10th Maths - Quarterly Exam 2024 - Tamil Medium Original Question Paper | Salem District

10 ஆம் வகுப்பு கணிதம் - காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு 2024

சேலம் மாவட்டம் - விடைகளுடன்

காலம் : 3.00 மணி மதிப்பெண்கள் : 100

பகுதி - I (மதிப்பெண்கள்: 14)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதவும்.

1.

A = {1,2,3,4,5} லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

1. 3
2. 2
3. 4
4. 8

விடை: ஆ) 2

தீர்வு:

A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)}\).

கொடுக்கப்பட்டது, \(n(A) = 5\) மற்றும் உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

நமக்கு தெரியும், \(1024 = 2^{10}\).

எனவே, \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{10}\).

\(n(A) \times n(B) = 10\)

\(5 \times n(B) = 10\)

\(n(B) = \frac{10}{5} = 2\)

2.

(a, −1) மற்றும் (5, b) வரிசைச் சோடிகள் {(x, y) / y = 2x + 3} என்ற கணத்தைச் சாரும் எனில் a மற்றும் b ன் மதிப்புகள்

1. (-13, 2)
2. (2, 13)
3. (2, -13)
4. (-2, 13)

விடை: ஈ) (-2, 13)

தீர்வு:

உறவு \(y = 2x + 3\).

(a, -1) எனில், \(x=a, y=-1\).
\(-1 = 2a + 3 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2\).

(5, b) எனில், \(x=5, y=b\).
\(b = 2(5) + 3 \Rightarrow b = 10 + 3 \Rightarrow b = 13\).

எனவே, a = -2 மற்றும் b = 13.

3.

1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

1. 2025
2. 5220
3. 5025
4. 2520

விடை: ஈ) 2520

தீர்வு:

1 முதல் 10 வரையுள்ள எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

எண்கள்: 1, 2, 3, 4=2², 5, 6=2×3, 7, 8=2³, 9=3², 10=2×5.

மீ.சி.ம = \(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520\).

4.

ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் n வது உறுப்பு \(t_n\) எனில் \(t_{2n} - t_n\) என்பதின் மதிப்பு

1. nd
2. 2nd
3. 2d
4. 3nd

விடை: அ) nd

தீர்வு:

ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n-வது உறுப்பு, \(t_n = a + (n-1)d\).

\(t_{2n} = a + (2n-1)d\)

\(t_{2n} - t_n = [a + (2n-1)d] - [a + (n-1)d]\)

\(= a + 2nd - d - a - nd + d\)

\(= nd\)

5.

\(\sqrt{11}, \sqrt{55}, 5\sqrt{11}, 5\sqrt{55}, 25\sqrt{11},...\) என்ற தொடர் வரிசை குறிப்பது

1. கூட்டுத்தொடர் வரிசை மட்டும்
2. பெருக்குத்தொடர் வரிசை மட்டும்
3. கூட்டுத்தொடர் வரிசையுமல்ல பெருக்குத் தொடர் வரிசையுமல்ல
4. கூட்டுத்தொடர் வரிசை மற்றும் பெருக்குத் தொடர் வரிசை

விடை: ஆ) பெருக்குத்தொடர் வரிசை மட்டும்

தீர்வு:

பொது விகிதம் (r) காண்போம்:

\(r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{55}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{5 \times 11}}{\sqrt{11}} = \sqrt{5}\)

\(r = \frac{t_3}{t_2} = \frac{5\sqrt{11}}{\sqrt{55}} = \frac{5\sqrt{11}}{\sqrt{5}\sqrt{11}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\)

பொது விகிதம் \(r = \sqrt{5}\) மாறிலியாக இருப்பதால், இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை.

6.

\(x^2 - 2x - 24\) மற்றும் \(x^2 - kx - 6\) யின் மீ.பெ.வ. (x - 6) எனில் k யின் மதிப்பு

1. 3
2. 5
3. 6
4. 8

விடை: ஆ) 5

தீர்வு:

(x-6) என்பது \(x^2 - kx - 6\) இன் ஒரு காரணி என்பதால், P(x) = \(x^2 - kx - 6\) எனில் P(6) = 0.

\(P(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0\)

\(36 - 6k - 6 = 0\)

\(30 - 6k = 0 \Rightarrow 6k = 30 \Rightarrow k = 5\).

7.

\(x^4 + 64\) முழுவர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?

1. \(4x^2\)
2. \(16x^2\)
3. \(8x^2\)
4. \(-8x^2\)

விடை: ஆ) \(16x^2\)

தீர்வு:

\(x^4 + 64 = (x^2)^2 + (8)^2\).

முழு வர்க்கமாக மாற்ற, நாம் \(\pm 2ab\) ஐக் கூட்ட வேண்டும்.

இங்கு \(a = x^2, b = 8\). எனவே \(2ab = 2(x^2)(8) = 16x^2\).

\(x^4 + 16x^2 + 64 = (x^2 + 8)^2\).

எனவே, \(16x^2\) ஐக் கூட்ட வேண்டும்.

8.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 5 மற்றும் மூலங்களின் கூடுதல் 0 எனில் அதன் சமன்பாடு

1. \(x^2 - 5x = 0\)
2. \(x^2 - 5x + 5 = 0\)
3. \(x^2 - 25 = 0\)
4. \(x^2 - 5 = 0\)

விடை: இ) \(x^2 - 25 = 0\)

தீர்வு:

மூலங்கள் \(\alpha, \beta\). \(\alpha = 5\) என்க.

மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 5 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = -5\).

மூலங்களின் பெருக்கல் \(\alpha\beta = 5 \times (-5) = -25\).

சமன்பாடு: \(x^2 - (\text{மூலங்களின் கூடுதல்})x + (\text{மூலங்களின் பெருக்கல்}) = 0\)

\(x^2 - (0)x + (-25) = 0 \Rightarrow x^2 - 25 = 0\).

9.

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் \(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta PQR\) யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ. மற்றும் 24 செ.மீ. ஆகும். PQ = 10செ.மீ. எனில், AB - யின் நீளம்

1. \(6\frac{2}{3}\) செ.மீ.
2. \(\frac{10\sqrt{6}}{3}\) செ.மீ.
3. \(66\frac{2}{3}\) செ.மீ.
4. 15 செ.மீ.

விடை: ஈ) 15 செ.மீ.

தீர்வு:

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

\(\frac{\text{சுற்றளவு}(\Delta ABC)}{\text{சுற்றளவு}(\Delta PQR)} = \frac{AB}{PQ}\)

\(\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}\)

\(\frac{3}{2} = \frac{AB}{10} \Rightarrow AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15\) செ.மீ.

10.

\(\Delta ABC\) யில் AD ஆனது \(\angle BAC\) யின் இருசமவெட்டி. AB = 8 செ.மீ., BD = 6 செ.மீ. மற்றும் DC = 3 செ.மீ. எனில் பக்கம் AC யின் நீளம்

1. 6 செ.மீ.
2. 4 செ.மீ.
3. 3 செ.மீ.
4. 8 செ.மீ.

விடை: ஆ) 4 செ.மீ.

தீர்வு:

கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி,

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)

\(\frac{8}{AC} = \frac{6}{3}\)

\(\frac{8}{AC} = 2 \Rightarrow AC = \frac{8}{2} = 4\) செ.மீ.

11.

x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

1. x - அச்சுக்கு இணை
2. y - அச்சுக்கு இணை
3. ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்
4. (0, 11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

விடை: ஆ) y - அச்சுக்கு இணை

தீர்வு:

x = c என்ற வடிவில் உள்ள சமன்பாடு, y-அச்சுக்கு இணையாகவும், x-அச்சை (c, 0) என்ற புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு செங்குத்து கோட்டைக் குறிக்கும். இங்கு x = 11 என்பது y-அச்சுக்கு இணை.

12.

(5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில் p - யின் மதிப்பு

1. 3
2. 6
3. 9
4. 12

விடை: இ) 9

தீர்வு:

புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.

சாய்வு (5, 7), (3, p) = சாய்வு (3, p), (6, 6)

\(\frac{p-7}{3-5} = \frac{6-p}{6-3}\)

\(\frac{p-7}{-2} = \frac{6-p}{3}\)

\(3(p-7) = -2(6-p)\)

\(3p - 21 = -12 + 2p \Rightarrow p = 9\)

13.

(2, 1) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்

1. x - y - 3 = 0; 3x - y - 7 = 0
2. x + y = 3; 3x + y = 7
3. 3x + y = 3; x + y = 7
4. x + 3y - 3 = 0; x - y - 7 = 0

விடை: ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7

தீர்வு:

(2, 1) என்ற புள்ளியை ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் பிரதியிட்டு சரிபார்க்க வேண்டும்.

சாய்ஸ் (ஆ)-ஐ சோதிப்போம்:

x + y = 3 \(\Rightarrow\) 2 + 1 = 3 (சரி)

3x + y = 7 \(\Rightarrow\) 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7 (சரி)

எனவே, இதுவே சரியான விடை.

14.

\(5x = \sec\theta\) மற்றும் \(\frac{5}{y} = \tan\theta\) எனில் \(x^2 - \frac{1}{y^2}\) ன் மதிப்பு

1. 25
2. \(\frac{1}{25}\)
3. 5
4. 1

விடை: ஆ) \(\frac{1}{25}\)

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டது: \(x = \frac{\sec\theta}{5}\) மற்றும் \(\frac{1}{y} = \frac{\tan\theta}{5}\).

\(x^2 = \frac{\sec^2\theta}{25}\) and \(\frac{1}{y^2} = \frac{\tan^2\theta}{25}\).

\(x^2 - \frac{1}{y^2} = \frac{\sec^2\theta}{25} - \frac{\tan^2\theta}{25} = \frac{\sec^2\theta - \tan^2\theta}{25}\).

