10th Maths - Quarterly Exam 2025 - Tamil Medium Original Question Paper | Tirunelveli District

10th Maths Quarterly Exam Question Paper 2025 with Complete Solutions | Tirunelveli District

திருநெல்வேலி மாவட்டம்

காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - செப்டம்பர் 2025

வகுப்பு 10 - கணிதம்

காலம்: 3.00 மணி | மதிப்பெண்கள்: 100

விடைகள்

பகுதி-I (14×1=14)

குறிப்பு : அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.

1) n(A) = m மற்றும் n(B) = n என்க. A-லிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை

• a) \(m^n\)
• b) \(n^m\)
• c) \(2^{mn}-1\)
• d) \(2^{mn}\)

விடை:

c) \(2^{mn}-1\)

விளக்கம்:
A-லிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}\).
வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = மொத்த உறவுகள் - வெற்று உறவு (1)
= \(2^{mn}-1\).

2) \(f(x) = 2x^2\) மற்றும் \(g(x) = \frac{1}{3x}\) எனில் f o g ஆனது

• a) \(\frac{3}{2x^2}\)
• b) \(\frac{2}{3x^2}\)
• c) \(\frac{9x^2}{2}\)
• d) \(\frac{1}{6x^2}\)

விடை:

(வினாவில் பிழை இருக்கலாம். சரியான கணக்கீடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)

விளக்கம்:
\(f o g(x) = f(g(x))\)
\(f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right)\)
\( = 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2\)
\( = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right)\)
\( = \frac{2}{9x^2}\)
கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் இந்த விடை இல்லை. ஒருவேளை கேள்வி \(g \circ f\) ஆக இருந்திருந்தால்,
\(g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x^2) = \frac{1}{3(2x^2)} = \frac{1}{6x^2}\). இது விருப்பம் (d) உடன் பொருந்துகிறது.

3) g = {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)} என்ற சார்பானது \(g(x) = \alpha x + \beta\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\)-வின் மதிப்பானது

• a) (-1,2)
• b) (2,-1)
• c) (-1,-2)
• d) (1,2)

விடை:

b) (2,-1)

விளக்கம்:
\(g(x) = \alpha x + \beta\).
(1,1) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட: \(g(1)=1 \implies \alpha(1) + \beta = 1 \implies \alpha + \beta = 1\) ...(1)
(2,3) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட: \(g(2)=3 \implies \alpha(2) + \beta = 3 \implies 2\alpha + \beta = 3\) ...(2)
சமன்பாடு (2) - (1): \((2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 3 - 1 \implies \alpha = 2\)
\(\alpha = 2\) என (1)-ல் பிரதியிட: \(2 + \beta = 1 \implies \beta = -1\).
எனவே, \((\alpha, \beta) = (2, -1)\).

4) 65 மற்றும் 117 -யின்மீ.பொ.வ வை 65m - 117 என்ற வடிவில் எழுதும் போது, m-ன் மதிப்பு

• a) 4
• b) 2
• c) 1
• d) 3

விடை:

b) 2

விளக்கம்:
யூக்ளிடின் வகுத்தல் முறைப்படி 65 மற்றும் 117-ன் மீ.பொ.வ காண்போம்.
\(117 = 1 \times 65 + 52\)
\(65 = 1 \times 52 + 13\)
\(52 = 4 \times 13 + 0\)
மீ.பொ.வ = 13.
கணக்கின்படி, \(65m - 117 = 13\).
\(65m = 117 + 13 = 130\).
\(m = \frac{130}{65} = 2\).

5) ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n வது உறுப்பு 2n-1 எனில் அந்த கூட்டுத்தொடரின் முதல் 'n' உறுப்புகளின் கூடுதல்

• a) \(n^2\)
• b) \(2n-1\)
• c) \(n+2\)
• d) \(n(n+2)\)

விடை:

a) \(n^2\)

விளக்கம்:
\(t_n = 2n-1\).
முதல் உறுப்பு, \(a = t_1 = 2(1)-1 = 1\).
கடைசி உறுப்பு, \(l = t_n = 2n-1\).
கூடுதல், \(S_n = \frac{n}{2}(a+l)\)
\(S_n = \frac{n}{2}(1 + 2n-1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2\).

6) கீழ்க்காண்பனவற்றுள் எது \(y^2 + \frac{1}{y^2}\) க்குச் சமம் இல்லை

கொடுக்கப்பட்டுள்ள வினாத்தாளில் உள்ள வினாவில் பிழை உள்ளது. எனவே இங்கு சரியான வினா மற்றும் விடை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

• a) \(\frac{y^4+1}{y^2}\)
• b) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
• c) \(\left(y-\frac{1}{y}\right)^2 + 2\)
• d) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2 - 2\)

விடை:

b) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)

விளக்கம்:
a) \(\frac{y^4+1}{y^2} = \frac{y^4}{y^2} + \frac{1}{y^2} = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
b) \((y+\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம் இல்லை).

c) \((y-\frac{1}{y})^2 + 2 = (y^2 - 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) + 2 = y^2 - 2 + \frac{1}{y^2} + 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
d) \((y+\frac{1}{y})^2 - 2 = (y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) - 2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).

7) ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ________ ஆகும்.

• a) நேர்க்கோடு
• b) வட்டம்
• c) பரவளையம்
• d) அதிபரவளையம்

விடை:

a) நேர்க்கோடு

விளக்கம்:
ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் (Linear Equation) வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகவே இருக்கும்.

8) இரு சமபக்க முக்கோணம் \(\triangle ABC\)-யில் \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் AC = 5 செ.மீ, எனில் AB ஆனது

• a) 2.5 செ.மீ
• b) 5 செ.மீ
• c) 10 செ.மீ
• d) \(5\sqrt{2}\) செ.மீ

விடை:

d) \(5\sqrt{2}\) செ.மீ

விளக்கம்:
\(\triangle ABC\) ஒரு இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணம். \(\angle C = 90^\circ\).
எனவே, AC = BC = 5 செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).
\(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) செ.மீ.

9) \(\triangle ABC\)-யில் DE || BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில், AE-யின் நீளம்

• a) 1.4 செ.மீ
• b) 1.8 செ.மீ
• c) 1.2 செ.மீ
• d) 1.05 செ.மீ

விடை:

a) 1.4 செ.மீ

விளக்கம்:
அடிப்படை விகிதசம தேற்றப்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்), DE || BC எனில்,
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{2.1 \times 24}{36} = \frac{2.1 \times 2}{3} = 0.7 \times 2 = 1.4\) செ.மீ.

10) \(3x - y = 4\) மற்றும் \(x + y = 8\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி

• a) (5,3)
• b) (2,4)
• c) (3,5)
• d) (4,4)

விடை:

c) (3,5)

விளக்கம்:
\(3x - y = 4\) ...(1)
\(x + y = 8\) ...(2)
(1) + (2) \(\implies 4x = 12 \implies x = 3\).
x = 3 என (2)-ல் பிரதியிட: \(3 + y = 8 \implies y = 5\).
சந்திக்கும் புள்ளி (3,5).

11) (2,1) ஐ சந்திப்பு புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்

• a) \(x - y - 3 = 0 ; 3x - y - 7 = 0\)
• b) \(x + y = 3 ; 3x + y = 7\)
• c) \(3x + y = 3 ; x+y = 7\)
• d) \(x + 3y - 3 = 0 ; x-y-7= 0\)

விடை:

b) \(x + y = 3 ; 3x + y = 7\)

விளக்கம்:
புள்ளி (2,1) ஐ ஒவ்வொரு விருப்பத்திலும் பிரதியிட்டு சரிபார்க்க வேண்டும்.
விருப்பம் b):
\(x + y = 3 \implies 2 + 1 = 3\) (சரி).
\(3x + y = 7 \implies 3(2) + 1 = 6+1=7\) (சரி).
எனவே, இதுவே சரியான விடை.

12) (2,–3), (3,2) மற்றும் (−2,5) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு

• a) 11
• b) 12
• c) 14
• d) 13

விடை:

(விருப்பங்களில் பிழை. சரியான விடை 12.5)

விளக்கம்:
முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|\)
= \(\frac{1}{2} |2(2-5) + 3(5-(-3)) + (-2)(-3-2)|\)
= \(\frac{1}{2} |2(-3) + 3(8) - 2(-5)|\)
= \(\frac{1}{2} |-6 + 24 + 10|\)
= \(\frac{1}{2} |28| = 14\) சதுர அலகுகள்.
Short-cut method: \( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & 5 & -3 \end{vmatrix} \) \( = \frac{1}{2} |((2)(2)+(3)(5)+(-2)(-3)) - ((-3)(3)+(2)(-2)+(5)(2))| \) \( = \frac{1}{2} |(4+15+6) - (-9-4+10)| \) \( = \frac{1}{2} |25 - (-3)| = \frac{1}{2} |28| = 14 \). விடை: c) 14

13) \(tan \theta \ cosec^2 \theta - tan \theta\)-ன் மதிப்பு

• a) \(\sec \theta\)
• b) \(\cot^2 \theta\)
• c) \(\sin \theta\)
• d) \(\cot \theta\)

விடை:

d) \(\cot \theta\)

விளக்கம்:
\(tan \theta \ cosec^2 \theta - tan \theta = tan \theta (cosec^2 \theta - 1)\)
\(cosec^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta\) என்ற முற்றொருமையை பயன்படுத்த,
\( = tan \theta (\cot^2 \theta)\)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\)
\( = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta\).

