Physics - March 2025 - Marathi Medium HSC Solution for Board Exam.

Physics (54) Board Question Paper Solution (Marathi Medium)

HSC 2025 Maharashtra Board Exam - Fully Solved J-288

विभाग – अ (Section A)

प्र. १. खालील बहुपर्यायी प्रश्नांची योग्य उत्तरे निवडा व लिहा : [१०]

(i) जर दोन संहती (systems) स्वतंत्रपणे तिसऱ्या संहतेशी तापीय समतोलात असतील तर त्या दोन संहती सुद्धा तापीय समतोलात असतात. हे वाक्य .......... नियमाशी संदर्भ दर्शविते.

उत्तर: (अ) ऊष्मागतिकीचा शून्याचा नियम (Zeroth law of thermodynamics)

(ii) बर्नौलीच्या नियमामध्ये पुढीलपैकी कोणती राशी स्थिर आहे?

उत्तर: (ड) ऊर्जा (Energy)

(iii) खालील पदार्थांपैकी कोणता पदार्थ अंतस्तापनशील (diathermanous) आहे?

उत्तर: (क) काच (Glass)

(iv) बिंदूवत भारामुळे ‘r’ अंतरावरील विद्युत विभव ‘V’, त्याचे .......... च्या समप्रमाणात असते.

उत्तर: (क) \( \frac{1}{r} \)

(v) खालील पैकी कोणती पदावली विभवमापकाच्या सहाय्याने घटाचा आंतरिक रोध मोजण्याचे योग्य सूत्र दर्शविते?

उत्तर: (ड) \( r = R\left(\frac{E}{V} - 1\right) \)

(vi) एक इलेक्ट्रॉन, एक प्रोटॉन, एक \(\alpha\)-कण आणि एक हायड्रोजनचा अणू सारख्याच गतिज ऊर्जेने सरकत आहेत. त्यांच्या संदर्भात डि-ब्रॉग्लीची तरंगलांबी (de-Broglie wavelength) सर्वात जास्त .......... साठी असेल.

उत्तर: (ब) इलेक्ट्रॉन
स्पष्टीकरण: \( \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \). ज्याचे वस्तुमान (m) सर्वात कमी त्याची तरंगलांबी सर्वात जास्त. इलेक्ट्रॉनचे वस्तुमान सर्वात कमी आहे.

(vii) द्वाराचे (Gate) दोन्ही निवेश (input) जास्त असताना निष्पन्न (output) जास्त देणारे द्वार –

उत्तर: (ब) AND द्वार

(viii) छताचा पंखा स्थिर आघूर्ण (torque) 2Nm सहित \(2\pi\) rad/s कोनीय गतीने घूर्णन (rotating) करत असल्यास त्याची शक्ती श्रेणी (power rating) .......... असेल.

उत्तर: (ड) \(4\pi\) W
स्पष्टीकरण: शक्ती \( P = \tau \omega = 2 \times 2\pi = 4\pi \) W.

(ix) एक 2m लांबीची तार दोन वेलांट्यांसह (loops) कंप पावत आहे. तर निस्पंद (node) आणि लगतच्या प्रतिनिस्पंदामधील (adjacent antinode) अंतर .......... असेल.

उत्तर: (अ) 0.5 m
स्पष्टीकरण: तार दोन लूपमध्ये कंप पावते, म्हणून \( L = \lambda = 2 \)m. नोड आणि अँटीनोडमधील अंतर \( \lambda/4 = 2/4 = 0.5 \)m.

(x) एक रोहित्र (transformer) प्रत्यावर्ती वि.गा.ब. 220V (alternating emf) चे 880V मध्ये रूपांतर करते. त्याच्या प्राथमिक कुंडलामध्ये 1000 वेढे आहेत तर दुय्यम कुंडलामध्ये .......... वेढे असतील.

उत्तर: (ड) 4000
स्पष्टीकरण: \( \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} \Rightarrow \frac{880}{220} = \frac{N_s}{1000} \Rightarrow 4 = \frac{N_s}{1000} \Rightarrow N_s = 4000 \).