நமக்கு தெரியும், \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\).

எனவே, மதிப்பு = \(\frac{1}{25}\).

பகுதி - II (மதிப்பெண்கள்: 20)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண். 28 க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

15.

R என்ற ஒரு உறவு \(\{(x,y) / y = x + 3, x \in \{0,1,2,3,4,5\}\}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட உறவு: \(y = x + 3, x \in \{0,1,2,3,4,5\}\).

மதிப்பகம் (Domain): x-ன் மதிப்புகளின் கணம்.
மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

வீச்சகம் (Range): y-ன் மதிப்புகளின் கணம்.

• x=0 எனில், y=0+3=3
• x=1 எனில், y=1+3=4
• x=2 எனில், y=2+3=5
• x=3 எனில், y=3+3=6
• x=4 எனில், y=4+3=7
• x=5 எனில், y=5+3=8

வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

16.

f ஆனது R - லிருந்து R - க்கு ஆன சார்பு மேலும் அது f(x)=3x- 5 என வரையறுக்கப்படுகிறது (a, 4) மற்றும் (1, b) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் a மற்றும் b யின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு f(x) = 3x - 5.

(a, 4) சார்பின் உறுப்பு என்பதால், f(a) = 4.

\(3a - 5 = 4 \Rightarrow 3a = 9 \Rightarrow a = 3\).

(1, b) சார்பின் உறுப்பு என்பதால், f(1) = b.

\(b = 3(1) - 5 \Rightarrow b = 3 - 5 \Rightarrow b = -2\).

ஆகவே, a = 3, b = -2.

17.

\(f(x) = x^2 - 1, g(x) = x - 2\) மற்றும் \(gof(a) = 1\) எனில், a - ஐக் காண்க.

தீர்வு:

\(gof(a) = g(f(a))\)

\(f(a) = a^2 - 1\)

\(g(f(a)) = g(a^2 - 1) = (a^2 - 1) - 2 = a^2 - 3\)

கொடுக்கப்பட்டது, \(gof(a) = 1\).

\(a^2 - 3 = 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2\).

18.

தீர்க்க. \(5x \equiv 4 \pmod{6}\)

தீர்வு:

\(5x \equiv 4 \pmod{6}\) என்பதை \(5x - 4 = 6k\) என எழுதலாம், இங்கு k ஒரு முழு எண்.

\(5x = 6k + 4\).

x-க்கு முழு எண் மதிப்புகளை பிரதியிட்டு சரிபார்க்கலாம்.

x=2 எனில், \(5(2) = 10\). \(10 \pmod{6}\) என்பது \(10 = 1 \times 6 + 4\) என்பதால், மீதி 4 ஆகும்.

எனவே, x = 2 ஒரு தீர்வு.

பொதுவான தீர்வு: \(x \equiv 2 \pmod{6}\)

19.

729, 243, 81, ......... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 7 – வது உறுப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத் தொடர் வரிசை (GP): 729, 243, 81, ...

முதல் உறுப்பு, \( a = 729 \)

பொது விகிதம், \( r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{243}{729} = \frac{1}{3} \)

n-வது உறுப்பிற்கான சூத்திரம்: \( t_n = a \cdot r^{n-1} \)

7-வது உறுப்பைக் காண, n = 7 எனப் பிரதியிட வேண்டும்.

\( t_7 = 729 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{7-1} = 729 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6 \)

நமக்குத் தெரியும், \( 729 = 3^6 \)

\( t_7 = 3^6 \times \frac{1}{3^6} = 1 \)

எனவே, 7-வது உறுப்பு 1 ஆகும்.

20.

\( 1+2+3 + ............... + k = 325 \) எனில் \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ............... + k^3 \) ன் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டது: \( 1+2+3 + ... + k = \sum k = 325 \)

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது: \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \sum k^3 \)

முதல் n இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்:

\( \sum k^3 = \left( \sum k \right)^2 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 \)

சூத்திரத்தின்படி, \( \sum k^3 = (1+2+3+...+k)^2 \)

எனவே, \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (325)^2 \)

\( 325^2 = 325 \times 325 = 105625 \)

மதிப்பு 105625 ஆகும்.

21.

\( \frac{t}{t^2 - 5t + 6} \) என்ற கோவைக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

ஒரு விகிதமுறு கோவையின் மதிப்பு, அதன் பகுதி பூச்சியமாகும் போது வரையறுக்கப்படாது. எனவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்பைக் காண, பகுதியை பூச்சியத்திற்கு சமப்படுத்த வேண்டும்.

பகுதி: \( t^2 - 5t + 6 = 0 \)

காரணிப்படுத்த:

\( (t - 2)(t - 3) = 0 \)

இதிலிருந்து, \( t - 2 = 0 \) அல்லது \( t - 3 = 0 \)

எனவே, \( t = 2 \) அல்லது \( t = 3 \)

ஆகவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 2 மற்றும் 3 ஆகும்.

22.

கூட்டுக. \( \frac{x^3}{x-y} + \frac{y^3}{y-x} \)

தீர்வு:

\( \frac{x^3}{x-y} + \frac{y^3}{y-x} \)

இரண்டாவது பின்னத்தின் பகுதியை \( y-x = -(x-y) \) என மாற்றியமைப்போம்.

\( = \frac{x^3}{x-y} + \frac{y^3}{-(x-y)} = \frac{x^3}{x-y} - \frac{y^3}{x-y} \)

பகுதிகள் சமமாக இருப்பதால், தொகுதிகளைக் கழிக்கலாம்.

\( = \frac{x^3 - y^3}{x-y} \)

கனங்களின் வித்தியாசத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \).

\( = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x-y} \)

\( = x^2 + xy + y^2 \)

விடை: \( x^2 + xy + y^2 \)

23.

\( 15x^2 + 11x + 2 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \( 15x^2 + 11x + 2 = 0 \).

இதை \( ax^2 + bx + c = 0 \) உடன் ஒப்பிடும்போது, \( a=15, b=11, c=2 \).

மூலங்களின் தன்மையை அறிய, தன்மைக்காட்டி (Discriminant) \( \Delta = b^2 - 4ac \) ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.

\( \Delta = (11)^2 - 4(15)(2) \)

\( \Delta = 121 - 120 = 1 \)

இங்கு \( \Delta = 1 > 0 \). மேலும், இது ஒரு முழு வர்க்க எண்.

எனவே, மூலங்கள் மெய், சமமற்றவை மற்றும் விகிதமுறு எண்களாகும்.

24.

\( \Delta ABC \) ஆனது \( \Delta DEF \) க்கு வடிவொத்தவை மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ. மற்றும் முக்கோணம் ABC யின் பரப்பு = 54செ.மீ\(^2\) எனில் \( \Delta DEF \) யின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

\( \frac{\text{பரப்பு}(\Delta ABC)}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2 \)

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:

\( \frac{54}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \)

\( \text{பரப்பு}(\Delta DEF) = \frac{54 \times 16}{9} \)

\( \text{பரப்பு}(\Delta DEF) = 6 \times 16 = 96 \)

\( \Delta DEF \)-ன் பரப்பு 96 செ.மீ\(^2\) ஆகும்.

25.

(6, 1) மற்றும் (-3, 2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

தீர்வு:

புள்ளிகள் \( (x_1, y_1) = (6, 1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) = (-3, 2) \).

சாய்வு (m) காணும் சூத்திரம்:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( m = \frac{2 - 1}{-3 - 6} = \frac{1}{-9} \)

சாய்வு \( m = -\frac{1}{9} \) ஆகும்.

26.

\( x - 2y + 3 = 0, 6x + 3y + 8 = 0 \) ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டுக.

தீர்வு:

இரு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்க நிபந்தனை \( m_1 \times m_2 = -1 \), இங்கு \( m_1, m_2 \) என்பன கோடுகளின் சாய்வுகள்.

முதல் கோடு: \( x - 2y + 3 = 0 \)

\( 2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \). இதன் சாய்வு \( m_1 = \frac{1}{2} \).

இரண்டாவது கோடு: \( 6x + 3y + 8 = 0 \)

\( 3y = -6x - 8 \Rightarrow y = -2x - \frac{8}{3} \). இதன் சாய்வு \( m_2 = -2 \).

சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன்:

\( m_1 \times m_2 = \left(\frac{1}{2}\right) \times (-2) = -1 \)

நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுவதால், கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.

27.

நிரூபிக்க: \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta \)

தீர்வு:

இடது பக்கம் (LHS) எடுத்துக்கொள்வோம்:

LHS = \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} \)

பகுதியின் இணையால் (conjugate) தொகுதி மற்றும் பகுதியை வர்க்கமூலத்திற்குள் பெருக்குவோம்.

LHS = \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \times \frac{1+\sin\theta}{1+\sin\theta}} \)

LHS = \( \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1^2 - \sin^2\theta}} \)

முக்கோணவியல் முற்றொருமை \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \Rightarrow 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta \) ஐப் பயன்படுத்துக.

LHS = \( \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} \)

வர்க்கமூலம் எடுக்க:

LHS = \( \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} \)

பின்னத்தை பிரித்து எழுத:

LHS = \( \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)

நமக்குத் தெரியும், \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \) மற்றும் \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \).

LHS = \( \sec\theta + \tan\theta \) = RHS (வலது பக்கம்)

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

28.

(1, 2) என்ற புள்ளியின் வழிச் செல்வதும் - 4ஐ சாய்வாக உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு: (கட்டாய வினா)

புள்ளி \((x_1, y_1) = (1, 2)\) மற்றும் சாய்வு \(m = -4\).

புள்ளி-சாய்வு வடிவ சமன்பாடு: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

\(y - 2 = -4(x - 1)\)

\(y - 2 = -4x + 4\)

\(4x + y - 2 - 4 = 0\)

தேவையான சமன்பாடு: \(4x + y - 6 = 0\).

