10th Maths Public Exam Answer Key April 2024 (Tamil Medium)

10th Maths Public Exam April 2024
Official Answer Key (Tamil Medium)

அரசுத் தேர்வுகள் இயக்ககம் - சென்னை-6
மதிப்பீடு முறை - முக்கிய குறிப்புகள்:

• 1) இம்மதிப்பிடும் முறையில் குறிப்பிட்டுள்ளதைத் தவிர மாற்று முறைகளில் சரியான தீர்வு கண்டிருந்தாலும் உரிய பங்கீட்டு முறையில் முழு மதிப்பெண்கள் வழங்கப்பட வேண்டும்.
• 2) பகுதி-I ல் சரியான விடைக்குறியீடு மற்றும் அதற்குரிய சரியான விடை இரண்டும் எழுதியிருப்பின் மட்டுமே மதிப்பெண் வழங்க வேண்டும். குறியீடு மற்றும் விடை ஆகியவற்றில் ஏதேனும் ஒன்று தவறாக இருப்பின் அதற்கு 0 மதிப்பெண் மட்டுமே வழங்க வேண்டும்.
• 3) பகுதி-II, பகுதி-III, பகுதி-IV ல் உள்ள வினாக்களுக்கான இறுதி விடைகள் சரியாக இருப்பின் நேரடியாக முழு மதிப்பெண்கள் வழங்கப்பட வேண்டும்.
• 4) படிநிலைகளில் தவறு இருப்பின் அப்படிநிலைக்கு பொருத்தமான சூத்திரத்திற்கு மட்டும் மதிப்பெண் வழங்கலாம். இறுதித் தீர்வு சரியாக இருந்து, சூத்திரம் இல்லையெனில் அதற்கு மதிப்பெண்கள் குறைக்கப்படக் கூடாது.

பகுதி-I (Part-I)

மதிப்பெண்கள்: 14 x 1 = 14

வினா எண்	விடைக்குறியீடு & விடை	மதிப்பெண்
1.	(இ) 3	1
2.	(அ) 7	1
3.	(ஈ) 2520	1
4.	(இ) 31 m	1
5.	(ஆ) \(16x^{2}\)	1
6.	(அ) நேர்க்கோடு	1
7.	(அ) 1.4 செ.மீ	1
8.	(ஆ) இரண்டு	1
9.	(ஆ) 25 ச. அலகுகள்	1
10.	(அ) \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\)	1
11.	(அ) \(40 \pi\) சதுரஅலகுகள்	1
12.	(ஈ) 3:1:2	1
13.	(இ) 1.05	1
14.	(ஆ) 1	1

பகுதி-II (Part-II)

எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடை அளிக்கவும். வினா எண் 28 க்கு கட்டாயமாக விடை அளிக்கவும். (10 x 2 = 20)

வினா எண்	விடைகள் & குறிப்புகள்	படிநிலை மதிப்பெண்	மொத்த மதிப்பெண்
15.	\(A=\{3,5\}\) \(B=\{2,4\}\)	1 1	2
16.	\(fog(x)=6x+3k-2\) \(gof(x)=6x-4+k\) \(k=-1\)	1 1	2
17.	\(800=2^{5}\times5^{2}\) \(a=2, b=5\) (or) \(a=5, b=2\)	1 1	2
18.	\(\frac{3x^{3}z}{5y^{3}}\)	2	2
19.	மூலங்களின் கூடுதல் = -8 மூலங்களின் பெருக்கல் = -65 (விடைதவறாக இருப்பின் சூத்திரங்களுக்கு 1 மதிப்பெண் வழங்கலாம்)	1 1	2
20.	\(AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}\) (or) \(AC^{2}=18^{2}+24^{2}\) \(AC=\sqrt{18^{2}+24^{2}}\) AC = 30	1 1	2
21.	\(2a+b=3\) \(a=2, b=-1\)	1 1	2
22.	\(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) (or) \(y-2=\frac{-5}{4}(x+1)\) \(5x+4y-3=0\)	1 1	2
23.	\(\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}}=\sqrt{\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta}\times\frac{1+cos\theta}{1+cos\theta}}\) \(=\frac{1+cos\theta}{sin\theta}\) (or) \(cosec\theta+cot\theta\)	1 1	2
24.	வளைபரப்பு \(= \pi r^{2} = 1386\) ச.மீ மொத்தப்பரப்பு \(= 3\pi r^2 = 3(1386) = 4158\) ச.மீ	1 1	2
25.	அடிப்பரப்பு = \(\pi r^2 = 250\) மீ² கனஅளவு = \(\frac{1}{3} \times \text{அடிப்பரப்பு} \times h = 500\) மீ³	1 1	2
26.	வீச்சு \(R = L-S = 49\) வீச்சுக்கெழு = \(\frac{L-S}{L+S} = 0.576\)	1 1	2
27.	கூறுவெளி S = {ஞா-தி, தி-செ, செ-பு, பு-வி, வி-வெ, வெ-ச, ச-ஞா} \(n(S)=7\) \(P(A)=\frac{2}{7}\)	1 1	2
28.	\(a=bq+r, 0\le r<|b|\) மீ.பொ.வ (HCF) = 1 (மாற்று முறைகளில் சரியாக முழு மதிப்பெண் வழங்கலாம்)	1 1	2

பகுதி-III (Part-III)

எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடைதருக (வினா எண் 42-க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்). (10 x 5 = 50)

வினா எண்	விடைகள் & குறிப்புகள்	படிநிலை மதிப்பெண்	மொத்த மதிப்பெண்
29.	\(A=\{2,3\}, B=\{0,1\}, C=\{1,2\}\) \(B\cup C=\{0,1,2\}\) \(A\times(B\cup C)=\{(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)\}\) \(A\times B=\{(2,0),(2,1),(3,0),(3,1)\}\) \(A\times C=\{(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}\) \((A\times B)\cup(A\times C)=\{(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)\}\)	1 1 1 1 1	5
30.	\(f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7\) i) அம்புக் குறி படம் ii) அட்டவணை: (0,1), (1,3), (2,5), (3,7) iii) வரிசைச்சோடிகளின் கணம்: \(f=\{(0,1),(1,3),(2,5),(3,7)\}\) iv) வரைபடம்	1 1 1 1 1	5
31.	\(\sum n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}\) \(9^{3}+10^{3}+\cdot\cdot\cdot+21^{3}\) \(=(1^{3}+2^{3}+\cdot\cdot\cdot+21^{3})-(1^{3}+2^{3}+\cdot\cdot\cdot+8^{3})\) \(=(\frac{21\times22}{2})^{2}-(\frac{8\times9}{2})^{2}\) \(=231^{2}-36^{2}\) \(=52065\)	1 1 1 1 1	5
32.	\(64x^{4}-16x^{3}+17x^{2}-2x+1\) படிநிலைகள்: - \(8x^2\) term - \(16x^2 - x\) term - \(16x^2 - 2x + 1\) term வர்க்க மூலம் = \(|8x^{2}-x+1|\)	1 2 1 1	5
33.	\(A^{2}=(\begin{matrix}8&5\\ -5&3\end{matrix})\) \(5A=(\begin{matrix}15&5\\ -5&10\end{matrix})\) (or) \(-5A=(\begin{matrix}-15&-5\\ 5&-10\end{matrix})\) \(7I_{2}=(\begin{matrix}7&0\\ 0&7\end{matrix})\) \(A^{2}-5A+7I_{2}=(\begin{matrix}8&5\\ -5&3\end{matrix})-(\begin{matrix}15&5\\ -5&10\end{matrix})+(\begin{matrix}7&0\\ 0&7\end{matrix})\) \(=(\begin{matrix}0&0\\ 0&0\end{matrix})=0\)	2 1 1 1	5
34.	கூற்று படம் கொடுக்கப்பட்டவை, நிரூபிக்க, அமைப்பு நிரூபணம் (குறிப்பு : படம் இல்லையெனில் கூற்றுக்கு மட்டும் மதிப்பெண் வழங்கலாம்)	1 1 1 2	5
35.	புள்ளிகளை வரிசையாக எடுக்க. நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2}\{(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}) - (x_{2}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{4}y_{3}+x_{1}y_{4})\}\) \(= \frac{1}{2} |(-9-8+1+2) - (-2-4-3+2)|\) \(= \frac{1}{2} |36+24+2-4-16+4+6+18|\) \(= \frac{1}{2} \times 70 = 35\) சதுரஅலகுகள்	1 1 1 1 1	5
36.	AB ன் மையப்புள்ளி \(D=(1,-1)\) AB ன் சாய்வு \(=\frac{-3}{5}\) செங்குத்து கோட்டின் சாய்வு \(=\frac{5}{3}\) நேர்க் கோட்டின் சமன்பாடு \(y-y_{1}=m(x-x_{1})\) மையக்குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு: \(5x-3y-8=0\)	1 1 1 1 1	5
37.	படம் \(tan~30^{\circ}=\frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{200}{x} \Rightarrow x=200\sqrt{3}\) \(tan~45^{\circ}=\frac{AB}{BD} \Rightarrow 1=\frac{200}{y} \Rightarrow y=200\) \(CD = 200\sqrt{3}+200 = 346.4+200\) \(= 546.4\) மீ	1 1 1 1 1	5
38.	இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \(V=\frac{1}{3}\pi h[R^{2}+Rr+r^{2}]\) \(=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times45[28^{2}+(28\times7)+7^{2}]\) \(=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times45[784+196+49]\) \(=\frac{1}{3}\times\frac{22}{7}\times1029\times45\) \(= 48510\) ச.மீ	1 1 1 1 1	5
39.	உருளையின் கன அளவு \(=\pi R^{2}H = \pi\times6\times6\times15 = 540\pi\) பனிக் கூழ் கூம்பின் கன அளவு \(=\frac{1}{3}\pi r^{2}h+\frac{2}{3}\pi r^{3} = 45\pi\) பனிக்கூழ் கூம்புகளின் எண்ணிக்கை = உருளையின் கனஅளவு / ஒரு பனிக்கூழ் கூம்பின் கனஅளவு \(=\frac{540\pi}{45\pi}\) எண்ணிக்கை = 12	1 1 1 1 1	5
40.	சராசரி \(\overline{x}=30\) அட்டவணை திட்டவிலக்கம் \((\sigma)=4.32\) மாறுபாட்டுக்கெழு \(C.V = \frac{\sigma}{\overline{x}} \times 100\) மாறுபாட்டுக்கெழு = 14.4%	1 1 1 1 1	5
41.	\(n(S)=36\) \(P(A)=\frac{18}{36}\) \(P(B)=\frac{5}{36}\) \(P(A\cap B)=\frac{3}{36}\) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) = \frac{20}{36}\) (or) \(\frac{5}{9}\)	1 1 1 1 1	5
42.	\(S_{n}=7+77+777+\cdot\cdot\cdot n\) \(= 7(1+11+111+... n)\) \(=\frac{7}{9}(9+99+999+\cdot\cdot\cdot n)\) \(=\frac{7}{9}[(10-1)+(100-1)+\cdot\cdot\cdot n]\) \(=\frac{7}{9}[(10+100+1000+... n) -n]\) \(S_{n}=\frac{a(r^{n}-1)}{r-1} \Rightarrow \frac{7}{9}(\frac{10(10^{n}-1)}{10-1}-n)\) \(=\frac{70(10^{n}-1)}{81}-\frac{7n}{9}\)	1 1 1 2	5