14) \(\sin \theta + \cos \theta = a\) மற்றும் \(\sec \theta + \text{cosec} \theta = b\) எனில் \(b(a^2-1)\)-ன் மதிப்பு

• a) 2a
• b) 3a
• c) 0
• d) 2ab

விடை:

a) 2a

விளக்கம்:
\(a = \sin \theta + \cos \theta \implies a^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta\).
\(a^2 - 1 = 2\sin \theta \cos \theta\).
\(b = \sec \theta + \text{cosec} \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{a}{\sin \theta \cos \theta}\).
\(b(a^2 - 1) = \left(\frac{a}{\sin \theta \cos \theta}\right) \times (2\sin \theta \cos \theta)\)
\( = 2a\).

பகுதி-II (10×2=20)

குறிப்பு : எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். வினா எண் 28க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

15) BXA = {(-2,3),(-2,4),(0,3),(0,4),(3,3),(3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

விடை:

BXA-ல் உள்ள முதல் உறுப்புகள் B கணத்தின் உறுப்புகள். இரண்டாவது உறுப்புகள் A கணத்தின் உறுப்புகள்.
B கணத்தின் உறுப்புகள் = {-2, 0, 3}
A கணத்தின் உறுப்புகள் = {3, 4}
எனவே, A = {3, 4} மற்றும் B = {-2, 0, 3}.

16) ஒரு விமானம் 500 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. விமானம் 'd' தொலைவு செல்வதற்கு ஆகும் காலத்தை t (மணியில்)-ன் சார்பாக வெளிப்படுத்துக.

விடை:

இங்கு, விமானத்தின் வேகம் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 500 கி.மீ ஆகும். நாம் 'd' தொலைவை 't' காலத்தின் சார்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும்.

நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரம்:

வேகம் = \(\frac{தொலைவு}{காலம்}\)

இந்த சூத்திரத்தை தொலைவிற்காக மாற்றி எழுதலாம்:

தொலைவு = வேகம் × காலம்

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

• தொலைவு = d
• வேகம் = 500 கி.மீ/மணி
• காலம் = t (மணியில்)

எனவே, சமன்பாடு:

\(d = 500 \times t\)

இதை சார்பாக எழுதும்போது:

\(d(t) = 500t\)

இதுவே 'd' தொலைவிற்கான சார்பு, 't' காலத்தைப் பொறுத்து ஆகும்.

17) \(a^b \times b^a = 800\) என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐ காண்க.

விடை:

800 ஐ பகா காரணிப்படுத்த:
\(800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(a^b \times b^a = 800\)
\(a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2\)
இதை ஒப்பிடும் போது, a = 2 மற்றும் b = 5 (அல்லது a=5, b=2) என கிடைக்கிறது.
சரிபார்ப்பு: \(2^5 \times 5^2 = 32 \times 25 = 800\).
எனவே, a = 2, b = 5.

18) 1, -3, 9, −27,.... என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

விடை:

இத்தொடர் ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (G.P).
முதல் உறுப்பு, a = 1
பொது விகிதம், \(r = \frac{-3}{1} = -3\). \(r < 1\).
n = 8.
கூடுதல் சூத்திரம், \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}\)
\(S_8 = \frac{1((-3)^8 - 1)}{-3-1} = \frac{6561 - 1}{-4} = \frac{6560}{-4} = -1640\).
முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் -1640.

19) மீ.சி.ம காண்க: \(x^4 – 1, x^2 – 2x + 1\)

விடை:

படி 1: முதல் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்

\(p(x) = x^4 - 1\)
= \((x^2)^2 - 1^2\)   (a²-b² = (a-b)(a+b) முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி)
= \((x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
= \((x-1)(x+1)(x^2 + 1)\)

படி 2: இரண்டாம் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்

\(q(x) = x^2 - 2x + 1\)
= \((x-1)^2\)   (a²-2ab+b² = (a-b)² முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி)

படி 3: மீ.சி.ம (L.C.M) காணுதல்

மீ.சி.ம என்பது அனைத்துக் காரணிகளின் அதிகபட்ச அடுக்குகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.

• \((x-1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 2
• \((x+1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 1
• \((x^2+1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 1

எனவே, மீ.சி.ம = \((x-1)^2(x+1)(x^2+1)\)

20) சூத்திர முறையைப் பயன்படுத்தி \(2x^2 - 3x - 3 = 0\) ஐத் தீர்க்க.

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(2x^2 - 3x - 3 = 0\)
இதை \(ax^2 + bx + c = 0\) உடன் ஒப்பிட, a=2, b=-3, c=-3.
சூத்திரம்: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}\)
எனவே, தீர்வுகள்: \(x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\) மற்றும் \(x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}\).

21) \(3x^2 + 7x – 2 = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\) எனில் \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\) ன் மதிப்பைக் காண்க.

விடை:

சமன்பாடு: \(3x^2 + 7x - 2 = 0\)
மூலங்களின் கூடுதல்: \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}\)
மூலங்களின் பெருக்கல்: \(\alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{2}{3}\)
நாம் காண வேண்டியது: \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\)
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\)
\( = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{49}{9} + \frac{4}{3} = \frac{49+12}{9} = \frac{61}{9}\)
\(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{61/9}{-2/3} = \frac{61}{9} \times \frac{-3}{2} = -\frac{61}{6}\).

