10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions - Kallakurichi District

10th Maths Quarterly Exam 2024-25 Solutions (Kallakurichi)

Solutions / விடைகள்

பகுதி - I (Part - I)

1. A = {1,2,3,4,5} லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில், B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

விடை: (ஆ) 2

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்டது, $n(A) = 5$. A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம்: $2^{n(A) \times n(B)}$

ஆகவே, $2^{5 \times n(B)} = 1024$.

நமக்குத் தெரியும், $1024 = 2^{10}$.

எனவே, $2^{5 \times n(B)} = 2^{10}$.

அடிமானங்கள் சமமாக இருப்பதால், அடுக்குகளை சமன்படுத்தலாம்:

$5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = \frac{10}{5} = 2$

B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.

2. $f(x) = (x+1)^3 - (x-1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது

விடை: (ஈ) இருபடிச் சார்பு

விளக்கம்:

$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

$f(x) = 6x^2 + 2$

இது $x$-ன் அடுக்கு 2 ஐக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. எனவே, இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

3. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றப்படி $a$ மற்றும் $b$ என்ற மிகை முழுக்களுக்கு தனித்த மிகைமுழுக்கள் $q$ மற்றும் $r$, $a=bq+r$ என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு $r$ ஆனது

விடை: (இ) $0 \le r < b$

விளக்கம்: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி, மீதி '$r$' ஆனது எப்பொழுதும் பூச்சியத்திற்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண் '$b$'-ஐ விட குறைவாகவோ இருக்கும். எனவே, $0 \le r < b$ ஆகும்.

4. $A = 2^{65}$ மற்றும் $B = 2^{64} + 2^{63} + ... + 2^0$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?

விடை: (ஈ) A ஆனது B ஐ விட 1 அதிகம்

விளக்கம்: $B$ என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP) ஆகும். முதல் உறுப்பு $a = 2^0 = 1$, பொது விகிதம் $r=2$, உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $n=65$.

கூடுதல் சூத்திரம்: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$B = \frac{1(2^{65} - 1)}{2 - 1} = 2^{65} - 1$.

கொடுக்கப்பட்டது $A = 2^{65}$. எனவே, $B = A - 1$, அதாவது $A = B+1$.

5. மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லையெனில் அத்தொகுப்பில் உள்ள தளங்கள்

விடை: (ஈ) ஒன்றையொன்று வெட்டாது

விளக்கம்: அத்தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை என்றால், மூன்று தளங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளி எதுவும் இல்லை. இது மூன்று தளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருந்து, ஒன்றையொன்று வெட்டாமல் இருக்கும்போது நிகழும்.

6. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமமில்லை?

விடை: (ஆ) $(y+\frac{1}{y})^2$

விளக்கம்: $(y+\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2} = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$. இது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமமில்லை.

7. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு

விடை: (இ) பரவளையம்

விளக்கம்: $y = ax^2 + bx + c$ என்ற வடிவில் உள்ள எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடமும் ஒரு பரவளையம் (Parabola) ஆகும்.

8. $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ எனில், $\Delta ABC$ மற்றும் $\Delta DEF$ எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்.

விடை: (ஈ) $\angle B = \angle D$

விளக்கம்: ப-கோ-ப (SAS) வடிவொத்தமை விதியின்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். $\Delta ABC$-ல் $AB, BC$-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle B$. $\Delta DEF$-ல் $DE, FD$-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle D$.

9. $\Delta ABC$-ல் $DE \parallel BC$, $AB = 3.6$ செ.மீ, $AC = 2.4$ செ.மீ மற்றும் $AD = 2.1$ செ.மீ எனில் $AE$-ன் நீளம்

விடை: (அ) 1.4 செ.மீ

விளக்கம்: அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி, $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.

$\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4} \implies AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = 1.4$ செ.மீ.

10. $x = 11$ எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

விடை: (ஆ) Y - அச்சுக்கு இணை

விளக்கம்: $x = 11$ என்ற கோடு Y-அச்சுக்கு இணையாகவும், X-அச்சை $(11,0)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு செங்குத்து கோடாகும்.

11. கோட்டுத்துண்டு PQ-ன் சாய்வு $\frac{1}{\sqrt{3}}$ எனில், PQ-க்கு செங்குத்தான இருசம வெட்டியின் சாய்வு

விடை: (ஆ) $-\sqrt{3}$

விளக்கம்: ஒரு கோட்டின் சாய்வு $m_1$ எனில், செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு $m_2 = -\frac{1}{m_1}$.

