10th Maths Quarterly Exam Question Paper with Solutions 2024
தேர்வு: காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - செப்டம்பர் 2024
வகுப்பு: 10
பாடம்: கணிதம்
மாவட்டம்: திருநெல்வேலி
மொத்த மதிப்பெண்கள்: 100
நேரம்: 3.00 மணி
வினாத்தாள் - பக்கம் 1
பகுதி - I (மதிப்பெண்கள்: 14)
அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.
1) $n(A \times B) = 6$ மற்றும் $A = \{1, 3\}$ எனில் $n(B)$ ஆனது
தீர்வு: $n(A) = 2$.
நமக்குத் தெரியும், $n(A \times B) = n(A) \times n(B)$.
$6 = 2 \times n(B)$
$n(B) = \frac{6}{2} = 3$.
2) $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{4, 8, 9, 10\}$. சார்பு $f: A \rightarrow B$ ஆனது $f = \{(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)\}$ எனக்கொடுக்கப்பட்டால் $f$ என்பது
தீர்வு: A-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் B-ல் வெவ்வேறு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே, இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆகும்.
3) $F_1 = 1, F_2 = 3$ மற்றும் $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ எனக்கொடுக்கப்படின் $F_5$ ஆனது
தீர்வு: $F_1 = 1, F_2 = 3$
$F_3 = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4$
$F_4 = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7$
$F_5 = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11$.
4) $\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \dots$ என்ற தொடர்வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
தீர்வு: இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (GP).
பொது விகிதம் $r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{1/8}{3/16} = \frac{1}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{2}{3}$.
அடுத்த உறுப்பு = முந்தைய உறுப்பு $\times r = \frac{1}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$.
5) $\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}$-ன் வர்க்கமூலம்
தீர்வு: வர்க்கமூலம் காண்பதற்கு, கோவையின் அடுக்குகளை 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.
$\sqrt{\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}} = \frac{\sqrt{256} \sqrt{x^8} \sqrt{y^4} \sqrt{z^{10}}}{\sqrt{25} \sqrt{x^6} \sqrt{y^6} \sqrt{z^6}} = \frac{16x^4y^2z^5}{5x^3y^3z^3}$
$= \frac{16}{5} x^{4-3} y^{2-3} z^{5-3} = \frac{16}{5} x^1 y^{-1} z^2 = \frac{16 x z^2}{5 y}$.
6) $\sqrt{a^2x^2 + 2abx + b^2}$ ன் மதிப்பு
தீர்வு: $a^2x^2 + 2abx + b^2 = (ax+b)^2$.
$\sqrt{(ax+b)^2} = |ax+b|$.
7) இருசமபக்க முக்கோணம் $\triangle ABC$-யில் $\angle C = 90^\circ$ மற்றும் $AC = 5$ செ.மீ. எனில் $AB$ ஆனது
தீர்வு: இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணத்தில், $AC = BC = 5$ செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$.
$AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ செ.மீ.
8) $(0, 0)$ மற்றும் $(-8, 8)$ என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு
தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு $m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 0}{-8 - 0} = -1$.
செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு $m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-1} = 1$.
9) $(\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = K + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha$ எனில் K-யின் மதிப்பு
தீர்வு: LHS = $(\sin^2 \alpha + \csc^2 \alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha)$
= $(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \csc^2 \alpha + 2(1) + \sec^2 \alpha + 2(1)$
= $1 + (1+\cot^2 \alpha) + 2 + (1+\tan^2 \alpha) + 2$
= $7 + \tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha$.
RHS உடன் ஒப்பிட, K = 7.
10) $x = a \tan \theta$, $y = b \sec \theta$ எனில்
தீர்வு: $\tan \theta = \frac{x}{a}$, $\sec \theta = \frac{y}{b}$.
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$.
$(\frac{y}{b})^2 - (\frac{x}{a})^2 = 1 \implies \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$.