HSC Physics Board Papers with Solution

• Physics - March 2025 - English Medium View Answer Key
• Physics - March 2025 - Marathi Medium View Answer Key
• Physics - March 2025 - Hindi Medium View Answer Key
• Physics - March 2024 - English Medium View Answer Key Answer Key
• Physics - March 2024 - Marathi Medium View Answer Key
• Physics - March 2024 - Hindi Medium View Answer Key
• Physics - March 2023 - English Medium View Answer Key
• Physics - July 2023 - English Medium View Answer Key
• Physics - March 2013 View
• Physics - October 2013 View
• Physics - March 2014 View
• Physics - October 2014 View
• Physics - March 2015 View
• Physics - July 2015 View
• Physics - March 2016 View
• Physics - July 2016 View
• Physics - March 2017 View
• Physics - July 2017 View

प्र. २. खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा : [८]

(i) कोणत्या तापमानाला द्रवाचा पृष्ठीय ताण (surface tension) शून्य होतो?

क्रांतिक तापमानाला (At critical temperature).

(ii) व्याख्या लिहा : स्वयं प्रेरितता (self induction)

एकाच वेटोळ्यामधून वाहणाऱ्या विद्युत धारेतील बदलामुळे त्याच वेटोळ्यात प्रेरित विद्युत वाहक बल (emf) निर्माण होण्याच्या घटनेला 'स्वयं प्रवर्तन' किंवा 'स्वयं प्रेरितता' असे म्हणतात.

(iii) सरकणाऱ्या भाराच्या वेगाला (velocity of moving charge) बाह्य एक समान चुंबकीय क्षेत्राच्या लंबरूप आहे, तर चुंबकीय क्षेत्राने किती कार्य घडेल?

चुंबकीय क्षेत्राने केलेले कार्य शून्य असेल. (कारण चुंबकीय बल हे विस्थापनाच्या लंब दिशेत कार्य करते).

(iv) ऊष्मागतिकी संहती (thermodynamic system) म्हणजे काय?

ऊष्मागतिकी संहती म्हणजे ठराविक सीमेमध्ये बंदिस्त केलेले आणि सभोवतालच्या परिसरापासून वेगळे केलेले असंख्य रेणूंचा (द्रव्य किंवा प्रारण) समूह होय.

(v) हिस्टरसिस (hysteresis) वलयामध्ये जेव्हा H = 0 असते B च्या किंमतीला काय संबोधले जाते?

धारणशीलता किंवा रिटेंटिव्हिटी (Retentivity) असे म्हणतात.

(vi) कलाच्या कोनाचे (angle of banking) सूत्र सांगा.

सूत्र: \( \tan \theta = \frac{v^2}{rg} \) किंवा \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{v^2}{rg}\right) \).

(vii) एक सपाट विद्युतभारीत पृष्ठभागाच्या (शीटच्या) मध्य बिंदूपासून जवळच्या बिंदूपाशी विद्युत क्षेत्राची तीव्रता (electric field intensity) काढा. [ \(\sigma = 8.85 \mu C/m^2\) ]

सूत्र: \( E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \)
दिलेले: \( \sigma = 8.85 \times 10^{-6} \, \text{C/m}^2 \), \( \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{SI units} \)
गणना: \( E = \frac{8.85 \times 10^{-6}}{2 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{10^6}{2} = 5 \times 10^5 \, \text{N/C} \) (किंवा V/m).

(viii) एक लिटर आकारमानाच्या आदर्श वायूची सर्वसाधारण तापमान आणि दाबावरती (S.T.P) गतिज ऊर्जा काढा.

सूत्र: गतिज ऊर्जा \( = \frac{3}{2} PV \)
दिलेले: \( P = 1.013 \times 10^5 \, \text{N/m}^2 \), \( V = 1 \text{ Litre} = 10^{-3} \, \text{m}^3 \).
गणना: \( E = 1.5 \times 1.013 \times 10^5 \times 10^{-3} \approx 151.95 \) J.

विभाग – ब (Section B)

खालीलपैकी कोणतेही आठ प्रश्न सोडवा : [१६]

प्र. ३. स्पष्ट करा - संवादी आणि अधिस्वरक (harmonics and overtones).

संवादी (Harmonics): 'संवादी' हा शब्द मूळ वारंवारता आणि त्याच्या सर्व पूर्णांक पटीतील वारंवारता दर्शवण्यासाठी वापरला जातो. मूळ वारंवारतेला पहिला संवादी, \(2n\) ला दुसरा संवादी, इत्यादी म्हणतात.

