Showing posts with label Maharashtra Board Class 12. Show all posts

HSC Marathi Question Paper 2026 - Solved Board Exam Paper with Answers

HSC Marathi Question Paper Solution 2026

Subject: Marathi (02) | Marks: 80 | Time: 3 Hrs.

Download Question Paper (PDF) ⬇

विभाग १ - गद्य (Prose)

कृती १. (अ) खालील उताऱ्याच्या आधारे सूचनेनुसार कृती करा (वेगवशता):

(१) कर्ज काढून वाहन खरेदी करण्यामागची कारणे:

इतरांशी मानसिक स्पर्धा करणे.
आपल्या ऐश्वर्याचे प्रदर्शन घडवणे.

(२) जीवन अर्थपूर्ण होण्यासाठी लेखकाने सांगितलेले तंत्र:

कामापुरते आणि कामासाठीच वाहनाचा वापर करणे.
आटोक्यात राहील एवढाच वाहनाचा वेग ठेवणे.

(३) स्वमत अभिव्यक्ती: प्रश्न: 'जीवन अर्थपूर्ण करण्यासाठी वाहनाचा उपयोग होतो,' - हे विधान तुमच्या शब्दांत स्पष्ट करा.

उत्तर: मानवी जीवन हे अत्यंत अमूल्य आहे आणि ते जगण्यासाठी आपल्याला वेळेची गरज असते. आजच्या धावपळीच्या युगात वाहनांमुळे प्रवासाचा वेळ वाचतो. हा वाचलेला वेळ आपण स्वतःच्या आवडीनिवडी, कुटुंब, आणि आत्मविकासासाठी देऊ शकतो. जेव्हा आपण वाहनाचा वापर केवळ गरजेसाठी करतो, तेव्हा आपल्याला 'उसंत' मिळते आणि या उसंतीमुळे जीवन अधिक समाधानी आणि अर्थपूर्ण होते. म्हणूनच, वाहनाचा विवेकपूर्ण वापर जीवनाला गती देण्यासोबतच अर्थही देतो.

किंवा (OR)

प्रश्न: 'मनाचा ब्रेक - उत्तम ब्रेक' याबाबतची तुमची भूमिका सोदाहरण लिहा.

उत्तर (थोडक्यात): वाहन चालवताना केवळ वाहनाच्या ब्रेकवर विश्वास असून चालत नाही, तर मनावरही ताबा हवा. मनाचा ब्रेक म्हणजे संयम. जर मनात इतरांशी स्पर्धा करण्याची ईर्षा नसेल आणि वेगाची नशा नसेल, तर अपघात होत नाहीत. उदाहरणार्थ, रिकाम्या रस्त्यावर वेगाने गाडी पळवण्यापेक्षा सुरक्षित घरी पोहोचणे महत्त्वाचे मानले, तर तो 'मनाचा ब्रेक' ठरतो जो शरीराला आणि जीवनाला सुरक्षित ठेवतो.

(आ) खालील उताऱ्याच्या आधारे सूचनेनुसार कृती करा (रेशीमबंध):

(१) प्रथेप्रमाणे लेखकाचे झालेले स्वागत:

पुष्पगुच्छ देऊन.
नारळ देऊन.

(२) चित्रकार लेखकाला नारळाकडे बघून दिसलेले दृश्य:

नारळाची शेंडी पाच-सात वर्षांच्या मुलीच्या 'पोनीटेल' सारखी वाटली.
नारळाचा लहानसा आकार मुलीच्या डोक्यासारखा वाटला.

(३) स्वमत अभिव्यक्ती: प्रश्न: लेखकाने चित्रातून स्त्रीभ्रूण हत्ये विरोधी दिलेला संदेश तुमच्या शब्दांत लिहा.

उत्तर: लेखकाने नारळाच्या आकारावरून अत्यंत संवेदनशील विषय मांडला आहे. नारळ फोडण्यासाठी उगारलेला दगडी हात हा समाजातील पुरुषी अहंकार आणि क्रौर्याचे प्रतीक आहे, तर नारळ हे निरागस मुलीच्या डोक्याचे प्रतीक आहे. जन्माला येण्याआधीच मुलीला गर्भात मारणे (स्त्रीभ्रूण हत्या) हे देवाच्या दारात नारळ फोडण्याइतकेच निर्घृणपणे समाजात घडत आहे. 'ती' वाचली तरच समाज वाचेल, हा मूक पण भेदक संदेश लेखकाने या चित्रातून दिला आहे.

(इ) खालील उताऱ्याच्या आधारे सूचनेनुसार कृती करा:

(१) जगाच्या दृष्टीने आजच्या युगाची ओळख:

अणुविज्ञानाचे युग.
कॉम्प्युटरचे युग.

(२) लेखक भाग्यवंतांच्या पंक्तीत जाऊन बसले - कारण:

लेखकांनी वडिलांनी घेऊन ठेवलेल्या ओसाड प्लॉटवर नाना खटपटी करून, कर्ज काढून एक टुमदार बंगला बांधला आणि त्यांचे 'स्वतःचे घर' असावे हे स्वप्न पूर्ण झाले.

विभाग २ - पद्य (Poetry)

कृती २. (अ) खालील कवितेच्या आधारे सूचनेनुसार कृती करा (रोज मातीत):

(१) चौकटी पूर्ण करा - आषाढघनाच्या पदविन्यासखुणा:

कोमल पाचूंची शेतं (हिरवी शेती).
प्रवाळमातीमधली औतं.

(२) कवितेत वर्णन केलेल्या फुलांची नावे:

गंध-केतकी (केवडा).
सोनचंपकी (सोनचाफा).
जाई.

(३) अभिव्यक्ती: प्रश्न: आषाढातील पावसाचा तुम्ही घेतलेला अनुभव तुमच्या शब्दांत शब्दबद्ध करा.

उत्तर: आषाढातील पाऊस म्हणजे धरणीला मिळालेले वरदान. मी अनुभवलेला आषाढ घन अगदी कवितेतल्यासारखाच रोमँटिक आणि शांत करणारा होता. आकाशात काळे ढग दाटून आले की सृष्टीचा रंगच बदलतो. एकदा मी किल्ल्यावर गेलो असताना आषाढाच्या सरी बरसल्या. चहूकडे पसरलेली हिरवळ आणि त्यावर पडणारा पावसाचा टपोरा थेंब मनाला सुखावून गेला. त्या पावसाने केवळ जमीन भिजली नाही, तर मनातील थकवाही धुतला गेला.

(आ) खालील ओळींचा अर्थ लिहा:

ओळी:
"कोण जाणे कोठुनी ह्या सावल्या आल्या पुढे; मी असा की लागती ह्या सावल्यांच्याही झळा !
राहती माझ्यासवें हीं आसवें गीतांपरी; हे कशाचें दुःख ज्याला लागला माझा लळा !"

अर्थ: कविवर्य सुरेश भट यांच्या 'रंग माझा वेगळा' या गझलेतील या ओळी आहेत. कवी आपल्या दुखऱ्या नशिबाचे वर्णन करताना म्हणतात की, त्यांच्या आयुष्यात सुखाची सावली कधी आलीच नाही. आणि चुकून जरी सुखद प्रसंग (सावल्या) आले, तरी त्या सावल्यांच्याही त्यांना 'झळा' (उन्हाचे चटके) बसतात. म्हणजेच सुखातही त्यांना दुःखच मिळते. त्यांचे हे दुःखच त्यांचे सोबती झाले आहे. हे अश्रू गीतांप्रमाणे त्यांच्यासोबत राहतात. दुःखालाच आता कवीचा लळा लागला आहे असे ते म्हणतात.

(इ) काव्यसौंदर्य / रसग्रहण (कोणतीही एक कृती सोडवा):

पर्याय १: काव्यसौंदर्य (समुद्र कोंडून पडलाय...)

ओळी: "समुद्र कोंडून पडलाय गगनचुंबी इमारतींच्या गजांआड. तो संत्रस्त वाटतो संध्याकाळीं..."
भावसौंदर्य: वसंत आबाजी डहाके यांच्या कवितेतील या ओळी महानगरीय जीवनातील कोंडमारा व्यक्त करतात. 'समुद्र' हे मानवी मनाचे आणि विशाल जीवनाचे प्रतीक आहे. शहरातल्या गगनचुंबी इमारतींच्या अरुंद जागेत हे अथांग जीवन (समुद्र) कोंडून पडले आहे. 'इमारतींचे गज' असे म्हणून कवीने शहराला तुरुंगाची उपमा दिली आहे. संध्याकाळी समुद्र 'संत्रस्त' (त्रस्त) वाटतो, हे वर्णन माणसाच्या दिवसभराच्या दगदगीनंतरच्या थकव्याचे निदर्शक आहे. ३२ व्या मजल्यावरील मुलाचे बालपण 'अरुंद' झाले आहे, यातून खुंटलेला निसर्गसंवाद आणि बालपण हरवल्याची खंत कवीने अत्यंत प्रभावीपणे मांडली आहे.

किंवा (OR)

पर्याय २: रसग्रहण (पावसाचे तरंग ओंजळीत भरणारी...)

टीप: या ओळींमध्ये स्त्रीच्या विविध रूपांचे वर्णन 'पाऊस', 'चैतन्य', 'नवयौवना' आणि 'स्थितप्रज्ञा' या प्रतिमांमधून केले आहे. यात शृंगार आणि शांत रसाचा मिलाफ दिसून येतो.

