Maharashtra Board HSC Physics Question Paper 2024 Solution (Hindi Medium) - PDF Download

Maharashtra Board HSC Physics Question Paper Solution 2024 (Hindi Medium)

विषय: भौतिकी (Physics - 54) | वर्ष: 2024 | अधिकतम अंक: 70

विभाग - अ (Section A)

प्र. १. दिए गए बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही उत्तर चुनकर लिखिए : [१०]

(i) किसी वृत्ताकार चकती की त्रिज्या R तथा द्रव्यमान (mass) M है, इसका बल-आघूर्ण (MI) केंद्र के अक्ष के सापेक्ष .......... होगा।

• (अ) \( \frac{MR^2}{4} \)
• (ब) \( \frac{MR^2}{2} \)
• (क) \( MR^2 \)
• (ड) \( \frac{3MR^2}{2} \)

उत्तर: (ब) \( \frac{MR^2}{2} \)

स्पष्टीकरण: किसी वृत्ताकार चकती (disc) का उसके केंद्र से गुजरने वाले और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण \( I = \frac{1}{2}MR^2 \) होता है।

(ii) सतह (पृष्ठ)-तनाव का विमीय सूत्र .......... होगा।

• (अ) \( [L^{-1}M^1T^{-2}] \)
• (ब) \( [L^2M^1T^{-2}] \)
• (क) \( [L^1M^1T^{-1}] \)
• (ड) \( [L^0M^1T^{-2}] \)

उत्तर: (ड) \( [L^0M^1T^{-2}] \)

स्पष्टीकरण: पृष्ठ तनाव (Surface Tension) \( T = \frac{\text{बल (Force)}}{\text{लंबाई (Length)}} \) होता है।
बल की विमा = \( [M^1L^1T^{-2}] \)
लंबाई की विमा = \( [L^1] \)
अतः, T की विमा = \( \frac{[M^1L^1T^{-2}]}{[L^1]} = [L^0M^1T^{-2}] \)।

(iii) एक स्थिर तरंग में किसी निस्पंद (node) तथा संलग्न प्रस्पंद (antinode) के बीच का कला अंतर (phase difference) .......... होगा।

• (अ) \( \frac{\pi}{4} \) rad
• (ब) \( \frac{\pi}{2} \) rad
• (क) \( \frac{3\pi}{4} \) rad
• (ड) \( \pi \) rad

उत्तर: (ब) \( \frac{\pi}{2} \) rad

स्पष्टीकरण: नोड और निकटतम एंटीनोड के बीच की दूरी \( \frac{\lambda}{4} \) होती है।
कला अंतर (Phase difference) \( \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \text{पथ अंतर} = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} \) rad।

(iv) किसी धन इकाई आवेश को अनंत से किसी दिए गए बिंदु पर, विद्युत क्षेत्र की विरुद्ध दिशा में, लाने में किया जाने वाला कार्य .......... कहलाता है।

• (अ) विद्युत अभिवाह (electric flux)
• (ब) चुंबकीय विभव (magnetic potential)
• (क) विद्युत विभव (electric potential)
• (ड) गुरुत्वाकर्षण विभव (gravitational potential)

उत्तर: (क) विद्युत विभव (electric potential)

स्पष्टीकरण: यह विद्युत विभव (Electric Potential) की मानक परिभाषा है।

(v) किसी चल कुंडल गैल्वेनोमीटर का विद्युत धारामापी में रूपांतर करने के लिए इसे .......... जोड़ना पड़ेगा।

• (अ) लघु रोध समांतर क्रम में
• (ब) बड़ा रोध श्रेणी क्रम में
• (क) लघु रोध श्रेणी क्रम में
• (ड) बड़ा रोध समांतर क्रम में

उत्तर: (अ) लघु रोध समांतर क्रम में

स्पष्टीकरण: गैल्वेनोमीटर को एमीटर (ammeter) में बदलने के लिए, उसके समांतर क्रम (parallel) में एक बहुत कम मान का प्रतिरोध (जिसे शंट कहते हैं) जोड़ा जाता है।

(vi) यदि आपाती किरणों की आवृत्ति, किसी प्रकाश संवेदनशील-सामग्री (photo-sensitive material) के लिए दुगुनी कर दी जाए तो उससे उत्सर्जित प्रकाश इलेक्ट्रॉन (Photoelectron) की गतिज ऊर्जा ..........

• (अ) पहले जैसे ही रहेगी।
• (ब) पहले से दुगुनी होगी।
• (क) पहले से दुगुने से अधिक होगी।
• (ड) पहले से दुगुने से कम होगी।

उत्तर: (क) पहले से दुगुने से अधिक होगी।

स्पष्टीकरण: आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण: \( K_{max} = h\nu - \phi_0 \)।
यदि आवृत्ति दोगुनी कर दी जाए (\( 2\nu \)), तो नई ऊर्जा \( K_2 = h(2\nu) - \phi_0 = 2h\nu - \phi_0 \)।
इसे ऐसे लिखा जा सकता है: \( K_2 = 2(h\nu - \phi_0) + \phi_0 = 2K_1 + \phi_0 \)।
चूंकि \( \phi_0 \) (कार्य फलन) धनात्मक है, इसलिए \( K_2 > 2K_1 \)।

(vii) किसी चक्रीय-प्रक्रम में यदि \( \Delta U = \) आंतरिक ऊर्जा, W = किया गया कार्य, Q = ऊष्मा देय तब ..........

• (अ) \( \Delta U = Q \)
• (ब) \( Q = 0 \)
• (क) \( W = 0 \)
• (ड) \( W = Q \)

उत्तर: (ड) \( W = Q \)

स्पष्टीकरण: चक्रीय प्रक्रम में निकाय अपनी प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाता है, इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन \( \Delta U = 0 \) होता है। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से \( Q = \Delta U + W \Rightarrow Q = 0 + W \Rightarrow Q = W \)।

(viii) किसी कुंडल में प्रवाहित धारा 50A से 10A तक परिवर्तित होने में 0.1 सेकंड का समय लगता है। कुंडल का स्वप्रेरण (self inductance) 20H है। तब उसमें उत्पन्न होने वाला प्रेरित वि.वा.ब. (e.m.f.) .......... होगा।

• (अ) 800V
• (ब) 6000V
• (क) 7000V
• (ड) 8000V

उत्तर: (ड) 8000V

स्पष्टीकरण: सूत्र: \( |e| = L \frac{di}{dt} \)।
\( L = 20 \) H, \( di = 50 - 10 = 40 \) A, \( dt = 0.1 \) s।
\( e = 20 \times \frac{40}{0.1} = 20 \times 400 = 8000 \) V।

(ix) किसी सेकंड-दोलक का वेग (velocity), जब दोलक मध्य स्थिति से 6 cm पर स्थित हो तथा उसका आयाम 10 cm है, तो .......... होगा।

• (अ) \( 8\pi \) cm/s
• (ब) \( 6\pi \) cm/s
• (क) \( 4\pi \) cm/s
• (ड) \( 2\pi \) cm/s

उत्तर: (अ) \( 8\pi \) cm/s

स्पष्टीकरण: सेकंड लोलक का आवर्तकाल \( T = 2 \) s होता है। \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \) rad/s।
वेग \( v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \)।
\( v = \pi \sqrt{10^2 - 6^2} = \pi \sqrt{100 - 36} = \pi \sqrt{64} = 8\pi \) cm/s।

(x) द्विलोलक (biprism) प्रयोग में, केंद्रीय प्रखर पुंज से 20 वें प्रखर पुंज की दूरी 1.2 cm है। यदि प्रायोगिक व्यवस्था को विचलित न किया जाए तो, केंद्रीय प्रखर पुंज से 30 वें प्रखर पुंज की दूरी .......... होगी।

• (अ) 0.6 cm
• (ब) 0.8 cm
• (क) 1.2 cm
• (ड) 1.8 cm

उत्तर: (ड) 1.8 cm

स्पष्टीकरण: \( n \)-वें प्रखर पुंज की दूरी \( x_n = n \frac{\lambda D}{d} \) होती है।
\( x_{20} = 20 \beta = 1.2 \) cm \(\Rightarrow \beta = \frac{1.2}{20} = 0.06 \) cm।
\( x_{30} = 30 \beta = 30 \times 0.06 = 1.8 \) cm।

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प्र. २. निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए : [८]

(i) अभिकेंद्रीय बल की परिभाषा दीजिए।

उत्तर: वृत्ताकार गति में कण पर त्रिज्या के अनुदिश और वृत्त के केंद्र की ओर लगने वाले बल को अभिकेंद्रीय बल (Centripetal force) कहते हैं।

---

(ii) कपड़े धोने के लिए पानी में डिटर्जेंट का चूर्ण क्यों मिलाया जाता है?

उत्तर: पानी में डिटर्जेंट मिलाने से पानी का पृष्ठ तनाव (surface tension) कम हो जाता है। इससे पानी कपड़े के रेशों और छिद्रों में गहराई तक प्रवेश कर सकता है (गिला करने की क्षमता बढ़ जाती है), जिससे मैल अधिक प्रभावी ढंग से साफ होता है।

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(iii) किसी आदर्श विभवमापी (ideal voltmeter) का रोध कितना होता है?

उत्तर: आदर्श विभवमापी (voltmeter) का प्रतिरोध अनंत (infinity) होता है।

---

(iv) किसी घूर्णन करती विद्युत वाहक कुंडली (coil) पर लगने वाले घूर्णन बल का गणितीय सूत्र, चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण-सदिश स्वरूप में लिखिए।

उत्तर: \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} \)
(जहाँ \( \vec{m} \) चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है और \( \vec{B} \) चुंबकीय क्षेत्र है)।

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(v) हाइड्रोजन अणु के लिए बंधन ऊर्जा (binding energy) कितनी होती है?

उत्तर: हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था (ground state) से इलेक्ट्रॉन को अनंत तक हटाने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा को बंधन ऊर्जा कहते हैं। हाइड्रोजन के लिए यह ऊर्जा 13.6 eV होती है।

---

(vi) ऊष्मागतिकी (thermodynamics) में वातावरण (surroundings) अर्थात् क्या?

उत्तर: ऊष्मागतिकी निकाय (system) के बाहर का वह भाग जो निकाय के साथ ऊर्जा या द्रव्य का आदान-प्रदान कर सकता है, उसे वातावरण (surroundings) कहते हैं।

---

(vii) किसी प्रकाश विद्युतीय प्रयोग में अवरोधक विभव (stopping potential) 1.5V है। प्रकाश विद्युतीय इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा कितनी होगी?