11) $\triangle LMN$-யில், $\angle L = 60^\circ, \angle M = 50^\circ$ மேலும் $\triangle LMN \sim \triangle PQR$ எனில் $\angle R$-யின் மதிப்பு
தீர்வு: $\triangle LMN$-ல், $\angle N = 180^\circ - (\angle L + \angle M) = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 70^\circ$.
$\triangle LMN \sim \triangle PQR$ என்பதால், ஒத்த கோணங்கள் சமம். $\angle R = \angle N = 70^\circ$.
12) $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ எனில் ABC மற்றும் EDF எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்
தீர்வு: பக்கம்-கோணம்-பக்கம் (SAS) வடிவொத்தமை விதியின்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். $\triangle ABC$-ல் AB, BC க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle B$. $\triangle EDF$-ல் DE, FD க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle D$. எனவே, $\angle B = \angle D$.
13) $3\sqrt{x} = 9$ எனில் 'x'-ன் மதிப்பு
தீர்வு: $3\sqrt{x} = 9 \implies \sqrt{x} = \frac{9}{3} = 3$.
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, $x = 3^2 = 9$.
14) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta = 0$ எனில் '$\theta$'-ன் மதிப்பு
தீர்வு: $\sqrt{3} \sin \theta = \cos \theta \implies \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$, எனவே $\theta = 30^\circ$.
வினாத்தாள் - பக்கம் 2
பகுதி - II (மதிப்பெண்கள்: 20)
எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடையளி. வினா எண் 28க்கு கட்டாயமாக விடையளி.
15) சார்பு வரையறு.
தீர்வு: A மற்றும் B என்ற இரு வெற்றற்ற கணங்களுக்கு இடையேயான ஒரு உறவு f-ல், A-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் B-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு இருக்குமானால், f-ஐ A-லிருந்து B-க்கான சார்பு என்போம்.
16) $A = \{0, 1\}, B = \{0, 1\}, C = \{0, 1\}$ எனில் $(A \cap B) \times C$ ஐக் காண்க.
தீர்வு:
$A \cap B = \{0, 1\} \cap \{0, 1\} = \{0, 1\}$
$(A \cap B) \times C = \{0, 1\} \times \{0, 1\} = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$.
17) $f(x) = 2x+1$ மற்றும் $g(x) = x^2-2$ எனில் $f \circ g$ மற்றும் $g \circ f$ ஐக் காண்க.
தீர்வு:
$f \circ g (x) = f(g(x)) = f(x^2 - 2) = 2(x^2 - 2) + 1 = 2x^2 - 4 + 1 = 2x^2 - 3$.
$g \circ f (x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 2 = (4x^2 + 4x + 1) - 2 = 4x^2 + 4x - 1$.
18) $3 + 1 + \frac{1}{3} + \dots$ என்ற தொடரில் கூடுதல் காண்க.
தீர்வு: இது ஒரு முடிவிலி பெருக்குத் தொடர்.
முதல் உறுப்பு $a = 3$, பொது விகிதம் $r = \frac{1}{3}$.
முடிவிலி உறுப்புகளின் கூடுதல் $S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{3}{1 - 1/3} = \frac{3}{2/3} = \frac{9}{2}$.
19) தீர்க்க: $x+y = 1, x-y = 3$.
தீர்வு:
(1) $x+y=1$
(2) $x-y=3$
(1) + (2) $\implies 2x = 4 \implies x=2$.
$x=2$ ஐ (1)-ல் பிரதியிட, $2+y=1 \implies y=-1$.
தீர்வு: $x=2, y=-1$.
20) வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQR-ன் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ. மற்றும் 24 செ.மீ. ஆகும். PQ = 10 செ.மீ. எனில், AB-ஐக் காண்க.
தீர்வு: வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.
$\frac{\text{சுற்றளவு}(\triangle ABC)}{\text{சுற்றளவு}(\triangle PQR)} = \frac{AB}{PQ}$
$\frac{36}{24} = \frac{AB}{10} \implies \frac{3}{2} = \frac{AB}{10} \implies AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15$ செ.மீ.