अधिस्वरक (Overtones): मूळ वारंवारतेपेक्षा जास्त असलेल्या आणि प्रत्यक्षात अस्तित्वात असलेल्या वारंवारतांना अधिस्वरक म्हणतात. मूळ वारंवारतेनंतरच्या पहिल्या जास्त वारंवारतेला पहिला अधिस्वरक, त्यानंतरच्या दुसऱ्याला दुसरा अधिस्वरक, असे म्हणतात.

प्र. ४. सोतरेखा प्रवाहासाठीचे न्यूटनचा विष्यंदितेचा नियम वापरून विष्यंदिता गुणांकाची (coefficient of viscosity) पदावली मिळवा.

न्यूटनच्या विष्यंदितेच्या नियमानुसार, प्रवाहाच्या दोन थरांमधील विष्यंद बल (viscous force) \( F \) हे:
१. थराचे क्षेत्रफळ \( A \) ला समप्रमाणात असते.
२. वेग प्रवणता (velocity gradient) \( \frac{dv}{dx} \) ला समप्रमाणात असते.
म्हणून, \( F \propto A \frac{dv}{dx} \Rightarrow F = \eta A \frac{dv}{dx} \).
येथे \( \eta \) हा स्थिरांक असून त्याला विष्यंदिता गुणांक म्हणतात.
पदावली: \( \eta = \frac{F}{A (dv/dx)} \).

प्र. ५. विद्युत वाहून नेणाऱ्या वर्तुळाकार कंसाच्या (circular arc) केंद्रस्थानी विद्युतप्रवाहामुळे निर्माण होणारे चुंबकीय प्रेरणेचे (magnetic induction) सूत्र सांगा. त्यावरून विद्युतप्रवाह वाहणाऱ्या पूर्ण वर्तुळाकार तारेच्या केंद्रस्थानी चुंबकीय प्रेरणेची पदावली मिळवा.

कंसासाठी सूत्र: \( B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} \theta \), येथे \( \theta \) हा कंसाने केंद्रस्थानी केलेला कोन आहे (रेडियनमध्ये).

पूर्ण वर्तुळाकार तारेसाठी: केंद्रस्थानी केलेला कोन \( \theta = 2\pi \) रेडियन असतो.
किंमत टाकून:
\( B = \frac{\mu_0 I}{4\pi r} (2\pi) = \frac{\mu_0 I}{2r} \).

प्र. ६. कोनीय संवेगाच्या अक्षय्यतेचा नियम (Law of conservation of angular momentum) सांगून सिद्ध करा.

नियम: जर एखाद्या फिरणाऱ्या वस्तूवर कार्य करणारे परिणामी बाह्य टॉर्क (torque) शून्य असेल, तर त्या वस्तूचा कोनीय संवेग स्थिर राहतो.

सिद्धता:
आपल्याला माहित आहे की टॉर्क \( \vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} \).
जर \( \vec{\tau}_{ext} = 0 \), तर \( \frac{d\vec{L}}{dt} = 0 \).
याचा अर्थ \( \vec{L} = \text{स्थिरांक} \).
म्हणून \( I\omega = \text{स्थिरांक} \).

प्र. ७. प्रकाश उत्सर्जी डायोडचे (LED) कोणतेही चार फायदे लिहा.

१. कमी ऊर्जा वापरतात (ऊर्जा कार्यक्षम).
२. दीर्घ आयुष्य.
३. चालू/बंद होण्याची क्रिया अत्यंत जलद असते.
४. मजबूत आणि टिकाऊ असतात.
५. पर्यावरणास अनुकूल (पारा नसतो).

प्र. ८. 127°C तापमानात 200 cm² क्षेत्रफळाचा पृष्ठभाग असलेली कृष्णिका (perfectly black body) एक मिनिटात किती ऊर्जा उत्सर्जित करेल?

दिलेले:
क्षेत्रफळ \( A = 200 \text{ cm}^2 = 200 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 2 \times 10^{-2} \text{ m}^2 \)
वेळ \( t = 1 \text{ min} = 60 \text{ s} \)
तापमान \( T = 127 + 273 = 400 \text{ K} \)
स्टीफनचा स्थिरांक \( \sigma = 5.67 \times 10^{-8} \text{ W/m}^2\text{K}^4 \)

सूत्र: \( Q = \sigma A t T^4 \)
गणना:
\( Q = 5.67 \times 10^{-8} \times (2 \times 10^{-2}) \times 60 \times (400)^4 \)
\( Q = 17418.24 \text{ J} \approx 1.74 \times 10^4 \text{ J} \).

