f(x) = x-1 \implies f(-2) = -2 - 1 = -3\).
\(f(2) + f(-2) = 4 + (-3) = 1\).

32) 3 + 33 + 333 + ... என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

விடை:

\(S_n = 3 + 33 + 333 + ... + n\) உறுப்புகள்
\(S_n = 3(1 + 11 + 111 + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(\frac{9}{9}\) ஆல் பெருக்கி வகுக்க,
\(S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(S_n = \frac{1}{3}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(S_n = \frac{1}{3}((10+100+1000+...) - (1+1+1+...))\)
இங்கு (10+100+1000+...) என்பது ஒரு G.P. a=10, r=10.
அதன் கூடுதல் = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}\)
(1+1+1+...) n முறை = n.
\(S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right]\)
\(S_n = \frac{10}{27}(10^n-1) - \frac{n}{3}\)

33) கூடுதல் காண்க: \(15^2 + 16^2 + 17^2 + ..... + 28^2\).

விடை:

இதை \((1^2+2^2+...+28^2) - (1^2+2^2+...+14^2)\) என எழுதலாம்.
முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{k=1}^{28} k^2 = \frac{28(28+1)(2 \times 28+1)}{6} = \frac{28 \times 29 \times 57}{6} = 14 \times 29 \times 19 = 7714\).
\(\sum_{k=1}^{14} k^2 = \frac{14(14+1)(2 \times 14+1)}{6} = \frac{14 \times 15 \times 29}{6} = 7 \times 5 \times 29 = 1015\).
தேவையான கூடுதல் = 7714 - 1015 = 6699.

34) தீர்க்க: \(x + y + z = 5; 2x - y + z = 9; x - 2y + 3z = 16\)

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:
\(x + y + z = 5\) ...(1)
\(2x - y + z = 9\) ...(2)
\(x - 2y + 3z = 16\) ...(3)

(1) + (2) \(\implies (x+y+z) + (2x-y+z) = 5+9\)
\(3x + 2z = 14\) ...(4)

(1) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி, (3) லிருந்து கழிக்க:
\(2(x+y+z) = 10 \implies 2x+2y+2z=10\)
\((x - 2y + 3z) - (2x + 2y + 2z)\) இப்படி செய்தால் y நீங்காது. எனவே வேறு வழியில் செய்வோம்.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி (3) உடன் கூட்ட:
\(2(2x-y+z) = 18 \implies 4x-2y+2z=18\)
\((4x-2y+2z) + (x-2y+3z)\) இதுவும் சரி வராது.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி (3) லிருந்து கழிக்கலாம். y நீங்காது.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி, (3) உடன் கழிக்க:
\(2(2x-y+z) = 4x-2y+2z=18\)
\((x-2y+3z) - (4x-2y+2z) = 16-18\)
\(-3x+z = -2 \implies z = 3x-2\) ...(5)

(5) ஐ (4)ல் பிரதியிட:
\(3x + 2(3x-2) = 14\)
\(3x + 6x - 4 = 14\)
\(9x = 18 \implies x = 2\)

x=2 ஐ (5)ல் பிரதியிட: \(z = 3(2) - 2 = 6-2=4\)
x=2, z=4 ஐ (1)ல் பிரதியிட: \(2+y+4 = 5 \implies y+6=5 \implies y = -1\)
தீர்வு: \(x=2, y=-1, z=4\).

35) \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

35) \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கமூலத்தை நீள்வகுத்தல் முறைப்படி காணலாம்.

நீள்வகுத்தல் முறை:

நீள்வகுத்தல் முறையின் படிகள் கீழே உள்ள படத்தில் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளன.

தீர்வு காணுதல்:

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், அதன் மீதி பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும்.

வகுத்தலின் முடிவில் கிடைக்கும் மீதி:

\((a-16)x + (b-16)\)

மீதியை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்த:

\((a-16)x + (b-16) = 0x + 0\)

இருபுறமும் உள்ள x-ன் கெழுக்களையும், மாறிலி உறுப்புகளையும் ஒப்பிட:

• \(a - 16 = 0 \implies a = 16\)
• \(b - 16 = 0 \implies b = 16\)

எனவே, தேவையான மதிப்புகள் a = 16 மற்றும் b = 16 ஆகும்.