उत्तर: अधिकतम गतिज ऊर्जा \( K_{max} = e V_s \)।
दिया है: \( V_s = 1.5 \) V।
\( K_{max} = 1.5 \) eV (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) या \( 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.4 \times 10^{-19} \) J।

---

(viii) 5µF तथा 10µF के दो संधारित्रों को श्रेणी में क्रमबद्ध तरीके से जोड़ा गया है। उनकी समतुल्य धारिता (resultant capacity) ज्ञात कीजिए।

उत्तर: श्रेणी क्रम संयोजन के लिए सूत्र: $$ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} $$ $$ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 1}{10} = \frac{3}{10} $$ $$ C_s = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \mu\text{F} $$

विभाग - ब (Section B)

निम्नलिखित में से किन्हीं आठ प्रश्नों के उत्तर लिखिए : [१६]

प्र. ३. ऊष्मागतिकी प्रक्रम में (गैस को) गर्म करने पर आंतरिक ऊर्जा में होने वाले परिवर्तन को समझाइए।

उत्तर:

जब किसी गैस (ऊष्मागतिकी निकाय) को ऊष्मा दी जाती है:

1. गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। चूँकि आंतरिक ऊर्जा तापमान पर निर्भर करती है (आदर्श गैस के लिए), तापमान बढ़ने से आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि होती है (\( \Delta U > 0 \))।
2. ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम (\( Q = \Delta U + W \)) के अनुसार, दी गई ऊष्मा का कुछ भाग आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने में खर्च होता है और शेष भाग बाहरी दाब के विरुद्ध कार्य करने में उपयोग किया जा सकता है (यदि आयतन बढ़ता है)।
3. यदि आयतन स्थिर रखा जाता है (समआयतनिक प्रक्रिया), तो कार्य शून्य होता है (\( W=0 \)) और दी गई सारी ऊष्मा आंतरिक ऊर्जा बढ़ाने में जाती है (\( Q = \Delta U \))।

प्र. ४. ह्यूजेन (Huygens) के सिद्धांत के अनुसार गोलाकार तरंगाग्र की संरचना का स्पष्टीकरण दीजिए।

उत्तर:

गोलाकार तरंगाग्र (Spherical Wavefront) का निर्माण:

1. एक बिंदु स्रोत 'S' पर विचार करें जो एक समांगी माध्यम में स्थित है। समय \( t=0 \) पर विक्षोभ स्रोत पर है।
2. यह विक्षोभ सभी दिशाओं में 'c' चाल से फैलता है। समय 't' के बाद, समान कला में कंपन करने वाले कणों का बिंदुपथ \( ct \) त्रिज्या का एक गोला होता है। यह प्राथमिक गोलाकार तरंगाग्र है।
3. ह्यूजेन के सिद्धांत के अनुसार, इस प्राथमिक तरंगाग्र का प्रत्येक बिंदु एक द्वितीयक स्रोत के रूप में कार्य करता है और सभी दिशाओं में द्वितीयक तरंगिकाएं (secondary wavelets) उत्सर्जित करता है।
4. अगले \( \Delta t \) समय के बाद तरंगाग्र की नई स्थिति ज्ञात करने के लिए, प्राथमिक तरंगाग्र के बिंदुओं को केंद्र मानकर \( c\Delta t \) त्रिज्या के गोले खींचे जाते हैं।
5. इन द्वितीयक तरंगिकाओं को स्पर्श करने वाला बाहरी आवरण (envelope) समय \( t + \Delta t \) पर तरंगाग्र की नई स्थिति को दर्शाता है।

प्र. ५. चुंबकत्व (magnetization) की व्याख्या देते हुए उसकी SI इकाई तथा विमाएँ लिखिए।

उत्तर:

व्याख्या: किसी पदार्थ के प्रति एकांक आयतन में उत्पन्न होने वाले नेट चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण (net magnetic dipole moment) को चुंबकत्व (Magnetization) कहते हैं।

$$ M_z = \frac{m_{net}}{V} $$

SI इकाई: एम्पीयर प्रति मीटर (A/m)।

विमाएँ: \( [L^{-1}M^0T^0I^1] \) या \( [L^{-1}A] \)।

प्र. ६. रेखीय सरल आवर्त गति के लिए अवकलन (differential) समीकरण प्राप्त कीजिए।

उत्तर:

रेखीय सरल आवर्त गति (SHM) में, कण पर लगने वाला प्रत्यानयन बल (restoring force) \( F \) विस्थापन \( x \) के समानुपाती होता है और इसकी दिशा विपरीत होती है।

$$ F = -kx $$ (जहाँ \( k \) बल नियतांक है)।

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, \( F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} \)।

बलों की तुलना करने पर:

$$ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx $$

$$ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$

\( m \) से भाग देने पर:

$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 $$

\( \frac{k}{m} = \omega^2 \) (कोणीय आवृत्ति) रखने पर:

$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$

यह रेखीय SHM का अवकलन समीकरण है।

प्र. ७. 30\( \Omega \) रोध वाले गैल्वेनोमापी का अधिकतम विचलन धारा 20 माइक्रो एम्पीयर (\( \mu \)A) है। इसमें कितना रोध जोड़ा जाना चाहिए ताकि उसकी रेंज 0-10 volt हो जाए?

उत्तर:

दिया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध \( G = 30 \, \Omega \)
पूर्ण पैमाने की धारा \( I_g = 20 \, \mu\text{A} = 20 \times 10^{-6} \, \text{A} \)
वोल्टेज रेंज \( V = 10 \, \text{V} \)

गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए, एक उच्च प्रतिरोध \( X \) (या \( R_s \)) को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है।

सूत्र: \( V = I_g (G + X) \)

$$ 10 = 20 \times 10^{-6} (30 + X) $$

$$ 30 + X = \frac{10}{20 \times 10^{-6}} $$

$$ 30 + X = \frac{10^6}{2} = 500,000 $$

$$ X = 500,000 - 30 = 499,970 \, \Omega $$

उत्तर: \( 499,970 \, \Omega \) का प्रतिरोध श्रेणी क्रम में जोड़ना होगा।

प्र. ८. बॉयट-सावर्ट (Biot-Savart) के नियम (सिद्धांत) को समझाइए।

उत्तर:

बॉयट-सावर्ट नियम किसी धारावाही चालक के अल्पांश (current element) के कारण उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र का वर्णन करता है।

मान लीजिए कि किसी चालक से \( I \) धारा प्रवाहित हो रही है। \( dl \) चालक का एक छोटा अल्पांश है। इस अल्पांश से \( r \) दूरी पर स्थित बिंदु P पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र \( dB \) निम्न बातों पर निर्भर करता है:

1. धारा \( I \) के समानुपाती होता है।
2. अल्पांश की लंबाई \( dl \) के समानुपाती होता है।
3. \( dl \) और स्थिति सदिश \( r \) के बीच के कोण की साइन (\( \sin \theta \)) के समानुपाती होता है।
4. दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है (\( dB \propto 1/r^2 \))।

गणितीय रूप:

$$ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, dl \, \sin\theta}{r^2} $$

सदिश रूप में:

$$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} $$

प्र. ९. प्रकाश-उत्सर्जित-एक दिष्टकारी (LED) क्या है? इसके परिपथ प्रतीक चित्रित कीजिए।

उत्तर:

परिभाषा: प्रकाश उत्सर्जक डायोड (LED) एक अत्यधिक डोप किया हुआ (heavily doped) p-n जंक्शन डायोड है जो अग्र अभिनति (forward bias) में होने पर स्वतः विकिरण (प्रकाश) उत्सर्जित करता है। जंक्शन पर इलेक्ट्रॉन और होल्स के पुनर्संयोजन (recombination) के कारण फोटॉन के रूप में ऊर्जा मुक्त होती है।

परिपथ प्रतीक:

(डायोड के प्रतीक पर बाहर की ओर इंगित करते हुए दो तीर प्रकाश उत्सर्जन दर्शाते हैं)

प्र. १०. 60 m पंख-विस्तार (Wing span) वाला एक हवाई जहाज (aircraft) पृथ्वी के \( 6\times10^{-5} \)T चुंबकीय क्षेत्र में क्षितिज के समांतर, 500 m/s की गति से उड़ रहा है। उस हवाई जहाज के पंखों के सिरों के बीच उत्पन्न होने वाले वि.वा.ब. (e.m.f.) की गणना कीजिए।

उत्तर:

यह गतिक विद्युत वाहक बल (Motional EMF) का उदाहरण है।

दिया है:
पंखों की लंबाई \( l = 60 \) m
चुंबकीय क्षेत्र \( B = 6 \times 10^{-5} \) T
चाल \( v = 500 \) m/s

सूत्र: \( e = Blv \)

$$ e = (6 \times 10^{-5}) \times 60 \times 500 $$

$$ e = 6 \times 10^{-5} \times 30000 $$

$$ e = 6 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^4 $$

$$ e = 18 \times 10^{-1} = 1.8 \, \text{V} $$

उत्तर: प्रेरित वि.वा.ब. 1.8 V है।

प्र. ११. क्षितिजिय वृत्ताकार मार्ग से होकर गुजरने वाले किसी वाहन के लिए अधिकतम वेग की गणना कीजिए।

उत्तर:

मान लीजिए \( m \) द्रव्यमान का एक वाहन \( r \) त्रिज्या के क्षैतिज वृत्ताकार मार्ग पर \( v \) चाल से चल रहा है।
वाहन पर लगने वाले बल:
1. भार \( mg \) (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर)।
2. अभिलंब प्रतिक्रिया \( N \) (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर, \( N = mg \))।
3. टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण बल \( f_s \) (केंद्र की ओर)।

आवश्यक अभिकेंद्रीय बल स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जाता है।

$$ \frac{mv^2}{r} = f_s $$

अधिकतम चाल (\( v_{max} \)) के लिए, स्थैतिक घर्षण अपने अधिकतम मान \( f_{s,max} = \mu N = \mu mg \) तक पहुँच जाता है (जहाँ \( \mu \) स्थैतिक घर्षण गुणांक है)।

$$ \frac{mv_{max}^2}{r} = \mu mg $$

$$ v_{max}^2 = \mu rg $$

$$ v_{max} = \sqrt{\mu rg} $$

प्र. १२. \( 10^{-2} \text{m}^2 \) क्षेत्रफल वाली धातु की प्लेट को \( 3\times10^{-2} \text{m/s} \) वेग प्रदान करने के लिए 0.5N क्षितिज बल की आवश्यकता होती है, जब यह \( 0.5\times10^{-3} \text{m} \) मोटे ग्लिसरीन की परत पर स्थिर रखी हो, ग्लिसरीन का श्यानता सहगुणांक (coefficient of viscosity) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है:
बल \( F = 0.5 \) N
क्षेत्रफल \( A = 10^{-2} \, \text{m}^2 \)
वेग \( dv = 3 \times 10^{-2} \) m/s
मोटाई (दूरी) \( dx = 0.5 \times 10^{-3} \) m

न्यूटन के श्यानता नियम के अनुसार: \( F = \eta A \frac{dv}{dx} \)

$$ \eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv} $$

$$ \eta = \frac{0.5 \times 0.5 \times 10^{-3}}{10^{-2} \times 3 \times 10^{-2}} $$

$$ \eta = \frac{0.25 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-4}} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-4}} $$

$$ \eta = \frac{2.5}{3} \approx 0.833 \, \text{Ns/m}^2 $$

प्र. १३. 320 Hz तथा 340 Hz आवृत्ति वाले दो ट्यूनिंग काँटों को एक साथ कंपित होकर ध्वनि उत्पन्न की गई। वायु में ध्वनि का वेग 340 m/s है। इनकी तरंग लंबाई में अंतर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

दिया है:
\( n_1 = 320 \) Hz, \( n_2 = 340 \) Hz
\( v = 340 \) m/s

तरंग दैर्ध्य (Wavelength) \( \lambda = \frac{v}{n} \)

\( \lambda_1 = \frac{340}{320} = \frac{34}{32} = 1.0625 \) m

\( \lambda_2 = \frac{340}{340} = 1.0 \) m

तरंग लंबाई में अंतर \( \Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 1.0625 - 1.0 = 0.0625 \) m।

प्र. १४. हाइड्रोजन के अणु में यदि कोई इलेक्ट्रॉन, तृतीय कक्ष से प्रथम कक्ष में उछलता है, तो उसके कोणीय संवेग में होने वाला परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

बोर के दूसरे सिद्धांत के अनुसार, कोणीय संवेग \( L = \frac{nh}{2\pi} \)।

तृतीय कक्षा के लिए (\( n_1 = 3 \)): \( L_3 = \frac{3h}{2\pi} \)

प्रथम कक्षा के लिए (\( n_2 = 1 \)): \( L_1 = \frac{1h}{2\pi} \)

