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Maharashtra Board Class 12 Commerce Maths and Statistics March 2025 Paper Solutions

Mathematics & Statistics (Commerce) - 2025 Board Paper Solution (Marathi Medium)

Paper Code: J-317 | Max Marks: 80 | Time: 3 Hrs

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या प्रत्येक प्रश्नासाठी सर्वात योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) जर $p$: तो बुद्धिमान आहे, $q$: तो बलवान आहे.
तर "तो बुद्धिमान किंवा बलवान आहे हे चुकीचे आहे" या विधानाचे प्रतीकात्मक रूप _____ आहे.

(अ) $\sim p \lor \sim q$
(ब) $\sim (p \land q)$
(क) $\sim (p \lor q)$
(ड) $p \lor \sim q$

उत्तर: (क) $\sim (p \lor q)$
स्पष्टीकरण: "बुद्धिमान किंवा बलवान" म्हणजे $p \lor q$. "हे चुकीचे आहे" म्हणजे नकार. म्हणून $\sim (p \lor q)$.

(ii) $\int (x + \frac{1}{x})^3 dx =$

(अ) $\frac{1}{4}(x + \frac{1}{x})^4 + c$
(ब) $\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x - \frac{1}{2x^2} + c$
(क) $\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x + \frac{1}{x^2} + c$
(ड) $(x - x^{-1})^3 + c$

उत्तर: (ब)
उकल: विस्तार (Expand): $(x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + x^{-3}$.
समाकलन (Integration): $\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} + c$.

(iii) $\int_{2}^{7} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{9-x}} dx =$

(अ) $\frac{7}{2}$
(ब) $\frac{5}{2}$
(क) 7
(ड) 2

उत्तर: (ब) $\frac{5}{2}$
उकल: गुणधर्म (Property) वापरून $I = \frac{b-a}{2} = \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2}$.

(iv) वक्र $y = x^2$ आणि रेषा $y = 4$ ने बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ _____ आहे.

(अ) $\frac{32}{3}$ चौ. एकक
(ब) $\frac{64}{3}$ चौ. एकक
(क) $\frac{16}{3}$ चौ. एकक
(ड) 64 चौ. एकक

उत्तर: (अ) $\frac{32}{3}$ चौ. एकक
उकल: क्षेत्रफळ $= 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}$.

(v) विकलनीय समीकरण $(\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^2 = a^x$ चा क्रम आणि कोटी क्रमशः _____ आहे.

(अ) 1, 1
(ब) 1, 2
(क) 2, 2
(ड) 2, 1

उत्तर: (क) 2, 2 (क्रम Order = 2, कोटी Degree = 2)

(vi) विकलनीय समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3$ एकत्रीकरण घटक (I.F.) _____ आहे.

(अ) $\log x$
(ब) $e^x$
(क) $\frac{1}{x}$
(ड) $x$

उत्तर: (ड) $x$
उकल: I.F. $= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x$.

प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) जर $A$ एक सारणी आणि $K$ एक स्थिरांक असेल तर $(KA)^T = K A^T$.

उत्तर: सत्य (True)

(ii) $\int \log x dx = x \log x + x + c$.

उत्तर: असत्य (False) (योग्य उत्तर: $x \log x - x + c$).

(iii) $bx + ay = ab$ पासून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून प्राप्त केलेले विकलन समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$ आहे.

उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) खालील दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) जर सरासरी महसूल $R_A$ = 50 असेल आणि मागणीची लवचिकता $\eta = 5$ असेल तर किरकोळ महसूल $R_M$ _____ आहे.

उत्तर: 40
($R_M = R_A(1 - \frac{1}{\eta}) = 50(1 - \frac{1}{5}) = 40$)

(ii) $\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = $ _____ $+ c$

उत्तर: $\frac{e^x}{x}$

(iii) जर $f'(x) = x^2 + 5$ आणि $f(0) = -1$ तर $f(x) = $ _____.

उत्तर: $\frac{x^3}{3} + 5x - 1$

प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) "जर त्रिकोण समभुज असेल तर तो समकोण असेल." ह्या विधानाचे विरुद्ध (converse), व्यस्त (inverse) आणि विपरीत (contrapositive) विधाने लिहा.

समजा $p$: त्रिकोण समभुज आहे, $q$: तो समकोण आहे.
मूळ विधान: $p \rightarrow q$
विरुद्ध (Converse) ($q \rightarrow p$): जर त्रिकोण समकोण असेल तर तो समभुज असतो.
व्यस्त (Inverse) ($\sim p \rightarrow \sim q$): जर त्रिकोण समभुज नसेल तर तो समकोण नसतो.
विपरीत (Contrapositive) ($\sim q \rightarrow \sim p$): जर त्रिकोण समकोण नसेल तर तो समभुज नसतो.

(ii) जर $\left\{ 5 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \right\} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-1 \\ y+1 \\ 2z \end{bmatrix}$ तर $x, y, z$ शोधा.

$5A - 3B = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 5 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & -6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -4 & 6 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$
गुणाकार करा $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$:
$\begin{bmatrix} -6(2) + 2(1) \\ -4(2) + 6(1) \\ 2(2) + (-4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}$
तुलना करून:
$x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9$
$y + 1 = -2 \Rightarrow y = -3$
$2z = 0 \Rightarrow z = 0$

(iii) सोडवा: $\int \frac{1}{x(x^6+1)} dx$

अंश आणि छेदाला $x^5$ ने गुणून: $\int \frac{x^5}{x^6(x^6+1)} dx$
समजा $x^6 = t \Rightarrow 6x^5 dx = dt$
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{6} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt$
$I = \frac{1}{6} (\log|t| - \log|t+1|) + c = \frac{1}{6} \log|\frac{x^6}{x^6+1}| + c$

प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) Solve the following equations by the method of inversion:
$2x - y + z = 1$
$x + 2y + 3z = 8$
$3x + y - 4z = 1$

Solution:
The given system of equations can be written in matrix form $AX = B$, where
$A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}$

Step 1: Find determinant of A ($|A|$)
$|A| = 2(-8 - 3) - (-1)(-4 - 9) + 1(1 - 6)$
$|A| = 2(-11) + 1(-13) + 1(-5)$
$|A| = -22 - 13 - 5 = -40 \neq 0$
Since $|A| \neq 0$, $A^{-1}$ exists.

Step 2: Find Matrix of Cofactors
$A_{11} = -11, \quad A_{12} = 13, \quad A_{13} = -5$
$A_{21} = -3, \quad A_{22} = -11, \quad A_{23} = -5$
$A_{31} = -5, \quad A_{32} = -5, \quad A_{33} = 5$

Cofactor Matrix $C = \begin{bmatrix} -11 & 13 & -5 \\ -3 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}$
$\text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}$

Step 3: Find X using $X = A^{-1}B$
$X = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) B$
$X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11(1) -3(8) -5(1) \\ 13(1) -11(8) -5(1) \\ -5(1) -5(8) + 5(1) \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 - 24 - 5 \\ 13 - 88 - 5 \\ -5 - 40 + 5 \end{bmatrix}$
$X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -40 \\ -80 \\ -40 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$\therefore x = 1, y = 2, z = 1$

(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च $E_c$, त्याचे उत्पन्न $I$ बरोबर असे दिलेले आहे की $E_c = (0.0003)I^2 + (0.075)I$; जेव्हा $I = 1000$ असेल तर MPC, MPS, APC आणि APS शोधा.

येथे $I = 1000$.
APC $= \frac{E_c}{I} = 0.0003I + 0.075$
$I=1000$ असताना: APC $= 0.0003(1000) + 0.075 = 0.3 + 0.075 = 0.375$
APS $= 1 - APC = 1 - 0.375 = 0.625$
MPC $= \frac{dE_c}{dI} = 0.0006I + 0.075$
$I=1000$ असताना: MPC $= 0.0006(1000) + 0.075 = 0.6 + 0.075 = 0.675$
MPS $= 1 - MPC = 1 - 0.675 = 0.325$

(iii) सोडवा: $\int_1^2 \frac{dx}{x^2+6x+5}$

$x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)$.
Partial Fractions: $\frac{1}{(x+1)(x+5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+5})$
$I = \frac{1}{4} [\log|x+1| - \log|x+5|]_1^2 = \frac{1}{4} [\log(\frac{x+1}{x+5})]_1^2$
वरची सीमा: $\log(\frac{3}{7})$, खालची सीमा: $\log(\frac{2}{6}) = \log(\frac{1}{3})$
$I = \frac{1}{4} (\log \frac{3}{7} - \log \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} \log(\frac{9}{7})$.

प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) जर $y = (x)^x + (a)^x$ तर $\frac{dy}{dx}$ शोधा.

समजा $u = x^x$ आणि $v = a^x$.
$u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \Rightarrow \frac{du}{dx} = x^x(1+\log x)$
$v = a^x \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a^x \log a$
$\frac{dy}{dx} = x^x(1+\log x) + a^x \log a$

(ii) अन्वस्त (parabola) $y^2 = 25x$ आणि रेषा $x = 5$ मधील बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.

अन्वस्त X-अक्षाभोवती सममित (symmetric) आहे.
क्षेत्रफळ $= 2 \int_0^5 y dx = 2 \int_0^5 5\sqrt{x} dx = 10 \int_0^5 x^{1/2} dx$
$= 10 [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^5 = \frac{20}{3} [5^{3/2}] = \frac{100\sqrt{5}}{3}$ चौ. एकक.

(iii) $y = Ae^{3x} + Be^{-3x}$ संबंधातून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून विकलन समीकरण शोधा.

पहिले विकलन (Derivative): $y' = 3Ae^{3x} - 3Be^{-3x}$
दुसरे विकलन: $y'' = 9Ae^{3x} + 9Be^{-3x} = 9(Ae^{3x} + Be^{-3x})$
$y'' = 9y \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0$

प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) Using the truth table, verify $p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)$

Solution:
We construct the truth table for the given logical statement.

$p$	$q$	$r$	$q \land r$	$p \lor (q \land r)$ (LHS)	$p \lor q$	$p \lor r$	$(p \lor q) \land (p \lor r)$ (RHS)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	F	F	T	F	F
F	F	T	F	F	F	T	F
F	F	F	F	F	F	F	F

From the table, the entries in column 5 (LHS) and column 8 (RHS) are identical.
$\therefore p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)$ is verified.

(ii) जर $x = \frac{4t}{1+t^2}, y = 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})$, तर दाखवा $\frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}$.

समजा $t = \tan \theta$. तर $x = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta$ आणि $y = 3 \cos 2\theta$.
म्हणून $\frac{x}{2} = \sin 2\theta$ आणि $\frac{y}{3} = \cos 2\theta$.
वर्ग करून बेरीज केल्यास: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$.
विकलन केल्यास: $\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{x}{2} = -\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}$.

प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृति सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) संख्या 84 दोन भागांमध्ये अशा प्रकारे विभाजित करा जेणेकरून पहिला भाग आणि दुसऱ्या भागाच्या वर्गाचा गुणाकार जास्तीत जास्त असेल.