21) $(3, 4), (5, 5)$ ஆகிய புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவைக் காண்க.
தீர்வு: தொலைவு $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$d = \sqrt{(5-3)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ அலகுகள்.
22) $(5, 7)$ என்ற புள்ளி வழி செல்லுவதும் (i) X அச்சுக்கு இணையாகவும் (ii) Y அச்சுக்கு இணையாகவும் அமைந்த நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
(i) X அச்சுக்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு $y = k$. புள்ளி $(5, 7)$ வழிச் செல்வதால், $y=7$.
(ii) Y அச்சுக்கு இணையான கோட்டின் சமன்பாடு $x = k$. புள்ளி $(5, 7)$ வழிச் செல்வதால், $x=5$.
23) $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \cot\theta$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு:
LHS = $\frac{1/\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$
$= \frac{1-\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta$ = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
24) 210 மற்றும் 55 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு வகுத்தியை $55x - 325$ என்ற வடிவில் எழுதினால் x-ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு: யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி 210 மற்றும் 55-ன் மீ.பொ.வ காண்போம்.
$210 = 3 \times 55 + 45$
$55 = 1 \times 45 + 10$
$45 = 4 \times 10 + 5$
$10 = 2 \times 5 + 0$.
மீ.பொ.வ = 5.
$55x - 325 = 5 \implies 55x = 330 \implies x = \frac{330}{55} = 6$.
25) ஒரு முடிவுறா பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு 8 மற்றும் முடிவுறா உறுப்புகள் வரை கூடுதல் $\frac{32}{3}$ எனில் அதன் பொதுவிகிதம் காண்க.
தீர்வு: $a=8, S_\infty = \frac{32}{3}$.
$S_\infty = \frac{a}{1-r} \implies \frac{32}{3} = \frac{8}{1-r}$
$32(1-r) = 24 \implies 1-r = \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \implies r = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
26) $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. $\triangle ABC$-யின் பரப்பு 9 செ.மீ² , $\triangle DEF$-யின் பரப்பு 16 செ.மீ² மற்றும் $BC = 2.1$ செ.மீ எனில் EF-ன் நீளம் காண்க.
தீர்வு: வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.
$\frac{\text{பரப்பு}(\triangle ABC)}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = (\frac{BC}{EF})^2$
$\frac{9}{16} = (\frac{2.1}{EF})^2 \implies \frac{3}{4} = \frac{2.1}{EF}$
$EF = \frac{2.1 \times 4}{3} = 0.7 \times 4 = 2.8$ செ.மீ.
27) $361x^4y^2$-ன் வர்க்க மூலம் காண்க.
தீர்வு: $\sqrt{361x^4y^2} = \sqrt{19^2 (x^2)^2 y^2} = 19x^2|y|$.
28) ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு $x^2-x-12$ ச.கி.மீ மற்றும் நீளம் $x-4$ கி.மீ எனில், அதன் அகலத்தைக் காண்க.
தீர்வு: செவ்வகத்தின் பரப்பு = நீளம் $\times$ அகலம்.
அகலம் = $\frac{\text{பரப்பு}}{\text{நீளம்}} = \frac{x^2-x-12}{x-4}$.
பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணி $x^2-x-12 = (x-4)(x+3)$.
அகலம் = $\frac{(x-4)(x+3)}{x-4} = x+3$ கி.மீ.
வினாத்தாள் - பக்கம் 3
பகுதி - III (மதிப்பெண்கள்: 50)
எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடையளி. வினா எண் 42க்கு கட்டாயமாக விடையளி.
29) ஒரு சார்பு 'f' ஆனது $f(x) = 2x-3$ என வரையறுக்கப்பட்டால்,
(i) $\frac{f(0) + f(1)}{2}$ ஐக் காண்க.
