10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions - Kallakurichi District

10th Maths Quarterly Exam 2024-25 Solutions (Kallakurichi)

Solutions / விடைகள்

பகுதி - I (Part - I)

1. A = {1,2,3,4,5} லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில், B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

விடை: (ஆ) 2

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்டது, $n(A) = 5$. A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம்: $2^{n(A) \times n(B)}$

ஆகவே, $2^{5 \times n(B)} = 1024$.

நமக்குத் தெரியும், $1024 = 2^{10}$.

எனவே, $2^{5 \times n(B)} = 2^{10}$.

அடிமானங்கள் சமமாக இருப்பதால், அடுக்குகளை சமன்படுத்தலாம்:

$5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = \frac{10}{5} = 2$

B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.

2. $f(x) = (x+1)^3 - (x-1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது

விடை: (ஈ) இருபடிச் சார்பு

விளக்கம்:

$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

$f(x) = 6x^2 + 2$

இது $x$-ன் அடுக்கு 2 ஐக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. எனவே, இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

3. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றப்படி $a$ மற்றும் $b$ என்ற மிகை முழுக்களுக்கு தனித்த மிகைமுழுக்கள் $q$ மற்றும் $r$, $a=bq+r$ என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு $r$ ஆனது

விடை: (இ) $0 \le r < b$

விளக்கம்: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி, மீதி '$r$' ஆனது எப்பொழுதும் பூச்சியத்திற்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண் '$b$'-ஐ விட குறைவாகவோ இருக்கும். எனவே, $0 \le r < b$ ஆகும்.

4. $A = 2^{65}$ மற்றும் $B = 2^{64} + 2^{63} + ... + 2^0$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?

விடை: (ஈ) A ஆனது B ஐ விட 1 அதிகம்

விளக்கம்: $B$ என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP) ஆகும். முதல் உறுப்பு $a = 2^0 = 1$, பொது விகிதம் $r=2$, உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $n=65$.

கூடுதல் சூத்திரம்: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$B = \frac{1(2^{65} - 1)}{2 - 1} = 2^{65} - 1$.

கொடுக்கப்பட்டது $A = 2^{65}$. எனவே, $B = A - 1$, அதாவது $A = B+1$.

5. மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லையெனில் அத்தொகுப்பில் உள்ள தளங்கள்

விடை: (ஈ) ஒன்றையொன்று வெட்டாது

விளக்கம்: அத்தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை என்றால், மூன்று தளங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளி எதுவும் இல்லை. இது மூன்று தளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருந்து, ஒன்றையொன்று வெட்டாமல் இருக்கும்போது நிகழும்.

6. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமமில்லை?

விடை: (ஆ) $(y+\frac{1}{y})^2$

விளக்கம்: $(y+\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2} = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$. இது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமமில்லை.

7. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு

விடை: (இ) பரவளையம்

விளக்கம்: $y = ax^2 + bx + c$ என்ற வடிவில் உள்ள எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடமும் ஒரு பரவளையம் (Parabola) ஆகும்.

8. $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ எனில், $\Delta ABC$ மற்றும் $\Delta DEF$ எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்.

விடை: (ஈ) $\angle B = \angle D$

விளக்கம்: ப-கோ-ப (SAS) வடிவொத்தமை விதியின்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். $\Delta ABC$-ல் $AB, BC$-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle B$. $\Delta DEF$-ல் $DE, FD$-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle D$.

9. $\Delta ABC$-ல் $DE \parallel BC$, $AB = 3.6$ செ.மீ, $AC = 2.4$ செ.மீ மற்றும் $AD = 2.1$ செ.மீ எனில் $AE$-ன் நீளம்

விடை: (அ) 1.4 செ.மீ

விளக்கம்: அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி, $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.

$\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4} \implies AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = 1.4$ செ.மீ.

10. $x = 11$ எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

விடை: (ஆ) Y - அச்சுக்கு இணை

விளக்கம்: $x = 11$ என்ற கோடு Y-அச்சுக்கு இணையாகவும், X-அச்சை $(11,0)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு செங்குத்து கோடாகும்.

11. கோட்டுத்துண்டு PQ-ன் சாய்வு $\frac{1}{\sqrt{3}}$ எனில், PQ-க்கு செங்குத்தான இருசம வெட்டியின் சாய்வு

விடை: (ஆ) $-\sqrt{3}$

விளக்கம்: ஒரு கோட்டின் சாய்வு $m_1$ எனில், செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு $m_2 = -\frac{1}{m_1}$.

இங்கு, $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, எனவே $m_2 = -\frac{1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.

12. கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகளில் எந்த ஜோடி செங்குத்தானது?

விடை: (அ) $l_1$ மற்றும் $l_3$ செங்குத்தானவை

விளக்கம்: இரு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்க $m_1 \times m_2 = -1$ ஆக இருக்க வேண்டும்.

• $l_1: 3y = 4x+5 \implies m_1 = \frac{4}{3}$
• $l_3: 4y+3x=7 \implies m_3 = -\frac{3}{4}$

$m_1 \times m_3 = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -1$. எனவே, $l_1, l_3$ செங்குத்தானவை.

13. $\sin^2\theta + \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ ன் மதிப்பு

விடை: (ஆ) 1

விளக்கம்: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ என்பதால், கோவை $\sin^2\theta + \frac{1}{\sec^2\theta} = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ ஆகும்.

14. $5x = \sec\theta$ மற்றும் $\frac{5}{x} = \tan\theta$, எனில் $x^2 - \frac{1}{x^2}$ ன் மதிப்பு

விடை: (ஆ) $\frac{1}{25}$

விளக்கம்: முற்றொருமை $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$-ல் பிரதியிட,

$(5x)^2 - (\frac{5}{x})^2 = 1 \implies 25x^2 - \frac{25}{x^2} = 1$

$25(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 1 \implies x^2 - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{25}$.

பகுதி - II (Part - II)

15. $B \times A = \{(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)\}$ எனில் $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவற்றைக் காண்க.

$B \times A$-ல், $B$ என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம் மற்றும் $A$ என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.

$B = \{-2, 0, 3\}$

$A = \{3, 4\}$

16. $f = \{(1,2), (2,2), (3,2), (4,3),(5,4)\}$ என்ற சார்பினை (i) அம்புக்குறி படம் (ii) அட்டவணை மூலமாகக் குறிக்கவும்.

(i) அம்புக்குறி படம்:

17. $7 \times 5 \times 3 \times 2+3$ என்பது ஒரு பகு எண்ணா? உனது விடையை நியாயப்படுத்துக.

ஆம், இது ஒரு பகு எண்.

நியாயப்படுத்துதல்: $7 \times 5 \times 3 \times 2+3 = 3 \times (7 \times 5 \times 2 + 1) = 3 \times (70+1) = 3 \times 71$.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிற்கு 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர 3, 71 ஆகிய காரணிகளும் உள்ளதால் இது ஒரு பகு எண் ஆகும்.

18. 4, 8, 16, ..., 8192 என்ற பெருக்குத்தொடர் வரிசையிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை காண்க.

$a=4, r=2, t_n = 8192$.

$t_n = a \cdot r^{n-1} \implies 8192 = 4 \cdot 2^{n-1} \implies 2048 = 2^{n-1}$.

$2^{11} = 2^{n-1} \implies 11 = n-1 \implies n=12$.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 12.

19. $8x^4y^2, 48x^2y^4$ ன் மீ.பொ.ம காண்க. (Find the LCM of $8x^4y^2, 48x^2y^4$).

படி 1: கெழுக்களின் மீ.பொ.ம (LCM) காண்போம்.

கெழுக்கள் 8 மற்றும் 48. $\text{மீ.பொ.ம}(8, 48) = 48$.

படி 2: மாறிகளின் மீ.பொ.ம காண்போம்.

மீ.பொ.ம காண, ஒவ்வொரு மாறியின் மிகப்பெரிய அடுக்கை எடுக்க வேண்டும்.

• $x$-ன் மாறிகளில், $x^4$ மற்றும் $x^2$ -ன் மிகப்பெரிய அடுக்கு $x^4$ ஆகும்.
• $y$-ன் மாறிகளில், $y^2$ மற்றும் $y^4$ -н மிகப்பெரிய அடுக்கு $y^4$ ஆகும்.

படி 3: இரண்டையும் இணைக்க.

மொத்த மீ.பொ.ம = (கெழுக்களின் மீ.பொ.ம) $\times$ (மாறிகளின் மீ.பொ.ம)

$\text{மீ.பொ.ம} = 48 \times x^4y^4 = 48x^4y^4$

விடை: $48x^4y^4$

20. $4x^2-7x-2=0$ ஐ காரணிப்படுத்துதல் முறையை பயன்படுத்தி தீர்க்க.