பகுதி-IV (Part-IV)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)

வினா எண்	விடைகள் & குறிப்புகள்	படிநிலை மதிப்பெண்	மொத்த மதிப்பெண்
43.	(அ) வடிவவியல் உதவிப்படம் கோட்டுத்துண்டு வரைதல் வட்டம் வரைதல் நடுக்கோடு வரைதல் முக்கோணம் PQR வரைதல் (அல்லது) (ஆ) தொடுகோடு வரைதல் உதவிப்படம் வரைதல் முதல் வட்டம் வரைதல் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ கோட்டுத்துண்டு வரைதல் இரண்டாம் வட்டம் வரைதல் தொடுகோடுகள் வரைதல் தொடுகோட்டின் நீளம் = 7.3 செ.மீ (அ) 7.4 செ.மீ (அ) 7.5 செ.மீ	1 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1	8
44.	(அ) வரைபடம் \(y=2x^{2}-3x-5\) (ஏதேனும் 5 புள்ளிகள்) அச்சு, yஅச்சு அளவுத்திட்டம் புள்ளிகள் குறித்து பரவளையம் வரைதல் \(y=x+1\) (குறைந்தபட்சம் 2 புள்ளிகள்) நேர்க்கோடு வரைதல் தீர்வு கணம் \(x=\{-1, 3\}\) (அல்லது) (ஆ) வரைபடம் \(xy=24\) (ஏதேனும் 5 புள்ளிகள்) X அச்சு, y அச்சு அளவுத்திட்டம் புள்ளிகளை குறித்து செவ்வக அதிபரவளையம் வரைதல் i) \(x=3 \Rightarrow y=8\) ii) \(y=6 \Rightarrow x=4\)	2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1	8

Title: 10th Maths Public Exam Answer Key April 2024 (Tamil Medium) Labels: 10th Maths, Answer Key, Public Exam 2024, Tamil Medium, TN State Board, Samacheer Kalvi Permanent Link: 10th-maths-public-exam-april-2024-answer-key-tamil-medium Search Description: Download Official 10th Maths Public Exam Answer Key April 2024 for Tamil Medium. TN State Board 10th Mathematics original question paper solutions and marking scheme.

10th Maths - Half Yearly Exam 2025 - Important Questions

Review the questions carefully before checking the answers.

2025

• 10th Maths - Half Yearly Exam 2025 - Important Questions Download PDF

Question Paper Preview

10th Maths - 2nd Mid Term Exam 2024 - Original Question Paper | Tirunelveli District | Tamil Medium

10ஆம் வகுப்பு கணிதம் - இரண்டாம் இடைப் பருவத் தேர்வு 2024 வினாத்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்

TVL10M - திருநெல்வேலி மாவட்டம்
இரண்டாம் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024
வகுப்பு 10 - கணிதம்
காலம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50

பகுதி - I

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி: (7×1=7)

1) நிரல்கள் மற்றும் நிரைகள் சம எண்ணிக்கையில் இல்லாத அணி

• a) மூலைவிட்ட அணி
• b) செவ்வக அணி
• c) சதுர அணி
• d) அலகு அணி

விடை: b) செவ்வக அணி
விளக்கம்: ஒரு அணியில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.

2) A என்ற அணியின் வரிசை 2×3, B என்ற அணியின் வரிசை 3×4 எனில், AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை

• a) 3
• b) 4
• c) 2
• d) 5

விடை: b) 4
விளக்கம்: A-யின் வரிசை m×n, B-யின் வரிசை n×p எனில், AB-யின் வரிசை m×p ஆகும். இங்கு A-யின் வரிசை 2×3, B-யின் வரிசை 3×4. எனவே, AB-யின் வரிசை 2×4 ஆகும். AB-யின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4.

3) வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம்

• a) மையம்
• b) தொடுபுள்ளி
• c) முடிவிலி
• d) நாண்

விடை: b) தொடுபுள்ளி
விளக்கம்: வட்டத்தின் எந்தவொரு புள்ளியிடத்தும் வரையப்படும் தொடுகோடு, அப்புள்ளி வழியே செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும். அந்தப் புள்ளி தொடுபுள்ளி எனப்படும்.

4) கணிதத்தின் முதல் தேற்றம்

• a) பிதாகரஸ்
• b) சிவாஸ்
• c) தேல்ஸ்
• d) மெனிலாஸ்

விடை: c) தேல்ஸ்
விளக்கம்: தேல்ஸ் தேற்றம் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) வடிவவியலில் ஒரு முக்கியமான மற்றும் பழமையான தேற்றமாகக் கருதப்படுகிறது.

5) ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \(\sqrt{3}:1\) எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றகோண அளவானது

• a) 45°
• b) 30°
• c) 90°
• d) 60°

விடை: d) 60°
விளக்கம்: \(\tan \theta = \frac{\text{உயரம்}}{\text{நிழலின் நீளம்}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). எனவே, \(\theta = 60°\).

6) ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்ட கூம்பின் ஆரம்

• a) 12 செ.மீ
• b) 10 செ.மீ
• c) 13 செ.மீ
• d) 5 செ.மீ

விடை: d) 5 செ.மீ
விளக்கம்: கேள்வியிலேயே கூம்பின் ஆரம் 5 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (குறிப்பு: இந்த வினாவில் 'உயரம்' என்பதற்குப் பதிலாக 'ஆரம்' எனக் கேட்கப்பட்டுள்ளது ஒரு அச்சுப்பிழையாக இருக்கலாம். உயரம் கேட்டால், \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) செ.மீ. அப்போது விடை (a) ஆக இருக்கும்.)

7) ஒரு கூம்பின் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு ஆகியவற்றின் வித்தியாசம்

• a) \(\pi r^2 h\)
• b) \(\pi r l\)
• c) \(\pi r^2\)
• d) \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)

விடை: c) \(\pi r^2\)
விளக்கம்: மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) = \(\pi r (l+r) = \pi r l + \pi r^2\). வளைபரப்பு (CSA) = \(\pi r l\). வித்தியாசம் = TSA - CSA = \((\pi r l + \pi r^2) - \pi r l = \pi r^2\).

பகுதி - II

எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (5×2=10)
கேள்வி எண் 14 கட்டாய வினா.

8) \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) எனில் \((A^T)^T = A\) என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட அணி, \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \).
A-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( A^T = \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{17} & 8 \\ 2 & 0.7 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \).
\(A^T\)-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} = A \).
எனவே, \((A^T)^T = A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

9) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) எனில் \(A+B = B+A\) என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:
\( A+B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (1)

\( B+A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(A+B = B+A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

10) 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவில் உள்ள புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் காண்க.

தீர்வு:
வட்டத்தின் ஆரம் (r) = 3 செ.மீ.
மையத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம் (d) = 5 செ.மீ.
தொடுகோடு, ஆரம் மற்றும் மையத்தை புள்ளியுடன் இணைக்கும் கோடு ஆகியவை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
தொடுகோட்டின் நீளம் \( = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) செ.மீ.
எனவே, தொடுகோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ.

11) ஒரு கோபுரம் தரைக்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. கோபுரத்தின் அடிப்பகுதியிலிருந்து தரையில் 48மீ. தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு:
கோபுரத்தின் உயரம் h மீ என்க.
தொலைவு = 48 மீ, ஏற்றக்கோணம் \(\theta = 30°\).
\( \tan \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \(16\sqrt{3}\) மீ ஆகும்.

12) 88 ச.செ.மீ வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 14 செ.மீ எனில் உருளையின் விட்டம் காண்க.

தீர்வு:
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 88 ச.செ.மீ.
உயரம் (h) = 14 செ.மீ.
CSA சூத்திரம்: \( 2\pi rh = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 88 \)
\( 2 \times 22 \times r \times 2 = 88 \)
\( 88r = 88 \)
\( r = 1 \) செ.மீ.
விட்டம் (d) = 2r = 2 \(\times\) 1 = 2 செ.மீ.
உருளையின் விட்டம் 2 செ.மீ.

13) ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு 1386 ச.மீ எனில், அதன் மொத்தப்புறப்பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:
அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு (வட்டத்தின் பரப்பு) = \(\pi r^2 = 1386\) ச.மீ.
அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்புறப்பரப்பு (TSA) = \(3\pi r^2\).
TSA = \(3 \times (\pi r^2) = 3 \times 1386 = 4158\) ச.மீ.
எனவே, மொத்தப்புறப்பரப்பு 4158 ச.மீ.

14) இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில், அவற்றின் கனஅளவுகளின் விகிதம் காண்க. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:
இரு கோளங்களின் ஆரங்கள் \(r_1\) மற்றும் \(r_2\) என்க.
ஆரங்களின் விகிதம், \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{7}\).
கோளத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
கனஅளவுகளின் விகிதம், \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343}\).
எனவே, கனஅளவுகளின் விகிதம் 64:343.

பகுதி - III

எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (5×5=25)
கேள்வி எண் 21 கட்டாய வினா.

15) \( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( C = \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \) எனில், A+(B+C) = (A+B)+C என்பதனைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:
இடது கை பக்கம் (LHS): A+(B+C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} \)

\( A+(B+C) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (1)

வலது கை பக்கம் (RHS): (A+B)+C
\( A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} \)

\( (A+B)+C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A+(B+C) = (A+B)+C என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) எனில் CD-AB = 0 எனுமாறு அணி Dஐக் காண்க.

