HSC Commerce Mathematics & Statistics March 2024 Exam Question Paper with Solutions HIndi Medium

गणित और सांख्यिकी (वाणिज्य) - मार्च 2024
सम्पूर्ण हल (हिंदी माध्यम)

समय: 3 घंटे | अधिकतम अंक: 80

विभाग - १ (Section I)

प्र. १. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) निम्नलिखित में से कौन सा कथन नहीं है:

• (अ) धूम्रपान स्वास्थ्य के लिए हानिकारक है।
• (ब) \(2+2=4\)
• (क) 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
• (ड) यहाँ आओ।

उत्तर: (ड) यहाँ आओ।

स्पष्टीकरण: यह एक आज्ञार्थक वाक्य (Imperative sentence) है, इसलिए यह तार्किक कथन नहीं है।

(ii) यदि \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तब \((y, z) = ...\)

• (अ) (-1, 0)
• (ब) (1, 0)
• (क) (1, -1)
• (ड) (-1, 1)

उत्तर: (ब) (1, 0)

हल:
समीकरण (2) - (1): \(y + 2z = 1\)
विकल्प (ब) में \(y=1, z=0\) रखने पर: \(1 + 0 = 1\) (संतुष्ट करता है)।

(iii) यदि \(y = \log(\frac{e^{x}}{x^{2}})\) तब \(\frac{dy}{dx} = ?\)

• (अ) \(\frac{2-x}{x}\)
• (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
• (क) \(\frac{e-x}{ex}\)
• (ड) \(\frac{x-e}{ex}\)

उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)

\(y = \log e^x - \log x^2 = x - 2\log x\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)

(iv) \(\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) का मान है:

• (अ) \(2\sqrt{1-x}+c\)
• (ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)
• (क) \(\sqrt{x}+c\)
• (ड) \(x+c\)

उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x}+c\)

(v) \(\int\frac{dx}{(x-8)(x+7)} = ...\)

• (अ) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x+2}{x+1}|+c\)
• (ब) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x+8}{x+7}|+c\)
• (क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)
• (ड) \((x-8)(x+7)+c\)

उत्तर: (क) \(\frac{1}{15}\log|\frac{x-8}{x+7}|+c\)

(vi) समीकरण \(y=k_{1}e^{x}+k_{2}e^{-x}\) का अवकल समीकरण है:

• (अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)
• (ब) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y\frac{dy}{dx}=0\)
• (क) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+\frac{dy}{dx}=0\)
• (ड) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=0\)

उत्तर: (अ) \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y=0\)

प्र. १. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

• (i) \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt\)
  सत्य (True)
• (ii) \(\int\frac{x-1}{(x+1)^{3}}e^{x}dx=e^{x}f(x)+c\), के लिए \(f(x)=(x+1)^{2}\)
  असत्य (False) (सही उत्तर \(\frac{1}{(x+1)^2}\) होना चाहिए)
• (iii) अवकल समीकरण के घात (order) और कोटि (degree) सदैव धनात्मक पूर्णांक होते हैं।
  सत्य (True)

प्र. १. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

• (i) किसी बिंदु (a, b) पर स्पर्श रेखा (tangent) की प्रवणता (slope) प्रवणता / Gradient कहलाती है।
• (ii) यदि \(f'(x)=\frac{1}{x}+x\) तथा \(f(1)=\frac{5}{2}\) तब \(f(x)=\log x + \frac{x^2}{2} + \) 2
• (iii) अवकल समीकरण का हल जिसे सामान्य हल में स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है, विशिष्ट हल (Particular Solution) कहलाता है।

प्र. २. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) सत्यता सारणी का उपयोग करके जांचिए कि क्या कथन पुनरुक्ति (tautology), विरोधाभास (contradiction) या आकस्मिकता (contingency) है: \(\sim p\rightarrow(p\rightarrow\sim q)\)

हल:

p	q	~p	~q	p -> ~q	~p -> (p -> ~q)
T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

चूँकि अंतिम स्तंभ में सभी मान 'T' हैं, अतः यह एक पुनरुक्ति (Tautology) है।

(ii) यदि \(x=e^{3t}\), \(y=e^{(4t+5)}\) तब \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(\frac{dx}{dt} = 3e^{3t}\) और \(\frac{dy}{dt} = 4e^{(4t+5)}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{4e^{(4t+5)}}{3e^{3t}}\)
\(= \frac{4}{3} e^{(4t+5-3t)} = \frac{4}{3}e^{t+5}\)

(iii) यदि \(A=[\begin{matrix}7&3&0\\ 0&4&-2\end{matrix}]\) \(B=[\begin{matrix}0&-2&3\\ 2&1&-4\end{matrix}]\) तो \(A^{T}+4B^{T}\) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(A^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}]\), \(B^T = [\begin{matrix}0&2\\ -2&1\\ 3&-4\end{matrix}]\)
\(4B^T = [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}]\)
\(A^T + 4B^T = [\begin{matrix}7&0\\ 3&4\\ 0&-2\end{matrix}] + [\begin{matrix}0&8\\ -8&4\\ 12&-16\end{matrix}] = [\begin{matrix}7&8\\ -5&8\\ 12&-18\end{matrix}]\)

प्र. २. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) समान अर्थ वाले कथनों के युग्मों को पहचानिए। (कुत्ता वाले कथन)

हल:
(अ) \(p \to q\) (If D is dog, D is good)
(ब) \(q \to p\) (If D is good, D is dog) - विलोम (Converse)
(क) \(\sim q \to \sim p\) (If D not good, D not dog) - प्रतिधनात्मक (Contrapositive)
(ड) \(\sim p \to \sim q\) (If D not dog, D not good) - प्रतिलोम (Inverse)

तार्किक समतुल्यता: 1. (अ) और (क) समान हैं (\(p \to q \equiv \sim q \to \sim p\))
2. (ब) और (ड) समान हैं (\(q \to p \equiv \sim p \to \sim q\))

(ii) फलन \(f(x)=2x^{3}-21x^{2}+36x-20\) का निम्नतम मान (minimum value) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(f'(x) = 6x^2 - 42x + 36\).
\(f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \Rightarrow (x-6)(x-1)=0\).
\(x=1, x=6\).
\(f''(x) = 12x - 42\).
\(x=6\) पर, \(f''(6) = 72 - 42 = 30 > 0\) (निम्नतम)।
निम्नतम मान: \(f(6) = 2(216) - 21(36) + 36(6) - 20 = -128\).

(iii) रेखा \(y=-2x\), X अक्ष एवं रेखाओं \(x=-1\) और \(x=2\) से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
क्षेत्रफल = \(|\int_{-1}^{0} (-2x)dx| + |\int_{0}^{2} (-2x)dx|\)
\(A_1 = [-x^2]_{-1}^{0} = -(0 - 1) = 1\)
\(A_2 = [-x^2]_{0}^{2} = -(4 - 0) = -4 \Rightarrow |A_2| = 4\)
कुल क्षेत्रफल = \(1 + 4 = 5\) वर्ग इकाई।

प्र. ३. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) यदि \(y=x^{e^{x}}\) तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

हल:
दोनों पक्षों का log लेने पर: \(\log y = e^x \log x\)
अवकलन: \(\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = e^x(\frac{1}{x}) + \log x(e^x)\)
\(\frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1}{x} + \log x) = x^{e^x} e^x (\frac{1+x\log x}{x})\)

(ii) यदि \(f'(x)=4x^{3}-3x^{2}+2x+k\), \(f(0)=1\) और \(f(1)=4\) तो \(f(x)\) ज्ञात कीजिए।

हल:
समाकलन करने पर: \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c\)
\(f(0)=1 \Rightarrow c=1\)
\(f(1)=4 \Rightarrow 1 - 1 + 1 + k + 1 = 4 \Rightarrow k=2\)
अतः \(f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1\)

(iii) अवकल समीकरण प्राप्त कीजिए जिसका व्यापक हल \(x^{3}+y^{3}=35ax\) है।

हल:
\(\frac{x^3+y^3}{x} = 35a\). अवकलन करने पर:
\(\frac{x(3x^2+3y^2 y') - (x^3+y^3)(1)}{x^2} = 0\)
\(3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0\)
\(2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0\)

प्र. ३. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) आव्यूह का सहखण्डज विधि (adjoint method) से व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए: \(A = [\begin{matrix}3&1&5\\ 2&7&8\\ 1&2&5\end{matrix}]\)

हल:
\(|A| = 3(35-16) - 1(10-8) + 5(4-7) = 57 - 2 - 15 = 40 \neq 0\).
Cofactors (सहखंड):
\(C_{11}=19, C_{12}=-2, C_{13}=-3\)
\(C_{21}=5, C_{22}=10, C_{23}=-5\)
\(C_{31}=-27, C_{32}=-14, C_{33}=19\)
Adj A (सहखण्डज) = Cofactors आव्यूह का परिवर्तन (Transpose).
\(A^{-1} = \frac{1}{40} [\begin{matrix}19&5&-27\\ -2&10&-14\\ -3&-5&19\end{matrix}]\)

(ii) उपभोग व्यय \(E_{c}=0.0006x^{2}+0.003x\). जब आय ₹ 200 है तब APC, MPC और MPS ज्ञात कीजिए।

हल:
\(APC = \frac{E_c}{x} = 0.0006x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(APC = 0.123\).
\(MPC = \frac{dE_c}{dx} = 0.0012x + 0.003\). \(x=200\) पर, \(MPC = 0.243\).
\(MPS = 1 - MPC = 1 - 0.243 = 0.757\).

प्र. ३. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) \(\int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}}\)

\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\boxed{x}+\boxed{4}}\)
\(=\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\boxed{1/4}+4}\)
\(=-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\boxed{\sqrt{17}/2})^{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}})\)

(ii) जनसंख्या वृद्धि (Population Growth)

\(\frac{dP}{dt}=kP \Rightarrow \log P = kt + c\)
(i) \(c = \) \(\log(1,00,000)\)
(ii) जब \(t=25, P=2,00,000\), तो \(k = \) \(\frac{1}{25}\log 2\)
(iii) \(P=4,00,000\) के लिए, \(t = \) 50 वर्ष।

विभाग - २ (Section II)

प्र. ४. (अ) सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) अंकित मूल्य और वर्तमान मूल्य के बीच के अंतर को ... कहा जाता है।

उत्तर: (ब) सच्ची छूट (True Discount)

(ii) एक साधारण वार्षिकी में, भुगतान या प्राप्तियाँ ... में होती है।

उत्तर: (ब) प्रत्येक अवधि के अंत

(iii) \(b_{xy}\) और \(b_{yx}\) हैं:

उत्तर: (ब) मूल के परिवर्तन से स्वतंत्र लेकिन पैमाने से नहीं

(iv) डॉरबिश-बावलीस मूल्य सूचकांक संख्या है:

उत्तर: (अ) \(\frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}}{2}\times100\)

(v) L.P.P. का उद्देश्य फलन (objective function) है:

उत्तर: (ब) एक फलन जिसको अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।

(vi) हंगेरियन पद्धति (Assignment Problem) के लिए लाभ अधिकतम समस्या की आवश्यकता है:

उत्तर: (अ) सभी लाभों को अवसर हानियों में परिवर्तित करना।

प्र. ४. (ब) सत्य या असत्य लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

• (i) ब्रोकर एक एजेंट है... (गारंटी देता है): असत्य (False) (यह डेल क्रेडर एजेंट होता है)
• (ii) \(\sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100\) मूल्य सूचकांक है: असत्य (False)
• (iii) L.P.P. का इष्टतम मूल्य व्यवहार्य क्षेत्र के केंद्र में होता है: असत्य (False) (यह कोने के बिंदुओं पर होता है)

प्र. ४. (क) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

• (i) बैंकर की छूट हमेशा सच्ची छूट से अधिक (Greater) होती है।
• (ii) भारित सापेक्ष पद्धति (Weighted Average of Price Relatives) सूत्र: \(\frac{\sum IW}{\sum W}\)
• (iii) पहले कार्य शुरु करने और अंतिम कार्य पूरा करने के बीच का समय: कुल व्यतीत समय (Total Elapsed Time)

प्र. ५. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) दीपक की सैलरी ₹ 4,000 से ₹ 5,000 हुई। कमीशन 3% से 2% हो गया। आय समान है। बिक्री ज्ञात करें।

हल:
माना बिक्री = \(x\)
पुरानी आय = \(4000 + 0.03x\)
नई आय = \(5000 + 0.02x\)
दोनों बराबर हैं: \(4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x\)
\(0.01x = 1000 \Rightarrow x = 1,00,000\)
बिक्री = ₹ 1,00,000

(ii) \(b_{yx}=0.4\), \(b_{xy}=0.9\), \(V(X)=9\). \(V(Y)\) ज्ञात करें।

हल:
\(r^2 = b_{yx} \times b_{xy} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 \Rightarrow r=0.6\)
\(\sigma_x = \sqrt{9} = 3\)
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.4 = 0.6 (\frac{\sigma_y}{3})\)
\(0.4 = 0.2 \sigma_y \Rightarrow \sigma_y = 2\)
\(V(Y) = \sigma_y^2 = 4\).