प्र. ९. दोन कुंडलांचा स्वप्रवर्तनाचा गुणांक प्रत्येकी 60mH असून त्या एकमेकांच्या सानिध्यात आहेत. त्यांच्यातील युग्मन गुणांक (coupling coefficient) 0.75 आहे तर त्यांच्यातील अन्योन्य प्रवर्तनाचा (mutual inductance) गुणांक काढा.

दिलेले: \( L_1 = 60 \text{ mH}, L_2 = 60 \text{ mH}, k = 0.75 \)
सूत्र: \( M = k \sqrt{L_1 L_2} \)
गणना:
\( M = 0.75 \sqrt{60 \times 60} \)
\( M = 0.75 \times 60 \)
\( M = 45 \text{ mH} \).

प्र. १०. LCR यांच्या एकसरी मांडणीत जर रोधित्र (resistance), प्रेरण प्ररोध (inductive reactance) आणि संधारित्र प्ररोध (capacitive reactance) 3\(\Omega\), 8\(\Omega\) आणि 4\(\Omega\) अनुक्रमे आहे, विद्युत गामक बल व विद्युतधारा यांच्यातील प्रावस्थांतर (phase difference) काढा.

दिलेले: \( R = 3\Omega, X_L = 8\Omega, X_C = 4\Omega \)
सूत्र: \( \tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} \)
गणना:
\( \tan \phi = \frac{8 - 4}{3} = \frac{4}{3} \)
\( \phi = \tan^{-1}(1.333) \approx 53.13^\circ \) किंवा \( 53^\circ 8' \).

प्र. ११. विभवांतर मापक (व्होल्टमीटर) पेक्षा विभवमापक (potentiometer) चे फायदे विशद करा.

१. विभवमापक घटाचे विद्युत चालब बल (emf) अचूक मोजतो कारण तो नल बिंदूच्या वेळी घटातून कोणताही प्रवाह घेत नाही (आदर्श व्होल्टमीटरसारखे कार्य करतो).
२. याचा वापर करून घटाचा आंतरिक रोध मोजता येतो.
३. हा व्होल्टमीटरपेक्षा जास्त संवेदनशील असतो.
४. दोन घटांच्या विद्युत चालक बलांची तुलना करण्यासाठी याचा वापर होतो.

प्र. १२. सुस्पष्ट नामनिर्देशित पूर्ण तरंग दिष्टकारी (full wave rectifier) उपकरण परिपथाची आकृती काढा.

(विद्यार्थ्यांनी खालीलप्रमाणे आकृती काढावी: एक सेंटर-टॅप ट्रान्सफॉर्मर, दुय्यम कुंडलला जोडलेले दोन डायोड्स D1 आणि D2, आणि लोड रोध \( R_L \) जो सेंटर टॅप आणि डायोड्सच्या कॉमन कॅथोड दरम्यान जोडलेला आहे.)

[आकृती जागा: पूर्ण तरंग दिष्टकारी (Full Wave Rectifier)]

प्र. १३. 0.8 kg वस्तुमानाची वस्तू रेखीय सरल आवर्त गती पार पाडत आहे. वस्तू मध्यापासून 4 cm अंतरावर असताना 0.4 N परिमाणाचे पुनर्स्थापी (restoring force) बल अनुभवते काढा – बल स्थिरांक (force constant) आणि सरल आवर्त गतिचा काल (period of SHM).

दिलेले: \( m = 0.8 \text{ kg} \), \( F = 0.4 \text{ N} \), \( x = 4 \text{ cm} = 0.04 \text{ m} \).
१. बल स्थिरांक (k):
\( F = kx \Rightarrow k = \frac{F}{x} = \frac{0.4}{0.04} = 10 \text{ N/m} \).
२. आवर्त काल (T):
\( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.8}{10}} = 2\pi \sqrt{0.08} \)
\( T \approx 2 \times 3.142 \times 0.2828 \approx 1.78 \text{ s} \).

प्र. १४. 0.5 मोल वायू 300 K स्थिर तापमानाला, सुरुवातीच्या 2.0 लिटर आकारमानापासून शेवटचे आकारमान 6.0 लिटरपर्यंत प्रसरण पावतो. वायूकडून घडलेले कार्य काढा.