विभाग ३ - साहित्यप्रकार : कथा (Story)

(अ) (१) एका वाक्यात उत्तरे लिहा:

(य) प्रारंभी केल्या जाणाऱ्या कथालेखनामागील हेतू लिहा.
उत्तर: प्रारंभी एखादी शिकवण देण्यासाठी किंवा नैतिक बोध देण्यासाठी कथालेखन केले जात असे.

(र) कथेच्या शीर्षकाची वैशिष्ट्ये लिहा.
उत्तर: कथेचे शीर्षक हे सुयोग्य, समर्पक, आकर्षक आणि कथेचा मूळ आशय सूचित करणारे असावे लागते.

(२) 'कथा' व्याख्या लिहा:

'एका विशिष्ट स्थलकाली पात्रांच्या परस्परसंबंधातून घडलेल्या घटनांचे एखाद्या विशिष्ट हेतूने केलेले उत्कंठावर्धक चित्रण म्हणजे कथा होय.'

(आ) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती सोडवा (Brief Answers):

(१) अनुचे स्वभावचित्र थोडक्यात रेखाटा. (कथा: शोध)

उत्तर: व.पु. काळे यांच्या 'शोध' कथेतील 'अनु' ही एक स्वतंत्र विचारांची मुलगी आहे. तिने ५ वर्षे नर्स म्हणून काम केले आहे. ती फक्त औषधपाणी देऊन रुग्णाला बरे करण्यावर विश्वास ठेवत नाही, तर रुग्णाला समजून घेणे आणि त्याच्या भावविश्वात डोकावणे तिला महत्त्वाचे वाटते. 'एक रुपया'च्या नाण्यामागे असलेला तिचा शोध तिच्या संवेदनशील मनाची साक्ष देतो. ती जिद्दी, अभ्यासू आणि स्वतःच्या तत्त्वांवर ठाम राहणारी तरुणी आहे.

(२) बापू गुरुजींनी गावासाठी केलेल्या कार्याची माहिती लिहा. (कथा: गढी)

उत्तर: डॉ. प्रतिमा इंगोले यांच्या 'गढी' कथेतील बापू गुरुजी हे गावाच्या विकासासाठी झटणारे व्यक्तिमत्त्व आहे. त्यांनी गावात शाळा सुरू करण्यासाठी अपार कष्ट घेतले. लोकांच्या विरोधाला न जुमानता त्यांनी गावातील स्वच्छता, आरोग्य आणि शिक्षणाचे महत्त्व पटवून दिले. गावातील जुन्या रूढी मोडून काढत नवीन विचार रुजवण्याचे कार्य बापू गुरुजींनी केले.

(३) डॉक्टर आणि नर्स यांच्यामधील अनुने सांगितलेला फरक स्पष्ट करा.

उत्तर: अनुच्या मते, डॉक्टर हे रोगाचे निदान करतात आणि त्यावर औषध देतात (Disease oriented), पण नर्सला रुग्णाशी सतत संपर्कात राहावे लागते. नर्सला रुग्णाच्या मनाचा, वेदनेचा विचार करावा लागतो (Patient oriented). डॉक्टरांचे काम 'डोक्याने' (बुद्धीने) चालते, तर नर्सचे काम 'हृदयाने' (भावनेने) चालते, असे अनुला वाटते.

विभाग ४ - उपयोजित मराठी (Applied Marathi)

(अ) खालीलपैकी कोणत्याही दोन कृती सोडवा (Short Notes):

(१) मुलाखतीची सुरुवात:

मुलाखतीची सुरुवात ही 'फर्स्ट इम्प्रेशन' असते. ती अनौपचारिक, आणि सहज संवादाने व्हावी. मुलाखतकाराने वातावरण मोकळे करावे जेणेकरून मुलाखतदाता खुलून बोलेल.

(२) माहितीपत्रकाची गरज:

उत्पादनाची माहिती ग्राहकांपर्यंत पोहोचवणे, जनमत तयार करणे आणि विश्वासार्हता वाढवणे यासाठी माहितीपत्रक गरजेचे असते. हे एक लिखित स्वरूपाचे प्रभावी जाहिरात माध्यम आहे.

(३) अहवाल लेखनाचे महत्त्व:

भविष्यातील नियोजनासाठी, घडलेल्या कार्यक्रमाचा पुरावा म्हणून आणि अधिकृत नोंदीसाठी अहवाल लेखन महत्त्वाचे असते.

(आ) खालील मुद्द्यांच्या आधारे कोणत्याही दोन कृती सोडवा:

(१) खालील मुद्द्यांच्या आधारे 'मुलाखतीचे स्वरूप' विशद करा:

उत्तर:

मुलाखत म्हणजे: दोन किंवा अधिक व्यक्तींमध्ये झालेला संवाद. ज्याच्याकडे सांगण्यासारखे काही आहे (मुलाखतदाता) आणि ज्याला ऐकायचे आहे (श्रोता/वाचक) यांच्यातील दुवा म्हणजे मुलाखतकार.
विविधांगी स्वरूप: मुलाखती एकाच पठडीतील नसतात. प्रकट मुलाखती, लिखित मुलाखती, रेडिओ/टीव्ही वरील मुलाखती असे स्वरूप असते.
व्यक्ती: सामान्य माणसापासून ते असामान्य कर्तृत्व गाजवणाऱ्यांपर्यंत कोणाचीही मुलाखत होऊ शकते.
हेतू: त्या व्यक्तीचे कार्य, विचार आणि व्यक्तिमत्व उलगडून दाखवणे हा मुख्य हेतू असतो.

(२) खालील मुद्द्यांच्या आधारे माहितीपत्रकाची रचना लिहा:

उत्तर:

माहितीला प्राधान्य: माहितीपत्रकात अनावश्यक गोष्टी टाळून मुख्य उत्पादनाची/सेवेची अचूक माहिती असावी.
उपयुक्तता: ग्राहकाला हे पत्रक जपून ठेवावेसे वाटले पाहिजे, त्यात संपर्क क्रमांक, पत्ता, वैशिष्ट्ये स्पष्ट हवीत.
वेगळेपण: इतरांपेक्षा आपले उत्पादन कसे वेगळे आणि श्रेष्ठ आहे, हे ठळकपणे मांडलेले असावे.
आकर्षक मांडणी: रंगसंगती, सुवाच्य अक्षरे आणि चित्रांचा वापर करून मांडणी आकर्षक असावी.

विभाग ५ - व्याकरण व लेखन (Grammar)

कृती ५. (अ) सूचनेनुसार कृती करा :

(१) वाक्य रूपांतर: "ही इमारत खूपच उंच आहे." (उद्‌गारार्थी करा) (१) ही इमारत काही कमी उंच नाही. (२) ही इमारत किती उंच आहे. (३) किती लहान आहे ही इमारत. (४) बापरे ! केवढी उंच आहे ही इमारत ! (बरोबर)

(र) "तुम्ही सगळ्यांशी चांगले बोला." (नकारार्थी करा)

उत्तर: तुम्ही कोणाशीही वाईट बोलू नका.

(२) समास ओळखा: 'गोपाल' (१) अव्ययीभाव समास (२) द्वंद्व समास (३) बहुव्रीही समास (बरोबर) (४) तत्पुरुष समास

स्पष्टीकरण: गाईंचे पालन करतो तो - गोपाळ (तिसऱ्याच पदाचा बोध होतो).

(र) 'यथाशक्ती' या सामासिक शब्दातील समासाचे नाव लिहा.

उत्तर: अव्ययीभाव समास (विग्रह: शक्तीप्रमाणे).

(३) प्रयोग ओळखा: "दलालांनी मार्गदर्शन संपवून चहा मागविला." (१) कर्तरी प्रयोग (२) कर्मणी प्रयोग (बरोबर) (३) भावे प्रयोग (४) यांपैकी नाही

(र) कर्तरी प्रयोगाचे वाक्य ओळखून लिहा: (१) सुजाण नागरिक परिसर स्वच्छ ठेवतात. (बरोबर) (२) शेतकऱ्यांनी फुलांची रोपे लावली. (कर्मणी) (३) आज लवकर सांजावले. (भावे) (४) त्याने कपाटात पुस्तक ठेवले. (कर्मणी)

(४) अलंकार ओळखा: "कठिण समय येता कोण कामास येतो?" (४) अर्थान्तरन्यास (बरोबर)

(र) 'आहे ताजमहाल एक जगती तो तोच त्याच्यापरी' या वाक्यातील उपमान ओळखा.

उत्तर: उपमान: ताजमहाल. (हे अनन्वय अलंकाराचे उदाहरण आहे, ज्यात उपमेय आणि उपमान एकच असते).

(५) वाक्प्रचार: 'साखरझोपेत असणे' याचा अर्थ: (१) पहाटेच्या गाढ निद्रेत असणे. (बरोबर)

(र) 'साखरझोपेत असणे' या वाक्प्रचाराचा वाक्यात उपयोग करा.

वाक्य: परीक्षेच्या दिवसांतही राजू सकाळी आठ वाजेपर्यंत साखरझोपेत होता.

(आ) निबंध लेखन (खालीलपैकी कोणत्याही एका विषयावर):

विषय यादी:

(१) रानफुलांचे सौंदर्य
(२) माझा आवडता साहित्यिक
(३) ग्रंथालयाचे मनोगत
(४) समुद्र आटला तर ......
(५) स्त्री-पुरुष समानता : काळाची गरज

नमुना निबंध: स्त्री-पुरुष समानता : काळाची गरज

भारतासारख्या विकसनशील देशात स्त्री-पुरुष समानता हा अत्यंत महत्त्वाचा विषय आहे. आपल्या संस्कृतीत स्त्रीला 'शक्ती' मानले जाते, पण प्रत्यक्षात तिला समाजात दुय्यम वागणूक मिळते. आज एकविसाव्या शतकात स्त्रिया पुरुषांच्या खांद्याला खांदा लावून सर्व क्षेत्रांत प्रगती करत आहेत. अगदी अंतराळापासून ते लष्करापर्यंत स्त्रियांचे कर्तृत्व सिद्ध झाले आहे.