(iii) 4 वार्षिकी केंद्रित गतिमान औसत (4-yearly centered moving averages) निकालें।

हल (Trend Values):
1978: \((0+2+3+3)/4\) और अगले का औसत = 2.25
1979: 2.75
1980: 3.25
1981: 3.875
1982: 4.875
1983: 6.25

प्र. ५. (ब) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) वॉल्श की कीमत सूचकांक संख्या 150 है। 'x' का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
वॉल्श सूत्र: \(P_{01} = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100\)
भार \(W = \sqrt{q_0 q_1}\): A(3), B(6), C(5), D(4)
\(\sum p_1 W = 30 + 96 + 115 + 104 = 345\)
\(\sum p_0 W = 15 + 6x + 75 + 40 = 130 + 6x\)
\(150 = \frac{345}{130+6x} \times 100 \Rightarrow 1.5(130+6x) = 345\)
\(195 + 9x = 345 \Rightarrow 9x = 150 \Rightarrow x = 16.67\)

(ii) खिलौना निर्माण (Sequencing Problem) A->B->C. कुल उपयोगी समय और मशीन B का निष्क्रिय समय निकालें।

हल:
नियम: Min A (12) \(\ge\) Max B (12) (सत्य)।
काल्पनिक मशीनें G = A+B, H = B+C बनायें।
क्रम (Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1
कुल उपयोगी समय (Total Elapsed Time): 102 घंटे।
मशीन B का निष्क्रिय समय (Idle Time): 62 घंटे।

(iii) संभाव्यता वितरण: k, P(X < 3), P(X > 6) ज्ञात करें।

हल:
(अ) \(\sum P(x) = 1 \Rightarrow 10k^2 + 9k - 1 = 0 \Rightarrow k = 0.1\) (k>0)
(ब) \(P(X < 3) = P(1)+P(2) = k+2k = 3k = 0.3\)
(क) \(P(X > 6) = P(7) = 7k^2+k = 7(0.01)+0.1 = 0.17\)

प्र. ६. (अ) किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) बीमा दावा (Insurance Claim): पॉलिसी 75%, प्रीमियम 0.70% (₹2625), हानि 60%।

हल:
प्रीमियम = पॉलिसी मूल्य \(\times\) दर \(\Rightarrow 2625 = P.V. \times 0.007 \Rightarrow P.V. = 3,75,000\)
पॉलिसी संपत्ति का 75% है \(\Rightarrow\) संपत्ति मूल्य = \(3,75,000 / 0.75 = 5,00,000\)
हानि = \(5,00,000 \times 0.60 = 3,00,000\)
दावा (Claim) = \(\frac{P.V.}{Property Value} \times Loss = 0.75 \times 3,00,000\) = ₹ 2,25,000

(ii) स्वत्वार्पण समस्या (Assignment Problem): न्यूनतम खर्च ज्ञात करें।

हल:
इष्टतम शेड्यूल:
\(M_1 \rightarrow B\) (10)
\(M_2 \rightarrow C\) (13)
\(M_3 \rightarrow A\) (5)
न्यूनतम खर्च = \(10 + 13 + 5 = 28\) (सौ रुपये में) = ₹ 2800.

(iii) 10% खराब अंडे। 10 अंडों के नमूने में कम-से-कम एक खराब होने की प्रायिकता।

हल:
\(p = 0.1, q = 0.9, n = 10\)
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(= 1 - {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 - (0.9)^{10}\)

प्र. ६. (ब) किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) प्रवृत्ति रेखा (Trend Line) - न्यूनतम वर्ग विधि।

हल:
वर्ष (n=7): मध्य वर्ष 1995। \(u = \frac{t-1995}{5}\).
समीकरण \(y = a + bu\).
\(a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} = 4.286\)
\(b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -1.571\)
रेखा: \(y = 4.286 - 1.571(\frac{t-1995}{5})\)

(ii) न्यूनतम कीजिए: \(z=6x+2y\) शर्तें: \(x+2y\ge3, x+4y\ge4, 3x+y\ge3\).

हल:
कोने के बिंदु (Corner Points): A(0, 3), B(0.6, 1.2), C(2, 0.5), D(4, 0).
Z का मान:
A: 6, B: 6, C: 13, D: 24.
न्यूनतम मान 6 है (बिंदु A और B को मिलाने वाले रेखाखंड पर)।

प्र. ६. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (Activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) प्रतिगमन (Regression): \(x=10, \bar{y}=12, V(X)=9, \sigma_y=4, r=0.6\). जब x=5 तो y?

\(Y - 12 = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} (X-10)\)
\(Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\boxed{3}} (X-10)\)
जब \(x=5\):
\(Y - 12 = \boxed{0.8} \times (-5)\)
\(Y - 12 = -4 \Rightarrow Y = \boxed{8}\)

(ii) पॉइसन वितरण: \(X \sim P(m)\), \(P(X=1)=P(X=2)\).

\(\frac{e^{-m}m^1}{1!} = \frac{e^{-m}m^2}{\boxed{2!}}\)
\(m = \boxed{2}\)
\(P(X=2) = \frac{e^{-2}2^2}{2!} = \boxed{0.2706}\)

Title: Maths & Stats (Commerce) Board Paper Solution March 2024 (Hindi Medium) Labels: Maths Commerce, HSC Board 2024, Hindi Medium Solution, Solved Paper Permanent Link: maths-stats-commerce-march-2024-solution-hindi Search Description: Complete solved paper for HSC Commerce Maths & Statistics March 2024 (Hindi Medium) with step-by-step explanations.

HSC Commerce Mathematics & Statistics (Marathi Medium) March 2024 Question Paper with Solutions

Mathematics & Statistics (Commerce)
March 2024 Board Paper Solution (Marathi Medium)

Max. Marks: 80 | Time: 3 Hrs.

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या पर्यायातून योग्य पर्याय निवडा व लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) खालील पैकी कोणते विधान नाही?

• (अ) धूम्रपान आरोग्यासाठी हानिकारक आहे.
• (ब) \(2+2=4\)
• (क) 2 ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे.
• (ड) इकडे ये

उत्तर: (ड) इकडे ये

कारण: हे आज्ञार्थी वाक्य (Imperative sentence) आहे, म्हणून हे तार्किक विधान नाही.

(ii) जर \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) तर \((y,z) =\)

• (अ) (-1, 0)
• (ब) (1, 0)
• (क) (1, -1)
• (ड) (-1, 1)

उत्तर: (ब) (1, 0)

(iii) जर \(y = \log(\frac{e^x}{x^2})\), तर \(\frac{dy}{dx} = ?\)

• (अ) \(\frac{2-x}{x}\)
• (ब) \(\frac{x-2}{x}\)
• (क) \(\frac{e-x}{ex}\)
• (ड) \(\frac{x-e}{ex}\)

उत्तर: (ब) \(\frac{x-2}{x}\)

(iv) \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) ची किंमत ______ आहे.

• (अ) \(2\sqrt{1-x} + c\)
• (ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)
• (क) \(\sqrt{x} + c\)
• (ड) \(x + c\)

उत्तर: (ब) \(-2\sqrt{1-x} + c\)

(v) \(\int \frac{dx}{(x-8)(x+7)} = \_\).

• (अ) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+2}{x+1}| + c\)
• (ब) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+8}{x+7}| + c\)
• (क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)
• (ड) \((x-8)(x+7) + c\)

उत्तर: (क) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)

(vi) \(y = k_1 e^x + k_2 e^{-x}\) चे विकलनीय समीकरण ______ आहे.

• (अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)
• (ब) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\)
• (क) \(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0\)
• (ड) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y\frac{dy}{dx} = 0\)

उत्तर: (अ) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)

प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt\)
  उत्तर: सत्य (True)
• (ii) \(\int \frac{x-1}{(x+1)^3} e^x dx = e^x f(x) + c,\) साठी \(f(x) = (x+1)^2\)
  उत्तर: असत्य (False)
• (iii) विकलनीय समीकरणाचे क्रम (Order) आणि कोटी (Degree) नेहमी धन पूर्णांक (Positive Integers) असतात.
  उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) कोणत्याही बिंदू (a, b) च्या स्पर्शिकेच्या उतारास प्रवणता (Gradient) म्हणतात.
• (ii) जर \(f'(x) = \frac{1}{x} + x\) आणि \(f(1) = \frac{5}{2}\) तर \(f(x) = \log x + \frac{x^2}{2} + \) 2.
• (iii) विकलनीय समीकरणाची उकल जी सामान्य उकलमधून अनियंत्रित स्थिरांकाला विशिष्ट मूल्ये देऊन मिळवता येतात त्याला विशिष्ट (Particular) उकल म्हणतात.

प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):

(i) विधान \( \sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q) \) हे पुनरुक्ती (tautology), परस्पर विरोध (contradiction) किंवा त्यापैकी कोणतेही नाही (contingency) ते तपासा.

उकल:
सत्यता सारणी (Truth Table) खालीलप्रमाणे आहे:

\(p\)	\(q\)	\(\sim p\)	\(\sim q\)	\(p \rightarrow \sim q\)	\(\sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q)\)
T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

शेवटच्या स्तंभातील सर्व सत्यता मूल्ये 'T' आहेत.
म्हणून, दिलेले विधान पुनरुक्ती (Tautology) आहे.

(ii) जर \( x = e^{3t} \), \( y = e^{(4t+5)} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( x = e^{3t} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. t):
\( \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{3t}) = e^{3t} \cdot 3 = 3e^{3t} \)

दिले आहे: \( y = e^{4t+5} \)
't' च्या संदर्भात विकलन करून:
\( \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t+5}) = e^{4t+5} \cdot 4 = 4e^{4t+5} \)

आता, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4e^{4t+5}}{3e^{3t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{(4t+5) - 3t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{t+5} \)

(iii) जर \( A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{bmatrix} \) आणि \( B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix} \) तर \( A^T + 4B^T \) शोधा.

उकल:
दिलेल्या मॅट्रिक्सचे परिवर्त (Transpose) काढू:
\( A^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)

\( B^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)

आता \( 4B^T \) काढू:
\( 4B^T = 4 \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

आता \( A^T + 4B^T \) काढू:
\( A^T + 4B^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7+0 & 0+8 \\ 3-8 & 4+4 \\ 0+12 & -2-16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -5 & 8 \\ 12 & -18 \end{bmatrix} \)

प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खालील विधाने विचारात घ्या :
(अ) जर D कुत्रा असेल तर D खूप चांगला आहे.
(ब) जर D खूप चांगला असेल तर D हा कुत्रा आहे.
(क) जर D खूप चांगला नसेल तर D हा कुत्रा नाही.
(ड) जर D कुत्रा नाही तर D खूप चांगला नाही.
समान अर्थ असलेल्या विधानांच्या जोड्या ओळखा आणि समर्थन करा (Justify).