இங்கு, $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, எனவே $m_2 = -\frac{1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.

12. கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகளில் எந்த ஜோடி செங்குத்தானது?

விடை: (அ) $l_1$ மற்றும் $l_3$ செங்குத்தானவை

விளக்கம்: இரு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்க $m_1 \times m_2 = -1$ ஆக இருக்க வேண்டும்.

• $l_1: 3y = 4x+5 \implies m_1 = \frac{4}{3}$
• $l_3: 4y+3x=7 \implies m_3 = -\frac{3}{4}$

$m_1 \times m_3 = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -1$. எனவே, $l_1, l_3$ செங்குத்தானவை.

13. $\sin^2\theta + \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ ன் மதிப்பு

விடை: (ஆ) 1

விளக்கம்: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ என்பதால், கோவை $\sin^2\theta + \frac{1}{\sec^2\theta} = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ ஆகும்.

14. $5x = \sec\theta$ மற்றும் $\frac{5}{x} = \tan\theta$, எனில் $x^2 - \frac{1}{x^2}$ ன் மதிப்பு

விடை: (ஆ) $\frac{1}{25}$

விளக்கம்: முற்றொருமை $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$-ல் பிரதியிட,

$(5x)^2 - (\frac{5}{x})^2 = 1 \implies 25x^2 - \frac{25}{x^2} = 1$

$25(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 1 \implies x^2 - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{25}$.

பகுதி - II (Part - II)

15. $B \times A = \{(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)\}$ எனில் $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவற்றைக் காண்க.

$B \times A$-ல், $B$ என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம் மற்றும் $A$ என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.

$B = \{-2, 0, 3\}$

$A = \{3, 4\}$

16. $f = \{(1,2), (2,2), (3,2), (4,3),(5,4)\}$ என்ற சார்பினை (i) அம்புக்குறி படம் (ii) அட்டவணை மூலமாகக் குறிக்கவும்.

(i) அம்புக்குறி படம்:

17. $7 \times 5 \times 3 \times 2+3$ என்பது ஒரு பகு எண்ணா? உனது விடையை நியாயப்படுத்துக.

ஆம், இது ஒரு பகு எண்.

நியாயப்படுத்துதல்: $7 \times 5 \times 3 \times 2+3 = 3 \times (7 \times 5 \times 2 + 1) = 3 \times (70+1) = 3 \times 71$.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிற்கு 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர 3, 71 ஆகிய காரணிகளும் உள்ளதால் இது ஒரு பகு எண் ஆகும்.

18. 4, 8, 16, ..., 8192 என்ற பெருக்குத்தொடர் வரிசையிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை காண்க.

$a=4, r=2, t_n = 8192$.

$t_n = a \cdot r^{n-1} \implies 8192 = 4 \cdot 2^{n-1} \implies 2048 = 2^{n-1}$.

$2^{11} = 2^{n-1} \implies 11 = n-1 \implies n=12$.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 12.

19. $8x^4y^2, 48x^2y^4$ ன் மீ.பொ.ம காண்க. (Find the LCM of $8x^4y^2, 48x^2y^4$).

படி 1: கெழுக்களின் மீ.பொ.ம (LCM) காண்போம்.

கெழுக்கள் 8 மற்றும் 48. $\text{மீ.பொ.ம}(8, 48) = 48$.

படி 2: மாறிகளின் மீ.பொ.ம காண்போம்.

மீ.பொ.ம காண, ஒவ்வொரு மாறியின் மிகப்பெரிய அடுக்கை எடுக்க வேண்டும்.

• $x$-ன் மாறிகளில், $x^4$ மற்றும் $x^2$ -ன் மிகப்பெரிய அடுக்கு $x^4$ ஆகும்.
• $y$-ன் மாறிகளில், $y^2$ மற்றும் $y^4$ -н மிகப்பெரிய அடுக்கு $y^4$ ஆகும்.

படி 3: இரண்டையும் இணைக்க.

மொத்த மீ.பொ.ம = (கெழுக்களின் மீ.பொ.ம) $\times$ (மாறிகளின் மீ.பொ.ம)

$\text{மீ.பொ.ம} = 48 \times x^4y^4 = 48x^4y^4$

விடை: $48x^4y^4$

20. $4x^2-7x-2=0$ ஐ காரணிப்படுத்துதல் முறையை பயன்படுத்தி தீர்க்க.