பகுதி - III (மதிப்பெண்கள்: 50)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண். 42 க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

29.

\(A = \{x \in W | x < 2\}, B = \{x \in N | 1 < x \le 4\}\) மற்றும் \(C = \{3,5\}\) எனில், \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்பதை சரிபார்க்க.

தீர்வு:

கணங்களை பட்டியலிடுவோம்:

\(A = \{0, 1\}\) (W - முழு எண்கள்)

\(B = \{2, 3, 4\}\) (N - இயல் எண்கள்)

\(C = \{3, 5\}\)

LHS: \(A \times (B \cap C)\)

\(B \cap C = \{3\}\)

\(A \times (B \cap C) = \{0, 1\} \times \{3\} = \{(0,3), (1,3)\}\) ---(1)

RHS: \((A \times B) \cap (A \times C)\)

\(A \times B = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}\)

\(A \times C = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}\)

\((A \times B) \cap (A \times C) = \{(0,3), (1,3)\}\) ---(2)

(1) மற்றும் (2)-இலிருந்து, LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.

30.

f:A→B என்ற சார்பானது \( f(x) = \frac{x}{2} - 1 \) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2,4,6,10,12}, B = {0,1,2,4,5,9} ஆக இருக்கும்போது சார்பு f - ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க. i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் ii) அட்டவணை iii) அம்புக்குறிப்படம் iv) வரைபடம்.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு: \( f(x) = \frac{x}{2} - 1 \)

A = {2, 4, 6, 10, 12} -ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் f(x)-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.

• f(2) = \( \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \)
• f(4) = \( \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 \)
• f(6) = \( \frac{6}{2} - 1 = 3 - 1 = 2 \)
• f(10) = \( \frac{10}{2} - 1 = 5 - 1 = 4 \)
• f(12) = \( \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5 \)

i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

f = { (2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5) }

ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

iii) அம்புக்குறிப்படம்:

A → B

2 → 0

4 → 1

6 → 2

10 → 4

12 → 5

(குறிப்பு: வரைபடத்தில் A மற்றும் B கணங்களை வட்டமிட்டு அம்புக்குறிகளால் இணைத்துக் காட்ட வேண்டும்.)

iv) வரைபடம்:

x-அச்சில் A-ன் உறுப்புகளையும், y-அச்சில் f(x)-ன் மதிப்புகளையும் கொண்டு புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.

குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள்: (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5).

31.

\( f(x) = x^2, g(x) = 3x \) மற்றும் \( h(x) = x - 2 \) எனில், \( (fog)oh = fo(goh) \) என நிறுவுக.

தீர்வு:

LHS = (fog)oh

முதலில், \( fog(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( fog(x) = f(g(x)) = f(3x) = (3x)^2 = 9x^2 \)

இப்போது, \( (fog)oh(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( (fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(x-2) \)

\( = 9(x-2)^2 \) --- (1)

RHS = fo(goh)

முதலில், \( goh(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( goh(x) = g(h(x)) = g(x-2) = 3(x-2) \)

இப்போது, \( fo(goh)(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(3(x-2)) \)

\( = (3(x-2))^2 = 9(x-2)^2 \) --- (2)

(1) மற்றும் (2) -லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, \( (fog)oh = fo(goh) \) என நிறுவப்பட்டது.

32.

ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் 13-வது உறுப்பு 3 மற்றும் முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல் 234 எனில், கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் பொது வித்தியாசம் மற்றும் முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

முதல் உறுப்பு 'a', பொது வித்தியாசம் 'd' என்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

13-வது உறுப்பு, \( t_{13} = a + 12d = 3 \) --- (1)

முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல், \( S_{13} = 234 \)

கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \), இங்கு l என்பது கடைசி உறுப்பு.

\( S_{13} = \frac{13}{2}(a + t_{13}) = 234 \)

\( \frac{13}{2}(a + 3) = 234 \)

\( a + 3 = \frac{234 \times 2}{13} = 18 \times 2 = 36 \)

\( a = 36 - 3 = 33 \)

a=33 என (1)-ல் பிரதியிட:

\( 33 + 12d = 3 \Rightarrow 12d = 3 - 33 = -30 \)

\( d = \frac{-30}{12} = -\frac{5}{2} \)

இப்போது, முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் \( S_{21} \) காண்போம்.

சூத்திரம்: \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \)

\( S_{21} = \frac{21}{2}[2(33) + (21-1)(-\frac{5}{2})] \)

\( S_{21} = \frac{21}{2}[66 + 20(-\frac{5}{2})] = \frac{21}{2}[66 - 50] = \frac{21}{2}(16) = 21 \times 8 = 168 \)

பொது வித்தியாசம் = -5/2, முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் = 168.

33.

3 + 33 + 333 + ......... n உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

\( S_n = 3 + 33 + 333 + ... + n \) உறுப்புகள்

\( S_n = 3(1 + 11 + 111 + ...) \)

9-ஆல் பெருக்கி வகுக்க:

\( S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + ...) \)

\( S_n = \frac{1}{3}[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + ...] \)

\( S_n = \frac{1}{3}[(10+10^2+10^3+...) - (1+1+1+...)] \)

முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP), \(a=10, r=10\).

GP-யின் கூடுதல்: \( S_{GP} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{10(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n - 1) \)

இரண்டாம் பகுதி: \( (1+1+1+...) = n \)

\( S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10}{9}(10^n - 1) - n\right] \)

\( S_n = \frac{10}{27}(10^n - 1) - \frac{n}{3} \)

34.

ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ரூ. 105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ரூ. 20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன?

தீர்வு:

₹5, ₹10, ₹20 நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை முறையே x, y, z என்க.

மொத்த எண்ணிக்கை: \( x + y + z = 12 \) --- (1)

மொத்த மதிப்பு: \( 5x + 10y + 20z = 105 \). (5-ஆல் வகுக்க)

\( x + 2y + 4z = 21 \) --- (2)

இடமாற்றம் செய்தபின் புதிய மதிப்பு: \( 10x + 5y + 20z = 105 + 20 = 125 \). (5-ஆல் வகுக்க)

\( 2x + y + 4z = 25 \) --- (3)

சமன்பாடு (2) - (1):

\( (x + 2y + 4z) - (x + y + z) = 21 - 12 \Rightarrow y + 3z = 9 \) --- (4)

சமன்பாடு (3) - 2 \(\times\) (1):

\( (2x + y + 4z) - 2(x + y + z) = 25 - 2(12) \)

\( 2x + y + 4z - 2x - 2y - 2z = 25 - 24 \Rightarrow -y + 2z = 1 \) --- (5)

சமன்பாடு (4) + (5):

\( (y + 3z) + (-y + 2z) = 9 + 1 \Rightarrow 5z = 10 \Rightarrow z = 2 \)

z=2 என (4)-ல் பிரதியிட: \( y + 3(2) = 9 \Rightarrow y = 3 \)

y=3, z=2 என (1)-ல் பிரதியிட: \( x + 3 + 2 = 12 \Rightarrow x = 7 \)

₹5 நோட்டுகள் = 7, ₹10 நோட்டுகள் = 3, ₹20 நோட்டுகள் = 2.

35.

\( 37x^2 - 28x^3 + 4x^4 + 42x + 9 \) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கமூலம் காண்க.

தீர்வு:

பல்லுறுப்புக்கோவையை திட்ட வடிவில் எழுத: \( 4x^4 - 28x^3 + 37x^2 + 42x + 9 \).

நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி வர்க்கமூலம் காணலாம்.

1. \( \sqrt{4x^4} = 2x^2 \)

2. \( (2x^2) \times 2 = 4x^2 \). அடுத்த உறுப்பு: \( \frac{-28x^3}{4x^2} = -7x \).

3. \( (2x^2 - 7x) \times 2 = 4x^2 - 14x \). அடுத்த உறுப்பு: \( \frac{-12x^2}{4x^2} = -3 \).

(விரிவான நீள் வகுத்தல் படிநிலைகள் மாணவர்கள் தேர்வில் காட்ட வேண்டும்)

வர்க்கமூலம் \( = 2x^2 - 7x - 3 \).

விடை: \( |2x^2 - 7x - 3| \)

36.

\( x^2 + 6x - 4 = 0 \)-யின் மூலங்கள் \( \alpha, \beta \) எனில் \( \alpha^2 \) மற்றும் \( \beta^2 \) ஐ மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \( x^2 + 6x - 4 = 0 \).

மூலங்களின் கூடுதல்: \( \alpha + \beta = -6 \)

மூலங்களின் பெருக்கல்: \( \alpha\beta = -4 \)

புதிய மூலங்கள் \( \alpha^2 \) மற்றும் \( \beta^2 \).

புதிய மூலங்களின் கூடுதல்:

\( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \)

\( = (-6)^2 - 2(-4) = 36 + 8 = 44 \)

புதிய மூலங்களின் பெருக்கல்:

\( \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-4)^2 = 16 \)

தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு:

\( x^2 - (\text{புதிய மூலங்களின் கூடுதல்})x + (\text{புதிய மூலங்களின் பெருக்கல்}) = 0 \)

\( x^2 - 44x + 16 = 0 \)

37.

அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தீர்வு:

38.

(8, 6), (5, 11), (-5, 12) மற்றும் (-4, 3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

புள்ளிகள் A(8, 6), B(5, 11), C(-5, 12), D(-4, 3).

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right| \)

= \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 5 & -5 & -4 & 8 \\ 6 & 11 & 12 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \)

= \( \frac{1}{2} |((8)(11)+(5)(12)+(-5)(3)+(-4)(6)) - ((6)(5)+(11)(-5)+(12)(-4)+(3)(8))| \)

= \( \frac{1}{2} |(88+60-15-24) - (30-55-48+24)| \)

= \( \frac{1}{2} |(148 - 39) - (54 - 103)| \)

= \( \frac{1}{2} |109 - (-49)| = \frac{1}{2} |109+49| = \frac{1}{2}(158) = 79 \)

பரப்பு = 79 சதுர அலகுகள்.

