10 ஆம் வகுப்பு கணிதம் - காலாண்டு தேர்வு 2024
திருவாரூர் மாவட்டம் | விடைகளுடன்
பகுதி - அ (மதிப்பெண்கள்: 14)
சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக. (14 x 1 = 14)
1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) x B] ஆனது
A ∪ C = {a, b, p} ∪ {p, q, r, s} = {a, b, p, q, r, s}
n(A ∪ C) = 6
B = {2, 3} ⇒ n(B) = 2
n[(A ∪ C) × B] = n(A ∪ C) × n(B) = 6 × 2 = 12
இ) 12
2. f(x) = \((x + 1)^3 – (x – 1)^3\) குறிப்பிடும் சார்பானது
f(x) = \((x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
f(x) = \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)
f(x) = \(6x^2 + 2\)
இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.
ஈ) இருபடிச் சார்பு
3. n(A) = p, n(B) = q எனில் A யிலிருந்து B க்கு கிடைக்கும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது
A-லிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம் \(2^{n(A) \times n(B)}\) ஆகும். இங்கு, n(A) = p மற்றும் n(B) = q. எனவே, மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை = \(2^{pq}\)
ஈ) \(2^{pq}\) (வினாத்தாளில் \(2pq\) என தவறாக அச்சிடப்பட்டிருக்கலாம்)
4. 1729 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்
1729 = 7 × 247
1729 = 7 × 13 × 19
1729 = \(7^1 \times 13^1 \times 19^1\)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3
இ) 3
5. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு m எனில், அந்தக் கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n = 31 (ஒற்றைப்படை).
நடு உறுப்பு = \(\frac{n+1}{2} = \frac{31+1}{2} = 16\)-வது உறுப்பு.
\(t_{16} = m\).
கூடுதல் \(S_n = n \times (\text{நடு உறுப்பு})\)
\(S_{31} = 31 \times t_{16} = 31m\)
இ) 31 m
6. \((1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (1 + 2 + 3 + \dots + 15)\) யின் மதிப்பு
\(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) மற்றும் \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\)
n = 15 எனில்,
\(1+2+...+15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120\)
\(1^3+2^3+...+15^3 = (120)^2 = 14400\)
மதிப்பு = 14400 - 120 = 14280
இ) 14280
7. \(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2}\) என்பது
\(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} = \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)}\)
= \(\frac{3 \times 3y^2}{y \times 7} = \frac{9y^2}{7y} = \frac{9y}{7}\)
அ) \(\frac{9y}{7}\)
8. \(\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}\) யின் வர்க்கமூலம்
\(\sqrt{\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}} = \sqrt{\frac{256}{25} x^{8-6} y^{4-6} z^{10-6}}\)
= \(\sqrt{\frac{16^2}{5^2} x^2 y^{-2} z^4} = \sqrt{\frac{16^2 x^2 z^4}{5^2 y^2}}\)
= \(\frac{16}{5} \frac{|x| |z^2|}{|y|} = \frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)
ஈ) \(\frac{16}{5} \left| \frac{xz^2}{y} \right|\)
9. \((2x-1)^2 = 9\) இன் தீர்வு
\((2x-1)^2 = 9\)
\(2x-1 = \pm\sqrt{9} = \pm3\)
நிலை 1: \(2x-1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2\)
நிலை 2: \(2x-1 = -3 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x=-1\)
தீர்வு: x = -1, 2
இ) -1,2
10. ΔABC யில் DE||BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில் AE யின் நீளம்
தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்),
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{5.04}{3.6} = 1.4\) செ.மீ
அ) 1.4 செ.மீ
11. 3x − y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
3x - y = 4 ---(1)
x + y = 8 ---(2)
(1) + (2) ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3
x = 3 என (2)-ல் பிரதியிட, 3 + y = 8 ⇒ y = 5
சந்திக்கும் புள்ளி (3,5)
இ) (3,5)
12. சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை
ஒரு நாற்கரத்தில் இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையாக இருந்தால் அது ஓர் இணைகரம் ஆகும். இணைகோடுகளின் சாய்வுகள் சமம். எனவே, இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள் சமம் என நிறுவ வேண்டும்.