தீர்வு:
CD - AB = 0 எனில், CD = AB.
முதலில் AB ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\( AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(6)+(0)(8) & (3)(3)+(0)(5) \\ (4)(6)+(5)(8) & (4)(3)+(5)(5) \end{pmatrix} \)
\( AB = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 24+40 & 12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)

D என்பது 2x2 வரிசையுடைய அணி. \( D = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) என்க.
\( CD = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} \)

CD = AB என்பதால்,
\( \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
ஒத்த உறுப்புகளை சமன்படுத்த,
3a + 6c = 18 => a + 2c = 6 --- (1)
a + c = 64 --- (2)
(2) - (1) => (a+c) - (a+2c) = 64-6 => -c = 58 => c = -58
c = -58 ஐ (2) இல் பிரதியிட, a - 58 = 64 => a = 122.

3b + 6d = 9 => b + 2d = 3 --- (3)
b + d = 37 --- (4)
(4) - (3) => (b+d) - (b+2d) = 37-3 => -d = 34 => d = -34
d = -34 ஐ (4) இல் பிரதியிட, b - 34 = 37 => b = 71.

எனவே, \( D = \begin{pmatrix} 122 & 71 \\ -58 & -34 \end{pmatrix} \).

18) தரையின் மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து 30மீ உயரமுள்ள கட்டிடத்தின் மேலுள்ள ஒரு கோபுரத்தின் அடி மற்றும் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 45° மற்றும் 60° எனில் கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\(\sqrt{3}=1.732\))

தீர்வு:
கட்டிடத்தின் உயரம் (BC) = 30 மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் (CD) = h மீ என்க.
புள்ளி A யிலிருந்து கட்டிடத்தின் அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரம் AB = x மீ.
செங்கோண முக்கோணம் ABC இல்,
\(\tan 45° = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{x}\)
\(1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) மீ.

செங்கோண முக்கோணம் ABD இல்,
\(\tan 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BC+CD}{AB} = \frac{30+h}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30+h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30+h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)\)
\(h = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96\) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் 21.96 மீ ஆகும்.

19) ஒரு உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ எனில், உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை:
உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரத்தின் விகிதம் = 5:7.
ஆரம் \(r = 5x\) என்க.
உயரம் \(h = 7x\) என்க.
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 5500 ச.செ.மீ.

உருளையின் வளைபரப்புக்கான சூத்திரம் \(2\pi rh\).
\( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x \times x = 5500 \) (7-ஐ நீக்கிய பிறகு)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} \)
\( x^2 = \frac{550}{22} \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = \sqrt{25} = 5 \)

இப்போது, ஆரம் மற்றும் உயரத்தைக் கணக்கிடுவோம்:
ஆரம் \(r = 5x = 5 \times 5 = 25\) செ.மீ.
உயரம் \(h = 7x = 7 \times 5 = 35\) செ.மீ.

விடை:
உருளையின் ஆரம் 25 செ.மீ మరియు உயரம் 35 செ.மீ ஆகும்.

20) பிதாகரஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தீர்வு:
கூற்று: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
நிறுவல்:
\(\triangle ABC\)-யில் \(\angle A = 90^\circ\).
நாம் நிறுவ வேண்டியது: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
வரைதல்: \(AD \perp BC\) வரைக.
நிறுபணம்:
\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DBA\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle B\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle BDA = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\).
\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB\) --- (1)

\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DAC\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle C\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DAC\).
\(\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC\) --- (2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-ஐக் கூட்ட,
\(AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC)\)
\( = BC(DB+DC)\)
\( = BC(BC) = BC^2\)
எனவே, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

21) 45 செ.மீ உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ எனில் இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவைக் காண்க. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:
இடைக்கண்டத்தின் உயரம் (h) = 45 செ.மீ.
பெரிய ஆரம் (R) = 28 செ.மீ.
சிறிய ஆரம் (r) = 7 செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{330}{7} \times (1029) \)
\( V = 330 \times 147 \)
\( V = 48510 \) க.செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு 48510 க.செ.மீ. ஆகும்.

பகுதி - IV

ஏதேனும் ஒரு வினாவிற்கு மட்டும் விடையளிக்கவும்: (1×8=8)

22) a) 6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து PA மற்றும் PB என்ற இரு தொடுகோடுகள் வரைந்து அவற்றின் நீளங்களை அளவிடுக.

தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை: விட்டம் = 6 செ.மீ, எனவே ஆரம் (r) = 3 செ.மீ. மையத்திலிருந்து புள்ளி P-யின் தொலைவு (OP) = 8 செ.மீ.
வரைமுறை:
1. O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
2. O-விலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். OP-ஐ இணைக்கவும்.
3. OP-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
4. M-ஐ மையமாகவும் MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
5. PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்கவும். இவையே தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும்.
அளவிடுதல்: அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி அளந்தால், PA = PB = 7.4 செ.மீ (தோராயமாக).
சரிபார்த்தல்:
செங்கோண முக்கோணம் OAP-ல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \)
\( PA = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} \)
\( \sqrt{55} \approx 7.416 \) செ.மீ.
எனவே, வரைமுறை சரிபார்க்கப்பட்டது.

(அல்லது)

b) இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வுகளின் தன்மையை வரைபடம் மூலம் காண்க: \(x^2 - 9x + 20 = 0\).

தீர்வு:
\(y = x^2 - 9x + 20\) என்க.
முதலில் x-க்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுத்து y-யின் மதிப்புகளைக் காண அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.

x	-1	0	1	2	3	4	4.5	5	6
x²	1	0	1	4	9	16	20.25	25	36
-9x	9	0	-9	-18	-27	-36	-40.5	-45	-54
+20	20	20	20	20	20	20	20	20	20
y	30	20	12	6	2	0	-0.25	0	2

வரைபடம்:
மேற்கண்ட புள்ளிகளை (-1,30), (0,20), (1,12), (2,6), (3,2), (4,0), (4.5, -0.25), (5,0), (6,2) வரைபடத்தாளில் குறித்து, அவற்றை ஒரு மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். நமக்கு ஒரு பரவளையம் (parabola) கிடைக்கும்.
தீர்வின் தன்மை:
வரைபடம் x-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை. (மூலங்கள் 4 மற்றும் 5).

10th Maths 2nd Mid Term Exam 2024 Question Paper with Answer Key - Virudhunagar District

வகுப்பு 10 - இரண்டாம் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024 (விடைக்குறிப்பு)

பகுதி I - சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக (7 x 1 = 7)

1) நிரல்கள் மற்றும் நிரைகள் சம எண்ணிக்கையில் இல்லாத அணி

விடை: b) செவ்வக அணி

விளக்கம்: ஒரு அணியில் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.

2) A என்ற அணியின் வரிசை 2x8 எனில், A என்ற அணியில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

விடை: a) 16

விளக்கம்: உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = நிரைகளின் எண்ணிக்கை × நிரல்களின் எண்ணிக்கை = 2 × 8 = 16.

3) வட்டத்தின் வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு எத்தனை தொடுகோடுகள் வரையலாம்?

விடை: b) இரண்டு

விளக்கம்: வட்டத்தின் வெளிப்புறத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் வரையலாம்.

4) ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \( \sqrt{3}:1 \), எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோண அளவானது.

விடை: d) 60°

விளக்கம்:

$$ \tan \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} = \frac{\text{கோபுரத்தின் உயரம்}}{\text{நிழலின் நீளம்}} $$ $$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $$ $$ \theta = 60^\circ $$

5) ஒரு கூம்பின் அடிப்புற ஆரம் மும்மடங்காகவும் உயரம் இரு மடங்காகவும் மாறினால் கனஅளவு எத்தனை மடங்காக மாறும்?

விடை: b) 18 மடங்கு

விளக்கம்:

கூம்பின் கனஅளவு \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
புதிய ஆரம் \( r' = 3r \), புதிய உயரம் \( h' = 2h \).
புதிய கனஅளவு \( V' = \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi (3r)^2 (2h) \)
$$ V' = \frac{1}{3}\pi (9r^2)(2h) = 18 \left( \frac{1}{3}\pi r^2 h \right) = 18V $$

6) ஓர் உருளையின் ஆரம் அதன் உயரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பு

விடை: c) \( \frac{8\pi h^2}{9} \) ச.அ

விளக்கம்:

ஆரம் \( r = \frac{h}{3} \).
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \( 2\pi r(h+r) \)
$$ = 2\pi \left( \frac{h}{3} \right) \left( h + \frac{h}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{h}{3} \right) \left( \frac{3h+h}{3} \right) $$ $$ = 2\pi \left( \frac{h}{3} \right) \left( \frac{4h}{3} \right) = \frac{8\pi h^2}{9} \text{ ச.அ} $$

7) பின்வருவனவற்றுள் எவை செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமையாது?

விடை: d) 4, 7, 8

விளக்கம்: பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65 \).
\( 8^2 = 64 \).
இங்கு \( 65 \neq 64 \), எனவே இது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் அல்ல.

பகுதி II - எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி (5 x 2 = 10)

(வினா எண் 14க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்)

8) \( a_{ij} = i^2j^2 \) என்ற அமைப்பைக் கொண்ட 3x3 வரிசையுடைய அணியைக் காண்க.

தீர்வு:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$ $$ a_{11} = 1^2 \cdot 1^2 = 1 \quad a_{12} = 1^2 \cdot 2^2 = 4 \quad a_{13} = 1^2 \cdot 3^2 = 9 $$ $$ a_{21} = 2^2 \cdot 1^2 = 4 \quad a_{22} = 2^2 \cdot 2^2 = 16 \quad a_{23} = 2^2 \cdot 3^2 = 36 $$ $$ a_{31} = 3^2 \cdot 1^2 = 9 \quad a_{32} = 3^2 \cdot 2^2 = 36 \quad a_{33} = 3^2 \cdot 3^2 = 81 $$ $$ \therefore A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 16 & 36 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} $$

9) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 9 \\ 8 & 3 & 7 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 7 & 3 & 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \) எனில், 3A-9B யைக் காண்க.

தீர்வு:

$$ 3A = 3 \begin{pmatrix} 0 & 4 & 9 \\ 8 & 3 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 27 \\ 24 & 9 & 21 \end{pmatrix} $$ $$ 9B = 9 \begin{pmatrix} 7 & 3 & 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 63 & 27 & 72 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} $$ $$ 3A - 9B = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 27 \\ 24 & 9 & 21 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 63 & 27 & 72 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0-63 & 12-27 & 27-72 \\ 24-9 & 9-36 & 21-81 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -63 & -15 & -45 \\ 15 & -27 & -60 \end{pmatrix} $$

10) இரண்டு பொதுமைய வட்டங்களின் ஆரங்கள் 4 செ.மீ, 5 செ.மீ ஆகும். ஒரு வட்டத்தின் நாணானது மற்றொரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக அமைந்தால் அவ்வட்டத்தின் நாணின் நீளம் காண்க.