तरीही, आजही स्त्रीभ्रूण हत्या, हुंडाबळी आणि कौटुंबिक हिंसाचार यांसारख्या समस्या समाजाला भेडसावत आहेत. 'मुलगा वंशाचा दिवा' ही जुनी मानसिकता बदलणे काळाची गरज आहे. जोपर्यंत स्त्रीला घरात आणि समाजात समान हक्क व सन्मान मिळत नाही, तोपर्यंत देशाचा खरा विकास होणार नाही. स्त्री आणि पुरुष ही रथाची दोन चाके आहेत, ती समान गतीने चालली तरच प्रगतीचा रथ पुढे जाईल. म्हणून, समानता केवळ कायद्यात नको, तर ती आपल्या आचरणात आणि विचारांत हवी.

Original Question Paper (Scanned Pages)

HSC Commerce Mathematics & Statistics March 2024 Exam Question Paper with Solutions HIndi Medium

गणित और सांख्यिकी (वाणिज्य) - मार्च 2024
सम्पूर्ण हल (हिंदी माध्यम)

समय: 3 घंटे | अधिकतम अंक: 80

विभाग - १ (Section I)

प्र. १. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) निम्नलिखित में से कौन सा कथन नहीं है:

(अ) धूम्रपान स्वास्थ्य के लिए हानिकारक है।
(ब) \(2+2=4\)
(क) 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
(ड) यहाँ आओ।

उत्तर: (ड) यहाँ आओ।

स्पष्टीकरण: यह एक आज्ञार्थक वाक्य (Imperative sentence) है, इसलिए यह तार्किक कथन नहीं है।

(ii) यदि \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तब \((y, z) = ...\)

(अ) (-1, 0)
(ब) (1, 0)
(क) (1, -1)
(ड) (-1, 1)

उत्तर: (ब) (1, 0)

हल:
समीकरण (2) - (1): \(y + 2z = 1\)
विकल्प (ब) में \(y=1, z=0\) रखने पर: \(1 + 0 = 1\) (संतुष्ट करता है)।

(iii) यदि \(y = \log(\frac{e^{x}}{x^{2}})\) तब \(\frac{dy}{dx} = ?\)

(अ) \(\frac{2-x}{x}\)
(ब) \(\frac{x-2}{x}\)
(क) \(\frac{e-x}{ex}\)
(ड) \(\frac{x-e}{ex}\)

उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)

\(y = \log e^x - \log x^2 = x - 2\log x\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)

(iv) \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) का मान है:

(अ) \(2\sqrt{1-x}+c\)
(ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)
(क) \(\sqrt{x}+c\)
(ड) \(x+c\)

उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)

(v) \(\int\frac{dx}{(x-8)(x+7)} = ...\)

(अ) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x+2}{x+1}|+c\)
(ब) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x+8}{x+7}|+c\)
(क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)
(ड) \((x-8)(x+7)+c\)

उत्तर: (क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)

(vi) समीकरण \(y=k_{1}e^{x}+k_{2}e^{-x}\) का अवकल समीकरण है:

(अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)
(ब) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y\frac{dy}{dx}=0\)
(क) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}=0\)
(ड) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0\)

उत्तर: (अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)

प्र. १. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt\)
सत्य (True)
(ii) \(\int\frac{x-1}{(x+1)^{3}}e^{x}dx=e^{x}f(x)+c\), के लिए \(f(x)=(x+1)^{2}\)
असत्य (False) (सही उत्तर \(\frac{1}{(x+1)^2}\) होना चाहिए)
(iii) अवकल समीकरण के घात (order) और कोटि (degree) सदैव धनात्मक पूर्णांक होते हैं।
सत्य (True)

प्र. १. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) किसी बिंदु (a, b) पर स्पर्श रेखा (tangent) की प्रवणता (slope) प्रवणता / Gradient कहलाती है।
(ii) यदि \(f'(x)=\frac{1}{x}+x\) तथा \(f(1)=\frac{5}{2}\) तब \(f(x)=\log x + \frac{x^2}{2} + \) 2
(iii) अवकल समीकरण का हल जिसे सामान्य हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है, विशिष्ट हल (Particular Solution) कहलाता है।

प्र. २. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) सत्यता सारणी का उपयोग करके जांचिए कि क्या कथन पुनरुक्ति (tautology), विरोधाभास (contradiction) या आकस्मिकता (contingency) है: \(\sim p\rightarrow(p\rightarrow\sim q)\)

हल:

p	q	~p	~q	p -> ~q	~p -> (p -> ~q)
T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

चूँकि अंतिम स्तंभ में सभी मान 'T' हैं, अतः यह एक पुनरुक्ति (Tautology) है।

(ii) यदि \(x=e^{3t}\), \(y=e^{(4t+5)}\) तब \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(\frac{dx}{dt} = 3e^{3t}\) और \(\frac{dy}{dt} = 4e^{(4t+5)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4e^{(4t+5)}}{3e^{3t}}\)
\(= \frac{4}{3} e^{(4t+5-3t)} = \frac{4}{3}e^{t+5}\)

(iii) यदि \(A=[\begin{matrix}7&3&0\\ 0&4&-2\end{matrix}]\) \(B=[\begin{matrix}0&-2&3\\ 2&1&-4\end{matrix}]\) तो \(A^{T}+4B^{T}\) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(A^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}]\), \(B^T = [\begin{matrix}0&2\\ -2&1\\ 3&-4\end{matrix}]\)
\(4B^T = [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}]\)
\(A^T + 4B^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}] + [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}] = [\begin{matrix}7&8\\ -5&8\\ 12&-18\end{matrix}]\)

प्र. २. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) समान अर्थ वाले कथनों के युग्मों को पहचानिए। (कुत्ता वाले कथन)

हल:
(अ) \(p \to q\) (If D is dog, D is good)
(ब) \(q \to p\) (If D is good, D is dog) - विलोम (Converse)
(क) \(\sim q \to \sim p\) (If D not good, D not dog) - प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
(ड) \(\sim p \to \sim q\) (If D not dog, D not good) - प्रतिलोम (Inverse)

तार्किक समतुल्यता: 1. (अ) और (क) समान हैं (\(p \to q \equiv \sim q \to \sim p\))
2. (ब) और (ड) समान हैं (\(q \to p \equiv \sim p \to \sim q\))

(ii) फलन \(f(x)=2x^{3}-21x^{2}+36x-20\) का निम्नतम मान (minimum value) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(f'(x) = 6x^2 - 42x + 36\).
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-1)=0\).
\(x=1, x=6\).
\(f''(x) = 12x - 42\).
\(x=6\) पर, \(f''(6) = 72 - 42 = 30 > 0\) (निम्नतम)।
निम्नतम मान: \(f(6) = 2(216) - 21(36) + 36(6) - 20 = -128\).

(iii) रेखा \(y=-2x\), X अक्ष एवं रेखाओं \(x=-1\) और \(x=2\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
क्षेत्रफल = \(|\int_{-1}^{0} (-2x)dx| + |\int_{0}^{2} (-2x)dx|\)
\(A_1 = [-x^2]_{-1}^{0} = -(0 - 1) = 1\)
\(A_2 = [-x^2]_{0}^{2} = -(4 - 0) = -4 \Rightarrow |A_2| = 4\)
कुल क्षेत्रफल = \(1 + 4 = 5\) वर्ग इकाई।

प्र. ३. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) यदि \(y=x^{e^{x}}\) तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

हल:
दोनों पक्षों का log लेने पर: \(\log y = e^x \log x\)
अवकलन: \(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = e^x(\frac{1}{x}) + \log x(e^x)\)
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1}{x} + \log x) = x^{e^x} e^x (\frac{1+x\log x}{x})\)

(ii) यदि \(f'(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x+k\), \(f(0)=1\) और \(f(1)=4\) तो \(f(x)\) ज्ञात कीजिए।

हल:
समाकलन करने पर: \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c\)
\(f(0)=1 \Rightarrow c=1\)
\(f(1)=4 \Rightarrow 1 - 1 + 1 + k + 1 = 4 \Rightarrow k=2\)
अतः \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1\)

(iii) अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए जिसका व्यापक हल \(x^{3}+y^{3}=35ax\) है।

हल:
\(\frac{x^3+y^3}{x} = 35a\). अवकलन करने पर:
\(\frac{x(3x^2+3y^2 y') - (x^3+y^3)(1)}{x^2} = 0\)
\(3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0\)
\(2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0\)

प्र. ३. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) आव्यूह का सहखण्डज विधि (adjoint method) से व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए: \(A = [\begin{matrix}3&1&5\\ 2&7&8\\ 1&2&5\end{matrix}]\)

हल:
\(|A| = 3(35-16) - 1(10-8) + 5(4-7) = 57 - 2 - 15 = 40 \neq 0\).
Cofactors (सहखंड):
\(C_{11}=19, C_{12}=-2, C_{13}=-3\)
\(C_{21}=5, C_{22}=10, C_{23}=-5\)
\(C_{31}=-27, C_{32}=-14, C_{33}=19\)
Adj A (सहखण्डज) = Cofactors आव्यूह का परिवर्तन (Transpose).
\(A^{-1} = \frac{1}{40} [\begin{matrix}19&5&-27\\ -2&10&-14\\ -3&-5&19\end{matrix}]\)

(ii) उपभोग व्यय \(E_{c}=0.0006x^{2}+0.003x\). जब आय ₹ 200 है तब APC, MPC और MPS ज्ञात कीजिए।

हल:
\(APC = \frac{E_c}{x} = 0.0006x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(APC = 0.123\).
\(MPC = \frac{dE_c}{dx} = 0.0012x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(MPC = 0.243\).
\(MPS = 1 - MPC = 1 - 0.243 = 0.757\).