(ii) $f(x) = 0$ எனில் x-ஐக் காண்க.
(iii) $f(x) = x$ எனில் x-ஐக் காண்க.
(iv) $f(x) = f(1-x)$ எனில் x-ஐக் காண்க.
தீர்வு: $f(x) = 2x-3$.
(i) $f(0)=2(0)-3=-3$, $f(1)=2(1)-3=-1$. $\frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{-3-1}{2}=-2$.
(ii) $2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x = \frac{3}{2}$.
(iii) $2x-3=x \implies x=3$.
(iv) $2x-3 = 2(1-x)-3 \implies 2x-3 = 2-2x-3 \implies 4x=2 \implies x = \frac{1}{2}$.
30) $f(x)=x^2, g(x)=2x$ மற்றும் $h(x)=x+4$ எனில் $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ என நிறுவுக.
தீர்வு:
LHS: $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$.
$(f \circ g) \circ h(x) = (f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(x+4) = 4(x+4)^2 = 4(x^2+8x+16) = 4x^2+32x+64$.
RHS: $(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(x+4) = 2(x+4) = 2x+8$.
$f \circ (g \circ h)(x) = f(g \circ h(x)) = f(2x+8) = (2x+8)^2 = 4x^2+32x+64$.
LHS = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.
31) சார்பு $f: R \rightarrow R$ ஆனது $f(x) = \begin{cases} 2x+7 & x < -2 \\ x^2-2 & -2 \le x < 3 \\ 3x-2 & x \ge 3 \end{cases}$ என வரையறுக்கப்பட்டால், (i) $f(4)$, (ii) $f(-2)$, (iii) $f(4)+2f(1)$, (iv) $\frac{f(1)-3f(4)}{f(-3)}$ ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
(i) $f(4)$: $x=4 \ge 3$ என்பதால், $f(4) = 3(4)-2 = 10$.
(ii) $f(-2)$: $x=-2$ என்பது $-2 \le x < 3$ என்ற நிபந்தனையில் உள்ளது, $f(-2) = (-2)^2-2 = 2$.
(iii) $f(1)$: $x=1$ என்பது $-2 \le x < 3$ என்ற நிபந்தனையில் உள்ளது, $f(1) = 1^2-2 = -1$.
$f(4)+2f(1) = 10 + 2(-1) = 8$.
(iv) $f(-3)$: $x=-3 < -2$ என்பதால், $f(-3) = 2(-3)+7 = 1$.
$\frac{f(1)-3f(4)}{f(-3)} = \frac{-1-3(10)}{1} = -31$.
32) ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு: மூன்று உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க.
கூடுதல்: $(a-d)+a+(a+d) = 27 \implies 3a=27 \implies a=9$.
பெருக்கற்பலன்: $(a-d)a(a+d) = 288 \implies (9-d)(9)(9+d) = 288$.
$81-d^2 = \frac{288}{9} = 32 \implies d^2 = 49 \implies d=\pm7$.
$d=7$ எனில், உறுப்புகள்: $2, 9, 16$.
$d=-7$ எனில், உறுப்புகள்: $16, 9, 2$.
32) ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
அந்த மூன்று உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை:
1. உறுப்புகளின் கூடுதல் = 27
$(a-d) + a + (a+d) = 27$
$3a = 27$
$a = 9$
2. உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் = 288
$(a-d) \times a \times (a+d) = 288$
$a(a^2 - d^2) = 288$
$a=9$ எனப் பிரதியிட,
$9(9^2 - d^2) = 288$
$81 - d^2 = \frac{288}{9}$
$81 - d^2 = 32$
$d^2 = 81 - 32$
$d^2 = 49$
$d = \pm 7$
நிலை 1: $a=9, d=7$ எனில்,
உறுப்புகள்: $(9-7), 9, (9+7) \Rightarrow 2, 9, 16$.