தீர்வு:

பெரிய வட்டத்தின் ஆரம் R = 5 செ.மீ. சிறிய வட்டத்தின் ஆரம் r = 4 செ.மீ.
நாணின் நீளம் AB என்க. O என்பது மையம். OP என்பது சிறிய வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் நாண் ABக்கு செங்குத்து.
செங்கோண முக்கோணம் OPA இல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( OA^2 = OP^2 + AP^2 \)
\( 5^2 = 4^2 + AP^2 \)
\( 25 = 16 + AP^2 \)
\( AP^2 = 25 - 16 = 9 \)
\( AP = \sqrt{9} = 3 \) செ.மீ.
நாணின் நீளம் AB = 2 × AP = 2 × 3 = 6 செ.மீ.

11) 20மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சியில் ஒரு விளையாட்டு வீரர் அமர்ந்து கொண்டு தரையிலுள்ள ஒரு பந்தை 60° இறக்கக்கோணத்தில் காண்கிறார் எனில், கட்டட அடிப்பகுதிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க. \((\sqrt{3} = 1.732)\)

தீர்வு:

கட்டடத்தின் உயரம் = 20 மீ.
இறக்கக்கோணம் = 60°. எனவே, ஏற்றக்கோணம் = 60°.
கட்டட அடிப்பகுதிக்கும் பந்திற்கும் உள்ள தொலைவு d என்க.
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{உயரம்}}{\text{தொலைவு}} \)
\( \sqrt{3} = \frac{20}{d} \)
\( d = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20 \times \sqrt{3}}{3} = \frac{20 \times 1.732}{3} = \frac{34.64}{3} \approx 11.547 \) மீ.

12) 18 மீ உயரமுள்ள ஏணியானது செங்குத்துச் சுவரின் மீது சாய்த்து வைக்கப்படுகிறது. ஏணி தரையில் ஏற்படுத்தும் கோணம் 60° எனில் சுவரின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

ஏணியின் நீளம் (கர்ணம்) = 18 மீ.
கோணம் \( \theta = 60^\circ \).
சுவரின் உயரம் h என்க.
\( \sin \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{கர்ணம்}} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{h}{18} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{18} \)
\( h = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) மீ.

13) 704 ச.செ.மீ மொத்தப்புறப்பரப்பு கொண்ட ஒரு கூம்பின் ஆரம் 7 செ.மீ எனில், அதன் சாயுயரம் காண்க.

தீர்வு:

கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 704 ச.செ.மீ.
ஆரம் r = 7 செ.மீ.
சாயுயரம் l காண்க.
மொத்தப் புறப்பரப்பு = \( \pi r (l+r) \)
\( 704 = \frac{22}{7} \times 7 \times (l+7) \)
\( 704 = 22 (l+7) \)
\( l+7 = \frac{704}{22} = 32 \)
\( l = 32 - 7 = 25 \) செ.மீ.

14) இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில், அவற்றின் கனஅளவுகளின் விகிதம் காண்க.

தீர்வு:

கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் \( r_1 : r_2 = 4:7 \).
கனஅளவுகளின் விகிதம் \( V_1 : V_2 \) காண்க.
கோளத்தின் கனஅளவு \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).
$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 $$ $$ = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343} $$ எனவே, கனஅளவுகளின் விகிதம் 64:343.

பகுதி III - எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும் (5 x 5 = 25)

(வினா எண் 21க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்)

15) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) எனில் \( (AB)^T = B^T A^T \) என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:

LHS = (AB)^T

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} (1)(2)+(2)(-1)+(1)(0) & (1)(-1)+(2)(4)+(1)(2) \\ (2)(2)+(-1)(-1)+(1)(0) & (2)(-1)+(-1)(4)+(1)(2) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 2-2+0 & -1+8+2 \\ 4+1+0 & -2-4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} $$ $$ (AB)^T = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 9 & -4 \end{pmatrix} \quad ...(1) $$

RHS = B^T A^T

$$ B^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ B^T A^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} (2)(1)+(-1)(2)+(0)(1) & (2)(2)+(-1)(-1)+(0)(1) \\ (-1)(1)+(4)(2)+(2)(1) & (-1)(2)+(4)(-1)+(2)(1) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 2-2+0 & 4+1+0 \\ -1+8+2 & -2-4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 9 & -4 \end{pmatrix} \quad ...(2) $$

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \( (AB)^T = B^T A^T \) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) பிதாகரஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தேற்றம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

நிரூபணம்:

கொடுக்கப்பட்டவை: \( \triangle ABC \) இல், \( \angle A = 90^\circ \).

நிரூபிக்க வேண்டியது: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)

அமைப்பு: \( AD \perp BC \) வரைக.

\( \triangle ABC \) மற்றும் \( \triangle DBA \) இல்,
\( \angle B \) பொதுவானது.
\( \angle BAC = \angle BDA = 90^\circ \).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி, \( \triangle ABC \sim \triangle DBA \).
ஆகவே, பக்கங்களின் விகிதம் சமம். \( \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB \quad ...(1) \)

\( \triangle ABC \) மற்றும் \( \triangle DAC \) இல்,
\( \angle C \) பொதுவானது.
\( \angle BAC = \angle ADC = 90^\circ \).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி, \( \triangle ABC \sim \triangle DAC \).
ஆகவே, பக்கங்களின் விகிதம் சமம். \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC \quad ...(2) \)

(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட,
\( AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC) \)
\( AB^2 + AC^2 = BC (DB + DC) \)
படத்தில் இருந்து, \( DB + DC = BC \).
\( \therefore AB^2 + AC^2 = BC(BC) = BC^2 \).
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

17) இரு கப்பல்கள் கலங்கரை விளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்து கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45° ஆகும். கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க. \((\sqrt{3} = 1.732)\)

தீர்வு:

கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் AB = 200 மீ.
கப்பல்கள் C மற்றும் D என்க.
\( \angle ACB = 45^\circ \) மற்றும் \( \angle ADB = 30^\circ \).
செங்கோண \( \triangle ABC \) இல்,
\( \tan 45^\circ = \frac{AB}{AC} \implies 1 = \frac{200}{AC} \implies AC = 200 \) மீ.
செங்கோண \( \triangle ABD \) இல்,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{AD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{AD} \implies AD = 200\sqrt{3} \) மீ.
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு = CD = AC + AD
= \( 200 + 200\sqrt{3} = 200(1+\sqrt{3}) \)
= \( 200(1+1.732) = 200(2.732) = 546.4 \) மீ.

18) 66 மீ உயரமான அடுக்குமாடிக் குடியிருப்பின் உச்சியிலிருந்து ஒரு விளக்குக் கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 60°, 30° எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம்
ii) விளக்குக் கம்ப உயரத்திற்கும் அடுக்கு மாடியின் உயரத்திற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்
iii) விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்கு மாடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு \((\sqrt{3} = 1.732)\)

தீர்வு:

அடுக்குமாடி உயரம் AB = 66 மீ. விளக்குக் கம்பம் CD என்க.
உச்சியிலிருந்து (B) விளக்குக் கம்பத்தின் உச்சிக்கு (D) ஏற்றக்கோணம் = 60°.
உச்சியிலிருந்து (B) விளக்குக் கம்பத்தின் அடிக்கு (C) இறக்கக்கோணம் = 30°.
BE என்பது கிடைமட்டக்கோடு. \( \angle DBE = 60^\circ, \angle EBC = 30^\circ \).
\( \angle ACB = \angle EBC = 30^\circ \) (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்).
iii) தொலைவு: செங்கோண \( \triangle ABC \) இல்,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{AC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{66}{AC} \)
\( AC = 66\sqrt{3} \) மீ. விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்கு மாடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு \( = 66\sqrt{3} = 66 \times 1.732 = 114.312 \) மீ.
i) விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம்:
\( BE = AC = 66\sqrt{3} \) மீ. செங்கோண \( \triangle BDE \) இல்,
\( \tan 60^\circ = \frac{DE}{BE} \implies \sqrt{3} = \frac{DE}{66\sqrt{3}} \)
\( DE = \sqrt{3} \times 66\sqrt{3} = 66 \times 3 = 198 \) மீ.
விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம் CD = CE + DE = AB + DE = 66 + 198 = 264 மீ.
ii) உயர வித்தியாசம்:
= விளக்குக் கம்ப உயரம் - அடுக்குமாடி உயரம்
= 264 - 66 = 198 மீ. (இது DE இன் உயரத்திற்கு சமம்).

19) 45 செ.மீ உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ எனில், இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவைக் காண்க.

தீர்வு:

இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = 45 செ.மீ.
ஆரங்கள் R = 28 செ.மீ, r = 7 செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \( V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr) \)
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22}{7} \times 15 \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (1029) \)
\( V = 22 \times 15 \times 147 \quad (1029/7 = 147) \)
\( V = 330 \times 147 = 48510 \) க.செ.மீ.

20) ஒரு சிறுமி தனது பிறந்த நாளைக் கொண்டாடக் கூம்பு வடிவத் தொப்பிகளை 5720 ச.செ.மீ பரப்புள்ள காகிதத்தாளை பயன்படுத்தித் தயாரிக்கிறாள். 5 செ.மீ ஆரமும், 12 செ.மீ உயரமும் கொண்ட எத்தனை தொப்பிகள் தயாரிக்க முடியும்?

தீர்வு:

ஒரு தொப்பியின் ஆரம் r = 5 செ.மீ, உயரம் h = 12 செ.மீ.
முதலில் சாயுயரம் \(l\) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
\( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) செ.மீ.
ஒரு தொப்பி செய்யத் தேவையான காகிதத்தின் பரப்பு (வளைபரப்பு) = \( \pi r l \)
= \( \frac{22}{7} \times 5 \times 13 = \frac{1430}{7} \) ச.செ.மீ.
மொத்தமுள்ள காகிதத்தின் பரப்பு = 5720 ச.செ.மீ.
தயாரிக்கக்கூடிய தொப்பிகளின் எண்ணிக்கை = \( \frac{\text{மொத்தப் பரப்பு}}{\text{ஒரு தொப்பியின் பரப்பு}} \)
$$ = \frac{5720}{\frac{1430}{7}} = 5720 \times \frac{7}{1430} $$ $$ = 4 \times 7 = 28 $$ எனவே, 28 தொப்பிகள் தயாரிக்க முடியும்.

21) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \) எனில், \( A^2 - 5A + 10I_2 = 0 \) என நிறுவுக.