39.

(1, – 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், வெட்டுத் துண்டுகளின் விகிதம் 2 : 5 உடையதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் a : b = 2 : 5. எனவே a=2k, b=5k.

சமன்பாடு: \( \frac{x}{2k} + \frac{y}{5k} = 1 \)

இது (1, -4) வழிச் செல்கிறது:

\( \frac{1}{2k} + \frac{-4}{5k} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2k} - \frac{4}{5k} = 1 \)

\( \frac{5 - 8}{10k} = 1 \Rightarrow \frac{-3}{10k} = 1 \Rightarrow 10k = -3 \Rightarrow k = -\frac{3}{10} \)

எனவே, a = 2k = -6/10 = -3/5 மற்றும் b = 5k = -15/10 = -3/2.

சமன்பாட்டில் பிரதியிட: \( \frac{x}{-3/5} + \frac{y}{-3/2} = 1 \)

\( -\frac{5x}{3} - \frac{2y}{3} = 1 \Rightarrow -5x - 2y = 3 \)

\( 5x + 2y + 3 = 0 \)

40.

A(−4, 2) மற்றும் B(6, -4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

1. AB-யின் மையப்புள்ளி (M) காண்க:

\( M = \left(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1, -1) \)

2. AB-யின் சாய்வு காண்க:

\( m_{AB} = \frac{-4 - 2}{6 - (-4)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} \)

3. குத்துக்கோட்டின் சாய்வு காண்க:

\( m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3} \)

4. குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு காண்க:

புள்ளி M(1, -1) மற்றும் சாய்வு m = 5/3.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-1) = \frac{5}{3}(x - 1) \)

\( 3(y+1) = 5(x-1) \Rightarrow 3y + 3 = 5x - 5 \)

\( 5x - 3y - 8 = 0 \)

41.

\( \cot\theta + \tan\theta = x \) மற்றும் \( \sec\theta - \cos\theta = y \) எனில், \( (x^2y)^{2/3} - (xy^2)^{2/3} = 1 \) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு:

முதலில் x மற்றும் y-ஐ சுருக்குவோம்:

\( x = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} \)

\( y = \frac{1}{\cos\theta} - \cos\theta = \frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \)

இப்போது \( x^2y \)-ஐக் கணக்கிடுவோம்:

\( x^2y = \left(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right)^2 \left(\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right) = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta} \cdot \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos^3\theta} = \sec^3\theta \)

இப்போது \( xy^2 \)-ஐக் கணக்கிடுவோம்:

\( xy^2 = \left(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right) \left(\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} \cdot \frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^3\theta}{\cos^3\theta} = \tan^3\theta \)

இப்போது, கொடுக்கப்பட்ட கோவையில் பிரதியிட:

LHS = \( (x^2y)^{2/3} - (xy^2)^{2/3} \)

= \( (\sec^3\theta)^{2/3} - (\tan^3\theta)^{2/3} \)

= \( \sec^2\theta - \tan^2\theta \)

முக்கோணவியல் முற்றொருமையின்படி, \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \).

LHS = 1 = RHS.

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

42.

சுவாதி என்பவர் 9செ.மீ., 10 செ.மீ. 11 செ.மீ,.......... 23 செ.மீ. என்ற வெவ்வேறு அளவுகளுடைய 15 கனச் சதுர பனிக்கட்டிகளை பழரசம் தயாரிக்க பயன்படுத்தினால், அவர் பயன்படுத்திய 15 கனச்சதுர பனிக்கட்டிகளின் கன அளவைக் காண்க.

தீர்வு: (கட்டாய வினா)

பனிக்கட்டிகளின் பக்க அளவுகள்: 9 செ.மீ, 10 செ.மீ, ..., 23 செ.மீ.

மொத்த கன அளவு = \(9^3 + 10^3 + ... + 23^3\)

இதை \((1^3 + 2^3 + ... + 23^3) - (1^3 + 2^3 + ... + 8^3)\) என எழுதலாம்.

சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)

\(1^3 + ... + 23^3 = \left[\frac{23(23+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{23 \times 24}{2}\right]^2 = (23 \times 12)^2 = 276^2 = 76176\)

\(1^3 + ... + 8^3 = \left[\frac{8(8+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{8 \times 9}{2}\right]^2 = (36)^2 = 1296\)

மொத்த கன அளவு = \(76176 - 1296 = 74880\) கன செ.மீ.

பகுதி - IV (மதிப்பெண்கள்: 16)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி.

43.

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{6}{5}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அல்லது) QR = 5 செ.மீ. \(\angle P = 30^\circ\), மற்றும் P - யிலிருந்து QR - க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ. கொண்ட \(\Delta PQR\) வரைக.

தீர்வு:

வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி > 1):

1. ஏதேனும் ஓர் முக்கோணம் \(\Delta ABC\) வரைக.
2. BC என்ற கோட்டுத்துண்டில், B-யிலிருந்து ஒரு குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை வரைக.
3. BX-ல் \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6\) என 6 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக.
4. \(B_5\) மற்றும் C-ஐ இணைக்க.
5. \(B_6\)-லிருந்து \(B_5C\)-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது BC-யின் நீட்சியை C' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. C'-லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது BA-யின் நீட்சியை A' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. \(\Delta A'BC'\) என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(அல்லது) \(\Delta PQR\) வரைதல்:

1. QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-ல் \(\angle RQX = 30^\circ\) என இருக்குமாறு QX வரைக.
3. Q-ல் \(QY \perp QX\) வரைக.
4. QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
5. மையக்குத்துக்கோடு, QY-ஐ O-வில் சந்திக்கட்டும்.
6. O-வை மையமாகவும், OQ-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
7. M-லிருந்து 4.2 செ.மீ உயரத்திற்கு ஒரு கோடு வரைந்து, அது வட்டத்தை P மற்றும் P' இல் வெட்டுமாறு வரைக.
8. PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்க. \(\Delta PQR\) என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44.

அ) ஒரு பேருந்து 50 கி.மீ. / மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொடர்புக்கான தூரம் - நேரம் வரைபடம் வரைந்து பின்வருவனவற்றைக் காண்க. i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க. ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு? iii) 300 கி.மீ. தூரத்தை பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? (அல்லது) ஆ) ஒரு தொட்டியை நிரப்பத் தேவையான குழாய்களின் எண்ணிக்கையும் அவை எடுத்துக் கொள்ளும் நேரமும் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதற்கான வரைபடம் வரைந்து i) 5 குழாய்களை பயன்படுத்தினால் தொட்டி நிரம்ப எடுத்துக்கொள்ளும் நேரத்தைக் காண்க. ii) 9 நிமிடங்களில் தொட்டி நிரம்பினால் பயன்படுத்தப்பட்ட குழாய்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

அ) நேர் மாறுபாடு வரைபடம்:

வேகம் = 50 கி.மீ/மணி. தூரம் (y) = வேகம் \(\times\) நேரம் (x). எனவே \(y = 50x\).

i) விகிதசம மாறிலி (k): \(k = 50\).

அட்டவணை:

நேரம் x (மணி)	1	2	3	4
தூரம் y (கி.மீ)	50	100	150	200

இந்த புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து, ஆதிப்புள்ளி வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்க்கோட்டை வரைய வேண்டும்.

ii) 90 நிமிடங்கள் (1.5 மணி) பயணிக்கும் தூரம்: வரைபடத்தில் x=1.5 எனும்போது y=75 கி.மீ. கிடைக்கும்.

iii) 300 கி.மீ பயணிக்க ஆகும் நேரம்: வரைபடத்தில் y=300 எனும்போது x=6 மணி நேரம் கிடைக்கும்.

ஆ) எதிர் மாறுபாடு வரைபடம்:

கொடுக்கப்பட்ட தரவு: \(xy = k\).
\(2 \times 45 = 90, 3 \times 30 = 90\), ... எனவே \(k=90\).

அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (2,45), (3,30), (6,15), (9,10) குறித்து ஒரு வளைவரை (hyperbola) வரைய வேண்டும்.

i) 5 குழாய்கள் எனில் நேரம்: \(5 \times y = 90 \Rightarrow y = 18\) நிமிடங்கள். வரைபடத்திலிருந்தும் இதைக் காணலாம்.

ii) 9 நிமிடங்களில் நிரம்பினால் குழாய்கள்: \(x \times 9 = 90 \Rightarrow x = 10\) குழாய்கள். வரைபடத்திலிருந்தும் இதைக் காணலாம்.

10th Science Quarterly Exam Question Paper with Answers 2024 - Krishnagiri District | Tamil Medium

10th Science Quarterly Exam 2024
வினாத்தாள் மற்றும் விடைகள்

கிருஷ்ணகிரி மாவட்டம் - தமிழ் வழி

பகுதி - I (சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடு)

1. கணத்தாக்கு கீழ்கண்டவற்றுள் எதற்குச் சமமானது?

அ) உந்த மாற்று வீதம் ஆ) விசை மற்றும் காலமாற்ற வீதம் இ) உந்த மாற்றம் ஈ) நிறை வீத மாற்றம்

விடை: இ) உந்த மாற்றம்

2. ஒரு லென்சின் திறன் - 4D எனில் அதன் குவியத் தொலைவு

அ) 4 மீ ஆ) - 40 மீ இ) -0.25 மீ ஈ) -2.5 மீ

விடை: இ) -0.25 மீ
தீர்வு: f = 1/P = 1/(-4) = -0.25 மீ

3. கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் வெப்ப ஆற்றல் பரவும் திசைகள்

அ) A→B, A→C, B→C ஆ) C→A, C→B, B→A (A←B, A←C, B←C) இ) A→B, A→C, B←C ஈ) A←B, A←C, B→C

விடை: ஆ) C→A, C→B, B→A
விளக்கம்: வெப்பம் அதிக வெப்பநிலையிலிருந்து (305 K) குறைந்த வெப்பநிலையை (303 K) நோக்கிப் பாயும்.