समजा पहिला भाग $x$ असेल, तर दुसरा भाग $84 - x$ असेल.
$f(x) = x^2(84-x) = 84x^2 - x^3$ (दुसऱ्या भागाचा वर्ग घेण्याऐवजी प्रश्नाच्या संदर्भांनुसार सोडवल्यास: प्रश्नात "पहिला भाग आणि दुसऱ्या भागाचा वर्ग" म्हटले आहे, पण सामान्यतः अशा प्रश्नांमध्ये $x \times (84-x)^2$ किंवा $x^2(84-x)$ असू शकते. दिलेल्या स्टेप्समध्ये $f'(x)=168x-3x^2$ आहे, याचा अर्थ $f(x) = 84x^2 - x^3$ घेतले आहे, म्हणजे एका भागाचा वर्ग आणि दुसरा भाग).
$f'(x) = 168x - 3x^2$
कमाल मूल्यासाठी $f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(56-x) = 0$
$x = 0$ किंवा $x = 56$
$f''(x) = 168 - 6x$
जर $x=56, f''(56) = 168 - 336 = -168 < 0$
म्हणून $x = 56$ वर फलन कमाल आहे.
84 चे दोन भाग 56 आणि 28 आहेत.

(ii) Solve the following differential equation
$(x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0$

Solution:
Separating the variables, the given equation can be written as:
$x^2(1-y)dy + y^2(1+x)dx = 0$
Dividing by $x^2y^2$,

$\left[ \frac{1-y}{y^2} \right] dy + \left[ \frac{1+x}{x^2} \right] dx = 0$

$\therefore (y^{-2} - \frac{1}{y})dy + (x^{-2} + \frac{1}{x})dx = 0$

$\left[ y^{-2} \right] dy - \frac{1}{y}dy + x^{-2}dx + \left[ \frac{1}{x} \right] dx = 0$

Integrating we get,
$\int y^{-2}dy - \int \frac{1}{y}dy + \int x^{-2}dx + \int \frac{1}{x}dx = 0$

$\therefore \frac{y^{-1}}{-1} - \left[ \log y \right] + \frac{x^{-1}}{-1} + \left[ \log x \right] = c$

$-\frac{1}{y} - \frac{1}{x} + \log x - \log y = c$

$\log x - \log y = \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] + c$

is the required solution.

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) खालील दिलेल्या प्रत्येक प्रश्नासाठी सर्वात योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) दलाल जो त्याच्या मालकाला हमी देतो की पक्ष मालाची विक्री किंमत देईल त्याला _____ असे म्हणतात.

(अ) लिलाव करणारा (Auctioneer)
(ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)
(क) घटक (Factor)
(ड) दलाल (Broker)

उत्तर: (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)

(ii) सामान्य वार्षिकी मध्ये देणे किंवा पावत्या _____ होतात.

(अ) प्रत्येक कालावधीच्या सुरुवातीस
(ब) प्रत्येक कालावधीच्या अखेरीस
(क) प्रत्येक कालावधीच्या मध्यात
(ड) त्रैमासिक तत्त्वावर

उत्तर: (ब) प्रत्येक कालावधीच्या अखेरीस

(iii) चलित सरासरी (Moving averages) _____ ओळखण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

(अ) हंगामी घटक
(ब) अनियमित घटक
(क) कल घटक (Trend component)
(ड) चक्रीय घटक

उत्तर: (क) कल घटक

(iv) जर $P_{01}(L)=90$ आणि $P_{01}(P)=40$ तर $P_{01}(D-B)$ तर _____ आहे.

(अ) 65
(ब) 50
(क) 25
(ड) 130

उत्तर: (अ) 65 (L आणि P ची सरासरी: $\frac{90+40}{2}$)

(v) सोपवणी समस्येचे उद्दिष्ट _____ नियुक्त करणे आहे.

(अ) जास्तीत जास्त किमतीत कामांची संख्या समान व्यक्तींची संख्या
(ब) कमीत कमी किमतीत कामांची संख्या समान व्यक्तींची संख्या
(क) फक्त खर्च वाढवण्यासाठी
(ड) फक्त खर्च कमी करण्यासाठी

उत्तर: (ड) फक्त खर्च कमी करण्यासाठी (Minimization objective).

(vi) दोन निष्पक्ष फासे फेकले जातात तेव्हा मिळणाऱ्या दोन संख्यांच्या बेरजेचे अपेक्षित मूल्य _____ असते.

(अ) 5
(ब) 6
(क) 7
(ड) 8

उत्तर: (क) 7

प्र. ४. (ब) खालील दिलेली विधाने सत्य किंवा असत्य आहेत ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) जर $b_{yx} + b_{xy} = 1.30$ आणि $r = 0.75$ तर दिलेली माहिती विसंगत आहे. उत्तर: सत्य (True).

(ii) चक्रीय भिन्नता वर्षातून अनेक वेळा येऊ शकते. उत्तर: असत्य (False).

(iii) जीवनावश्यक निर्देशांक क्रमांक पैशाची क्रयशक्ती मोजण्यासाठी वापरला जातो. उत्तर: सत्य (True).

प्र. ४. (क) खालील दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण):

(i) बँकेची सवलत वजा केल्यावर हुंडी धारकास दिलेली रक्कम तात्काळ मूल्य (Cash Value) म्हणून ओळखली जाते.

(ii) वेळ मालिकेचा कल मोजण्याची सोपी पद्धत आलेख पद्धत (Graphical Method) आहे.

(iii) भारित एकत्रित पद्धतीनुसार प्रमाण निर्देशांक क्रमांक $\frac{\sum q_1 w}{\sum q_0 w} \times 100$ द्वारे दिला जातो.

प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) खालील माहितीसाठी योग्य प्रतिगमन समीकरणाची गणना करा.
X: 1, 2, 3, 4, 5 आणि Y: 5, 7, 9, 11, 13.

मध्य (Means): $\bar{X}=3, \bar{Y}=9$.
$b_{yx} = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum(X-\bar{X})^2} = \frac{20}{10} = 2$.
Y चे X वरील समीकरण: $Y - 9 = 2(X - 3) \Rightarrow Y = 2X + 3$.

(ii) L.P.P. तयार करा: कंपनी सिमेंट आणि वाळूच्या ठोस विटा बनवते...

समजा $x$ = सिमेंटचे किलो, $y$ = वाळूचे किलो.
Minimize $Z = 20x + 6y$
अटी:
$x + y \ge 5$ (वजन)
$x \ge 4$ (किमान सिमेंट)
$y \le 2$ (कमाल वाळू)
$x, y \ge 0$.

(iii) नि:पक्षपाती नाण्याच्या तीन नाणेफेकमध्ये छायाच्या संख्येचा मध्य (mean) शोधा.

$n=3, p=0.5$. हे द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) आहे.
मध्य $E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5$.

प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) 4-वर्षीय केंद्रिम चलित सरासरीचा (4-yearly centered moving average) वापर करून खालील माहितीसाठी कल मूल्ये (trend values) मिळवा:

वर्ष	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
निर्देशांक	0	2	3	3	2	4	5	6	7	10

उकल:

वर्ष (t)	निर्देशांक (y)	4-वर्षीय बेरीज	2-गटांची बेरीज (Centered)	कल मूल्य (Trend) = बेरीज/8
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
1978	3	8 (0+2+3+3)	18 (8+10)	2.25
1979	3	10 (2+3+3+2)	22 (10+12)	2.75
1980	2	12 (3+3+2+4)	26 (12+14)	3.25
1981	4	14 (3+2+4+5)	31 (14+17)	3.875
1982	5	17 (2+4+5+6)	39 (17+22)	4.875
1983	6	22 (4+5+6+7)	50 (22+28)	6.25
1984	7	28 (5+6+7+10)	-	-
1985	10	-	-	-

(ii) खालील कार्ये पूर्ण करण्यासाठी AB या क्रमाने एकूण व्यतीत वेळ कमी करणारा कार्याचा क्रम शोधा. एकूण व्यतीत वेळ आणि यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ शोधा:

कार्ये	I	II	III	IV	V	VI	VII
यंत्र A	7	16	19	10	14	15	5
यंत्र B	12	14	14	10	16	5	7

उकल:
सर्वात लहान वेळ 5 आहे (कार्ये VII वर A आणि VI वर B).
कार्ये VII प्रथम आणि VI शेवटी येईल: VII ... VI
उर्वरित कार्यांमधून (I, II, III, IV, V), किमान वेळ 7 आहे (कार्य I, यंत्र A). म्हणून VII नंतर I येईल.
क्रम: VII - I ... VI
उर्वरित कार्यांमधून (II, III, IV, V), किमान वेळ 10 आहे (कार्य IV, दोन्ही यंत्रांवर). आपण ते I नंतर घेऊ.
क्रम: VII - I - IV ... VI
त्यानंतर किमान वेळ 14 आहे (कार्य V-A वर, II आणि III-B वर). V ला डावीकडे आणि II, III ला उजवीकडे घेऊ.
इष्टतम क्रम: VII - I - IV - V - II - III - VI

एकूण व्यतीत वेळ गणना:

कार्य	यंत्र A		यंत्र B
कार्य	आत	बाहेर	आत	बाहेर
VII	0	5	5	12 (5+7)
I	5	12 (5+7)	12	24 (12+12)
IV	12	22 (12+10)	24	34 (24+10)
V	22	36 (22+14)	36	52 (36+16)
II	36	52 (36+16)	52	66 (52+14)
III	52	71 (52+19)	71	85 (71+14)
VI	71	86 (71+15)	86	91 (86+5)

एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time): 91 तास/मिनिटे.
यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ (Idle Time):
(5 - 0) + (12 - 12) + (24 - 24) + (36 - 34) + (52 - 52) + (71 - 66) + (86 - 85)
= 5 + 0 + 0 + 2 + 0 + 5 + 1 = 13 तास/मिनिटे.

(iii) 52 पत्त्यांच्या चांगल्या फेरफार केलेल्या गड्डीमधून 5 पत्ते एकापाठोपाठ काढली जातात. (अ) पाचही पत्ते इस्पिक आहेत. (ब) फक्त 3 पत्ते इस्पिक आहेत. त्याची संभाव्यता शोधा.

उकल:
एकूण पत्ते $n(S) = 52$. काढलेले पत्ते $r = 5$.
एकूण प्रकार = ${}^{52}C_5$.
इस्पिक पत्त्यांची संख्या = 13, इतर पत्ते = 39.

(अ) पाचही पत्ते इस्पिक असण्याची संभाव्यता:
इस्पिकमधून 5 निवडणे = ${}^{13}C_5$.
$P(A) = \frac{{}^{13}C_5}{{}^{52}C_5}$.

(ब) फक्त 3 पत्ते इस्पिक असण्याची संभाव्यता:
13 इस्पिकमधून 3 निवडणे आणि 39 इतर पत्त्यांमधून 2 निवडणे.
प्रकार = ${}^{13}C_3 \times {}^{39}C_2$.
$P(B) = \frac{{}^{13}C_3 \times {}^{39}C_2}{{}^{52}C_5}$.

प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) विमा गणना.

मूल्य = 8,00,000. विमा उतरवलेली किंमत = 8,00,000 चे $75\%$ = 6,00,000.
हप्ता (Premium) = 6,00,000 चे $0.80\%$ = 4,800.
दलालाची दलाली = 4,800 चे $9\%$ = 432.

(ii) खालील रेषीय उपयोजन समस्या (L.P.P.) आलेखीय पद्धतीने सोडवा. महत्तम $z = 4x + 6y$.