कोणीय संवेग में परिवर्तन \( \Delta L = L_3 - L_1 = \frac{3h}{2\pi} - \frac{h}{2\pi} = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi} \)।

मान रखने पर (\( h = 6.63 \times 10^{-34} \) Js, \( \pi = 3.142 \)):

$$ \Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.142} \approx 2.11 \times 10^{-34} \, \text{kg m}^2/\text{s} $$

विभाग - क (Section C)

निम्नलिखित में से किन्हीं आठ प्रश्नों को हल कीजिए : [२४]

प्र. १५. 200 फेरों (turns) के एक वृत्ताकार कुंडल जिसके प्रत्येक फेरे की त्रिज्या 10 cm है, में से 0.5A की धारा प्रवाहित होती है, कुंडल के केंद्र में उत्पन्न होने वाला चुंबकीय क्षेत्र बल कितना होगा? गणना कीजिए।

उत्तर:

दिया है: \( N = 200 \), \( R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \), \( I = 0.5 \text{ A} \)।

कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र:

$$ B = \frac{\mu_0 N I}{2R} $$

$$ B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.5}{2 \times 0.1} $$

$$ B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{0.2} = \frac{400\pi \times 10^{-7}}{0.2} $$

$$ B = 2000\pi \times 10^{-7} = 2\pi \times 10^{-4} \text{ T} $$

$$ B \approx 2 \times 3.142 \times 10^{-4} = 6.284 \times 10^{-4} \text{ T} $$

प्र. १६. प्रकाश विद्युतीय प्रभाव की परिभाषा दीजिए तथा प्रकाश विद्युत प्रभाव के प्रायोगिक व्यवस्थापन की व्याख्या कीजिए।

उत्तर:

परिभाषा: जब उचित आवृत्ति का प्रकाश किसी धातु की सतह पर पड़ता है तो उससे इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होने की घटना को प्रकाश विद्युत प्रभाव (Photoelectric effect) कहते हैं।

प्रायोगिक व्यवस्था:

• इसमें एक निर्वातित कांच की नली होती है जिसमें दो इलेक्ट्रोड होते हैं: एक प्रकाश-संवेदी प्लेट (उत्सर्जक E) और दूसरी संग्राहक प्लेट (कलेक्टर C)।
• उत्सर्जक पर पराबैंगनी या दृश्य प्रकाश पड़ने के लिए नली में एक क्वार्ट्ज खिड़की होती है।
• प्लेटें एक परिवर्तनीय वोल्टेज स्रोत (बैटरी) से जुड़ी होती हैं, जिसमें ध्रुवता बदलने की व्यवस्था होती है।
• प्रकाश विद्युत धारा मापने के लिए माइक्रोएम्मीटर (\( \mu A \)) और विभव मापने के लिए वोल्टमीटर (V) जुड़े होते हैं।
• जब प्रकाश E पर पड़ता है, तो फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं और C की ओर आकर्षित होते हैं, जिससे परिपथ में धारा प्रवाहित होती है।

प्र. १७. किसी ट्रांजिस्टर के लिए करंट गेन \( \alpha_{DC} \) तथा \( \beta_{DC} \) की परिभाषा दीजिए तथा उनके बीच गणितीय संबंध स्थापित कीजिए।

उत्तर:

परिभाषा:
1. \( \alpha_{DC} \) (उभयनिष्ठ आधार धारा लाभ): संग्राहक धारा (\( I_C \)) और उत्सर्जक धारा (\( I_E \)) का अनुपात। \( \alpha_{DC} = \frac{I_C}{I_E} \)।
2. \( \beta_{DC} \) (उभयनिष्ठ उत्सर्जक धारा लाभ): संग्राहक धारा (\( I_C \)) और आधार धारा (\( I_B \)) का अनुपात। \( \beta_{DC} = \frac{I_C}{I_B} \)।

संबंध:
हम जानते हैं \( I_E = I_C + I_B \)।
\( I_C \) से भाग देने पर:
$$ \frac{I_E}{I_C} = 1 + \frac{I_B}{I_C} $$
परिभाषाओं का उपयोग करते हुए (\( \frac{I_E}{I_C} = \frac{1}{\alpha} \) और \( \frac{I_B}{I_C} = \frac{1}{\beta} \)):
$$ \frac{1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + 1}{\beta} $$
$$ \alpha = \frac{\beta}{1 + \beta} $$
या: \( \beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha} \)।

प्र. १८. द्रव की सतह-ऊर्जा की परिभाषा दीजिए। सतह-ऊर्जा तथा सतह-तनाव के बीच गणितीय संबंध स्थापित कीजिए।

उत्तर:

सतह ऊर्जा: द्रव की सतह के अणुओं में, द्रव के भीतर के अणुओं की तुलना में जो अतिरिक्त स्थितिज ऊर्जा होती है, उसे सतह ऊर्जा (Surface Energy) कहते हैं।

संबंध:
एक आयताकार फ्रेम पर विचार करें जिसकी एक भुजा \( L \) लंबाई की है और सरक सकती है। उस पर साबुन की फिल्म बनी है। पृष्ठ तनाव \( T \) के कारण अंदर की ओर \( F = 2TL \) (दो सतहों के कारण 2) बल लगता है।
यदि तार को \( dx \) दूरी तक बाहर खींचा जाता है, तो किया गया कार्य:
$$ dW = F \cdot dx = 2TL \cdot dx $$
क्षेत्रफल में वृद्धि \( dA = 2(L \cdot dx) \)।
अतः, \( dW = T (2L \cdot dx) = T \cdot dA \)।
यह कार्य सतह ऊर्जा \( E \) के रूप में संचित होता है।
$$ \text{सतह ऊर्जा } (E) = T \times \text{क्षेत्रफल में वृद्धि } (dA) $$
$$ T = \frac{\text{सतह ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफल}} $$

प्र. १९. समतापीय प्रक्रिया (isothermal process) किसे कहते हैं? समतापीय प्रक्रिया में किसी वायु (Gas) द्वारा किए गए कार्य की गणना कीजिए।

उत्तर:

समतापीय प्रक्रिया: वह ऊष्मागतिकी प्रक्रिया जिसमें निकाय का तापमान पूरे परिवर्तन के दौरान स्थिर रहता है, उसे समतापीय प्रक्रिया कहते हैं।

किया गया कार्य (Work Done):
कार्य \( W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV \)।
आदर्श गैस के लिए, \( PV = nRT \implies P = \frac{nRT}{V} \)।
चूंकि T स्थिर है:
$$ W = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V} \, dV $$
$$ W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V} \, dV $$
$$ W = nRT [\ln V]_{V_i}^{V_f} $$
$$ W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) $$

प्र. २०. किसी खींचे गए तार पर उत्पन्न होने वाले स्थिर तरंगों के गणितीय समीकरण की गणना कीजिए। दर्शाइए कि दो लगातार निस्पंदों (nodes) या प्रस्पंदों (antinodes) के बीच की दूरी \( \lambda/2 \) होती है।

उत्तर:

विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो समान प्रगामी तरंगों पर विचार करें:
\( y_1 = A \sin(\omega t - kx) \)
\( y_2 = A \sin(\omega t + kx) \)
अध्यारोपण के सिद्धांत से: \( y = y_1 + y_2 \)
\( y = A [\sin(\omega t - kx) + \sin(\omega t + kx)] \)
सूत्र \( \sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2}) \) का उपयोग करके:
\( y = 2A \sin(\omega t) \cos(-kx) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t) \)।
यह स्थिर तरंग का समीकरण है।

नोड्स के बीच की दूरी:
नोड्स वहाँ होते हैं जहाँ आयाम शून्य होता है: \( \cos(kx) = 0 \)।
\( kx = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \dots \)
\( \frac{2\pi}{\lambda} x = (2n-1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2n-1)\frac{\lambda}{4} \)।
लगातार नोड्स \( x_n = \frac{\lambda}{4} \) और \( x_{n+1} = \frac{3\lambda}{4} \) पर होते हैं।
दूरी = \( \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2} \)।

प्र. २१. प्रत्यावर्ती धारा के स्रोत से जोड़े गए किसी LCR A.C. परिपथ के लिए प्रतिबाधा (impedance) की गणना कीजिए। कला संबंधित चित्र (phasor diagram) बनाइए।

उत्तर:

मान लीजिए कि एक श्रेणी LCR परिपथ में प्रतिरोध \( R \), प्रेरकत्व \( L \), और धारिता \( C \) जुड़े हैं।
धारा \( I = I_0 \sin(\omega t) \)।
वोल्टेज:
\( V_R \), \( I \) के साथ समान कला में है।
\( V_L \), \( I \) से \( 90^\circ \) आगे है।
\( V_C \), \( I \) से \( 90^\circ \) पीछे है।
फेजर आरेख से, कुल वोल्टेज \( V \) सदिश योग है:
\( V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} \)
\( V = \sqrt{(IR)^2 + (IX_L - IX_C)^2} \)
\( V = I \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)
प्रतिबाधा (Impedance) \( Z = \frac{V}{I} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)।

[फेजर आरेख: X-अक्ष पर \( V_R \), Y-अक्ष पर ऊपर \( V_L \) और नीचे \( V_C \)। परिणामी \( V \) और कोण \( \phi \)]

प्र. २२. हाइड्रोजन अणु के बाल्मर (Balmer) क्रम की प्रथम दो रेखाओं की तरंग लंबाई की गणना कीजिए।

उत्तर:

सूत्र: \( \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) \), जहाँ \( R_H = 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \)।

1. प्रथम रेखा (\( H_\alpha \)): \( n = 3 \)।
\( \frac{1}{\lambda_1} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{5}{36} \right) \)
\( \lambda_1 = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^7} \approx 6.563 \times 10^{-7} \text{ m} = 6563 \, \mathring{A} \)।

2. द्वितीय रेखा (\( H_\beta \)): \( n = 4 \)।
\( \frac{1}{\lambda_2} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{3}{16} \right) \)
\( \lambda_2 = \frac{16}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 4.861 \times 10^{-7} \text{ m} = 4861 \, \mathring{A} \)।

प्र. २३. \( \chi = 2.1 \times 10^{-5} \) सुग्राहिता वाले लिथियम भरे हुए चक्रीय कुंडल (toroid) में से विद्युत धारा प्रवाहित हो रही है। इसके चुंबकीय क्षेत्र में प्रतिशत बढ़ोतरी की गणना कीजिए जब चक्रीय कुंडल लिथियम रहित हो।

उत्तर:

बिना लिथियम कोर के चुंबकीय क्षेत्र \( B_0 = \mu_0 n I \)।
लिथियम कोर के साथ चुंबकीय क्षेत्र \( B = \mu n I = \mu_0 (1 + \chi) n I \)।
\( B = B_0 (1 + \chi) \)।
वृद्धि \( \Delta B = B - B_0 = B_0 \chi \)।
प्रतिशत वृद्धि = \( \frac{\Delta B}{B_0} \times 100\% = \chi \times 100\% \)।
\( \% \text{ वृद्धि} = 2.1 \times 10^{-5} \times 100 = 2.1 \times 10^{-3} \% = 0.0021\% \)।

प्र. २४. किसी वृत्ताकार पथ की त्रिज्या 200 m है। यदि कोई कार इस पथ पर 25 m/s की गति से सुरक्षित रूप से चलाई जा सकती हो तो इस पथ के ढलान कोण (angle of banking) की गणना कीजिए।

उत्तर:

बैंकिंग कोण \( \theta \) का सूत्र:
\( \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \)।
दिया है: \( r = 200 \) m, \( v = 25 \) m/s, \( g = 9.8 \) m/s\(^2\)।
\( \tan\theta = \frac{25^2}{200 \times 9.8} = \frac{625}{1960} \)।
\( \tan\theta \approx 0.3189 \)।
\( \theta = \tan^{-1}(0.3189) \approx 17.69^\circ \) (या \( 17^\circ 41' \))।