4. கிலோ வாட் மணி என்பது எதனுடைய அலகு?

அ) மின்தடை எண் ஆ) மின் கடத்து திறன் இ) மின் ஆற்றல் ஈ) மின் திறன்

விடை: இ) மின் ஆற்றல்

5. நீரற்ற கரைசலை அடையாளம் காண்க

அ) நீரில் கரைக்கப்பட்ட உப்பு ஆ) நீரில் கரைக்கப்பட்ட குளுக்கோஸ் இ) நீரில் கரைக்கப்பட்ட காப்பர் சல்பேட் ஈ) கார்பன் டை சல்பைடில் கரைக்கப்பட்ட சல்பர்

விடை: ஈ) கார்பன் டை சல்பைடில் கரைக்கப்பட்ட சல்பர்

6. ஆக்சிஜனின் கிராம் மூலக்கூறு நிறை

அ) 16 கி ஆ) 18 கி இ) 32 கி ஈ) 17 கி

விடை: இ) 32 கி
விளக்கம்: ஆக்சிஜன் மூலக்கூறு (O₂) = 2 x 16 = 32 கி.

7. மெல்லிய படலமாக துத்தநாக படிவை பிற உலோகத்தின் மீது ஏற்படுத்தும் நிகழ்வு .......... எனப்படும்

அ) வர்ணம் பூசுதல் ஆ) நாகமுலாமிடல் இ) மின்மூலம் பூசுதல் ஈ) மெல்லியதாக்கல்

விடை: ஆ) நாகமுலாமிடல்

8. மலரின் இன்றியமையாத பாகங்கள்

அ) புல்லி வட்டம், அல்லி வட்டம் ஆ) புல்லிவட்டம், மகரந்தத்தாள் வட்டம் இ) அல்லி வட்டம், சூலக வட்டம் ஈ) மகரந்தத்தாள் வட்டம், சூலக வட்டம்

விடை: ஈ) மகரந்தத்தாள் வட்டம், சூலக வட்டம்

9. கீழுள்ளவற்றுள் எது நாளமுள்ளச் சுரப்பியாகவும் நாளமில்லாச் சுரப்பியாகவும் செயல்படுகிறது?

அ) கணையம் ஆ) சிறுநீரகம் இ) கல்லீரல் ஈ) நுரையீரல்

விடை: அ) கணையம்

10. ரேன்வீர் கணுக்கள் காணப்படும் இடம்

அ) தசைகள் ஆ) ஆக்சான்கள் இ) டென்ட்ரைட்டுகள் ஈ) சைட்டான்

விடை: ஆ) ஆக்சான்கள்

11. வேர்த் தூவிகளானது ஒரு

அ) புறணி செல்லாகும் ஆ) புறத்தோலின் நீட்சியாகும் இ) ஒரு செல் அமைப்பாகும் ஈ) ஆ மற்றும் இ

விடை: ஆ) புறத்தோலின் நீட்சியாகும்

12. கிரப் சுழற்சி இங்கு நடைபெறுகிறது

அ) பசுங்கணிகம் ஆ) மைட்டோகாண்ட்ரியாவின் உட்பகுதி (மேட்ரிக்ஸ்) இ) புறத்தோல் துளை ஈ) மைட்டோகாண்ட்ரியாவின் உட்புறச்சவ்வு

விடை: ஆ) மைட்டோகாண்ட்ரியாவின் உட்பகுதி (மேட்ரிக்ஸ்)

பகுதி - II (குறு வினாக்கள்)

13. திருப்புத்திறன் தத்துவம் வரையறு.

சமநிலையில் உள்ள ஒரு பொருள் மீது செயல்படும் அனைத்து வலஞ்சுழி திருப்புத்திறன்களின் மொத்த மதிப்பும், அனைத்து இடஞ்சுழி திருப்புத்திறன்களின் மொத்த மதிப்பிற்கு சமமாக இருக்கும்.

வலஞ்சுழி திருப்புத்திறன் = இடஞ்சுழி திருப்புத்திறன்

14. பாயில் விதியைக் கூறுக.

மாறா வெப்பநிலையில், ஒரு குறிப்பிட்ட நிறையுடைய வாயுவின் அழுத்தம் (P), அவ்வாயுவின் பருமனுக்கு (V) எதிர்த்தகவில் அமையும்.

P ∝ 1/V (வெப்பநிலை மாறிலி)

15. அணுக்கட்டு எண் – வரையறு.

ஒரு தனிமத்தின் அல்லது ஒரு சேர்மத்தின் ஒரு மூலக்கூறில் உள்ள மொத்த அணுக்களின் எண்ணிக்கையே, அத்தனிமம் அல்லது சேர்மத்தின் அணுக்கட்டு எண் எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: ஆக்சிஜன் (O₂) மூலக்கூறின் அணுக்கட்டு எண் 2.

16. இரும்பு துருபிடித்தலுக்கான இரு காரணங்களை தருக.

இரும்பு துருப்பிடிப்பதற்கு பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் அவசியமாகும்:

• காற்றில் உள்ள ஆக்ஸிஜன் (விழாநிலை).
• நீர் அல்லது ஈரப்பதம்.

17. கீழ்கண்டவற்றுக்கு தலா ஒரு எடுத்துக்காட்டு தருக.

• 1) திரவத்தில் வாயு: நீரில் கரைக்கப்பட்ட கார்பன் டை ஆக்ஸைடு (சோடா நீர்).
• 2) திரவத்தில் திண்மம்: நீரில் கரைக்கப்பட்ட உப்பு (உப்புக் கரைசல்).
• 3) திண்மத்தில் திண்மம்: தாமிரம் மற்றும் துத்தநாகம் கலந்த பித்தளை (உலோகக்கலவை).
• 4) வாயுவில் வாயு: நைட்ரஜன், ஆக்ஸிஜன், கார்பன் டை ஆக்ஸைடு போன்றவை கலந்த காற்று.

18. முயலின் பல் வாய்ப்பாட்டினை எழுதுக.

முயலின் பல் சூத்திரம் (Dental Formula): I 2/1, C 0/0, PM 3/2, M 3/3

19. "போல்டிங்” என்றால் என்ன? அதை எப்படி செயற்கையாக ஊக்குவிக்கலாம்?

போல்டிங்: தாவரங்களில், அவற்றின் தண்டுப் பகுதி திடீரென நீட்சி அடைந்து, பின்னர் பூக்கள் தோன்றும் நிகழ்வு போல்டிங் எனப்படும்.

செயற்கை ஊக்குவிப்பு: ஜிப்ரல்லின்கள் போன்ற தாவர ஹார்மோன்களைத் தெளிப்பதன் மூலம் போல்டிங்கை செயற்கையாகத் தூண்டலாம்.

20. கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில் A, B, C மற்றும் D ஆகிய பாகங்களை அடையாளம் காணவும்.

• A - எக்ஸைன்:
• B - இன்டைன்:
• C - உற்பத்தி செல்
• D - உடல் உட்கரு

21. இதய வால்வுகளின் முக்கியத்துவம் என்ன?

இதய வால்வுகள், இரத்த ஓட்டத்தை ஒரே திசையில் சீராக வைத்திருக்க உதவுகின்றன. இவை இதயம் சுருங்கி விரியும் போது இரத்தம் பின்னோக்கிச் செல்வதைத் தடுக்கின்றன.

22. (கட்டாய வினா) 5Ω மின் தடை கொண்ட மின்சூடேற்றி ஒரு மின்மூலத்துடன் இணைக்கப்படுகிறது. 6A மின்னோட்டமானது இந்த சூடேற்றி வழியாகப் பாய்கிறது எனில் 5 நிமிடங்களில் உருவாகும் வெப்பத்தின் அளவை காண்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

• மின்தடை (R) = 5 Ω
• மின்னோட்டம் (I) = 6 A
• காலம் (t) = 5 நிமிடங்கள் = 5 x 60 = 300 வினாடிகள்

சூத்திரம் (ஜூல் வெப்ப விதி): H = I²RT

கணக்கீடு:

H = (6)² × 5 × 300

H = 36 × 5 × 300

H = 180 × 300

H = 54000 J (அல்லது 54 kJ)

விடை: உருவாகும் வெப்பத்தின் அளவு 54,000 ஜூல்.

பகுதி - III (சிறு வினாக்கள்)

23. கிட்டப்பார்வை மற்றும் தூரப்பார்வை குறைபாடுகளை வேறுபடுத்துக.

பண்பு	கிட்டப்பார்வை (மயோபியா)	தூரப்பார்வை (ஹைப்பர்மெட்ரோபியா)
பாதிப்பு	அருகில் உள்ள பொருட்களை தெளிவாகவும், தொலைவில் உள்ள பொருட்களை தெளிவாகக் காண இயலாமலும் இருக்கும்.	தொலைவில் உள்ள பொருட்களை தெளிவாகவும், அருகில் உள்ள பொருட்களை தெளிவாகக் காண இயலாமலும் இருக்கும்.
காரணம்	விழி லென்சின் குவிய தூரம் குறைவதால் அல்லது விழிக்கோளம் நீண்டு விடுவதால் ஏற்படுகிறது.	விழி லென்சின் குவிய தூரம் அதிகரிப்பதால் அல்லது விழிக்கோளம் சுருங்கி விடுவதால் ஏற்படுகிறது.
பிம்பம் தோன்றுமிடம்	விழித்திரைக்கு முன்பாக பிம்பம் உருவாக்கப்படுகிறது.	விழித்திரைக்குப் பின்பாக பிம்பம் உருவாக்கப்படுகிறது.
சரிசெய்யும் முறை	பொருத்தமான குவியத்தூரம் கொண்ட குழி லென்ஸைப் பயன்படுத்தி சரிசெய்யலாம்.	பொருத்தமான குவியத்தூரம் கொண்ட குவி லென்ஸைப் பயன்படுத்தி சரிசெய்யலாம்.