$4x^2 - 8x + x - 2 = 0 \implies 4x(x-2) + 1(x-2) = 0$.

$(4x+1)(x-2) = 0$.

தீர்கள்: $x=2, x = -\frac{1}{4}$.

21. $\Delta ABC$ ஆனது $\Delta DEF$ க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் $BC = 3$ செ.மீ, $EF = 4$ செ.மீ மற்றும் $\Delta ABC$ ன் பரப்பு = $54 \text{ செ.மீ}^2$ எனில் $\Delta DEF$ ன் பரப்பைக் காண்க.

$\frac{\text{பரப்பு}(\Delta ABC)}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = (\frac{BC}{EF})^2 \implies \frac{54}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

$\text{பரப்பு}(\Delta DEF) = \frac{54 \times 16}{9} = 96 \text{ செ.மீ}^2$.

22. கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தை எழுதுக.

தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் உட்புற இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை, அக்கோணத்தினை அடக்கியுள்ள மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

$\Delta ABC$-யில், $\angle A$-ன் இருசமவெட்டி $AD$ எனில், $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

23. P(-1.5,3), Q(6,-2) மற்றும் R(-3,4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டு.

முக்கோணத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} [x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]$.

பரப்பு = $\frac{1}{2} [(-1.5)(-2-4) + 6(4-3) + (-3)(3-(-2))]$

பரப்பு = $\frac{1}{2} [(-1.5)(-6) + 6(1) + (-3)(5)] = \frac{1}{2} [9 + 6 - 15] = 0$.

பரப்பு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

24. $x-2y+3=0, 6x+3y+8=0$ ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டு.

முதல் கோட்டின் சாய்வு $m_1 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

இரண்டாம் கோட்டின் சாய்வு $m_2 = -\frac{6}{3} = -2$.

$m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$. எனவே, கோடுகள் செங்குத்தானவை.

25. x, y வெட்டுத்துண்டுகள் முறையே 4 மற்றும் -6 எனில், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

சமன்பாடு: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{-6} = 1$.

$\frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1$. சமன்பாட்டை 12-ஆல் பெருக்க, $3x - 2y = 12$.

$3x - 2y - 12 = 0$.

26. $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

LHS = $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} \times \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta + \cot\theta$ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

27. $1 + 2 + 3 + ... + 60$-ன் கூடுதல் காண்.

சூத்திரம்: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. இங்கு $n=60$.

$S_{60} = \frac{60(61)}{2} = 30 \times 61 = 1830$.

28. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் $\frac{24}{5}$ எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.

$x - \frac{1}{x} = \frac{24}{5} \implies \frac{x^2-1}{x} = \frac{24}{5} \implies 5x^2 - 24x - 5 = 0$.

$(5x+1)(x-5) = 0$. எனவே, $x=5$ அல்லது $x = -\frac{1}{5}$.

பகுதி - III (Part - III)

29. $A = \{x \in W \mid x < 2\}, B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ மற்றும் $C = \{3,5\}$ எனில் $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதை சரிபார்க்க.

$A = \{0, 1\}, B = \{2, 3, 4\}, C = \{3, 5\}$.

LHS: $B \cup C = \{2, 3, 4, 5\}$. $A \times (B \cup C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

RHS: $A \times B = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$. $A \times C = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$.

$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.

30. சார்பு $f(x)$ வரையறுக்கப்பட்டபடி, மதிப்புகளைக் காண்க.

$ f(x) = \begin{cases} 2x + 7 & \text{if } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{if } -2 \le x < 3 \\ 3x - 2 & \text{if } x \ge 3 \end{cases} $

(i) f(4): $x=4 \ge 3 \implies f(4) = 3(4)-2 = 10$.

(ii) f(-2): $-2 \le x < 3 \implies f(-2) = (-2)^2-2 = 2$.

(iii) f(4) + 2f(1): $f(1) = (1)^2-2 = -1$. $f(4)+2f(1) = 10+2(-1) = 8$.

(iv) $\frac{f(1) - 3f(4)}{f(-3)}$: $f(-3) = 2(-3)+7 = 1$. $\frac{-1 - 3(10)}{1} = -31$.

31. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுரவடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தேவைப்படும் மொத்த பரப்பு = $10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2$.

இதை $(\sum_{k=1}^{24} k^2) - (\sum_{k=1}^{9} k^2)$ என எழுதலாம்.