प्र. २५. मेयर का संबंध सिद्ध कीजिए : \( C_p - C_v = \frac{R}{J} \)

उत्तर:

एक मोल आदर्श गैस पर विचार करें।
प्रक्रिया 1 (स्थिर आयतन): दी गई ऊष्मा \( dQ_v = C_v dT \)। चूँकि \( dV=0 \), इसलिए कार्य \( dW=0 \)। प्रथम नियम से, \( dU = C_v dT \)।
प्रक्रिया 2 (स्थिर दाब): दी गई ऊष्मा \( dQ_p = C_p dT \)। कार्य \( dW = P dV \)।
प्रथम नियम से, \( dQ_p = dU + dW \)।
\( C_p dT = C_v dT + P dV \)।
आदर्श गैस समीकरण \( PV = RT \) का अवकलन करने पर: \( P dV = R dT \)।
\( C_p dT = C_v dT + R dT \)।
\( C_p = C_v + R \implies C_p - C_v = R \) (कार्य की इकाई में)।
यांत्रिक तुल्यांक \( J \) से भाग देने पर (यदि ऊष्मा कैलोरी में और कार्य जूल में हो):
$$ C_p - C_v = \frac{R}{J} $$

प्र. २६. एक प्रत्यावर्ती धारा का विभव \( e = 8\sin 628.4t \) है। ज्ञात कीजिए :
(i) शिखर वि.वा.ब. (peak value of e.m.f.)
(ii) वि.वा.ब. (e.m.f.) की आवृत्ति
(iii) वि.वा.ब. का तात्कालिक मूल्य जब t = 10 ms

उत्तर:

\( e = e_0 \sin(\omega t) \) से तुलना करने पर:

(i) शिखर मान (Peak value) \( e_0 \):
\( e_0 = 8 \) V।

(ii) आवृत्ति (Frequency):
\( \omega = 628.4 \) rad/s।
\( 2\pi f = 628.4 \Rightarrow f = \frac{628.4}{2 \times 3.142} = \frac{628.4}{6.284} = 100 \) Hz।

(iii) \( t = 10 \) ms पर तात्कालिक मान:
\( t = 0.01 \) s।
\( e = 8 \sin(628.4 \times 0.01) = 8 \sin(6.284) \)।
\( 6.284 \text{ rad} \approx 2\pi \text{ rad} \)।
\( e = 8 \sin(2\pi) = 8 \times 0 = 0 \) V।

विभाग - ड (Section D)

निम्नलिखित में से किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर दीजिए : [१२]

प्र. २७. रोहित (transformer) क्या है? रोहित की संरचना तथा कार्य प्रणाली का वर्णन कीजिए। रोहित के समीकरण की गणितीय गणना कीजिए।

उत्तर:

परिभाषा: ट्रांसफार्मर (Rohitra) एक विद्युत उपकरण है जो अन्योन्य प्रेरण (mutual induction) के सिद्धांत का उपयोग करके कम वोल्टेज (पर उच्च धारा) को उच्च वोल्टेज (पर कम धारा) में या इसके विपरीत बदलने के लिए उपयोग किया जाता है।

संरचना: इसमें नरम लोहे की क्रोड (laminated core) होती है जिस पर तांबे के तार की दो अलग-अलग कुंडलियाँ लिपटी होती हैं। स्रोत से जुड़ी कुंडली को प्राथमिक कुंडली (\( N_p \)) और लोड से जुड़ी कुंडली को द्वितीयक कुंडली (\( N_s \)) कहते हैं।

कार्य प्रणाली: जब प्राथमिक कुंडली में प्रत्यावर्ती धारा (AC) प्रवाहित होती है, तो क्रोड में परिवर्तित चुंबकीय फ्लक्स उत्पन्न होता है। यह फ्लक्स द्वितीयक कुंडली से जुड़ता है और अन्योन्य प्रेरण के कारण उसमें EMF प्रेरित करता है।

समीकरण:
प्राथमिक EMF: \( e_p = -N_p \frac{d\phi}{dt} \)।
द्वितीयक EMF: \( e_s = -N_s \frac{d\phi}{dt} \)।
अनुपात:
$$ \frac{e_s}{e_p} = \frac{N_s}{N_p} $$

प्र. २८. द्वि-दरार (double slit) प्रयोग के ज्यामितीय समीकरणों के प्रयोग द्वारा व्यतिकरण पट्टों (interference bands) की चौड़ाई (fringe width) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

माना \( S_1 \) और \( S_2 \) दो कला-संबद्ध स्रोत हैं जिनके बीच की दूरी \( d \) है और पर्दा \( D \) दूरी पर है।

पर्दे पर बिंदु P पर पहुँचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर:
\( \Delta x = S_2P - S_1P \)।
ज्यामिति से (मानते हुए \( D \gg d \)):
\( S_2P^2 - S_1P^2 = 2yd \)।
\( (S_2P - S_1P)(S_2P + S_1P) \approx \Delta x \cdot 2D \)।
\( \Delta x = \frac{yd}{D} \)।

दीप्त फ्रिंज के लिए (Constructive Interference):
\( \Delta x = n\lambda \implies y_n = \frac{n\lambda D}{d} \)।

फ्रिंज चौड़ाई (\( X \) या \( \beta \)): दो लगातार दीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी।
\( X = y_{n+1} - y_n = \frac{(n+1)\lambda D}{d} - \frac{n\lambda D}{d} \)।
$$ X = \frac{\lambda D}{d} $$

प्र. २९. विद्युतधारामापी (ammeter) तथा विभवमापी (voltmeter) में अंतर स्पष्ट कीजिए। (कोई भी दो महत्त्व के तत्त्व)।
यदि किसी सरल आवर्त गति (simple harmonic motion) करने वाले कण का विस्थापन उसके आयाम का \( \frac{1}{3} \) है, तो उस कण की गतिज ऊर्जा, कुल ऊर्जा के कितने भाग (fraction) में होगी?

उत्तर:

अंतर:

एमीटर (Ammeter)	वोल्टमीटर (Voltmeter)
विद्युत धारा मापने के लिए उपयोग किया जाता है।	विभवांतर मापने के लिए उपयोग किया जाता है।
परिपथ में श्रेणी क्रम (series) में जोड़ा जाता है।	परिपथ में समांतर क्रम (parallel) में जोड़ा जाता है।
प्रतिरोध बहुत कम होता है।	प्रतिरोध बहुत अधिक होता है।

समस्या का हल:
विस्थापन \( x = \frac{A}{3} \)।
कुल ऊर्जा \( E = \frac{1}{2}kA^2 \)।
स्थितिज ऊर्जा \( U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{A}{3})^2 = \frac{1}{9} (\frac{1}{2}kA^2) = \frac{E}{9} \)।
गतिज ऊर्जा \( K = E - U = E - \frac{E}{9} = \frac{8E}{9} \)।
कुल ऊर्जा का भाग = \( \frac{K}{E} = \frac{8}{9} \)।

प्र. ३०. फेरी की संपूर्ण काली वस्तु (Ferry’s perfectly black body) का स्वच्छ एवं नामांकित चित्र बनाइए।
227°C पर हाइड्रोजन अणु के वर्ग मूल वर्ग माध्य वेग (rms speed) की तुलना 127°C पर ऑक्सीजन अणु के वर्ग मूल वर्ग माध्य वेग से कीजिए।
दिया है : हाइड्रोजन तथा ऑक्सीजन के आण्विक द्रव्यमान क्रमशः 2 तथा 32 हैं।

उत्तर:

[फेरी की ब्लैक बॉडी का चित्र: दोहरी दीवार वाला खोखला गोला, छिद्र, छिद्र के सामने शंक्वाकार उभार, दीवारों के बीच निर्वात।]

समस्या का हल:
RMS वेग \( v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \)।
हाइड्रोजन (\( H_2 \)): \( T_H = 227+273 = 500 \) K, \( M_H = 2 \)।
ऑक्सीजन (\( O_2 \)): \( T_O = 127+273 = 400 \) K, \( M_O = 32 \)।
अनुपात:
$$ \frac{v_H}{v_O} = \sqrt{\frac{T_H}{M_H} \times \frac{M_O}{T_O}} $$
$$ \frac{v_H}{v_O} = \sqrt{\frac{500}{2} \times \frac{32}{400}} $$
$$ \frac{v_H}{v_O} = \sqrt{250 \times 0.08} = \sqrt{20} $$
$$ \frac{v_H}{v_O} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 $$

प्र. ३१. किसी आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा (energy stored) की गणितीय गणना कीजिए।
15 cm त्रिज्या का एक गोलाकार धातु का गोला 2µC आवेश से आवेशित है। इस गोले के केंद्र से 20 cm की दूरी (distance) पर विद्युतीय क्षेत्र की गणना कीजिए।

उत्तर:

व्युत्पत्ति:
एक संधारित्र को आवेशित करने पर विचार करें। यदि तात्कालिक आवेश \( q \) और विभव \( V = q/C \) है, तो अतिरिक्त आवेश \( dq \) देने के लिए किया गया कार्य:
\( dW = V dq = \frac{q}{C} dq \)।
कुल कार्य (0 से Q तक आवेशित करने के लिए):
\( W = \int_0^Q \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} [\frac{q^2}{2}]_0^Q = \frac{Q^2}{2C} \)।
यह कार्य ऊर्जा के रूप में संचित होता है \( U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 \)।

समस्या का हल:
त्रिज्या \( R = 15 \) cm। आवेश \( Q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \) C।
दूरी \( r = 20 \) cm \( = 0.2 \) m।
चूंकि \( r > R \), बिंदु गोले के बाहर है।
विद्युत क्षेत्र \( E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \)।
\( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \) Nm\(^2\)/C\(^2\) का उपयोग करके।
$$ E = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{(0.2)^2} $$
$$ E = \frac{18 \times 10^3}{0.04} = \frac{18000}{0.04} $$
$$ E = 450,000 \, \text{N/C} = 4.5 \times 10^5 \, \text{N/C} $$

Maharashtra Board HSC Physics Question Paper 2024 Solution (Marathi Medium) - PDF Download

Maharashtra Board HSC Physics Question Paper Solution 2024 (Marathi Medium)

विषय: भौतिकशास्त्र (Physics - 54) | वर्ष: 2024 | गुण: 70

विभाग – अ (Section A)

प्र. १. खालील बहुपर्यायी प्रश्नांची योग्य उत्तरे निवडा व लिहा : [१०]

(i) R त्रिज्या आणि M वस्तुमान असणाऱ्या तबकडीच्या केंद्रातून जाणाऱ्या अक्षाभोवतीचे जडत्व आघूर्ण (M.I.) ..........

• (अ) \( \frac{MR^2}{4} \)
• (ब) \( \frac{MR^2}{2} \)
• (क) \( MR^2 \)
• (ड) \( \frac{3MR^2}{2} \)

उत्तर: (ब) \( \frac{MR^2}{2} \)

स्पष्टीकरण: एकसमान तबकडीचे (disc) तिच्या केंद्रातून जाणाऱ्या आणि तिच्या प्रतलास लंब असलेल्या अक्षाभोवतीचे जडत्व आघूर्ण \( I = \frac{1}{2}MR^2 \) असते.

(ii) पृष्ठीय ताणाची मिती .......... आहे.