22) \(\triangle ABC\) ஆனது \(\triangle DEF\) க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் \(\triangle ABC\) யின் பரப்பு = 54 செ.மீ² எனில், \(\triangle DEF\) யின் பரப்பைக் காண்க.

விடை:

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதமானது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
\(\frac{\text{பரப்பு}(\triangle ABC)}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2\)
\(\frac{54}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)
பரப்பு(\(\triangle DEF\)) = \(54 \times \frac{16}{9} = 6 \times 16 = 96\) செ.மீ².

23) \(\triangle ABC\) யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது. \(\frac{AD}{DB} = \frac{3}{4}\) மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில் AE-யின் மதிப்பு காண்க.

விடை:

தேல்ஸ் தேற்றப்படி, DE || BC எனில்,
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{AE}{EC}\). எனவே, AE = 3k, EC = 4k.
AC = AE + EC = 3k + 4k = 7k.
கொடுக்கப்பட்டது AC = 15 செ.மீ.
\(7k = 15 \implies k = \frac{15}{7}\)
AE = 3k = \(3 \times \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43\) செ.மீ.

24) (14,10) மற்றும் (14,-6) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

விடை:

புள்ளிகள் \((x_1, y_1) = (14, 10)\) மற்றும் \((x_2, y_2) = (14, -6)\).
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}\).
பகுதி பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை. இது ஒரு செங்குத்து கோடு.

25) \(12y = -(p+3)x+12\), \(12x - 7y = 16\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் 'p'-யின் மதிப்பைக் காண்க.

விடை:

முதல் கோடு: \(12y = -(p+3)x + 12 \implies (p+3)x + 12y - 12 = 0\)
இதன் சாய்வு \(m_1 = -\frac{\text{x-ன் குணகம்}}{\text{y-ன் குணகம்}} = -\frac{p+3}{12}\)
இரண்டாம் கோடு: \(12x - 7y = 16\)
இதன் சாய்வு \(m_2 = -\frac{12}{-7} = \frac{12}{7}\)
கோடுகள் செங்குத்து என்பதால், \(m_1 \times m_2 = -1\)
\(\left(-\frac{p+3}{12}\right) \times \left(\frac{12}{7}\right) = -1\)
\(-\frac{p+3}{7} = -1 \implies p+3 = 7 \implies p = 4\).

26) \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} = \sec \theta - \tan \theta\) என நிரூபி.

விடை:

இடது பக்கம் (LHS) = \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}\)
தொகுதியையும் பகுதியையும் \((1-\sin\theta)\) ஆல் பெருக்க,
LHS = \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \times \frac{1 - \sin \theta}{1 - \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos \theta (1 - \sin \theta)}{1 - \sin^2 \theta}\)
= \(\frac{\cos \theta (1 - \sin \theta)}{\cos^2 \theta}\) (ஏனெனில் \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\))
= \(\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\sec \theta - \tan \theta\) = வலது பக்கம் (RHS).
நிரூபிக்கப்பட்டது.

27) \(\cot^2 \theta - \frac{1}{\sin^2\theta} = -1\) என நிரூபி.

விடை:

இடது பக்கம் (LHS) = \(\cot^2 \theta - \frac{1}{\sin^2\theta}\)
நமக்கு தெரியும், \(\frac{1}{\sin \theta} = \text{cosec} \theta\).
LHS = \(\cot^2 \theta - \text{cosec}^2 \theta\)
முற்றொருமைப்படி, \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\).
எனவே, \(\cot^2 \theta - \text{cosec}^2 \theta = -1\).
LHS = -1 = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

28) (கட்டாய வினா) ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (−6,-4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால்புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில் பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை:

மிகக் குறுகிய தூரம் என்பது இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான நேர்க்கோடு ஆகும்.
புள்ளிகள் A(-6,-4) மற்றும் B(5,11).
இரு புள்ளி வடிவச் சமன்பாடு: \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)}\)
\(\frac{y+4}{15} = \frac{x+6}{11}\)
\(11(y+4) = 15(x+6)\)
\(11y + 44 = 15x + 90\)
\(15x - 11y + 90 - 44 = 0\)
\(15x - 11y + 46 = 0\).
இதுவே தேவையான பாதையின் சமன்பாடு.

பகுதி-III (10×5=50)

குறிப்பு : எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். வினா எண் 42க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

29) \(A = \{x \in W | x < 2\}\), \(B = \{x \in N | 1 < x \le 4\}\) மற்றும் \(C = \{3,5\}\) எனில் \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்ற சமன்பாட்டைச் சரிபார்.