தீர்வு:

$$ A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} (3)(3)+(2)(-2) & (3)(2)+(2)(2) \\ (-2)(3)+(2)(-2) & (-2)(2)+(2)(2) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 9-4 & 6+4 \\ -6-4 & -4+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ 5A = 5 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 10 \\ -10 & 10 \end{pmatrix} $$ $$ 10I_2 = 10 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} $$

இப்போது, \( A^2 - 5A + 10I_2 \):

$$ = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & 10 \\ -10 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 5-15+10 & 10-10+0 \\ -10-(-10)+0 & 0-10+10 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 $$

எனவே, \( A^2 - 5A + 10I_2 = 0 \) என்பது நிறுவப்பட்டது.

பகுதி IV - ஏதேனும் ஒரு வினாவிற்கு விடையளிக்கவும் (1 x 8 = 8)

22) 6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்குத் தொடுகோடுகள் வரைந்து, தொடுகோட்டின் நீளங்களைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை: விட்டம் = 6 செ.மீ, எனவே ஆரம் r = 3 செ.மீ.
மையத்திலிருந்து புள்ளி P இன் தொலைவு d = 5 செ.மீ.

வரைமுறை:

1. O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
2. O-விலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். OP-ஐ இணைக்கவும்.
3. OP-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
4. M-ஐ மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு மற்றொரு வட்டம் வரைக.
5. இந்த புதிய வட்டம், முதலில் வரைந்த வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
6. PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்கவும். PA மற்றும் PB ஆகியவை தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும்.

கணக்கீடு:

செங்கோண முக்கோணம் OAP-இல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( OP^2 = OA^2 + AP^2 \)
\( 5^2 = 3^2 + AP^2 \)
\( 25 = 9 + AP^2 \)
\( AP^2 = 16 \)
\( AP = 4 \) செ.மீ.
தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் PA = PB = 4 செ.மீ.

(வரைபடம் மாணவர்களால் வரையப்பட வேண்டும்)

(அல்லது)
\( x^2+x-12 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் தன்மையை வரைபடம் மூலம் ஆராய்க.

தீர்வு:

\( y = x^2+x-12 \) என எடுத்துக்கொள்வோம்.

மதிப்பு அட்டவணை:

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
x²	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16
+x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12
y	8	0	-6	-10	-12	-12	-10	-6	0	8

புள்ளிகள்: (-5, 8), (-4, 0), (-3, -6), (-2, -10), (-1, -12), (0, -12), (1, -10), (2, -6), (3, 0), (4, 8)

வரைமுறை:

1. அளவுத்திட்டம் எழுதி x-அச்சு மற்றும் y-அச்சு வரைக.
2. மேற்கண்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
3. இப்புள்ளிகளை ஒரு வளைவான பரவளையம் (parabola) கிடைக்கும் வகையில் மென்மையாக இணைக்கவும்.

தீர்வு மற்றும் தீர்வுகளின் தன்மை:

பரவளையமானது x-அச்சை x = -4 மற்றும் x = 3 ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை ஆகும்.

தீர்வு: {-4, 3}

(வரைபடம் மாணவர்களால் வரையப்பட வேண்டும்)

10th Maths - Quarterly Exam 2025 - Questions Paper with Answer Key | Chengalpattu District | English Medium

10th Maths Quarterly Exam 2025-26

Complete Question Paper with Solutions

SECTION - I (Marks: 14)

Answer all of the following:

1. If $n(A \times B) = 6$ and $A = \{1, 3\}$ then $n(B)$ is

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) 6

Solution:

Given, $n(A \times B) = 6$ and $A = \{1, 3\}$.
We know, $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$.
Here, $n(A) = 2$.
So, $6 = 2 \times n(B)$.
$n(B) = \frac{6}{2} = 3$.

Answer: c) 3

2. If there are 1024 relations from a set $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ to a set $B$, then the number of elements in B is

• a) 3
• b) 2
• c) 4
• d) 8

Solution:

Given, $n(A) = 5$. Let $n(B) = m$.
Number of relations from A to B is $2^{n(A) \times n(B)} = 2^{5m}$.
We are given that the number of relations is 1024.
We know, $1024 = 2^{10}$.
So, $2^{5m} = 2^{10}$.
Equating the powers, $5m = 10 \Rightarrow m = 2$.
Therefore, $n(B) = 2$.

Answer: b) 2

3. Given $f(x) = (-1)^x$ is a function from N to Z, then the range of f is

• a) $\{1\}$
• b) N
• c) $\{1, -1\}$
• d) Z

Solution:

The domain is the set of Natural numbers, N = {1, 2, 3, ...}.
If $x$ is an odd natural number, $f(x) = (-1)^{\text{odd}} = -1$.
If $x$ is an even natural number, $f(x) = (-1)^{\text{even}} = 1$.
So, the range of f is the set of all possible output values, which is $\{-1, 1\}$.

Answer: c) {1, -1}

4. The sum of the exponents of the prime factors in the prime factorization of 1729 is

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) 4

Solution:

Let's find the prime factors of 1729.
$1729 = 7 \times 247$
$1729 = 7 \times 13 \times 19$
The prime factorization is $1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1$.
The exponents are 1, 1, and 1.
The sum of the exponents is $1 + 1 + 1 = 3$.

Answer: c) 3

5. $7^{4k} \equiv \text{______} \pmod{100}$

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) 4

Solution:

$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}$
$7^4 = 7^3 \times 7 \equiv 43 \times 7 = 301 \equiv 1 \pmod{100}$
So, $7^4 \equiv 1 \pmod{100}$.
Raising both sides to the power of k: $(7^4)^k \equiv 1^k \pmod{100}$.
$7^{4k} \equiv 1 \pmod{100}$.

Answer: a) 1

6. If $(x - 6)$ is the HCF of $x^2 - 2x - 24$ and $x^2 - kx - 6$ then the value of k is

• a) 3
• b) 5
• c) 6
• d) 8

Solution:

If $(x-6)$ is the HCF, it must be a factor of both polynomials.
Let $p(x) = x^2 - kx - 6$.
Since $(x-6)$ is a factor, $p(6) = 0$.
$p(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0$
$36 - 6k - 6 = 0$
$30 - 6k = 0$
$30 = 6k$
$k = 5$.

Answer: b) 5

7. Graph of a linear equation is a

• a) straight line
• b) circle
• c) parabola
• d) hyperbola

Solution:

A linear equation in two variables, of the form $ax+by+c=0$, always represents a straight line when plotted on a graph.

Answer: a) straight line

8. If $ax^2 + bx + c = 0$ has equal roots, then c is equal to

• a) $\frac{b^2}{2a}$
• b) $\frac{b^2}{4a}$
• c) $-\frac{b^2}{2a}$
• d) $-\frac{b^2}{4a}$

Solution:

For a quadratic equation to have equal roots, its discriminant must be zero.
Discriminant, $\Delta = b^2 - 4ac = 0$.
$b^2 = 4ac$
Solving for c, we get: $c = \frac{b^2}{4a}$.
(Note: The options in the paper image are slightly different. Option (d) in the image is $b^2/4a$, which is the correct one. The answer key says (b) but points to $b^2/4a$, so we follow the calculation.)

Answer: $\frac{b^2}{4a}$

9. If in triangle ABC and EDF, $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$, then they will be similar, when

• a) $\angle B = \angle E$
• b) $\angle A = \angle D$
• c) $\angle B = \angle D$
• d) $\angle A = \angle F$

Solution:

By SAS similarity criterion, if two sides of one triangle are proportional to two sides of another triangle and the included angles are equal, then the triangles are similar.
In $\triangle ABC$, the angle included between sides AB and BC is $\angle B$.
In $\triangle EDF$, the angle included between sides DE and FD is $\angle D$.
Therefore, for the triangles to be similar, we must have $\angle B = \angle D$.

Answer: c) $\angle B = \angle D$

10. In a $\triangle ABC$, AD is the bisector of $\angle BAC$. If AB = 8cm, BD = 6cm and DC = 3cm the length of the side AC is

• a) 6cm
• b) 4cm
• c) 3cm
• d) 8cm

Solution:

By the Angle Bisector Theorem, the bisector of an angle of a triangle divides the opposite side in the ratio of the other two sides.
$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$
$\frac{8}{AC} = \frac{6}{3}$
$\frac{8}{AC} = 2$
$AC = \frac{8}{2} = 4$ cm.

Answer: b) 4cm

11. The area of triangle formed by the points $(-5,0)$, $(0, -5)$ and $(5,0)$ is

• a) 0 sq.units
• b) 25 sq.units
• c) 5 sq.units
• d) none of these

Solution:

The vertices are $A(-5,0)$, $B(0,-5)$, $C(5,0)$.
The base of the triangle can be taken along the x-axis, which is the segment AC.
Length of base AC = $5 - (-5) = 10$ units.
The height of the triangle is the perpendicular distance from vertex B to the x-axis, which is the absolute value of the y-coordinate of B.
Height = $|-5| = 5$ units.
Area = $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$ sq.units.

Answer: b) 25 sq.units

12. If slope of the line PQ is $\frac{1}{\sqrt{3}}$ then slope of the perpendicular bisector of PQ is

• a) $\sqrt{3}$
• b) $-\sqrt{3}$
• c) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
• d) 0

Solution:

Let the slope of line PQ be $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
The perpendicular bisector is a line perpendicular to PQ.
Let its slope be $m_2$.
For perpendicular lines, the product of their slopes is -1. $m_1 \times m_2 = -1$
$\frac{1}{\sqrt{3}} \times m_2 = -1$
$m_2 = -\sqrt{3}$.

Answer: b) $-\sqrt{3}$

13. $\tan\theta \csc^2\theta - \tan\theta$ is equal to

• a) $\sec\theta$
• b) $\cot^2\theta$
• c) $\sin\theta$
• d) $\cot\theta$

Solution:

$\tan\theta \csc^2\theta - \tan\theta = \tan\theta (\csc^2\theta - 1)$
We know the identity: $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \Rightarrow \cot^2\theta = \csc^2\theta - 1$.
So, the expression becomes $\tan\theta (\cot^2\theta)$.
$= \tan\theta \times \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta$.

Answer: d) $\cot\theta$

14. If $5x = \sec\theta$ and $\frac{5}{x} = \tan\theta$, then $x^2 - \frac{1}{x^2}$ is equal to

• a) 25
• b) $\frac{1}{25}$
• c) 5
• d) 1

Solution:

Given $5x = \sec\theta$ and $\frac{5}{x} = \tan\theta$.
We know the identity: $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$.
Substitute the given values into the identity:
$(5x)^2 - (\frac{5}{x})^2 = 1$
$25x^2 - \frac{25}{x^2} = 1$
$25(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 1$
$x^2 - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{25}$.