रेषा: $3x + 2y = 12$ (अक्ष बिंदू (4,0), (0,6)) आणि $x + y = 4$ (अक्ष बिंदू (4,0), (0,4)).
शिरोबिंदू A(4,0), B(0,4), C(0,6) आहेत.
$Z$ at A(4,0) = 16.
$Z$ at B(0,4) = 24.
$Z$ at C(0,6) = 36.
महत्तम मूल्य 36 आहे.

(iii) प्लायवुड पाटीवरील दोष यादृच्छिकपणे आढळतात आणि सरासरी एक दोष प्रति 50 चौरस फूट आहे. अशा पाटीची संभाव्यता शोधा ज्यामध्ये:
(अ) दोष नाही
(ब) किमान एक दोष आहे.
(वापरा $e^{-1} = 0.3678$)

उकल:
हे पॉयझन वितरण (Poisson Distribution) आहे.
सरासरी $m = 1$.
सूत्र: $P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}$

(अ) दोष नाही $(X=0)$:
$P(X=0) = \frac{e^{-1} (1)^0}{0!} = \frac{0.3678 \times 1}{1} = 0.3678$.

(ब) किमान एक दोष आहे $(X \ge 1)$:
$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)$
$P(X \ge 1) = 1 - 0.3678 = 0.6322$.

प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) दोन प्रतिगमन रेषांचे समीकरण $10x - 4y = 80$ आणि $10y - 9x = -40$ आहे. शोधा :
(अ) $\bar{x}$ आणि $\bar{y}$
(ब) $b_{yx}$ आणि $b_{xy}$
(क) $r$
(ड) जर $var(Y) = 36$ तर $var(X)$ मिळवा.

उकल:
(अ) मध्य $\bar{x}$ आणि $\bar{y}$ शोधणे:
दिलेली समीकरणे एकाच वेळी सोडवून (Intersection point is the mean):
(I) $10x - 4y = 80 \Rightarrow 5x - 2y = 40$
(II) $-9x + 10y = -40$
समीकरण (I) ला 5 ने गुणून: $25x - 10y = 200$
समीकरण (II) मिळवून: $-9x + 10y = -40$
बेरीज: $16x = 160 \Rightarrow \bar{x} = 10$.
$x$ ची किंमत (I) मध्ये ठेवून: $5(10) - 2y = 40 \Rightarrow 50 - 40 = 2y \Rightarrow y = 5$.
म्हणून $\bar{x} = 10$ आणि $\bar{y} = 5$.

(ब) $b_{yx}$ आणि $b_{xy}$ शोधणे:
समजा $10x - 4y = 80$ हे $X$ चे $Y$ वरील समीकरण आहे:
$10x = 4y + 80 \Rightarrow x = 0.4y + 8$. म्हणून $b_{xy} = 0.4$.
समजा $10y - 9x = -40$ हे $Y$ चे $X$ वरील समीकरण आहे:
$10y = 9x - 40 \Rightarrow y = 0.9x - 4$. म्हणून $b_{yx} = 0.9$.
तपासणी: $b_{xy} \times b_{yx} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 < 1$. हे वैध आहे.
म्हणून $b_{xy} = 0.4$ आणि $b_{yx} = 0.9$.

(क) $r$ शोधणे:
$r = \pm\sqrt{b_{xy} \times b_{yx}} = \sqrt{0.36} = 0.6$.
(दोन्ही प्रतिगमन सहगुणक धन आहेत, म्हणून $r$ धन आहे).
$r = 0.6$.

(ड) $var(X)$ शोधणे:
दिलेले $var(Y) = 36 \Rightarrow \sigma_y = 6$.
सूत्र: $b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x}$
$0.9 = 0.6 \times \frac{6}{\sigma_x}$
$\sigma_x = \frac{3.6}{0.9} = 4$.
$var(X) = \sigma_x^2 = 16$.

(ii) राहणीमान किंमत निर्देशांकाची किंमत 150 असल्यास $x$ शोधा :

गट	अन्न	कपडे	इंधन आणि विद्युत	घरभाडे	इतर
I	180	120	300	100	160
W	4	5	6	$x$	3

उकल:
सूत्र: $\text{CLI} = \frac{\sum IW}{\sum W}$
दिलेले $\text{CLI} = 150$.
गणना सारणी:
$\sum W = 4 + 5 + 6 + x + 3 = 18 + x$
$\sum IW = (180 \times 4) + (120 \times 5) + (300 \times 6) + (100 \times x) + (160 \times 3)$
$\sum IW = 720 + 600 + 1800 + 100x + 480$
$\sum IW = 3600 + 100x$

किंमती सूत्रामध्ये ठेवून:
$150 = \frac{3600 + 100x}{18 + x}$
$150(18 + x) = 3600 + 100x$
$2700 + 150x = 3600 + 100x$
$150x - 100x = 3600 - 2700$
$50x = 900$
$x = \frac{900}{50} = 18$.
उत्तर: $x = 18$.

प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) हुंडी (Bill of Exchange) कृती.

$BD = 18000 - 17568 = 432$.
$n = \frac{432 \times 100}{18000 \times 12} = \frac{1}{5}$ वर्षे = 73 दिवस.
वटवल्याची तारीख: 25 ऑक्टोबर.
ऑक्टोबर(6) + नोव्हेंबर(30) + डिसेंबर(31) = 67 दिवस.
उर्वरित = $73 - 67 = 6$ दिवस.
कायदेशीर देय तारीख = 6 जानेवारी 2018.

(ii) न्यूनतम करण्यासाठी खालील सोपवणी समस्या सोडवा (Activity):

	I	II	III	IV	V
1	18	24	19	20	23
2	19	21	20	18	22
3	22	23	20	21	23
4	20	18	21	19	19
5	18	22	23	22	21

उकल :

पायरी - I : त्या रांगेतील प्रत्येक घटकातून प्रत्येक रांगेतील सर्वात लहान घटक वजा करा.

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	3
2	0	3	1	1
0	4	5	4	3

पायरी - II : त्या स्तंभाच्या प्रत्येक घटकातून प्रत्येक स्तंभातील सर्वात लहान घटक वजा करा.

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	2
2	0	3	1	0
0	4	5	4	2

पायरी - III : सर्व शून्य व्यापणाऱ्या किमान रेषा काढा.
येथे कमीत कमी रेषांची संख्या (4) < सारणीचा क्रम (5).

पायरी - IV : सर्वात लहान न व्यापलेला घटक 1 आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदनबिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.

0	5	0	2	3
2	3	2	0	3
3	3	0	1	2
3	0	3	1	0
0	3	4	3	1

पायरी - V : सर्व शून्य व्यापणाऱ्या आवश्यक किमान रेषा काढा.
येथे कमीत कमी रेषांची संख्या $\ne$ सारणीचा क्रम.

पायरी - VI : सर्वात लहान न व्यापलेला घटक (1) आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदन बिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.
आता कमीत कमी रेषांची संख्या = सारणीचा क्रम.
इष्टतम सोपवणी केली जाऊ शकते.

इष्टतम उकल:
$1 \rightarrow$ I (मूल्य: 18)
$2 \rightarrow$ IV (मूल्य: 18)
$3 \rightarrow$ III (मूल्य: 20)
$4 \rightarrow$ II (मूल्य: 18)
$5 \rightarrow$ V (मूल्य: 21)

न्यूनतम मूल्य = 95

10th Science and Technology Part 1 Board Paper March 2025 Solution

Question 1 (A) Choose the correct alternative

(i) Alkaline earth metals have valency 2. This means that their position in the modern periodic table is in _______.

(A) Group 2
(B) Group 16
(C) Period 2
(D) d-block

Answer: (A) Group 2

(ii) The reaction in which ions in the reactants are exchanged to form a precipitate is called as _______ reaction.

(A) Combination
(B) Decomposition
(C) Displacement
(D) Double Displacement

Answer: (D) Double Displacement

(iii) _______ is used to make a solenoid type coil in an electric bulb.

(A) Nichrome
(B) Copper
(C) Tungsten
(D) Aluminium

Answer: (C) Tungsten

(iv) Light changes its direction when going from one transparent medium to another transparent medium. This process is called _______.

(A) Reflection
(B) Dispersion
(C) Scattering
(D) Refraction

Answer: (D) Refraction

(v) CaO + H₂O → Ca(OH)₂ + Heat is an example of _______ reaction.

(A) Exothermic
(B) Electrolysis
(C) Decomposition
(D) Endothermic

Answer: (A) Exothermic

Question 1 (B) Answer the following questions

(i) State whether true or false: A redox reaction takes place during cellular respiration.

Answer: True.

(ii) Find the odd one out: Loudspeaker, microphone, electric motor, magnet.

Answer: Magnet. (Others are devices that convert energy using electromagnetism; a magnet is a static material/component).

(iii) What is the reason for twinkling of stars?

Answer: The twinkling of stars is due to the atmospheric refraction of starlight. As the density of the atmosphere changes continuously, the refractive index changes, causing the position and brightness of the star to fluctuate.

(iv) Match the columns: Simple microscope

Answer: Simple microscope — (c) used for watch repair.

(v) Name the behaviour of water between its temperature from $0^{\circ}C$ to $4^{\circ}C$.

Answer: Anomalous behaviour of water (Anomalous expansion).

Question 2 (A) Give scientific reasons (any two)

(i) While going from left to right within a period, the size of atom decreases.

Reason: While going from left to right in a period, the atomic number increases, meaning the positive charge on the nucleus increases. However, the electrons are added to the same outermost shell. The increased nuclear attraction pulls the electrons closer to the nucleus, thereby decreasing the size of the atom.

(ii) For electric power transmission, copper or aluminium wire is used.

Reason: Copper and aluminium are very good conductors of electricity with low resistivity. They minimize the loss of energy in the form of heat during transmission. Additionally, they are ductile and relatively abundant (especially Aluminium), making them suitable for wires.

(iii) In some countries, ethanol is used as an additive to increase the efficiency of petrol.

Reason: Ethanol is a clean-burning fuel. When mixed with petrol, it provides oxygen that helps the fuel burn more completely, reducing harmful emissions like carbon monoxide. It also reduces dependence on fossil fuels.

Question 2 (B) Answer the following (any three)

(i) Name and state the principle used to measure the specific heat capacity of a substance.

Answer:
Name: Principle of Heat Exchange.
Statement: If a system of two objects is isolated from the environment, heat energy lost by the hot object is equal to heat energy gained by the cold object.

(ii) What is done to prevent rusting of iron door of your house?

Answer: The iron door is painted. The layer of paint prevents the direct contact of iron with the moisture and oxygen in the air, thereby preventing rusting. Alternatively, processes like galvanization could be used before manufacturing.

(iii) Distinguish between mass and weight.

Mass: It is the amount of matter present in the object. It is a scalar quantity and remains constant everywhere.
Weight: It is the gravitational force acting on the object. It is a vector quantity and changes from place to place.

(iv) The 'rocket' is a type of fire cracker used in Diwali. (a) Name the launcher. (b) Name the law on which its working is based.

(a) Launcher: A bottle or a hollow pipe is used as a support/launcher.
(b) Law: Newton's Third Law of Motion (Every action has an equal and opposite reaction).