இ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
13. (−2,0), (0,−2), (2,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)
= \(\frac{1}{2} |-2(-2 - 0) + 0(0 - 0) + 2(0 - (-2))|\)
= \(\frac{1}{2} |-2(-2) + 0 + 2(2)| = \frac{1}{2} |4 + 4| = \frac{1}{2}(8) = 4\) ச.அலகுகள்
ஆ) 4 ச.அலகுகள்
14. \((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\) எனில் k-யின் மதிப்பு
LHS = \((\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha)\)
= \((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (1 + \cot^2\alpha) + 2(1) + (1 + \tan^2\alpha) + 2(1)\)
= \(1 + 1 + \cot^2\alpha + 2 + 1 + \tan^2\alpha + 2\)
= \(7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\)
ஒப்பிடும்போது, k = 7.
ஆ) 7
பகுதி - ஆ (மதிப்பெண்கள்: 20)
எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 28 கட்டாய வினா). (10 x 2 = 20)
15. A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} எனில் A மற்றும் B ஐக் காண்க.
A = {முதல் ஆயத்தொலைவுகளின் கணம்} = {3, 5}
B = {இரண்டாம் ஆயத்தொலைவுகளின் கணம்} = {2, 4}
16. X = {1,2,3,4}, Y = {2,4,6,8,10} மற்றும் R = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} எனில் R ஆனது ஒரு சார்பு எனக்காட்டுக. மேலும் அதன் மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க.
X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது. எனவே R ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம்: {1, 2, 3, 4}
துணை மதிப்பகம்: {2, 4, 6, 8, 10}
வீச்சகம்: {2, 4, 6, 8}
17. 9,3,1, ... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க.
இங்கு a = 9, r = 3/9 = 1/3.
n-வது உறுப்பு, \(t_n = ar^{n-1}\)
8-வது உறுப்பு, \(t_8 = 9 \times (\frac{1}{3})^{8-1} = 9 \times (\frac{1}{3})^7 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\)
18. மீ.பொ.ம. காண்க: \(5x – 10, 5x^2 – 20\)
\(5x - 10 = 5(x-2)\)
\(5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4) = 5(x-2)(x+2)\)
மீ.பொ.ம = \(5(x-2)(x+2)\)
19. சுருக்குக: \(\frac{4x^2y}{2z^2} \div \frac{6xz^3}{20y^4}\)
\(\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{20y^4}{6xz^3} = \frac{80x^2y^5}{12xz^5} = \frac{20xy^5}{3z^5}\)
20. படம் ΔABC ல் ∠A ன் இருசமவெட்டி AD ஆகும். BD = 4 செ.மீ, DC = 3 செ.மீ மற்றும் AB = 6 செ.மீ எனில் AC யைக் காண்க.
கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி,
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)
\(\frac{6}{AC} = \frac{4}{3}\)
\(4 \times AC = 6 \times 3 = 18\)
\(AC = \frac{18}{4} = 4.5\) செ.மீ
21. 6 மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது தரையில் 400 செ.மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28 மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. கம்பம் மற்றும் கோபுரம் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைவதாகக் கருதி வடிவொத்த தன்மையைப் பயன்படுத்தி, கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.
கம்பத்தின் உயரம் \(h_1 = 6\) மீ, நிழல் \(s_1 = 400\) செ.மீ = 4 மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \(h_2 = ?\), நிழல் \(s_2 = 28\) மீ.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி,
\(\frac{h_1}{s_1} = \frac{h_2}{s_2}\)
\(\frac{6}{4} = \frac{h_2}{28}\)
\(h_2 = \frac{6 \times 28}{4} = 6 \times 7 = 42\) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் 42 மீ.