• (अ) \( [L^{-1}M^1T^{-2}] \)
• (ब) \( [L^2M^1T^{-2}] \)
• (क) \( [L^1M^1T^{-1}] \)
• (ड) \( [L^0M^1T^{-2}] \)

उत्तर: (ड) \( [L^0M^1T^{-2}] \)

स्पष्टीकरण: पृष्ठीय ताण \( T = \frac{\text{बल (Force)}}{\text{लांबी (Length)}} \).
बलाची मिती = \( [M^1L^1T^{-2}] \)
लांबीची मिती = \( [L^1] \)
म्हणून, T ची मिती = \( \frac{[M^1L^1T^{-2}]}{[L^1]} = [L^0M^1T^{-2}] \).

(iii) स्थिर तरंगामधील निस्पंद (node) आणि शेजारील (adjacent) लगतच्या प्रतिनिस्पंद (antinode) मधील फरक (phase difference) .......... आहे.

• (अ) \( \frac{\pi}{4} \) rad
• (ब) \( \frac{\pi}{2} \) rad
• (क) \( \frac{3\pi}{4} \) rad
• (ड) \( \pi \) rad

उत्तर: (ब) \( \frac{\pi}{2} \) rad

स्पष्टीकरण: नोड आणि अँटीनोडमधील अंतर \( \frac{\lambda}{4} \) असते.
कला फरक (Phase difference) \( \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \text{पथ फरक} = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} \) rad.

(iv) एक एकक धन विद्युत भार अनंत अंतरावरून एका विद्युत क्षेत्रातील हव्या त्या बिंदूपर्यंत आणण्यासाठी क्षेत्रातील बलाच्या विरुद्ध दिशेने करावे लागणारे कार्य म्हणजे .......... होय.

• (अ) विद्युत अभिवाह (electric flux)
• (ब) चुंबकीय विभव (magnetic potential)
• (क) विद्युत विभव (electric potential)
• (ड) गुरुत्वीय विभव (gravitational potential)

उत्तर: (क) विद्युत विभव (electric potential)

स्पष्टीकरण: ही विद्युत विभवाची (Electric Potential) प्रमाणभूत व्याख्या आहे.

(v) चल कुंडल विद्युत प्रवाह दर्शकाचे (moving coil galvanometer) विद्युत प्रवाह मापकामध्ये (ammeter) रूपांतर करण्यासाठी आपणास .......... जोडण्याची गरज आहे.

• (अ) कुंडलाला समांतर कमी रोधाचा वाहक
• (ब) कुंडलाला एकसर उच्च रोधाचा वाहक
• (क) कुंडलाला एकसर कमी रोधाचा वाहक
• (ड) कुंडलाला समांतर उच्च रोधाचा वाहक

उत्तर: (अ) कुंडलाला समांतर कमी रोधाचा वाहक

स्पष्टीकरण: गॅल्व्हनोमीटरचे ॲमीटरमध्ये रूपांतर करण्यासाठी त्याला समांतर जोडणीमध्ये (parallel) खूप कमी मूल्याचा रोध (Shunt resistance) जोडावा लागतो.

(vi) जर प्रकाश संवेदनशील पदार्थावर (photosensitive material) पडणाऱ्या प्रकाशाची वारंवारता दुप्पट केली तर उत्सर्जित प्रकाश इलेक्ट्रॉनची (emitted photoelectron) गतिज ऊर्जा .......... होईल.

• (अ) त्याच्या प्रारंभिक मूल्या इतकीच
• (ब) त्याच्या प्रारंभिक मूल्याच्या दुप्पट
• (क) त्याच्या प्रारंभिक मूल्याच्या दुपटी पेक्षा जास्त
• (ड) त्याच्या प्रारंभिक मूल्याच्या दुपटी पेक्षा कमी

उत्तर: (क) त्याच्या प्रारंभिक मूल्याच्या दुपटी पेक्षा जास्त

स्पष्टीकरण: आईन्स्टाईनचे समीकरण: \( K_{max} = h\nu - \phi_0 \).
जर वारंवारता दुप्पट केली (\( 2\nu \)), तर नवीन ऊर्जा \( K_2 = h(2\nu) - \phi_0 = 2h\nu - \phi_0 = 2(h\nu - \phi_0) + \phi_0 = 2K_1 + \phi_0 \).
\( \phi_0 \) (कार्य फलन) धन असल्याने, \( K_2 > 2K_1 \).

(vii) आवर्ती प्रक्रियेमध्ये (cyclic process) जर \( \Delta U = \) आंतरिक ऊर्जा, W = घडलेले कार्य, Q = पुरवलेली ऊष्मा, तर

• (अ) \( \Delta U = Q \)
• (ब) \( Q = 0 \)
• (क) \( W = 0 \)
• (ड) \( W = Q \)

उत्तर: (ड) \( W = Q \)

स्पष्टीकरण: चक्रीय प्रक्रियेत प्रणाली आपल्या मूळ स्थितीत परत येते, त्यामुळे आंतरिक ऊर्जेतील बदल \( \Delta U = 0 \) असतो. उष्मागतिकीच्या पहिल्या नियमानुसार \( Q = \Delta U + W \Rightarrow Q = 0 + W \Rightarrow Q = W \).

(viii) कुंडलातून वाहणारा विद्युत प्रवाह 0.1 सेकंदामध्ये 50A पासून 10A पर्यंत बदलतो. कुंडलाचा स्वप्रवर्तनाचा गुणांक (self inductance) 20H आहे. कुंडलातील प्रवर्तित विद्युत गामक बल (induced e.m.f.) ..........

• (अ) 800V
• (ब) 6000V
• (क) 7000V
• (ड) 8000V

उत्तर: (ड) 8000V

स्पष्टीकरण: सूत्र: \( |e| = L \frac{di}{dt} \).
\( L = 20 \) H, \( di = 50 - 10 = 40 \) A, \( dt = 0.1 \) s.
\( e = 20 \times \frac{40}{0.1} = 20 \times 400 = 8000 \) V.

(ix) सेकंद लंबकाचा गोल (bob) जेव्हा समतोल स्थानापासून 6 cm अंतरावर आहे आणि आयाम 10 cm आहे, त्याचा वेग ..........

• (अ) \( 8\pi \) cm/s
• (ब) \( 6\pi \) cm/s
• (क) \( 4\pi \) cm/s
• (ड) \( 2\pi \) cm/s

उत्तर: (अ) \( 8\pi \) cm/s

स्पष्टीकरण: सेकंद लंबकाचा आवर्तकाल \( T = 2 \) s. \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \pi \) rad/s.
वेग \( v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \).
\( v = \pi \sqrt{10^2 - 6^2} = \pi \sqrt{100 - 36} = \pi \sqrt{64} = 8\pi \) cm/s.

(x) द्विलोलक प्रयोगामध्ये 20 व्या प्रखर पट्टीचे मधल्या प्रखर पट्टीपासूनचे अंतर 1.2 cm आहे. प्रयोगाची मांडणी तशीच सारखी ठेवून 30व्या प्रखर पट्टीचे मधल्या प्रखर पट्टी पासूनचे अंतर .......... असेल.

• (अ) 0.6 cm
• (ब) 0.8 cm
• (क) 1.2 cm
• (ड) 1.8 cm

उत्तर: (ड) 1.8 cm

स्पष्टीकरण: \( n \)-व्या प्रखर पट्टीचे अंतर \( x_n = n \frac{\lambda D}{d} \).
\( x_{20} = 20 \beta = 1.2 \) cm \(\Rightarrow \beta = \frac{1.2}{20} = 0.06 \) cm.
\( x_{30} = 30 \beta = 30 \times 0.06 = 1.8 \) cm.

HSC Physics Board Papers with Solution

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प्र. २. खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा : [८]

(i) व्याख्या लिहा - अभिकेंद्री बल (centripetal force)

उत्तर: वर्तुळाकार गतीमध्ये कणावर त्रिजेच्या दिशेने आणि वर्तुळाच्या केंद्राकडे प्रयुक्त होणाऱ्या बलाला अभिकेंद्री बल असे म्हणतात.

---

(ii) कपडे धुण्यासाठी पाण्यामध्ये डिटर्जंट (detergent) पावडर का मिसळतात?

उत्तर: पाण्यामध्ये डिटर्जंट पावडर मिसळल्याने पाण्याचा पृष्ठीय ताण (surface tension) कमी होतो. यामुळे पाणी कापडाच्या छिद्रांमध्ये आणि धाग्यांमध्ये खोलवर शिरू शकते (पाण्याची भिजवण्याची क्षमता वाढते), ज्यामुळे मळ अधिक प्रभावीपणे स्वच्छ होतो.

---

(iii) आदर्श विभवांतर मापकाचा (ideal voltmeter) रोध किती असतो?

उत्तर: आदर्श व्होल्टमीटरचा रोध अनंत (infinity) असतो.

---

(iv) विद्युत प्रवाह वाहणाऱ्या घूर्णन कुंडलावर प्रयुक्त होणाऱ्या युग्माचे (torque) सूत्र, चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण (magnetic dipole moment) च्या सदिश रूपात (vector form) लिहा.

उत्तर: \( \vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B} \)
(येथे \( \vec{m} \) हे चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण आणि \( \vec{B} \) हे चुंबकीय क्षेत्र आहे).

---

(v) हायड्रोजन अणूची बंधनकारी ऊर्जा (binding energy) किती असेल?

उत्तर: हायड्रोजन अणूच्या पहिल्या कक्षेतील (ground state) इलेक्ट्रॉनला अणूपासून मुक्त करण्यासाठी आवश्यक असणाऱ्या ऊर्जेस बंधनकारी ऊर्जा म्हणतात. हायड्रोजनसाठी ही ऊर्जा 13.6 eV असते.

---

(vi) ऊष्मागतिकी मध्ये वातावरण (surroundings) म्हणजे काय?

उत्तर: ऊष्मागतिकी प्रणालीच्या (system) बाहेरील असा भाग जो प्रणालीसोबत ऊर्जा किंवा द्रव्याची देवाणघेवाण करू शकतो, त्यास वातावरण (surroundings) असे म्हणतात.

---

(vii) प्रकाश विद्युत परिणामाच्या प्रयोगामध्ये स्थगत विभव (stopping potential) 1.5V आहे. प्रकाश इलेक्ट्रॉनची महत्तम गतिज ऊर्जा काढा.

उत्तर: महत्तम गतिज ऊर्जा \( K_{max} = e V_s \).
दिलेले: \( V_s = 1.5 \) V.
\( K_{max} = 1.5 \) eV (इलेक्ट्रॉन-व्होल्ट) किंवा \( 1.5 \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.4 \times 10^{-19} \) J.

---

(viii) 5µF आणि 10µF धारिता असणाऱ्या दोन संधारित्रांची एकसरी जोडणी केली आहे. मांडणीची प्रभावी धारिता (resultant capacity) काढा.

उत्तर: एकसर जोडणीसाठी (series combination) समतुल्य धारितेचे सूत्र: $$ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} $$ $$ \frac{1}{C_s} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 1}{10} = \frac{3}{10} $$ $$ C_s = \frac{10}{3} \approx 3.33 \, \mu\text{F} $$

विभाग – ब (Section B)

खालीलपैकी कोणतेही आठ प्रश्न सोडवा : [१६]

प्र. ३. ऊष्मागतिकी यंत्रणेला (वायू) ऊष्मा दिली असता बदलणाऱ्या आंतरिक ऊर्जेचे स्पष्टीकरण करा.

उत्तर:

जेव्हा एखाद्या वायूला (ऊष्मागतिकी यंत्रणेला) उष्णता दिली जाते:

1. वायूच्या रेणूंची गतिज ऊर्जा वाढते. आंतरिक ऊर्जा ही तापमानावर अवलंबून असल्याने (आदर्श वायूसाठी), तापमानात वाढ झाल्यामुळे आंतरिक ऊर्जेत वाढ होते (\( \Delta U > 0 \)).
2. उष्मागतिकीच्या पहिल्या नियमानुसार (\( Q = \Delta U + W \)), पुरवलेल्या उष्णतेचा काही भाग आंतरिक ऊर्जा वाढवण्यासाठी वापरला जातो आणि उरलेला भाग बाह्य दाबाविरुद्ध कार्य (work done) करण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो (जर आकारमान वाढले तर).
3. जर आकारमान स्थिर ठेवले (Isochoric process), तर कार्य शून्य असते (\( W=0 \)) आणि पुरवलेली सर्व उष्णता आंतरिक ऊर्जा वाढवण्यासाठी वापरली जाते (\( Q = \Delta U \)).