(v) What is meant by decomposition reaction? Write the chemical reaction of decomposition of sugar on heating.

Definition: The chemical reaction in which two or more products are formed from a single reactant is called a decomposition reaction.
Reaction: $$C_{12}H_{22}O_{11} \xrightarrow{\Delta} 12C + 11H_2O$$ (Sugar decomposes into Carbon and Water vapor).

Question 3. Answer the following (any five)

(i) An iron ball of mass 3 kg is released from a height of 125 m and falls freely to the ground. Assuming that the value of g is 10 m/s², calculate : (a) Time taken by the ball to reach the ground. (b) Velocity of the ball on reaching the ground.

Given:
Mass ($m$) = 3 kg
Distance ($s$) = 125 m
Initial velocity ($u$) = 0 (released freely)
Gravity ($g$) = 10 m/s²

(a) Time taken ($t$):
Using Newton's second equation of motion:
$$s = ut + \frac{1}{2}gt^2$$ $$125 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$$ $$125 = 5t^2$$ $$t^2 = \frac{125}{5} = 25$$ $$t = 5 \text{ seconds}$$
(b) Velocity ($v$):
Using Newton's first equation of motion:
$$v = u + gt$$ $$v = 0 + 10 \times 5$$ $$v = 50 \text{ m/s}$$

(ii) Write the name and symbol of the element from the description: (a) The most electronegative atom. (b) The atom having smallest atomic mass. (c) The noble gas with the smallest atomic radius.

(a) Fluorine (F)
(b) Hydrogen (H)
(c) Helium (He)

(iii) (a) What happens when copper reacts with concentrated nitric acid? What is the colour of the gas released during the reaction? (b) Write its balanced chemical equation. (c) Write the names of reactants and products.

(a) When copper reacts with concentrated nitric acid, reddish-brown fumes of nitrogen dioxide gas are released.
(b) Equation: $$Cu + 4HNO_3 (conc.) \rightarrow Cu(NO_3)_2 + 2NO_2 \uparrow + 2H_2O$$ (c) Reactants: Copper, Nitric Acid. Products: Copper Nitrate, Nitrogen Dioxide, Water.

(iv) Name the following diagrams and explain the concept behind them: [Fleming's Left and Right Hand Rules Diagrams]

(a) Fleming's Left-Hand Rule: Used for Electric Motors. It states that if the thumb, index finger, and middle finger of the left hand are stretched perpendicular to each other, and if the index finger points in the direction of the magnetic field and the middle finger in the direction of the current, then the thumb points in the direction of the force on the conductor.

(b) Fleming's Right-Hand Rule: Used for Electric Generators (Induction). It states that if the thumb, index finger, and middle finger of the right hand are stretched perpendicular to each other, with the thumb showing the direction of motion of the conductor and the index finger the direction of the magnetic field, then the middle finger shows the direction of the induced current.

(v) Answer the following with respect to the 'Formation of Rainbow': (a) Draw a neat diagram. (b) Name any two natural processes involved. (c) What does a small droplet of water act as?

(a) Diagram: [Student should draw a water droplet showing sunlight entering, refracting, dispersing into colors, internally reflecting, and refracting out].
Draw a neat diagram :'Formation of Rainbow'

Draw a neat diagram :'Formation of Rainbow'

(b) Processes: Refraction, Dispersion, and Total Internal Reflection.
(c) A small droplet of water acts as a small Prism.

(vi) Name the following: (a) The two metals which can be cut with knife. (b) A sound is produced when certain metals are struck. Name this property. (c) The non-metallic substance which is a good conductor of electricity.

(a) Sodium (Na) and Potassium (K).
(b) Sonority.
(c) Graphite (Allotrope of Carbon).

(vii) Answer the following questions with the help of the given diagram (Electroplating): (a) Name the process. (b) How does this process take place? (c) Give two examples in which this process is used.

(a) Process: Electroplating.
(b) Working: When electricity is passed through the solution, silver ions ($Ag^+$) from the anode (Silver plate) dissolve into the electrolyte. An equivalent amount of silver ions from the solution get deposited on the cathode (Aluminium spoon).
(c) Examples: Gold plating on imitation jewelry, Silver plating on cutlery, Zinc plating on iron (galvanization) to prevent rust.

(viii) Complete the following table:

Type of satellite	Function of the satellite	Indian satellite series & launch vehicle
(a) Navigation Satellite	Fix the location of any place on the earth's surface	IRNSS Launcher: PSLV
(b) Weather satellite	Study and prediction of weather	INSAT / GSAT Launcher: GSLV
(c) Earth Observation Satellite	Management of natural resources	IRS Launcher: PSLV

Question 4. Answer any one of the following

(i) (a) Draw a neat labelled diagram of human eye. (b) What is the minimum distance of distinct vision for a normal human eye? (c) Name the capacity of the eye lens to change its focal length as per need. (d) Name the defect of eye vision in which the focussing power of eye lens decreases with age.

(a) Diagram: [Student should draw the human eye, labelling Cornea, Iris, Pupil, Crystalline Lens, Ciliary Muscles, Retina, and Optic Nerve].
eat labelled diagram of human eye

(b) Distance: 25 cm.
(c) Capacity: Power of Accommodation.
(d) Defect: Presbyopia.

(ii) Atomic number of chlorine is 17. (a) Write the electronic configuration of chlorine. (b) What is the number of electrons in the valence shell of chlorine? (c) Write the molecular formula of chlorine. (d) Name the type of bond in the formation of chlorine molecule. (e) Draw the electron dot structure of a chlorine molecule.

(a) Electronic Configuration: 2, 8, 7.
(b) Valence electrons: 7.
(c) Molecular Formula: Cl₂.
(d) Bond Type: Covalent Bond (Single Covalent Bond).
(e) Electron Dot Structure:
Each Chlorine atom contributes 1 electron to share a pair.
$$: \ddot{Cl} \cdot \cdot \ddot{Cl} : \rightarrow : \ddot{Cl} - \ddot{Cl} :$$

10th English Public Exam March 2025 Answer Key

10th English Public Examination - 2025

Tentative Answer Key

Marks: 100

PART - I (Section A) $$14 \times 1 = 14$$

Q.No	Category	Answer Option & Text
1	Synonyms (Indigenously)	(c) naturally
2	Synonyms (plaintively)	(a) sadly
3	Synonyms (unperturbed)	(b) undisturbed
4	Antonyms (whet)	(a) blunt
5	Antonyms (gruffly)	(b) happily
6	Antonyms (inclusion)	(c) exclusion
7	Singular/Plural (radius)	radii
8	Prefix/Suffix (nutrition)	malnutrition
9	Abbreviation (HDMI)	(c) High Definition Multimedia Interface
10	Phrasal Verb	(a) get along with
11	Compound Word (traffic)	(c) jam
12	Preposition	(b) of
13	Tense	(a) locked
14	Preposition	(b) from

PART - II (Section 1 - Prose) $$3 \times 2 = 6$$

15. The piece of fish offered by the mother seagull to the hungry young seagull and the natural's bird's instinct prompted it to fly finally.

16. The special features of INSV Tarini are:

It encouraged use of environment friendly non-conventional renewable energy resources such as the wind.
It collected and updated meteorological, ocean and wave data on regular basis for accurate weather forecast by India Meteorological Department (IMD).
It also collected data for monitoring marine pollution on high seas.

17. Aditya offered Sanyal one hundred and fifty rupees. It was the price of the medal, which Sanyal received in school for recitation.

18. The doctor warned Tom that he was in danger of losing his mind by thinking about precious stones always.

PART - II (Section 2 - Poetry) $$2 \times 2 = 4$$

19.
a) The poet expects everyone to walk with a smile and a song when something goes wrong.
b) When things go wrong, we should not worry.

20.
a) 'It' refers to the tree beside the house on Elm street.
b) The leaves of the tree never grows. The tree neither grows tall nor gets smaller. So, the tree is a mystery.

21.
a) 'I' refers to Cricket.
b) The nature of the cricket was lazy and silly.

22.
a) No, the house does not remain the same every day. It begins to fade each day.
b) Nobody knows what happens inside the house. So the poetess considers the house to be a mystery.

PART - II (Section 3 - Grammar) $$3 \times 2 = 6$$

23. Banu says that she is enjoying her holidays.

24. The enemy has been defeated by our army.

25. "Have you come from Holmes?" he asked.

26. In spite of being sick, she attends the rehearsal.

27. a) The mountain road is full of Dangers.
b) The sea can get really tough when winds are picking up.

PART - II (Section 4 - Road Map) 2 Marks

28.

Go straight from the market.
Turn left.
Walk on the main road.
Walk past library.
Turn right.
Walk on the north road and turn left.
Walk for a while.
Finally you will reach the Pharmacy on your left.

PART - III (Prose Paragraphs) $$2 \times 5 = 10$$

29. His First Flight - Liam O'Flaherty

About the Author: Born: 28th August 1896 (Irish, Ireland)
Occupation: Novelist
Famous Works: Member of the Communist Party of Ireland, Irish novelist, Short story writer.
Quote: "The moments you doubt whether you can fly, You cease for ever to be able to do it"

The young seagull was afraid of flying. His parents strove their level best to teach the young seagull to fly but in vain. The parents, brothers and sister thought a plan to teach him to fly. They flew away to another rock and left him alone. They did not give him anything to eat. He stood there on one leg and closed his eyes. He was very hungry. He searched for food everywhere. He even chewed the dried pieces of the eggshells. He saw his mother tearing a piece of fish.

'Ga, ga, ga', he cried, begging her to bring him over some food. 'Gawl-ool-ah', she screamed back mockingly.

He begged his mother to give him food. The mother seagull motivates the young one enough to get him to learn flying. So the mother flew with the piece of fish to the young seagull. When she reached over him, she became motionless in the air. She did not get down on the rock. She wanted to give the young seagull an incentive to fly. The seagull bent forward and jumped at the fish. The young seagull realizes the importance of belief and faith. He was much frightened. But he began to flap his wings to save himself. 'His first flight' is a parable. The seagulls convey the message of self-confidence, motivation and self-reliance. The story conveys, "Give a man a fish and you feed him for a day; teach a man to fish and you feed him for a lifetime. You can't fly unless you let yourself."

30. The Night the Ghost got in - James Grover Thurber

Characters: The narrator's family, Mr. Bodwell, Joe, Reporter, Herman.
Theme: Chaos in the house.

James Grover Thurber was an American cartoonist, best known for his cartoon and short stories. This lesson clearly tells that too much of imagination will mislead the situation.

The narrator says that on the night of November 17, 1915 the ghost got into their house. The time was quarter past one o'clock. All of sudden the author heard footsteps. They were the steps of man walking around the dining-table. The steps went round and round the table. The board creaked when it was trod upon. The author thought that if might be a burglar. He roused Herman. The steps started up the stairs. Filled with fear the author and his brother slammed the door shut. The noise of slamming roused the mother. She suspected that there were burglars inside. She wanted to call the police. But the phone was downstairs. So, She opened the windows and threw a shoe into the bedroom window of the neighbours. The window pane shattered down. The noise roused Bodwell and his wife annoyed them. Mr. Bodwell was furious with her. He called the police, thinking that there was a burglar in their house.