दिलेले: \( n = 0.5 \), \( T = 300 \text{ K} \), \( V_1 = 2 \text{ L}, V_2 = 6 \text{ L} \), \( R = 8.319 \text{ J/mol K} \).
सूत्र: \( W = 2.303 nRT \log_{10}\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \)
गणना:
\( W = 2.303 \times 0.5 \times 8.319 \times 300 \times \log_{10}(3) \)
\( W = 2.303 \times 1247.85 \times 0.4771 \)
\( W \approx 1371 \text{ J} \).

विभाग – क (Section C)

खालीलपैकी कोणतेही आठ प्रश्न सोडवा : [२४]

प्र. १५. एक समान चुंबकीय प्रारणाच्या क्षेत्रामध्ये कंप पावणाऱ्या आणि सरल आवर्त गती प्राप्त करणाऱ्या चुंबकाच्या आवर्तकालाची पदावली अनुसिद्ध करा.

एक \( \mu \) चुंबकीय द्विध्रुव संवेग आणि \( I \) जडत्व आघूर्ण (Moment of Inertia) असलेला चुंबक \( B \) चुंबकीय क्षेत्रात ठेवला आहे.
जर त्याला \( \theta \) कोनातून विचलित केले, तर पुनर्स्थापी टॉर्क \( \tau = -\mu B \sin \theta \).
लहान कोनासाठी, \( \sin \theta \approx \theta \), म्हणून \( \tau = -\mu B \theta \).
तसेच \( \tau = I \alpha \).
म्हणून \( \alpha = -\left(\frac{\mu B}{I}\right) \theta \).
ही सरल आवर्त गतीची अट आहे. येथे \( \omega^2 = \frac{\mu B}{I} \).
आवर्तकाल \( T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\mu B}} \).

प्र. १६. ऊष्मागतिकी संहिते मधील व्याख्या लिहा. (a) यांत्रिक संतुलन (b) रासायनिक संतुलन (c) औष्णिक संतुलन

(a) यांत्रिक संतुलन (Mechanical equilibrium): जेव्हा संहतीमध्ये कोणतेही असंतुलित बल नसते आणि दाब सर्वत्र समान असतो, तेव्हा ती संहती यांत्रिक संतुलनात असते.
(b) रासायनिक संतुलन (Chemical equilibrium): जेव्हा संहतीमध्ये कोणतीही रासायनिक अभिक्रिया होत नाही आणि द्रव्याचे एका भागातून दुसऱ्या भागात स्थलांतर होत नाही, तेव्हा ती रासायनिक संतुलनात असते.
(c) औष्णिक संतुलन (Thermal equilibrium): जेव्हा संहतीचे तापमान सर्वत्र समान असते आणि वेळेनुसार बदलत नाही, तेव्हा ती औष्णिक संतुलनात असते.

प्र. १७. ब्रुस्टरचा नियम (Brewster’s law) काय आहे? ब्रुस्टरच्या कोनाचे सूत्र मिळवा.

ब्रुस्टरचा नियम: "ध्रुवीभवन कोनाच्या (Brewster's angle) टँजंटची किंमत ही माध्यमाच्या अपवर्तनांकाइतकी असते."
सूत्र मिळवणे:
जेव्हा प्रकाश ध्रुवीभवन कोनावर (\( i_p \)) आपाती होतो, तेव्हा परावर्तित आणि अपवर्तित किरण एकमेकांना लंब असतात.
म्हणून \( r + 90^\circ + i_p = 180^\circ \Rightarrow r = 90^\circ - i_p \).
स्नेलच्या नियमानुसार: \( \mu = \frac{\sin i_p}{\sin r} = \frac{\sin i_p}{\sin(90^\circ - i_p)} \).
\( \mu = \frac{\sin i_p}{\cos i_p} = \tan i_p \).

प्र. १८. किरणोत्सारी ऱ्हासाच्या नियमाचे सूत्र मिळवा. व्याख्या लिहा- एक बॅक्वेरल [one becquerel (Bq)]

सूत्र: विघटन होण्याचा दर हा त्या वेळी उपस्थित असलेल्या केंद्रकांच्या संख्येच्या समप्रमाणात असतो.
\( \frac{dN}{dt} \propto -N \Rightarrow \frac{dN}{dt} = -\lambda N \).
संकलन करून (Integrating): \( N = N_0 e^{-\lambda t} \).

एक बॅक्वेरल (1 Bq): किरणोत्सारी पदार्थाचा ऱ्हास होण्याचा दर जेव्हा प्रति सेकंद एक विघटन (one disintegration per second) असतो, तेव्हा त्याला एक बॅक्वेरल असे म्हणतात.