$4x^2 - 8x + x - 2 = 0 \implies 4x(x-2) + 1(x-2) = 0$.

$(4x+1)(x-2) = 0$.

தீர்கள்: $x=2, x = -\frac{1}{4}$.

21. $\Delta ABC$ ஆனது $\Delta DEF$ க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் $BC = 3$ செ.மீ, $EF = 4$ செ.மீ மற்றும் $\Delta ABC$ ன் பரப்பு = $54 \text{ செ.மீ}^2$ எனில் $\Delta DEF$ ன் பரப்பைக் காண்க.

$\frac{\text{பரப்பு}(\Delta ABC)}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = (\frac{BC}{EF})^2 \implies \frac{54}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

$\text{பரப்பு}(\Delta DEF) = \frac{54 \times 16}{9} = 96 \text{ செ.மீ}^2$.

22. கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தை எழுதுக.

தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் உட்புற இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை, அக்கோணத்தினை அடக்கியுள்ள மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

$\Delta ABC$-யில், $\angle A$-ன் இருசமவெட்டி $AD$ எனில், $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

23. P(-1.5,3), Q(6,-2) மற்றும் R(-3,4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டு.

முக்கோணத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} [x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]$.

பரப்பு = $\frac{1}{2} [(-1.5)(-2-4) + 6(4-3) + (-3)(3-(-2))]$

பரப்பு = $\frac{1}{2} [(-1.5)(-6) + 6(1) + (-3)(5)] = \frac{1}{2} [9 + 6 - 15] = 0$.

பரப்பு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

24. $x-2y+3=0, 6x+3y+8=0$ ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டு.

முதல் கோட்டின் சாய்வு $m_1 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

இரண்டாம் கோட்டின் சாய்வு $m_2 = -\frac{6}{3} = -2$.

$m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$. எனவே, கோடுகள் செங்குத்தானவை.

25. x, y வெட்டுத்துண்டுகள் முறையே 4 மற்றும் -6 எனில், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

சமன்பாடு: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{-6} = 1$.

$\frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1$. சமன்பாட்டை 12-ஆல் பெருக்க, $3x - 2y = 12$.

$3x - 2y - 12 = 0$.

26. $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

LHS = $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} \times \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta + \cot\theta$ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

27. $1 + 2 + 3 + ... + 60$-ன் கூடுதல் காண்.

சூத்திரம்: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. இங்கு $n=60$.

$S_{60} = \frac{60(61)}{2} = 30 \times 61 = 1830$.

28. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் $\frac{24}{5}$ எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.

$x - \frac{1}{x} = \frac{24}{5} \implies \frac{x^2-1}{x} = \frac{24}{5} \implies 5x^2 - 24x - 5 = 0$.

$(5x+1)(x-5) = 0$. எனவே, $x=5$ அல்லது $x = -\frac{1}{5}$.

பகுதி - III (Part - III)

29. $A = \{x \in W \mid x < 2\}, B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ மற்றும் $C = \{3,5\}$ எனில் $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதை சரிபார்க்க.

$A = \{0, 1\}, B = \{2, 3, 4\}, C = \{3, 5\}$.

LHS: $B \cup C = \{2, 3, 4, 5\}$. $A \times (B \cup C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

RHS: $A \times B = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$. $A \times C = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$.

$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.

30. சார்பு $f(x)$ வரையறுக்கப்பட்டபடி, மதிப்புகளைக் காண்க.

$ f(x) = \begin{cases} 2x + 7 & \text{if } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{if } -2 \le x < 3 \\ 3x - 2 & \text{if } x \ge 3 \end{cases} $

(i) f(4): $x=4 \ge 3 \implies f(4) = 3(4)-2 = 10$.

(ii) f(-2): $-2 \le x < 3 \implies f(-2) = (-2)^2-2 = 2$.

(iii) f(4) + 2f(1): $f(1) = (1)^2-2 = -1$. $f(4)+2f(1) = 10+2(-1) = 8$.

(iv) $\frac{f(1) - 3f(4)}{f(-3)}$: $f(-3) = 2(-3)+7 = 1$. $\frac{-1 - 3(10)}{1} = -31$.

31. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுரவடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தேவைப்படும் மொத்த பரப்பு = $10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2$.

இதை $(\sum_{k=1}^{24} k^2) - (\sum_{k=1}^{9} k^2)$ என எழுதலாம்.

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$n=24$ எனில்:

$S_{24} = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900$.

$n=9$ எனில்:

$S_9 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285$.

மொத்த பரப்பு = $S_{24} - S_9 = 4900 - 285 = 4615$.

விடை: 4615 செ.மீ$^2$.

32. $6x^3-30x^2+60x-48$ மற்றும் $3x^3-12x^2+21x-18$ ஆகிய பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க.

Let $p(x) = 6x^3-30x^2+60x-48 = 6(x^3-5x^2+10x-8)$.

Let $q(x) = 3x^3-12x^2+21x-18 = 3(x^3-4x^2+7x-6)$.

முதலில், கெழுக்களின் மீ.பொ.வ: $\text{மீ.பொ.வ}(6, 3) = 3$.

அடுத்து, பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

                  1
              ___________________
x³-5x²+10x-8 | x³-4x²+7x-6
             |-(x³-5x²+10x-8)
              ___________________
                   x²-3x+2  (மீதி)
            

மீதி பூச்சியம் இல்லை. இப்போது, முந்தைய வகுத்தியை மீதியால் வகுக்க:

                  x - 2
              ___________________
    x²-3x+2  | x³-5x²+10x-8
             |-(x³-3x²+2x)
              ___________________
                  -2x²+8x-8
                 -(-2x²+6x-4)
                  ___________________
                       2x - 4 = 2(x-2)
            

மீண்டும் மீதி பூச்சியம் இல்லை. இப்போது, முந்தைய வகுத்தியை மீதியால் (காரணியை மட்டும்) வகுக்க:

                  x - 1
              ___________________
      x - 2  | x²-3x+2
             |-(x²-2x)
              ___________________
                  -x+2
                 -(-x+2)
                  ___________________
                       0
            

கடைசி பூச்சியமற்ற மீதி $x-2$ ஆகும்.

எனவே, மொத்த மீ.பொ.வ = $3 \times (x-2) = 3(x-2)$.

33. $9x^4+12x^3+28x^2+ax+b$ ஆனது ஒரு முழுவர்க்கம் எனில் $a, b$ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண்போம்:

             3x²  + 2x  + 4
           _________________________
    3x²   | 9x⁴+12x³+28x²+ax+b
          |-(9x⁴)
          |_________________
  6x²+2x  |  12x³+28x²
          |-(12x³+ 4x²)
          |_________________
6x²+4x+4|    24x² + ax + b
          |   -(24x² + 16x + 16)
          |_________________
          |        (a-16)x + (b-16)
            

இது ஒரு முழுவர்க்கம் என்பதால், மீதி பூச்சியமாக இருக்க வேண்டும். $(a-16)x + (b-16) = 0$.

ஒத்த கெழுக்களை சமன்படுத்த: $a - 16 = 0 \implies a = 16$.

$b - 16 = 0 \implies b = 16$.

விடை: $a=16, b=16$.

34. $A = \frac{2x+1}{2x-1}$ மற்றும் $B = \frac{2x-1}{2x+1}$ எனில் $\frac{1}{A-B} - \frac{2B}{A^2-B^2}$ காண்க.

முதலில் கோவையைச் சுருக்குவோம்:

$$ \frac{1}{A-B} - \frac{2B}{A^2-B^2} = \frac{1}{A-B} - \frac{2B}{(A-B)(A+B)} $$ $$ = \frac{1(A+B) - 2B}{(A-B)(A+B)} = \frac{A+B-2B}{(A-B)(A+B)} = \frac{A-B}{(A-B)(A+B)} = \frac{1}{A+B} $$

எனவே, நாம் $A+B$-ன் தலைகீழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

$$ A+B = \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)^2 + (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)} $$

$$ = \frac{(4x^2+4x+1) + (4x^2-4x+1)}{4x^2-1} = \frac{8x^2+2}{4x^2-1} $$

தேவையான மதிப்பு $\frac{1}{A+B} = \frac{4x^2-1}{8x^2+2} = \frac{4x^2-1}{2(4x^2+1)}$.

35. அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபி.

36. 90 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு சிறுவன் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.2 மீ/வினாடி வேகத்தில் நடந்து செல்கிறான்... 4 வினாடிகள் கழித்து சிறுவனுடைய நிழலின் நீளத்தைக் காண்க.

விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் (AB) = $3.6$ மீ.

சிறுவனின் உயரம் (CD) = $0.9$ மீ.