22. P(-1.5, 3), Q(6, -2) மற்றும் R(−3, 4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டுக.
PQ-ன் சாய்வு = \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 3}{6 - (-1.5)} = \frac{-5}{7.5} = \frac{-5}{15/2} = \frac{-10}{15} = \frac{-2}{3}\)
QR-ன் சாய்வு = \(\frac{4 - (-2)}{-3 - 6} = \frac{6}{-9} = \frac{-2}{3}\)
PQ-ன் சாய்வு = QR-ன் சாய்வு. எனவே, P, Q, R ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.
23. (–6,1) மற்றும் (14,10) என்ற புள்ளிகளுக்கு சாய்வு காண்க.
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 1}{14 - (-6)} = \frac{9}{20}\)
24. 2x + 3y - 8 = 0, 4x + 6y + 18 = 0 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் இணை எனக்காட்டுக.
கோடு 1: 2x + 3y - 8 = 0. சாய்வு \(m_1 = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{3}\).
கோடு 2: 4x + 6y + 18 = 0. சாய்வு \(m_2 = -\frac{a}{b} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\).
\(m_1 = m_2\), எனவே கோடுகள் இணை.
25. கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(f: x \rightarrow x^2 - 5x + 6\), எனில் i) f(−1) ii) f(2) ன் மதிப்பு காண்க.
f(x) = \(x^2 - 5x + 6\)
i) f(-1) = \((-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12\)
ii) f(2) = \((2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)
26. \(13824 = 2^a \times 3^b\) எனில் a மற்றும் b யின் மதிப்பு காண்க.
13824 ஐப் பகா காரணிப்படுத்த,
13824 = 2 × 6912 = \(2^2\) × 3456 = \(2^3\) × 1728 = \(2^3 \times 12^3\)
= \(2^3 \times (2^2 \times 3)^3 = 2^3 \times 2^6 \times 3^3 = 2^9 \times 3^3\)
ஒப்பிடும்போது, a = 9, b = 3.
27. \(\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.
LHS = \(\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} \times \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\)
= \(\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta + \cot\theta\) = RHS.
28. (கட்டாய வினா) 1 + 3 + 5 + ... + 51 ன் கூடுதல் காண்க.
இது ஒரு கூட்டுத்தொடர். a = 1, d = 2, l = 51.
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை n = \((\frac{l-a}{d}) + 1 = (\frac{51-1}{2}) + 1 = \frac{50}{2} + 1 = 25+1 = 26\)
கூடுதல் \(S_n = \frac{n}{2}(a+l) = \frac{26}{2}(1+51) = 13(52) = 676\)
பகுதி - இ (மதிப்பெண்கள்: 50)
எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 42 கட்டாய வினா). (10 x 5 = 50)
29. \(f: A \rightarrow B\) என்ற சார்பானது \(f(x) = \frac{x}{2} - 1\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2,4,6,10,12}, B = {0,1,2,4,5,9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் ii) அட்டவணை iii) அம்புக்குறி படம் iv) வரைபடம்
f(2) = 2/2 - 1 = 0
f(4) = 4/2 - 1 = 1
f(6) = 6/2 - 1 = 2
f(10) = 10/2 - 1 = 4
f(12) = 12/2 - 1 = 5
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்: f = {(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)}
ii) அட்டவணை:
| x | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 |
2→0, 4→1, 6→2, 10→4, 12→5
iv) வரைபடம்: (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்க வேண்டும்.
30. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3 ஆகியவை இரு சார்புகள். மேலும் gff(x) = fgg(x) எனில் x-ஐக் காண்க.
f(f(x)) = f(3x+1) = 3(3x+1)+1 = 9x+4.
gff(x) = g(9x+4) = (9x+4)+3 = 9x+7.
g(g(x)) = g(x+3) = (x+3)+3 = x+6.
fgg(x) = f(x+6) = 3(x+6)+1 = 3x+18+1 = 3x+19.
gff(x) = fgg(x) ⇒ 9x+7 = 3x+19
6x = 12 ⇒ x = 2.