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:

• \(A = \{x \in W | x < 2\} = \{0, 1\}\)   (W = முழு எண்கள், 2-ஐ விடச் சிறியவை)
• \(B = \{x \in N | 1 < x \le 4\} = \{2, 3, 4\}\)   (N = இயல் எண்கள், 1-ஐ விடப் பெரியவை மற்றும் 4-க்கு சமமானவை அல்லது சிறியவை)
• \(C = \{3, 5\}\)

---

இடது பக்கம் (LHS): \(A \times (B \cap C)\)

முதலில், \(B \cap C\) காண்போம்:

\(B \cap C = \{2, 3, 4\} \cap \{3, 5\} = \{3\}\)

இப்போது, \(A \times (B \cap C)\) காண்போம்:

\(A \times (B \cap C) = \{0, 1\} \times \{3\}\)

\( = \{(0,3), (1,3)\}\) ...(1)

---

வலது பக்கம் (RHS): \((A \times B) \cap (A \times C)\)

முதலில், \(A \times B\) காண்போம்:

\(A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}\)

அடுத்து, \(A \times C\) காண்போம்:

\(A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}\)

இப்போது, \((A \times B) \cap (A \times C)\) காண்போம் (இரண்டு கணங்களுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள்):

\( = \{(0,3), (1,3)\}\) ...(2)

---

சரிபார்த்தல்:

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது தெளிவாகிறது.

எனவே, \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

30) f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x எனில் \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) என நிறுவுக.

விடை:

LHS: \(f \circ (g \circ h)\)
முதலில் \(g \circ h(x)\) காண்போம்:
\(g \circ h(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x\).
இப்போது \(f \circ (g \circ h)(x)\):
\(f(g \circ h(x)) = f(1 - 6x) = 2(1-6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x\) ...(1)

RHS: \((f \circ g) \circ h\)
முதலில் \(f \circ g(x)\) காண்போம்:
\(f \circ g(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x\).
இப்போது \((f \circ g) \circ h(x)\):
\((f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x\) ...(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\). சார்புகளின் சேர்ப்பு பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

31) f என்ற சார்பானது \(f(x) = \begin{cases} x+2 & ; x > 1 \\ 2 & ; -1 \le x \le 1 \\ x-1 & ; -3 < x < -1 \end{cases}\) என வரையறுக்கப்பட்டால் (i) f(3) (ii) f(0) (iii) f(−1.5) (iv) f(2) + f(-2) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

(i) f(3):
இங்கு \(x=3 > 1\), எனவே \(f(x) = x+2\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(3) = 3 + 2 = 5\).

(ii) f(0):
இங்கு \(-1 \le 0 \le 1\), எனவே \(f(x) = 2\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(0) = 2\).

(iii) f(-1.5):
இங்கு \(-3 < -1.5 < -1\), எனவே \(f(x) = x-1\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(-1.5) = -1.5 - 1 = -2.5\).

(iv) f(2) + f(-2):
f(2) காண: \(x=2 > 1 \implies f(x) = x+2 \implies f(2) = 2+2 = 4\).
f(-2) காண: \(-3 < -2 < -1 \implies f(x) = x-1 \implies f(-2) = -2 - 1 = -3\).
\(f(2) + f(-2) = 4 + (-3) = 1\).

32) 3 + 33 + 333 + ... என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

விடை:

\(S_n = 3 + 33 + 333 + ... + n\) உறுப்புகள்
\(S_n = 3(1 + 11 + 111 + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(\frac{9}{9}\) ஆல் பெருக்கி வகுக்க,
\(S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(S_n = \frac{1}{3}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(S_n = \frac{1}{3}((10+100+1000+...) - (1+1+1+...))\)
இங்கு (10+100+1000+...) என்பது ஒரு G.P. a=10, r=10.
அதன் கூடுதல் = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}\)
(1+1+1+...) n முறை = n.
\(S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right]\)
\(S_n = \frac{10}{27}(10^n-1) - \frac{n}{3}\)

33) கூடுதல் காண்க: \(15^2 + 16^2 + 17^2 + ..... + 28^2\).

விடை:

இதை \((1^2+2^2+...+28^2) - (1^2+2^2+...+14^2)\) என எழுதலாம்.
முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{k=1}^{28} k^2 = \frac{28(28+1)(2 \times 28+1)}{6} = \frac{28 \times 29 \times 57}{6} = 14 \times 29 \times 19 = 7714\).
\(\sum_{k=1}^{14} k^2 = \frac{14(14+1)(2 \times 14+1)}{6} = \frac{14 \times 15 \times 29}{6} = 7 \times 5 \times 29 = 1015\).
தேவையான கூடுதல் = 7714 - 1015 = 6699.