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$n=24$ எனில்:

$S_{24} = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900$.

$n=9$ எனில்:

$S_9 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285$.

மொத்த பரப்பு = $S_{24} - S_9 = 4900 - 285 = 4615$.

விடை: 4615 செ.மீ$^2$.

32. $6x^3-30x^2+60x-48$ மற்றும் $3x^3-12x^2+21x-18$ ஆகிய பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க.

Let $p(x) = 6x^3-30x^2+60x-48 = 6(x^3-5x^2+10x-8)$.

Let $q(x) = 3x^3-12x^2+21x-18 = 3(x^3-4x^2+7x-6)$.

முதலில், கெழுக்களின் மீ.பொ.வ: $\text{மீ.பொ.வ}(6, 3) = 3$.

அடுத்து, பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

                  1
              ___________________
x³-5x²+10x-8 | x³-4x²+7x-6
             |-(x³-5x²+10x-8)
              ___________________
                   x²-3x+2  (மீதி)
            

மீதி பூச்சியம் இல்லை. இப்போது, முந்தைய வகுத்தியை மீதியால் வகுக்க:

                  x - 2
              ___________________
    x²-3x+2  | x³-5x²+10x-8
             |-(x³-3x²+2x)
              ___________________
                  -2x²+8x-8
                 -(-2x²+6x-4)
                  ___________________
                       2x - 4 = 2(x-2)
            

மீண்டும் மீதி பூச்சியம் இல்லை. இப்போது, முந்தைய வகுத்தியை மீதியால் (காரணியை மட்டும்) வகுக்க:

                  x - 1
              ___________________
      x - 2  | x²-3x+2
             |-(x²-2x)
              ___________________
                  -x+2
                 -(-x+2)
                  ___________________
                       0
            

கடைசி பூச்சியமற்ற மீதி $x-2$ ஆகும்.

எனவே, மொத்த மீ.பொ.வ = $3 \times (x-2) = 3(x-2)$.

33. $9x^4+12x^3+28x^2+ax+b$ ஆனது ஒரு முழுவர்க்கம் எனில் $a, b$ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண்போம்:

             3x²  + 2x  + 4
           _________________________
    3x²   | 9x⁴+12x³+28x²+ax+b
          |-(9x⁴)
          |_________________
  6x²+2x  |  12x³+28x²
          |-(12x³+ 4x²)
          |_________________
6x²+4x+4|    24x² + ax + b
          |   -(24x² + 16x + 16)
          |_________________
          |        (a-16)x + (b-16)
            

இது ஒரு முழுவர்க்கம் என்பதால், மீதி பூச்சியமாக இருக்க வேண்டும். $(a-16)x + (b-16) = 0$.

ஒத்த கெழுக்களை சமன்படுத்த: $a - 16 = 0 \implies a = 16$.

$b - 16 = 0 \implies b = 16$.

விடை: $a=16, b=16$.

34. $A = \frac{2x+1}{2x-1}$ மற்றும் $B = \frac{2x-1}{2x+1}$ எனில் $\frac{1}{A-B} - \frac{2B}{A^2-B^2}$ காண்க.

முதலில் கோவையைச் சுருக்குவோம்:

$$ \frac{1}{A-B} - \frac{2B}{A^2-B^2} = \frac{1}{A-B} - \frac{2B}{(A-B)(A+B)} $$ $$ = \frac{1(A+B) - 2B}{(A-B)(A+B)} = \frac{A+B-2B}{(A-B)(A+B)} = \frac{A-B}{(A-B)(A+B)} = \frac{1}{A+B} $$

எனவே, நாம் $A+B$-ன் தலைகீழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

$$ A+B = \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)^2 + (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)} $$

$$ = \frac{(4x^2+4x+1) + (4x^2-4x+1)}{4x^2-1} = \frac{8x^2+2}{4x^2-1} $$

தேவையான மதிப்பு $\frac{1}{A+B} = \frac{4x^2-1}{8x^2+2} = \frac{4x^2-1}{2(4x^2+1)}$.

35. அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபி.

36. 90 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு சிறுவன் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.2 மீ/வினாடி வேகத்தில் நடந்து செல்கிறான்... 4 வினாடிகள் கழித்து சிறுவனுடைய நிழலின் நீளத்தைக் காண்க.

விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் (AB) = $3.6$ மீ.

சிறுவனின் உயரம் (CD) = $0.9$ மீ.