32. (கட்டாய வினா) கால்சியம் கார்பனேட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு தனிமத்தின் சதவீத இயைபைக் காண்க. (Ca = 40, C = 12, O = 16)

கால்சியம் கார்பனேட் (CaCO₃)

1. மூலக்கூறு நிறை கணக்கிடுதல்:

CaCO₃ இன் மூலக்கூறு நிறை = (1 × Ca இன் அணு நிறை) + (1 × C இன் அணு நிறை) + (3 × O இன் அணு நிறை)

= (1 × 40) + (1 × 12) + (3 × 16)

= 40 + 12 + 48 = 100 கி/மோல்

2. தனிமங்களின் சதவீத இயைபு:

கால்சியத்தின் (Ca) சதவீதம்:

% Ca = (Ca இன் நிறை / CaCO₃ இன் மூலக்கூறு நிறை) × 100

= (40 / 100) × 100 = 40%

கார்பனின் (C) சதவீதம்:

% C = (C இன் நிறை / CaCO₃ இன் மூலக்கூறு நிறை) × 100

= (12 / 100) × 100 = 12%

ஆக்சிஜனின் (O) சதவீதம்:

% O = (O₃ இன் நிறை / CaCO₃ இன் மூலக்கூறு நிறை) × 100

= (48 / 100) × 100 = 48%

விடை:

• கால்சியம் = 40%
• கார்பன் = 12%
• ஆக்சிஜன் = 48%

பகுதி - IV (நெடு வினாக்கள்)

33. (அ)
i) மின்னோட்டம் என்றால் என்ன?
ii) மின்னோட்டத்தின் அலகை வரையறு.
iii) மின்னோட்டத்தை எந்த கருவியின் மூலம் அளவிடமுடியும்? அதனை ஒரு மின்சுற்றில் எவ்வாறு இணைக்கப்பட வேண்டும்?

(அல்லது)

(ஆ)
i) உந்தமாறாக் கோட்பாட்டை கூறி அதனை மெய்ப்பிக்க.
ii) வானம் ஏன் நீல நிறமாகத் தோன்றுகிறது?

(அ) i) மின்னோட்டம்:

கடத்தியின் ஒரு முனையின் வழியே, ஓரலகு நேரத்தில் செல்லும் மின்னூட்டங்களின் (Charges) அளவு மின்னோட்டம் எனப்படும்.

மின்னோட்டம் (I) = மின்னூட்டம் (Q) / காலம் (t)

ii) மின்னோட்டத்தின் அலகு (ஆம்பியர்):

கடத்தியின் ஒரு புள்ளி வழியாக ஒரு வினாடியில் ஒரு கூலூம் மின்னூட்டம் பாய்ந்தால், அம் மின்னோட்டத்தின் மதிப்பு ஒரு ஆம்பியர் (1A) எனப்படும்.

1 ஆம்பியர் = 1 கூலூம் / 1 வினாடி

iii) அளவிடும் கருவி மற்றும் இணைப்பு:

• அளவிடும் கருவி: மின்னோட்டத்தை 'அம்மீட்டர்' என்ற கருவியின் மூலம் அளவிடலாம்.
• இணைப்பு: அம்மீட்டரை எப்போதும் மின்சுற்றில் தொடரிணைப்பில் (Series connection) இணைக்க வேண்டும்.

---

(ஆ) i) உந்தமாறாக் கோட்பாடு:

கூற்று: புறவிசை ஏதும் செயல்படாத வரை, ஒரு பொருள் அல்லது ஒரு அமைப்பின் மீது செயல்படும் மொத்த நேர்க்கோட்டு உந்தம் மாறாமல் இருக்கும்.

மெய்ப்பித்தல்:

நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிப்படி, F = m × a.

முடுக்கம் (a) = (v-u)/t.

எனவே, F = m(v-u)/t.

Ft = mv - mu. (mv = இறுதி உந்தம், mu = ஆரம்ப உந்தம்).

புறவிசை (F) செயல்படாத போது, F=0.

0 = mv - mu, ஆகவே mv = mu.

இதிலிருந்து, புறவிசை இல்லாதபோது, ஆரம்ப உந்தமும் இறுதி உந்தமும் சமமாக இருக்கும், அதாவது உந்தம் மாறாது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டது.

ii) வானம் நீல நிறமாகத் தோன்றுவதற்கான காரணம்:

சூரியனிலிருந்து வரும் வெண்மை ஒளி, வளிமண்டலத்தில் உள்ள நைட்ரஜன், ஆக்ஸிஜன் போன்ற சிறிய மூலக்கூறுகளால் சிதறடிக்கப்படுகிறது. ராலே ஒளிச்சிதறல் விதிப்படி, சிதறலின் அளவு, ஒளியின் அலைநீளத்தின் நான்மடிக்கு எதிர்த்தகவில் இருக்கும்.

குறைந்த அலைநீளம் கொண்ட நீல நிறம், அதிக அலைநீளம் கொண்ட சிவப்பு நிறத்தை விட அதிகமாக சிதறடிக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு சிதறலடைந்த நீல நிறம் வானம் முழுவதும் பரவுவதால், வானம் நீல நிறமாகத் தோன்றுகிறது.

35. (அ)
i) பூக்கும் தாவரங்களில் நடைபெறும் பால் இனப்பெருக்கத்தின் நிகழ்வுகளை எழுதுக.
ii) முதல் நிகழ்வின் வகைகளைக் கூறுக.
iii) அந்நிகழ்வின் நன்மைகள் மற்றும் தீமைகளைக் குறிப்பிடுக.

(அல்லது)

(ஆ)
i) நியூரானின் அமைப்பை படத்துடன் விவரி.
ii) அனிச்சை வில் என்பதை வரையறு.

(ஆ) i) நியூரானின் அமைப்பு (நரம்பு செல்):

நியூரான் என்பது நரம்பு மண்டலத்தின் அடிப்படை அமைப்பு மற்றும் செயல் அலகு ஆகும். இதில் மூன்று முக்கிய பகுதிகள் உள்ளன:

நியூரான் அமைப்பு (படம்)

• 1. சைட்டான் (செல் உடலம்):
  • இது நியூரானின் முக்கிய பகுதியாகும். இதன் மையத்தில் உட்கரு உள்ளது.
  • சைட்டோபிளாசத்தில் நிசில் துகள்கள், மைட்டோகாண்டிரியா போன்ற செல் நுண்ணுறுப்புகள் உள்ளன.
  • சைட்டானிலிருந்து பல கிளைத்த குட்டை இழைகள் தோன்றுகின்றன. இவை டென்ட்ரைட்டுகள் எனப்படும். இவை பிற நியூரான்களிடமிருந்து நரம்புத் தூண்டல்களைப் பெறுகின்றன.
• 2. ஆக்சான்:
  • சைட்டானிலிருந்து உருவாகும் மிக நீண்ட இழை ஆக்சான் ஆகும்.
  • இது நரம்புத் தூண்டல்களை சைட்டானில் இருந்து அடுத்த நியூரானுக்குக் கடத்துகிறது.
  • ஆக்சானை சுற்றி மையலின் உறை என்ற பாதுகாப்பு உறை உள்ளது. மையலின் உறையில் காணப்படும் இடைவெளிகள் 'ரேன்வீர் கணுக்கள்' எனப்படும்.
  • ஆக்சானின் இறுதி முனைகள் கிளைத்து, குமிழ் போன்ற 'சினಾಪ்டிக் குமிழ்கள்' ஆக முடிகின்றன.
• 3. சினாப்ஸ்:
  • ஒரு நியூரானின் சினாப்டிக் குமிழ்களுக்கும், அடுத்த நியூரானின் டென்ட்ரைட்டுகளுக்கும் இடையேயான சந்திப்புப் பகுதி சினாப்ஸ் எனப்படும்.
  • இங்கு நரம்புத் தூண்டல்கள் வேதிப்பொருட்கள் (நியூரோடிரான்ஸ்மிட்டர்கள்) மூலம் கடத்தப்படுகின்றன.

---

ii) அனிச்சை வில் (Reflex Arc):

ஒரு தூண்டலால் ஏற்படும் துலங்கலை மூளையின் தலையீடு இன்றி, தண்டுவடத்தின் மூலம் மிக விரைவாக செயல்படும் பாதைக்கு அனிச்சை வில் என்று பெயர். இது ஒரு உணர்வேற்பி, உணர்ச்சி நரம்பு, தண்டுவடம், இயக்க நரம்பு மற்றும் தசைகள் அல்லது சுரப்பிகள் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கியது.

10th Science Quarterly Exam 2024 - Original Question Paper with Solutions | Karur District (English Medium)

10th Science Quarterly Exam 2024 - Original Question Paper with Solutions

Examination: Quarterly Common Examination – 2024

Standard: 10th Std

Subject: Science

District: Karur

Marks: 75

Time: 3.00 Hrs.

Original Question Paper

PART-I: Solutions

Note: (i) Answer All the questions. (ii) Choose the most appropriate answer from the given four alternatives and write option code and the corresponding answer. (12 X 1 = 12)

1) Impulse is equals to ____

(c) change of momentum

2) Power of a lens is -4D, then its focal length is:

(c) -0.25 m

3) In the Given diagram, the possible direction of heat energy transformation is:

(a) A ← B, A ← C, B ← C

4) Kilowatt hour is the unit of:

(c) electrical energy

5) Identify the non-aqueous solution.