The police who came there started ransacking the entire house. The police broke the door open and entered the house. Their flashlights gleamed up and down. They flashed the light everywhere. They couldn't see anything. They opened the doors, yanked the drawers, opened the windows and pulled down the furniture. Then they heard a creaking in the attic. Grandfather was turning over in bed. The cops (police) used into the attic without words or warning. Grandfather mistook the policemen to be General Meade's men. He thought that they were deserters from the army. So he grabbed at a handgun and shot at a policeman. At once everyone retreated from the place. The police started ransacking the house once again. They took leave when the author promised to bring the gun to the station the next day. The police left the house empty handed finally. Next morning, grandfather told that he came to the dining room for water, the previous night. These are the incidents that caused the confusion in the house.

"Imagination will often carry us to worlds that never were"

31. Tech Bloomers

Empowering the disabled with technology. This lesson is about the use of technology in empowering the disabled to do their day to day chores of life, like travelling, communicating, learning, doing business and living in comfort. Alisha and David's life has changed with the use of technology. "Technology is a boon to the disabled', because it made to a lot of difference in their life. According to the 2011 Census, 2.21 percent of India's population is disabled. Then she can print them out. Kim who is an Assistive Technologist helps students to use technology in different ways. They are struggling with challenges of access, acceptance and inclusion.

"I have cerebral palsy and I can't physically type as fast as I think or anywhere near. But right now, that's what I'm doing. I bet you're wondering how!"

Technology has made her achieve things only she dreamt of. She can do Maths GSCE herself without being dependent on a computer. Technology has opened up the world to her. Twenty-one-year-old David was born with Athetoid Cerebral Palsy. He says that technology is very important because it enables him to communicate and be independent. For verbal communication, he uses a Liberator Communication Device, which he controls with eye movements. He has an ACTIV controller also in the headrest of his chair in his bedroom, which means he can control his TV, Blu Ray and music players. They are able to manage their daily activities with the aid of technology. Hence technology is a boon to the disabled. Thus Technology makes our life easier. It impacts the environment, people and the society as a whole. Newer Technology allows differently abled learners with their peers as well as contributes fruitfully to the collaborative process of learning.

"For most of us technology makes things easier, For a person with disability it makes things possible"

32. The Last Lesson - Alphonse Daudet

"Language and culture - true identity of a nation."

'The Last Lesson' was written by Alphonse Daudet. The story is narrated by a French boy Franz. He was lazy and liked to play. He disliked studying French. After overpowering the districts of Alsace and Lorraine in France, Berlin had ordered that German should be taught in schools instead of French. It was the last French class of the teacher M. Hamel who had been there for 40 years. When Franz reached the school he saw a crowd gathered around the bulletin-board. Though he reached the school little late he was surprised to note that the school was very quiet. Franz took his seat and noticed that M. Hamel had clothes for special occasion. The atmosphere of the classroom was strange. As a mark of respect for his hard work, the village men also attended his last class.

The teacher was full of grief and nostalgia. They were sad that they did not learn French, their mother tongue in their childhood. Franz was shocked to know it was his last French lesson. But he did not learn French. He was suddenly remorseful over wasting so much time playing outdoors rather than studying. He stood up to recite but stumbled on the first words. M. Hamel did not scold Franz for not knowing the rule. He told the crowd that each day they had been putting off learning until the next day. The teacher then proceeded to the French grammar lesson, reading from a book to the students.

Franz understood everything M. Hamel said with extraordinary clarity. He thought that he had never listened so carefully to the teacher before. When the trumpets of the Prussians were finally blown, M. Hamel stood up, but could not speak out of grief and wrote "Vive La France" (Long Live France).

PART - III (Section 2 - Poetry) $$2 \times 5 = 10$$

33. LIFE - Henry Van Dyke

About the Poet: Henry Van Dyke
Specialty: American author, Poet, Educator and Clergyman.
Quote: "Life is not a race, it is a journey enjoy it"

In this poem, life is described not as an entity, but as an experience. Here, the poet desires to lead his future life with optimism and he is ever willing to do something. One should live with courage and dedication. Life should be lived without hurry and with a clear sense of purpose that drives the mind and soul. The poet encourages us to let go of all that has been lost in the past as well as the uncertainty the future holds. He tells us to embrace the present with the happiness which nourishes the young and the old. From what the future veils; but with a whole And happy heart, that pays its toll To Youth and Age, and travels on with cheer.

Happiness gives us nourishment on this journey with a smile on our face. Whatever situation life throws at us, it is the journey that should be joyous, for it teaches us to grow and live. Our imagination should have the innocence and fearlessness of childhood. We should seek out new friendships, new adventures and new experiences which enrich us. He encourages us to have faith and determination in our hearts, as we take on this beautiful journey. We should have eternal hope that our story ends joyfully. This poem shows the poet's optimistic view of life through his personal experiences.

"BE AN OPTIMIST, DON'T BE A PESSIMIST"

34. NO MEN ARE FOREIGN - James Falconer Kirkup

James Falconer Kirkup reminds us that all the people who belongs to the earth are similar and share the brotherhood of men. The central theme of the poem is about the oneness of mankind. Though there are many countries, races, colour, languages, castes, and creeds all are human beings. We occupy the same land and die in the same land. Hands work hard, eyes witness the same life. We are all fed by peaceful harvests. Attacking others who are neighbours in the same planet is nothing but harming oneself. Hence no land are foreign, no men is a stranger.

"Remember they have eyes like ours that wake Or sleep and strength that can be won. By love. In every land is common life That all can recognize and understand"

The poem "No men are foreign" has greater relevance in today's world. Now a days people like to segregate themselves from others. They create borders and erect fences to separate one country from the other. Anyone who crosses the line is branded as a spy or intruder. He is shot dead without mercy. Love has vanished from human heart. Even at slight provocation people take up arms. It leads to battles and wars that affect the world. In this context the poet wants us to treat everyone as a fellow human being. We should remember that we may live in different countries. But we feel like others, work like others and read like others. Hatred should give way to love and affection. We can put an end to war if we consider everyone as our brethren. In today's world each country wants to fight with the other for the sake of its own benefit. They hate each other to flaunt their superiority and social status. Even men hate each other for silly reasons forgetting that we are all brothers and sisters. So this poem is very relevant to today's world.

"Every human is like all other humans, some other humans and no other human".

35. a) Rhyming words: cold - scold, meet - street
b) Rhyming scheme: aabb
c) Personification / Epithet
d) Summer - Scold

36. Machines aren't perfect after all and Nature always wins over. Machines aren't miraculous creations. They are nothing more than the creations of the human brain.

PART - III (Section 3 - Supplementary) $$1 \times 5 = 5$$

37. Little Hero of Holland

Little Peter was asked to take cakes for his blind friend by his mother.
While returning, he hears water trickling from the dikes.
Peter realizes the danger of flooding.
Peter stops the angry waters with his finger the entire night and saves the village.
Peter becomes the Little Hero of Holland.

38. Zigzag
a) It was Zigzag's voice, clear and commanding.
b) Bored and Grumpy.
c) African Doctor.
d) Dr. Krishnan's clinic transformed into a calm.
e) Slept or snored.

PART - III (Section 4 - Writing Skills)

Q.No	Topic	Mark Distribution
39	Advertisement	Outline: 1 Title: 1 Picture: 1 Captions: 1 Address: 1
40	Letter Writing	From/To: 1 Date/Salutation: 1 Body of letter: 2 Subscription/Superscription: 1
41	Notice Writing	Title: 1 Date/Name: 1 Content: 3
42	Picture Comprehension	Any five relevant sentences without mistakes: 5 marks
43	Note Making / Summary	Note Making: Title (1), Points (4) Summary: Title (1), Rough copy (2), Fair copy (2)

44. Error Correction
a) Rice is the staple food of Asians.
b) As Sathya was old, he walked slow.
c) Slow and steady wins the race.
d) I will be fifteen next April.
e) Learning a language is always useful.

PART - III (Section 5 - Memory Poem) 5 Marks

45. She's a lioness; don't mess with her.
She'll not spare you if you're a prankster.
Don't ever try to saw her pride, her self-respect.
She knows how to thaw you, saw you - so beware!
She's today's woman. Today's woman, dear.

PART - IV

46. a) The Story of Mulan

Introduction: This is the classic story of Mulan based on the legend of Hua Mulan. A legend is a story from long ago that is believed to be true, or mostly true. It is about a brave girl, Mulan, who had saved China.

Lovable daughter Mulan: Many years ago, China was in the middle of a great war. The Emperor announced that one man from each Chinese family must leave his family to join the army. Mulan was strong, loyal and patriotic. She surrendered her life to her motherland, China. When she heard the order of the Emperor, she immediately volunteered to fight for her country despite her father being sick. Though she knew that women were not allowed, she joined the army in disguise, simply ignoring the risks involved. She knew that if the soldiers came to know that she was a woman she would be put to death.

Her Patriotism: Ignoring all the risks, she dared to join the army. It was her patriotism that drove her to that extent. She was really a strong character. Besides, she was also smart and brave right from the beginning. She was also a good leader who led the entire troop to victory and thus ended the war in China forever. After a few years, she was given the post of General of the entire army. After some days, a very bad fever swept through the army. Mulan, the General was also affected by this fever. When the doctor came out Mulan's tent, he told the truth to the soldiers.

Her Valour: Even though she was sick, she fought and ended the long war victoriously. Admiring her valour and bravery, the Emperor was willing to appoint her as the royal advisor. She humbly refused to stay in the palace and expressed her wish to return to her village. She returned to her village to see her father and brother.

Conclusion: Thus Mulan showed that she was lovable to her family and proved her patriotism towards her country. Mulan, a multifaceted personality showed her love for her country by fighting bravely.
Moral: "Liberty is the birth of life to nation"

46. b) A DAY IN 2889 OF AN AMERICAN JOURNALIST - Jules Verne

Introduction: 'A day in 2889 of an American Journalist' written in 1889 by Jules Verne, gives us a glimpse of the futuristic world in which people rely on machines for almost everything. The story is set on July 25 of 2889.

Phonotelephote and the Mechanized dressing room: Francis Bennett, director of the Earth Herald, the world's most leading newspaper, had woken up with a bad temper. He felt a little lonely in the absence of his wife. His wife had been away in France for the past eight days. He switched on his phonotelephote and hearing his wife's voice, he put on a smile. His mechanized dressing room dressed him from top to toe.

Astronomy - the trending topic: In his office, he inquired the astronomical reporters about the latest news. He wished to feed the public with interesting astronomical news. He was excited to bring out the interesting discoveries made in the new plant Gandini to the public. Inordinate advertisements were projected on clouds by a thousand projectors from a gallery. Bennett was one of the subscribers to the society for supplying food to the home. He got his lunch from there through a network of pneumatic tubes.

Innovative petitions: Then Bennett travelled to Niagara for his accumulator works. 'Where are we going, Sir?' asked the aero-coachman. 'Let's see. I've got time...' Francis Bennett replied. 'Take me to my accumulator works at Niagara.' He took an aero-car with an aero coachman who was waiting near his window. The aero-car is capable of gaining speed of about four hundred miles an hour. After his return, he listened to many petitions. He supported the idea of an inventor who thought of reducing the final three elements into one and another idea of moving the town of Saff to the shore using rails.