4 வினாடிகளில் சிறுவன் கடந்த தூரம் (BC) = $1.2 \times 4 = 4.8$ மீ.

நிழலின் நீளம் (CE) = $x$ என்க.

$\Delta ABE$ மற்றும் $\Delta DCE$ வடிவொத்தவை. எனவே, $\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE}$.

$$ \frac{3.6}{0.9} = \frac{4.8+x}{x} \implies 4 = \frac{4.8+x}{x} $$

$4x = 4.8 + x \implies 3x = 4.8 \implies x = 1.6$ மீ.

நிழலின் நீளம் 1.6 மீட்டர் ஆகும்.

37. (-9,0), (-8,6), (-1,-2) மற்றும் (-6,-3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் சூத்திரம்:

$$ \text{Area} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix} $$

$$ = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & -1 & -6 & -9 \\ 0 & 6 & -2 & -3 & 0 \end{vmatrix} $$

$= \frac{1}{2} | ((-9)(6) + (-8)(-2) + (-1)(-3) + (-6)(0)) - ((0)(-8) + (6)(-1) + (-2)(-6) + (-3)(-9)) |$

$= \frac{1}{2} | (-54 + 16 + 3 + 0) - (0 - 6 + 12 + 27) |$

$= \frac{1}{2} | (-35) - (33) | = \frac{1}{2} | -68 | = 34$.

பரப்பு = 34 சதுர அலகுகள்.

38. A(3,-4), B(9,-4), C(5,-7) மற்றும் D(7,-7) ஆகிய புள்ளிகள் சரிவகத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.

சரிவகத்திற்கு ஒரு சோடி பக்கங்கள் இணையாக இருக்க வேண்டும். சாய்வுகளைக் காண்போம்.

$m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9-3} = \frac{0}{6} = 0$.

$m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7-5} = \frac{0}{2} = 0$.

$m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5-9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.

$m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3-7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.

$m_{AB} = m_{CD}$ என்பதால், $AB \parallel CD$. மேலும், $m_{BC} \neq m_{DA}$ என்பதால், மற்ற பக்கங்கள் இணையில்லை.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சரிவகத்தை அமைக்கும்.

39. (-3,8) என்ற புள்ளிவழிச் செல்லும் ஆய அச்சுகளின் மிகை வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 7 உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

வெட்டுத்துண்டு வடிவம்: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

கொடுக்கப்பட்டது: $a+b=7 \implies b=7-a$.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{7-a} = 1$.

இது $(-3,8)$ வழிச் செல்வதால், $\frac{-3}{a} + \frac{8}{7-a} = 1$.

$-3(7-a) + 8a = a(7-a) \implies -21+3a+8a = 7a-a^2$.

$a^2+4a-21=0 \implies (a+7)(a-3)=0$.

மிகை வெட்டுத்துண்டுகள் என்பதால் $a>0, b>0$. $a=3$ எனில், $b=4$. (இது பொருந்தும்)

$a=-7$ எனில், $b=14$. (இது பொருந்தாது, કારણકે $a$ குறை எண்).

எனவே, $a=3, b=4$. சமன்பாடு: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \implies 4x+3y=12$.

40. $\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sin^2 B + \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = 1$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

Explanation: $\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sin^2 B + \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = 1$.

LHS-ஐ மறுசீரமைப்போம்:

$(\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \cos^2 B) + (\cos^2 A \sin^2 B + \sin^2 A \sin^2 B)$

பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்க:

$\cos^2 B (\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin^2 B (\cos^2 A + \sin^2 A)$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:

$\cos^2 B (1) + \sin^2 B (1) = \cos^2 B + \sin^2 B = 1$ = RHS.

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

41. $\frac{\cos\alpha}{\cos\beta} = m$ மற்றும் $\frac{\cos\alpha}{\sin\beta} = n$ எனில், $(m^2+n^2)\cos^2\beta = n^2$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

42. $S_1, S_2, ..., S_m$ என்பன $m$ வெவ்வேறு கூட்டுத்தொடர் வரிசைகளின் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதலாகும். முதல் உறுப்புகள் $1,2, ..., m$ மற்றும் பொது வித்தியாசங்கள் $1,3, ..., (2m-1)$ முறையே அமைந்தால், $S_1+S_2+...+S_m = \frac{1}{2}mn(mn+1)$ என நிரூபிக்க.

$k$-ஆவது கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் உறுப்பு $a_k = k$ மற்றும் பொது வித்தியாசம் $d_k = 2k-1$.

அதன் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதல் $S_k = \frac{n}{2}[2a_k + (n-1)d_k]$.

$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n-1)(2k-1)] = \frac{n}{2}[2k + 2nk - n - 2k + 1] = \frac{n}{2}[2nk - n + 1]$.

தேவைப்படும் கூடுதல்: $\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2nk - (n-1)]$

$$ = \frac{n}{2} \left[ \sum_{k=1}^{m} 2nk - \sum_{k=1}^{m} (n-1) \right] $$

$$ = \frac{n}{2} \left[ 2n \sum_{k=1}^{m} k - m(n-1) \right] = \frac{n}{2} \left[ 2n \frac{m(m+1)}{2} - m(n-1) \right] $$

$$ = \frac{n}{2} [nm(m+1) - m(n-1)] = \frac{nm}{2} [n(m+1) - (n-1)] $$

$$ = \frac{nm}{2} [nm + n - n + 1] = \frac{nm(nm+1)}{2} $$

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

பகுதி - IV (Part - IV)

43. (அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன், ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என அமையுமாறு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)

(அல்லது)

(ஆ) $PQ = 8$ செ.மீ, $\angle R = 60^\circ$, உச்சி R-யிலிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் $RG = 5.8$ செ.மீ என இருக்குமாறு $\Delta PQR$ வரைக. R-லிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க.

(அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி > 1)

தேவை: கொடுக்கப்பட்ட $\Delta PQR$-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ ஆக உள்ள ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் $\Delta P'QR'$ வரைதல்.

வரைமுறைப் படிகள்:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\Delta PQR$ வரைக.
2. $QR$ என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு $QX$ என்ற கதிரை $P$ என்ற முனைக்கு എതിർ ദിശയിൽ വരയ്ക്കുക.
3. $QX$ கதிரில், $Q_1, Q_2, \dots, Q_7$ என்ற 7 புள்ளிகளை ($ \frac{7}{3}$-ல் பெரிய எண் 7 என்பதால்) சம அளவில் குறிக்கவும்.
4. $Q_3$ (விகிதத்தின் பகுதி 3 என்பதால்) மற்றும் $R$ ஐ இணைக்கவும்.
5. $Q_7$ வழியே $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QR$-ஐ $R'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. $R'$ வழியே $PR$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QP$-ஐ $P'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. $\Delta P'QR'$ என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(ஆ) நடுக்கோடு மற்றும் உச்சிக்கோணம் கொண்டு முக்கோணம் வரைதல்

தேவை: $PQ = 8$ செ.மீ, $\angle R = 60^\circ$, நடுக்கோடு $RG = 5.8$ செ.மீ கொண்ட $\Delta PQR$ வரைந்து, குத்துக்கோட்டின் நீளம் காணுதல்.

வரைமுறைப் படிகள்:

1. $PQ = 8$ செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. $P$ என்ற புள்ளியில், $\angle QPE = 60^\circ$ என இருக்குமாறு $PE$ என்ற கோடு வரைக.
3. $P$ என்ற புள்ளியில், $\angle EPF = 90^\circ$ என இருக்குமாறு $PF$ என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைக.
4. $PQ$-க்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைக. அது $PQ$-ஐ $G$-யிலும், $PF$-ஐ $O$-விலும் சந்திக்கட்டும்.
5. $O$-வை மையமாகவும், $OP$-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் $P, Q$ வழிச் செல்லும்.
6. நடுக்கோட்டின் அடிப்புள்ளி $G$-யிலிருந்து, $5.8$ செ.மீ ஆரத்தில் வட்டத்தை வெட்டுமாறு ஒரு வில் வரைக. அது வட்டத்தை $R$ மற்றும் $R'$-ல் வெட்டட்டும்.
7. $PR$ மற்றும் $QR$-ஐ இணைக்கவும். $\Delta PQR$ என்பதே தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
8. குத்துக்கோட்டின் நீளம் காணுதல்: $R$-லிருந்து $PQ$ பக்கத்திற்கு $RM$ என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைக.
9. $RM$-ன் நீளத்தை அளவிடவும்.

முடிவு: குத்துக்கோட்டின் நீளம் $RM \approx 3.5$ செ.மீ ஆகும்.

பகுதி - IV (Part - IV)

பகுதி - IV (Part - IV)

44. (அ) $y = \frac{1}{2}x$ என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு, அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும் (i) $x=9$ எனில் $y$-ஐக் காண்க. (ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ஐக் காண்க.