उकल:
समजा \( p \): D कुत्रा आहे.
समजा \( q \): D खूप चांगला आहे.

दिलेल्या विधानांचे प्रतीकात्मक रूप:
(अ) \( p \rightarrow q \) (जर-तर / Implication)
(ब) \( q \rightarrow p \) (व्यत्यास / Converse)
(क) \( \sim q \rightarrow \sim p \) (सममूल्य / Contrapositive)
(ड) \( \sim p \rightarrow \sim q \) (व्यस्त / Inverse)

समर्थन (Justification):
आपल्याला माहित आहे की, सशर्त विधान (conditional statement) हे त्याच्या सममूल्य (contrapositive) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असते.
म्हणून, \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).
तसेच, व्यत्यास (converse) हा व्यस्त (inverse) विधानाशी तार्किकदृष्ट्या समान असतो.
म्हणून, \( q \rightarrow p \equiv \sim p \rightarrow \sim q \).

समान अर्थ असलेल्या जोड्या:
1. (अ) आणि (क) समान अर्थाचे आहेत.
2. (ब) आणि (ड) समान अर्थाचे आहेत.

(ii) फलन \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \) चे किमान (minimum) मूल्य निश्चित करा.

उकल:
दिले आहे: \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)
पायरी 1: \( f'(x) \) आणि \( f''(x) \) काढा.
\( f'(x) = 6x^2 - 42x + 36 \)
\( f''(x) = 12x - 42 \)

पायरी 2: स्थिर बिंदूंसाठी (Stationary points), \( f'(x) = 0 \) ठेवा.
\( 6(x^2 - 7x + 6) = 0 \)
\( x^2 - 6x - x + 6 = 0 \)
\( x(x-6) - 1(x-6) = 0 \)
\( (x-1)(x-6) = 0 \)
म्हणून, \( x = 1 \) किंवा \( x = 6 \).

पायरी 3: \( f''(x) \) मध्ये किंमती तपासा.
\( x = 1 \) साठी:
\( f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0 \) (कमाल / Maxima)
\( x = 6 \) साठी:
\( f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0 \) (किमान / Minima)

पायरी 4: \( x = 6 \) असताना किमान मूल्य काढा.
\( f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20 \)
\( f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20 \)
\( f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 \)
\( f(6) = 648 - 776 \)
\( f(6) = -128 \)

फलाचे किमान मूल्य -128 आहे.

(iii) रेषा \( y = -2x \), X-अक्ष आणि रेषा \( x = -1 \) व \( x = 2 \) यांनी बांधलेल्या क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.

उकल:
आवश्यक क्षेत्रफळ \( A = \int_{-1}^{2} |y| dx \) आहे.
दिलेली रेषा \( y = -2x \) उगमबिंदूतून जाते.
- अंतराल \([-1, 0]\) मध्ये, \( x \) ऋण आहे, म्हणून \( y = -2(\text{ऋण}) = \text{धन} \).
- अंतराल \([0, 2]\) मध्ये, \( x \) धन आहे, म्हणून \( y = -2(\text{धन}) = \text{ऋण} \).

म्हणून आपण \( x = 0 \) ला क्षेत्रफळ विभागू:
\( A = |\int_{-1}^{0} (-2x) dx| + |\int_{0}^{2} (-2x) dx| \)

भाग 1 (-1 ते 0):
\( A_1 = \int_{-1}^{0} -2x dx = -2 [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = - [x^2]_{-1}^{0} \)
\( A_1 = - [0^2 - (-1)^2] = - [0 - 1] = 1 \)

भाग 2 (0 ते 2):
\( A_2 = \int_{0}^{2} -2x dx = - [x^2]_{0}^{2} \)
\( A_2 = - [2^2 - 0^2] = -4 \)
क्षेत्रफळ कधीही ऋण नसते, म्हणून \( |A_2| = 4 \).

एकूण क्षेत्रफळ:
\( A = A_1 + |A_2| = 1 + 4 = 5 \) चौरस एकक (sq. units).

प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) जर \( y = x^{e^x} \) तर \( \frac{dy}{dx} \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( y = x^{e^x} \)
दोन्ही बाजूंचा लॉग घेऊन (Taking log on both sides):
\( \log y = \log(x^{e^x}) \)
\( \log y = e^x \cdot \log x \)

'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t. x):
\( \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot \log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(e^x) \) (गुणाकाराचा नियम)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x}) + \log x (e^x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x} + \log x) \)

\( \frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
\( y \) ची किंमत भरून:
\( \frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)

(ii) जर \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \), \( f(0) = 1 \) व \( f(1) = 4 \) तर \( f(x) \) शोधा.

उकल:
दिले आहे: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \)
\( f(x) \) मिळवण्यासाठी समाकलन (Integration) करू:
\( f(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + k) dx \)
\( f(x) = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + kx + c \)
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c \) ... (समीकरण 1)

पायरी 1: c ची किंमत काढणे
दिले आहे \( f(0) = 1 \). समीकरण 1 मध्ये \( x=0 \) ठेवून:
\( 1 = 0^4 - 0^3 + 0^2 + k(0) + c \)
\( c = 1 \)

पायरी 2: k ची किंमत काढणे
समीकरण 1: \( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + 1 \)
दिले आहे \( f(1) = 4 \). समीकरणामध्ये \( x=1 \) ठेवून:
\( 4 = 1^4 - 1^3 + 1^2 + k(1) + 1 \)
\( 4 = 1 - 1 + 1 + k + 1 \)
\( 4 = 2 + k \)
\( k = 2 \)

अंतिम उत्तर:
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

(iii) विकलनीय समीकरण मिळवा ज्याची सामान्य उकल \( x^3 + y^3 = 35ax \) आहे.

उकल:
दिलेले समीकरण: \( x^3 + y^3 = 35ax \) ... (1)
येथे \( a \) हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.
समीकरण (1) पुन्हा लिहू:
\( \frac{x^3 + y^3}{x} = 35a \)

'x' च्या संदर्भात विकलन करून (Differentiating w.r.t x):
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + y^3}{x} \right) = 0 \) (स्थिरांकाचे विकलन 0 असते)
भागाकाराचा नियम वापरून \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \):
\( \frac{x \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) - (x^3 + y^3) \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = 0 \)
\( x(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx}) - (x^3 + y^3)(1) = 0 \)
\( 3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0 \)
\( 2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)

आवश्यक विकलनीय समीकरण:
\( 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - 2x^3 \)

प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) सारणी \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \) चा संलग्न पद्धतीने (adjoint method) व्यस्त (inverse) काढा.

उकल:
समजा \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

पायरी 1: निश्चयक \(|A|\) काढणे
\( |A| = 3(35 - 16) - 1(10 - 8) + 5(4 - 7) \)
\( |A| = 3(19) - 1(2) + 5(-3) \)
\( |A| = 57 - 2 - 15 = 40 \)
येथे \( |A| \neq 0 \), म्हणून \( A^{-1} \) अस्तित्वात आहे.

पायरी 2: सह-अवयव (Cofactors) काढणे
\( A_{11} = (-1)^{1+1}(35-16) = 19 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2}(10-8) = -2 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3}(4-7) = -3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1}(5-10) = 5 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2}(15-5) = 10 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3}(6-1) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1}(8-35) = -27 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2}(24-10) = -14 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3}(21-2) = 19 \)

पायरी 3: सह-अवयव सारणी आणि संलग्न सारणी (Adjoint Matrix)
सह-अवयव सारणी \( C = \begin{bmatrix} 19 & -2 & -3 \\ 5 & 10 & -5 \\ -27 & -14 & 19 \end{bmatrix} \)
\( \text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

पायरी 4: व्यस्त सारणी (Inverse Matrix) काढणे
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च \( E_c \), त्याचे उत्पन्न \( x \) इतके असेल आणि दिलेले आहे की \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) जेव्हा त्याचे उत्पन्न ₹ 200 असेल तेव्हा MPC, MPS आणि APC काढा.

उकल:
दिले आहे: \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) आणि \( x = 200 \).

1. सरासरी उपभोग प्रवृत्ती (APC):
\( \text{APC} = \frac{E_c}{x} = \frac{0.0006x^2 + 0.003x}{x} \)
\( \text{APC} = 0.0006x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{APC} = 0.0006(200) + 0.003 \)
\( \text{APC} = 0.12 + 0.003 = \mathbf{0.123} \)

2. सीमांत उपभोग प्रवृत्ती (MPC):
\( \text{MPC} = \frac{d(E_c)}{dx} = \frac{d}{dx}(0.0006x^2 + 0.003x) \)
\( \text{MPC} = 0.0006(2x) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.0012x + 0.003 \)
जेव्हा \( x = 200 \):
\( \text{MPC} = 0.0012(200) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.24 + 0.003 = \mathbf{0.243} \)

3. सीमांत बचत प्रवृत्ती (MPS):
आपल्याला माहित आहे की, \( \text{MPC} + \text{MPS} = 1 \)
\( \text{MPS} = 1 - \text{MPC} \)
\( \text{MPS} = 1 - 0.243 \)
\( \text{MPS} = \mathbf{0.757} \)

प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खाली दिलेली कृती पूर्ण करा:
\( \int_{0}^{2}\frac{dx}{4+x-x^{2}} \)

\( = \int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+\mathbf{\fbox{ x }}+\mathbf{\fbox{ 4 }}} \)

\( =\int_{0}^{2}\frac{dx}{-x^{2}+x+\frac{1}{4}-\mathbf{\fbox{ \(\frac{1}{4}\) }}+4} \)

\( =-\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^{2}-(\mathbf{\fbox{ \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) }})^{2}} \)

सूत्र वापरून: \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \), परंतु बाहेर ऋण चिन्ह असल्यामुळे:

\( =\frac{1}{\sqrt{17}}log(\frac{20+4\sqrt{17}}{20-4\sqrt{17}}) \)

(ii) लोकसंख्या वाढीचा दर रहिवाशांच्या संख्येच्या प्रमाणात आहे. जर 25 वर्षात लोकसंख्या दुप्पट होत असेल आणि सध्याची लोकसंख्या 1,00,000 असेल तर शहराची लोकसंख्या 4,00,000 कधी होईल?

उकल:
समजा 't' वेळेला शहराची लोकसंख्या 'P' आहे.
दिले आहे: \( \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \int \frac{dP}{P} = \int k dt \)
\( \log P = kt + c \) ... (i)

(i) जेव्हा \( t=0, P=1,00,000 \)
समीकरण (i) वरून: \( \log 1,00,000 = k(0) + c \)
\( c = \) \( \log(1,00,000) \)

(ii) जेव्हा \( t=25, P=2,00,000 \) (लोकसंख्या दुप्पट होते)
\( \log(\frac{P}{1,00,000}) = kt \) ... (ii)
\( \log(\frac{2,00,000}{1,00,000}) = 25k \)
\( \log 2 = 25k \)
\( k = \) \( \frac{1}{25} \log 2 \)

(iii) जेव्हा \( P=4,00,000 \) तेव्हा \( t \) काढा.
\( \log(\frac{4,00,000}{1,00,000}) = (\frac{1}{25}\log 2) \cdot t \)
\( \log 4 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( 2 \log 2 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( t = \) 50 वर्षे

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) खाली दिलेल्या बहुपर्यायी प्रकारच्या प्रश्नांच्या विकल्पातून योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :

(i) दर्शनी मूल्य आणि वर्तमान मूल्य यांतील फरकास ______ म्हणतात.

• (अ) बँकर्स सवलत (banker's discount)
• (ब) खरी सवलत (true discount)
• (क) बँकेचा नफा (banker's gain)
• (ड) रोख मूल्य (cash value)

उत्तर: (ब) खरी सवलत (true discount)

(ii) सामान्य वार्षिकी देयके किंवा परतावे घडतात.