Conclusion: At-last Bennett learned about his wife's plan to return. Finally he decided to take a bath. Thus the story ends. The innovations in this story seem to be a magic. Unbelievable everything is made possible in the future with the help of technology.
Moral: "Technology is a useful servant but a Dangerous Master"

47. a) Comprehension
i) American President Theodore Roosevelt, also known as teddy, participated in a bear-hunting trip in Mississippi.
ii) Michtom place the stuffed bears in the front window of his shop.
iii) Political cartoons starring like Teddy and the bear.
iv) Michtom is the shop owner. He created plush, stuffed bears and placed them in the front window of his shop.

47. b) General Comprehension
i) Choosing our career is hard to decided.
ii) Dancer, Doctor, Teacher, Cricket.
iii) Sunday, Thursday.
iv) Any suitable answer like Teacher, Doctor, Lawyer, Cricketer...

HSC Physics (Hindi Medium) Board Question Paper Solution 2025 - Fully Solved

Physics (54) Board Question Paper Solution (Hindi Medium)

HSC 2025 Maharashtra Board Exam - Fully Solved J-290

विभाग – अ (Section A)

प्र. १. दिए गए बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही उत्तर चुनकर लिखिए : [१०]

(i) जब दो प्रणालियों (system) में से प्रत्येक किसी तीसरी प्रणाली से तापीय संतुलन (thermal equilibrium) में होती है, तो वे सभी एक दूसरे से भी तापीय संतुलन में होती हैं। यह विधान (statement) दर्शाता है ⸻

उत्तर: (अ) ऊष्मागतिकी (thermodynamics) का शून्य नियम (Zeroth law)

(ii) बरनौली के प्रमेय (Bernoulli’s theorem) में निम्न में से क्या अचर (constant) होता है?

उत्तर: (ड) ऊर्जा (energy)

(iii) निम्न में से कौनसा पदार्थ (material) अंतस्तापनशील पदार्थ (diathermanous substance) होगा?

उत्तर: (क) काँच (glass)

(iv) किसी बिंदु आवेश (point charge) से ‘r’ दूरी पर का विद्युतीय विभव ‘V’ (electric potential) यह ⸻ के समानुपाती (directly proportional) होता है।

उत्तर: (क) $ \frac{1}{r} $

(v) निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण विभवमापी (potentiometer) का उपयोग कर सेल के आंतरिक प्रतिरोध (internal resistance) को ज्ञात करने का सही सूत्र दर्शाता है?

उत्तर: (ड) $ r = R\left(\frac{E}{V} - 1\right) $

(vi) एक इलेक्ट्रॉन, एक प्रोटॉन, एक $\alpha$-कण और एक हाइड्रोजन परमाणु (hydrogen atom) यह सभी समान गतिज ऊर्जा (same kinetic energy) से गति कर रहे हैं, तो डी-ब्रॉग्ली (de-Broglie) से संबंधित ⸻ की तरंग लंबाई सबसे महत्तम लंबाई (longest) होगी।

उत्तर: (ब) इलेक्ट्रॉन (electron)
स्पष्टीकरण: $ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} $. यहाँ K समान है, अतः जिसका द्रव्यमान (m) सबसे कम होगा, उसकी तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होगी। इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान सबसे कम है।

(vii) दोनों निवेश (input) उच्च (high) होने पर उच्च निर्गम (output), देने वाला द्वार (gate) –

उत्तर: (ब) AND द्वार

(viii) यदि एक छत के फैन (पंखे) का घूर्णीय गति में अचर बल आघूर्ण (constant torque) 2 Nm के साथ कोणीय चाल (angular speed) $2\pi$ rad/s है, तो उसकी शक्ति की श्रेणी (power rating) ⸻ होगी।

उत्तर: (ड) $4\pi$ W
स्पष्टीकरण: शक्ति $ P = \tau \omega = 2 \times 2\pi = 4\pi $ W.

(ix) एक 2 m लंबाई का तार दो पाशे (loops) से कंपन (vibrate) करता है, तो इसके निस्पंद (node) और संलग्न प्रस्पंद (adjacent antinode) के बीच की दूरी (distance) ⸻ होगी।

उत्तर: (अ) 0.5 m
स्पष्टीकरण: तार की लंबाई $ L = 2 $ m है और यह 2 लूप्स में कंपन करता है, अतः $ \lambda = L = 2 $ m. नोड और एंटीनोड के बीच की दूरी $ \lambda/4 = 2/4 = 0.5 $ m.

(x) एक परिणामित्र (transformer) परावर्तित वि.वा. बल (alternating e.m.f.) 220V से 880V तक बढ़ाता है। यदि प्राथमिक कुंडली (primary coil) के फेरों की संख्या 1000 है तो द्वितीयक कुंडली के फेरों की संख्या ⸻ होगी।

उत्तर: (ड) 4000
स्पष्टीकरण: $ \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} \Rightarrow \frac{880}{220} = \frac{N_s}{1000} \Rightarrow 4 = \frac{N_s}{1000} \Rightarrow N_s = 4000 $.

HSC Physics Board Papers with Solution

Physics - March 2025 - English Medium View Answer Key
Physics - March 2025 - Marathi Medium View Answer Key
Physics - March 2025 - Hindi Medium View Answer Key
Physics - March 2024 - English Medium View Answer Key Answer Key
Physics - March 2024 - Marathi Medium View Answer Key
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Physics - July 2023 - English Medium View Answer Key
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प्र. २. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए : [८]

(i) कौन से ताप पर द्रव का पृष्ठ तनाव (surface tension) शून्य होगा?

क्रांतिक ताप (Critical temperature) पर द्रव का पृष्ठ तनाव शून्य होता है।

(ii) परिभाषा दीजिए : स्वप्रेरण (self inductance)

किसी कुंडली में प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा में परिवर्तन के कारण उसी कुंडली में प्रेरित वि.वा. बल (e.m.f.) उत्पन्न होने की घटना को स्वप्रेरण कहते हैं।

(iii) जब गतिशील आवेश का वेग यह बाह्य समान चुंबकीय क्षेत्र (external uniform magnetic field) के लंबवत् हो तो बाह्य समान चुंबकीय क्षेत्र का कार्य (work done) क्या होगा?

किया गया कार्य शून्य होगा। (क्योंकि चुंबकीय बल हमेशा विस्थापन के लंबवत होता है)।

(iv) ऊष्मागतिकी प्रणाली (thermodynamic system) का अर्थ क्या है?

ऊष्मागतिकी प्रणाली अणुओं (द्रव्य या विकिरण) का एक समूह है जो एक निश्चित सीमा के भीतर सीमित होता है और परिवेश से अलग होता है।

(v) शैथिल्य पाश (hysteresis loop) के अंदर जब H = 0 होगा तो B के मान को क्या कहा जाएगा?

इसे धारणशीलता (Retentivity) या अवशेष चुंबकत्व कहा जाता है।

(vi) झुकाव कोण (angle of banking) का सूत्र दीजिए।

सूत्र: $ \tan \theta = \frac{v^2}{rg} $ या $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{rg}\right) $.

(vii) एक आवेशित समतल शीट की सतह के पास के बिंदु की विद्युत क्षेत्र की तीव्रता (electric field intensity) का मान उसके मध्य बिंदु (mid-point) से ज्ञात कीजिए। [ $\sigma = 8.85 \mu C/m^2$ ]

सूत्र: $ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $
दिया गया है: $ \sigma = 8.85 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2 $, $ \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} $
गणना: $ E = \frac{8.85 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^6}{2} = 5 \times 10^5 \, \text{N/C} $ (या V/m).

(viii) सामान्य ताप दबाव (S.T.P.) पर 1 लीटर आदर्श गैस गतिज ऊर्जा का मान ज्ञात कीजिए।

सूत्र: गतिज ऊर्जा $ = \frac{3}{2} PV $
दिया गया है: $ P = 1.013 \times 10^5 \, \text{N/m}^2 $ (STP पर), $ V = 1 \text{ Litre} = 10^{-3} \, \text{m}^3 $.
गणना: $ E = 1.5 \times 1.013 \times 10^5 \times 10^{-3} \approx 151.95 $ J.

विभाग – ब (Section B)

निम्नलिखित में से किन्हीं आठ प्रश्नों के उत्तर लिखिए : [१६]

प्र. ३. संनादी (harmonics) और अधिस्वर (overtones) स्पष्ट कीजिए।

संनादी (Harmonics): 'संनादी' शब्द का उपयोग मूल आवृत्ति और उसकी सभी पूर्णांक गुणज आवृत्तियों को दर्शाने के लिए किया जाता है। मूल आवृत्ति को प्रथम संनादी, $2n$ को द्वितीय संनादी, आदि कहते हैं।

अधिस्वर (Overtones): मूल आवृत्ति से अधिक आवृत्तियाँ जो वास्तव में ध्वनि में मौजूद होती हैं, उन्हें अधिस्वर कहते हैं। मूल आवृत्ति के ठीक बाद वाली उच्च आवृत्ति को प्रथम अधिस्वर, उसके बाद वाली को द्वितीय अधिस्वर कहते हैं।

प्र. ४. एक समान रेखीय प्रवाह (streamline flow) के लिए न्यूटन के शान्यता (viscosity) संबंधी नियम का उपयोग करके शान्यता गुणांक (coefficient of viscosity) का समीकरण प्राप्त कीजिए।

न्यूटन के शान्यता नियम के अनुसार, द्रव की दो परतों के बीच लगने वाला शान्यता बल (viscous force) $ F $ समानुपाती होता है:
१. संपर्क सतह के क्षेत्रफल $ A $ के।
२. वेग प्रवणता (velocity gradient) $ \frac{dv}{dx} $ के।
अतः, $ F \propto A \frac{dv}{dx} \Rightarrow F = \eta A \frac{dv}{dx} $.
जहाँ $ \eta $ एक नियतांक है जिसे शान्यता गुणांक कहते हैं।
समीकरण: $ \eta = \frac{F}{A (dv/dx)} $.

प्र. ५. एक तार के वृत्ताकार चाप में प्रवाहित विद्युत धारा के कारण उत्पन्न चुंबकीय प्रेरण (magnetic induction) का सूत्र दीजिए। अतः विद्युत धारा वाहक वृत्ताकार पाशे के केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण का मान प्राप्त कीजिए।

चाप के लिए सूत्र: $ B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \theta $, जहाँ $ \theta $ चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण है (रेडियन में)।

वृत्ताकार पाशे (loop) के लिए: केंद्र पर अंतरित कोण $ \theta = 2\pi $ रेडियन होता है।
मान रखने पर:
$ B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (2\pi) = \frac{\mu_0 I}{2r} $.

प्र. ६. कोणीय संवेग अविनाशता का नियम (law of conservation of angular momentum) देकर सिद्ध कीजिए।

नियम: यदि किसी घूर्णन करती वस्तु पर कार्य करने वाला परिणामी बाह्य बल आघूर्ण (external torque) शून्य हो, तो उस वस्तु का कोणीय संवेग संरक्षित (स्थिर) रहता है।

सिद्धता:
हम जानते हैं कि बल आघूर्ण $ \vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} $.
यदि $ \vec{\tau}_{ext} = 0 $, तो $ \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 $.
इसका अर्थ है $ \vec{L} = \text{स्थिरांक (constant)} $.
अतः $ I\omega = \text{स्थिरांक} $.