प्र. १९. किरचॉफचा उष्णता प्रारणाचा नियम सांगा आणि सिद्ध करा.

नियम: "दिलेल्या तापमानाला, कोणत्याही वस्तूचा शोषण गुणांक (coefficient of absorption) हा तिच्या उत्सर्जन गुणांकाइतका (coefficient of emission) असतो." म्हणजेच \( a = e \).
सिद्धता: एका बंदिस्त जागेत समान तापमानाला एक सामान्य वस्तू A आणि एक कृष्णिका B ठेवा.
समतोल अवस्थेत, वस्तूने उत्सर्जित केलेली उष्णता = वस्तूने शोषलेली उष्णता.
सामान्य वस्तूसाठी: \( R = a Q \).
कृष्णिकेसाठी: \( R_b = Q \) (कारण \( a=1 \)).
म्हणून \( R = a R_b \Rightarrow \frac{R}{R_b} = a \).
परंतु \( \frac{R}{R_b} = e \) (उत्सर्जन गुणांकाची व्याख्या).
म्हणून \( a = e \).

प्र. २०. प्रायोगिक पद्धतीने टोकाची संशुद्धी (end correction) ची पदावली प्राप्त करा. (i) दोन्ही टोके खुली असलेल्या नलिकेसाठी (ii) एक टोक बंद असलेल्या नलिकेसाठी

(i) दोन्ही टोके खुली असलेली नलिका:
\( v = 2n_1(l_1 + 2e) \) आणि \( v = 2n_2(l_2 + 2e) \).
सोडवल्यावर: \( e = \frac{n_2 l_2 - n_1 l_1}{2(n_1 - n_2)} \).

(ii) एक टोक बंद असलेली नलिका:
\( v = 4n_1(l_1 + e) \) आणि \( v = 4n_2(l_2 + e) \).
सोडवल्यावर: \( e = \frac{n_2 l_2 - n_1 l_1}{n_1 - n_2} \).

प्र. २१. एक वाहक सळई स्थिर कोनीय वेगाने, एका टोकाला आधाराच्या सहाय्याने घूर्णन (rotating) करत आहे. घूर्णनाचे प्रतल एकविध चुंबकीय क्षेत्रा लंबरूप आहे. सळईच्या टोकांमध्ये प्रवर्तित होणारे घूर्णी वि.गा.ब.ची (rotational e.m.f.) पदावली मिळवा.

\( l \) लांबीची सळई \( \omega \) कोनीय वेगाने \( B \) चुंबकीय क्षेत्रात फिरत आहे.
केंद्रापासून \( r \) अंतरावरील \( dr \) लांबीचा छोटा भाग घ्या. त्याचा वेग \( v = r\omega \).
या भागात प्रेरित होणारे emf \( de = B v dr = B (r\omega) dr \).
एकूण emf \( E = \int_0^l B \omega r \, dr = B\omega \left[\frac{r^2}{2}\right]_0^l \).
\( E = \frac{1}{2} B \omega l^2 \).

प्र. २२. हायड्रोजन अणुमध्ये इलेक्ट्रॉन दुसऱ्या कक्षे मध्ये \(10^{-8}\)s इतक्या कालावधीसाठी राहतो. त्या कालावधी मध्ये इलेक्ट्रॉन केंद्राकाभोवती किती फेरे पूर्ण करेल?

दिलेले: \( n=2, t=10^{-8} \) s.
दुसऱ्या कक्षेतील वेग \( v_2 \approx 1.09 \times 10^6 \) m/s.
दुसऱ्या कक्षेची त्रिज्या \( r_2 \approx 2.12 \times 10^{-10} \) m.
वारंवारता \( f = \frac{v_2}{2\pi r_2} \approx 8.2 \times 10^{14} \) Hz.
फेऱ्यांची संख्या \( N = f \times t = 8.2 \times 10^{14} \times 10^{-8} = 8.2 \times 10^6 \).

प्र. २३. चलित्राच्या चक्राचे वस्तुमान 100 kg आणि त्रिज्या 1.5 m आहे. चलित्र 2000 Nm चे स्थिर आघूर्ण (torque) निर्माण करत आहे. चक्राने स्थिर अवस्थेतून घूर्णनास सुरुवात केली आहे. प्रथम चार फेऱ्यांमध्ये घडलेले कार्य काढा.