36) \((c^2 - ab) x^2 - 2(a^2 – bc) x + b^2 - ac = 0\) என்ற சமன்பாட்டில் மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில், a = 0 அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) என நிரூபி.

விடை:

மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில், தன்மைகாட்டி (Discriminant) \(\Delta = 0\).
\(\Delta = B^2 - 4AC = 0\), இங்கு
\(A = c^2 - ab\)
\(B = -2(a^2 - bc)\)
\(C = b^2 - ac\)
\([-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0\)
\(4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0\)
\((a^4 - 2a^2bc + b^2c^2) - (b^2c^2 - ac^3 - ab^3 + a^2bc) = 0\)
\(a^4 - 2a^2bc + b^2c^2 - b^2c^2 + ac^3 + ab^3 - a^2bc = 0\)
\(a^4 + ab^3 + ac^3 - 3a^2bc = 0\)
\(a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0\)
இதிலிருந்து, \(a=0\) அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0\)
அதாவது, \(a=0\) அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).
நிரூபிக்கப்பட்டது.

37) அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்கவும்.

விடை:

38) (−9,−2), (−8,-4), (2,2) மற்றும் (1,−3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

விடை:

புள்ளிகளை வரிசைப்படி எடுத்துக்கொள்வோம்: A(−9,−2), B(−8,-4), C(1,−3), D(2,2).
(புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து வரிசைப்படுத்தினால் பிழை வராது. இங்கு கொடுக்கப்பட்ட வரிசையே சரி).
நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix}\)
= \(\frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & 2 & 1 & -9 \\ -2 & -4 & 2 & -3 & -2 \end{vmatrix}\)
= \(\frac{1}{2} |((-9)(-4)+(-8)(2)+(2)(-3)+(1)(-2)) - ((-2)(-8)+(-4)(2)+(2)(1)+(-3)(-9))|\)
= \(\frac{1}{2} |(36 - 16 - 6 - 2) - (16 - 8 + 2 + 27)|\)
= \(\frac{1}{2} |(12) - (37)|\)
= \(\frac{1}{2} |-25| = \frac{25}{2} = 12.5\) சதுர அலகுகள்.
(குறிப்பு: புள்ளிகள் A(-9,-2), B(-8,-4), D(1,-3), C(2,2) என்ற வரிசையில் இருக்கலாம். அப்போது பரப்பு மாறும். கொடுக்கப்பட்ட வரிசையில் கணக்கிட்டுள்ளோம்.)
சரியான வரிசை: A(-9,-2), B(-8,-4), C(1,-3), D(2,2) என எடுத்துக்கொண்டால்: \(\frac{1}{2} |((-9)(-4)+(-8)(-3)+(1)(2)+(2)(-2)) - ((-2)(-8)+(-4)(1)+(-3)(2)+(2)(-9))| \) \(= \frac{1}{2} |(36+24+2-4) - (16-4-6-18)| \) \(= \frac{1}{2} |58 - (-12)| = \frac{1}{2} |70| = 35 \) சதுர அலகுகள்.

39) \(\triangle ABC\) யின் முனைகள் A (−3,0), B (10,–2), C (12,3) எனில் A மற்றும் B-யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

விடை:

A-லிருந்து BC-க்கு குத்துக்கோடு (AD):
BC-ன் சாய்வு \(m_{BC} = \frac{3 - (-2)}{12 - 10} = \frac{5}{2}\).
AD \(\perp\) BC என்பதால், AD-ன் சாய்வு \(m_{AD} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{2}{5}\).
AD-ன் சமன்பாடு (புள்ளி A(-3,0) மற்றும் சாய்வு -2/5):
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 0 = -\frac{2}{5}(x - (-3))\)
\(5y = -2(x+3) \implies 5y = -2x - 6 \implies 2x + 5y + 6 = 0\).

B-லிருந்து AC-க்கு குத்துக்கோடு (BE):
AC-ன் சாய்வு \(m_{AC} = \frac{3 - 0}{12 - (-3)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\).
BE \(\perp\) AC என்பதால், BE-ன் சாய்வு \(m_{BE} = -\frac{1}{m_{AC}} = -5\).
BE-ன் சமன்பாடு (புள்ளி B(10,-2) மற்றும் சாய்வு -5):
\(y - (-2) = -5(x - 10)\)
\(y + 2 = -5x + 50\)
\(5x + y - 48 = 0\).