நிலை 2: $a=9, d=-7$ எனில்,
உறுப்புகள்: $(9-(-7)), 9, (9-7) \Rightarrow 16, 9, 2$.
எனவே, தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16 ஆகும்.
33) ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன் 343 மற்றும் அவற்றின் கூடுதல் $\frac{91}{3}$ எனில் அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
பெருக்குத் தொடரின் மூன்று உறுப்புகள் $\frac{a}{r}, a, ar$ என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை:
1. பெருக்கற்பலன் = 343
$\frac{a}{r} \times a \times ar = 343$
$a^3 = 343 = 7^3$
$a = 7$
2. கூடுதல் = $\frac{91}{3}$
$\frac{a}{r} + a + ar = \frac{91}{3}$
$a(\frac{1}{r} + 1 + r) = \frac{91}{3}$
$a=7$ எனப் பிரதியிட,
$7(\frac{1+r+r^2}{r}) = \frac{91}{3}$
$\frac{1+r+r^2}{r} = \frac{91}{3 \times 7} = \frac{13}{3}$
$3(1+r+r^2) = 13r$
$3+3r+3r^2 = 13r$
$3r^2 - 10r + 3 = 0$
$(3r-1)(r-3) = 0 \Rightarrow r=3$ அல்லது $r=\frac{1}{3}$.
நிலை 1: $a=7, r=3$ எனில், உறுப்புகள் $\frac{7}{3}, 7, 21$.
நிலை 2: $a=7, r=\frac{1}{3}$ எனில், உறுப்புகள் $21, 7, \frac{7}{3}$.
எனவே, தேவையான மூன்று உறுப்புகள் $\frac{7}{3}, 7, 21$ ஆகும்.
34) $5+55+555+ \dots$ என்ற தொடர் வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.
தீர்வு:
$S_n = 5+55+555+ \dots + n$ உறுப்புகள்
$S_n = 5(1+11+111+ \dots + n$ உறுப்புகள்)
$S_n = \frac{5}{9}(9+99+999+ \dots + n$ உறுப்புகள்)
$S_n = \frac{5}{9}[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots + n$ உறுப்புகள்]
$S_n = \frac{5}{9}[(10+10^2+10^3+\dots+n \text{ உறுப்புகள்}) - (1+1+1+\dots+n \text{ உறுப்புகள்})]$
இங்கு, $10+10^2+10^3+\dots$ என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர். $a=10, r=10$.
GP-யின் கூடுதல் $S_{gp} = a\frac{(r^n-1)}{r-1} = 10\frac{(10^n-1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n-1)$.
$1+1+1+\dots+n$ உறுப்புகள் $= n$.
$S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10}{9}(10^n-1) - n \right]$.
35) தீர்க்க: $3x-2y+z = 2, 2x+3y-z = 5, x+y+z = 6$.
தீர்வு:
(1) $3x-2y+z = 2$
(2) $2x+3y-z = 5$
(3) $x+y+z = 6$
(1) + (2) $\Rightarrow (3x+2x) + (-2y+3y) + (z-z) = 2+5$
(4) $5x+y=7$
(2) + (3) $\Rightarrow (2x+x) + (3y+y) + (-z+z) = 5+6$
(5) $3x+4y=11$
சமன்பாடு (4)-ஐ 4-ஆல் பெருக்க,
(6) $20x+4y=28$
(6) - (5) $\Rightarrow (20x-3x) + (4y-4y) = 28-11$
$17x=17 \Rightarrow x=1$.
$x=1$ என (4)-ல் பிரதியிட, $5(1)+y=7 \Rightarrow y=2$.
$x=1, y=2$ என (3)-ல் பிரதியிட, $1+2+z=6 \Rightarrow z=3$.
தீர்வு: $x=1, y=2, z=3$.
36) $64x^4-16x^3+17x^2-2x+1$-ன் வர்க்கமூலம் காண்க.