1. சமன்பாடு மற்றும் விகிதசம மாறிலி

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $y = \frac{1}{2}x$.

இது $y=kx$ என்ற வடிவில் உள்ளது. இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும். இதன் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

இங்கு, விகிதசம மாறிலி (constant of proportionality) $k = \frac{1}{2}$.

2. மதிப்புகளின் அட்டவணை

வரைபடம் வரைய சில புள்ளிகளைக் கணக்கிடுவோம்.

$x$	0	2	4	6	8	10
$y = \frac{1}{2}x$	0	1	2	3	4	5

3. வரைபடம் வரைதல்

மேற்கண்ட புள்ளிகளை $(0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5)$ வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை ஒரு நேர்க்கோட்டால் இணைக்கவும்.

4. வரைபடத்துடன் சரிபார்த்தல்

வரைபடத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக $(8,4)$.

விகிதசம மாறிலி $k = \frac{y}{x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

இது நாம் கணக்கிட்ட மாறிலியுடன் பொருந்துவதால், வரைபடம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

5. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்

(i) $x=9$ எனில் $y$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், x-அச்சில் $x=9$ என்ற புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக y-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $y=4.5$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $x=9$ எனில், $y=4.5$.

(ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், y-அச்சில் $y=7.5$ என்ற புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக x-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $x=15$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $y=7.5$ எனில், $x=15$.

44. (ஆ) நிஷாந்த் 12 கி.மீ தூரத்திற்கான மாரத்தான் ஓட்டத்தின் வெற்றியாளர் ஆவார். அவர் மணிக்கு 12 கி.மீ என்ற சீரான வேகத்தில் ஓடி, இலக்கினை 1 மணி நேரத்தில் அடைந்தார்... வேகம் - நேரம் வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி மணிக்கு 2.4 கி.மீ/மணி வேகத்தில் சென்ற கௌசிக் எடுத்துக் கொண்ட நேரத்தைக் காண்க.

Original Question Paper

10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions | Chengalpattu District

10th Maths Quarterly Exam Question Paper 2024 with Answer Key | Samacheer Kalvi

COMMON QUARTERLY EXAMINATION - 2024 | Standard X MATHEMATICS

Part - I

1. If \(A = \{a, b, p\}, B = \{2, 3\}, C = \{p, q, r, s\}\) then \(n[(A \cup C) \times B]\) is

• a) 8
• b) 20
• c) 12
• d) 16

Solution:

Given, \(A = \{a, b, p\}, B = \{2, 3\}, C = \{p, q, r, s\}\).

First, find \(A \cup C\):

\(A \cup C = \{a, b, p\} \cup \{p, q, r, s\} = \{a, b, p, q, r, s\}\)

Now, find the number of elements in \(A \cup C\) and B:

\(n(A \cup C) = 6\)

\(n(B) = 2\)

We need to find \(n[(A \cup C) \times B]\). Using the formula \(n(X \times Y) = n(X) \times n(Y)\):

\(n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) = 6 \times 2 = 12\)

c) 12

2. \(f(x) = (x + 1)^3 – (x - 1)^3\) represents a function which is

• a) linear
• b) cubic
• c) reciprocal
• d) quadratic

Solution:

Given function: \(f(x) = (x + 1)^3 – (x - 1)^3\)

Using the algebraic identities \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) and \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\).

\(f(x) = (x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3) - (x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3)\)

\(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)

\(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)

\(f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1)\)

\(f(x) = 6x^2 + 2\)

The highest power (degree) of x is 2. Therefore, the function is a quadratic function.

d) quadratic

3. If \(n(A) = p, n(B) = q\), then the total number of relations that exist from A to B is

• a) \(p^q\)
• b) \(q^p\)
• c) \(2^{pq}-1\)
• d) \(2^{pq}\)

Solution:

The total number of relations from a set A to a set B is the number of possible subsets of the Cartesian product \(A \times B\).

Given \(n(A) = p\) and \(n(B) = q\).

The number of elements in the Cartesian product is \(n(A \times B) = n(A) \times n(B) = pq\).

The number of subsets of a set with \(k\) elements is \(2^k\).

Therefore, the total number of relations from A to B is the number of subsets of \(A \times B\), which is \(2^{n(A \times B)} = 2^{pq}\).

d) \(2^{pq}\)

4. The sum of the exponents of the prime factors in the prime factorisation of 1729 is

• a) 1
• b) 2
• c) 3
• d) 4

Solution:

First, we find the prime factorization of 1729 (also known as the Hardy-Ramanujan number).

1729 is divisible by 7: \(1729 = 7 \times 247\)

Now, factorize 247. It is divisible by 13: \(247 = 13 \times 19\)

So, the prime factorization of 1729 is \(7^1 \times 13^1 \times 19^1\).

The exponents of the prime factors are 1, 1, and 1.

The sum of the exponents is \(1 + 1 + 1 = 3\).

c) 3

5. An A.P consists of 31 terms. If its 16th term is m, then the sum of all the terms of this A.P is

• a) 16 m
• b) 62 m
• c) 31 m
• d) \(\frac{31}{2}m\)

Solution:

For an Arithmetic Progression (A.P) with an odd number of terms, the sum is equal to the number of terms multiplied by the middle term.

Here, the number of terms is \(n = 31\), which is odd.

The middle term is the \( \frac{n+1}{2} \)-th term, which is \( \frac{31+1}{2} = \frac{32}{2} = 16\)-th term.

We are given that the 16th term is \(m\).

Sum of all terms, \(S_{31} = (\text{number of terms}) \times (\text{middle term})\)

\(S_{31} = 31 \times m = 31m\)

c) 31 m

6. The value of \((1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3) – (1 + 2 + 3 + \dots + 15)\) is

• a) 14400
• b) 14200
• c) 14280
• d) 14520

Solution:

We use the formulas for the sum of the first n natural numbers and the sum of the cubes of the first n natural numbers.

Sum of first n natural numbers: \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)

Sum of cubes of first n natural numbers: \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

Here, n = 15.

First, calculate \(1 + 2 + \dots + 15\):

\(\frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120\)

Next, calculate \(1^3 + 2^3 + \dots + 15^3\):

\(\left(\frac{15(15+1)}{2}\right)^2 = (120)^2 = 14400\)

Now, find the required value:

\((1^3 + \dots + 15^3) - (1 + \dots + 15) = 14400 - 120 = 14280\)

c) 14280

7. \(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2}\) is

• a) \(\frac{9y}{7}\)
• b) \(\frac{9y^3}{(21y-21)}\)
• c) \(\frac{21y^2-42y+21}{3y^3}\)
• d) \(\frac{7(y^2-2y+1)}{y^2}\)

Solution:

To divide by a fraction, we multiply by its reciprocal.

\(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} = \frac{3y-3}{y} \times \frac{3y^2}{7y-7}\)

Factor out the common terms in the numerators and denominators:

\( = \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)}\)

Cancel the common factor \((y-1)\) and one \(y\):

\( = \frac{3}{1} \times \frac{3y}{7}\)

\( = \frac{9y}{7}\)

a) \(\frac{9y}{7}\)

8. The square root of \(\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}\) is equal to

• a) \(\frac{16}{5} \left| \frac{x^2z^4}{y^2} \right|\)
• b) \(\frac{16}{5} \left| \frac{y^2}{x^2z^4} \right|\)
• c) \(\frac{16}{5} \left| \frac{y}{xz^2} \right|\)
• d) \(\frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)

Solution:

First, simplify the expression inside the square root:

\(\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6} = \frac{256}{25} \cdot x^{8-6} \cdot y^{4-6} \cdot z^{10-6}\)

\(= \frac{256}{25} x^2 y^{-2} z^4 = \frac{256x^2z^4}{25y^2}\)

Now, take the square root of the simplified expression:

\(\sqrt{\frac{256x^2z^4}{25y^2}} = \frac{\sqrt{256x^2z^4}}{\sqrt{25y^2}}\)

\(= \frac{\sqrt{256}\sqrt{x^2}\sqrt{z^4}}{\sqrt{25}\sqrt{y^2}}\)

\(= \frac{16|x|(z^2)}{5|y|} = \frac{16|xz^2|}{5|y|}\) (Since \(z^2\) is always non-negative)

\(= \frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)

d) \(\frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)

9. The solution of \((2x - 1)^2 = 9\) is equal to

• a) -1
• b) 2
• c) -1, 2
• d) none of these

Solution:

Given the equation: \((2x - 1)^2 = 9\)

Take the square root of both sides:

\(2x - 1 = \pm\sqrt{9}\)

\(2x - 1 = \pm 3\)

This gives two possible cases:

Case 1: \(2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2\)

Case 2: \(2x - 1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x = -1\)

The solutions are -1 and 2.

c) -1, 2

10. If in \(\triangle ABC, DE \parallel BC, AB = 3.6\) cm, \(AC = 2.4\) cm and \(AD = 2.1\) cm then the length of AE is

• a) 1.4 cm
• b) 1.8 cm
• c) 1.2 cm
• d) 1.05 cm

Solution:

Given that in \(\triangle ABC\), \(DE \parallel BC\).