31. \(p_1^{x_1} \times p_2^{x_2} \times p_3^{x_3} \times p_4^{x_4} = 113400\), இங்கு \(p_1, p_2, p_3, p_4\) என்பன ஏறு வரிசையில் அமைந்த பகா எண்கள் மற்றும் \(x_1, x_2, x_3, x_4\) என்பன முழுக்கள் எனில் \(p_1, p_2, p_3, p_4\) மற்றும் \(x_1, x_2, x_3, x_4\) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
113400 ஐப் பகா காரணிப்படுத்த வேண்டும்.
113400 = 1134 × 100
= 1134 × \(10^2\)
= 1134 × \((2 \times 5)^2\)
= 1134 × \(2^2 \times 5^2\)
இப்போது, 1134 ஐக் காரணிப்படுத்த:
1134 = 2 × 567
= 2 × 9 × 63
= 2 × 9 × 9 × 7
= 2 × \(3^2\) × \(3^2\) × 7
= 2 × \(3^4\) × 7
எனவே, 113400 = (2 × \(3^4\) × 7) × (\(2^2 \times 5^2\))
= \(2^{1+2} \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\)
= \(2^3 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\)
பகா எண்களை ஏறு வரிசையில் எழுத: 2, 3, 5, 7.
ஒப்பிடும்போது:
\(p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, p_4 = 7\)
\(x_1 = 3, x_2 = 4, x_3 = 2, x_4 = 1\)
32. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. அந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
அலங்கரிக்க தேவையான மொத்த பரப்பு = 15 சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்.
சதுரத்தின் பரப்பு = பக்கம் × பக்கம் = (பக்கம்)\(^2\)
மொத்த பரப்பு = \(10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2\)
இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
தேவையான கூடுதல் = \((1^2 + 2^2 + \dots + 24^2) - (1^2 + 2^2 + \dots + 9^2)\)
படி 1: \(\sum_{k=1}^{24} k^2\) ஐக் கணக்கிட (n=24)
= \(\frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6}\)
= \(\frac{24 \times 25 \times 49}{6}\)
= 4 × 25 × 49 = 100 × 49 = 4900
படி 2: \(\sum_{k=1}^{9} k^2\) ஐக் கணக்கிட (n=9)
= \(\frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6}\)
= \(\frac{9 \times 10 \times 19}{6}\)
= 3 × 5 × 19 = 285
படி 3: மொத்தப் பரப்பைக் கணக்கிட
மொத்த பரப்பு = 4900 - 285 = 4615
ரேகா 4615 ச.செ.மீ பரப்பை அலங்கரிக்க முடியும்.
33. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அடுத்தடுத்த நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் 28 மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 276. அந்த நான்கு எண்களைக் காண்க.
கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் நான்கு அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் \(a-3d, a-d, a+d, a+3d\) என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை 1: உறுப்புகளின் கூடுதல் = 28
\((a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 28\)
4a = 28
a = 7
கொடுக்கப்பட்டவை 2: வர்க்கங்களின் கூடுதல் = 276
\((a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 276\)
\((a^2-6ad+9d^2) + (a^2-2ad+d^2) + (a^2+2ad+d^2) + (a^2+6ad+9d^2) = 276\)
\(4a^2 + 20d^2 = 276\)
a = 7 எனப் பிரதியிட:
\(4(7^2) + 20d^2 = 276\)
\(4(49) + 20d^2 = 276\)
\(196 + 20d^2 = 276\)
\(20d^2 = 276 - 196\)
\(20d^2 = 80\)
\(d^2 = 4\)
d = ±2
நிலை 1: a = 7, d = 2 எனில்
நான்கு எண்கள்:
\(7-3(2) = 1\)
\(7-2 = 5\)
\(7+2 = 9\)
\(7+3(2) = 13\)
நிலை 2: a = 7, d = -2 எனில்
நான்கு எண்கள்:
\(7-3(-2) = 13\)
\(7-(-2) = 9\)
\(7+(-2) = 5\)
\(7+3(-2) = 1\)
தேவையான அந்த நான்கு எண்கள் 1, 5, 9, 13.