प्र. ४. हायजेनच्या तत्त्वानुसार गोल तरंगमुख निर्मितीचे स्पष्टीकरण करा.

उत्तर:

गोलाकार तरंगमुख (Spherical Wavefront) निर्मिती:

1. एका बिंदू स्त्रोताचा (Point source 'S') विचार करा जो एका समांगी माध्यमात आहे. वेळ \( t=0 \) असताना विक्षोभ स्त्रोतापाशी आहे.
2. हा विक्षोभ सर्व दिशांना 'c' वेगाने पसरतो. 't' वेळेनंतर, समान कलेत असणाऱ्या बिंदूंचा बिंदूपथ (locus) \( ct \) त्रिजेचा गोल असतो. हे प्राथमिक गोलाकार तरंगमुख आहे.
3. हायजेनच्या तत्त्वानुसार, या प्राथमिक तरंगमुखावरील प्रत्येक बिंदू दुय्यम स्त्रोत म्हणून कार्य करतो आणि सर्व दिशांना दुय्यम लहरी (secondary wavelets) उत्सर्जित करतो.
4. पुढील \( \Delta t \) वेळेनंतर तरंगमुखाचे नवीन स्थान शोधण्यासाठी, प्राथमिक तरंगमुखावरील बिंदूंना केंद्र मानून \( c\Delta t \) त्रिजेचे गोल काढा.
5. या दुय्यम लहरींना स्पर्श करणारे बाहेरील आवरण (envelope) म्हणजेच वेळ \( t + \Delta t \) वरील तरंगमुखाचे नवीन स्थान होय.

प्र. ५. व्याख्या लिहा - चुंबकण (magnetization), त्याचे SI एकक आणि मिती सांगा.

उत्तर:

व्याख्या: पदार्थाच्या एकक आकारमानात (per unit volume) निर्माण होणाऱ्या निव्वळ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्णास (net magnetic dipole moment) चुंबकण (Magnetization) असे म्हणतात.

$$ M_z = \frac{m_{net}}{V} $$

SI एकक: अँपिअर प्रति मीटर (A/m).

मिती: \( [L^{-1}M^0T^0I^1] \) किंवा \( [L^{-1}A] \).

प्र. ६. रेषीय सरल आवर्त गतीचे विकलन समीकरण (differential equation) मिळवा.

उत्तर:

रेषीय सरल आवर्त गतीमध्ये (SHM), कणावर प्रयुक्त होणारे प्रत्यानयन बल (restoring force) \( F \) हे विस्थापनाच्या समप्रमाणात असते आणि विरुद्ध दिशेने असते.

$$ F = -kx $$ (येथे \( k \) हा बल स्थिरांक आहे).

न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार, \( F = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} \).

बलांची तुलना करून:

$$ m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx $$

$$ m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0 $$

\( m \) ने भागून:

$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0 $$

\( \frac{k}{m} = \omega^2 \) (कोनीय वारंवारता) ठेवून:

$$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 $$

हे रेषीय SHM चे विकलन समीकरण आहे.

प्र. ७. विद्युत प्रवाह दर्शकाचा रोध 30\( \Omega \) आहे. आणि 20\( \mu \)A विद्युत धारेला पूर्ण प्रमाणात विक्षेपण (full scale deflection) दर्शवते. 0-10 volt च्या पल्ल्यासाठी (range) त्यात किती रोध मिळवावा लागेल?

उत्तर:

दिलेले:
गॅल्व्हनोमीटरचा रोध \( G = 30 \, \Omega \)
पूर्ण क्षमतेची विद्युतधारा \( I_g = 20 \, \mu\text{A} = 20 \times 10^{-6} \, \text{A} \)
व्होल्टेज रेंज \( V = 10 \, \text{V} \)

गॅल्व्हनोमीटरचे व्होल्टमीटरमध्ये रूपांतर करण्यासाठी, एक उच्च रोध \( X \) (किंवा \( R_s \)) एकसर (series) जोडला जातो.

सूत्र: \( V = I_g (G + X) \)

$$ 10 = 20 \times 10^{-6} (30 + X) $$

$$ 30 + X = \frac{10}{20 \times 10^{-6}} $$

$$ 30 + X = \frac{10^6}{2} = 500,000 $$

$$ X = 500,000 - 30 = 499,970 \, \Omega $$

उत्तर: \( 499,970 \, \Omega \) चा रोध एकसर जोडणीत जोडावा लागेल.

प्र. ८. बायो-सावर्तचा (Biot - Savart) नियम स्पष्ट करा.

उत्तर:

बायो-सावर्त नियम विद्युतवाहक तारेतून वाहणाऱ्या प्रवाहामुळे निर्माण होणाऱ्या चुंबकीय क्षेत्राचे वर्णन करतो.

समजा एका वाहकातून \( I \) एवढी विद्युतधारा वाहत आहे. \( dl \) हा वाहकाचा लहान भाग मानू. या भागापासून \( r \) अंतरावर असणाऱ्या P बिंदूपाशी निर्माण होणारे चुंबकीय क्षेत्र \( dB \) हे:

1. विद्युतधारा \( I \) च्या समप्रमाणात असते.
2. वाहकाची लांबी \( dl \) च्या समप्रमाणात असते.
3. \( dl \) आणि स्थान सदिश \( r \) यांमधील कोनाच्या साइन (\( \sin \theta \)) च्या समप्रमाणात असते.
4. अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात असते (\( dB \propto 1/r^2 \)).

गणितीय रूप:

$$ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, dl \, \sin\theta}{r^2} $$

सदिश रूपात:

$$ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3} $$

प्र. ९. प्रकाश उत्सर्जी डायोड (L.E.D.) काय आहे? त्याची परिपथातील सांकेतिक रचना काढा.

उत्तर:

व्याख्या: प्रकाश उत्सर्जी डायोड (LED) हा एक हेविली डोप्ड (heavily doped) p-n जंक्शन डायोड आहे जो फॉरवर्ड बायस (forward bias) मध्ये असताना उत्स्फूर्तपणे प्रकाश उत्सर्जित करतो. जंक्शनवर इलेक्ट्रॉन आणि होल्सच्या पुनर्मिलनामुळे (recombination) फोटॉन्सच्या स्वरूपात ऊर्जा मुक्त होते.

सांकेतिक खूण (Circuit Symbol):

(डायोडच्या चिन्हावर बाहेर जाणारे दोन बाण प्रकाश उत्सर्जन दर्शवतात)

प्र. १०. वायुवहनाच्या पात्याची एका टोकापासून दुसऱ्या टोकापर्यंत ची लांबी 60m असून पृथ्वीच्या \( 6\times10^{-5} \)T चुंबकीय क्षेत्रात 500 m/s गतीने क्षितीज समांतर उडत आहे. वायुवहनाच्या पात्याच्या टोकांमध्ये निर्माण होणारे विद्युत गामक बल (e.m.f.) काढा.

उत्तर:

दिलेले:
लांबी (पात्यांची लांबी) \( l = 60 \) m
चुंबकीय क्षेत्र \( B = 6 \times 10^{-5} \) T
वेग \( v = 500 \) m/s

सूत्र: \( e = Blv \)

$$ e = (6 \times 10^{-5}) \times 60 \times 500 $$

$$ e = 6 \times 10^{-5} \times 30000 $$

$$ e = 6 \times 10^{-5} \times 3 \times 10^4 $$

$$ e = 18 \times 10^{-1} = 1.8 \, \text{V} $$

उत्तर: निर्माण होणारे विद्युत गामक बल 1.8 V आहे.

प्र. ११. सपाट वर्तुळाकार मार्गावर धावणाऱ्या वाहनाच्या कमाल वेगाची पदावली अनुसिद्ध करा.

उत्तर:

समजा \( m \) वस्तुमानाचे वाहन \( r \) त्रिज्येच्या सपाट गोलाकार रस्त्यावरून \( v \) वेगाने जात आहे.
वाहनावर कार्य करणारी बले:
1. वजन \( mg \) (उभ्या दिशेने खाली).
2. लंब प्रतिक्रिया \( N \) (उभ्या दिशेने वर, \( N = mg \)).
3. चाक आणि रस्ता यांमधील स्थितिक घर्षण बल \( f_s \) (केंद्राच्या दिशेने).

आवश्यक अभिकेंद्री बल हे घर्षण बलाद्वारे पुरवले जाते.

$$ \frac{mv^2}{r} = f_s $$

कमाल वेगासाठी (\( v_{max} \)), घर्षण बल त्याच्या सीमांत (limiting) मूल्यापर्यंत पोहोचते \( f_{s,max} = \mu N = \mu mg \) (येथे \( \mu \) हा घर्षण गुणांक आहे).

$$ \frac{mv_{max}^2}{r} = \mu mg $$

$$ v_{max}^2 = \mu rg $$

$$ v_{max} = \sqrt{\mu rg} $$

प्र. १२. \( 10^{-2} \text{m}^2 \) क्षेत्रफळ असणाऱ्या धातूच्या पट्टीला \( 3\times10^{-2} \text{m/s} \) इतक्या वेगाने हलवण्यासाठी 0.5N एवढे क्षितिज समांतर बल आवश्यक आहे. जेव्हा ती ग्लिसरीनच्या \( 0.5\times10^{-3} \text{m} \) जाडीच्या थरावर स्थिर असते, तेव्हा ग्लिसरीनचा विष्यंदिता गुणांक (coefficient of viscosity) काढा.

उत्तर:

दिलेले:
बल \( F = 0.5 \) N
क्षेत्रफळ \( A = 10^{-2} \, \text{m}^2 \)
वेग \( dv = 3 \times 10^{-2} \) m/s
जाडी (अंतर) \( dx = 0.5 \times 10^{-3} \) m

न्यूटनच्या श्यानता नियमानुसार: \( F = \eta A \frac{dv}{dx} \)

$$ \eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot dv} $$

$$ \eta = \frac{0.5 \times 0.5 \times 10^{-3}}{10^{-2} \times 3 \times 10^{-2}} $$

$$ \eta = \frac{0.25 \times 10^{-3}}{3 \times 10^{-4}} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-4}} $$

$$ \eta = \frac{2.5}{3} \approx 0.833 \, \text{Ns/m}^2 $$

प्र. १३. दोन नादकाटे अनुक्रमे 320 Hz आणि 340 Hz वारंवारतेचे एकत्रित ध्वनी तरंग निर्माण करतात. ध्वनीचा हवेतील वेग 340 m/s आहे. या तरंगांतील तरंगलांबीतील फरक काढा.

उत्तर:

दिलेले:
\( n_1 = 320 \) Hz, \( n_2 = 340 \) Hz
\( v = 340 \) m/s

तरंगलांबी \( \lambda = \frac{v}{n} \)

\( \lambda_1 = \frac{340}{320} = \frac{34}{32} = 1.0625 \) m

\( \lambda_2 = \frac{340}{340} = 1.0 \) m

तरंगलांबीतील फरक \( \Delta \lambda = \lambda_1 - \lambda_2 = 1.0625 - 1.0 = 0.0625 \) m.

प्र. १४. जेव्हा हायड्रोजन अणुमध्ये इलेक्ट्रॉन तिसऱ्या कक्षेतून पहिल्या कक्षेत उडी मारतो त्यावेळी त्याच्या कोनीय संवेगात (angular momentum) होणारा बदल काढा.