தீர்வு: (நீள் வகுத்தல் முறை)
8x² -x +1
_________________________
8x²| 64x⁴-16x³+17x²-2x+1
| 64x⁴
|-----------------------
16x²-x|-16x³+17x²
|-16x³+ x²
|-----------------------
16x²-2x+1| 16x²-2x+1
| 16x²-2x+1
|-----------------------
| 0
எனவே, வர்க்கமூலம் $|8x^2 - x + 1|$.
37) சுருக்குக: $\frac{b^2+3b-28}{b^2-49} \div \frac{b^2+4b+4}{b^2-5b-14}$
தீர்வு:
முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துவோம்.
$b^2+3b-28 = (b+7)(b-4)$
$b^2-49 = (b+7)(b-7)$
$b^2+4b+4 = (b+2)^2 = (b+2)(b+2)$
$b^2-5b-14 = (b-7)(b+2)$
$\frac{(b+7)(b-4)}{(b+7)(b-7)} \div \frac{(b+2)(b+2)}{(b-7)(b+2)}$
$= \frac{(b+7)(b-4)}{(b+7)(b-7)} \times \frac{(b-7)(b+2)}{(b+2)(b+2)}$
பொதுவான காரணிகளை நீக்க,
$= \frac{b-4}{b+2}$
38) P மீட்டர் இடைவெளியில் a மீட்டர் மற்றும் b மீட்டர் உயரமுள்ள இரண்டு தூண்கள் உள்ளன. தூண்களின் உச்சியிலிருந்து எதிரேயுள்ள தூண்களின் அடிக்கு வரையப்படும் கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியின் உயரமானது $\frac{ab}{a+b}$ மீட்டர் என்பதை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு:
தூண்கள் AB, CD என்க. $AB=a, CD=b$. தூண்களுக்கு இடைப்பட்ட தூரம் $BD=P$.
AC, BD கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி E. E-லிருந்து BD-க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு EF. $EF=h$ என்க.
$\triangle ABD$ மற்றும் $\triangle EFD$ வடிவொத்தவை.
$\frac{EF}{AB} = \frac{FD}{BD} \Rightarrow \frac{h}{a} = \frac{FD}{P}$ (1)
$\triangle CDB$ மற்றும் $\triangle EFB$ வடிவொத்தவை.
$\frac{EF}{CD} = \frac{BF}{BD} \Rightarrow \frac{h}{b} = \frac{BF}{P}$ (2)
(1) + (2) $\Rightarrow \frac{h}{a} + \frac{h}{b} = \frac{FD}{P} + \frac{BF}{P}$
$h(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{FD+BF}{P} = \frac{BD}{P} = \frac{P}{P}=1$
$h(\frac{a+b}{ab}) = 1$
$h = \frac{ab}{a+b}$. நிரூபிக்கப்பட்டது.
39) நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க $(-9, 0), (-8, 6), (-1, -2)$ மற்றும் $(-6, -3)$.
தீர்வு:
புள்ளிகள் A(-9,0), B(-8,6), C(-1,-2), D(-6,-3) என்க.
நாற்கரத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right|$
= $\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -9 & -8 & -1 & -6 & -9 \\ 0 & 6 & -2 & -3 & 0 \end{matrix} \right|$
= $\frac{1}{2} |[(-9)(6) + (-8)(-2) + (-1)(-3) + (-6)(0)] - [(0)(-8) + (6)(-1) + (-2)(-6) + (-3)(-9)]|$
= $\frac{1}{2} |[-54 + 16 + 3 + 0] - [0 - 6 + 12 + 27]| $
= $\frac{1}{2} |[-35] - [33]| $
= $\frac{1}{2} |-35-33| = \frac{1}{2} |-68| = 34$ சதுர அலகுகள்.
40) $\sqrt{3}x + (1-\sqrt{3})y = 3$ என்ற நேர்க்கோட்டு சமன்பாட்டின் சாய்வு, y வெட்டுத்துண்டு ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
சமன்பாட்டை $y=mx+c$ வடிவிற்கு மாற்றுவோம்.