By the Basic Proportionality Theorem (Thales's Theorem), if a line is drawn parallel to one side of a triangle to intersect the other two sides in distinct points, the other two sides are divided in the same ratio.

Therefore, \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)

We are given: \(AD = 2.1\) cm, \(AB = 3.6\) cm, \(AC = 2.4\) cm.

Substitute the values into the formula:

\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)

Solve for AE:

\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6}\)

\(AE = \frac{5.04}{3.6} = 1.4\) cm

a) 1.4 cm

11. The point of intersection of \(3x - y = 4\) and \(x + y = 8\) is

• a) (5,3)
• b) (2,4)
• c) (3,5)
• d) (4,4)

Solution:

We have a system of two linear equations:

1) \(3x - y = 4\)

2) \(x + y = 8\)

We can solve this by elimination. Add equation (1) and equation (2):

\((3x - y) + (x + y) = 4 + 8\)

\(4x = 12\)

\(x = 3\)

Substitute the value of x into equation (2):

\(3 + y = 8\)

\(y = 8 - 3 = 5\)

The point of intersection is (3, 5).

c) (3,5)

12. When proving that a quadrilateral is a parallelogram by using slopes you must find

• a) the slopes of 2 sides
• b) the slopes of two pair of opposite sides
• c) the lengths of all sides
• d) both the lengths and slopes of 2 sides

Solution:

A property of a parallelogram is that its opposite sides are parallel. In coordinate geometry, parallel lines have equal slopes.

Therefore, to prove a quadrilateral is a parallelogram using slopes, one must show that the slopes of both pairs of opposite sides are equal.

b) the slopes of two pair of opposite sides

13. The area of triangle formed by the points (-2,0), (0,-2) and (2,0) is

• a) 0 sq.units
• b) 4 sq.units
• c) 2 sq.units
• d) none of these

Solution:

Let the vertices of the triangle be \(A(-2,0), B(0,-2), C(2,0)\).

The formula for the area of a triangle with vertices \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)\) is:

Area \( = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

Substitute the coordinates:

Area \( = \frac{1}{2} |-2(-2 - 0) + 0(0 - 0) + 2(0 - (-2))|\)

Area \( = \frac{1}{2} |-2(-2) + 0 + 2(2)|\)

Area \( = \frac{1}{2} |4 + 0 + 4|\)

Area \( = \frac{1}{2} |8| = 4\) sq.units

b) 4 sq.units

14. If \((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\), then the value of k is equal to

• a) 9
• b) 7
• c) 5
• d) 3

Solution:

Expand the left-hand side (LHS):

LHS \( = (\sin^2 \alpha + \csc^2 \alpha + 2 \sin \alpha \csc \alpha) + (\cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha + 2 \cos \alpha \sec \alpha)\)

We know \(\sin \alpha \csc \alpha = 1\) and \(\cos \alpha \sec \alpha = 1\).

LHS \( = (\sin^2 \alpha + \csc^2 \alpha + 2) + (\cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha + 2)\)

Rearrange the terms: LHS \( = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \csc^2 \alpha + \sec^2 \alpha + 4\)

Using the identities \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), \(\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha\), and \(\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha\).

LHS \( = 1 + (1 + \cot^2 \alpha) + (1 + \tan^2 \alpha) + 4\)

LHS \( = 1 + 1 + 1 + 4 + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha\)

LHS \( = 7 + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha\)

Comparing this with the given equation \(k + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha\), we get \(k = 7\).

b) 7

Part - II

15. If \(A \times B = \{(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)\}\), then find A and B.

Solution:

The set A is the set of all first elements in the ordered pairs of \(A \times B\).

First elements are 3 and 5. So, \(A = \{3, 5\}\).

The set B is the set of all second elements in the ordered pairs of \(A \times B\).

Second elements are 2 and 4. So, \(B = \{2, 4\}\).

\(A = \{3, 5\}\), \(B = \{2, 4\}\)

16. Let \(X = \{1,2,3,4\}\) and \(Y = \{2,4,6,8,10\}\) and \(R = \{(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)\}\), show that R is a function and find its domain, co-domain and range.

Solution:

To show R is a function:

For R to be a function from X to Y, every element in the domain X must have exactly one image in the co-domain Y.
In R = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}:

• The image of 1 is 2.
• The image of 2 is 4.
• The image of 3 is 6.
• The image of 4 is 8.

Since each element of X has a unique image in Y, R is a function.

Domain, Co-domain, and Range:

• Domain: The set of all first elements in the ordered pairs of R.
  Domain = \{1, 2, 3, 4\} = X.
• Co-domain: The entire set Y.
  Co-domain = \{2, 4, 6, 8, 10\} = Y.
• Range: The set of all second elements (images) in the ordered pairs of R.
  Range = \{2, 4, 6, 8\}.

17. Find the 8th term of the G.P. 9, 3, 1, ...

Solution:

The given Geometric Progression (G.P.) is 9, 3, 1, ...

First term, \(a = 9\).

Common ratio, \(r = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

The formula for the n-th term of a G.P. is \(t_n = ar^{n-1}\).

We need to find the 8th term (\(n=8\)):

\(t_8 = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{8-1} = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^7\)

\(t_8 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{3^2}{3^7} = 3^{2-7} = 3^{-5} = \frac{1}{3^5}\)

\(t_8 = \frac{1}{243}\)

The 8th term is \(\frac{1}{243}\)

18. Find the LCM of \(5x - 10, 5x^2 - 20\)

Solution:

First, factorize each expression.

First expression: \(5x - 10 = 5(x - 2)\)

Second expression: \(5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4)\)

Using the difference of squares formula \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):

\(5(x^2 - 4) = 5(x-2)(x+2)\)

To find the LCM (Least Common Multiple), we take the highest power of each unique factor.

The factors are 5, \((x-2)\), and \((x+2)\).

LCM = \(5 \times (x-2) \times (x+2) = 5(x-2)(x+2)\)

This can also be written as \(5(x^2-4)\).

LCM is \(5(x-2)(x+2)\) or \(5x^2-20\)

19. Simplify: \(\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4}\)

Solution:

Combine the terms into a single fraction:

\(\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} = \frac{4 \times 6 \times x^2 \times x \times y \times z^3}{2 \times 20 \times z^2 \times y^4}\)

Multiply the coefficients and combine the variables:

\( = \frac{24 x^3 y z^3}{40 z^2 y^4}\)

Simplify the numerical coefficient: \(\frac{24}{40} = \frac{3 \times 8}{5 \times 8} = \frac{3}{5}\)

Simplify the variable terms using exponent rules:

\(x^3\)

\(y^{1-4} = y^{-3} = \frac{1}{y^3}\)

\(z^{3-2} = z^1 = z\)

Combine everything:

\( = \frac{3x^3z}{5y^3}\)

\(\frac{3x^3z}{5y^3}\)

20. In the figure, AD is the bisector of \(\angle A\). If BD = 4 cm, DC = 3 cm and AB = 6 cm, find AC.

Solution:

By the Angle Bisector Theorem, the internal bisector of an angle of a triangle divides the opposite side in the ratio of the other two sides.

So, we have: \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)

Given values: AB = 6 cm, BD = 4 cm, DC = 3 cm.

Substitute these values into the theorem:

\(\frac{6}{AC} = \frac{4}{3}\)

Now, solve for AC:

\(4 \times AC = 6 \times 3\)

\(4 \times AC = 18\)

\(AC = \frac{18}{4} = 4.5\) cm

AC = 4.5 cm

21. A vertical stick of length 6 m casts a shadow 400 cm long on the ground and at the same time a tower casts a shadow 28 m long. Using similarity, find the height of the tower.

Solution:

Let the height of the stick be \(h_1 = 6\) m.

Length of the stick's shadow \(s_1 = 400\) cm = 4 m (since 100 cm = 1 m).

Let the height of the tower be \(h_2\).

Length of the tower's shadow \(s_2 = 28\) m.

At the same time, the angle of elevation of the sun is the same for both the stick and the tower. This forms two similar right-angled triangles.

The ratio of corresponding sides of similar triangles is equal.