• (अ) प्रत्येक कालावधीच्या सुरुवातीस
• (ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी
• (क) प्रत्येक कालावधीच्या मध्यावर
• (ड) त्रैमासिक आधारावर

उत्तर: (ब) प्रत्येक कालावधीच्या शेवटी

(iii) \( b_{xy} \) आणि \( b_{yx} \) हे असतात.

• (अ) मूळ आणि स्केलच्या बदलापासून स्वतंत्र
• (ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही
• (क) स्केलच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु मूळच्या नाही
• (ड) मूळ आणि स्केलच्या बदलामुळे प्रभावित

उत्तर: (ब) मूळच्या बदलापासून स्वतंत्र परंतु स्केलच्या नाही

(iv) डॉर्विश बाऊलीस किंमत निर्देशांक क्रमांक दिला आहे :

• (अ) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{1}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{1}}{\Sigma p_{1}q_{0}}}{2}\times100 \)
• (ब) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{0}}{\Sigma p_{1}q_{1}}}{2}\times100 \)
• (क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)
• (ड) \( \frac{\frac{\Sigma p_{0}q_{0}}{\Sigma p_{1}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{0}q_{1}}{\Sigma p_{1}q_{1}}}{2}\times100 \)

उत्तर: (क) \( \frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}}+\frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2}\times100 \)

स्पष्टीकरण: डॉर्विश-बाऊली निर्देशांक हा लासपेअर (Laspeyres) आणि पाशे (Paasche) यांच्या निर्देशांकांचे अंकगणितीय मध्य (Arithmetic Mean) आहे.

(v) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फल (objective function) असते.

• (अ) एक बंधन (a constraint)
• (ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे
• (क) निर्णय चलांमधील एक संबंध
• (ड) एक व्यवहार्य (feasible) क्षेत्र

उत्तर: (ब) एक फल ज्याला कमाल किंवा किमान करणे

(vi) हंगेरियन पद्धत वापरण्यासाठी, एका नफा वाढविण्याच्या सोपवणी गणितात हे आवश्यक असते.

• (अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे
• (ब) एक बनावट व्यक्ती किंवा काम
• (क) सारणी विस्तार
• (ड) सोडवलेल्या सारणीमधील सर्व शून्य सामावून घेण्यासाठी जास्तीत जास्त रेषा शोधणे.

उत्तर: (अ) सर्व नफ्याची संधी हानीमध्ये रूपांतर करणे

प्र. ४. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) दलाल एक असा एजंट असतो जो विक्रेत्याला हमी देतो की खरेदीदार वस्तूची विक्री किंमत देईल.
  उत्तर: असत्य (False)
  कारण: विक्रेत्याला अशी हमी देणाऱ्या एजंटला 'डेल क्रेडर एजंट' (Del Credere Agent) म्हणतात, सामान्य दलाल नाही.
• (ii) \( \sum\frac{p_{0}q_{0}}{p_{1}q_{1}}\times100 \) हा साध्या एकत्रित पद्धतीद्वारे मूल्य निर्देशांक क्रमांक आहे.
  उत्तर: असत्य (False)
  कारण: मूल्य निर्देशांक क्रमांकाचे (Value Index Number) सूत्र \( \frac{\sum p_1 q_1}{\sum p_0 q_0} \times 100 \) असे आहे.
• (iii) रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये निश्चित फलाची (objective function) सर्वोत्तम किंमत (optimum value) ही संभाव्य भागाच्या मध्यावर (center of feasible region) असते.
  उत्तर: असत्य (False)
  कारण: रेषीय प्रयोजनात्मक प्रश्नामध्ये (L.P.P.) सर्वोत्तम किंमत नेहमी संभाव्य क्षेत्राच्या शिरोबिंदूवर (vertex) किंवा कोपऱ्याच्या बिंदूवर (corner point) असते, मध्यावर नाही.

प्र. ४. (क) खाली दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण) :

• (i) बँकेची सूट ही नेहमी खऱ्या सुटीपेक्षा जास्त (Greater) असते.
• (ii) भारित सापेक्ष पद्धती द्वारे राहणीमानाचा किंमत निर्देशांक क्रमांक \( \frac{\sum IW}{\sum W} \) आहे.
• (iii) यंत्राच्या दिलेल्या संचाद्वारे एखाद्या विशिष्ट क्रमाने निष्क्रिय वेळेसह पहिले काम सुरू करणे आणि शेवटचे काम पूर्ण करणे यामधील वेळेचा मध्यांतर यांस एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) म्हणतात.

प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) दीपकचा पगार ₹ 4,000 वरून ₹ 5,000 करण्यात आला. विक्री सारखीच होती म्हणून दलालीचा दर 3% वरून 2% करण्यात आला. जर त्याचे उत्पन्न अपरिवर्तित राहीले असेल तर त्याची विक्री काढा.

उकल:
समजा विक्री \( x \) आहे.
स्थिती 1 (जुनी):
पगार = ₹ 4,000
दलालीचा दर = 3%
एकूण उत्पन्न = \( 4000 + \frac{3}{100}x = 4000 + 0.03x \)

स्थिती 2 (नवीन):
पगार = ₹ 5,000
दलालीचा दर = 2%
एकूण उत्पन्न = \( 5000 + \frac{2}{100}x = 5000 + 0.02x \)

उत्पन्न अपरिवर्तित राहिले आहे, म्हणून:
\( 4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x \)
\( 0.03x - 0.02x = 5000 - 4000 \)
\( 0.01x = 1000 \)
\( x = \frac{1000}{0.01} \)
\( x = 1,00,000 \)

उत्तर: दीपकची विक्री ₹ 1,00,000 आहे.

(ii) एका द्विचलीय माहितीसाठी, X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक 0.4 आहे आणि Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक 0.9 आहे. जर X चे विचरण (variance) 9 असेल तर Y च्या विचरणाचे मूल्य शोधा.

उकल:
दिले आहे:
\( b_{yx} = 0.4 \) (X वरील Y चा प्रतिगमन गुणांक)
\( b_{xy} = 0.9 \) (Y वरील X चा प्रतिगमन गुणांक)
X चे विचरण \( V(X) = \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \)

आपल्याला माहित आहे की:
\( b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \)
\( 0.4 \times 0.9 = r^2 \)
\( r^2 = 0.36 \Rightarrow r = 0.6 \) (धन घेतले कारण \( b_{yx}, b_{xy} > 0 \))

आता, \( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \) वापरून:
\( 0.4 = 0.6 \times \frac{\sigma_y}{3} \)
\( 0.4 = 0.2 \sigma_y \)
\( \sigma_y = \frac{0.4}{0.2} = 2 \)

Y चे विचरण \( V(Y) = \sigma_y^2 = 2^2 = 4 \).
उत्तर: Y चे विचरण 4 आहे.

(iii) खालील तक्ता 1976 ते 1985 या कालावधीतील औद्योगिक उत्पादनाचा निर्देशांक दर्शवितो. 1976 हे वर्ष आधारभूत वर्ष घेऊन खाली दिलेल्या माहितीसाठी 4 वर्षीय केंद्रित चालणारी सरासरी (4 yearly centered moving averages) वापरून प्रवृत्ती मूल्ये काढा.

उकल:

वर्ष	निर्देशांक (Y)	4-वर्षीय एकूण बेरीज	केंद्रित बेरीज (2 गटांची बेरीज)	प्रवृत्ती मूल्य (केंद्रित बेरीज / 8)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
		8
1978	3		18	2.25
		10
1979	3		22	2.75
		12
1980	2		26	3.25
		14
1981	4		31	3.875
		17
1982	5		39	4.875
		22
1983	6		50	6.25
		28	-	-
1984	7	-	-	-
1985	10	-	-	-

प्रवृत्ती मूल्ये: 2.25, 2.75, 3.25, 3.875, 4.875, 6.25.

प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) जर खाली दिलेल्या माहितीसाठी, वॉल्श किंमत निर्देशांक क्रमांक 150 असेल तर \( x \) शोधा :

उकल:
वॉल्श किंमत निर्देशांक सूत्र: \( P_{01}(w) = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100 \)
समजा \( W = \sqrt{q_0 q_1} \).

वस्तू	\(p_0\)	\(q_0\)	\(p_1\)	\(q_1\)	\(W = \sqrt{q_0 q_1}\)	\(p_0 W\)	\(p_1 W\)
A	5	3	10	3	\(\sqrt{9}=3\)	15	30
B	\(x\)	4	16	9	\(\sqrt{36}=6\)	\(6x\)	96
C	15	5	23	5	\(\sqrt{25}=5\)	75	115
D	10	2	26	8	\(\sqrt{16}=4\)	40	104
एकूण (Total)	-	-	-	-	-	\(130 + 6x\)	345

दिले आहे \( P_{01}(w) = 150 \):
\( 150 = \frac{345}{130 + 6x} \times 100 \)
\( \frac{150}{100} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( 130 + 6x = \frac{345 \times 2}{3} \)
\( 130 + 6x = 115 \times 2 = 230 \)
\( 6x = 230 - 130 \)
\( 6x = 100 \)
\( x = \frac{100}{6} = \mathbf{16.67} \)

(ii) एक खेळणी बनविणारी कंपनी पाच प्रकारची खेळणी बनवते. प्रत्येक खेळण्याला A, B, C तीन यंत्रातून A, B, C या क्रमाने जायचे आहे. एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) व यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time) शोधा.

उकल:
पायरी 1: अट तपासणे
Min \(A = 12\) (प्रकार 3), Min \(C = 8\) (प्रकार 1), Max \(B = 12\) (प्रकार 2).
येथे Min \(A \ge\) Max \(B\) (\(12 \ge 12\)), म्हणून अट पूर्ण झाली.

पायरी 2: दोन काल्पनिक यंत्रे G आणि H तयार करणे
\(G_i = A_i + B_i\) आणि \(H_i = B_i + C_i\)

प्रकार	1	2	3	4	5
G (A+B)	26	32	16	20	30
H (B+C)	18	30	20	18	18

पायरी 3: क्रम निश्चित करणे (Johnson's Algorithm)
किमान वेळ 16 आहे (G वर प्रकार 3) &to; 3 प्रथम येईल.
पुढील किमान 18 आहे (H वर प्रकार 1, 4, 5) &to; 1, 4, 5 शेवटी येतील.
उर्वरित प्रकार 2 आहे.
इष्टतम क्रम (Optimal Sequence): 3 - 2 - 5 - 4 - 1

पायरी 4: एकूण व्यतीत वेळ सारणी

क्रम	यंत्र A		यंत्र B		यंत्र C
	आंत (In)	बाहेर (Out)	आंत (In)	बाहेर (Out)	आंत (In)	बाहेर (Out)
3	0	12	12	16	16	32
2	12	32	32	44	44	62
5	32	54	54	62	62	72
4	54	68	68	74	74	86
1	68	84	84	94	94	102

एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time) = 102 तास.

पायरी 5: यंत्र B चा निष्क्रिय वेळ (Idle Time)
निष्क्रिय वेळ = एकूण वेळ - B च्या कामाच्या वेळेची बेरीज
B ची बेरीज = \(10+12+4+6+8 = 40\) तास.
B साठी निष्क्रिय वेळ = \(102 - 40 = \mathbf{62 \text{ तास}}\).

(iii) एका यादृच्छिक चल X चे संभाव्यता वितरण खालील प्रमाणे आहे. शोधा (अ) k (ब) \(P(X < 3)\) (क) \(P(X > 6)\)

X	1	2	3	4	5	6	7
P(x)	k	2k	2k	3k	\(k^2\)	\(2k^2\)	\(7k^2+k\)

उकल:
(अ) आपल्याला माहित आहे की \(\sum P(x) = 1\):
\( k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1 \)
\( 10k^2 + 9k = 1 \)
\( 10k^2 + 9k - 1 = 0 \)
\( 10k^2 + 10k - k - 1 = 0 \)
\( 10k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( (10k - 1)(k + 1) = 0 \)
\( k = \frac{1}{10} \) किंवा \( k = -1 \).
संभाव्यता ऋण असू शकत नाही, म्हणून \( k = 0.1 \).