4 வினாடிகளில் சிறுவன் கடந்த தூரம் (BC) = $1.2 \times 4 = 4.8$ மீ.

நிழலின் நீளம் (CE) = $x$ என்க.

$\Delta ABE$ மற்றும் $\Delta DCE$ வடிவொத்தவை. எனவே, $\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE}$.

$$ \frac{3.6}{0.9} = \frac{4.8+x}{x} \implies 4 = \frac{4.8+x}{x} $$

$4x = 4.8 + x \implies 3x = 4.8 \implies x = 1.6$ மீ.

நிழலின் நீளம் 1.6 மீட்டர் ஆகும்.

37. (-9,0), (-8,6), (-1,-2) மற்றும் (-6,-3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் சூத்திரம்:

$$ \text{Area} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix} $$

$$ = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & -1 & -6 & -9 \\ 0 & 6 & -2 & -3 & 0 \end{vmatrix} $$

$= \frac{1}{2} | ((-9)(6) + (-8)(-2) + (-1)(-3) + (-6)(0)) - ((0)(-8) + (6)(-1) + (-2)(-6) + (-3)(-9)) |$

$= \frac{1}{2} | (-54 + 16 + 3 + 0) - (0 - 6 + 12 + 27) |$

$= \frac{1}{2} | (-35) - (33) | = \frac{1}{2} | -68 | = 34$.

பரப்பு = 34 சதுர அலகுகள்.

38. A(3,-4), B(9,-4), C(5,-7) மற்றும் D(7,-7) ஆகிய புள்ளிகள் சரிவகத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.

சரிவகத்திற்கு ஒரு சோடி பக்கங்கள் இணையாக இருக்க வேண்டும். சாய்வுகளைக் காண்போம்.

$m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9-3} = \frac{0}{6} = 0$.

$m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7-5} = \frac{0}{2} = 0$.

$m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5-9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.

$m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3-7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.

$m_{AB} = m_{CD}$ என்பதால், $AB \parallel CD$. மேலும், $m_{BC} \neq m_{DA}$ என்பதால், மற்ற பக்கங்கள் இணையில்லை.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சரிவகத்தை அமைக்கும்.

39. (-3,8) என்ற புள்ளிவழிச் செல்லும் ஆய அச்சுகளின் மிகை வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 7 உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

வெட்டுத்துண்டு வடிவம்: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

கொடுக்கப்பட்டது: $a+b=7 \implies b=7-a$.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{7-a} = 1$.

இது $(-3,8)$ வழிச் செல்வதால், $\frac{-3}{a} + \frac{8}{7-a} = 1$.

$-3(7-a) + 8a = a(7-a) \implies -21+3a+8a = 7a-a^2$.

$a^2+4a-21=0 \implies (a+7)(a-3)=0$.

மிகை வெட்டுத்துண்டுகள் என்பதால் $a>0, b>0$. $a=3$ எனில், $b=4$. (இது பொருந்தும்)

$a=-7$ எனில், $b=14$. (இது பொருந்தாது, કારણકે $a$ குறை எண்).

எனவே, $a=3, b=4$. சமன்பாடு: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \implies 4x+3y=12$.

40. $\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sin^2 B + \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = 1$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

Explanation: $\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sin^2 B + \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = 1$.

LHS-ஐ மறுசீரமைப்போம்:

$(\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \cos^2 B) + (\cos^2 A \sin^2 B + \sin^2 A \sin^2 B)$

பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்க:

$\cos^2 B (\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin^2 B (\cos^2 A + \sin^2 A)$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:

$\cos^2 B (1) + \sin^2 B (1) = \cos^2 B + \sin^2 B = 1$ = RHS.

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

41. $\frac{\cos\alpha}{\cos\beta} = m$ மற்றும் $\frac{\cos\alpha}{\sin\beta} = n$ எனில், $(m^2+n^2)\cos^2\beta = n^2$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

42. $S_1, S_2, ..., S_m$ என்பன $m$ வெவ்வேறு கூட்டுத்தொடர் வரிசைகளின் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதலாகும். முதல் உறுப்புகள் $1,2, ..., m$ மற்றும் பொது வித்தியாசங்கள் $1,3, ..., (2m-1)$ முறையே அமைந்தால், $S_1+S_2+...+S_m = \frac{1}{2}mn(mn+1)$ என நிரூபிக்க.

$k$-ஆவது கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் உறுப்பு $a_k = k$ மற்றும் பொது வித்தியாசம் $d_k = 2k-1$.