\(\frac{\text{Height of stick}}{\text{Shadow of stick}} = \frac{\text{Height of tower}}{\text{Shadow of tower}}\)

\(\frac{h_1}{s_1} = \frac{h_2}{s_2}\)

\(\frac{6}{4} = \frac{h_2}{28}\)

Solve for \(h_2\):

\(h_2 = \frac{6 \times 28}{4} = 6 \times 7 = 42\) m

The height of the tower is 42 m.

22. Show that the points P(-1.5, 3), Q(6, -2), R(-3, 4) are collinear.

Solution:

To show that the points are collinear, we can prove that the slope of line segment PQ is equal to the slope of line segment QR.

The formula for the slope between two points \((x_1, y_1)\) and \((x_2, y_2)\) is \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Slope of PQ:

\(m_{PQ} = \frac{-2 - 3}{6 - (-1.5)} = \frac{-5}{6 + 1.5} = \frac{-5}{7.5} = \frac{-50}{75} = -\frac{2}{3}\)

Slope of QR:

\(m_{QR} = \frac{4 - (-2)}{-3 - 6} = \frac{4 + 2}{-9} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3}\)

Since the slope of PQ is equal to the slope of QR, and they share a common point Q, the points P, Q, and R are collinear.

The points are collinear.

23. Find the slope of a line joining the given points (-6, 1) and (14, 10).

Solution:

Let the points be \((x_1, y_1) = (-6, 1)\) and \((x_2, y_2) = (14, 10)\).

The formula for the slope (m) is \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

\(m = \frac{10 - 1}{14 - (-6)} = \frac{9}{14 + 6} = \frac{9}{20}\)

The slope is \(\frac{9}{20}\).

24. Show that the straight lines \(2x + 3y - 8 = 0\) and \(4x + 6y + 18 = 0\) are parallel.

Solution:

Two lines are parallel if their slopes are equal.

The slope of a line in the form \(Ax + By + C = 0\) is given by \(m = -\frac{A}{B}\).

For the first line, \(2x + 3y - 8 = 0\):

\(m_1 = -\frac{2}{3}\)

For the second line, \(4x + 6y + 18 = 0\):

\(m_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\)

Since \(m_1 = m_2\), the two lines have the same slope. Therefore, the lines are parallel.

The lines are parallel.

25. Given the function \(f: x \to x^2 – 5x + 6\), evaluate i) f(-1) and ii) f(2).

Solution:

The function is given by \(f(x) = x^2 - 5x + 6\).

i) f(-1):

Substitute \(x = -1\) into the function:

\(f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 6\)

\(f(-1) = 1 + 5 + 6 = 12\)

ii) f(2):

Substitute \(x = 2\) into the function:

\(f(2) = (2)^2 - 5(2) + 6\)

\(f(2) = 4 - 10 + 6 = 0\)

i) f(-1) = 12, ii) f(2) = 0

26. If \(13824 = 2^a \times 3^b\), then find a and b.

Solution:

To find the values of 'a' and 'b', we need to perform a prime factorization of the number 13824.

We will divide 13824 by the prime number 2 until we get an odd number:

• 13824 ÷ 2 = 6912
• 6912 ÷ 2 = 3456
• 3456 ÷ 2 = 1728
• 1728 ÷ 2 = 864
• 864 ÷ 2 = 432
• 432 ÷ 2 = 216
• 216 ÷ 2 = 108
• 108 ÷ 2 = 54
• 54 ÷ 2 = 27

We divided by 2 a total of 9 times. So, the power of 2 is 9.

Now, we factorize the remaining number, 27:

• 27 ÷ 3 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

We divided by 3 a total of 3 times. So, the power of 3 is 3.

Therefore, the prime factorization of 13824 is \(2^9 \times 3^3\).

Comparing this with \(2^a \times 3^b\), we get:

a = 9, b = 3

27. Prove that \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}} = \csc \theta + \cot \theta\)

Solution:

We will start with the Left-Hand Side (LHS) and simplify it to get the Right-Hand Side (RHS).

LHS = \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}\)

To remove the square root, we multiply the numerator and the denominator inside the root by the conjugate of the denominator, which is \((1 + \cos \theta)\).

LHS = \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta} \times \frac{1+\cos \theta}{1+\cos \theta}}\)

LHS = \(\sqrt{\frac{(1+\cos \theta)^2}{1^2 - \cos^2 \theta}}\)

Using the Pythagorean identity \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), we know that \(1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta\).

LHS = \(\sqrt{\frac{(1+\cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}}\)

Now, we can take the square root of the numerator and the denominator:

LHS = \(\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\)

Split the fraction into two parts:

LHS = \(\frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)

Using the reciprocal and quotient identities, we know that \(\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}\) and \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\).

LHS = \(\csc \theta + \cot \theta\)

This is equal to the RHS.

Hence Proved.

28. Find the sum of 1 + 3 + 5 + ... + 51.

Solution:

The given series 1, 3, 5, ..., 51 is an Arithmetic Progression (A.P.) of odd numbers.

Here, the first term \(a = 1\).

The common difference \(d = 3 - 1 = 2\).

The last term \(l = 51\).

First, we need to find the number of terms (n) in this series. The formula for the last term is \(l = a + (n-1)d\).

\(51 = 1 + (n-1)2\)

\(51 - 1 = (n-1)2\)

\(50 = (n-1)2\)

\(\frac{50}{2} = n-1\)

\(25 = n-1 \implies n = 26\)

So, there are 26 terms in the series.

Now, we can find the sum of the series using the formula \(S_n = \frac{n}{2}(a+l)\).

\(S_{26} = \frac{26}{2}(1+51)\)

\(S_{26} = 13(52)\)

\(S_{26} = 676\)

Alternatively, the sum of the first 'n' odd natural numbers is given by the formula \(n^2\). Since we found n=26, the sum is \(26^2 = 676\).

The sum of the series is 676.

Part - III

29. Let \(f : A \to B\) be a function defined by \(f(x) = \frac{x}{2} - 1\) where \(A = \{2, 4, 6, 10, 12\}\), \(B = \{0, 1, 2, 4, 5, 9\}\). Represent f by i) Set of ordered pairs, ii) A table, iii) An arrow diagram, iv) A graph.

Solution:

First, we find the image of each element of A under f.

• \(f(2) = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\)
• \(f(4) = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1\)
• \(f(6) = \frac{6}{2} - 1 = 3 - 1 = 2\)
• \(f(10) = \frac{10}{2} - 1 = 5 - 1 = 4\)
• \(f(12) = \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5\)

i) Set of ordered pairs:

The function f can be represented as a set of ordered pairs (x, f(x)).

f = \{(2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5)\}

ii) A table:

iii) An arrow diagram:

(An arrow diagram would show two ovals for sets A and B, with arrows connecting each element in A to its corresponding image in B.)

Set A: {2, 4, 6, 10, 12} -> Set B: {0, 1, 2, 4, 5, 9}

iv) A graph:

(A graph would plot the ordered pairs as points on a Cartesian plane.)

The points to be plotted are (2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), and (12, 5).

30. Find x if gff(x) = fgg(x), given f(x) = 3x + 1 and g(x) = x + 3.

Solution:

Given functions are \(f(x) = 3x + 1\) and \(g(x) = x + 3\).

We are given the condition \(g(f(f(x))) = f(g(g(x)))\).

Calculate the Left-Hand Side (LHS): gff(x)

First, find \(f(f(x))\):

\(f(f(x)) = f(3x + 1) = 3(3x + 1) + 1 = 9x + 3 + 1 = 9x + 4\)

Now, find \(g(f(f(x)))\):

\(g(9x + 4) = (9x + 4) + 3 = 9x + 7\)

Calculate the Right-Hand Side (RHS): fgg(x)

First, find \(g(g(x))\):

\(g(g(x)) = g(x + 3) = (x + 3) + 3 = x + 6\)

Now, find \(f(g(g(x)))\):

\(f(x + 6) = 3(x + 6) + 1 = 3x + 18 + 1 = 3x + 19\)

Equate LHS and RHS and solve for x:

\(9x + 7 = 3x + 19\)

\(9x - 3x = 19 - 7\)

\(6x = 12\)

\(x = \frac{12}{6} = 2\)

x = 2

31. If \(p_1^{x_1} \times p_2^{x_2} \times p_3^{x_3} \times p_4^{x_4} = 113400\) where \(p_1, p_2, p_3, p_4\) are prime numbers in ascending order. Find the values of \(p_1, p_2, p_3, p_4\) and \(x_1, x_2, x_3, x_4\).

Solution:

We need to find the prime factorization of 113400.