प्र. ३. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) \(\int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}}\)

\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\boxed{x}+\boxed{4}}\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\boxed{1/4}+4}\)
\(=-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\boxed{\sqrt{17}/2})^{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}})\)

(ii) जनसंख्या वृद्धि (Population Growth)

\(\frac{dP}{dt}=kP \Rightarrow \log P = kt + c\)
(i) \(c = \) \(\log(1,00,000)\)
(ii) जब \(t=25, P=2,00,000\), तो \(k = \) \(\frac{1}{25}\log 2\)
(iii) \(P=4,00,000\) के लिए, \(t = \) 50 वर्ष।

विभाग - २ (Section II)

प्र. ४. (अ) सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) अंकित मूल्य और वर्तमान मूल्य के बीच के अंतर को ... कहा जाता है।

उत्तर: (ब) सच्ची छूट (True Discount)

(ii) एक साधारण वार्षिकी में, भुगतान या प्राप्तियाँ ... में होती है।

उत्तर: (ब) प्रत्येक अवधि के अंत

(iii) \(b_{xy}\) और \(b_{yx}\) हैं:

उत्तर: (ब) मूल के परिवर्तन से स्वतंत्र लेकिन पैमाने से नहीं

(iv) डॉरबिश-बावलीस मूल्य सूचकांक संख्या है:

उत्तर: (अ) \(\frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}}{2}\times100\)

(v) L.P.P. का उद्देश्य फलन (objective function) है:

उत्तर: (ब) एक फलन जिसको अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।

(vi) हंगेरियन पद्धति (Assignment Problem) के लिए लाभ अधिकतम समस्या की आवश्यकता है:

उत्तर: (अ) सभी लाभों को अवसर हानियों में परिवर्तित करना।

प्र. ४. (ब) सत्य या असत्य लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) ब्रोकर एक एजेंट है... (गारंटी देता है): असत्य (False) (यह डेल क्रेडर एजेंट होता है)
(ii) \(\sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100\) मूल्य सूचकांक है: असत्य (False)
(iii) L.P.P. का इष्टतम मूल्य व्यवहार्य क्षेत्र के केंद्र में होता है: असत्य (False) (यह कोने के बिंदुओं पर होता है)

प्र. ४. (क) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) बैंकर की छूट हमेशा सच्ची छूट से अधिक (Greater) होती है।
(ii) भारित सापेक्ष पद्धति (Weighted Average of Price Relatives) सूत्र: \(\frac{\sum IW}{\sum W}\)
(iii) पहले कार्य शुरु करने और अंतिम कार्य पूरा करने के बीच का समय: कुल व्यतीत समय (Total Elapsed Time)

प्र. ५. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) दीपक की सैलरी ₹ 4,000 से ₹ 5,000 हुई। कमीशन 3% से 2% हो गया। आय समान है। बिक्री ज्ञात करें।

हल:
माना बिक्री = \(x\)
पुरानी आय = \(4000 + 0.03x\)
नई आय = \(5000 + 0.02x\)
दोनों बराबर हैं: \(4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x\)
\(0.01x = 1000 \Rightarrow x = 1,00,000\)
बिक्री = ₹ 1,00,000

(ii) \(b_{yx}=0.4\), \(b_{xy}=0.9\), \(V(X)=9\). \(V(Y)\) ज्ञात करें।

हल:
\(r^2 = b_{yx} \times b_{xy} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 \Rightarrow r=0.6\)
\(\sigma_x = \sqrt{9} = 3\)
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.4 = 0.6 (\frac{\sigma_y}{3})\)
\(0.4 = 0.2 \sigma_y \Rightarrow \sigma_y = 2\)
\(V(Y) = \sigma_y^2 = 4\).

(iii) 4 वार्षिकी केंद्रित गतिमान औसत (4-yearly centered moving averages) निकालें।

हल (Trend Values):
1978: \((0+2+3+3)/4\) और अगले का औसत = 2.25
1979: 2.75
1980: 3.25
1981: 3.875
1982: 4.875
1983: 6.25

प्र. ५. (ब) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) वॉल्श की कीमत सूचकांक संख्या 150 है। 'x' का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
वॉल्श सूत्र: \(P_{01} = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100\)
भार \(W = \sqrt{q_0 q_1}\): A(3), B(6), C(5), D(4)
\(\sum p_1 W = 30 + 96 + 115 + 104 = 345\)
\(\sum p_0 W = 15 + 6x + 75 + 40 = 130 + 6x\)
\(150 = \frac{345}{130+6x} \times 100 \Rightarrow 1.5(130+6x) = 345\)
\(195 + 9x = 345 \Rightarrow 9x = 150 \Rightarrow x = 16.67\)

(ii) खिलौना निर्माण (Sequencing Problem) A->B->C. कुल उपयोगी समय और मशीन B का निष्क्रिय समय निकालें।

हल:
नियम: Min A (12) \(\ge\) Max B (12) (सत्य)।
काल्पनिक मशीनें G = A+B, H = B+C बनायें।
क्रम (Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
कुल उपयोगी समय (Total Elapsed Time): 102 घंटे।
मशीन B का निष्क्रिय समय (Idle Time): 62 घंटे।

(iii) संभाव्यता वितरण: k, P(X < 3), P(X > 6) ज्ञात करें।

हल:
(अ) \(\sum P(x) = 1 \Rightarrow 10k^2 + 9k - 1 = 0 \Rightarrow k = 0.1\) (k>0)
(ब) \(P(X < 3) = P(1)+P(2) = k+2k = 3k = 0.3\)
(क) \(P(X > 6) = P(7) = 7k^2+k = 7(0.01)+0.1 = 0.17\)

प्र. ६. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) बीमा दावा (Insurance Claim): पॉलिसी 75%, प्रीमियम 0.70% (₹2625), हानि 60%।

हल:
प्रीमियम = पॉलिसी मूल्य \(\times\) दर \(\Rightarrow 2625 = P.V. \times 0.007 \Rightarrow P.V. = 3,75,000\)
पॉलिसी संपत्ति का 75% है \(\Rightarrow\) संपत्ति मूल्य = \(3,75,000 / 0.75 = 5,00,000\)
हानि = \(5,00,000 \times 0.60 = 3,00,000\)
दावा (Claim) = \(\frac{P.V.}{Property Value} \times Loss = 0.75 \times 3,00,000\) = ₹ 2,25,000

(ii) स्वत्वार्पण समस्या (Assignment Problem): न्यूनतम खर्च ज्ञात करें।

हल:
इष्टतम शेड्यूल:
\(M_1 \rightarrow B\) (10)
\(M_2 \rightarrow C\) (13)
\(M_3 \rightarrow A\) (5)
न्यूनतम खर्च = \(10 + 13 + 5 = 28\) (सौ रुपये में) = ₹ 2800.

(iii) 10% खराब अंडे। 10 अंडों के नमूने में कम-से-कम एक खराब होने की प्रायिकता।

हल:
\(p = 0.1, q = 0.9, n = 10\)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(= 1 - {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 - (0.9)^{10}\)

प्र. ६. (ब) किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) प्रवृत्ति रेखा (Trend Line) - न्यूनतम वर्ग विधि।

हल:
वर्ष (n=7): मध्य वर्ष 1995। \(u = \frac{t-1995}{5}\).
समीकरण \(y = a + bu\).
\(a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} = 4.286\)
\(b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -1.571\)
रेखा: \(y = 4.286 - 1.571(\frac{t-1995}{5})\)

(ii) न्यूनतम कीजिए: \(z=6x+2y\) शर्तें: \(x+2y\ge3, x+4y\ge4, 3x+y\ge3\).

हल:
कोने के बिंदु (Corner Points): A(0, 3), B(0.6, 1.2), C(2, 0.5), D(4, 0).
Z का मान:
A: 6, B: 6, C: 13, D: 24.
न्यूनतम मान 6 है (बिंदु A और B को मिलाने वाले रेखाखंड पर)।

प्र. ६. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (Activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) प्रतिगमन (Regression): \(x=10, \bar{y}=12, V(X)=9, \sigma_y=4, r=0.6\). जब x=5 तो y?

\(Y - 12 = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (X-10)\)
\(Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\boxed{3}} (X-10)\)
जब \(x=5\):
\(Y - 12 = \boxed{0.8} \times (-5)\)
\(Y - 12 = -4 \Rightarrow Y = \boxed{8}\)

(ii) पॉइसन वितरण: \(X \sim P(m)\), \(P(X=1)=P(X=2)\).

\(\frac{e^{-m}m^1}{1!} = \frac{e^{-m}m^2}{\boxed{2!}}\)
\(m = \boxed{2}\)
\(P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = \boxed{0.2706}\)

HSC Commerce Mathematics & Statistics (Marathi Medium) March 2024 Question Paper with Solutions

Mathematics & Statistics (Commerce)
March 2024 Board Paper Solution (Marathi Medium)

Max. Marks: 80 | Time: 3 Hrs.

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या पर्यायातून योग्य पर्याय निवडा व लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) खालील पैकी कोणते विधान नाही?