दिलेले: \( \tau = 2000 \) Nm, \( \theta = 4 \) फेऱ्या \( = 4 \times 2\pi = 8\pi \) रेडियन.
कार्य:
\( W = \tau \theta \)
\( W = 2000 \times 8\pi = 16000\pi \) J.
\( W \approx 16000 \times 3.142 = 50,272 \) J.

प्र. २४. एका विद्युत प्रवाह दर्शकाचा रोध 50\(\Omega\) आणि पूर्ण विक्षेपणासाठी (full scale deflection) 2 mA विद्युतधारा आवश्यक आहे. त्याला पुढीलप्रमाणे रूपांतर करण्यासाठी किती रोध आवश्यक आहे ते काढा.

दिलेले: \( G = 50\Omega, I_g = 0.002 \text{ A} \).
(i) 0.5 A पल्ल्याचा प्रवाहमापक (Ammeter):
शंट रोध \( S = \frac{I_g G}{I - I_g} = \frac{0.002 \times 50}{0.5 - 0.002} \approx 0.2008 \, \Omega \).
(ii) 10 V पल्ल्याचा विभवमापक (Voltmeter):
एकसरी रोध \( R = \frac{V}{I_g} - G = \frac{10}{0.002} - 50 = 5000 - 50 = 4950 \, \Omega \).

प्र. २५. पाण्याच्या एका थेंबाचा व्यास 0.6 mm आहे. द्रवाच्या थेंबाचा आतील दाब काढा. (T = 72 dyne/cm, वातावरणीय दाब = \(1.013 \times 10^5\) N/m²)

दिलेले: \( r = 0.3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-4} \text{ m} \), \( T = 0.072 \text{ N/m} \).
अतिरिक्त दाब: \( P_{ex} = \frac{2T}{r} = \frac{2 \times 0.072}{3 \times 10^{-4}} = 480 \text{ Pa} \).
एकूण दाब: \( P_{in} = P_{atm} + P_{ex} = 101300 + 480 = 101780 \text{ N/m}^2 \).

प्र. २६. सरळ नालकुंतलाची लांबी \(\pi\)m आणि व्यास 5 cm असून 1000 वेढ्यांचे बनलेले आहे. त्यातून 5 A इतका विद्युत प्रवाह वाहतो, त्याच्या अक्षावर मध्य स्थानी चुंबकीय प्रेरण काढा.

दिलेले: \( L = \pi \text{ m}, N = 1000, I = 5 \text{ A} \).
\( n = \frac{N}{L} = \frac{1000}{\pi} \).
सूत्र: \( B = \mu_0 n I \)
गणना:
\( B = 4\pi \times 10^{-7} \times \frac{1000}{\pi} \times 5 = 20 \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-3} \text{ T} \).

विभाग – ड (Section D)

खालीलपैकी कोणतेही तीन प्रश्न सोडवा : [१२]

प्र. २७. फेरोचुंबकत्व (Ferromagnetism) म्हणजे काय? अधिक्षेत्र सिद्धांतानुसार (domain theory) फेरोचुंबकत्वाची संकल्पना स्पष्ट करा.

फेरोचुंबकत्व: लोह, कोबाल्ट, निकेल यांसारखे पदार्थ चुंबकाकडे प्रकर्षाने आकर्षित होतात आणि कायमचे चुंबक बनू शकतात. या गुणधर्माला फेरोचुंबकत्व म्हणतात.
अधिक्षेत्र सिद्धांत (Domain Theory):
१. फेरोचुंबकीय पदार्थात अणूंचे छोटे गट असतात ज्यांना 'डोमेन' म्हणतात. एका डोमेनमध्ये सर्व अणूंचे चुंबकीय आघूर्ण एकाच दिशेत असतात.
२. अचुंबकीय अवस्थेत डोमेन्स यादृच्छिक (random) दिशेत असतात, त्यामुळे निव्वळ चुंबकत्व शून्य असते.
३. बाह्य चुंबकीय क्षेत्रात ठेवल्यावर, क्षेत्राच्या दिशेने असलेले डोमेन्स मोठे होतात किंवा इतर डोमेन्स फिरून क्षेत्राच्या दिशेत येतात, ज्यामुळे पदार्थ चुंबकित होतो.

प्र. २८. LCR एकसरी मांडणीत असणाऱ्या परिपथात खर्च झालेल्या सरासरी शक्तीची (average power) पदावली मिळवा.