$(1-\sqrt{3})y = -\sqrt{3}x + 3$
$y = \frac{-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}x + \frac{3}{1-\sqrt{3}}$
சாய்வு $m = \frac{-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{-\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{-\sqrt{3}-3}{1-3} = \frac{-(\sqrt{3}+3)}{-2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
y-வெட்டுத்துண்டு $c = \frac{3}{1-\sqrt{3}} = \frac{3(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \frac{3(1+\sqrt{3})}{1-3} = -\frac{3(1+\sqrt{3})}{2}$.
41) $\csc\theta + \cot\theta = P$ எனில், $\cos\theta = \frac{P^2-1}{P^2+1}$ என நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு:
நமக்குத் தெரியும், $\csc^2\theta - \cot^2\theta = 1$.
$(\csc\theta - \cot\theta)(\csc\theta + \cot\theta) = 1$
$(\csc\theta - \cot\theta)(P) = 1 \Rightarrow \csc\theta - \cot\theta = \frac{1}{P}$ (1)
கொடுக்கப்பட்டது: $\csc\theta + \cot\theta = P$ (2)
(1) + (2) $\Rightarrow 2\csc\theta = P + \frac{1}{P} = \frac{P^2+1}{P} \Rightarrow \sin\theta = \frac{2P}{P^2+1}$.
(2) - (1) $\Rightarrow 2\cot\theta = P - \frac{1}{P} = \frac{P^2-1}{P} \Rightarrow \cot\theta = \frac{P^2-1}{2P}$.
$\cos\theta = \frac{\cot\theta}{\csc\theta} = \frac{(P^2-1)/(2P)}{(P^2+1)/(2P)} = \frac{P^2-1}{P^2+1}$. நிரூபிக்கப்பட்டது.
42) $x^4+3x^3+5x^2+26x+56$ மற்றும் $x^4+2x^3-4x^2-x+28$ ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ $x^2+5x+7$ எனில், அவற்றின் மீ.பொ.ம.வைக் காண்க.
தீர்வு:
Let $P(x) = x^4+3x^3+5x^2+26x+56$
Let $Q(x) = x^4+2x^3-4x^2-x+28$
HCF = $x^2+5x+7$
நமக்குத் தெரியும், LCM $\times$ HCF = $P(x) \times Q(x)$.
LCM = $\frac{P(x) \times Q(x)}{\text{HCF}}$
முதலில், $P(x)$-ஐ HCF-ஆல் வகுப்போம்.
$x^4+3x^3+5x^2+26x+56 = (x^2+5x+7)(x^2-2x+8)$ (நீள் வகுத்தல் மூலம்)
இப்போது, $Q(x)$-ஐ HCF-ஆல் வகுப்போம்.
$x^4+2x^3-4x^2-x+28 = (x^2+5x+7)(x^2-3x+4)$ (நீள் வகுத்தல் மூலம்)
எனவே, மீ.பொ.ம (LCM) = (பொதுவான காரணி) $\times$ (மீதமுள்ள காரணிகள்)
LCM = $(x^2+5x+7)(x^2-2x+8)(x^2-3x+4)$.
பகுதி - IV (மதிப்பெண்கள்: 16)
அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.
43) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{2}{3}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அல்லது) QR = 6.6 செ.மீ, $\angle P = 60^\circ$ மற்றும் உச்சி P-யிலிருந்து QR-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.5 செ.மீ உடைய $\triangle PQR$ வரைக.
தீர்வு: (வடிவியல் வரைமுறை)
(முதல் lựa chọn)
படி 1: ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ முக்கோணம் PQR வரைக.
படி 2: QR என்ற கோட்டுத்துண்டிற்கு கீழ் ஒரு குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
படி 3: QX-ல் $Q_1, Q_2, Q_3$ என்ற 3 புள்ளிகளை சம அளவில் குறிக்க (விகிதத்தில் பெரிய எண் 3).