34. \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
வர்க்கமூலம் காணும் நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.
\(\sqrt{9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b} = 3x^2 + 2x + 4\)
படி 1: \(\sqrt{9x^4} = 3x^2\)
படி 2: மீதி \(12x^3 + 28x^2\). புதிய வகுத்தி \(2(3x^2) = 6x^2\). ஈவு \(12x^3/6x^2 = 2x\).
\((6x^2+2x)(2x) = 12x^3 + 4x^2\). கழித்தால், மீதி \(24x^2+ax+b\)
படி 3: புதிய வகுத்தி \(2(3x^2+2x) = 6x^2+4x\). ஈவு \(24x^2/6x^2 = 4\)
\((6x^2+4x+4)(4) = 24x^2 + 16x + 16\).
கடைசி மீதி பூச்சியம் ஆக இருக்க வேண்டும்.
\((24x^2+ax+b) - (24x^2+16x+16) = 0\)
\(ax - 16x = 0 \Rightarrow a=16\)
\(b - 16 = 0 \Rightarrow b=16\)
எனவே, a = 16, b = 16.
35. ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ₹105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ₹20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன?
ஐந்து ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை = x
பத்து ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை = y
இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை = z
கொடுக்கப்பட்டவை 1: மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12.
x + y + z = 12 ---(1)
கொடுக்கப்பட்டவை 2: மொத்த மதிப்பு ₹105.
5x + 10y + 20z = 105
(5 ஆல் வகுக்க) x + 2y + 4z = 21 ---(2)
கொடுக்கப்பட்டவை 3: முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளை இடமாற்றம் செய்தால் மதிப்பு ₹20 அதிகரிக்கிறது.
புதிய மதிப்பு = 5y + 10x + 20z
புதிய மதிப்பு = பழைய மதிப்பு + 20
5y + 10x + 20z = (5x + 10y + 20z) + 20
5y + 10x = 5x + 10y + 20
5x - 5y = 20
(5 ஆல் வகுக்க) x - y = 4 ---(3)
சமன்பாடு (3) லிருந்து, x = y + 4
x = y + 4 ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட:
(y + 4) + y + z = 12
2y + z = 8 => z = 8 - 2y ---(4)
x = y + 4 மற்றும் z = 8 - 2y ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட:
(y + 4) + 2y + 4(8 - 2y) = 21
3y + 4 + 32 - 8y = 21
36 - 5y = 21
5y = 36 - 21
5y = 15
y = 3
y = 3 இன் மதிப்பை பிரதியிட்டு x மற்றும் z ஐக் காண்க:
x = y + 4 = 3 + 4 = 7
z = 8 - 2y = 8 - 2(3) = 8 - 6 = 2
ஐந்து ரூபாய் நோட்டுகள் = 7, பத்து ரூபாய் நோட்டுகள் = 3, இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் = 2.
36. அடிப்படை விகித சமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்க.
தேற்றம் (தேல்ஸ் தேற்றம்): ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக வரையப்பட்ட ஒரு நேர்க்கோடு மற்ற இரு பக்கங்களை விகிதசமமாகப் பிரிக்கிறது.
நிரூபணம்: (மாணவர்கள் தங்கள் பாடப்புத்தகத்தில் உள்ள நிரூபணத்தைப் பார்க்கவும். இதில் வரைபடம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பரப்பளவைப் பயன்படுத்தி நிரூபிக்க வேண்டும்).