(ब) \( P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) \)
\( = k + 2k = 3k \)
\( = 3(0.1) = \mathbf{0.3} \)

(क) \( P(X > 6) = P(X=7) \)
\( = 7k^2 + k \)
\( = 7(0.1)^2 + 0.1 \)
\( = 7(0.01) + 0.1 \)
\( = 0.07 + 0.1 = \mathbf{0.17} \)

प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण) :

(i) एका इमारतीचा विमा त्याच्या एकूण किंमतीच्या 75% आहे. त्याचा वार्षिक हप्ता 0.70% प्रमाणे ₹ 2,625 होतो. जर आगीमुळे इमारतीचे 60% पर्यंत नुकसान झाले तर या विम्याअंतर्गत किती रकमेचा दावा (Claim) करता येईल?

उकल:
समजा मालमत्तेचे मूल्य (Property Value) \( V \) आहे.
पॉलिसी मूल्य (Policy Value) = \( 75\% \) of \( V = 0.75V \).
हप्त्याचा दर (Rate of Premium) = \( 0.70\% = 0.007 \).
हप्ता (Premium) = ₹ 2,625.

पायरी 1: मालमत्तेचे मूल्य काढणे
\( \text{हप्ता} = \text{पॉलिसी मूल्य} \times \text{दर} \)
\( 2625 = 0.75V \times \frac{0.70}{100} \)
\( 2625 = V \times 0.00525 \)
\( V = \frac{2625}{0.00525} = 5,00,000 \)
मालमत्तेचे मूल्य = ₹ 5,00,000.
पॉलिसी मूल्य = \( 0.75 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,75,000 \).

पायरी 2: दावा (Claim) काढणे
नुकसान (Loss) = 60% of \( V = 0.60 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,00,000 \).
मालमत्ता पूर्ण विम्यात नाही (under-insured), म्हणून सरासरी कलम (Average Clause) लागू होईल.
\( \text{दावा} = \frac{\text{पॉलिसी मूल्य}}{\text{मालमत्तेचे मूल्य}} \times \text{नुकसान} \)
\( \text{दावा} = \frac{3,75,000}{5,00,000} \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = 0.75 \times 3,00,000 \)
\( \text{दावा} = \mathbf{2,25,000} \)

उत्तर: विम्याअंतर्गत ₹ 2,25,000 चा दावा करता येईल.

(ii) एका यंत्राच्या दुकानात तीन नवीन यंत्रे \(M_1, M_2, M_3\) स्थापित करायची आहेत. चार रिक्त जागा A, B, C, D उपलब्ध आहेत. मर्यादित जागेमुळे यंत्र \(M_2\), ला B च्या जागेवर स्थापित करू शकत नाही. किंमत सारणी (शंभर रुपयांमध्ये) खाली दिली आहे. इष्टतम सोपवणी वेळापत्रक आणि किमान किंमत शोधा.

यंत्र	A	B	C	D
\(M_1\)	13	10	12	11
\(M_2\)	15	-	13	20
\(M_3\)	5	7	10	6

उकल:
येथे 3 यंत्रे आणि 4 जागा आहेत, म्हणून ही असंतुलित समस्या (Unbalanced problem) आहे. आपण 0 किंमत असलेले एक डमी यंत्र \(M_4\) जोडू. तसेच \(M_2\) ला B वर ठेवता येत नाही, म्हणून तिथे किंमत अनंत (\(\infty\)) घेऊ.

पायरी 1: सारणी तयार करणे

13	10	12	11
15	∞	13	20
5	7	10	6
0	0	0	0

पायरी 2: ओळ कमी करणे (Row Reduction) (प्रत्येक ओळीतून किमान संख्या वजा करा)
\(R_1\) (min 10): 3, 0, 2, 1
\(R_2\) (min 13): 2, ∞, 0, 7
\(R_3\) (min 5): 0, 2, 5, 1
\(R_4\) (min 0): 0, 0, 0, 0

पायरी 3: सोपवणी करणे (Assignment - Zero selection)
- \(R_2\) मध्ये फक्त एक शून्य C वर आहे. \(M_2 \to C\) (किंमत 13).
- \(R_1\) मध्ये आता फक्त एक शून्य B वर उपलब्ध आहे. \(M_1 \to B\) (किंमत 10).
- \(R_3\) मध्ये फक्त एक शून्य A वर आहे. \(M_3 \to A\) (किंमत 5).
- \(R_4\) साठी जागा D उरली आहे. \(M_4 \to D\) (किंमत 0).

इष्टतम वेळापत्रक:
\(M_1 \to B\) (10)
\(M_2 \to C\) (13)
\(M_3 \to A\) (5)
(जागा D रिक्त राहील)

किमान किंमत = 10 + 13 + 5 = 28 (शंभर) = ₹ 2,800.

(iii) 10% सदोष अंडी असलेली अंडी क्रमशः बदलून (with replacement) काढली जातात. 10 अंड्यांचा समूह आहे, या अंड्यांमध्ये किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता शोधा.

उकल:
ही द्विपदी वितरण (Binomial Distribution) समस्या आहे \( X \sim B(n, p) \).
सदोष अंड्याची संभाव्यता \( p = 10\% = 0.1 \).
चांगल्या अंड्याची संभाव्यता \( q = 1 - 0.1 = 0.9 \).
एकूण प्रयत्न \( n = 10 \).

आपल्याला किमान एक सदोष अंडे असण्याची संभाव्यता काढायची आहे: \( P(X \ge 1) \).
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \)
\( P(X = 0) = {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \)

\( P(X \ge 1) = 1 - (0.9)^{10} \)
उत्तर: \( 1 - (0.9)^{10} \)

प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण) :

(i) खालील तक्ता वर्षे 1980 ते 2010 साठी अखिल भारतीय बाल मृत्युदर (प्रति '000) दर्शवितो. वरील माहितीसाठी कमीत कमी वर्ग पद्धतीने (least squares method) प्रवृत्तीरेषा बनवा.

वर्ष	1980	1985	1990	1995	2000	2005	2010
IMR	10	7	5	4	3	1	0

उकल:
येथे \( n = 7 \) (विषम संख्या).
मध्यवर्ती वर्ष 1995 आहे.
समजा \( u = \frac{t - 1995}{5} \) (येथे 5 वर्षांचा फरक आहे).

वर्ष (t)	IMR (y)	\(u\)	\(u^2\)	\(uy\)
1980	10	-3	9	-30
1985	7	-2	4	-14
1990	5	-1	1	-5
1995	4	0	0	0
2000	3	1	1	3
2005	1	2	4	2
2010	0	3	9	0
एकूण (Total)	\(\sum y = 30\)	\(\sum u = 0\)	\(\sum u^2 = 28\)	\(\sum uy = -44\)

प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण: \( y = a + bu \)
येथे, \( a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} \approx 4.286 \)
आणि \( b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -\frac{11}{7} \approx -1.571 \)

प्रवृत्ती रेषेचे समीकरण:
\( y = 4.286 - 1.571 u \)
किंवा \( y = 4.286 - 1.571 \left( \frac{t - 1995}{5} \right) \)

(ii) लघुत्तम करा (Minimize): \( z = 6x + 2y \)
अटी (Constraints):
\( x+2y \ge 3 \), \( x+4y \ge 4 \), \( 3x+y \ge 3 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).

उकल:
दिलेल्या समीकरणांसाठी रेषांचे आलेख बिंदू काढू:
1. \( L_1: x + 2y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (3, 0) आणि (0, 1.5)
2. \( L_2: x + 4y = 4 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (4, 0) आणि (0, 1)
3. \( L_3: 3x + y = 3 \) \(\Rightarrow\) बिंदू (1, 0) आणि (0, 3)

सर्व अटी '\(\ge\)' प्रकारच्या आहेत, त्यामुळे संभाव्य क्षेत्र (Feasible Region) रेषांच्या वरच्या बाजूला आहे (Unbounded).

संभाव्य क्षेत्राचे शिरोबिंदू (Corner Points):
1. A(0, 3) [रेषा \(L_3\) चा Y-अक्ष छेद]
2. B [रेषा \(L_1\) आणि \(L_3\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( 3x+y=3 \) सोडवून.
\( y = 3-3x \Rightarrow x+2(3-3x)=3 \Rightarrow x+6-6x=3 \Rightarrow -5x=-3 \Rightarrow x=0.6 \)
\( y = 3 - 3(0.6) = 1.2 \)
\(\therefore B(0.6, 1.2)\)

3. C [रेषा \(L_1\) आणि \(L_2\) चा छेदनबिंदू]:
\( x+2y=3 \) आणि \( x+4y=4 \) सोडवून.
वजाबाकी करून: \( 2y=1 \Rightarrow y=0.5 \)
\( x+2(0.5)=3 \Rightarrow x+1=3 \Rightarrow x=2 \)
\(\therefore C(2, 0.5)\)

4. D(4, 0) [रेषा \(L_2\) चा X-अक्ष छेद]

Z ची मूल्ये (Values of Z):
\( Z(A) = 6(0) + 2(3) = 6 \)
\( Z(B) = 6(0.6) + 2(1.2) = 3.6 + 2.4 = \mathbf{6} \)
\( Z(C) = 6(2) + 2(0.5) = 12 + 1 = 13 \)
\( Z(D) = 6(4) + 2(0) = 24 \)

उत्तर: \( Z \) चे किमान मूल्य 6 आहे.

प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):

(i) एका द्विचलीय माहितीसाठी \( \overline{x}=10 \), \( \overline{y}=12 \), \( V(X)=9 \), \( \sigma_{y}=4 \) आणि \( r=0.6 \). \( x=5 \) असताना \( y \) ची किंमत काढा.

उकल:
X वर Y ची प्रतिगमन रेषा (Regression line of Y on X):
\( Y-\overline{y} = b_{yx}(X-\overline{x}) \)
\( Y-12 = r\cdot\frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x}}(X-10) \)
(येथे \( V(X)=9 \implies \sigma_x = 3 \))

\( Y-12 = 0.6 \times \frac{4}{\mathbf{\fbox{ 3 }}} (X-10) \)

जेव्हा \( x=5 \):
\( Y-12 = \) 0.8 \( (5-10) \)
(कारण \( 0.6 \times \frac{4}{3} = 0.8 \))

\( Y-12 = 0.8(-5) \)
\( Y-12 = -4 \)
\( Y = \) 8

(ii) जर \( X\sim P(m) \) आणि \( P(X=1)=P(X=2) \) तर सरासरी (mean) आणि \( P(X=2) \) शोधा.
दिले आहे \( e^{-2}=0.1353 \).

उकल:
पॉयसन वितरणानुसार सूत्र (Poisson Distribution Formula): \( P(X=x) = \frac{e^{-m}m^x}{x!} \)
दिले आहे की \( P(X=1)=P(X=2) \)

\( \frac{e^{-m}m^{1}}{1!} = \frac{e^{-m}m^{2}}{\mathbf{\fbox{ 2! }}} \)

दोन्ही बाजूंना \( e^{-m} \cdot m \) ने भागून:
\( 1 = \frac{m}{2} \)
\( m = \) 2

आता \( P(X=2) \) काढू:
\( P(X=2) = \frac{e^{-2}\cdot2^{2}}{2!} \)
\( P(X=2) = \frac{0.1353 \times 4}{2} \)
\( P(X=2) = \) 0.2706

HSC Commerce Mathematics & Statistics March 2024 Exam Question Paper with Solutions

Mathematics & Statistics (Commerce)
March 2024 Board Paper Solution

Max. Marks: 80 | Time: 3 Hrs.

SECTION - I

Q. 1. (A) Select and write the correct answer (1 mark each)

(i) Which of the following is not a statement?