प्र. ७. प्रकाश उत्सर्जन डायोड (light emitting diode) (LED) के कोई चार लाभ लिखिए।

१. कम बिजली की खपत (ऊर्जा कुशल)।
२. लंबा जीवनकाल।
३. तेजी से चालू/बंद (fast switching) की क्षमता।
४. मजबूत और टिकाऊ (कोई फिलामेंट नहीं होता)।
५. पर्यावरण के अनुकूल (पारा रहित)।

प्र. ८. 127°C तापमान पर 200 cm² सतह क्षेत्रफल वाली एक पूर्णतः काली वस्तु (perfectly black body) द्वारा 1 मिनट में विकिरित ऊर्जा (radiated energy) का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है:
क्षेत्रफल $ A = 200 \text{ cm}^2 = 200 \times 10^{-4} \text{ m}^2 $
समय $ t = 1 \text{ min} = 60 \text{ s} $
तापमान $ T = 127 + 273 = 400 \text{ K} $
स्टीफन नियतांक $ \sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\text{K}^4 $

सूत्र: $ Q = \sigma A t T^4 $
गणना:
$ Q = 5.67 \times 10^{-8} \times (200 \times 10^{-4}) \times 60 \times (400)^4 $
$ Q = 5.67 \times 10^{-8} \times 2 \times 10^{-2} \times 60 \times 256 \times 10^8 $
$ Q = 5.67 \times 1.2 \times 256 \times 10^0 $
$ Q = 1741.8 \text{ J} \approx 1.74 \times 10^3 \text{ J} $.

प्र. ९. दो कुंडलियों का स्वप्रेरण (self inductance) प्रत्येक 60 mH है। यह एक दूसरे से जुड़े हैं। यदि जोड़ का गुणांक (coefficient of coupling) 0.75 हो, तो दोनों के बीच के अन्योन्य प्रेरण (mutual inductance) का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: $ L_1 = 60 \text{ mH}, L_2 = 60 \text{ mH}, k = 0.75 $
सूत्र: $ M = k \sqrt{L_1 L_2} $
गणना:
$ M = 0.75 \sqrt{60 \times 60} $
$ M = 0.75 \times 60 $
$ M = 45 \text{ mH} $.

प्र. १०. एक LCR श्रेणी परिपथ में यदि प्रतिरोध (resistance), प्रेरण प्रतिघात (inductive reactance), एवं धारिता (capacitive) प्रतिघात 3$\Omega$, 8$\Omega$ और 4$\Omega$ क्रमशः हैं तो विभव (voltage) और विद्युत धारा के बीच के कलांतर (phase difference) का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: $ R = 3\Omega, X_L = 8\Omega, X_C = 4\Omega $
सूत्र: $ \tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} $
गणना:
$ \tan \phi = \frac{8 - 4}{3} = \frac{4}{3} $
$ \phi = \tan^{-1}(1.333) \approx 53.13^\circ $ या $ 53^\circ 8' $.

प्र. ११. विभवमापी (potentiometer) के वोल्टमीटर की तुलना में होने वाले लाभ लिखिए।

१. विभवमापी सेल का वि.वा. बल (emf) बहुत सटीक मापता है क्योंकि यह संतुलन बिंदु (null point) पर सेल से कोई धारा नहीं लेता (यह एक आदर्श वोल्टमीटर की तरह कार्य करता है)।
२. इसका उपयोग सेल के आंतरिक प्रतिरोध को मापने के लिए किया जा सकता है।
३. यह वोल्टमीटर की तुलना में अधिक संवेदनशील है।
४. इसका उपयोग दो सेलों के वि.वा. बलों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है।

प्र. १२. पूर्णतरंग दिष्टकारी (full wave rectifier) की स्वच्छ आकृति बनाकर नामांकित कीजिए।

(छात्रों को एक सर्किट आरेख बनाना चाहिए जिसमें शामिल हों: एक सेंटर-टैप ट्रांसफार्मर, द्वितीयक कुंडली से जुड़े दो डायोड D1 और D2, और एक लोड प्रतिरोध $ R_L $ जो सेंटर टैप और डायोड के कॉमन कैथोड बिंदु के बीच जुड़ा हो।)

[आरेख स्थान: पूर्ण तरंग दिष्टकारी]

प्र. १३. एक 0.8 किलोग्राम द्रव्यमान का पिण्ड रेखीय स.आ.ग. (linear S.H.M.) करता है। जब उसका विस्थापन मध्यमा स्थिति से 4 cm होता है तब वह 0.4N के पुनर्स्थापी बल (restoring force) का अनुभव करता है। बल अचरांक (force constant) और स.आ.ग. का आवर्त काल (period of S.H.M.) ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: $ m = 0.8 \text{ kg} $, $ F = 0.4 \text{ N} $, $ x = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m} $.
१. बल अचरांक (k):
$ F = kx \Rightarrow k = \frac{F}{x} = \frac{0.4}{0.04} = 10 \text{ N/m} $.
२. आवर्त काल (T):
$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.8}{10}} = 2\pi \sqrt{0.08} $
$ T \approx 2 \times 3.142 \times 0.2828 \approx 1.78 \text{ s} $.

प्र. १४. 0.5 मोल की गैस 300 K समतुल्य ताप पर प्रारंभिक आयतन 2.0 लीटर से अंतिम आयतन 6.0 लीटर तक प्रसरण (expand) करती है तो गैस द्वारा किया गया कार्य (work done) ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: $ n = 0.5 $, $ T = 300 \text{ K} $, $ V_1 = 2 \text{ L}, V_2 = 6 \text{ L} $, $ R = 8.319 \text{ J/mol K} $.
सूत्र: $ W = 2.303 nRT \log_{10}\left(\frac{V_2}{V_1}\right) $
गणना:
$ W = 2.303 \times 0.5 \times 8.319 \times 300 \times \log_{10}(3) $
$ W = 2.303 \times 1247.85 \times 0.4771 $
$ W \approx 1371 \text{ J} $.

विभाग – क (Section C)

निम्नलिखित में से किन्हीं आठ प्रश्नों को हल कीजिए : [२४]

प्र. १५. एक चुंबकीय छड़ (bar magnet) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में कंपन करते समय स.आ.ग. (S.H.M.) करती है तो उसके आवर्त काल (period) का समीकरण प्राप्त कीजिए।

एक समान चुंबकीय क्षेत्र $ B $ में लटकी हुई $ \mu $ चुंबकीय आघूर्ण और $ I $ जड़त्व आघूर्ण वाली चुंबक पर विचार करें।
यदि इसे $ \theta $ कोण से विस्थापित किया जाए, तो पुनर्स्थापी बल आघूर्ण $ \tau = -\mu B \sin \theta $.
छोटे कोण के लिए, $ \sin \theta \approx \theta $, अतः $ \tau = -\mu B \theta $.
हम जानते हैं $ \tau = I \alpha = I \frac{d^2\theta}{dt^2} $.
अतः $ \alpha = -\left(\frac{\mu B}{I}\right) \theta $.
यह S.H.M की शर्त है जहाँ $ \omega^2 = \frac{\mu B}{I} $.
आवर्त काल $ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\mu B}} $.

प्र. १६. एक ऊष्मागतिकीय प्रणाली (thermodynamic system) में निम्न की परिभाषा दीजिए : (a) यांत्रिक संतुलन (b) रासायनिक संतुलन (c) तापीय संतुलन

(a) यांत्रिक संतुलन (Mechanical equilibrium): एक प्रणाली यांत्रिक संतुलन में होती है यदि प्रणाली के भीतर और प्रणाली तथा परिवेश के बीच कोई असंतुलित बल न हो (दाब पूरे समय स्थिर रहता है)।
(b) रासायनिक संतुलन (Chemical equilibrium): एक प्रणाली रासायनिक संतुलन में होती है यदि कोई रासायनिक प्रतिक्रिया नहीं हो रही हो और प्रणाली के एक भाग से दूसरे भाग में पदार्थ का कोई स्थानांतरण न हो रहा हो।
(c) तापीय संतुलन (Thermal equilibrium): एक प्रणाली तापीय संतुलन में होती है यदि इसका तापमान हर जगह समान हो और समय के साथ न बदले।

प्र. १७. ब्रूस्टर का नियम (Brewster’s law) क्या है? ब्रूस्टर के कोण (angle) का सूत्र प्राप्त कीजिए।

ब्रूस्टर का नियम: "ध्रुवण कोण (Brewster's angle) की स्पर्शज्या (tangent) संख्यात्मक रूप से माध्यम के अपवर्तनांक के बराबर होती है।"
सूत्र व्युत्पत्ति:
जब प्रकाश ध्रुवण कोण $ i_p $ पर आपतित होता है, तो परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः $ r + 90^\circ + i_p = 180^\circ \Rightarrow r = 90^\circ - i_p $.
स्नेल के नियम से: $ \mu = \frac{\sin i_p}{\sin r} = \frac{\sin i_p}{\sin(90^\circ - i_p)} $.
$ \mu = \frac{\sin i_p}{\cos i_p} = \tan i_p $.

प्र. १८. रेडियोधर्मी क्षय (radioactive decay) के नियम का सूत्र प्राप्त कीजिए। बैक्वेरल (Becquerel) (Bq) की परिभाषा दीजिए।

सूत्र व्युत्पत्ति: विघटन की दर उस समय उपस्थित नाभिकों की संख्या के समानुपाती होती है।
$ \frac{dN}{dt} \propto -N \Rightarrow \frac{dN}{dt} = -\lambda N $.
समाकलन करने पर: $ N = N_0 e^{-\lambda t} $.

एक बैक्वेरल (1 Bq): यह रेडियोधर्मिता की इकाई है। यदि किसी रेडियोधर्मी पदार्थ में प्रति सेकंड एक विघटन (one disintegration per second) हो रहा हो, तो उसकी सक्रियता 1 बैक्वेरल कहलाती है।

प्र. १९. किरचॉफ का ऊष्मा विकिरण का नियम (Kirchhoff’s law of heat radiation) देकर उसे सिद्ध कीजिए।

नियम: "किसी निश्चित तापमान पर, किसी वस्तु का अवशोषण गुणांक (coefficient of absorption) उसके उत्सर्जन गुणांक (emissivity) के बराबर होता है।" अर्थात $ a = e $.
सिद्धता: एक समान तापमान के घेरे में एक सामान्य वस्तु A और एक ब्लैक बॉडी B पर विचार करें।
संतुलन अवस्था में, उत्सर्जित ऊर्जा = अवशोषित ऊर्जा।
सामान्य वस्तु के लिए: $ R = a Q $.
ब्लैक बॉडी के लिए: $ R_b = Q $ (क्योंकि $ a=1 $)。
अतः $ R = a R_b \Rightarrow \frac{R}{R_b} = a $.
लेकिन परिभाषा से $ \frac{R}{R_b} = e $ (उत्सर्जन गुणांक)।
अतः $ a = e $.

प्र. २०. प्रायोगिक (practical) विधि से अंतः संशोधन (end correction) प्राप्त करने का समीकरण प्राप्त कीजिए : (i) जब नली के दोनों सिरे खुले हों। (ii) जब नली का एक सिरा बंद हो।

(i) दोनों सिरे खुले होने पर:
$ v = 2n_1(l_1 + 2e) $ और $ v = 2n_2(l_2 + 2e) $.
हल करने पर: $ e = \frac{n_2 l_2 - n_1 l_1}{2(n_1 - n_2)} $.