(d) sulphur in carbon-di-sulphide

6) The gram molecular mass of oxygen molecule is ____

(c) 32 g

7) The process of coating the surface of the metal with a thin layer of zinc is called ____

(c) galvanization

8) The essential parts of a flower are ____

(d) Androecium and Gynoecium.

9) Which organ acts as both exocrine gland as well as endocrine gland?

(a) Pancreas

10) Node of Ranvier is found in:

(b) axons

11) Root hairs are ____

(d) both b and c.

12) Kreb's cycle takes place in ____

(b) mitochondrial matrix

PART-II: Solutions

Note: Answer any seven questions. Question No.22 is compulsory. (7 X 2 = 14)

13) State the principle of moments.

When a number of like or unlike parallel forces act on a rigid body and the body is in equilibrium, then the algebraic sum of the moments in the clockwise direction is equal to the algebraic sum of the moments in the anticlockwise direction.

14) State Boyle's law

When the temperature of a gas is kept constant, the volume of a fixed mass of gas is inversely proportional to its pressure.
P ∝ 1/V

15) Define Atomicity.

The number of atoms present in one molecule of an element is called the atomicity of that element. For example, the atomicity of oxygen (O₂) is 2, and the atomicity of ozone (O₃) is 3.

16) State two conditions necessary for rusting of iron.

The two conditions necessary for the rusting of iron are:

1. Presence of air (oxygen).
2. Presence of water (moisture).

17) Give an example each i) gas in liquid ii) solid in liquid iii) solid in solid iv) gas in gas

• i) Gas in liquid: Carbon dioxide dissolved in water (soda water).
• ii) Solid in liquid: Sodium chloride (salt) dissolved in water.
• iii) Solid in solid: Copper dissolved in gold (alloys like brass).
• iv) Gas in gas: A mixture of Helium and Oxygen gases (air).

18) Write the dental formula of rabbit.

The dental formula of a rabbit is I 2/1, C 0/0, P 3/2, M 3/3. This can be written as 2033/1023.

19) What is bolting? How can it be induced artificially?

Bolting is the premature production of a flowering stem on agricultural and horticultural crops before the crop is harvested. It is induced artificially by the application of gibberellins.

20) Identify the parts A, B, C and D

Based on the diagram of a typical animal cell:

• A - Cytoplasm
• B - Nucleus
• C - Cell membrane
• D - Mitochondrion

21) Who discovered Rh factor? Why was it named so?

Rh factor was discovered by Karl Landsteiner and Alexander Wiener in 1940. It was named after the Rhesus monkey because it was first discovered in the red blood cells of this monkey.

22) An electric heater of resistance 5 Ω is connected to an electric source. If a current of 6 A flows through the heater, then find the amount of heat produced in 5 minutes. (Compulsory)

Given:

• Resistance (R) = 5 Ω
• Current (I) = 6 A
• Time (t) = 5 minutes = 5 × 60 = 300 seconds

According to Joule's law of heating, the amount of heat produced (H) is given by the formula:

H = I²Rt

H = (6)² × 5 × 300

H = 36 × 5 × 300

H = 180 × 300

H = 54000 J or 54 kJ

Therefore, the amount of heat produced is 54,000 Joules.

PART-III: Solutions

Note: Answer any seven questions. Question No.32 is compulsory. (7 X 4 = 28)

23) Differentiate the eye defects: Myopia and Hypermetropia.

Feature	Myopia (Short-sightedness)	Hypermetropia (Long-sightedness)
Definition	The eye defect where a person can see nearby objects clearly but cannot see distant objects distinctly.	The eye defect where a person can see distant objects clearly but cannot see nearby objects distinctly.
Cause	The eyeball is elongated, or the focal length of the eye lens is too short.	The eyeball is shortened, or the focal length of the eye lens is too long.
Image Formation	The image of a distant object is formed in front of the retina.	The image of a nearby object is formed behind the retina.
Correction	Corrected by using a concave lens of appropriate power.	Corrected by using a convex lens of appropriate power.

24) Derive the ideal gas equation.

The ideal gas equation is an equation of state for a hypothetical ideal gas. It is derived from the combination of three empirical gas laws:

1. Boyle's Law: At constant temperature (T) and number of moles (n), the volume (V) of a gas is inversely proportional to its pressure (P).
   V ∝ 1/P   ... (1)
2. Charles' Law: At constant pressure (P) and number of moles (n), the volume (V) of a gas is directly proportional to its absolute temperature (T).
   V ∝ T   ... (2)
3. Avogadro's Law: At constant temperature (T) and pressure (P), the volume (V) of a gas is directly proportional to the number of moles (n).
   V ∝ n   ... (3)

Combining these three laws (1), (2), and (3), we get:

V ∝ (1/P) × T × n

V ∝ nT/P

By rearranging the terms, we get:

PV ∝ nT

This proportionality can be converted into an equation by introducing a constant, R, known as the universal gas constant.

PV = nRT

This equation is known as the Ideal Gas Equation. The value of R is 8.31 J mol⁻¹ K⁻¹.

25) Give the applications of universal law of gravitation.

The applications of Newton's universal law of gravitation are:

• It helps in understanding the force that binds us to the Earth.
• It is used to determine the masses of the Earth, the Sun, the moon, and other celestial bodies.
• It explains the motion of the moon around the Earth and the motion of planets around the Sun.
• It helps in predicting the paths of astronomical bodies and the launching of artificial satellites.
• It helps in explaining the occurrence of tides in the oceans.

26) Write notes on i) saturated solution ii) unsaturated solution

i) Saturated Solution:

A saturated solution is a solution that contains the maximum amount of solute that can be dissolved in a given amount of solvent at a specific temperature. If more solute is added to a saturated solution, it will not dissolve and will settle at the bottom. The solution is in a state of dynamic equilibrium, where the rate of dissolution of the solute is equal to the rate of its precipitation.

ii) Unsaturated Solution:

An unsaturated solution is a solution that contains less solute than the maximum amount that can be dissolved in a given amount of solvent at a specific temperature. It has the capacity to dissolve more solute when added. Most solutions we encounter in daily life are unsaturated.

27) In what way hygroscopic substances differ from deliquescent substances.

Feature	Hygroscopic Substances	Deliquescent Substances
Moisture Absorption	They absorb moisture from the atmosphere without changing their physical state.	They absorb enough moisture from the atmosphere to dissolve completely and form a solution.
Physical State	Does not change its state (e.g., a solid remains solid).	Changes from solid to a liquid or aqueous solution.
Extent of Absorption	Absorbs a limited amount of moisture.	Absorbs a large amount of moisture until fully dissolved.
Example	Concentrated Sulphuric acid (H₂SO₄), Quicklime (CaO), Silica gel.	Calcium chloride (CaCl₂), Sodium hydroxide (NaOH), Ferric chloride (FeCl₃).

28) Where are estrogens produced? What is the role of estrogens in the human body?

Production: Estrogens are steroid hormones primarily produced by the Graafian follicles of the ovaries in females. Small amounts are also produced by the adrenal cortex and testes.

Role of Estrogens:

• They are responsible for the development of female secondary sexual characteristics during puberty, such as the growth of breasts, widening of the pelvis, and growth of pubic and axillary hair.
• They initiate the process of oogenesis (formation of ova).
• They stimulate the maturation of ovarian follicles in the ovary.
• They control the menstrual cycle by causing the proliferation of the uterine endometrium during the follicular phase.

29) Write the physiological effects of gibberellins.

The physiological effects of gibberellins are:

• Stem Elongation: They cause an extraordinary elongation of the stem, especially in genetically dwarf plants and rosette plants (bolting).
• Breaking Dormancy: They are effective in breaking the dormancy of buds and seeds.
• Parthenocarpy: Gibberellins can induce the development of seedless fruits (parthenocarpy), such as seedless tomatoes and grapes.
• Germination: They promote the germination of seeds by inducing the synthesis of hydrolytic enzymes like amylase.

30) Enumerate the functions of blood.

The main functions of blood can be categorized as follows:

1. Transport:
   • Transports respiratory gases (Oxygen and Carbon dioxide).
   • Transports digested food materials (nutrients) to different body cells.
   • Transports hormones from endocrine glands to their target organs.
   • Transports nitrogenous waste products like ammonia, urea, and uric acid.
2. Regulation:
   • Regulates body temperature.
   • Maintains the body's pH through its buffer systems.
   • Regulates the water balance in the body.
3. Protection:
   • Plays a crucial role in the immune system by defending the body against pathogens (WBCs and antibodies).
   • Prevents excessive blood loss through the process of clotting (platelets and clotting factors).

31) (i) Match the following (ii) Fill in the blanks

(i) Match the following:

• A. Nissl's granules - Cyton
• B. Hypothalamus - Forebrain
• C. Cerebellum - Hindbrain
• D. Schwann cell - Peripheral Nervous system

(ii) Fill in the blanks:

(a) The source of O₂ liberated in photosynthesis is water (H₂O).

(b) Mitochondria is ATP factory of the cells.

32) Calculate the % of each element in calcium carbonate. (Atomic mass: C-12, O-16, Ca-40) (Compulsory)

The chemical formula for calcium carbonate is CaCO₃.

Step 1: Calculate the molar mass of CaCO₃.

Molar Mass = (Atomic mass of Ca) + (Atomic mass of C) + 3 × (Atomic mass of O)

Molar Mass = 40 + 12 + 3 × 16

Molar Mass = 40 + 12 + 48

Molar Mass = 100 g/mol

Step 2: Calculate the percentage of each element.

Percentage of an element = (Mass of the element in the compound / Molar mass of the compound) × 100

Percentage of Calcium (Ca):

% Ca = (40 / 100) × 100 = 40%

Percentage of Carbon (C):

% C = (12 / 100) × 100 = 12%

Percentage of Oxygen (O):

% O = (48 / 100) × 100 = 48%

Thus, calcium carbonate contains 40% Calcium, 12% Carbon, and 48% Oxygen by mass.