(अ) धूम्रपान आरोग्यासाठी हानिकारक आहे.
(ब) \(2+2=4\)
(क) 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
(ड) इकडे ये

उत्तर: (ड) इकडे ये

कारण: हे आज्ञार्थी वाक्य (Imperative sentence) आहे, म्हणून हे तार्किक विधान नाही.

(ii) जर \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तर \((y,z) =\)

(अ) (-1, 0)
(ब) (1, 0)
(क) (1, -1)
(ड) (-1, 1)

उत्तर: (ब) (1, 0)

(iii) जर \(y = \log(\frac{e^x}{x^2})\), तर \(\frac{dy}{dx} = ?\)

(अ) \(\frac{2-x}{x}\)
(ब) \(\frac{x-2}{x}\)
(क) \(\frac{e-x}{ex}\)
(ड) \(\frac{x-e}{ex}\)

उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)

(iv) \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) ची किंमत ______ आहे.

(अ) \(2\sqrt{1-x} + c\)
(ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)
(क) \(\sqrt{x} + c\)
(ड) \(x + c\)

उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)

(v) \(\int \frac{dx}{(x-8)(x+7)} = \_\).

(अ) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+2}{x+1}| + c\)
(ब) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+8}{x+7}| + c\)
(क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)
(ड) \((x-8)(x+7) + c\)

उत्तर: (क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)

(vi) \(y = k_1 e^x + k_2 e^{-x}\) चे विकलनीय समीकरण ______ आहे.

(अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)
(ब) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\)
(क) \(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0\)
(ड) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y\frac{dy}{dx} = 0\)

उत्तर: (अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)

प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt\)
उत्तर: सत्य (True)
(ii) \(\int \frac{x-1}{(x+1)^3} e^x dx = e^x f(x) + c,\) साठी \(f(x) = (x+1)^2\)
उत्तर: असत्य (False)
(iii) विकलनीय समीकरणाचे क्रम (Order) आणि कोटी (Degree) नेहमी धन पूर्णांक (Positive Integers) असतात.
उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) कोणत्याही बिंदू (a, b) च्या स्पर्शिकेच्या उतारास प्रवणता (Gradient) म्हणतात.
(ii) जर \(f'(x) = \frac{1}{x} + x\) आणि \(f(1) = \frac{5}{2}\) तर \(f(x) = \log x + \frac{x^2}{2} + \) 2.
(iii) विकलनीय समीकरणाची उकल जी सामान्य उकलमधून अनियंत्रित स्थिरांकाला विशिष्ट मूल्ये देऊन मिळवता येतात त्याला विशिष्ट (Particular) उकल म्हणतात.

प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) विधान \( \sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q) \) हे पुनरुक्ती (tautology), परस्पर विरोध (contradiction) किंवा त्यापैकी कोणतेही नाही (contingency) ते तपासा.

उकल:
सत्यता सारणी (Truth Table) खालीलप्रमाणे आहे:

\(p\)	\(q\)	\(\sim p\)	\(\sim q\)	\(p \rightarrow \sim q\)	\(\sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q)\)
T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

शेवटच्या स्तंभातील सर्व सत्यता मूल्ये 'T' आहेत.
म्हणून, दिलेले विधान पुनरुक्ती (Tautology) आहे.

(ii) जर \( x = e^{3t} \), \( y = e^{(4t+5)} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( x = e^{3t} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. t):
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{3t}) = e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t} \)

दिले आहे: \( y = e^{4t+5} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t+5}) = e^{4t+5} \cdot 4 = 4e^{4t+5} \)

आता, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4e^{4t+5}}{3e^{3t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{(4t+5) - 3t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{t+5} \)

(iii) जर \( A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{bmatrix} \) आणि \( B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix} \) तर \( A^T + 4B^T \) शोधा.

उकल:
दिलेल्या मॅट्रिक्सचे परिवर्त (Transpose) काढू:
\( A^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)

\( B^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)

आता \( 4B^T \) काढू:
\( 4B^T = 4 \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

आता \( A^T + 4B^T \) काढू:
\( A^T + 4B^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7+0 & 0+8 \\ 3-8 & 4+4 \\ 0+12 & -2-16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -5 & 8 \\ 12 & -18 \end{bmatrix} \)

प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खालील विधाने विचारात घ्या :
(अ) जर D कुत्रा असेल तर D खूप चांगला आहे.
(ब) जर D खूप चांगला असेल तर D हा कुत्रा आहे.
(क) जर D खूप चांगला नसेल तर D हा कुत्रा नाही.
(ड) जर D कुत्रा नाही तर D खूप चांगला नाही.
समान अर्थ असलेल्या विधानांच्या जोड्या ओळखा आणि समर्थन करा (Justify).

उकल:
समजा \( p \): D कुत्रा आहे.
समजा \( q \): D खूप चांगला आहे.

दिलेल्या विधानांचे प्रतीकात्मक रूप:
(अ) \( p \rightarrow q \) (जर-तर / Implication)
(ब) \( q \rightarrow p \) (व्यत्यास / Converse)
(क) \( \sim q \rightarrow \sim p \) (सममूल्य / Contrapositive)
(ड) \( \sim p \rightarrow \sim q \) (व्यस्त / Inverse)

समर्थन (Justification):
आपल्याला माहित आहे की, सशर्त विधान (conditional statement) हे त्याच्या सममूल्य (contrapositive) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असते.
म्हणून, \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).
तसेच, व्यत्यास (converse) हा व्यस्त (inverse) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असतो.
म्हणून, \( q \rightarrow p \equiv \sim p \rightarrow \sim q \).

समान अर्थ असलेल्या जोड्या:
1. (अ) आणि (क) समान अर्थाचे आहेत.
2. (ब) आणि (ड) समान अर्थाचे आहेत.

(ii) फलन \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \) चे किमान (minimum) मूल्य निश्चित करा.

उकल:
दिले आहे: \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)
पायरी 1: \( f'(x) \) आणि \( f''(x) \) काढा.
\( f'(x) = 6x^2 - 42x + 36 \)
\( f''(x) = 12x - 42 \)

पायरी 2: स्थिर बिंदूंसाठी (Stationary points), \( f'(x) = 0 \) ठेवा.
\( 6(x^2 - 7x + 6) = 0 \)
\( x^2 - 6x - x + 6 = 0 \)
\( x(x-6) - 1(x-6) = 0 \)
\( (x-1)(x-6) = 0 \)
म्हणून, \( x = 1 \) किंवा \( x = 6 \).

पायरी 3: \( f''(x) \) मध्ये किंमती तपासा.
\( x = 1 \) साठी:
\( f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0 \) (कमाल / Maxima)
\( x = 6 \) साठी:
\( f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0 \) (किमान / Minima)

पायरी 4: \( x = 6 \) असताना किमान मूल्य काढा.
\( f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20 \)
\( f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20 \)
\( f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 \)
\( f(6) = 648 - 776 \)
\( f(6) = -128 \)

फलाचे किमान मूल्य -128 आहे.

(iii) रेषा \( y = -2x \), X-अक्ष आणि रेषा \( x = -1 \) व \( x = 2 \) यांनी बांधलेल्या क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.

उकल:
आवश्यक क्षेत्रफळ \( A = \int_{-1}^{2} |y| dx \) आहे.
दिलेली रेषा \( y = -2x \) उगमबिंदूतून जाते.
- अंतराल \([-1, 0]\) मध्ये, \( x \) ऋण आहे, म्हणून \( y = -2(\text{ऋण}) = \text{धन} \).
- अंतराल \([0, 2]\) मध्ये, \( x \) धन आहे, म्हणून \( y = -2(\text{धन}) = \text{ऋण} \).

म्हणून आपण \( x = 0 \) ला क्षेत्रफळ विभागू:
\( A = |\int_{-1}^{0} (-2x) dx| + |\int_{0}^{2} (-2x) dx| \)

भाग 1 (-1 ते 0):
\( A_1 = \int_{-1}^{0} -2x dx = -2 [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = - [x^2]_{-1}^{0} \)
\( A_1 = - [0^2 - (-1)^2] = - [0 - 1] = 1 \)

भाग 2 (0 ते 2):
\( A_2 = \int_{0}^{2} -2x dx = - [x^2]_{0}^{2} \)
\( A_2 = - [2^2 - 0^2] = -4 \)
क्षेत्रफळ कधीही ऋण नसते, म्हणून \( |A_2| = 4 \).

एकूण क्षेत्रफळ:
\( A = A_1 + |A_2| = 1 + 4 = 5 \) चौरस एकक (sq. units).

प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) जर \( y = x^{e^x} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( y = x^{e^x} \)
दोन्ही बाजूंचा लॉग घेऊन (Taking log on both sides):
\( \log y = \log(x^{e^x}) \)
\( \log y = e^x \cdot \log x \)

'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. x):
\( \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot \log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(e^x) \) (गुणाकाराचा नियम)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x}) + \log x (e^x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x} + \log x) \)

\( \frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
\( y \) ची किंमत भरून:
\( \frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)

(ii) जर \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \), \( f(0) = 1 \) व \( f(1) = 4 \) तर \( f(x) \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \)
\( f(x) \) मिळवण्यासाठी समाकलन (Integration) करू:
\( f(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + k) dx \)
\( f(x) = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + kx + c \)
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c \) ... (समीकरण 1)

पायरी 1: c ची किंमत काढणे
दिले आहे \( f(0) = 1 \). समीकरण 1 मध्ये \( x=0 \) ठेवून:
\( 1 = 0^4 - 0^3 + 0^2 + k(0) + c \)
\( c = 1 \)

पायरी 2: k ची किंमत काढणे
समीकरण 1: \( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + 1 \)
दिले आहे \( f(1) = 4 \). समीकरणामध्ये \( x=1 \) ठेवून:
\( 4 = 1^4 - 1^3 + 1^2 + k(1) + 1 \)
\( 4 = 1 - 1 + 1 + k + 1 \)
\( 4 = 2 + k \)
\( k = 2 \)

अंतिम उत्तर:
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

(iii) विकलनीय समीकरण मिळवा ज्याची सामान्य उकल \( x^3 + y^3 = 35ax \) आहे.