उत्तर:

बोरच्या दुसऱ्या गृहितकानुसार, कोनीय संवेग \( L = \frac{nh}{2\pi} \).

तिसऱ्या कक्षेसाठी (\( n_1 = 3 \)): \( L_3 = \frac{3h}{2\pi} \)

पहिल्या कक्षेसाठी (\( n_2 = 1 \)): \( L_1 = \frac{1h}{2\pi} \)

कोनीय संवेगातील बदल \( \Delta L = L_3 - L_1 = \frac{3h}{2\pi} - \frac{h}{2\pi} = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi} \).

किंमती टाकून (\( h = 6.63 \times 10^{-34} \) Js, \( \pi = 3.142 \)):

$$ \Delta L = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{3.142} \approx 2.11 \times 10^{-34} \, \text{kg m}^2/\text{s} $$

विभाग – क (Section C)

खालीलपैकी कोणतेही आठ प्रश्न सोडवा : [२४]

प्र. १५. प्रत्येकी 10 cm त्रिज्या आणि 200 वेढे असलेल्या वर्तुळाकार कुंडलातून 0.5A इतका विद्युत प्रवाह वाहतो. कुंडलाच्या मध्यभागी निर्माण होणाऱ्या चुंबकीय प्रेरणाचे परिमाण काय असेल?

उत्तर:

दिलेले: \( N = 200 \), \( R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m} \), \( I = 0.5 \text{ A} \).

कुंडलाच्या केंद्राशी चुंबकीय क्षेत्राचे सूत्र:

$$ B = \frac{\mu_0 N I}{2R} $$

$$ B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 200 \times 0.5}{2 \times 0.1} $$

$$ B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 100}{0.2} = \frac{400\pi \times 10^{-7}}{0.2} $$

$$ B = 2000\pi \times 10^{-7} = 2\pi \times 10^{-4} \text{ T} $$

$$ B \approx 2 \times 3.142 \times 10^{-4} = 6.284 \times 10^{-4} \text{ T} $$

प्र. १६. व्याख्या लिहा – प्रकाश विद्युत परिणाम. प्रकाश विद्युत परिणामाच्या प्रयोगाची रचना स्पष्ट करा.

उत्तर:

व्याख्या: जेव्हा योग्य वारंवारतेचा प्रकाश धातूच्या पृष्ठभागावर पडतो तेव्हा त्यातून इलेक्ट्रॉन्स उत्सर्जित होण्याच्या घटनेला प्रकाश विद्युत परिणाम (Photoelectric effect) म्हणतात.

प्रायोगिक रचना:

• यामध्ये एका निर्वात काचेच्या नळीत दोन इलेक्ट्रोड असतात: एक प्रकाशसंवेदी प्लेट (उत्सर्जक E) आणि दुसरी संग्राहक प्लेट (कलेक्टर C).
• उत्सर्जकावर अतिनील किंवा दृश्य प्रकाश पडण्यासाठी नळीला एक क्वार्ट्झ खिडकी असते.
• प्लेट्स एका व्हेरिएबल व्होल्टेज स्त्रोताला (बॅटरी) जोडलेल्या असतात, ज्यामध्ये ध्रुवीयता बदलण्याची सोय असते.
• प्रकाश विद्युत धारा मोजण्यासाठी मायक्रोअँमीटर (\( \mu A \)) आणि विभव मोजण्यासाठी व्होल्टमीटर (V) जोडलेले असतात.
• जेव्हा प्रकाश E वर पडतो, तेव्हा फोटोइलेक्ट्रॉन्स उत्सर्जित होतात आणि C कडे आकर्षित होतात, ज्यामुळे परिपथात विद्युत प्रवाह वाहतो.

प्र. १७. ट्रान्झिस्टरसाठी धारा लाभ (current gain) \( \alpha_{DC} \) आणि \( \beta_{DC} \) च्या व्याख्या लिहा, त्यातील संबंधांची पदावली अनुसिद्ध करा.

उत्तर:

व्याख्या:
1. \( \alpha_{DC} \) (Common Base current gain): कलेक्टर करंट (\( I_C \)) आणि एमिटर करंट (\( I_E \)) यांचे गुणोत्तर. \( \alpha_{DC} = \frac{I_C}{I_E} \).
2. \( \beta_{DC} \) (Common Emitter current gain): कलेक्टर करंट (\( I_C \)) आणि बेस करंट (\( I_B \)) यांचे गुणोत्तर. \( \beta_{DC} = \frac{I_C}{I_B} \).

संबंध:
आपल्याला माहित आहे \( I_E = I_C + I_B \).
\( I_C \) ने भागून:
$$ \frac{I_E}{I_C} = 1 + \frac{I_B}{I_C} $$
व्याख्या वापरून (\( \frac{I_E}{I_C} = \frac{1}{\alpha} \) आणि \( \frac{I_B}{I_C} = \frac{1}{\beta} \)):
$$ \frac{1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + 1}{\beta} $$
$$ \alpha = \frac{\beta}{1 + \beta} $$
किंवा: \( \beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha} \).

प्र. १८. व्याख्या लिहा - द्रवाची पृष्ठीय ऊर्जा. पृष्ठीय ऊर्जा आणि पृष्ठीय ताण यातील पदावली अनुसिद्ध करा.

उत्तर:

पृष्ठीय ऊर्जा: द्रवाच्या पृष्ठभागावरील रेणूंमध्ये, द्रवाच्या आतील रेणूंच्या तुलनेत जी अतिरिक्त स्थितिज ऊर्जा असते, तिला पृष्ठीय ऊर्जा म्हणतात.

संबंध:
एक आयताकृती फ्रेम विचारात घ्या जिची एक बाजू \( L \) लांबीची सरकणारी आहे. त्यावर साबणाचा पापुद्रा (film) तयार झाला आहे. पृष्ठीय ताण \( T \) मुळे आतल्या बाजूने \( F = 2TL \) (दोन पृष्ठभागांमुळे 2) एवढे बल कार्य करते.
जर तार \( dx \) अंतराने बाहेर ओढली, तर केलेले कार्य:
$$ dW = F \cdot dx = 2TL \cdot dx $$
क्षेत्रफळातील वाढ \( dA = 2(L \cdot dx) \).
म्हणून, \( dW = T (2L \cdot dx) = T \cdot dA \).
हे कार्य पृष्ठीय ऊर्जा \( E \) म्हणून साठवले जाते.
$$ \text{पृष्ठीय ऊर्जा } (E) = T \times \text{क्षेत्रफळातील वाढ } (dA) $$
$$ T = \frac{\text{पृष्ठीय ऊर्जा}}{\text{क्षेत्रफळ}} $$

प्र. १९. समतापी प्रक्रिया (isothermal process) म्हणजे काय? समतापी प्रक्रियेमध्ये वायूकडून घडलेल्या कार्याची पदावली मिळवा.

उत्तर:

समतापी प्रक्रिया: ज्या उष्मागतिकी प्रक्रियेमध्ये प्रणालीचे तापमान सुरुवातीपासून शेवटपर्यंत स्थिर राहते, त्या प्रक्रियेला समतापी प्रक्रिया म्हणतात.

कार्य (Work Done):
कार्य \( W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV \).
आदर्श वायूसाठी, \( PV = nRT \implies P = \frac{nRT}{V} \).
T स्थिर असल्याने:
$$ W = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V} \, dV $$
$$ W = nRT \int_{V_i}^{V_f} \frac{1}{V} \, dV $$
$$ W = nRT [\ln V]_{V_i}^{V_f} $$
$$ W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) $$

प्र. २०. ताणलेल्या तारेवरील स्थिर तरंगाची पदावली अनुसिद्ध करा. दोन लगतच्या निस्पंद (nodes) किंवा प्रतिनिस्पंद (antinodes) मधील अंतर \( \lambda/2 \) आहे सिद्ध करा.

उत्तर:

विरुद्ध दिशेने प्रवास करणाऱ्या दोन समान प्रगामी लहरींचा विचार करा:
\( y_1 = A \sin(\omega t - kx) \)
\( y_2 = A \sin(\omega t + kx) \)
सुपरपोजिशन तत्त्वानुसार: \( y = y_1 + y_2 \)
\( y = A [\sin(\omega t - kx) + \sin(\omega t + kx)] \)
सूत्र वापरून \( \sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2}) \):
\( y = 2A \sin(\omega t) \cos(-kx) = 2A \cos(kx) \sin(\omega t) \).
हे स्थिर तरंगाचे समीकरण आहे.

नोड्समधील अंतर:
नोड्स जिथे आयाम शून्य असतो: \( \cos(kx) = 0 \).
\( kx = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \dots \)
\( \frac{2\pi}{\lambda} x = (2n-1)\frac{\pi}{2} \implies x = (2n-1)\frac{\lambda}{4} \).
लगतचे नोड्स \( x_n = \frac{\lambda}{4} \) आणि \( x_{n+1} = \frac{3\lambda}{4} \) येथे असतात.
अंतर = \( \frac{3\lambda}{4} - \frac{\lambda}{4} = \frac{2\lambda}{4} = \frac{\lambda}{2} \).

प्र. २१. भिन्नदिक स्रोताला (AC source) जोडलेल्या प्रे.सं.रो. (LCR circuit) परीपथाच्या संरोधाची (impedance) पदावली अनुसिद्ध करा. प्रावस्था आकृती (phasor diagram) काढा.

उत्तर:

समजा एकसर LCR परिपथात रोध \( R \), प्रेरकत्व \( L \), आणि धारिता \( C \) जोडलेले आहेत.
विद्युतधारा \( I = I_0 \sin(\omega t) \).
विभवांतर:
\( V_R \) हा \( I \) च्या समान कलेत असतो.
\( V_L \) हा \( I \) च्या \( 90^\circ \) ने पुढे असतो.
\( V_C \) हा \( I \) च्या \( 90^\circ \) ने मागे असतो.
फेझर आकृतीवरून, एकूण व्होल्टेज \( V \) हे सदिश बेरीज असते:
\( V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2} \)
\( V = \sqrt{(IR)^2 + (IX_L - IX_C)^2} \)
\( V = I \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \)
संरोध (Impedance) \( Z = \frac{V}{I} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \).

[फेझर आकृती: X-अक्षावर \( V_R \), Y-अक्षावर वर \( V_L \) आणि खाली \( V_C \). परिणामी \( V \) आणि कोन \( \phi \)]

प्र. २२. हायड्रोजन अणुतील बामर (Balmer series) मालिकेतील पहिल्या दोन रेषांची तरंगलांबी काढा.

उत्तर:

सूत्र: \( \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right) \), येथे \( R_H = 1.097 \times 10^7 \, \text{m}^{-1} \).

1. पहिली रेषा (\( H_\alpha \)): \( n = 3 \).
\( \frac{1}{\lambda_1} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{5}{36} \right) \)
\( \lambda_1 = \frac{36}{5 \times 1.097 \times 10^7} \approx 6.563 \times 10^{-7} \text{ m} = 6563 \, \mathring{A} \).

2. दुसरी रेषा (\( H_\beta \)): \( n = 4 \).
\( \frac{1}{\lambda_2} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{3}{16} \right) \)
\( \lambda_2 = \frac{16}{3 \times 1.097 \times 10^7} \approx 4.861 \times 10^{-7} \text{ m} = 4861 \, \mathring{A} \).

प्र. २३. विद्युत प्रवाह वाहून नेणाऱ्या चक्रीयचे (toroid) अंतर्गत वेढे, चुंबकीय प्रभाव्यता \( \chi = 2.1 \times 10^{-5} \) असलेल्या लिथिअमने भरलेले आहे. लिथीअम असताना चुंबकीय क्षेत्राची शेकडा प्रति/वाढ नसतानांच्या किती टक्के आहे?