Answer: b) $\frac{1}{25}$

SECTION - II (Marks: 20)

Answer any 10 questions. Question No.28 is compulsory.

15. A Relation R is given by the set $\{(x,y) / y = x + 3, x \in \{0,1,2,3,4, 5\}\}$. Determine its domain and range.

Solution:

The relation is defined by $y = x + 3$.
The set of possible values for x (the domain) is given as $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
We find the corresponding y values (the range):
When $x=0, y = 0+3=3$
When $x=1, y = 1+3=4$
When $x=2, y = 2+3=5$
When $x=3, y = 3+3=6$
When $x=4, y = 4+3=7$
When $x=5, y = 5+3=8$
The set of ordered pairs is $\{(0,3), (1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8)\}$.

Domain: The set of all first elements, which is $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

Range: The set of all second elements, which is $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.

16. Given the function $f : x \to x^2 - 5x + 6$, evaluate (i) $f(-1)$ (ii) $f(2)$.

Solution:

The function is $f(x) = x^2 - 5x + 6$.

(i) $f(-1)$
$f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 6$
$f(-1) = 1 + 5 + 6 = 12$.

(ii) $f(2)$
$f(2) = (2)^2 - 5(2) + 6$
$f(2) = 4 - 10 + 6 = 0$.

17. If $13824 = 2^a \times 3^b$ then find a and b.

Solution:

We perform prime factorization of 13824.
$13824 = 2 \times 6912$
$= 2^2 \times 3456$
$= 2^3 \times 1728$
$= 2^4 \times 864$
$= 2^5 \times 432$
$= 2^6 \times 216$
$= 2^7 \times 108$
$= 2^8 \times 54$
$= 2^9 \times 27$
$= 2^9 \times 3^3$
Comparing $2^9 \times 3^3$ with $2^a \times 3^b$, we get $a=9$ and $b=3$.

18. If $1^3+2^3 +3^3 + \dots + k^3 = 44100$ then find $1+2+3+\dots+k$.

Solution:

We know the formula for the sum of the cubes of the first k natural numbers:
$1^3+2^3 + \dots + k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$.
And the sum of the first k natural numbers is:
$1+2+ \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.
Given, $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 = 44100$.
Taking the square root on both sides:
$\frac{k(k+1)}{2} = \sqrt{44100} = \sqrt{441 \times 100} = 21 \times 10 = 210$.
Therefore, $1+2+3+\dots+k = 210$.

19. Reduce lowest form of: $\frac{x^2-16}{x^2 + 8x +16}$

Solution:

Factorize the numerator and the denominator.
Numerator: $x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$ (using $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$).
Denominator: $x^2 + 8x + 16 = x^2 + 2(x)(4) + 4^2 = (x+4)^2 = (x+4)(x+4)$ (using $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$).
So, the expression is $\frac{(x-4)(x+4)}{(x+4)(x+4)}$.
Cancelling the common factor $(x+4)$ (assuming $x \neq -4$), we get:
Lowest form = $\frac{x-4}{x+4}$.

20. If the difference between a number and its reciprocal is $\frac{24}{5}$, find the number.

Solution:

Let the number be $x$. Its reciprocal is $\frac{1}{x}$.
Given, $x - \frac{1}{x} = \frac{24}{5}$.
$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{24}{5}$
$5(x^2 - 1) = 24x$
$5x^2 - 5 = 24x$
$5x^2 - 24x - 5 = 0$
Factoring the quadratic equation:
$5x^2 - 25x + x - 5 = 0$
$5x(x - 5) + 1(x - 5) = 0$
$(5x+1)(x-5) = 0$
So, $x=5$ or $x=-\frac{1}{5}$.
The number can be 5 or -1/5.

21. Determine the nature of roots of: $9x^2 - 24x + 16 = 0$.

Solution:

Compare the equation with $ax^2+bx+c=0$. We have $a=9, b=-24, c=16$.
The nature of the roots is determined by the discriminant, $\Delta = b^2 - 4ac$.
$\Delta = (-24)^2 - 4(9)(16)$
$\Delta = 576 - 576 = 0$.
Since the discriminant is zero ($\Delta=0$), the roots are real and equal.

22. If $\triangle ABC$ is similar to $\triangle DEF$ such that $BC=3$cm, $EF=4$cm and area of $\triangle ABC = 54$cm$^2$. Find the area of $\triangle DEF$.

Solution:

For two similar triangles, the ratio of their areas is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.
$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$
$\frac{54}{\text{Area}(\triangle DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2$
$\frac{54}{\text{Area}(\triangle DEF)} = \frac{9}{16}$
$\text{Area}(\triangle DEF) = \frac{54 \times 16}{9} = 6 \times 16 = 96$ cm$^2$.

23. Check whether AD is bisector of $\angle A$ of $\triangle ABC$, AB = 5cm, AC = 10cm, BD = 1.5cm and CD = 3.5 cm.

Solution:

According to the Angle Bisector Theorem, if AD is the bisector of $\angle A$, then it must divide the opposite side BC in the ratio of the other two sides. That is, $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$.
Let's check the ratios:
LHS: $\frac{AB}{AC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
RHS: $\frac{BD}{CD} = \frac{1.5}{3.5} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$.
Since $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{7}$, the condition for the theorem is not satisfied.
Therefore, AD is not the bisector of $\angle A$.

24. Find the slope of a line joining the points (14, 10) and (14, -6).

Solution:

Let the points be $(x_1, y_1) = (14, 10)$ and $(x_2, y_2) = (14, -6)$.
The formula for the slope is $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
$m = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}$.
Since the denominator is zero, the slope is undefined. This indicates that the line is a vertical line.

25. Find the equation of line passing through the point (3, -4) and having slope : -5/7.

Solution:

Using the point-slope form of a line equation: $y - y_1 = m(x - x_1)$.
Here, $(x_1, y_1) = (3, -4)$ and $m = -\frac{5}{7}$.
$y - (-4) = -\frac{5}{7}(x - 3)$
$y + 4 = -\frac{5}{7}(x - 3)$
$7(y + 4) = -5(x - 3)$
$7y + 28 = -5x + 15$
$5x + 7y + 28 - 15 = 0$
$5x + 7y + 13 = 0$.

26. If the straight lines $12y = -(P+3)x + 12$ and $12x - 7y = 16$ are perpendicular then find P.

Solution:

First, find the slope of each line.
Line 1: $12y = -(P+3)x + 12 \Rightarrow y = -\frac{P+3}{12}x + 1$.
The slope is $m_1 = -\frac{P+3}{12}$.
Line 2: $12x - 7y = 16 \Rightarrow 7y = 12x - 16 \Rightarrow y = \frac{12}{7}x - \frac{16}{7}$.
The slope is $m_2 = \frac{12}{7}$.
For perpendicular lines, the product of their slopes is -1. $m_1 \times m_2 = -1$
$\left(-\frac{P+3}{12}\right) \times \left(\frac{12}{7}\right) = -1$
$-\frac{P+3}{7} = -1$
$P+3 = 7$
$P = 4$.

27. Prove that $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \cot\theta$.

Solution:

LHS = $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$= \frac{1/\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$= \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
To subtract, find a common denominator, which is $\sin\theta\cos\theta$.
$= \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$
$= \frac{1 - \sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$
Using the identity $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \Rightarrow \cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$.
$= \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta$
LHS = RHS. Hence proved.

28. If a, b, c are in A.P, then prove that $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ are also in A.P.

Solution:

If a, b, c are in an Arithmetic Progression (A.P.), then the common difference is constant.
$b - a = c - b$.

To prove that $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ are in A.P., we need to show that the difference between consecutive terms is constant.
i.e., we need to prove: $\frac{1}{ca} - \frac{1}{bc} = \frac{1}{ab} - \frac{1}{ca}$.

Consider the LHS: $\frac{1}{ca} - \frac{1}{bc} = \frac{b - a}{abc}$

Consider the RHS: $\frac{1}{ab} - \frac{1}{ca} = \frac{c - b}{abc}$

Since a, b, c are in A.P., we know that $b - a = c - b$.
Therefore, $\frac{b - a}{abc} = \frac{c - b}{abc}$.
LHS = RHS. Hence, $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ca}, \frac{1}{ab}$ are also in A.P.

29. Let $A = \{ x \in W \mid x < 2 \}$, $B = \{ x \in N \mid 1 < x \le 4 \}$ and $C = \{ 3, 5\}$. Verify that $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.

Solution:

First, let's define the sets in roster form:

• $A = \{ x \in W \mid x < 2 \}$: The whole numbers less than 2 are 0 and 1. So, $A = \{0, 1\}$.
• $B = \{ x \in N \mid 1 < x \le 4 \}$: The natural numbers greater than 1 and less than or equal to 4 are 2, 3, and 4. So, $B = \{2, 3, 4\}$.
• $C = \{3, 5\}$.

We need to verify the distributive property of the Cartesian product over union: $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.

Step 1: Calculate the Left Hand Side (LHS)

First, find $B \cup C$:
$B \cup C = \{2, 3, 4\} \cup \{3, 5\} = \{2, 3, 4, 5\}$.

Now, find $A \times (B \cup C)$:
$A \times (B \cup C) = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4, 5\}$
$= \{ (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) \}$   --- (1)

Step 2: Calculate the Right Hand Side (RHS)

First, find $A \times B$:
$A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\}$
$= \{ (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4) \}$.

Next, find $A \times C$:
$A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\}$
$= \{ (0,3), (0,5), (1,3), (1,5) \}$.

Now, find the union $(A \times B) \cup (A \times C)$:
$= \{ (0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4) \} \cup \{ (0,3), (0,5), (1,3), (1,5) \}$
$= \{ (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) \}$   --- (2)

Step 3: Compare LHS and RHS

From equations (1) and (2), we can see that the sets are identical.

LHS = $\{ (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) \}$
RHS = $\{ (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5) \}$

Therefore, LHS = RHS. Hence, verified.

SECTION - III (Marks: 50)

Answer any 10 questions. Q.No.42 is compulsory.

30. Let $A = \{1,2,3,4\}$ and $B = \{2, 5, 8, 11, 14 \}$ be two sets. Let $f : A \to B$ be a function given by $f(x)=3x-1$. Represent this function (i) arrow diagram (ii) in a table form (iii) as a set of ordered pairs (iv) a graph.