40) \(\frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\cos^3 A + \sin^3 A}{\cos A + \sin A} = 2 \sin A \cos A\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

விடை:

LHS = \(\frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\cos^3 A + \sin^3 A}{\cos A + \sin A}\)
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) மற்றும் \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த,
முதல் பகுதி: \(\frac{(\cos A - \sin A)(\cos^2 A + \cos A \sin A + \sin^2 A)}{\cos A - \sin A}\)
= \((\cos^2 A + \sin^2 A) + \cos A \sin A = 1 + \cos A \sin A\).

இரண்டாம் பகுதி: \(\frac{(\cos A + \sin A)(\cos^2 A - \cos A \sin A + \sin^2 A)}{\cos A + \sin A}\)
= \((\cos^2 A + \sin^2 A) - \cos A \sin A = 1 - \cos A \sin A\).

LHS = \((1 + \cos A \sin A) - (1 - \cos A \sin A)\)
= \(1 + \cos A \sin A - 1 + \cos A \sin A\)
= \(2 \sin A \cos A\) = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

41) \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin\theta} = \frac{1}{a}\) எனில் \(\frac{a^2-1}{a^2+1} = \sin \theta\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

விடை:

கொடுக்கப்பட்டது: \(a = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\)
நாம் நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\sin\theta = \frac{a^2-1}{a^2+1}\)
RHS = \(\frac{a^2-1}{a^2+1} = \frac{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2 - 1}{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2 + 1}\)
= \(\frac{\frac{(1+\sin\theta)^2 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}{\frac{(1+\sin\theta)^2 + \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}\)
= \(\frac{(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) - \cos^2\theta}{(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) + \cos^2\theta}\)
\(\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta\) என பிரதியிட,
தொகுதி = \(1+2\sin\theta+\sin^2\theta - (1-\sin^2\theta) = 2\sin\theta + 2\sin^2\theta = 2\sin\theta(1+\sin\theta)\)
பகுதி = \(1+2\sin\theta+\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1+2\sin\theta+1 = 2+2\sin\theta = 2(1+\sin\theta)\)
RHS = \(\frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{2(1+\sin\theta)} = \sin\theta\) = LHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

42) (கட்டாய வினா) \(4x + 7y – 3 = 0\) மற்றும் \(2x - 3y + 1 = 0\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமமானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை:

படி 1: சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்
\(4x + 7y = 3\) ...(1)
\(2x - 3y = -1\) ...(2)
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்க: \(4x - 6y = -2\) ...(3)
(1) - (3) \(\implies (4x+7y) - (4x-6y) = 3 - (-2)\)
\(13y = 5 \implies y = \frac{5}{13}\).
y-ன் மதிப்பை (2)ல் பிரதியிட:
\(2x - 3(\frac{5}{13}) = -1 \implies 2x - \frac{15}{13} = -1 \implies 2x = \frac{15}{13} - 1 = \frac{2}{13} \implies x = \frac{1}{13}\).
சந்திக்கும் புள்ளி \((\frac{1}{13}, \frac{5}{13})\).

படி 2: நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணுதல்
ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமம். அதாவது a = b.
வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \implies x+y=a\).
இந்தக் கோடு \((\frac{1}{13}, \frac{5}{13})\) வழி செல்கிறது.
\(\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a \implies a = \frac{6}{13}\).
தேவையான சமன்பாடு: \(x+y = \frac{6}{13} \implies 13x + 13y = 6 \implies 13x+13y-6=0\).

பகுதி-IV (2×8=16)

குறிப்பு : அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.

43) a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{2}{3}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{2}{3} < 1\))

விடை:

வரைமுறைப் படிகள்:
1. ஏதேனும் ஓர் முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்தில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
3. QX கதிரில், அளவு காரணியில் பெரிய எண் 3 என்பதால், \(Q_1, Q_2, Q_3\) என மூன்று சம அளவுள்ள பாகங்களைக் குறிக்கவும் (\(QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3\)).
4. \(Q_3\) மற்றும் R ஐ இணைக்கவும் (\(Q_3R\) வரைக).
5. அளவு காரணியில் சிறிய எண் 2 என்பதால், \(Q_2\) விலிருந்து \(Q_3R\) க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (\(Q_2R' || Q_3R\)).
6. R' லிருந்து PR க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது PQ ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (\(P'R' || PR\)).
7. இப்போது \(\triangle P'QR'\) என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் \(\triangle PQR\)-ன் பக்கங்களின் \(\frac{2}{3}\) பங்காக இருக்கும்.