படி 4: $Q_3R$-ஐ இணைக்க.
படி 5: $Q_2$-லிருந்து $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து அது QR-ஐ R'-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
படி 6: R'-லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து அது PQ-ஐ P'-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
$\triangle P'QR'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.
(அல்லது)
படி 1: QR = 6.6 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
படி 2: Q-ல் $\angle RQE=60^\circ$ வரைக.
படி 3: QE-க்கு செங்குத்தாக Q-ல் $\angle EQF=90^\circ$ வரைக.
படி 4: QR-ன் மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QF-ஐ O-விலும் QR-ஐ G-யிலும் சந்திக்கட்டும்.
படி 5: O-வை மையமாக வைத்து OQ ஆரமாக ஒரு வட்டம் வரைக.
படி 6: G-லிருந்து மையக்குத்துக்கோட்டில் 4.5 செ.மீ தொலைவில் M என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
படி 7: M வழி QR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது வட்டத்தை P, P' இல் வெட்டட்டும்.
படி 8: QP, RP-ஐ இணைக்க. $\triangle PQR$ தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
44) $xy = 24, x,y > 0$ என்பதன் வரைபடம் வரைக. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி (i) $x=3$ எனில் y-ஐக் காண்க (ii) $y=6$ எனில் x-ஐக் காண்க.
(அல்லது) வர்ஷிகா வெவ்வேறு அளவுகளில் 6 வட்டங்களை வரைந்தாள். அட்டவணையில் உள்ளவாறு ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டத்திற்கும் அதன் சுற்றளவிற்கும் உள்ள தோராயத் தொடர்புக்கு ஒரு வரைபடம் வரையவும். அதனைப் பயன்படுத்தி விட்டமானது 6 செ.மீ ஆக இருக்கும் போது வட்டத்தின் சுற்றளவைக் காண்க.
விட்டம் x cm: 1, 2, 3, 4, 5
சுற்றளவு y cm: 3.1, 6.2, 9.3, 12.4, 15.5
தீர்வு: (வரைபடம்)
($xy=24$)
படி 1: $y = \frac{24}{x}$ என மாற்றி அட்டவணை தயாரிக்கவும்.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8
y | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | 3
படி 2: புள்ளிகளை குறித்து, வளைவரையை வரையவும்.
படி 3: வரைபடத்தில் இருந்து:
(i) $x=3$ என்ற நேர்க்கோட்டில் வளைவரையை சந்திக்கும் புள்ளியில் y-ன் மதிப்பு 8.
(ii) $y=6$ என்ற நேர்க்கோட்டில் வளைவரையை சந்திக்கும் புள்ளியில் x-ன் மதிப்பு 4.
இது ஒரு தலைகீழ் மாறுபாடு.
(அல்லது - விட்டம் vs சுற்றளவு)
படி 1: கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை அட்டவணையாகக் கொண்டு அளவுத்திட்டம் தீர்மானிக்கவும் (X அச்சில் 1 செ.மீ = 1 அலகு, Y அச்சில் 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்).
படி 2: புள்ளிகளை (1, 3.1), (2, 6.2), (3, 9.3), (4, 12.4), (5, 15.5) வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
படி 3: அனைத்துப் புள்ளிகளையும் இணைத்து ஒரு நேர்க்கோடு வரையவும். இது ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும். இது ஒரு நேர் மாறுபாடு.
படி 4: வரைபடத்தில் $x=6$ என்ற புள்ளியிலிருந்து நேர்க்கோட்டிற்கு ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைந்து, அது சந்திக்கும் இடத்தில் இருந்து Y அச்சிற்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்தால், அது y-ன் மதிப்பைத் தரும்.
கணக்கீடு: $y = kx \implies 3.1 = k(1) \implies k=3.1$.
$x=6$ எனில், $y = 3.1 \times 6 = 18.6$ செ.மீ. வரைபடத்திலும் இதே தீர்வு கிடைக்கும்.