\(113400 = 1134 \times 100\)

\( = 1134 \times 10^2 = 1134 \times (2 \times 5)^2 = 1134 \times 2^2 \times 5^2\)

Now, factorize 1134:

\(1134 = 2 \times 567\)

\(567 = 9 \times 63 = 3^2 \times (9 \times 7) = 3^2 \times 3^2 \times 7 = 3^4 \times 7\)

Combine all the factors:

\(113400 = (2 \times 3^4 \times 7) \times 2^2 \times 5^2\)

\(113400 = 2^{1+2} \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1 = 2^3 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\)

The prime factors \(p_1, p_2, p_3, p_4\) in ascending order are 2, 3, 5, 7.

The corresponding exponents are \(x_1, x_2, x_3, x_4\).

By comparing \(2^3 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\) with \(p_1^{x_1} \times p_2^{x_2} \times p_3^{x_3} \times p_4^{x_4}\):

\(p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7\)
\(x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 2, x_4 = 1\)

32. Rekha has 15 square colour papers of sizes 10 cm, 11 cm, 12 cm, ..., 24 cm. How much area can be decorated with these colour papers?

Solution:

The sides of the square papers are 10 cm, 11 cm, ..., 24 cm.

The area of a square with side 's' is \(s^2\).

The total area is the sum of the areas of all the squares:

Total Area \( = 10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2\)

We use the formula for the sum of the squares of the first n natural numbers: \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

We can write the required sum as \((\sum_{k=1}^{24} k^2) - (\sum_{k=1}^{9} k^2)\).

Step 1: Calculate \(\sum_{k=1}^{24} k^2\)

\(\frac{24(24+1)(2 \times 24 + 1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 100 \times 49 = 4900\)

Step 2: Calculate \(\sum_{k=1}^{9} k^2\)

\(\frac{9(9+1)(2 \times 9 + 1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285\)

Step 3: Find the total area

Total Area = 4900 - 285 = 4615 cm².

The total area that can be decorated is 4615 cm².

33. In an A.P, sum of 4 consecutive terms is 28 and the sum of their squares is 276. Find the four numbers.

Solution:

Let the four consecutive terms of the A.P. be \(a-3d, a-d, a+d, a+3d\).

Condition 1: Sum of the terms is 28

\((a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 28\)

\(4a = 28 \implies a = 7\)

Condition 2: Sum of their squares is 276

\((a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 276\)

Expanding this: \((a^2 - 6ad + 9d^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 6ad + 9d^2) = 276\)

\(4a^2 + 20d^2 = 276\)

Substitute \(a = 7\):

\(4(7^2) + 20d^2 = 276\)

\(4(49) + 20d^2 = 276\)

\(196 + 20d^2 = 276\)

\(20d^2 = 276 - 196 = 80\)

\(d^2 = 4 \implies d = \pm 2\)

Case 1: d = 2

The terms are: \(7-3(2), 7-2, 7+2, 7+3(2) \implies 1, 5, 9, 13\)

Case 2: d = -2

The terms are: \(7-3(-2), 7-(-2), 7+(-2), 7+3(-2) \implies 13, 9, 5, 1\)

In both cases, the set of numbers is the same.

The four numbers are 1, 5, 9, 13.

34. If \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) is a perfect square, find the values of a and b.

Solution:

We use the long division method to find the square root.

The square root of the polynomial will be of the form \(px^2 + qx + r\).

\((px^2 + qx + r)^2 = p^2x^4 + 2pqx^3 + (q^2+2pr)x^2 + 2qrx + r^2\)

Comparing the coefficients with \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\):

• Coefficient of \(x^4\): \(p^2 = 9 \implies p=3\)
• Coefficient of \(x^3\): \(2pq = 12 \implies 2(3)q = 12 \implies 6q = 12 \implies q=2\)
• Coefficient of \(x^2\): \(q^2 + 2pr = 28 \implies (2)^2 + 2(3)r = 28 \implies 4 + 6r = 28 \implies 6r = 24 \implies r=4\)
• Coefficient of \(x\): \(a = 2qr \implies a = 2(2)(4) \implies a = 16\)
• Constant term: \(b = r^2 \implies b = 4^2 \implies b = 16\)

a = 16, b = 16

35. There are 12 pieces of five, ten and twenty rupee currencies whose total value is ₹105. When first 2 sorts are interchanged in their numbers its value will be increased by ₹20. Find the number of currencies in each sort.

Solution:

Let's define the variables for the number of currencies of each type:

• Let x be the number of five-rupee notes.
• Let y be the number of ten-rupee notes.
• Let z be the number of twenty-rupee notes.

From the problem statement, we can form three linear equations:

1. Total number of currencies is 12:

\(x + y + z = 12\) --- (1)

2. Total value of the currencies is ₹105:

\(5x + 10y + 20z = 105\)

Dividing the equation by 5 to simplify:

\(x + 2y + 4z = 21\) --- (2)

3. Value increases by ₹20 when the number of five and ten-rupee notes are interchanged:

The new value is \(5y + 10x + 20z\). This is equal to the original value plus 20.

\(5y + 10x + 20z = (5x + 10y + 20z) + 20\)

Simplifying the equation:

\(10x - 5x + 5y - 10y = 20\)

\(5x - 5y = 20\)

Dividing by 5:

\(x - y = 4 \implies x = y + 4\) --- (3)

Now, we solve the system of equations.

Substitute equation (3) into equation (1):

\((y + 4) + y + z = 12\)

\(2y + z = 8 \implies z = 8 - 2y\) --- (4)

Substitute equation (3) into equation (2):

\((y + 4) + 2y + 4z = 21\)

\(3y + 4z = 17\) --- (5)

Now, substitute equation (4) into equation (5):

\(3y + 4(8 - 2y) = 17\)

\(3y + 32 - 8y = 17\)

\(-5y = 17 - 32\)

\(-5y = -15 \implies y = 3\)

Find the values of x and z:

Using \(y=3\) in equation (3): \(x = 3 + 4 \implies x = 7\)

Using \(y=3\) in equation (4): \(z = 8 - 2(3) = 8 - 6 \implies z = 2\)

Number of five-rupee notes (x) = 7
Number of ten-rupee notes (y) = 3
Number of twenty-rupee notes (z) = 2

36. State and prove Basic Proportionality Theorem.

Solution:

In ∆ABC, D is a point on AB and E is a point on AC.

To prove: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)

Construction: Draw a line DE || BC

No.	Statement	Reason
1.	∠ABC = ∠ADE = ∠1	Corresponding angles are equal because DE || BC
2.	∠ACB = ∠AED = ∠2	Corresponding angles are equal because DE || BC
3.	∠DAE = ∠BAC = ∠3	Both triangles have a common angle
	∆ABC ~ ∆ADE	By AAA similarity
	\(\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}\)	Corresponding sides are proportional
	\(\frac{AD+DB}{AD} = \frac{AE+EC}{AE}\)	Split AB and AC using the points D and E.
	\(1 + \frac{DB}{AD} = 1 + \frac{EC}{AE}\)	On simplification
	\(\frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE}\)	Cancelling 1 on both sides
	\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)	Taking reciprocals. Hence proved.

Hence Proved.

37. Find the area of the quadrilateral formed by the points (8,6), (5,11), (-5,12) and (-4,3).

Solution:

Let the vertices be A(8,6), B(5,11), C(-5,12), and D(-4,3). The points are in counter-clockwise order.

The formula for the area of a quadrilateral with vertices \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)\) is:

Area \( = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|\)

Substituting the coordinates:

Area \( = \frac{1}{2} |((8)(11) + (5)(12) + (-5)(3) + (-4)(6)) - ((6)(5) + (11)(-5) + (12)(-4) + (3)(8))|\)

Area \( = \frac{1}{2} |(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)|\)

Area \( = \frac{1}{2} |(148 - 39) - (54 - 103)|\)

Area \( = \frac{1}{2} |109 - (-49)| = \frac{1}{2} |109 + 49| = \frac{1}{2} |158|\)

Area = 79 sq. units.

Area = 79 sq. units.

38. A cat is located at the point (-6,-4) in xy plane. A bottle of milk is kept at (5,11). The cat wishes to consume the milk travelling through shortest possible distance. Find the equation of the path it needs to take.

Solution:

The shortest path between two points is a straight line. We need to find the equation of the line passing through points A(-6, -4) and B(5, 11).

Using the two-point form of a linear equation: \(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)

Here, \((x_1, y_1) = (-6, -4)\) and \((x_2, y_2) = (5, 11)\).

\(\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)}\)

\(\frac{y + 4}{15} = \frac{x + 6}{11}\)

Cross-multiply:

\(11(y + 4) = 15(x + 6)\)

\(11y + 44 = 15x + 90\)

Rearrange into the standard form \(Ax + By + C = 0\):

\(15x - 11y + 90 - 44 = 0\)

\(15x - 11y + 46 = 0\)

The equation of the path is \(15x - 11y + 46 = 0\).

39. Let A(3,-4), B(9,-4), C(5,−7) and D(7,-7). Show that ABCD is a trapezium.

Solution:

A trapezium is a quadrilateral with exactly one pair of parallel sides. We can check this by calculating the slopes of the four sides.