37. (8,6), (5,11), (−5,12) மற்றும் (−4,3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.
A(8,6), B(5,11), C(−5,12), D(−4,3) என்பன நாற்கரத்தின் முனைகள் என்க.
நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right|\)
= \(\frac{1}{2} \{ (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_4y_3 + x_1y_4) \}\)
= \(\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 5 & -5 & -4 & 8 \\ 6 & 11 & 12 & 3 & 6 \end{matrix} \right|\)
= \(\frac{1}{2} \{ ((8)(11) + (5)(12) + (-5)(3) + (-4)(6)) - ((5)(6) + (-5)(11) + (-4)(12) + (8)(3)) \}\)
= \(\frac{1}{2} \{ (88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24) \}\)
= \(\frac{1}{2} \{ (148 - 39) - (54 - 103) \}\)
= \(\frac{1}{2} \{ 109 - (-49) \}\)
= \(\frac{1}{2} \{ 109 + 49 \}\)
= \(\frac{1}{2} (158)\)
= 79
நாற்கரத்தின் பரப்பு 79 சதுர அலகுகள்.
38. ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (−6,−4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக்குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
பூனையின் நிலை A(-6, -4) மற்றும் பால் புட்டியின் நிலை B(5, 11) என்க.
மிகக்குறுகிய தூரம் என்பது A மற்றும் B ஐ இணைக்கும் நேர்க்கோடு ஆகும்.
இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு:
\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)
இங்கு \((x_1, y_1) = (-6, -4)\) மற்றும் \((x_2, y_2) = (5, 11)\).
\(\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)}\)
\(\frac{y + 4}{11 + 4} = \frac{x + 6}{5 + 6}\)
\(\frac{y + 4}{15} = \frac{x + 6}{11}\)
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:
\(11(y + 4) = 15(x + 6)\)
\(11y + 44 = 15x + 90\)
\(15x - 11y + 90 - 44 = 0\)
\(15x - 11y + 46 = 0\)
தேவையான பாதையின் சமன்பாடு 15x - 11y + 46 = 0 ஆகும்.
39. A(3,–4), B(9,-4), C(5,-7) மற்றும் D(7,-7). ஆகிய புள்ளிகள் ABCD என்ற சரிவகத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக.
ஒரு நாற்கரத்தில் ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் இணை எனில் அது ஒரு சரிவகம் ஆகும். கோடுகள் இணையாக இருக்க அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
AB-யின் சாய்வு: A(3,–4), B(9,-4)
\(m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9 - 3} = \frac{0}{6} = 0\)
BC-யின் சாய்வு: B(9,-4), C(5,-7)
\(m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5 - 9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\)
CD-யின் சாய்வு: C(5,-7), D(7,-7)
\(m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0\)
DA-யின் சாய்வு: D(7,-7), A(3,–4)
\(m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3 - 7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}\)
இங்கு, AB-யின் சாய்வு = CD-யின் சாய்வு = 0. எனவே, பக்கம் AB, பக்கம் CD-க்கு இணை ஆகும்.
BC-யின் சாய்வு ≠ DA-யின் சாய்வு (\(\frac{3}{4} \neq -\frac{3}{4}\)). எனவே, பக்கம் BC, பக்கம் DA-க்கு இணை இல்லை.
ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்கள் (AB, CD) இணை என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சரிவகத்தை அமைக்கும்.
40. சுருக்குக: \(\frac{b^2 + 3b - 28}{b^2 + 4b + 4} \div \frac{b^2 - 49}{b^2 - 5b - 14}\)
முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துக.