• (a) Smoking is injurious to health
• (b) \(2+2=4\)
• (c) 2 is the only even prime number
• (d) Come here

Answer: (d) Come here

Reason: It is an imperative sentence (command), hence not a logical statement.

(ii) If \(x+y+z=3\), \(x+2y+3z=4\), \(x+4y+9z=6\) then \((y,z) =\)

• (a) (-1, 0)
• (b) (1, 0)
• (c) (1, -1)
• (d) (-1, 1)

Answer: (b) (1, 0)

Solving the equations:
1) \(x+y+z=3\)
2) \(x+2y+3z=4\)
Subtract (1) from (2): \(y+2z=1\).
If we check option (b) where \(y=1, z=0\): \(1 + 2(0) = 1\). Correct.

(iii) If \(y = \log(\frac{e^x}{x^2})\), then \(\frac{dy}{dx} = ?\)

• (a) \(\frac{2-x}{x}\)
• (b) \(\frac{x-2}{x}\)
• (c) \(\frac{e-x}{ex}\)
• (d) \(\frac{x-e}{ex}\)

Answer: (b) \(\frac{x-2}{x}\)

\(y = \log(e^x) - \log(x^2) = x\log e - 2\log x = x - 2\log x\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{2}{x} = \frac{x-2}{x}\)

(iv) The value of \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x}}\) is

• (a) \(2\sqrt{1-x} + c\)
• (b) \(-2\sqrt{1-x} + c\)
• (c) \(\sqrt{x} + c\)
• (d) \(x + c\)

Answer: (b) \(-2\sqrt{1-x} + c\)

(v) \(\int \frac{dx}{(x-8)(x+7)} = \_\).

• (a) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+2}{x+1}| + c\)
• (b) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x+8}{x+7}| + c\)
• (c) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)
• (d) \((x-8)(x+7) + c\)

Answer: (c) \(\frac{1}{15} \log |\frac{x-8}{x+7}| + c\)

(vi) The differential equation of \(y = k_1 e^x + k_2 e^{-x}\) is:

• (a) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)
• (b) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0\)
• (c) \(\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} = 0\)
• (d) \(\frac{d^2y}{dx^2} + y\frac{dy}{dx} = 0\)

Answer: (a) \(\frac{d^2y}{dx^2} - y = 0\)

Q. 1. (B) State whether True or False (1 mark each)

• (i) \(\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt\)
  Answer: True
• (ii) For \(\int \frac{x-1}{(x+1)^3} e^x dx = e^x f(x) + c\), \(f(x) = (x+1)^2\)
  Answer: False
  (Correction: \(f(x)\) should be \(\frac{1}{(x+1)^2}\) or \((x+1)^{-2}\), not \((x+1)^2\))
• (iii) Order and degree of a differential equation are always positive integers.
  Answer: True

Q. 1. (C) Fill in the blanks (1 mark each)

• (i) The slope of tangent at any point (a, b) is called as Gradient.
• (ii) If \(f'(x) = \frac{1}{x} + x\) and \(f(1) = \frac{5}{2}\) then \(f(x) = \log x + \frac{x^2}{2} + \) 2.
• (iii) A solution of differential equation which can be obtained from the general solution by giving particular values to the arbitrary constants is called Particular solution.

Q. 2 & 3. Key Subjective Solutions & Activities

Q. 2. (A) Attempt any TWO of the following questions (3 marks each):

(i) Examine whether the following statement pattern is a tautology, a contradiction, or a contingency:
\( \sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q) \)

Solution:
Let's construct the truth table:

\(p\)	\(q\)	\(\sim p\)	\(\sim q\)	\(p \rightarrow \sim q\)	\(\sim p \rightarrow (p \rightarrow \sim q)\)
T	T	F	F	F	T
T	F	F	T	T	T
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

Since all entries in the last column are T, the given statement pattern is a Tautology.

(ii) Find \( \frac{dy}{dx} \) if \( x = e^{3t} \), \( y = e^{(4t+5)} \)

Solution:
Given \( x = e^{3t} \)
Differentiating w.r.t \(t\):
\( \frac{dx}{dt} = e^{3t} \cdot \frac{d}{dt}(3t) = 3e^{3t} \)

Given \( y = e^{4t+5} \)
Differentiating w.r.t \(t\):
\( \frac{dy}{dt} = e^{4t+5} \cdot \frac{d}{dt}(4t+5) = 4e^{4t+5} \)

Now, \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4e^{4t+5}}{3e^{3t}} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{(4t+5) - 3t} \)
\( \frac{dy}{dx} = \frac{4}{3} e^{t+5} \)

(iii) If \( A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -4 \end{bmatrix} \) then find \( A^T + 4B^T \)

Solution:
\( A^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \)

\( B^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \)

\( 4B^T = 4 \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

\( A^T + 4B^T = \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 3 & 4 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 8 \\ -8 & 4 \\ 12 & -16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7+0 & 0+8 \\ 3-8 & 4+4 \\ 0+12 & -2-16 \end{bmatrix} \)

\( = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ -5 & 8 \\ 12 & -18 \end{bmatrix} \)

Q. 2. (B) Attempt any TWO of the following questions (4 marks each):

(i) Consider the following statements:
(a) If D is dog, then D is very good.
(b) If D is very good, then D is dog.
(c) If D is not very good, then D is not a dog.
(d) If D is not a dog, then D is not very good.
Identify the pairs of statements having the same meaning. Justify.

Solution:
Let \( p \): D is a dog.
Let \( q \): D is very good.

The symbolic forms of the given statements are:
(a) \( p \rightarrow q \) (Implication)
(b) \( q \rightarrow p \) (Converse)
(c) \( \sim q \rightarrow \sim p \) (Contrapositive)
(d) \( \sim p \rightarrow \sim q \) (Inverse)

Justification:
We know that a conditional statement is logically equivalent to its contrapositive.
Therefore, \( p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p \).
Also, the converse is logically equivalent to the inverse.
Therefore, \( q \rightarrow p \equiv \sim p \rightarrow \sim q \).

Pairs having the same meaning:
1. (a) and (c) are equivalent.
2. (b) and (d) are equivalent.

(ii) Determine the minimum value of the function:
\( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)

Solution:
Given \( f(x) = 2x^3 - 21x^2 + 36x - 20 \)
Step 1: Find \( f'(x) \) and \( f''(x) \).
\( f'(x) = 6x^2 - 42x + 36 \)
\( f''(x) = 12x - 42 \)

Step 2: Find stationary points by setting \( f'(x) = 0 \).
\( 6(x^2 - 7x + 6) = 0 \)
\( x^2 - 6x - x + 6 = 0 \)
\( x(x-6) - 1(x-6) = 0 \)
\( (x-1)(x-6) = 0 \)
So, \( x = 1 \) or \( x = 6 \).

Step 3: Test the points in \( f''(x) \).
For \( x = 1 \):
\( f''(1) = 12(1) - 42 = -30 < 0 \) (Maxima)
For \( x = 6 \):
\( f''(6) = 12(6) - 42 = 72 - 42 = 30 > 0 \) (Minima)

Step 4: Calculate the minimum value at \( x = 6 \).
\( f(6) = 2(6)^3 - 21(6)^2 + 36(6) - 20 \)
\( f(6) = 2(216) - 21(36) + 216 - 20 \)
\( f(6) = 432 - 756 + 216 - 20 \)
\( f(6) = 648 - 776 \)
\( f(6) = -128 \)

The minimum value of the function is -128.

(iii) Find the area of the regions bounded by the line \( y = -2x \), the X-axis and the lines \( x = -1 \) and \( x = 2 \).

Solution:
The area \( A \) is given by \( \int_{-1}^{2} |y| dx \).
Since \( y = -2x \), the line passes through the origin.
- In the interval \([-1, 0]\), \( x \) is negative, so \( y = -2(\text{neg}) = \text{positive} \).
- In the interval \([0, 2]\), \( x \) is positive, so \( y = -2(\text{pos}) = \text{negative} \).

Therefore, we split the integral at \( x = 0 \):
\( A = |\int_{-1}^{0} (-2x) dx| + |\int_{0}^{2} (-2x) dx| \)

Part 1 (from -1 to 0):
\( A_1 = \int_{-1}^{0} -2x dx = -2 [\frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = - [x^2]_{-1}^{0} \)
\( A_1 = - [0^2 - (-1)^2] = - [0 - 1] = 1 \)

Part 2 (from 0 to 2):
\( A_2 = \int_{0}^{2} -2x dx = - [x^2]_{0}^{2} \)
\( A_2 = - [2^2 - 0^2] = -4 \)
Area cannot be negative, so we take absolute value: \( |A_2| = 4 \).

Total Area:
\( A = A_1 + |A_2| = 1 + 4 = 5 \) sq. units.

Q. 3. (A) Attempt any TWO of the following questions (3 marks each):

(i) Find \( \frac{dy}{dx} \) if \( y = x^{e^x} \)

Solution:
Given \( y = x^{e^x} \)
Taking logarithm on both sides:
\( \log y = \log(x^{e^x}) \)
\( \log y = e^x \cdot \log x \)

Differentiating with respect to \( x \):
\( \frac{d}{dx}(\log y) = \frac{d}{dx}(e^x \cdot \log x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x \frac{d}{dx}(\log x) + \log x \frac{d}{dx}(e^x) \) (Product Rule)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x}) + \log x (e^x) \)
\( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = e^x (\frac{1}{x} + \log x) \)

\( \frac{dy}{dx} = y \cdot e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)
Substituting \( y = x^{e^x} \):
\( \frac{dy}{dx} = x^{e^x} e^x (\frac{1 + x\log x}{x}) \)

(ii) If \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \), \( f(0) = 1 \) and \( f(1) = 4 \), find \( f(x) \).

Solution:
Given \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 + 2x + k \)
Integrate both sides to find \( f(x) \):
\( f(x) = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x + k) dx \)
\( f(x) = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + kx + c \)
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + c \) ... (Equation 1)

Step 1: Find c
Given \( f(0) = 1 \). Substitute \( x=0 \) in Eq 1:
\( 1 = 0^4 - 0^3 + 0^2 + k(0) + c \)
\( c = 1 \)

Step 2: Find k
Update Eq 1: \( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + kx + 1 \)
Given \( f(1) = 4 \). Substitute \( x=1 \):
\( 4 = 1^4 - 1^3 + 1^2 + k(1) + 1 \)
\( 4 = 1 - 1 + 1 + k + 1 \)
\( 4 = 2 + k \)
\( k = 2 \)

Final Answer:
\( f(x) = x^4 - x^3 + x^2 + 2x + 1 \)

(iii) Obtain the differential equation whose general solution is \( x^3 + y^3 = 35ax \)

Solution:
Given equation: \( x^3 + y^3 = 35ax \) ... (1)
Here, \( a \) is the arbitrary constant.
Rewrite (1) to isolate \( a \):
\( \frac{x^3 + y^3}{x} = 35a \)

Differentiate w.r.t \( x \) to eliminate \( 35a \):
\( \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3 + y^3}{x} \right) = 0 \)
Using Quotient Rule \( \frac{v u' - u v'}{v^2} \):
\( \frac{x \frac{d}{dx}(x^3 + y^3) - (x^3 + y^3) \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = 0 \)
\( x(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx}) - (x^3 + y^3)(1) = 0 \) (Since \( x^2 \neq 0 \))
\( 3x^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} - x^3 - y^3 = 0 \)
\( 2x^3 - y^3 + 3xy^2 \frac{dy}{dx} = 0 \)

Required Differential Equation:
\( 3xy^2 \frac{dy}{dx} = y^3 - 2x^3 \)

Q. 3. (B) Attempt any ONE of the following questions (4 marks each):

(i) Find the inverse of \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \) by adjoint method.

Solution:
Let \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \\ 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \)

Step 1: Find the determinant \(|A|\)
\( |A| = 3(35 - 16) - 1(10 - 8) + 5(4 - 7) \)
\( |A| = 3(19) - 1(2) + 5(-3) \)
\( |A| = 57 - 2 - 15 = 40 \)
Since \( |A| \neq 0 \), \( A^{-1} \) exists.