उत्तर:

लिथिअम नसताना चुंबकीय क्षेत्र \( B_0 = \mu_0 n I \).
लिथिअम असताना चुंबकीय क्षेत्र \( B = \mu n I = \mu_0 (1 + \chi) n I \).
\( B = B_0 (1 + \chi) \).
वाढ \( \Delta B = B - B_0 = B_0 \chi \).
शेकडा वाढ = \( \frac{\Delta B}{B_0} \times 100\% = \chi \times 100\% \).
\( \% \text{ वाढ} = 2.1 \times 10^{-5} \times 100 = 2.1 \times 10^{-3} \% = 0.0021\% \).

प्र. २४. एक वर्तुळाकार रस्त्याची त्रिज्या 200m आहे. जर कारचा सुरक्षित पणे चालवण्याचा कमाल वेग 25 m/sec असेल तर कलाचा कोन (angle of banking) काढा.

उत्तर:

बँकिंग कोनाचे सूत्र \( \theta \) :
\( \tan\theta = \frac{v^2}{rg} \).
दिलेले: \( r = 200 \) m, \( v = 25 \) m/s, \( g = 9.8 \) m/s\(^2\).
\( \tan\theta = \frac{25^2}{200 \times 9.8} = \frac{625}{1960} \).
\( \tan\theta \approx 0.3189 \).
\( \theta = \tan^{-1}(0.3189) \approx 17.69^\circ \) (किंवा \( 17^\circ 41' \)).

प्र. २५. मेअरचे समीकरण सिद्ध करा. \( C_p - C_v = \frac{R}{J} \)

उत्तर:

एक मोल आदर्श वायू विचारात घ्या.
प्रक्रिया 1 (स्थिर आकारमान): उष्णता दिली \( dQ_v = C_v dT \). \( dV=0 \) असल्यामुळे, कार्य \( dW=0 \). पहिल्या नियमानुसार, \( dU = C_v dT \).
प्रक्रिया 2 (स्थिर दाब): उष्णता दिली \( dQ_p = C_p dT \). कार्य \( dW = P dV \).
पहिल्या नियमानुसार, \( dQ_p = dU + dW \).
\( C_p dT = C_v dT + P dV \).
आदर्श वायू समीकरण \( PV = RT \) चे विकलन करून: \( P dV = R dT \).
\( C_p dT = C_v dT + R dT \).
\( C_p = C_v + R \implies C_p - C_v = R \) (कार्याच्या एककात).
यांत्रिक समतुल्यांक \( J \) ने भागून:
$$ C_p - C_v = \frac{R}{J} $$

प्र. २६. एक भिन्नदिक विभव (A.C. voltage) पुढील प्रमाणे दिले आहे.
\( e = 8\sin 628.4t \)
काढा (शोधा) :
(i) वि.गा.ब. ( सर्वाधिक peak value of e.m.f.)
(ii) वि.गा.ब. ची वारंवारता
(iii) t = 10 ms वेळेला तत्क्षणिक वि.गा. बलाची किंमत (instantaneous value of e.m.f.)

उत्तर:

तुलना करून \( e = e_0 \sin(\omega t) \):

(i) महत्तम मूल्य (Peak value) \( e_0 \):
\( e_0 = 8 \) V.

(ii) वारंवारता (Frequency):
\( \omega = 628.4 \) rad/s.
\( 2\pi f = 628.4 \Rightarrow f = \frac{628.4}{2 \times 3.142} = \frac{628.4}{6.284} = 100 \) Hz.

(iii) \( t = 10 \) ms वर तत्क्षणिक मूल्य:
\( t = 0.01 \) s.
\( e = 8 \sin(628.4 \times 0.01) = 8 \sin(6.284) \).
\( 6.284 \text{ rad} \approx 2\pi \text{ rad} \).
\( e = 8 \sin(2\pi) = 8 \times 0 = 0 \) V.

विभाग – ड (Section D)

खालीलपैकी कोणतेही तीन प्रश्न सोडवा : [१२]

प्र. २७. रोहित्र म्हणजे काय? रोहित्राची (transformer) रचना व कार्य स्पष्ट करा. रोहित्राची पदावली मिळवा.

उत्तर:

व्याख्या: अन्योन्य प्रवर्तन (mutual induction) तत्त्वाचा वापर करून कमी व्होल्टेजचे रूपांतर उच्च व्होल्टेजमध्ये किंवा उच्च व्होल्टेजचे रूपांतर कमी व्होल्टेजमध्ये करण्यासाठी वापरल्या जाणाऱ्या उपकरणाला रोहित्र (Transformer) म्हणतात.

रचना: यामध्ये मृदू लोखंडाचा गाभा (soft iron core) असतो आणि त्यावर तांब्याच्या दोन स्वतंत्र गुंडाळ्या (coils) गुंडाळलेल्या असतात. इनपुटला जोडलेल्या कुंडलिला प्राथमिक कुंडल (\( N_p \)) आणि आउटपुटला जोडलेल्या कुंडलिला दुय्यम कुंडल (\( N_s \)) म्हणतात.

कार्य: जेव्हा प्राथमिक कुंडलातून AC प्रवाह वाहतो, तेव्हा गाभ्यात बदलणारे चुंबकीय फ्लक्स निर्माण होते. हे फ्लक्स दुय्यम कुंडलाशी जोडले जाते आणि अन्योन्य प्रवर्तनामुळे त्यात EMF प्रेरित होते.

समीकरण:
प्राथमिक EMF: \( e_p = -N_p \frac{d\phi}{dt} \).
दुय्यम EMF: \( e_s = -N_s \frac{d\phi}{dt} \).
गुणोत्तर:
$$ \frac{e_s}{e_p} = \frac{N_s}{N_p} $$

प्र. २८. व्यतिकरणाच्या दोन फटी प्रयोगाच्या भौमितिक रचनेवरून झल्लरी रुंदीची (width) पदावली अनुसिद्ध करा.

उत्तर:

समजा \( S_1 \) आणि \( S_2 \) हे दोन सुसंगत स्त्रोत \( d \) अंतरावर आहेत आणि पडदा \( D \) अंतरावर आहे.

पडद्यावरील P बिंदूवर पोहोचणाऱ्या लहरींमधील पथफरक (path difference):
\( \Delta x = S_2P - S_1P \).
भूमितीनुसार (\( D \gg d \) मानून):
\( S_2P^2 - S_1P^2 = 2yd \).
\( (S_2P - S_1P)(S_2P + S_1P) \approx \Delta x \cdot 2D \).
\( \Delta x = \frac{yd}{D} \).

प्रखर पट्टीसाठी (Constructive Interference):
\( \Delta x = n\lambda \implies y_n = \frac{n\lambda D}{d} \).

झल्लरी रुंदी (\( X \) किंवा \( \beta \)): दोन लगतच्या प्रखर पट्ट्यांमधील अंतर.
\( X = y_{n+1} - y_n = \frac{(n+1)\lambda D}{d} - \frac{n\lambda D}{d} \).
$$ X = \frac{\lambda D}{d} $$

प्र. २९. प्रवाह मापक आणि विभवमापक (ammeter and voltmeter) यांमधील फरकाचे प्रत्येकी दोन मुद्दे लिहा.
सरल आवर्त गतीतील कणाचे विस्थापन त्याच्या आयामाच्या \( \frac{1}{3} \) आहे. कणाची गतिज ऊर्जा एकूण ऊर्जेचा कितवा भाग असेल?

उत्तर:

फरक:

ॲमीटर (Ammeter)	व्होल्टमीटर (Voltmeter)
विद्युतधारा मोजण्यासाठी वापरतात.	विभवांतर मोजण्यासाठी वापरतात.
परिपथात एकसर (series) जोडतात.	परिपथात समांतर (parallel) जोडतात.
रोध खूप कमी असतो.	रोध खूप जास्त असतो.

उदाहरणाचे उत्तर:
विस्थापन \( x = \frac{A}{3} \).
एकूण ऊर्जा \( E = \frac{1}{2}kA^2 \).
स्थितिज ऊर्जा \( U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k(\frac{A}{3})^2 = \frac{1}{9} (\frac{1}{2}kA^2) = \frac{E}{9} \).
गतिज ऊर्जा \( K = E - U = E - \frac{E}{9} = \frac{8E}{9} \).
गतिज ऊर्जा ही एकूण ऊर्जेच्या \( \frac{8}{9} \) पट असेल.

प्र. ३०. फेरीच्या परिपूर्ण कृष्णिकेची सुबक आणि नामनिर्देशित आकृती काढा. 227ºC तापमानाला असणाऱ्या हायड्रोजन रेणूचा वर्गमूळ वर्गमाध्य वेगाची (rms speed) तुलना 127ºC तापमानाला ऑक्सिजन रेणूच्या वर्गमूळ वर्गमाध्य वेगाशी करा. दिलेले आहे: हायड्रोजन आणि ऑक्सिजनचे रेणू वस्तुमान अनुक्रम 2 आणि 32.

उत्तर:

[फेरीची कृष्णिका आकृती: दुहेरी भिंतीचा पोकळ गोल, छिद्र, छिद्रासमोर शंकूच्या आकाराचा उंचवटा, भिंतींमधील पोकळी.]

उदाहरणाचे उत्तर:
RMS वेग \( v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \).
हायड्रोजन (\( H_2 \)): \( T_H = 227+273 = 500 \) K, \( M_H = 2 \).
ऑक्सिजन (\( O_2 \)): \( T_O = 127+273 = 400 \) K, \( M_O = 32 \).
गुणोत्तर:
$$ \frac{v_H}{v_O} = \sqrt{\frac{T_H}{M_H} \times \frac{M_O}{T_O}} $$
$$ \frac{v_H}{v_O} = \sqrt{\frac{500}{2} \times \frac{32}{400}} $$
$$ \frac{v_H}{v_O} = \sqrt{250 \times 0.08} = \sqrt{20} $$
$$ \frac{v_H}{v_O} = 2\sqrt{5} \approx 4.47 $$

प्र. ३१. प्रभारित संधारित्रामध्ये (charge capacitor) साठवलेल्या ऊर्जेची पदावली अनुसिद्ध करा.
15 cm त्रिज्येच्या धातू गोलावर 2µC भार आहे. गोलाच्या केंद्रापासून 20 cm अंतरावर विद्युत क्षेत्राची गणना करा.

उत्तर:

सिद्धता:
चार्ज करताना, जर सध्याचा चार्ज \( q \) आणि विभव \( V = q/C \) असेल, तर अतिरिक्त चार्ज \( dq \) देण्यासाठी केलेले कार्य:
\( dW = V dq = \frac{q}{C} dq \).
एकूण कार्य (0 ते Q चार्ज करण्यासाठी):
\( W = \int_0^Q \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} [\frac{q^2}{2}]_0^Q = \frac{Q^2}{2C} \).
हे कार्य ऊर्जा म्हणून साठवले जाते \( U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2 \).

उदाहरणाचे उत्तर:
त्रिज्या \( R = 15 \) cm. चार्ज \( Q = 2 \mu C = 2 \times 10^{-6} \) C.
अंतर \( r = 20 \) cm \( = 0.2 \) m.
\( r > R \) असल्याने, बिंदू गोलाच्या बाहेर आहे.
विद्युत क्षेत्र \( E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \).
\( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \) Nm\(^2\)/C\(^2\) वापरून.
$$ E = \frac{9 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{(0.2)^2} $$
$$ E = \frac{18 \times 10^3}{0.04} = \frac{18000}{0.04} $$
$$ E = 450,000 \, \text{N/C} = 4.5 \times 10^5 \, \text{N/C} $$