1. \(b^2 + 3b - 28 = (b+7)(b-4)\)
2. \(b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2 = (b+2)(b+2)\)
3. \(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\)
4. \(b^2 - 5b - 14 = (b-7)(b+2)\)
இப்போது, கோவையில் பிரதியிட:
\(\frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \div \frac{(b+7)(b-7)}{(b-7)(b+2)}\)
வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்ற, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியை எடுக்கவும்:
\(= \frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \times \frac{(b-7)(b+2)}{(b+7)(b-7)}\)
பொதுவான காரணிகளை நீக்க:
\(= \frac{\cancel{(b+7)}(b-4)}{\cancel{(b+2)}(b+2)} \times \frac{\cancel{(b-7)}\cancel{(b+2)}}{\cancel{(b+7)}\cancel{(b-7)}}\)
\(= \frac{b-4}{b+2}\)
சுருக்கிய வடிவம்: \(\frac{b-4}{b+2}\)
41. நிரூபிக்க: \(\frac{\sin^3 A + \cos^3 A}{\sin A + \cos A} + \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} = 2\)
சூத்திரங்கள்: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\), \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)
LHS:
முதல் உறுப்பு = \(\frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A - \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A + \cos A}\)
= \((\sin^2 A + \cos^2 A) - \sin A \cos A = 1 - \sin A \cos A\)
இரண்டாம் உறுப்பு = \(\frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A - \cos A}\)
= \((\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin A \cos A = 1 + \sin A \cos A\)
LHS = \((1 - \sin A \cos A) + (1 + \sin A \cos A) = 2\) = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
42. (கட்டாய வினா) A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் A x (B - C) = (A x B) – (A x C) ஐச் சரிபார்.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2}
LHS:
B - C = {2, 3, 5, 7} - {2} = {3, 5, 7}
A x (B - C) = {1,2,3,4,5,6,7} x {3,5,7}
= {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), ... , (7,7)} ---(1)
RHS:
A x B = {(1,2),(1,3),(1,5),(1,7), (2,2),(2,3),...,(7,7)}
A x C = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}
(A x B) - (A x C) என்பது (A x B) இல் இருந்து (A x C) இன் உறுப்புகளை நீக்குவதாகும்.
நீக்கிய பின் கிடைக்கும் கணம், {1,2,3,4,5,6,7} x {3,5,7}. ---(2)
(1) = (2) என்பதால், LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.
பகுதி - ஈ (மதிப்பெண்கள்: 16)
அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)
43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{7}{3}\) என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{7}{3}>1\))
வரைமுறை:
1. ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX-ல் \(Q_1, Q_2, \dots, Q_7\) என்ற 7 சம அளவுள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்க.
4. \(Q_3\) ஐ R உடன் இணைக்க (\(\frac{7}{3}\) இல் சிறிய எண் 3).
5. \(Q_7\) லிருந்து \(Q_3R\) க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QR ஐ R' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. R' லிருந்து PR க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QP ஐ P' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.
44. ஆ) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு, பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது.
| பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (X) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ரூ.(y) | 180 | 90 | 60 | 45 | 36 |
ii) மேற்காணும் தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத்தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.
i) விகித சம மாறிலி:
தரவுகளைப் பார்க்கும்போது, x அதிகரிக்கும்போது y குறைகிறது. இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.
xy = 2 × 180 = 360
xy = 4 × 90 = 360
xy = 6 × 60 = 360
எனவே, இது எதிர் மாறுபாட்டில் உள்ளது. விகித சம மாறிலி k = 360.
ii) வரைபடம் மற்றும் தீர்வு:
1. (2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
2. இந்தப் புள்ளிகளை இணைத்து ஒரு வளைவரையை (செவ்வக அதிபரவளையம்) வரையவும்.
3. x-அச்சில் 12 என்ற மதிப்பிற்கு நேராக வளைவரையில் ஒரு புள்ளியைக் கண்டறியவும்.
4. அந்தப் புள்ளியிலிருந்து y-அச்சிற்கு ஒரு நேர்க்கோடு வரைந்தால், அது y = 30 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
கணிப்பு: xy = 360 ⇒ 12 × y = 360 ⇒ y = 360/12 = 30.
எனவே, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் ₹30 கிடைக்கும்.