उकल:
दिलेले समीकरण: \( x^3 + y^3 = 35ax \) ... (1)
येथे \( a \) हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
समीकरण (1) पुन्हा लिहू:
\( \frac{x^3 + y^3}{x} = 35a \)

'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t x):
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + y^3}{x} \right) = 0 \) (स्थिरांकाचे विकलन 0 असते)
भागाकाराचा नियम वापरून \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \):
\( \frac{x \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) - (x^3 + y^3) \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = 0 \)
\( x(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx}) - (x^3 + y^3)(1) = 0 \)
\( 3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0 \)
\( 2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)

आवश्यक विकलनीय समीकरण:
\( 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - 2x^3 \)

प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) सारणी \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \) चा संलग्न पद्धतीने (adjoint method) व्यस्त (inverse) काढा.

उकल:
समजा \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

पायरी 1: निश्चयक \(|A|\) काढणे
\( |A| = 3(35 - 16) - 1(10 - 8) + 5(4 - 7) \)
\( |A| = 3(19) - 1(2) + 5(-3) \)
\( |A| = 57 - 2 - 15 = 40 \)
येथे \( |A| \neq 0 \), म्हणून \( A^{-1} \) अस्तित्वात आहे.

पायरी 2: सह-अवयव (Cofactors) काढणे
\( A_{11} = (-1)^{1+1}(35-16) = 19 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2}(10-8) = -2 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3}(4-7) = -3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1}(5-10) = 5 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2}(15-5) = 10 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3}(6-1) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1}(8-35) = -27 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2}(24-10) = -14 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3}(21-2) = 19 \)

पायरी 3: सह-अवयव सारणी आणि संलग्न सारणी (Adjoint Matrix)
सह-अवयव सारणी \( C = \begin{bmatrix} 19 & -2 & -3 \\ 5 & 10 & -5 \\ -27 & -14 & 19 \end{bmatrix} \)
\( \text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

पायरी 4: व्यस्त सारणी (Inverse Matrix) काढणे
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च \( E_c \), त्याचे उत्पन्न \( x \) इतके असेल आणि दिलेले आहे की \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) जेव्हा त्याचे उत्पन्न ₹ 200 असेल तेव्हा MPC, MPS आणि APC काढा.

उकल:
दिले आहे: \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) आणि \( x = 200 \).

1. सरासरी उपभोग प्रवृत्ती (APC):
\( \text{APC} = \frac{E_c}{x} = \frac{0.0006x^2 + 0.003x}{x} \)
\( \text{APC} = 0.0006x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{APC} = 0.0006(200) + 0.003 \)
\( \text{APC} = 0.12 + 0.003 = \mathbf{0.123} \)

2. सीमांत उपभोग प्रवृत्ती (MPC):
\( \text{MPC} = \frac{d(E_c)}{dx} = \frac{d}{dx}(0.0006x^2 + 0.003x) \)
\( \text{MPC} = 0.0006(2x) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.0012x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{MPC} = 0.0012(200) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.24 + 0.003 = \mathbf{0.243} \)

3. सीमांत बचत प्रवृत्ती (MPS):
आपल्याला माहित आहे की, \( \text{MPC} + \text{MPS} = 1 \)
\( \text{MPS} = 1 - \text{MPC} \)
\( \text{MPS} = 1 - 0.243 \)
\( \text{MPS} = \mathbf{0.757} \)

प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खाली दिलेली कृती पूर्ण करा:
\( \int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}} \)

\( = \int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\mathbf{\fbox{ x }}+\mathbf{\fbox{ 4 }}} \)

\( =\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\mathbf{\fbox{ \(\frac{1}{4}\) }}+4} \)

\( =-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\mathbf{\fbox{ \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) }})^{2}} \)

सूत्र वापरून: \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \), परंतु बाहेर ऋण चिन्ह असल्यामुळे:

\( =\frac{1}{\sqrt{17}}log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}}) \)

(ii) लोकसंख्या वाढीचा दर रहिवाशांच्या संख्येच्या प्रमाणात आहे. जर 25 वर्षात लोकसंख्या दुप्पट होत असेल आणि सध्याची लोकसंख्या 1,00,000 असेल तर शहराची लोकसंख्या 4,00,000 कधी होईल?

उकल:
समजा 't' वेळेला शहराची लोकसंख्या 'P' आहे.
दिले आहे: \( \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \int \frac{dP}{P} = \int k dt \)
\( \log P = kt + c \) ... (i)

(i) जेव्हा \( t=0, P=1,00,000 \)
समीकरण (i) वरून: \( \log 1,00,000 = k(0) + c \)
\( c = \) \( \log(1,00,000) \)

(ii) जेव्हा \( t=25, P=2,00,000 \) (लोकसंख्या दुप्पट होते)
\( \log(\frac{P}{1,00,000}) = kt \) ... (ii)
\( \log(\frac{2,00,000}{1,00,000}) = 25k \)
\( \log 2 = 25k \)
\( k = \) \( \frac{1}{25} \log 2 \)

(iii) जेव्हा \( P=4,00,000 \) तेव्हा \( t \) काढा.
\( \log(\frac{4,00,000}{1,00,000}) = (\frac{1}{25}\log 2) \cdot t \)
\( \log 4 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( 2 \log 2 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( t = \) 50 वर्षे

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) खाली दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या विकल्पातून योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) दर्शनी मूल्य आणि वर्तमान मूल्य यांतील फरकास ______ म्हणतात.

(अ) बँकर्स सवलत (banker's discount)
(ब) खरी सवलत (true discount)
(क) बँकेचा नफा (banker's gain)
(ड) रोख मूल्य (cash value)

उत्तर: (ब) खरी सवलत (true discount)

(ii) सामान्य वार्षिकी देयके किंवा परतावे घडतात.

(अ) प्रत्येक कालावधीच्या सुरुवातीस
(ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी
(क) प्रत्येक कालावधीच्या मध्यावर
(ड) त्रैमासिक आधारावर

उत्तर: (ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी

(iii) \( b_{xy} \) आणि \( b_{yx} \) हे असतात.

(अ) मूळ आणि स्केलच्या बदलापासून स्वतंत्र
(ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही
(क) स्केलच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु मूळच्या नाही
(ड) मूळ आणि स्केलच्या बदलामुळे प्रभावित

उत्तर: (ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही

(iv) डॉर्विश बाऊलीस किंमत निर्देशांक क्रमांक दिला आहे :

(अ) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{1}}{\Sigma p_{1}q_{0}}}{2}\times100 \)
(ब) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{0}}{\Sigma p_{1}q_{1}}}{2}\times100 \)
(क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)
(ड) \( \frac{\frac{\Sigma p_{0}q_{0}}{\Sigma p_{1}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{1}}{\Sigma p_{1}q_{1}}}{2}\times100 \)

उत्तर: (क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)

स्पष्टीकरण: डॉर्विश-बाऊली निर्देशांक हा लासपेअर (Laspeyres) आणि पाशे (Paasche) यांच्या निर्देशांकांचे अंकगणितीय मध्य (Arithmetic Mean) आहे.

(v) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फल (objective function) असते.

(अ) एक बंधन (a constraint)
(ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे
(क) निर्णय चलांमधील एक संबंध
(ड) एक व्यवहार्य (feasible) क्षेत्र

उत्तर: (ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे

(vi) हंगेरियन पद्धत वापरण्यासाठी, एका नफा वाढविण्याच्या सोपवणी गणितात हे आवश्यक असते.

(अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे
(ब) एक बनावट व्यक्ती किंवा काम
(क) सारणी विस्तार
(ड) सोडवलेल्या सारणीमधील सर्व शून्य सामावून घेण्यासाठी जास्तीत जास्त रेषा शोधणे.

उत्तर: (अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे

प्र. ४. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) दलाल एक असा एजंट असतो जो विक्रेत्याला हमी देतो की खरेदीदार वस्तूची विक्री किंमत देईल.
उत्तर: असत्य (False)
कारण: विक्रेत्याला अशी हमी देणाऱ्या एजंटला 'डेल क्रेडर एजंट' (Del Credere Agent) म्हणतात, सामान्य दलाल नाही.
(ii) \( \sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100 \) हा साध्या एकत्रित पद्धतीद्वारे मूल्य निर्देशांक क्रमांक आहे.
उत्तर: असत्य (False)
कारण: मूल्य निर्देशांक क्रमांकाचे (Value Index Number) सूत्र \( \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} \times 100 \) असे आहे.
(iii) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फलाची (objective function) सर्वोत्तम किंमत (optimum value) ही संभाव्य भागाच्या मध्यावर (center of feasible region) असते.
उत्तर: असत्य (False)
कारण: रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये (L.P.P.) सर्वोत्तम किंमत नेहमी संभाव्य क्षेत्राच्या शिरोबिंदूवर (vertex) किंवा कोपऱ्याच्या बिंदूवर (corner point) असते, मध्यावर नाही.