(ii) एक सिरा बंद होने पर:
$ v = 4n_1(l_1 + e) $ और $ v = 4n_2(l_2 + e) $.
हल करने पर: $ e = \frac{n_2 l_2 - n_1 l_1}{n_1 - n_2} $.

प्र. २१. एक छड़ चालक (conducting bar) स्थिर कोणीय गति से इसके एक सिरे की धुरी के आसपास घूर्णन कर रहा है। घूर्णन का प्रतल एक समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत् है तो इस छड़ के दोनों सिरों के बीच प्रेरित घूर्णीय विद्युत वाहक बल (rotational e.m.f.) का समीकरण प्राप्त कीजिए।

मान लीजिए लंबाई $ l $ की एक छड़ चुंबकीय क्षेत्र $ B $ में कोणीय वेग $ \omega $ से घूम रही है।
केंद्र से $ r $ दूरी पर $ dr $ लंबाई का एक छोटा अल्पांश लें। इसका वेग $ v = r\omega $ है।
इस अल्पांश में प्रेरित e.m.f. $ de = B v dr = B (r\omega) dr $.
कुल e.m.f. $ E = \int_0^l B \omega r \, dr = B\omega \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^l $.
$ E = \frac{1}{2} B \omega l^2 $.

प्र. २२. एक इलेक्ट्रॉन हाइड्रोजन परमाणु (hydrogen atom) में दूसरी कक्षा में $10^{-8}$ s तक रहता है तो उस समय तक वह नाभि (nucleus) के सापेक्ष कितने फेरे करेगा?

दिया गया है: $ n=2, t=10^{-8} $ s.
दूसरी कक्षा में वेग $ v_2 \approx 1.09 \times 10^6 $ m/s.
दूसरी कक्षा की त्रिज्या $ r_2 \approx 2.12 \times 10^{-10} $ m.
आवृत्ति $ f = \frac{v_2}{2\pi r_2} \approx 8.2 \times 10^{14} $ Hz.
फेरों की संख्या $ N = f \times t = 8.2 \times 10^{14} \times 10^{-8} = 8.2 \times 10^6 $.

प्र. २३. एक मोटर के घूमते चक्के (flywheel) का द्रव्यमान 100 kg और त्रिज्या 1.5 m है। वह मोटर 2000 Nm अचर बल आघूर्ण (torque) निर्माण करता है। यदि वह घूमता चक्का स्थिर स्थिति से घूमना प्रारंभ करता है तो उसके द्वारा पहले 4 फेरों में कितना कार्य (work done) किया जाएगा? ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: $ \tau = 2000 $ Nm, $ \theta = 4 $ फेरे $ = 4 \times 2\pi = 8\pi $ रेडियन।
कार्य:
$ W = \tau \theta $
$ W = 2000 \times 8\pi = 16000\pi $ J.
$ W \approx 16000 \times 3.142 = 50,272 $ J.

प्र. २४. एक गैलवनोमीटर का प्रतिरोध 50$\Omega$ है और 2 mA की विद्युत धारा (full scale deflection) इसके पूर्ण विक्षेपण के लिए आवश्यक है तो इसे निम्न में रूपांतर करने में कितना प्रतिरोध लगेगा? ज्ञात कीजिए। (i) 0.5 A की सीमा का अमीटर बनाने में। (ii) 10 V की सीमा का वोल्टमीटर बनाने में।

दिया गया है: $ G = 50\Omega, I_g = 0.002 \text{ A} $.
(i) 0.5 A सीमा का अमीटर:
शंट प्रतिरोध $ S = \frac{I_g G}{I - I_g} = \frac{0.002 \times 50}{0.5 - 0.002} \approx 0.2008 \, \Omega $.
(ii) 10 V सीमा का वोल्टमीटर:
श्रेणी प्रतिरोध $ R = \frac{V}{I_g} - G = \frac{10}{0.002} - 50 = 5000 - 50 = 4950 \, \Omega $.

प्र. २५. पानी की एक बूँद (drop) का व्यास 0.6 mm है। द्रव की बूँद के अंदर के दबाव (pressure) का मान ज्ञात कीजिए। [T = 72 dyne/cm, वायुमंडलीय दाब = $1.013 \times 10^5$ N/m²]

दिया गया है: $ r = 0.3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-4} \text{ m} $, $ T = 72 \text{ dyne/cm} = 0.072 \text{ N/m} $.
आधिक्य दाब: $ P_{ex} = \frac{2T}{r} = \frac{2 \times 0.072}{3 \times 10^{-4}} = 480 \text{ Pa} $.
कुल दाब: $ P_{in} = P_{atm} + P_{ex} = 101300 + 480 = 101780 \text{ N/m}^2 $.

प्र. २६. $\pi$ m लंबाई और 5 cm व्यास की एक परिनलिका (solenoid) को 1000 फेरों में लपेटा (winding) गया और उसमें से 5A विद्युत धारा प्रवाहित होती है, उसके अक्ष के केंद्र पर स्थित चुंबकीय क्षेत्र (magnetic field) का मान ज्ञात कीजिए।

दिया गया है: $ L = \pi \text{ m}, N = 1000, I = 5 \text{ A} $.
$ n = \frac{N}{L} = \frac{1000}{\pi} $.
सूत्र: $ B = \mu_0 n I $
गणना:
$ B = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{1000}{\pi} \times 5 = 20 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-3} \text{ T} $.

विभाग – ड (Section D)

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए : [१२]

प्र. २७. लोह चुंबकत्व (ferromagnetism) क्या है? अधिक्षेत्र सिद्धांत (domain theory) के आधार पर इसका वर्णन कीजिए।

लोह चुंबकत्व: लोहा, कोबाल्ट, निकेल जैसे पदार्थों का वह गुण जिसके कारण वे चुंबक की ओर प्रबलता से आकर्षित होते हैं और स्थायी चुंबक बन सकते हैं।
अधिक्षेत्र सिद्धांत (Domain Theory):
१. लोह चुंबकीय पदार्थों में परमाणुओं के छोटे समूह होते हैं जिन्हें 'डोमेन' कहते हैं। एक डोमेन में सभी परमाणुओं के चुंबकीय आघूर्ण एक ही दिशा में संरेखित होते हैं।
२. अचुंबकीय अवस्था में डोमेन यादृच्छिक (random) दिशाओं में होते हैं, जिससे कुल चुंबकत्व शून्य होता है।
३. बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में रखने पर, क्षेत्र की दिशा वाले डोमेन आकार में बढ़ते हैं या अन्य डोमेन घूमकर क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाते हैं, जिससे पदार्थ चुंबकित हो जाता है।

प्र. २८. एक LCR श्रेणी परिपथ (series circuit) में व्यय (dissipated) होने वाली औसत शक्ति (average power) का समीकरण प्राप्त कीजिए।

तात्कालिक शक्ति $ P = V I $.
माना $ V = V_m \sin\omega t $ और $ I = I_m \sin(\omega t \pm \phi) $.
एक पूर्ण चक्र के लिए औसत निकालने पर:
$ P_{avg} = \frac{V_m I_m}{2} \cos\phi $.
$ P_{avg} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} \cos\phi = V_{rms} I_{rms} \cos\phi $.

प्र. २९. प्रकाश के व्यतिकरण (interference) और विवर्तन (diffraction) में अंतर लिखिए। एक द्विपट्ट (double slit) व्यवस्था 589 nm तरंग लंबाई (wavelength) की सोडियम प्रकाश की व्यतिकरण झालरें (interference fringes) उत्पन्न करती है जो 0.20 degree से दूर है। यदि पूरी व्यवस्था को पानी में डुबा दिया जाए तो कोणीय झालर अलगता (angular fringe separation) क्या होगी? [ पानी का अपवर्तनांक (R.I.) 1.33 है । ]

अंतर: व्यतिकरण दो सुसंगत स्रोतों से आने वाली तरंगों के अध्यारोपण के कारण होता है, जबकि विवर्तन एक ही तरंगाग्र के विभिन्न भागों से आने वाली द्वितीयक तरंगिकाओं के व्यतिकरण के कारण होता है।

संख्यात्मक प्रश्न:
दिया गया है: $ \theta_{air} = 0.20^\circ $, $ \mu = 1.33 $.
हवा में कोणीय चौड़ाई $ \theta_{air} = \frac{\lambda}{d} $.
पानी में तरंगदैर्ध्य $ \lambda_w = \frac{\lambda}{\mu} $.
पानी में कोणीय चौड़ाई $ \theta_{water} = \frac{\lambda_w}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta_{air}}{\mu} $.
$ \theta_{water} = \frac{0.20}{1.33} \approx 0.15^\circ $.

प्र. ३०. आइंस्टीन प्रकाशविद्युतीय समीकरण (Einstein’s photoelectric equation) देकर उसमें प्रदर्शित हर पद (term) का भौतिक महत्त्व स्पष्ट करिए। आपतित प्रकाश की तरंग लंबाई (तरंगदैर्ध्य) 4000Å है तो आपतित प्रकाश कण (photon) की ऊर्जा क्या होगी?

समीकरण: $ h\nu = \phi_0 + K_{max} $.
महत्त्व: फोटॉन की ऊर्जा ($ h\nu $) का उपयोग धातु की सतह से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने (कार्य फलन $\phi_0$) और इलेक्ट्रॉन को गतिज ऊर्जा ($K_{max}$) प्रदान करने में किया जाता है।

गणना:
दिया गया है $ \lambda = 4000 \text{ \AA} = 4 \times 10^{-7} \text{ m} $.
$ E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} $
$ E \approx 4.97 \times 10^{-19} \text{ J} $ (लगभग 3.1 eV).

प्र. ३१. वैन डी ग्राफ जनित्र (Van de Graaff generator) के कोई चार उपयोग लिखिए। एक समांतर प्लेट (parallel plate) वायु संधारित्र (capacitor) में विद्युतीय क्षेत्र की तीव्रता $2 \times 10^{11}$ V/ms की दर से परिवर्तित होती है, एवं यदि प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल 20 cm² है तो विस्थापन विद्युत धारा (displacement current) का मान ज्ञात कीजिए।

उपयोग: १. उच्च विभवांतर उत्पन्न करने के लिए। २. आवेशित कणों को उच्च वेग से त्वरित करने के लिए। ३. परमाणु भौतिकी प्रयोगों में। ४. चिकित्सा में कैंसर के इलाज के लिए एक्स-रे उत्पन्न करने में।

गणना:
दिया गया है: $ \frac{dE}{dt} = 2 \times 10^{11} \text{ V/m s} $.
क्षेत्रफल $ A = 20 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^2 $.
सूत्र: $ I_d = \epsilon_0 A \frac{dE}{dt} $.
गणना: $ I_d = 8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{11} $
$ I_d = 35.4 \times 10^{-4} \text{ A} = 3.54 \text{ mA} $.

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \land r\)	\(p \lor (q \land r)\) (LHS)	\(p \lor q\)	\(p \lor r\)	\((p \lor q) \land (p \lor r)\) (RHS)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	F	F	T	F	F
F	F	T	F	F	F	T	F
F	F	F	F	F	F	F	F

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