அதன் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதல் $S_k = \frac{n}{2}[2a_k + (n-1)d_k]$.

$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n-1)(2k-1)] = \frac{n}{2}[2k + 2nk - n - 2k + 1] = \frac{n}{2}[2nk - n + 1]$.

தேவைப்படும் கூடுதல்: $\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2nk - (n-1)]$

$$ = \frac{n}{2} \left[ \sum_{k=1}^{m} 2nk - \sum_{k=1}^{m} (n-1) \right] $$

$$ = \frac{n}{2} \left[ 2n \sum_{k=1}^{m} k - m(n-1) \right] = \frac{n}{2} \left[ 2n \frac{m(m+1)}{2} - m(n-1) \right] $$

$$ = \frac{n}{2} [nm(m+1) - m(n-1)] = \frac{nm}{2} [n(m+1) - (n-1)] $$

$$ = \frac{nm}{2} [nm + n - n + 1] = \frac{nm(nm+1)}{2} $$

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

பகுதி - IV (Part - IV)

43. (அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன், ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என அமையுமாறு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)

(அல்லது)

(ஆ) $PQ = 8$ செ.மீ, $\angle R = 60^\circ$, உச்சி R-யிலிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் $RG = 5.8$ செ.மீ என இருக்குமாறு $\Delta PQR$ வரைக. R-லிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க.

(அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி > 1)

தேவை: கொடுக்கப்பட்ட $\Delta PQR$-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ ஆக உள்ள ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் $\Delta P'QR'$ வரைதல்.

வரைமுறைப் படிகள்:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\Delta PQR$ வரைக.
2. $QR$ என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு $QX$ என்ற கதிரை $P$ என்ற முனைக்கு എതിർ ദിശയിൽ വരയ്ക്കുക.
3. $QX$ கதிரில், $Q_1, Q_2, \dots, Q_7$ என்ற 7 புள்ளிகளை ($ \frac{7}{3}$-ல் பெரிய எண் 7 என்பதால்) சம அளவில் குறிக்கவும்.
4. $Q_3$ (விகிதத்தின் பகுதி 3 என்பதால்) மற்றும் $R$ ஐ இணைக்கவும்.
5. $Q_7$ வழியே $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QR$-ஐ $R'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. $R'$ வழியே $PR$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QP$-ஐ $P'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. $\Delta P'QR'$ என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(ஆ) நடுக்கோடு மற்றும் உச்சிக்கோணம் கொண்டு முக்கோணம் வரைதல்

தேவை: $PQ = 8$ செ.மீ, $\angle R = 60^\circ$, நடுக்கோடு $RG = 5.8$ செ.மீ கொண்ட $\Delta PQR$ வரைந்து, குத்துக்கோட்டின் நீளம் காணுதல்.

வரைமுறைப் படிகள்:

1. $PQ = 8$ செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. $P$ என்ற புள்ளியில், $\angle QPE = 60^\circ$ என இருக்குமாறு $PE$ என்ற கோடு வரைக.
3. $P$ என்ற புள்ளியில், $\angle EPF = 90^\circ$ என இருக்குமாறு $PF$ என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைக.
4. $PQ$-க்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைக. அது $PQ$-ஐ $G$-யிலும், $PF$-ஐ $O$-விலும் சந்திக்கட்டும்.
5. $O$-வை மையமாகவும், $OP$-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் $P, Q$ வழிச் செல்லும்.
6. நடுக்கோட்டின் அடிப்புள்ளி $G$-யிலிருந்து, $5.8$ செ.மீ ஆரத்தில் வட்டத்தை வெட்டுமாறு ஒரு வில் வரைக. அது வட்டத்தை $R$ மற்றும் $R'$-ல் வெட்டட்டும்.
7. $PR$ மற்றும் $QR$-ஐ இணைக்கவும். $\Delta PQR$ என்பதே தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
8. குத்துக்கோட்டின் நீளம் காணுதல்: $R$-லிருந்து $PQ$ பக்கத்திற்கு $RM$ என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைக.
9. $RM$-ன் நீளத்தை அளவிடவும்.

முடிவு: குத்துக்கோட்டின் நீளம் $RM \approx 3.5$ செ.மீ ஆகும்.

பகுதி - IV (Part - IV)

பகுதி - IV (Part - IV)

44. (அ) $y = \frac{1}{2}x$ என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு, அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும் (i) $x=9$ எனில் $y$-ஐக் காண்க. (ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ஐக் காண்க.