प्र. ४. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) बँकेची सूट ही नेहमी खऱ्या सुटीपेक्षा जास्त (Greater) असते.
(ii) भारित सापेक्ष पद्धती द्वारे राहणीमानाचा किंमत निर्देशांक क्रमांक \( \frac{\sum IW}{\sum W} \) आहे.
(iii) यंत्राच्या दिलेल्या संचाद्वारे एखाद्या विशिष्ट क्रमाने निष्क्रिय वेळेसह पहिले काम सुरू करणे आणि शेवटचे काम पूर्ण करणे यामधील वेळेचा मध्यांतर यांस एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) म्हणतात.

प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) दीपकचा पगार ₹ 4,000 वरून ₹ 5,000 करण्यात आला. विक्री सारखीच होती म्हणून दलालीचा दर 3% वरून 2% करण्यात आला. जर त्याचे उत्पन्न अपरिवर्तित राहीले असेल तर त्याची विक्री काढा.

उकल:
समजा विक्री \( x \) आहे.
स्थिती 1 (जुनी):
पगार = ₹ 4,000
दलालीचा दर = 3%
एकूण उत्पन्न = \( 4000 + \frac{3}{100}x = 4000 + 0.03x \)

स्थिती 2 (नवीन):
पगार = ₹ 5,000
दलालीचा दर = 2%
एकूण उत्पन्न = \( 5000 + \frac{2}{100}x = 5000 + 0.02x \)

उत्पन्न अपरिवर्तित राहिले आहे, म्हणून:
\( 4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x \)
\( 0.03x - 0.02x = 5000 - 4000 \)
\( 0.01x = 1000 \)
\( x = \frac{1000}{0.01} \)
\( x = 1,00,000 \)

उत्तर: दीपकची विक्री ₹ 1,00,000 आहे.

(ii) एका द्विचलीय माहितीसाठी, X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक 0.4 आहे आणि Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक 0.9 आहे. जर X चे विचरण (variance) 9 असेल तर Y च्या विचरणाचे मूल्य शोधा.

उकल:
दिले आहे:
\( b_{yx} = 0.4 \) (X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक)
\( b_{xy} = 0.9 \) (Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक)
X चे विचरण \( V(X) = \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \)

आपल्याला माहित आहे की:
\( b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \)
\( 0.4 \times 0.9 = r^2 \)
\( r^2 = 0.36 \Rightarrow r = 0.6 \) (धन घेतले कारण \( b_{yx}, b_{xy} > 0 \))

आता, \( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \) वापरून:
\( 0.4 = 0.6 \times \frac{\sigma_y}{3} \)
\( 0.4 = 0.2 \sigma_y \)
\( \sigma_y = \frac{0.4}{0.2} = 2 \)

Y चे विचरण \( V(Y) = \sigma_y^2 = 2^2 = 4 \).
उत्तर: Y चे विचरण 4 आहे.

(iii) खालील तक्ता 1976 ते 1985 या कालावधीतील औद्योगिक उत्पादनाचा निर्देशांक दर्शवितो. 1976 हे वर्ष आधारभूत वर्ष घेऊन खाली दिलेल्या माहितीसाठी 4 वर्षीय केंद्रित चालणारी सरासरी (4 yearly centered moving averages) वापरून प्रवृत्ती मूल्ये काढा.

उकल:

वर्ष	निर्देशांक (Y)	4-वर्षीय एकूण बेरीज	केंद्रित बेरीज (2 गटांची बेरीज)	प्रवृत्ती मूल्य (केंद्रित बेरीज / 8)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
		8
1978	3		18	2.25
		10
1979	3		22	2.75
		12
1980	2		26	3.25
		14
1981	4		31	3.875
		17
1982	5		39	4.875
		22
1983	6		50	6.25
		28	-	-
1984	7	-	-	-
1985	10	-	-	-

प्रवृत्ती मूल्ये: 2.25, 2.75, 3.25, 3.875, 4.875, 6.25.

प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) जर खाली दिलेल्या माहितीसाठी, वॉल्श किंमत निर्देशांक क्रमांक 150 असेल तर \( x \) शोधा :

उकल:
वॉल्श किंमत निर्देशांक सूत्र: \( P_{01}(w) = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100 \)
समजा \( W = \sqrt{q_0 q_1} \).

वस्तू	\(p_0\)	\(q_0\)	\(p_1\)	\(q_1\)	\(W = \sqrt{q_0 q_1}\)	\(p_0 W\)	\(p_1 W\)
A	5	3	10	3	\(\sqrt{9}=3\)	15	30
B	\(x\)	4	16	9	\(\sqrt{36}=6\)	\(6x\)	96
C	15	5	23	5	\(\sqrt{25}=5\)	75	115
D	10	2	26	8	\(\sqrt{16}=4\)	40	104
एकूण (Total)	-	-	-	-	-	\(130 + 6x\)	345

दिले आहे \( P_{01}(w) = 150 \):
\( 150 = \frac{345}{130 + 6x} \times 100 \)
\( \frac{150}{100} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( 130 + 6x = \frac{345 \times 2}{3} \)
\( 130 + 6x = 115 \times 2 = 230 \)
\( 6x = 230 - 130 \)
\( 6x = 100 \)
\( x = \frac{100}{6} = \mathbf{16.67} \)

(ii) एक खेळणी बनविणारी कंपनी पाच प्रकारची खेळणी बनवते. प्रत्येक खेळण्याला A, B, C तीन यंत्रातून A, B, C या क्रमाने जायचे आहे. एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) व यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time) शोधा.

उकल:
पायरी 1: अट तपासणे
Min \(A = 12\) (प्रकार 3), Min \(C = 8\) (प्रकार 1), Max \(B = 12\) (प्रकार 2).
येथे Min \(A \ge\) Max \(B\) (\(12 \ge 12\)), म्हणून अट पूर्ण झाली.

पायरी 2: दोन काल्पनिक यंत्रे G आणि H तयार करणे
\(G_i = A_i + B_i\) आणि \(H_i = B_i + C_i\)

प्रकार	1	2	3	4	5
G (A+B)	26	32	16	20	30
H (B+C)	18	30	20	18	18

पायरी 3: क्रम निश्चित करणे (Johnson's Algorithm)
किमान वेळ 16 आहे (G वर प्रकार 3) &to; 3 प्रथम येईल.
पुढील किमान 18 आहे (H वर प्रकार 1, 4, 5) &to; 1, 4, 5 शेवटी येतील.
उर्वरित प्रकार 2 आहे.
इष्टतम क्रम (Optimal Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1

पायरी 4: एकूण व्यतीत वेळ सारणी

क्रम	यंत्र A		यंत्र B		यंत्र C
क्रम	आंत (In)	बाहेर (Out)	आंत (In)	बाहेर (Out)	आंत (In)	बाहेर (Out)
3	0	12	12	16	16	32
2	12	32	32	44	44	62
5	32	54	54	62	62	72
4	54	68	68	74	74	86
1	68	84	84	94	94	102

एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) = 102 तास.

पायरी 5: यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time)
निष्क्रिय वेळ = एकूण वेळ - B च्या कामाच्या वेळेची बेरीज
B ची बेरीज = \(10+12+4+6+8 = 40\) तास.
B साठी निष्क्रिय वेळ = \(102 - 40 = \mathbf{62 \text{ तास}}\).

(iii) एका यादृच्छिक चल X चे संभाव्यता वितरण खालील प्रमाणे आहे. शोधा (अ) k (ब) \(P(X < 3)\) (क) \(P(X > 6)\)

X	1	2	3	4	5	6	7
P(x)	k	2k	2k	3k	\(k^2\)	\(2k^2\)	\(7k^2+k\)

उकल:
(अ) आपल्याला माहित आहे की \(\sum P(x) = 1\):
\( k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1 \)
\( 10k^2 + 9k = 1 \)
\( 10k^2 + 9k - 1 = 0 \)
\( 10k^2 + 10k - k - 1 = 0 \)
\( 10k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( (10k - 1)(k + 1) = 0 \)
\( k = \frac{1}{10} \) किंवा \( k = -1 \).
संभाव्यता ऋण असू शकत नाही, म्हणून \( k = 0.1 \).

(ब) \( P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) \)
\( = k + 2k = 3k \)
\( = 3(0.1) = \mathbf{0.3} \)

(क) \( P(X > 6) = P(X=7) \)
\( = 7k^2 + k \)
\( = 7(0.1)^2 + 0.1 \)
\( = 7(0.01) + 0.1 \)
\( = 0.07 + 0.1 = \mathbf{0.17} \)

प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) एका इमारतीचा विमा त्याच्या एकूण किंमतीच्या 75% आहे. त्याचा वार्षिक हप्ता 0.70% प्रमाणे ₹ 2,625 होतो. जर आगीमुळे इमारतीचे 60% पर्यंत नुकसान झाले तर या विम्याअंतर्गत किती रकमेचा दावा (Claim) करता येईल?

उकल:
समजा मालमत्तेचे मूल्य (Property Value) \( V \) आहे.
पॉलिसी मूल्य (Policy Value) = \( 75\% \) of \( V = 0.75V \).
हप्त्याचा दर (Rate of Premium) = \( 0.70\% = 0.007 \).
हप्ता (Premium) = ₹ 2,625.

पायरी 1: मालमत्तेचे मूल्य काढणे
\( \text{हप्ता} = \text{पॉलिसी मूल्य} \times \text{दर} \)
\( 2625 = 0.75V \times \frac{0.70}{100} \)
\( 2625 = V \times 0.00525 \)
\( V = \frac{2625}{0.00525} = 5,00,000 \)
मालमत्तेचे मूल्य = ₹ 5,00,000.
पॉलिसी मूल्य = \( 0.75 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,75,000 \).