34) தீர்க்க: \(x + y + z = 5; 2x - y + z = 9; x - 2y + 3z = 16\)

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:
\(x + y + z = 5\) ...(1)
\(2x - y + z = 9\) ...(2)
\(x - 2y + 3z = 16\) ...(3)

(1) + (2) \(\implies (x+y+z) + (2x-y+z) = 5+9\)
\(3x + 2z = 14\) ...(4)

(1) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி, (3) லிருந்து கழிக்க:
\(2(x+y+z) = 10 \implies 2x+2y+2z=10\)
\((x - 2y + 3z) - (2x + 2y + 2z)\) இப்படி செய்தால் y நீங்காது. எனவே வேறு வழியில் செய்வோம்.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி (3) உடன் கூட்ட:
\(2(2x-y+z) = 18 \implies 4x-2y+2z=18\)
\((4x-2y+2z) + (x-2y+3z)\) இதுவும் சரி வராது.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி (3) லிருந்து கழிக்கலாம். y நீங்காது.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி, (3) உடன் கழிக்க:
\(2(2x-y+z) = 4x-2y+2z=18\)
\((x-2y+3z) - (4x-2y+2z) = 16-18\)
\(-3x+z = -2 \implies z = 3x-2\) ...(5)

(5) ஐ (4)ல் பிரதியிட:
\(3x + 2(3x-2) = 14\)
\(3x + 6x - 4 = 14\)
\(9x = 18 \implies x = 2\)

x=2 ஐ (5)ல் பிரதியிட: \(z = 3(2) - 2 = 6-2=4\)
x=2, z=4 ஐ (1)ல் பிரதியிட: \(2+y+4 = 5 \implies y+6=5 \implies y = -1\)
தீர்வு: \(x=2, y=-1, z=4\).

35) \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

35) \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

விடை:

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கமூலத்தை நீள்வகுத்தல் முறைப்படி காணலாம்.

நீள்வகுத்தல் முறை:

நீள்வகுத்தல் முறையின் படிகள் கீழே உள்ள படத்தில் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளன.

தீர்வு காணுதல்:

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், அதன் மீதி பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும்.

வகுத்தலின் முடிவில் கிடைக்கும் மீதி:

\((a-16)x + (b-16)\)

மீதியை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்த:

\((a-16)x + (b-16) = 0x + 0\)

இருபுறமும் உள்ள x-ன் கெழுக்களையும், மாறிலி உறுப்புகளையும் ஒப்பிட:

• \(a - 16 = 0 \implies a = 16\)
• \(b - 16 = 0 \implies b = 16\)

எனவே, தேவையான மதிப்புகள் a = 16 மற்றும் b = 16 ஆகும்.

36) \((c^2 - ab) x^2 - 2(a^2 – bc) x + b^2 - ac = 0\) என்ற சமன்பாட்டில் மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில், a = 0 அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) என நிரூபி.

விடை:

மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில், தன்மைகாட்டி (Discriminant) \(\Delta = 0\).
\(\Delta = B^2 - 4AC = 0\), இங்கு
\(A = c^2 - ab\)
\(B = -2(a^2 - bc)\)
\(C = b^2 - ac\)
\([-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0\)
\(4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0\)
\((a^4 - 2a^2bc + b^2c^2) - (b^2c^2 - ac^3 - ab^3 + a^2bc) = 0\)
\(a^4 - 2a^2bc + b^2c^2 - b^2c^2 + ac^3 + ab^3 - a^2bc = 0\)
\(a^4 + ab^3 + ac^3 - 3a^2bc = 0\)
\(a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0\)
இதிலிருந்து, \(a=0\) அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0\)
அதாவது, \(a=0\) அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).
நிரூபிக்கப்பட்டது.

37) அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்கவும்.

விடை:

38) (−9,−2), (−8,-4), (2,2) மற்றும் (1,−3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

விடை:

புள்ளிகளை வரிசைப்படி எடுத்துக்கொள்வோம்: A(−9,−2), B(−8,-4), C(1,−3), D(2,2).
(புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து வரிசைப்படுத்தினால் பிழை வராது. இங்கு கொடுக்கப்பட்ட வரிசையே சரி).
நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix}\)
= \(\frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & 2 & 1 & -9 \\ -2 & -4 & 2 & -3 & -2 \end{vmatrix}\)
= \(\frac{1}{2} |((-9)(-4)+(-8)(2)+(2)(-3)+(1)(-2)) - ((-2)(-8)+(-4)(2)+(2)(1)+(-3)(-9))|\)
= \(\frac{1}{2} |(36 - 16 - 6 - 2) - (16 - 8 + 2 + 27)|\)
= \(\frac{1}{2} |(12) - (37)|\)
= \(\frac{1}{2} |-25| = \frac{25}{2} = 12.5\) சதுர அலகுகள்.
(குறிப்பு: புள்ளிகள் A(-9,-2), B(-8,-4), D(1,-3), C(2,2) என்ற வரிசையில் இருக்கலாம். அப்போது பரப்பு மாறும். கொடுக்கப்பட்ட வரிசையில் கணக்கிட்டுள்ளோம்.)
சரியான வரிசை: A(-9,-2), B(-8,-4), C(1,-3), D(2,2) என எடுத்துக்கொண்டால்: \(\frac{1}{2} |((-9)(-4)+(-8)(-3)+(1)(2)+(2)(-2)) - ((-2)(-8)+(-4)(1)+(-3)(2)+(2)(-9))| \) \(= \frac{1}{2} |(36+24+2-4) - (16-4-6-18)| \) \(= \frac{1}{2} |58 - (-12)| = \frac{1}{2} |70| = 35 \) சதுர அலகுகள்.