1. சமன்பாடு மற்றும் விகிதசம மாறிலி

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $y = \frac{1}{2}x$.

இது $y=kx$ என்ற வடிவில் உள்ளது. இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும். இதன் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

இங்கு, விகிதசம மாறிலி (constant of proportionality) $k = \frac{1}{2}$.

2. மதிப்புகளின் அட்டவணை

வரைபடம் வரைய சில புள்ளிகளைக் கணக்கிடுவோம்.

$x$	0	2	4	6	8	10
$y = \frac{1}{2}x$	0	1	2	3	4	5

3. வரைபடம் வரைதல்

மேற்கண்ட புள்ளிகளை $(0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5)$ வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை ஒரு நேர்க்கோட்டால் இணைக்கவும்.

4. வரைபடத்துடன் சரிபார்த்தல்

வரைபடத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக $(8,4)$.

விகிதசம மாறிலி $k = \frac{y}{x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

இது நாம் கணக்கிட்ட மாறிலியுடன் பொருந்துவதால், வரைபடம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

5. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்

(i) $x=9$ எனில் $y$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், x-அச்சில் $x=9$ என்ற புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக y-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $y=4.5$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $x=9$ எனில், $y=4.5$.

(ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், y-அச்சில் $y=7.5$ என்ற புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக x-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $x=15$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $y=7.5$ எனில், $x=15$.

44. (ஆ) நிஷாந்த் 12 கி.மீ தூரத்திற்கான மாரத்தான் ஓட்டத்தின் வெற்றியாளர் ஆவார். அவர் மணிக்கு 12 கி.மீ என்ற சீரான வேகத்தில் ஓடி, இலக்கினை 1 மணி நேரத்தில் அடைந்தார்... வேகம் - நேரம் வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி மணிக்கு 2.4 கி.மீ/மணி வேகத்தில் சென்ற கௌசிக் எடுத்துக் கொண்ட நேரத்தைக் காண்க.

Original Question Paper

10th English - Quarterly Exam 2024 - Original Question Paper With 1 Mark Answer Key | Theni, Thiruvallur, Nagai, Kallakurichi District

Original Question Paper Images

The following are the images of the Common Quarterly Examination 2024 for Standard X English, conducted in Theni, Thiruvallur, Nagai, and Kallakurichi districts.

Answer Key

Part - I (1 Mark Questions)

Answer key for the multiple-choice questions (1 to 14).

1. c) enormous
2. a) extremely
3. c) faced
4. b) converged (Antonym for bifurcated)
5. a) disturbed (Antonym for unperturbed)
6. b) disturbing (Antonym for soothing)
7. b) children
8. c) ment (arrange + ment = arrangement)
9. c) National Institute of Technology
10. c) had hidden
11. d) slide (land + slide = landslide)
12. a) in
13. d) as soon as
14. b) the

Part - III (Grammar & Language Functions)

Solutions and answers for grammar-related questions.

• 23. Rewrite the following sentence to the other voice!

  The doctor kindly warned me.

  Answer: I was kindly warned by the doctor.
• 24. Rewrite using indirect speech.

  He said, "I am glad they are strong".

  Answer: He said that he was glad they were strong.
• 25. Punctuate the following sentence.

  the general is a woman yelled the soldiers

  Answer: "The general is a woman!", yelled the soldiers.
• 27. Rearrange the words in the correct order to make meaningful sentences.

  a) beckoning / calling / They / were / to him / shrilly

  Answer: They were beckoning to him, calling shrilly. / They were calling shrilly, beckoning to him.

  b) point/ had / bifurcated / the / we / reached / where / road / a

  Answer: We had reached a point where the road bifurcated.

Part - II, Section - II (Poetry)

• 35. Read the following stanza and answer the questions.

  A silly young cricket accustomed to sing
  Through the warm, slenny months of gay summer and spring
  Began to complain when he found that at home,
  His cupboard was empty, and winter was come.

  a) Pick out the rhyming words from the above lines.

  Answer: sing - spring, home - come

  b) Write the rhyme scheme of the above lines.

  Answer: AABB

Part - V (Error Correction)

Corrections for the sentences in question 44.

1. This is the boy who won the race.
2. Is this a book that you wanted to buy? (Correct as is)
3. My uncle is the richest man in the village.
4. I don't know who she is.
5. I live in the United States.