Solution:

Given $f(x) = 3x - 1$.
$f(1) = 3(1) - 1 = 2$
$f(2) = 3(2) - 1 = 5$
$f(3) = 3(3) - 1 = 8$
$f(4) = 3(4) - 1 = 11$

(i) Arrow Diagram:

(An arrow connects each element in A to its corresponding element in B)

(ii) Table Form:

x	f(x)
1	2
2	5
3	8
4	11

(iii) Set of Ordered Pairs:

$f = \{(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)\}$.

(iv) Graph:

(Plot the points from the set of ordered pairs on a coordinate plane)

31. If $f(x) = x - 1$, $g(x) = 3x+1$ and $h(x) = x^2$, then prove that $fo(goh) = (fog)oh$.

Solution:

We are asked to prove the associative property of function composition, which is $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$.

Given functions are:

• $f(x) = x - 1$
• $g(x) = 3x + 1$
• $h(x) = x^2$

Step 1: Calculate the Left Hand Side (LHS): $f \circ (g \circ h)$

First, we find the composition of g and h, which is $(g \circ h)(x)$.
$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x^2) = 3(x^2) + 1 = 3x^2 + 1$.

Now, we compose f with $(g \circ h)(x)$.
$(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(3x^2 + 1)$
$= (3x^2 + 1) - 1 = 3x^2$.
So, LHS = $3x^2$.   --- (1)

Step 2: Calculate the Right Hand Side (RHS): $(f \circ g) \circ h$

First, we find the composition of f and g, which is $(f \circ g)(x)$.
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x+1) = (3x+1) - 1 = 3x$.

Now, we compose $(f \circ g)(x)$ with h.
$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(x^2)$
$= 3(x^2) = 3x^2$.
So, RHS = $3x^2$.   --- (2)

Step 3: Compare LHS and RHS

From equations (1) and (2), we see that LHS = RHS.

Therefore, $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ is proved.

32. Find the HCF of 396, 504 and 636.

Solution:

We will use Euclid's Division Algorithm to find the Highest Common Factor (HCF).

Step 1: Find the HCF of the first two numbers, 396 and 504.

We apply the division lemma to 504 and 396 (where $504 > 396$).

• $504 = 396 \times 1 + 108$
• $396 = 108 \times 3 + 72$
• $108 = 72 \times 1 + 36$
• $72 = 36 \times 2 + 0$

The remainder is now 0. The last non-zero remainder is the HCF. So, HCF(396, 504) = 36.

Step 2: Find the HCF of the result from Step 1 (which is 36) and the third number, 636.

We apply the division lemma to 636 and 36.

• $636 = 36 \times 17 + 24$
• $36 = 24 \times 1 + 12$
• $24 = 12 \times 2 + 0$

The remainder is now 0. The last non-zero remainder is the HCF. So, HCF(36, 636) = 12.

Therefore, the HCF of 396, 504, and 636 is 12.

33. Find the sum of all natural numbers between 300 and 600 which are divisible by 7.

Solution:

The natural numbers between 300 and 600 which are divisible by 7 form an Arithmetic Progression (A.P.).
First term ($a$): The first number greater than 300 divisible by 7 is 301. ($300 \div 7$ gives remainder 6, so $300 + (7-6)=301$).
Last term ($l$): The last number less than 600 divisible by 7 is 595. ($600 \div 7$ gives remainder 5, so $600-5=595$).
Common difference ($d$) = 7.
The A.P. is $301, 308, \dots, 595$.
Number of terms ($n$): $n = \frac{l-a}{d} + 1 = \frac{595-301}{7} + 1 = \frac{294}{7} + 1 = 42 + 1 = 43$.
Sum of the terms ($S_n$): $S_n = \frac{n}{2}(a+l) = \frac{43}{2}(301+595) = \frac{43}{2}(896) = 43 \times 448 = 19264$.
The sum is 19264.

34. Find the sum to n terms of the series $3+33+333+\dots$

Solution:

Let $S_n$ be the sum of the first n terms of the series.

$S_n = 3 + 33 + 333 + \dots + n$ terms

Step 1: Factor out the common term.
$S_n = 3(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ terms})$

Step 2: Multiply and divide by 9 to create a pattern of 9s.
$S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ terms})$
$S_n = \frac{1}{3}(9 + 99 + 999 + \dots)$

Step 3: Express each term as a difference involving powers of 10.
$S_n = \frac{1}{3}[(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + \dots + n \text{ terms}]$
$S_n = \frac{1}{3}[(10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$

Step 4: Separate the terms into two groups.
$S_n = \frac{1}{3}[ (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots + n \text{ times}) ]$

Step 5: Calculate the sum of each group.
The first group $(10 + 10^2 + \dots + 10^n)$ is a Geometric Progression (G.P.) with:

• First term, $a = 10$
• Common ratio, $r = 10$
• Number of terms = $n$

The sum of this G.P. is $S_{GP} = a \frac{r^n - 1}{r - 1} = 10 \frac{10^n - 1}{10 - 1} = \frac{10}{9}(10^n - 1)$.
The second group is the sum of '1' repeated 'n' times, which is simply $n$.

Step 6: Substitute the sums back into the main equation.
$S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10}{9}(10^n - 1) - n \right]$
This can be further simplified as:
$S_n = \frac{10}{27}(10^n - 1) - \frac{n}{3}$

35. Solve the following system of linear equations in three variables:
$x + y + z = 5$
$2x - y + z = 9$
$x - 2y + 3z = 16$

Solution:

Let the given equations be:

• $x + y + z = 5$   --- (1)
• $2x - y + z = 9$   --- (2)
• $x - 2y + 3z = 16$   --- (3)

Step 1: Eliminate 'y' from equations (1) and (2).
Adding equation (1) and (2):
$(x + y + z) + (2x - y + z) = 5 + 9$
$3x + 2z = 14$   --- (4)

Step 2: Eliminate 'y' from equations (2) and (3).
Multiply equation (2) by 2:
$2(2x - y + z) = 2(9) \Rightarrow 4x - 2y + 2z = 18$   --- (5)
Subtract equation (3) from equation (5):
$(4x - 2y + 2z) - (x - 2y + 3z) = 18 - 16$
$3x - z = 2$   --- (6)

Step 3: Solve the new system of equations (4) and (6).
(4): $3x + 2z = 14$
(6): $3x - z = 2$
Subtract equation (6) from equation (4):
$(3x + 2z) - (3x - z) = 14 - 2$
$3z = 12 \Rightarrow z = 4$.

Step 4: Back-substitute to find x.
Substitute $z=4$ into equation (6):
$3x - 4 = 2 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$.

Step 5: Back-substitute to find y.
Substitute $x=2$ and $z=4$ into the original equation (1):
$2 + y + 4 = 5 \Rightarrow y + 6 = 5 \Rightarrow y = -1$.

The solution is $x=2, y=-1, z=4$.

36. If $9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b$ is a perfect square, find the values of a and b.

Solution:

We use the long division method to find the square root of the polynomial.

Step-by-step Explanation:

1. The square root of the first term, $9x^4$, is $3x^2$. Write this as the first term of the root (quotient) and the divisor. Subtract $(3x^2)^2 = 9x^4$ and bring down the next two terms: $12x^3 + 28x^2$.
2. Double the current root ($3x^2$) to get $6x^2$. Divide the first term of the new dividend ($12x^3$) by $6x^2$ to get $2x$. This is the second term of the root. The new divisor is $6x^2 + 2x$.
3. Multiply the new divisor by $2x$: $(6x^2 + 2x)(2x) = 12x^3 + 4x^2$. Subtract this from the current dividend. The remainder is $(12x^3 + 28x^2) - (12x^3 + 4x^2) = 24x^2$. Bring down the remaining terms: $ax + b$.
4. Double the current root ($3x^2 + 2x$) to get $6x^2 + 4x$. Divide the first term of the new dividend ($24x^2$) by $6x^2$ to get $4$. This is the third term of the root. The new divisor is $6x^2 + 4x + 4$.
5. Multiply the new divisor by $4$: $(6x^2 + 4x + 4)(4) = 24x^2 + 16x + 16$.

Since the given polynomial is a perfect square, the remainder must be zero.
Therefore, $(24x^2 + ax + b) - (24x^2 + 16x + 16)$ must be 0.
This simplifies to $(a-16)x + (b-16) = 0$.

By comparing the coefficients on both sides:
$a - 16 = 0 \Rightarrow a = 16$
$b - 16 = 0 \Rightarrow b = 16$

The values are $a = 16$ and $b = 16$.

37. The roots of the equation $x^2 + 6x - 4 = 0$ are $\alpha, \beta$. Find the quadratic equation whose roots are $\alpha^2$ and $\beta^2$.

Solution:

For the given equation $x^2 + 6x - 4 = 0$:
Sum of roots: $\alpha + \beta = -6$
Product of roots: $\alpha \beta = -4$
We need to form a new quadratic equation with roots $\alpha^2$ and $\beta^2$.
Sum of new roots: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-6)^2 - 2(-4) = 36 + 8 = 44$.
Product of new roots: $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-4)^2 = 16$.
The required quadratic equation is:
$x^2 - (\text{Sum of new roots})x + (\text{Product of new roots}) = 0$
$x^2 - 44x + 16 = 0$.

38. State and prove Thales Theorem.

Solution:

In ∆ABC, D is a point on AB and E is a point on AC.

To prove: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Construction: Draw a line DE || BC

No.	Statement	Reason
1.	∠ABC = ∠ADE = ∠1	Corresponding angles are equal because DE || BC
2.	∠ACB = ∠AED = ∠2	Corresponding angles are equal because DE || BC
3.	∠DAE = ∠BAC = ∠3	Both triangles have a common angle
	∆ABC ~ ∆ADE	By AAA similarity
	\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\)	Corresponding sides are proportional
	\(\frac{AD+DB}{AD} = \frac{AE+EC}{AE}\)	Split AB and AC using the points D and E.
	\(1 + \frac{DB}{AD} = 1 + \frac{EC}{AE}\)	On simplification
	\(\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}\)	Cancelling 1 on both sides
	\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)	Taking reciprocals. Hence proved.

Hence, Thales Theorem is proved.

39. Find the area of the quadrilateral whose vertices are (-9, -2), (-8, -4), (2, 2) and (1, -3).

Solution:

To find the area of a quadrilateral using the shoelace formula, we must list the vertices in counter-clockwise order. A rough plot of the points suggests the order should be A(-9, -2), B(-8, -4), D(1, -3), and C(2, 2).