Step 2: Find the Cofactors
\( A_{11} = (-1)^{1+1}(35-16) = 19 \)
\( A_{12} = (-1)^{1+2}(10-8) = -2 \)
\( A_{13} = (-1)^{1+3}(4-7) = -3 \)
\( A_{21} = (-1)^{2+1}(5-10) = -(-5) = 5 \)
\( A_{22} = (-1)^{2+2}(15-5) = 10 \)
\( A_{23} = (-1)^{2+3}(6-1) = -5 \)
\( A_{31} = (-1)^{3+1}(8-35) = -27 \)
\( A_{32} = (-1)^{3+2}(24-10) = -14 \)
\( A_{33} = (-1)^{3+3}(21-2) = 19 \)

Step 3: Matrix of Cofactors and Adjoint
Cofactor Matrix \( C = \begin{bmatrix} 19 & -2 & -3 \\ 5 & 10 & -5 \\ -27 & -14 & 19 \end{bmatrix} \)
\( \text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

Step 4: Find Inverse
\( A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) \)
\( A^{-1} = \frac{1}{40} \begin{bmatrix} 19 & 5 & -27 \\ -2 & 10 & -14 \\ -3 & -5 & 19 \end{bmatrix} \)

(ii) The consumption expenditure \( E_c \) of a person with income \( x \), is given by \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \).
Find average propensity to consume (APC), marginal propensity to consume (MPC) when his income is 200. Also find his marginal propensity to save (MPS).

Solution:
Given \( E_c = 0.0006x^2 + 0.003x \) and \( x = 200 \).

1. Average Propensity to Consume (APC)
\( \text{APC} = \frac{E_c}{x} = \frac{0.0006x^2 + 0.003x}{x} \)
\( \text{APC} = 0.0006x + 0.003 \)
At \( x = 200 \):
\( \text{APC} = 0.0006(200) + 0.003 \)
\( \text{APC} = 0.12 + 0.003 = \mathbf{0.123} \)

2. Marginal Propensity to Consume (MPC)
\( \text{MPC} = \frac{d(E_c)}{dx} = \frac{d}{dx}(0.0006x^2 + 0.003x) \)
\( \text{MPC} = 0.0006(2x) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.0012x + 0.003 \)
At \( x = 200 \):
\( \text{MPC} = 0.0012(200) + 0.003 \)
\( \text{MPC} = 0.24 + 0.003 = \mathbf{0.243} \)

3. Marginal Propensity to Save (MPS)
We know that \( \text{MPC} + \text{MPS} = 1 \)
\( \text{MPS} = 1 - \text{MPC} \)
\( \text{MPS} = 1 - 0.243 \)
\( \text{MPS} = \mathbf{0.757} \)

Q. 3. (C) Attempt any ONE of the following questions (Activity) (4 marks each):

(i) Complete the following activity to evaluate \( \int_{0}^{2} \frac{dx}{4+x-x^2} \)

Solution:
\( I = \int_{0}^{2} \frac{dx}{4+x-x^2} = \int_{0}^{2} \frac{dx}{-x^2 + \mathbf{\fbox{ x }} + \mathbf{\fbox{ 4 }}} \)

\( = \int_{0}^{2} \frac{dx}{-x^2 + x + \frac{1}{4} - \mathbf{\fbox{ \(\frac{1}{4}\) }} + 4} \)

\( = -\int_{0}^{2} \frac{dx}{(x - \frac{1}{2})^2 - (\mathbf{\fbox{ \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) }})^2} \)

Using formula \( \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right| \), but with negative sign outside:
\( = \frac{1}{2(\frac{\sqrt{17}}{2})} \log \left( \frac{\frac{\sqrt{17}}{2} + (x - \frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{17}}{2} - (x - \frac{1}{2})} \right) \Bigg|_{0}^{2} \)

\( = \frac{1}{\sqrt{17}} \log \left( \frac{20 + 4\sqrt{17}}{20 - 4\sqrt{17}} \right) \)

(ii) The rate of growth of population is proportional to the number of inhabitants. If the population doubles in 25 years and the present population is 1,00,000, when will the city have population 4,00,000?

Solution:
Let \( P \) be the population at time \( t \).
\( \frac{dP}{dt} \propto P \Rightarrow \frac{dP}{dt} = kP \Rightarrow \frac{dP}{P} = k \cdot dt \)
On integrating, \( \log P = kt + c \) ... (i)

(a) When \( t = 0 \), \( P = 1,00,000 \)
From (i), \( \log(1,00,000) = k(0) + c \)
\( \therefore c = \) \( \log(1,00,000) \)

Equation becomes: \( \log \left( \frac{P}{1,00,000} \right) = kt \) ... (ii)

(b) When \( t = 25 \), \( P = 2,00,000 \) (doubles)
From (ii), \( \log \left( \frac{2,00,000}{1,00,000} \right) = 25k \)
\( \log 2 = 25k \)
\( \therefore k = \) \( \frac{1}{25} \log 2 \)

(c) When \( P = 4,00,000 \), find \( t \).
\( \log \left( \frac{4,00,000}{1,00,000} \right) = \left( \frac{1}{25} \log 2 \right) \cdot t \)
\( \log 4 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( 2 \log 2 = \frac{t}{25} \log 2 \)
\( \therefore t = \) 50 years.

SECTION - II

Q. 4. (A) Select and write the correct answer (1 mark each)

(i) The difference between face value and present worth is called

• (a) Banker's discount
• (b) True discount
• (c) Banker's gain
• (d) Cash value

Answer: (b) True discount

(ii) In an ordinary annuity, payments or receipts occur at

• (a) beginning of each period
• (b) end of each period
• (c) mid of each period
• (d) quarterly basis

Answer: (b) end of each period

(iii) \(b_{xy}\) and \(b_{yx}\) are

• (a) Independent of change of origin and scale
• (b) Independent of change of origin but not of scale
• (c) Independent of change of scale but not of origin
• (d) Affected by change of origin and scale

Answer: (b) Independent of change of origin but not of scale

(iv) Dorbish-Bowley's Price Index Number is given by

Answer: (a) \(\frac{\frac{\Sigma p_{1}q_{0}}{\Sigma p_{0}q_{0}} + \frac{\Sigma p_{1}q_{1}}{\Sigma p_{0}q_{1}}}{2} \times 100\)

It is the Arithmetic Mean of Laspeyres and Paasche Index Numbers.

(v) Objective function of L.P.P. is

• (a) a constraint
• (b) a function to be maximised or minimised
• (c) a relation between the decision variables
• (d) a feasible region

Answer: (b) a function to be maximised or minimised

(vi) To use the Hungarian method, a profit maximization assignment problem requires

• (a) Converting all profits to opportunity losses
• (b) A dummy person or job
• (c) Matrix expansion
• (d) Finding the maximum number of lines...

Answer: (a) Converting all profits to opportunity losses

Hungarian method is a minimization algorithm. Maximization problems must first be converted to minimization (opportunity loss) by subtracting all elements from the largest element.

Q. 4. (B) State whether True or False (1 mark each)

• (i) Broker is an agent who gives a guarantee to seller that the buyer will pay the selling price of goods.
  Answer: False (This describes a Del Credere Agent).
• (ii) \(\sum \frac{p_0 q_0}{p_1 q_1} \times 100\) is the Value Index Number by simple aggregate method.
  Answer: False
• (iii) The optimum value of the objective function of L.P.P. occurs at the center of the feasible region.
  Answer: False (It occurs at a vertex/corner point).

Q. 4. (C) Fill in the blanks (1 mark each)

• (i) The banker's discount is always greater than the true discount.
• (ii) The cost of living index number using Weighted Relative Method is given by \(\frac{\sum IW}{\sum W}\).
• (iii) The time interval between starting the first job and completing the last job including the idle time is called Total Elapsed Time.

Q. 5 & 6. Key Subjective Solutions & Activities

Q. 5. (A) Attempt any TWO of the following questions (3 marks each):

(i) Deepak's salary was increased from ₹ 4,000 to ₹ 5,000. The sales being the same, due to reduction in the rate of commission from 3% to 2%, his income remains unchanged. Find his sales.

Solution:
Let the Sales be \( x \).
Condition 1 (Old):
Salary = ₹ 4,000
Commission Rate = 3%
Total Income = \( 4000 + \frac{3}{100}x = 4000 + 0.03x \)

Condition 2 (New):
Salary = ₹ 5,000
Commission Rate = 2%
Total Income = \( 5000 + \frac{2}{100}x = 5000 + 0.02x \)

Since the income remains unchanged:
\( 4000 + 0.03x = 5000 + 0.02x \)
\( 0.03x - 0.02x = 5000 - 4000 \)
\( 0.01x = 1000 \)
\( x = \frac{1000}{0.01} \)
\( x = 1,00,000 \)

Ans: Deepak's sales are ₹ 1,00,000.

(ii) For a bivariate data, the regression coefficient of Y on X is 0.4 and the regression coefficient of X on Y is 0.9. Find the value of variance of Y if variance of X is 9.

Solution:
Given:
\( b_{yx} = 0.4 \) (Regression coefficient of Y on X)
\( b_{xy} = 0.9 \) (Regression coefficient of X on Y)
Variance of X \( V(X) = \sigma_x^2 = 9 \Rightarrow \sigma_x = 3 \)

We know the relationship:
\( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \) and \( b_{xy} = r \frac{\sigma_x}{\sigma_y} \)
Multiplying both:
\( b_{yx} \times b_{xy} = r^2 \)
\( 0.4 \times 0.9 = r^2 \)
\( r^2 = 0.36 \Rightarrow r = 0.6 \) (Taking positive root as both \( b_{yx}, b_{xy} > 0 \))

Now, using \( b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \):
\( 0.4 = 0.6 \times \frac{\sigma_y}{3} \)
\( 0.4 = 0.2 \sigma_y \)
\( \sigma_y = \frac{0.4}{0.2} = 2 \)

Variance of Y \( V(Y) = \sigma_y^2 = 2^2 = 4 \).
Ans: Variance of Y is 4.

(iii) The following table shows the index of industrial production for the period from 1976 to 1985... Obtain the trend values using 4 yearly centered moving averages.

Solution:

Year	Index (Y)	4-Yearly Moving Total	Centered Total (Sum of 2)	Trend Value (Centered Total / 8)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
		8
1978	3		18	2.25
		10
1979	3		22	2.75
		12
1980	2		26	3.25
		14
1981	4		31	3.875
		17
1982	5		39	4.875
		22
1983	6		50	6.25
		28	-	-
1984	7	-	-	-
1985	10	-	-	-

Trend Values: 2.25, 2.75, 3.25, 3.875, 4.875, 6.25.

Q. 5. (B) Attempt any TWO of the following questions (4 marks each):

(i) If for the following data, Walsh's Price Index Number is 150, find \( x \):

Solution:
Walsh's Price Index Formula: \( P_{01}(w) = \frac{\sum p_1 \sqrt{q_0 q_1}}{\sum p_0 \sqrt{q_0 q_1}} \times 100 \)
Let \( W = \sqrt{q_0 q_1} \).

Comm.	\(p_0\)	\(q_0\)	\(p_1\)	\(q_1\)	\(W = \sqrt{q_0 q_1}\)	\(p_0 W\)	\(p_1 W\)
A	5	3	10	3	\(\sqrt{9}=3\)	15	30
B	\(x\)	4	16	9	\(\sqrt{36}=6\)	\(6x\)	96
C	15	5	23	5	\(\sqrt{25}=5\)	75	115
D	10	2	26	8	\(\sqrt{16}=4\)	40	104
Total	-	-	-	-	-	\(130 + 6x\)	345

Given \( P_{01}(w) = 150 \):
\( 150 = \frac{345}{130 + 6x} \times 100 \)
\( \frac{150}{100} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( \frac{3}{2} = \frac{345}{130 + 6x} \)
\( 130 + 6x = \frac{345 \times 2}{3} \)
\( 130 + 6x = 115 \times 2 = 230 \)
\( 6x = 230 - 130 \)
\( 6x = 100 \)
\( x = \frac{100}{6} = \mathbf{16.67} \)

(ii) A toy manufacturing company produces five types of toys. Each toy has to go through three machines A, B and C in the order ABC. Find the total elapsed time and also find idle time for machine B.