तात्कालिक शक्ती \( P = V I \).
येथे \( V = V_m \sin\omega t \) आणि \( I = I_m \sin(\omega t \pm \phi) \).
एका पूर्ण चक्रासाठी सरासरी काढल्यास:
\( P_{avg} = \frac{V_m I_m}{2} \cos\phi \).
\( P_{avg} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} \frac{I_m}{\sqrt{2}} \cos\phi = V_{rms} I_{rms} \cos\phi \).

प्र. २९. प्रकाशाचे व्यतिकरण आणि विवर्तन (interference and diffraction) यातील फरक सांगा. दोन फटी मांडणीत 589 nm तरंगलांबीच्या सोडियम प्रकाशाचे व्यतिकरण पट्टे तयार होतात, जे 0.20 degree (अंश) ने दूर आहेत. संपूर्ण मांडणी पाण्यामध्ये बुडविली असता पट्टयांमधील कोनीय रूंदी काढा. (पाण्याचा अपवर्तनांक = 1.33)

फरक: व्यतिकरण हे दोन सुसंवाद उगमस्थानांमधून येणाऱ्या लहरींच्या एकत्रीकरणामुळे होते, तर विवर्तन हे एकाच तरंगाग्रच्या दुय्यम लहरींच्या व्यतिकरणामुळे होते.

गणित:
दिलेले: \( \theta_{air} = 0.20^\circ \), \( \mu = 1.33 \).
हवेतील कोनीय रूंदी \( \theta_{air} = \frac{\lambda}{d} \).
पाण्यातील तरंगलांबी \( \lambda_w = \frac{\lambda}{\mu} \).
पाण्यातील कोनीय रूंदी \( \theta_{water} = \frac{\lambda_w}{d} = \frac{\lambda}{\mu d} = \frac{\theta_{air}}{\mu} \).
\( \theta_{water} = \frac{0.20}{1.33} \approx 0.15^\circ \).

प्र. ३०. आइनस्टाईनचे प्रकाश विद्युत धारेचे समीकरण लिहा. समीकरणातील संबंधित प्रत्येक घटकाच्या भौतिक महत्त्वांचा (physical significance) उल्लेख करा. पडणाऱ्या प्रकाशाची तरंगलांबी 4000Å आहे. त्यातील प्रकाश कणाची (फोटॉन) ऊर्जा काढा.

समीकरण: \( h\nu = \phi_0 + K_{max} \).
महत्त्व: फोटॉनची ऊर्जा (\( h\nu \)) ही धातूच्या पृष्ठभागातून इलेक्ट्रॉन बाहेर काढण्यासाठी (कार्य फलन \(\phi_0\)) आणि इलेक्ट्रॉनला गतिज ऊर्जा (\(K_{max}\)) देण्यासाठी वापरली जाते.

गणित:
दिलेले \( \lambda = 4000 \text{ \AA} = 4 \times 10^{-7} \text{ m} \).
\( E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4 \times 10^{-7}} \)
\( E \approx 4.97 \times 10^{-19} \text{ J} \) (सुमारे 3.1 eV).

प्र. ३१. व्हॅन डी ग्राफ जनित्राचे कोणतेही चार उपयोग सांगा. समांतर पत्री हवा (air) संधारित्रामध्ये, विद्युत क्षेत्राची तीव्रता \(2 \times 10^{11}\) V/ms या दराने बदलत आहे. जर प्रत्येक धातूपट्टीचे क्षेत्रफळ 20 cm² असेल तर विस्थापन विद्युत धारा (displacement current) काढा.

उपयोग: १. उच्च विभवांतर निर्माण करण्यासाठी. २. भारीत कणांना उच्च वेगाने त्वरित करण्यासाठी. ३. केंद्रकीय संशोधनात. ४. कर्करोगाच्या उपचारात क्ष-किरण निर्माण करण्यासाठी.

गणित:
दिलेले: \( \frac{dE}{dt} = 2 \times 10^{11} \text{ V/ms} = 2 \times 10^{11} \text{ V m}^{-1}\text{s}^{-1} \).
क्षेत्रफळ \( A = 20 \text{ cm}^2 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \).
सूत्र: \( I_d = \epsilon_0 A \frac{dE}{dt} \).
गणना: \( I_d = 8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{11} \)
\( I_d = 35.4 \times 10^{-4} \text{ A} = 3.54 \text{ mA} \).