PART-IV: Solutions

Note: Answer all the questions. Draw diagrams wherever necessary. (3 X 7 = 21)

33) (a) (i) What is meant by electric current? (ii) Name and define its unit. (iii) Which instrument is used to measure the electric current? How should it be connected in a circuit?

(i) Electric Current:

Electric current is defined as the rate of flow of electric charges (electrons) through a conductor. It is denoted by the symbol 'I'. The direction of conventional current is taken as the direction of flow of positive charges.

I = Q / t, where Q is the charge and t is the time.

(ii) Unit of Electric Current:

The SI unit of electric current is the Ampere (A).

Definition of one Ampere: One Ampere is defined as the current that flows through a conductor when a charge of one Coulomb passes any cross-section of the conductor in one second.

1 Ampere = 1 Coulomb / 1 second

(iii) Instrument and Connection:

The instrument used to measure electric current is the Ammeter.

An ammeter must always be connected in series with the component through which the current is to be measured. This is because the entire current of the circuit must pass through the ammeter for it to be measured correctly. An ideal ammeter has very low resistance.

(OR)

(b) (i) State and prove the law of conservation of linear momentum. (ii) Why does the sky appear in blue colour?

(i) Law of Conservation of Linear Momentum:

Statement: In the absence of any external unbalanced force, the total linear momentum of a system of interacting objects remains constant.

Proof:

Consider two bodies, A and B, with masses m₁ and m₂ moving in the same direction along a straight line with initial velocities u₁ and u₂ respectively (where u₁ > u₂).

They collide for a short time 't' and then separate with final velocities v₁ and v₂.

Initial momentum of body A = m₁u₁

Initial momentum of body B = m₂u₂

Total initial momentum = m₁u₁ + m₂u₂

Final momentum of body A = m₁v₁

Final momentum of body B = m₂v₂

Total final momentum = m₁v₁ + m₂v₂

During collision, the force exerted by A on B (Fₐ) is Fₐ = m₂(v₂ - u₂)/t.

The force exerted by B on A (Fₙ) is Fₙ = m₁(v₁ - u₁)/t.

According to Newton's third law of motion, the force of action is equal and opposite to the force of reaction.

Fₐ = - Fₙ

m₂(v₂ - u₂)/t = - m₁(v₁ - u₁)/t

m₂(v₂ - u₂) = - m₁(v₁ - u₁)

m₂v₂ - m₂u₂ = -m₁v₁ + m₁u₁

Rearranging the terms:

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂

Total final momentum = Total initial momentum. This proves the law of conservation of linear momentum.

(ii) Why does the sky appear in blue colour?

The appearance of the blue colour of the sky is due to a phenomenon called Rayleigh scattering. Here's how it works:

1. The sunlight entering the Earth's atmosphere consists of a spectrum of colours (VIBGYOR).
2. The atmosphere is composed of tiny particles of gases (like nitrogen and oxygen) and dust, which are smaller than the wavelength of visible light.
3. According to Rayleigh's law of scattering, the amount of scattering is inversely proportional to the fourth power of the wavelength of light (Scattering ∝ 1/λ⁴).
4. This means shorter wavelengths (like blue and violet light) are scattered much more effectively than longer wavelengths (like red and orange light).
5. When sunlight passes through the atmosphere, the blue light is scattered in all directions by the air molecules. Our eyes perceive this scattered blue light coming from all parts of the sky, making the sky appear blue.

34) (a) (i) Derive the relationship between Relative molecular mass and Vapour density. (ii) What is meant by Amalgam? Give an example for it.

(i) Relationship between Relative Molecular Mass and Vapour Density:

Vapour Density (V.D.): It is defined as the ratio of the mass of a certain volume of a gas or vapour to the mass of the same volume of hydrogen gas, measured under the same conditions of temperature and pressure.

V.D. = (Mass of a given volume of gas or vapour at STP) / (Mass of the same volume of H₂ at STP) ... (1)

Relative Molecular Mass (R.M.M.): It is the ratio of the mass of one molecule of a substance to 1/12th the mass of one atom of Carbon-12.

According to Avogadro's hypothesis, equal volumes of all gases under the same conditions of temperature and pressure contain the same number of molecules. Let 'n' be the number of molecules in the given volume.

From equation (1):

V.D. = (Mass of 'n' molecules of the gas) / (Mass of 'n' molecules of H₂)

V.D. = (Mass of 1 molecule of the gas) / (Mass of 1 molecule of H₂)

Since a molecule of hydrogen is diatomic (H₂), its mass is 2 × (mass of one hydrogen atom) ≈ 2 × 1 = 2 amu.

V.D. = (Mass of 1 molecule of the gas) / 2

The mass of 1 molecule of the gas is its molecular mass.

V.D. = Molecular Mass / 2

Therefore, Molecular Mass = 2 × Vapour Density.

(ii) Amalgam:

An amalgam is an alloy in which one of the constituent metals is mercury. Depending on the proportion of mercury, it can be a liquid, a paste, or a solid.

Example: Dental amalgam, which is an alloy of mercury with silver, tin, copper, and zinc. It is used for filling dental cavities.

(OR)

(b) (i) What happens when MgSO₄.7H₂O is heated? Write the appropriate equation. (ii) Define solubility. (iii) Define Hydrated salt.

(i) Heating of MgSO₄.7H₂O:

Magnesium sulphate heptahydrate (MgSO₄.7H₂O), also known as Epsom salt, is a crystalline hydrated salt. When it is heated, it loses its seven molecules of water of crystallization and becomes anhydrous magnesium sulphate (MgSO₄), which is a white amorphous powder. This phenomenon is called efflorescence.

Equation:

MgSO₄.7H₂O (s) → (on heating) → MgSO₄ (s) + 7H₂O (g)

(Magnesium sulphate heptahydrate)          (Anhydrous magnesium sulphate)

(ii) Solubility:

Solubility is defined as the maximum mass of a solute (in grams) that can be dissolved in 100 grams of a solvent to form a saturated solution at a specific temperature and pressure.

Solubility = (Mass of solute / Mass of solvent) × 100

(iii) Hydrated Salt:

A hydrated salt is a crystalline salt molecule that is loosely attached to a definite number of water molecules. These water molecules are known as "water of crystallization". These salts lose their water of crystallization upon heating. For example, Copper (II) sulphate pentahydrate (CuSO₄.5H₂O) is a blue crystalline solid.

35) (a) (i) Write the events involved in the sexual reproduction of a flowering plant. (ii) Discuss the first event and write the types. (iii) Mention the advantages and the disadvantages of that event.

(i) Events in Sexual Reproduction of a Flowering Plant:

The major events involved are:

1. Pollination: The transfer of pollen grains from the anther to the stigma of a flower.
2. Fertilization: The fusion of the male gamete with the female gamete (egg) to form a zygote. In flowering plants, this involves double fertilization.
3. Formation of Seed and Fruit: After fertilization, the ovule develops into a seed, and the ovary develops into a fruit.

(ii) Discussion of the First Event (Pollination) and its Types:

Pollination is the essential first step that brings the male and female gametophytes together. It is the process of transferring pollen grains from the anther (male part) to the stigma (female part) of a flower.

There are two main types of pollination:

1. Self-Pollination (Autogamy): The transfer of pollen grains from the anther to the stigma of the same flower or another flower on the same plant.
2. Cross-Pollination (Allogamy): The transfer of pollen grains from the anther of a flower on one plant to the stigma of a flower on another plant of the same species. This requires external agents like wind, water, insects, or birds.

(iii) Advantages and Disadvantages:

Self-Pollination:

• Advantages: It is almost certain in bisexual flowers. Parental characters are preserved. The plant does not need to produce large quantities of pollen.
• Disadvantages: It does not produce new varieties. Continuous self-pollination can lead to weaker progeny (inbreeding depression).

Cross-Pollination:

• Advantages: It introduces genetic variations, leading to healthier and more vigorous offspring. New varieties with desirable characters can be produced.
• Disadvantages: It is not always certain as it depends on external agents. The plant has to produce a large amount of pollen, which is wasteful. It may introduce some undesirable characters.

(OR)

(b) (i) With a neat labelled diagram explain the structure of a neuron. (ii) Define reflex arc.

(i) Structure of a Neuron:

A neuron (or nerve cell) is the structural and functional unit of the nervous system. It consists of three main parts: the cyton (cell body), dendrites, and an axon.

[A neat, labelled diagram of a neuron should be drawn here, showing Cyton, Nucleus, Nissl's granules, Dendrites, Axon, Myelin Sheath, Node of Ranvier, and Axon terminal.]

• Cyton (Cell Body): This is the main part of the neuron, containing a large central nucleus and cytoplasm. The cytoplasm contains characteristic basophilic granules called Nissl's granules. The cyton is the site of metabolic activity.
• Dendrites: These are short, branched cytoplasmic extensions that arise from the cyton. They receive nerve impulses from other neurons and transmit them towards the cyton.
• Axon: This is a single, long, slender projection that arises from the cyton. It conducts nerve impulses away from the cell body to other neurons or to effector organs (muscles or glands). The axon is covered by a protective sheath called the myelin sheath, which is interrupted at intervals by gaps called Nodes of Ranvier. The myelin sheath helps in the rapid transmission of nerve impulses. The axon ends in branched terminals called axon terminals.

(ii) Define Reflex Arc:

A reflex arc is the neural pathway that mediates a reflex action. It includes a sensory receptor, a sensory (afferent) neuron, an interneuron (in the spinal cord), a motor (efferent) neuron, and an effector organ (like a muscle or gland). It allows for rapid, involuntary responses to stimuli without the immediate involvement of the brain.