Let the vertices be:

• $(x_1, y_1) = (-9, -2)$
• $(x_2, y_2) = (-8, -4)$
• $(x_3, y_3) = (1, -3)$
• $(x_4, y_4) = (2, 2)$

The formula for the area of a quadrilateral is:
Area = $\frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) |$

Step 1: Calculate the first part $(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1)$
$= (-9)(-4) + (-8)(-3) + (1)(2) + (2)(-2)$
$= 36 + 24 + 2 - 4 = 58$

Step 2: Calculate the second part $(y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)$
$= (-2)(-8) + (-4)(1) + (-3)(2) + (2)(-9)$
$= 16 - 4 - 6 - 18 = -12$

Step 3: Apply the formula
Area = $\frac{1}{2} | 58 - (-12) |$
Area = $\frac{1}{2} | 58 + 12 |$
Area = $\frac{1}{2} | 70 | = 35$

The area of the quadrilateral is 35 square units.

40. Find the equation of the median of $\triangle ABC$ through A where the vertices are A(6, 2), B(-5, -1) and C(1, 9).

Solution:

The median of a triangle through a vertex is the line segment that joins the vertex to the midpoint of the opposite side.

Step 1: Find the midpoint of the side BC.
Let D be the midpoint of BC. The coordinates of B are $(-5, -1)$ and C are $(1, 9)$.
Using the midpoint formula, $D = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$:
$D = \left(\frac{-5+1}{2}, \frac{-1+9}{2}\right) = \left(\frac{-4}{2}, \frac{8}{2}\right) = (-2, 4)$.

Step 2: Find the equation of the line passing through A and D.
We need to find the equation of the median AD, which passes through A(6, 2) and D(-2, 4).
We can use the two-point form of a line: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.
Let $(x_1, y_1) = (6, 2)$ and $(x_2, y_2) = (-2, 4)$.
$\frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - 6}{-2 - 6}$
$\frac{y - 2}{2} = \frac{x - 6}{-8}$

Now, cross-multiply:
$-8(y - 2) = 2(x - 6)$
Divide both sides by 2:
$-4(y - 2) = x - 6$
$-4y + 8 = x - 6$
Rearrange the terms to get the standard form:
$x + 4y - 6 - 8 = 0$
$x + 4y - 14 = 0$

The equation of the median through vertex A is $x + 4y - 14 = 0$.

41. If $\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = \frac{1}{a}$, then prove that $\frac{a^2-1}{a^2+1} = \sin\theta$.

Solution:

We are given the relation: $\frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = \frac{1}{a}$

Step 1: Express 'a' in terms of $\theta$.
From the given equation, by taking the reciprocal on both sides, we get: $a = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$

Step 2: Substitute 'a' into the expression $\frac{a^2-1}{a^2+1}$.
We will evaluate the numerator and the denominator separately.
First, find $a^2$: $a^2 = \left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta} = \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}$

Numerator ($a^2-1$):
$a^2 - 1 = \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - 1$
$= \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}$
Using the identity $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$: $= \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta - (1-\sin^2\theta)}{\cos^2\theta}$
$= \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta - 1+\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta+2\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos^2\theta}$

Denominator ($a^2+1$):
$a^2 + 1 = \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + 1$
$= \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\cos^2\theta}$
Using the identity $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$: $= \frac{1+2\sin\theta+1}{\cos^2\theta} = \frac{2+2\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{2(1+\sin\theta)}{\cos^2\theta}$

Step 3: Compute the final ratio.
$\frac{a^2-1}{a^2+1} = \frac{\frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{\cos^2\theta}}{\frac{2(1+\sin\theta)}{\cos^2\theta}}$
By cancelling the common terms $2$, $(1+\sin\theta)$, and $\cos^2\theta$ from the numerator and denominator, we are left with: $= \sin\theta$

Thus, we have proved that $\frac{a^2-1}{a^2+1} = \sin\theta$.

42. Find the equation of a line passing through the point of intersection of the lines $4x+7y-3=0$ and $2x-3y+1=0$ that has equal intercepts on the axes.

Solution:

Step 1: Find the point of intersection.
(1) $4x + 7y = 3$
(2) $2x - 3y = -1$
Multiply equation (2) by 2: $4x - 6y = -2$ (3)
Subtract equation (3) from (1):
$(4x + 7y) - (4x - 6y) = 3 - (-2)$
$13y = 5 \Rightarrow y = \frac{5}{13}$.
Substitute $y$ in (2): $2x - 3(\frac{5}{13}) = -1 \Rightarrow 2x - \frac{15}{13} = -1 \Rightarrow 2x = \frac{15}{13} - 1 = \frac{2}{13} \Rightarrow x = \frac{1}{13}$.
The point of intersection is $(\frac{1}{13}, \frac{5}{13})$.

Step 2: Find the equation of the required line.
A line with equal intercepts 'a' has the equation $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$, which simplifies to $x + y = a$.
Since this line passes through $(\frac{1}{13}, \frac{5}{13})$, we can substitute these values:
$\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a$
$a = \frac{6}{13}$.
So, the equation is $x + y = \frac{6}{13}$.
Multiplying by 13, we get $13x + 13y = 6$, or $13x + 13y - 6 = 0$.

SECTION - IV (Marks: 16)

Answer the following.

43. a) Varshika drew 6 circles with different sizes. Draw a graph for the relationship between the diameter and circumference of each circle as shown in the table and use it to find the circumference of a circle when its diameter is 6cm.

Diameter (x) cm	1	2	3	4	5
Circumference (y) cm	3.1	6.2	9.3	12.4	15.5

(OR)

b) Draw the graph of $xy = 24$, $x, y > 0$. Using the graph find (i) y when x = 3 and (ii) x when y = 6.

Solution:

Solution for part (a)

1. Understanding the Relationship:
The data represents a direct variation between the diameter (x) and the circumference (y). The relationship is given by the formula $y = kx$ (where $k \approx \pi$). From the table, we can see that for every point, $y/x \approx 3.1$. This confirms a linear relationship, and the graph will be a straight line passing through the origin.

2. Drawing the Graph:

• Scale: Choose an appropriate scale. For the X-axis (Diameter), use 1 cm = 1 unit. For the Y-axis (Circumference), use 1 cm = 2 units.
• Plotting Points: Plot the given points on the graph paper: (1, 3.1), (2, 6.2), (3, 9.3), (4, 12.4), and (5, 15.5).
• Drawing the Line: Join the plotted points using a ruler. You will get a straight line that starts from the origin (0,0).

3. Finding the Circumference from the Graph:

• Locate the value 6 on the X-axis (Diameter).
• Draw a vertical dotted line from this point upwards until it intersects the straight line you drew.
• From the point of intersection, draw a horizontal dotted line to the left until it meets the Y-axis.
• Read the value on the Y-axis. This value will be approximately 18.6.

Result: From the graph, when the diameter is 6 cm, the circumference is approximately 18.6 cm.

Solution for part (b)

1. Understanding the Relationship:
The equation $xy = 24$ represents an inverse variation. As x increases, y decreases, and vice-versa. The graph will be a rectangular hyperbola in the first quadrant since $x, y > 0$.

2. Creating a Table of Values:
We need to find pairs of (x, y) such that their product is 24.

x	1	2	3	4	6	8	12
y = 24/x	24	12	8	6	4	3	2

3. Drawing the Graph:

• Scale: Choose a suitable scale. For the X-axis, use 1 cm = 2 units. For the Y-axis, use 1 cm = 2 units.
• Plotting Points: Plot the points from the table, such as (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2).
• Drawing the Curve: Join the points with a smooth, continuous curve. This curve is the required graph.

4. Finding Values from the Graph:

• (i) Find y when x = 3:
  Locate x = 3 on the X-axis. Draw a vertical line to meet the curve. From that point, draw a horizontal line to the Y-axis. The line meets the Y-axis at 8.
• (ii) Find x when y = 6:
  Locate y = 6 on the Y-axis. Draw a horizontal line to meet the curve. From that point, draw a vertical line to the X-axis. The line meets the X-axis at 4.

Result:

• (i) When $x = 3$, $y = 8$.
• (ii) When $y = 6$, $x = 4$.

44.

a) Construct a triangle similar to a given triangle ABC with its sides equal to 6/5 of the corresponding sides of the triangle ABC (scale factor 6/5 > 1).

(OR)

b) Construct a triangle $\triangle PQR$ such that $QR = 5$cm, $\angle P = 30^\circ$ and the altitude from P to QR is of length 4.2cm.

Solution:

These are geometric construction problems requiring a compass and a ruler. The following are the steps for construction.

Solution for part (a)

Objective: To construct a triangle A'BC' which is similar to $\triangle ABC$ and whose sides are $\frac{6}{5}$ times the corresponding sides of $\triangle ABC$. Since the scale factor $\frac{6}{5} > 1$, the new triangle will be larger than the original.

Steps of Construction:

1. Draw any triangle $\triangle ABC$ with suitable measurements.
2. From vertex B, draw a ray BX downwards, making an acute angle with the base BC (i.e., $\angle CBX$ is acute).
3. On the ray BX, mark 6 equidistant points using a compass. Let them be $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6$ such that $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_5B_6$.
4. Join the 5th point, $B_5$, to the vertex C (since 5 is the denominator of the scale factor).
5. Extend the line segment BC. Now, from the 6th point, $B_6$, draw a line parallel to $B_5C$. This parallel line must intersect the extended line segment BC at a point. Call this point C'. ($B_6C' \parallel B_5C$).
6. Extend the line segment BA. From C', draw a line parallel to AC. This line must intersect the extended line segment BA at a point. Call this point A'. ($A'C' \parallel AC$).
7. The triangle $\triangle A'BC'$ is the required similar triangle.

Solution for part (b)

Objective: To construct $\triangle PQR$ with base $QR = 5$cm, vertical angle $\angle P = 30^\circ$, and altitude from P to QR being 4.2 cm.

Steps of Construction:

1. Draw a line segment $QR = 5$ cm.
2. At point Q, draw a line QX making an angle of 30° with QR (i.e., $\angle RQX = 30^\circ$).
3. At point Q, draw a line QY perpendicular to QX (i.e., $\angle XQY = 90^\circ$).
4. Draw the perpendicular bisector of the line segment QR. Let it be MN, and let it intersect QR at point G.
5. Let the perpendicular bisector MN and the perpendicular line QY intersect at a point O.
6. With O as the center and OQ as the radius, draw a circle. The major arc of this circle contains the vertex P.
7. On the perpendicular bisector MN, mark a point H such that $GH = 4.2$ cm (the given altitude).
8. Draw a line ST through H, parallel to the base QR.
9. This parallel line ST intersects the circle at two points, P and P'.
10. Join PQ and PR. The triangle $\triangle PQR$ is the required triangle. (Joining P'Q and P'R would also form a valid triangle).