Solution:
Step 1: Check condition for 3 machines
Min \(A = 12\) (Type 3), Min \(C = 8\) (Type 1), Max \(B = 12\) (Type 2).
Since Min \(A \ge\) Max \(B\) (\(12 \ge 12\)), the condition is satisfied.

Step 2: Convert to 2 fictitious machines G and H
\(G_i = A_i + B_i\) and \(H_i = B_i + C_i\)

Type	1	2	3	4	5
G (A+B)	26	32	16	20	30
H (B+C)	18	30	20	18	18

Step 3: Determine Sequence (Johnson's Algorithm)
Min value is 16 (Type 3 on G) &to; Place 3 first.
Next Min is 18 (Type 1, 4, 5 on H) &to; Place 1, 4, 5 last (order can vary, e.g., 5-4-1).
Remaining is Type 2.
Optimal Sequence: 3 - 2 - 5 - 4 - 1

Step 4: Total Elapsed Time Table

Seq	Machine A		Machine B		Machine C
	In	Out	In	Out	In	Out
3	0	12	12	16	16	32
2	12	32	32	44	44	62
5	32	54	54	62	62	72
4	54	68	68	74	74	86
1	68	84	84	94	94	102

Total Elapsed Time (T) = 102 hours.

Step 5: Idle Time for Machine B
Idle time = Total Time - Sum of processing times of B
Sum of B = \(10+12+4+6+8 = 40\) hours.
Looking at the table, B is idle from:
0 to 12 (12 hrs), 16 to 32 (16 hrs), 44 to 54 (10 hrs), 62 to 68 (6 hrs), 74 to 84 (10 hrs), 94 to 102 (8 hrs).
Total Idle Time for B = \(102 - 40 = \mathbf{62 \text{ hours}}\).

(iii) A random variable X has the following probability distribution:

X	1	2	3	4	5	6	7
P(x)	k	2k	2k	3k	\(k^2\)	\(2k^2\)	\(7k^2+k\)

Find (a) k (b) \(P(X < 3)\) (c) \(P(X > 6)\)

Solution:
(a) Since \(\sum P(x) = 1\):
\( k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1 \)
\( 10k^2 + 9k = 1 \)
\( 10k^2 + 9k - 1 = 0 \)
\( 10k^2 + 10k - k - 1 = 0 \)
\( 10k(k+1) - 1(k+1) = 0 \)
\( (10k - 1)(k + 1) = 0 \)
\( k = \frac{1}{10} \) or \( k = -1 \).
Since probability cannot be negative, \( k = 0.1 \).

(b) \( P(X < 3) = P(X=1) + P(X=2) \)
\( = k + 2k = 3k \)
\( = 3(0.1) = \mathbf{0.3} \)

(c) \( P(X > 6) = P(X=7) \)
\( = 7k^2 + k \)
\( = 7(0.1)^2 + 0.1 \)
\( = 7(0.01) + 0.1 \)
\( = 0.07 + 0.1 = \mathbf{0.17} \)

Q. 6. (A) Attempt any TWO of the following questions (3 marks each):

(i) The building is insured for 75% of its value. The annual premium at 0.70 percent amounts to ₹ 2,625. If the building is damaged to the extent of 60% due to fire, how much can be claimed under the policy?

Solution:
Let the Property Value be \( V \).
Policy Value = 75% of \( V = 0.75V \).
Rate of Premium = 0.70% = \( 0.007 \).
Premium = ₹ 2,625.

Step 1: Find Property Value
\( \text{Premium} = \text{Policy Value} \times \text{Rate} \)
\( 2625 = 0.75V \times \frac{0.70}{100} \)
\( 2625 = V \times 0.00525 \)
\( V = \frac{2625}{0.00525} = 5,00,000 \)
Property Value = ₹ 5,00,000.
Policy Value = \( 0.75 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,75,000 \).

Step 2: Calculate Claim
Loss = 60% of Value = \( 0.60 \times 5,00,000 = \text{₹ } 3,00,000 \).
Since the property is under-insured (Policy < Value), the Average Clause applies.
\( \text{Claim} = \frac{\text{Policy Value}}{\text{Property Value}} \times \text{Loss} \)
\( \text{Claim} = \frac{3,75,000}{5,00,000} \times 3,00,000 \)
\( \text{Claim} = 0.75 \times 3,00,000 \)
\( \text{Claim} = \mathbf{2,25,000} \)

Ans: The amount that can be claimed is ₹ 2,25,000.

(ii) Three new machines \(M_1, M_2, M_3\) are to be installed in a machine shop. There are four vacant places A, B, C, D. Due to limited space, machine \(M_2\) cannot be placed at B. The cost matrix (in hundred) is as follows. Determine the optimum assignment schedule and find the minimum cost.

	A	B	C	D
\(M_1\)	13	10	12	11
\(M_2\)	15	-	13	20
\(M_3\)	5	7	10	6

(Note: Assuming standard A, B, C, D column order based on typical problem structures).

Solution:
Since there are 3 Machines and 4 Places, this is an unbalanced problem. We add a dummy machine \(M_4\) with 0 cost. Also, assign infinite cost to \(M_2\) at B.

Step 1: Matrix Setup

13	10	12	11
15	∞	13	20
5	7	10	6
0	0	0	0

Step 2: Row Reduction (Subtract min from each row)
\(R_1\) (min 10): 3, 0, 2, 1
\(R_2\) (min 13): 2, ∞, 0, 7
\(R_3\) (min 5): 0, 2, 5, 1
\(R_4\) (min 0): 0, 0, 0, 0

Step 3: Make Assignments (Zero selection)
- \(R_2\) has single zero at C. Assign \(M_2 \to C\) (Cost 13).
- \(R_1\) has single zero at B. Assign \(M_1 \to B\) (Cost 10).
- \(R_3\) has single zero at A. Assign \(M_3 \to A\) (Cost 5).
- \(R_4\) has zero at D (others taken). Assign \(M_4 \to D\) (Cost 0).

Optimal Schedule:
\(M_1 \to B\) (10)
\(M_2 \to C\) (13)
\(M_3 \to A\) (5)
(Place D is left vacant)

Minimum Cost = 10 + 13 + 5 = 28 (hundreds) = ₹ 2,800.

(iii) The eggs are drawn successively with replacement from a lot containing 10% defective eggs. Find the probability that there is at least one defective egg in the lot of 10 eggs.

Solution:
This is a Binomial Distribution problem \( X \sim B(n, p) \).
Probability of defective egg \( p = 10\% = 0.1 \).
Probability of non-defective egg \( q = 1 - 0.1 = 0.9 \).
Number of trials \( n = 10 \).

We need to find probability of at least one defective egg: \( P(X \ge 1) \).
\( P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) \)
\( P(X = 0) = {^{10}C_0} (0.1)^0 (0.9)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.9)^{10} \)

\( P(X \ge 1) = 1 - (0.9)^{10} \)
Ans: \( 1 - (0.9)^{10} \)

Q. 6. (B) Attempt any ONE of the following questions (4 marks each):

(i) Following table shows the all India infant mortality rates (per '000) for years 1980 to 2010. Fit the trend line to the above data by the method of least squares.

Solution:
Let \( n = 7 \). Middle year is 1995. Let \( u = \frac{Year - 1995}{5} \).

Year (t)	IMR (y)	\(u\)	\(u^2\)	\(uy\)
1980	10	-3	9	-30
1985	7	-2	4	-14
1990	5	-1	1	-5
1995	4	0	0	0
2000	3	1	1	3
2005	1	2	4	2
2010	0	3	9	0
Total	\(\sum y = 30\)	\(\sum u = 0\)	\(\sum u^2 = 28\)	\(\sum uy = -44\)

Equation of trend line: \( y = a + bu \)
\( a = \frac{\sum y}{n} = \frac{30}{7} \approx 4.286 \)
\( b = \frac{\sum uy}{\sum u^2} = \frac{-44}{28} = -\frac{11}{7} \approx -1.571 \)

Trend Line Equation:
\( y = 4.286 - 1.571 \left( \frac{t - 1995}{5} \right) \)

(ii) Minimize: \( z = 6x + 2y \)
Subject to: \( x+2y \ge 3 \), \( x+4y \ge 4 \), \( 3x+y \ge 3 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).

Solution:
We plot the lines and find the feasible region (unbounded above).
1. \( x + 2y = 3 \) passes through (3, 0) and (0, 1.5).
2. \( x + 4y = 4 \) passes through (4, 0) and (0, 1).
3. \( 3x + y = 3 \) passes through (1, 0) and (0, 3).

Corner Points of the Feasible Region:
A(0, 3) [Y-intercept of line 3]
B: Intersection of \( 3x+y=3 \) and \( x+2y=3 \).
Solving: Multiply (ii) by 2: \( 6x+2y=6 \). Subtract \( x+2y=3 \).
\( 5x = 3 \Rightarrow x = 0.6 \). Then \( y = 3 - 3(0.6) = 1.2 \). B(0.6, 1.2).
C: Intersection of \( x+2y=3 \) and \( x+4y=4 \).
Solving: \( 2y = 1 \Rightarrow y = 0.5 \). Then \( x = 3 - 1 = 2 \). C(2, 0.5).
D(4, 0) [X-intercept of line 2].

Value of Z = 6x + 2y:
At A(0, 3): \( 6(0) + 2(3) = 6 \)
At B(0.6, 1.2): \( 6(0.6) + 2(1.2) = 3.6 + 2.4 = \mathbf{6} \)
At C(2, 0.5): \( 6(2) + 2(0.5) = 12 + 1 = 13 \)
At D(4, 0): \( 6(4) + 2(0) = 24 \)

Ans: The minimum value is 6. It occurs at point A(0, 3) and B(0.6, 1.2) and all points on the segment AB.

Q. 6. (C) Attempt any ONE of the following questions (Activity) (4 marks each):

(i) For a bivariate data \(\bar{x}=10\), \(\bar{y}=12\), \(V(X)=9\), \(\sigma_y=4\) and \(r=0.6\). Estimate \(y\) when \(x=5\).

Solution:
Line of regression of Y on X is:
\( Y - \bar{y} = b_{yx}(X - \bar{x}) \)

\( Y - 12 = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}(X - 10) \)
(Here \( V(X)=9 \implies \sigma_x = 3 \))

\( Y - 12 = 0.6 \times \frac{4}{\mathbf{\fbox{ \(\mathbf{3}\) }}} (X - 10) \)

When \( x = 5 \):
\( Y - 12 = \) 0.8 \( (5 - 10) \)
(Because \( 0.6 \times \frac{4}{3} = 0.8 \))

\( Y - 12 = -4 \)
\( Y = \) 8

(ii) If \(X \sim P(m)\) with \(P(X=1) = P(X=2)\) then find the mean and \(P(X=2)\).
Given \(e^{-2} = 0.1353\).

Solution:
Since \( P(X=1) = P(X=2) \)
Using Poisson formula \( P(X=x) = \frac{e^{-m}m^x}{x!} \):

\( \frac{e^{-m}m^1}{1!} = \frac{e^{-m}m^2}{2!} \)

Dividing both sides by \( e^{-m} \cdot m \):
\( 1 = \frac{m}{2} \)
\( m = \) 2

Now, find \( P(X=2) \):
\( P(X=2) = \frac{e^{-2} \cdot 2^2}{2!} \)
\( P(X=2) = \frac{0.1353 \times 4}{2} \)
\( P(X=2) = \) 0.2706