पायरी 2: दावा (Claim) काढणे
नुकसान (Loss) = 60% of \( V = 0.60 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,00,000 \).
मालमत्ता पूर्ण विम्यात नाही (under-insured), म्हणून सरासरी कलम (Average Clause) लागू होईल.
\( \text{दावा} = \frac{\text{पॉलिसी मूल्य}}{\text{मालमत्तेचे मूल्य}} \times \text{नुकसान} \)
\( \text{दावा} = \frac{3,75,000}{5,00,000} \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = 0.75 \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = \mathbf{2,25,000} \)

उत्तर: विम्याअंतर्गत ₹ 2,25,000 चा दावा करता येईल.

(ii) एका यंत्राच्या दुकानात तीन नवीन यंत्रे \(M_1, M_2, M_3\) स्थापित करायची आहेत. चार रिक्त जागा A, B, C, D उपलब्ध आहेत. मर्यादित जागेमुळे यंत्र \(M_2\), ला B च्या जागेवर स्थापित करू शकत नाही. किंमत सारणी (शंभर रुपयांमध्ये) खाली दिली आहे. इष्टतम सोपवणी वेळापत्रक आणि किमान किंमत शोधा.

यंत्र	A	B	C	D
\(M_1\)	13	10	12	11
\(M_2\)	15	-	13	20
\(M_3\)	5	7	10	6

उकल:
येथे 3 यंत्रे आणि 4 जागा आहेत, म्हणून ही असंतुलित समस्या (Unbalanced problem) आहे. आपण 0 किंमत असलेले एक डमी यंत्र \(M_4\) जोडू. तसेच \(M_2\) ला B वर ठेवता येत नाही, म्हणून तिथे किंमत अनंत (\(\infty\)) घेऊ.

पायरी 1: सारणी तयार करणे

13	10	12	11
15	∞	13	20
5	7	10	6
0	0	0	0

पायरी 2: ओळ कमी करणे (Row Reduction) (प्रत्येक ओळीतून किमान संख्या वजा करा)
\(R_1\) (min 10): 3, 0, 2, 1
\(R_2\) (min 13): 2, ∞, 0, 7
\(R_3\) (min 5): 0, 2, 5, 1
\(R_4\) (min 0): 0, 0, 0, 0

पायरी 3: सोपवणी करणे (Assignment - Zero selection)
- \(R_2\) मध्ये फक्त एक शून्य C वर आहे. \(M_2 \to C\) (किंमत 13).
- \(R_1\) मध्ये आता फक्त एक शून्य B वर उपलब्ध आहे. \(M_1 \to B\) (किंमत 10).
- \(R_3\) मध्ये फक्त एक शून्य A वर आहे. \(M_3 \to A\) (किंमत 5).
- \(R_4\) साठी जागा D उरली आहे. \(M_4 \to D\) (किंमत 0).

इष्टतम वेळापत्रक:
\(M_1 \to B\) (10)
\(M_2 \to C\) (13)
\(M_3 \to A\) (5)
(जागा D रिक्त राहील)

किमान किंमत = 10 + 13 + 5 = 28 (शंभर) = ₹ 2,800.

(iii) 10% सदोष अंडी असलेली अंडी क्रमशः बदलून (with replacement) काढली जातात. 10 अंड्यांचा समूह आहे, या अंड्यांमध्ये किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता शोधा.

उकल:
ही द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) समस्या आहे \( X \sim B(n, p) \).
सदोष अंड्याची संभाव्यता \( p = 10\% = 0.1 \).
चांगल्या अंड्याची संभाव्यता \( q = 1 - 0.1 = 0.9 \).
एकूण प्रयत्न \( n = 10 \).

आपल्याला किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता काढायची आहे: \( P(X \ge 1) \).
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \)
\( P(X = 0) = {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \)

\( P(X \ge 1) = 1 - (0.9)^{10} \)
उत्तर: \( 1 - (0.9)^{10} \)

प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खालील तक्ता वर्षे 1980 ते 2010 साठी अखिल भारतीय बाल मृत्युदर (प्रति '000) दर्शवितो. वरील माहितीसाठी कमीत कमी वर्ग पद्धतीने (least squares method) प्रवृत्तीरेषा बनवा.

वर्ष	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2010
IMR	10	7	5	4	3	1	0

उकल:
येथे \( n = 7 \) (विषम संख्या).
मध्यवर्ती वर्ष 1995 आहे.
समजा \( u = \frac{t - 1995}{5} \) (येथे 5 वर्षांचा फरक आहे).

वर्ष (t)	IMR (y)	\(u\)	\(u^2\)	\(uy\)
1980	10	-3	9	-30
1985	7	-2	4	-14
1990	5	-1	1	-5
1995	4	0	0	0
2000	3	1	1	3
2005	1	2	4	2
2010	0	3	9	0
एकूण (Total)	\(\sum y = 30\)	\(\sum u = 0\)	\(\sum u^2 = 28\)	\(\sum uy = -44\)

प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण: \( y = a + bu \)
येथे, \( a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} \approx 4.286 \)
आणि \( b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -\frac{11}{7} \approx -1.571 \)

प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण:
\( y = 4.286 - 1.571 u \)
किंवा \( y = 4.286 - 1.571 \left( \frac{t - 1995}{5} \right) \)

(ii) लघुत्तम करा (Minimize): \( z = 6x + 2y \)
अटी (Constraints):
\( x+2y \ge 3 \), \( x+4y \ge 4 \), \( 3x+y \ge 3 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).

उकल:
दिलेल्या समीकरणांसाठी रेषांचे आलेख बिंदू काढू:
1. \( L_1: x + 2y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (3, 0) आणि (0, 1.5)
2. \( L_2: x + 4y = 4 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (4, 0) आणि (0, 1)
3. \( L_3: 3x + y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (1, 0) आणि (0, 3)

सर्व अटी '\(\ge\)' प्रकारच्या आहेत, त्यामुळे संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) रेषांच्या वरच्या बाजूला आहे (Unbounded).

संभाव्य क्षेत्राचे शिरोबिंदू (Corner Points):
1. A(0, 3) [रेषा \(L_3\) चा Y-अक्ष छेद]
2. B [रेषा \(L_1\) आणि \(L_3\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( 3x+y=3 \) सोडवून.
\( y = 3-3x \Rightarrow x+2(3-3x)=3 \Rightarrow x+6-6x=3 \Rightarrow -5x=-3 \Rightarrow x=0.6 \)
\( y = 3 - 3(0.6) = 1.2 \)
\(\therefore B(0.6, 1.2)\)

3. C [रेषा \(L_1\) आणि \(L_2\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( x+4y=4 \) सोडवून.
वजाबाकी करून: \( 2y=1 \Rightarrow y=0.5 \)
\( x+2(0.5)=3 \Rightarrow x+1=3 \Rightarrow x=2 \)
\(\therefore C(2, 0.5)\)

4. D(4, 0) [रेषा \(L_2\) चा X-अक्ष छेद]

Z ची मूल्ये (Values of Z):
\( Z(A) = 6(0) + 2(3) = 6 \)
\( Z(B) = 6(0.6) + 2(1.2) = 3.6 + 2.4 = \mathbf{6} \)
\( Z(C) = 6(2) + 2(0.5) = 12 + 1 = 13 \)
\( Z(D) = 6(4) + 2(0) = 24 \)

उत्तर: \( Z \) चे किमान मूल्य 6 आहे.

प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) एका द्विचलीय माहितीसाठी \( \overline{x}=10 \), \( \overline{y}=12 \), \( V(X)=9 \), \( \sigma_{y}=4 \) आणि \( r=0.6 \). \( x=5 \) असताना \( y \) ची किंमत काढा.

उकल:
X वर Y ची प्रतिगमन रेषा (Regression line of Y on X):
\( Y-\overline{y} = b_{yx}(X-\overline{x}) \)
\( Y-12 = r\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}(X-10) \)
(येथे \( V(X)=9 \implies \sigma_x = 3 \))

\( Y-12 = 0.6 \times \frac{4}{\mathbf{\fbox{ 3 }}} (X-10) \)

जेव्हा \( x=5 \):
\( Y-12 = \) 0.8 \( (5-10) \)
(कारण \( 0.6 \times \frac{4}{3} = 0.8 \))

\( Y-12 = 0.8(-5) \)
\( Y-12 = -4 \)
\( Y = \) 8

(ii) जर \( X\sim P(m) \) आणि \( P(X=1)=P(X=2) \) तर सरासरी (mean) आणि \( P(X=2) \) शोधा.
दिले आहे \( e^{-2}=0.1353 \).

उकल:
पॉयसन वितरणानुसार सूत्र (Poisson Distribution Formula): \( P(X=x) = \frac{e^{-m}m^x}{x!} \)
दिले आहे की \( P(X=1)=P(X=2) \)

\( \frac{e^{-m}m^{1}}{1!} = \frac{e^{-m}m^{2}}{\mathbf{\fbox{ 2! }}} \)

दोन्ही बाजूंना \( e^{-m} \cdot m \) ने भागून:
\( 1 = \frac{m}{2} \)
\( m = \) 2

आता \( P(X=2) \) काढू:
\( P(X=2) = \frac{e^{-2}\cdot2^{2}}{2!} \)
\( P(X=2) = \frac{0.1353 \times 4}{2} \)
\( P(X=2) = \) 0.2706

For all your study Materials Visit : omtexclasses.com

OMTEX CLASSES

Main Menu