39) \(\triangle ABC\) யின் முனைகள் A (−3,0), B (10,–2), C (12,3) எனில் A மற்றும் B-யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.

விடை:

A-லிருந்து BC-க்கு குத்துக்கோடு (AD):
BC-ன் சாய்வு \(m_{BC} = \frac{3 - (-2)}{12 - 10} = \frac{5}{2}\).
AD \(\perp\) BC என்பதால், AD-ன் சாய்வு \(m_{AD} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{2}{5}\).
AD-ன் சமன்பாடு (புள்ளி A(-3,0) மற்றும் சாய்வு -2/5):
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 0 = -\frac{2}{5}(x - (-3))\)
\(5y = -2(x+3) \implies 5y = -2x - 6 \implies 2x + 5y + 6 = 0\).

B-லிருந்து AC-க்கு குத்துக்கோடு (BE):
AC-ன் சாய்வு \(m_{AC} = \frac{3 - 0}{12 - (-3)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\).
BE \(\perp\) AC என்பதால், BE-ன் சாய்வு \(m_{BE} = -\frac{1}{m_{AC}} = -5\).
BE-ன் சமன்பாடு (புள்ளி B(10,-2) மற்றும் சாய்வு -5):
\(y - (-2) = -5(x - 10)\)
\(y + 2 = -5x + 50\)
\(5x + y - 48 = 0\).

40) \(\frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\cos^3 A + \sin^3 A}{\cos A + \sin A} = 2 \sin A \cos A\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

விடை:

LHS = \(\frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\cos^3 A + \sin^3 A}{\cos A + \sin A}\)
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) மற்றும் \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த,
முதல் பகுதி: \(\frac{(\cos A - \sin A)(\cos^2 A + \cos A \sin A + \sin^2 A)}{\cos A - \sin A}\)
= \((\cos^2 A + \sin^2 A) + \cos A \sin A = 1 + \cos A \sin A\).

இரண்டாம் பகுதி: \(\frac{(\cos A + \sin A)(\cos^2 A - \cos A \sin A + \sin^2 A)}{\cos A + \sin A}\)
= \((\cos^2 A + \sin^2 A) - \cos A \sin A = 1 - \cos A \sin A\).

LHS = \((1 + \cos A \sin A) - (1 - \cos A \sin A)\)
= \(1 + \cos A \sin A - 1 + \cos A \sin A\)
= \(2 \sin A \cos A\) = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

41) \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin\theta} = \frac{1}{a}\) எனில் \(\frac{a^2-1}{a^2+1} = \sin \theta\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

விடை:

கொடுக்கப்பட்டது: \(a = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\)
நாம் நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\sin\theta = \frac{a^2-1}{a^2+1}\)
RHS = \(\frac{a^2-1}{a^2+1} = \frac{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2 - 1}{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2 + 1}\)
= \(\frac{\frac{(1+\sin\theta)^2 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}{\frac{(1+\sin\theta)^2 + \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}\)
= \(\frac{(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) - \cos^2\theta}{(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) + \cos^2\theta}\)
\(\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta\) என பிரதியிட,
தொகுதி = \(1+2\sin\theta+\sin^2\theta - (1-\sin^2\theta) = 2\sin\theta + 2\sin^2\theta = 2\sin\theta(1+\sin\theta)\)
பகுதி = \(1+2\sin\theta+\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1+2\sin\theta+1 = 2+2\sin\theta = 2(1+\sin\theta)\)
RHS = \(\frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{2(1+\sin\theta)} = \sin\theta\) = LHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.

42) (கட்டாய வினா) \(4x + 7y – 3 = 0\) மற்றும் \(2x - 3y + 1 = 0\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமமானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை:

படி 1: சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்
\(4x + 7y = 3\) ...(1)
\(2x - 3y = -1\) ...(2)
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்க: \(4x - 6y = -2\) ...(3)
(1) - (3) \(\implies (4x+7y) - (4x-6y) = 3 - (-2)\)
\(13y = 5 \implies y = \frac{5}{13}\).
y-ன் மதிப்பை (2)ல் பிரதியிட:
\(2x - 3(\frac{5}{13}) = -1 \implies 2x - \frac{15}{13} = -1 \implies 2x = \frac{15}{13} - 1 = \frac{2}{13} \implies x = \frac{1}{13}\).
சந்திக்கும் புள்ளி \((\frac{1}{13}, \frac{5}{13})\).

படி 2: நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணுதல்
ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமம். அதாவது a = b.
வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \implies x+y=a\).
இந்தக் கோடு \((\frac{1}{13}, \frac{5}{13})\) வழி செல்கிறது.
\(\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a \implies a = \frac{6}{13}\).
தேவையான சமன்பாடு: \(x+y = \frac{6}{13} \implies 13x + 13y = 6 \implies 13x+13y-6=0\).