Slope formula: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

• Slope of AB: \(m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9 - 3} = \frac{0}{6} = 0\).
• Slope of BC: \(m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5 - 9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\).
• Slope of CD: \(m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0\).
• Slope of DA: \(m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3 - 7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}\).

Comparing the slopes:

\(m_{AB} = m_{CD} = 0\), which means side AB is parallel to side CD.

\(m_{BC} \neq m_{DA}\), which means side BC is not parallel to side DA.

Since one pair of opposite sides is parallel, the quadrilateral ABCD is a trapezium.

Hence, ABCD is a trapezium.

40. Simplify: \(\frac{b^2+3b-28}{b^2+4b+4} + \frac{b^2-49}{b^2-5b-14}\)

Solution:

First, factorize all the quadratic expressions.

• \(b^2+3b-28 = (b+7)(b-4)\)
• \(b^2+4b+4 = (b+2)^2\)
• \(b^2-49 = (b-7)(b+7)\)
• \(b^2-5b-14 = (b-7)(b+2)\)

Substitute the factored forms back into the expression:

\(\frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)^2} + \frac{(b-7)(b+7)}{(b-7)(b+2)}\)

Simplify the second term by canceling \((b-7)\):

\(\frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)^2} + \frac{b+7}{b+2}\)

To add the fractions, find a common denominator, which is \((b+2)^2\).

\(\frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)^2} + \frac{(b+7)(b+2)}{(b+2)^2}\)

Combine the numerators over the common denominator:

\(\frac{(b+7)(b-4) + (b+7)(b+2)}{(b+2)^2}\)

Factor out the common term \((b+7)\) in the numerator:

\(\frac{(b+7)[(b-4) + (b+2)]}{(b+2)^2} = \frac{(b+7)(2b-2)}{(b+2)^2} = \frac{2(b+7)(b-1)}{(b+2)^2}\)

\(\frac{2(b+7)(b-1)}{(b+2)^2}\)

41. Prove the following identity. \(\frac{\sin^3 A + \cos^3 A}{\sin A + \cos A} + \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} = 2\)

Solution:

We use the algebraic identities for the sum and difference of cubes:

\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\)

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Applying these to the Left-Hand Side (LHS):

LHS = \(\frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A - \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A + \cos A} + \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A - \cos A}\)

Cancel the common factors in each term:

LHS = \((\sin^2 A - \sin A \cos A + \cos^2 A) + (\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)\)

Group the terms and use the Pythagorean identity \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\):

LHS = \((\sin^2 A + \cos^2 A) - \sin A \cos A + (\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin A \cos A\)

LHS = \((1) - \sin A \cos A + (1) + \sin A \cos A\)

LHS = \(1 + 1 = 2\)

Since LHS = RHS, the identity is proved.

Hence Proved.

Part - IV

42. Let A = The set of all natural numbers less than 8, B = The set of all prime numbers less than 8, C = The set of even prime numbers. Verify that \(A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)\).

Solution:

First, let's list the elements of each set:

• A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}
• B = \{2, 3, 5, 7\}
• C = \{2\} (since 2 is the only even prime number)

Calculate the Left-Hand Side (LHS): \(A \times (B - C)\)

First, find \(B - C\):

\(B - C = \{2, 3, 5, 7\} - \{2\} = \{3, 5, 7\}\)

Now, find \(A \times (B - C)\):

\(A \times \{3, 5, 7\} = \{(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)\}\)

Calculate the Right-Hand Side (RHS): \((A \times B) - (A \times C)\)

First, find \(A \times B\):

\(A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (2,2), ..., (7,7)\}\)

Next, find \(A \times C\):

\(A \times C = A \times \{2\} = \{(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)\}\)

Now, compute \((A \times B) - (A \times C)\). This means we take all elements from \(A \times B\) and remove the elements that are also in \(A \times C\). The elements to be removed are all ordered pairs where the second element is 2.

The remaining elements will be the ordered pairs from \(A \times B\) where the second element is 3, 5, or 7. This is exactly the set \(A \times \{3, 5, 7\}\).

Thus, \((A \times B) - (A \times C) = A \times \{3, 5, 7\}\).

Verification:

The set obtained for the LHS is identical to the set obtained for the RHS.

Hence, \(A \times (B - C) = (A \times B) - (A \times C)\) is verified.

43. a) Construct a triangle similar to a given triangle PQR with its sides equal to \(\frac{7}{3}\) of the corresponding sides of the triangle PQR (Scale factor \(\frac{7}{3} > 1\)).

Solution:

Since the scale factor is \(\frac{7}{3}\), which is greater than 1, the new triangle will be larger than the original triangle PQR.

Steps of Construction:

1. Draw a triangle PQR with any suitable measurements.
2. Draw a ray QX making an acute angle with QR, on the side opposite to vertex P.
3. Locate 7 points \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6, Q_7\) on the ray QX such that the distances between them are equal (\(QQ_1 = Q_1Q_2 = \dots = Q_6Q_7\)).
4. Join \(Q_3\) (the 3rd point, as 3 is the denominator) to R.
5. Draw a line through \(Q_7\) parallel to \(Q_3R\). This line will intersect the extended line segment QR at a point R'.
6. Draw a line through R' parallel to PR. This line will intersect the extended line segment QP at a point P'.
7. \(\triangle P'QR'\) is the required similar triangle, with each side being \(\frac{7}{3}\) times the corresponding side of \(\triangle PQR\).

43. b) Construct a triangle \(\triangle PQR\) such that QR = 5 cm, \(\angle P = 30^\circ\) and the altitude from P to QR is of length 4.2 cm.

Solution:

This construction involves using the concept that angles in the same segment of a circle are equal.

Steps of Construction:

1. Draw a line segment QR of length 5 cm.
2. At point Q, draw a line QE such that \(\angle RQE = 30^\circ\).
3. Draw a line QF perpendicular to QE at Q.
4. Draw the perpendicular bisector of the line segment QR. Let it intersect QR at G and the line QF at O.
5. With O as the center and OQ as the radius, draw a circle. This circle will pass through Q and R. The major segment QR contains the angle \(30^\circ\).
6. On the perpendicular bisector, mark a point M at a distance of 4.2 cm from QR.
7. Draw a line through M parallel to QR. This line will intersect the circle at two points, P and S.
8. Join PQ and PR (or SQ and SR). \(\triangle PQR\) is the required triangle.

44. a) A bus is travelling at a uniform speed of 50 km/hr. Draw the distance-time graph and hence find i) The constant of variation, ii) How far will it travel in 90 minutes?, iii) The time required to cover a distance of 300 km from the graph.

Solution:

Let x be the time in hours and y be the distance in km. The relationship is given by Distance = Speed \(\times\) Time, so \(y = 50x\). This is a case of direct variation.

Table of Values:

Time (x) in hours	1	2	3	4	5
Distance (y) in km	50	100	150	200	250

The graph is a straight line passing through the origin (0,0) and the points from the table.

From the graph and calculation:

i) The constant of variation (k): Since \(y = kx\), we have \(k = \frac{y}{x} = \frac{50}{1} = 50\). The constant of variation is 50 km/hr.

ii) How far will it travel in 90 minutes? 90 minutes = 1.5 hours. From the graph, at x = 1.5 hours, the corresponding y value is 75 km. (Calculation: \(y = 50 \times 1.5 = 75\) km).

iii) The time required to cover a distance of 300 km. From the graph, for a distance y = 300 km, the corresponding time x is 6 hours. (Calculation: \(300 = 50x \implies x = 6\) hours).

44. b) A school announces that for a certain competition, the cash price will be distributed for all the participants equally as shown below. i) Find the constant of variation, ii) Graph the above data and hence, find how much will each participant get if the number of participants are 12.

Solution:

Let X be the number of participants and y be the amount for each participant in Rs.

Data Table:

No. of Participants (X)	2	4	6	8	10
Amount for each (y)	180	90	60	45	36

Let's check the product \(X \times y\):
\(2 \times 180 = 360\); \(4 \times 90 = 360\); \(6 \times 60 = 360\); etc.
Since the product \(Xy\) is constant, this is an inverse variation, where \(Xy = k\).

i) Find the constant of variation (k):
The constant of variation is \(k = Xy = 360\).

ii) Graph and find the amount for 12 participants:
The graph will be a hyperbola representing the equation \(y = \frac{360}{X}\).

To find the amount for 12 participants (X=12), we can use the graph or the equation.
From the graph, when we locate X=12 on the x-axis, the corresponding point on the curve gives a y-value of 30.
Calculation: \(y = \frac{360}{12} = 30\).

If the number of participants is 12, each will get Rs. 30.