---

(அல்லது)

b) AB = 5.5 செ.மீ, \(\angle C = 25^\circ\) மற்றும் உச்சி C-யிலிருந்து ABக்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ உடைய \(\triangle ABC\) வரைக.

விடை:

வரைமுறைப் படிகள்:
1. AB = 5.5 செ.மீ நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. புள்ளி A-ல், கீழ்நோக்கி \(\angle BAE = 25^\circ\) இருக்குமாறு AE என்ற கோட்டை வரைக.
3. புள்ளி A-ல், AE-க்கு செங்குத்தாக AF என்ற கோட்டை வரைக.
4. AB-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது AB-ஐ G என்ற புள்ளியிலும், AF-ஐ O என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கட்டும்.
5. O-ஐ மையமாகவும் OA-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் A மற்றும் B வழியாகச் செல்லும்.
6. AB-க்கு வரையப்பட்ட மையக்குத்துக்கோட்டில் G-லிருந்து 4 செ.மீ உயரத்தில் M என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
7. M வழியாக AB-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது வட்டத்தை C மற்றும் C' ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
8. AC மற்றும் BC-ஐ இணைக்கவும். (அல்லது AC' மற்றும் BC'-ஐ இணைக்கவும்).
9. \(\triangle ABC\) என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44) a) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்குப் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது.

பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x)	2	4	6	8	10
ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ₹ (y)	180	90	60	45	36

மேற்கண்ட தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத் தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.

விடை:

1. மாறுபாட்டைக் கண்டறிதல்:
x அதிகரிக்கும்போது y குறைகிறது. இது எதிர் மாறுபாடாக இருக்கலாம்.
\(xy = 2 \times 180 = 360\)
\(xy = 4 \times 90 = 360\)
\(xy = 6 \times 60 = 360\)
அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் \(xy=360\) (மாறிலி). எனவே, இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.
சமன்பாடு: \(xy = 360\).

2. வரைபடம் வரைதல்:
அளவுத்திட்டம்:
X-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 பங்கேற்பாளர்கள்
Y-அச்சு: 1 செ.மீ = ₹ 20
(2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். இது ஒரு அதிபரவளையமாக (Hyperbola) இருக்கும்.

3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்:
12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் பரிசுத் தொகை காண:
X-அச்சில் x=12 என்ற புள்ளிக்கு நேராக வளைகோட்டை நோக்கி ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக.
அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y-அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக.
அது Y-அச்சை சந்திக்கும் புள்ளி y-ன் மதிப்பாகும். வரைபடத்தில் இருந்து, y = 30 என கிடைக்கும்.

கணக்கீடு மூலம் சரிபார்த்தல்:
\(xy = 360 \implies (12)y = 360 \implies y = \frac{360}{12} = 30\).
விடை: 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால், ஒவ்வொருவருக்கும் ₹30 கிடைக்கும்.

---

(அல்லது)

b) xy = 24, x, y > 0 என்ற வரைபடத்தை வரைக. வரைபடத்தை பயன்படுத்தி (i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க (ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண்க.

விடை:

1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
\(y = \frac{24}{x}\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு சில மதிப்புகளைக் காண்போம்.

x	1	2	3	4	6	8	12
y	24	12	8	6	4	3	2

2. வரைபடம் வரைதல்:
அளவுத்திட்டம்:
X-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்
Y-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்
அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2) வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்கவும். இது ஒரு அதிபரவளையம் ஆகும்.

3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்:
(i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க:
X-அச்சில் x=3 என்ற புள்ளியிலிருந்து வளைகோட்டை நோக்கி செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y-அச்சுக்கு ஒரு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது Y-அச்சை y=8 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
விடை: y = 8.

(ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண்க:
Y-அச்சில் y=6 என்ற புள்ளியிலிருந்து வளைகோட்டை நோக்கி கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து X-அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது X-அச்சை x=4 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
விடை: x = 4.