பகுதி-IV (2×8=16)

குறிப்பு : அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.

43) a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{2}{3}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{2}{3} < 1\))

விடை:

வரைமுறைப் படிகள்:
1. ஏதேனும் ஓர் முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்தில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
3. QX கதிரில், அளவு காரணியில் பெரிய எண் 3 என்பதால், \(Q_1, Q_2, Q_3\) என மூன்று சம அளவுள்ள பாகங்களைக் குறிக்கவும் (\(QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3\)).
4. \(Q_3\) மற்றும் R ஐ இணைக்கவும் (\(Q_3R\) வரைக).
5. அளவு காரணியில் சிறிய எண் 2 என்பதால், \(Q_2\) விலிருந்து \(Q_3R\) க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (\(Q_2R' || Q_3R\)).
6. R' லிருந்து PR க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது PQ ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (\(P'R' || PR\)).
7. இப்போது \(\triangle P'QR'\) என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் \(\triangle PQR\)-ன் பக்கங்களின் \(\frac{2}{3}\) பங்காக இருக்கும்.

---

(அல்லது)

b) AB = 5.5 செ.மீ, \(\angle C = 25^\circ\) மற்றும் உச்சி C-யிலிருந்து ABக்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ உடைய \(\triangle ABC\) வரைக.

விடை:

வரைமுறைப் படிகள்:
1. AB = 5.5 செ.மீ நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. புள்ளி A-ல், கீழ்நோக்கி \(\angle BAE = 25^\circ\) இருக்குமாறு AE என்ற கோட்டை வரைக.
3. புள்ளி A-ல், AE-க்கு செங்குத்தாக AF என்ற கோட்டை வரைக.
4. AB-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது AB-ஐ G என்ற புள்ளியிலும், AF-ஐ O என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கட்டும்.
5. O-ஐ மையமாகவும் OA-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் A மற்றும் B வழியாகச் செல்லும்.
6. AB-க்கு வரையப்பட்ட மையக்குத்துக்கோட்டில் G-லிருந்து 4 செ.மீ உயரத்தில் M என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
7. M வழியாக AB-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது வட்டத்தை C மற்றும் C' ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
8. AC மற்றும் BC-ஐ இணைக்கவும். (அல்லது AC' மற்றும் BC'-ஐ இணைக்கவும்).
9. \(\triangle ABC\) என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44) a) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்குப் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது.

பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x)	2	4	6	8	10
ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ₹ (y)	180	90	60	45	36

மேற்கண்ட தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத் தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.

விடை:

1. மாறுபாட்டைக் கண்டறிதல்:
x அதிகரிக்கும்போது y குறைகிறது. இது எதிர் மாறுபாடாக இருக்கலாம்.
\(xy = 2 \times 180 = 360\)
\(xy = 4 \times 90 = 360\)
\(xy = 6 \times 60 = 360\)
அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் \(xy=360\) (மாறிலி). எனவே, இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.
சமன்பாடு: \(xy = 360\).

2. வரைபடம் வரைதல்:
அளவுத்திட்டம்:
X-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 பங்கேற்பாளர்கள்
Y-அச்சு: 1 செ.மீ = ₹ 20
(2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். இது ஒரு அதிபரவளையமாக (Hyperbola) இருக்கும்.

3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்:
12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் பரிசுத் தொகை காண:
X-அச்சில் x=12 என்ற புள்ளிக்கு நேராக வளைகோட்டை நோக்கி ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக.
அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y-அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக.
அது Y-அச்சை சந்திக்கும் புள்ளி y-ன் மதிப்பாகும். வரைபடத்தில் இருந்து, y = 30 என கிடைக்கும்.

கணக்கீடு மூலம் சரிபார்த்தல்:
\(xy = 360 \implies (12)y = 360 \implies y = \frac{360}{12} = 30\).
விடை: 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால், ஒவ்வொருவருக்கும் ₹30 கிடைக்கும்.

---

(அல்லது)

b) xy = 24, x, y > 0 என்ற வரைபடத்தை வரைக. வரைபடத்தை பயன்படுத்தி (i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க (ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண்க.

விடை:

1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
\(y = \frac{24}{x}\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு சில மதிப்புகளைக் காண்போம்.

x	1	2	3	4	6	8	12
y	24	12	8	6	4	3	2

2. வரைபடம் வரைதல்:
அளவுத்திட்டம்:
X-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்
Y-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்
அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2) வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்கவும். இது ஒரு அதிபரவளையம் ஆகும்.

3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்:
(i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க:
X-அச்சில் x=3 என்ற புள்ளியிலிருந்து வளைகோட்டை நோக்கி செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y-அச்சுக்கு ஒரு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது Y-அச்சை y=8 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
விடை: y = 8.

(ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண்க:
Y-அச்சில் y=6 என்ற புள்ளியிலிருந்து வளைகோட்டை நோக்கி கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து X-அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது X-அச்சை x=4 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
விடை: x = 4.