HSC Commerce Mathematics & Statistics 2025 Board Exam Question Paper Solution Hindi Medium

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गणित और सांख्यिकी (वाणिज्य) - 2025 बोर्ड पेपर समाधान

पेपर कोड: J-318 | अधिकतम अंक: 80 | समय: 3 घंटे

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) यदि \(p\): वह बुद्धिमान है, \(q\): वह बलवान है। तब "यह गलत है कि वह बुद्धिमान या बलवान है" कथन का प्रतीकात्मक रूप _____ है।

• (अ) \(\sim p \lor \sim q\)
• (ब) \(\sim (p \land q)\)
• (क) \(\sim (p \lor q)\)
• (ड) \(p \lor \sim q\)

उत्तर: (क) \(\sim (p \lor q)\)
स्पष्टीकरण: "बुद्धिमान या बलवान" \(p \lor q\) है। "यह गलत है कि" का अर्थ निषेध (Negation) है। अतः \(\sim (p \lor q)\)।

(ii) \(\int (x + \frac{1}{x})^3 dx =\)

• (अ) \(\frac{1}{4}(x + \frac{1}{x})^4 + c\)
• (ब) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x - \frac{1}{2x^2} + c\)
• (क) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x + \frac{1}{x^2} + c\)
• (ड) \((x - x^{-1})^3 + c\)

उत्तर: (ब)
हल: \((x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + x^{-3}\) का विस्तार करें।
प्रत्येक पद का समाकलन करें: \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} + c\)।

(iii) \(\int_{2}^{7} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{9-x}} dx =\)

• (अ) \(\frac{7}{2}\)
• (ब) \(\frac{5}{2}\)
• (क) 7
• (ड) 2

उत्तर: (ब) \(\frac{5}{2}\)
हल: गुणधर्म \(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx\) का उपयोग करने पर। समाकलन \(I = \frac{b-a}{2} = \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2}\)।

(iv) वक्र \(y = x^2\) और रेखा \(y = 4\) से बद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल _____ है।

• (अ) \(\frac{32}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
• (ब) \(\frac{64}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
• (क) \(\frac{16}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
• (ड) 64 वर्ग इकाइयाँ

उत्तर: (अ) \(\frac{32}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
हल: क्षेत्रफल \(= 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\)।

(v) अवकल समीकरण \((\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^2 = a^x\) का क्रम (order) और घात (degree) क्रमशः _____ है।

• (अ) 1, 1
• (ब) 1, 2
• (क) 2, 2
• (ड) 2, 1

उत्तर: (क) 2, 2

(vi) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3\) का समाकलन कारक (integrating factor) _____ है।

• (अ) \(\log x\)
• (ब) \(e^x\)
• (क) \(\frac{1}{x}\)
• (ड) \(x\)

उत्तर: (ड) \(x\)
हल: I.F. \(= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x\)।

प्र. १. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) यदि \(A\) एक आव्यूह और \(K\) एक स्थिरांक है, तब \((KA)^T = K A^T\)।

उत्तर: सत्य (True)

(ii) \(\int \log x dx = x \log x + x + c\)।

उत्तर: असत्य (False) (सही सूत्र \(x \log x - x + c\) है)।

(iii) \(bx + ay = ab\) से अनियंत्रित (मनमाना) स्थिरांक को हटाकर प्राप्त अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) है।

उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) औसत राजस्व \(R_A = 50\) है और माँग की लोच \(\eta = 5\) है तो सीमांत राजस्व \(R_M\) _____ है।

उत्तर: 40
(\(R_M = R_A(1 - \frac{1}{\eta}) = 50(1 - \frac{1}{5}) = 40\))

(ii) \(\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = \) _____ \(+ c\)

उत्तर: \(\frac{e^x}{x}\)

(iii) यदि \(f'(x) = x^2 + 5\) और \(f(0) = -1\) तब \(f(x) = \) _____.

उत्तर: \(\frac{x^3}{3} + 5x - 1\)

प्र. २. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) कथन "यदि कोई त्रिभुज समबाहु है तो वह समकोणीय है" विधान का विलोम (converse), प्रतिलोम (inverse) तथा वैधम्य (contrapositive) लिखिए।

माना \(p\): त्रिभुज समबाहु है, \(q\): त्रिभुज समकोणीय है।
कथन: \(p \rightarrow q\)
विलोम (Converse) (\(q \rightarrow p\)): यदि कोई त्रिभुज समकोणीय है तो वह समबाहु है।
प्रतिलोम (Inverse) (\(\sim p \rightarrow \sim q\)): यदि कोई त्रिभुज समबाहु नहीं है तो वह समकोणीय नहीं है।
वैधम्य (Contrapositive) (\(\sim q \rightarrow \sim p\)): यदि कोई त्रिभुज समकोणीय नहीं है तो वह समबाहु नहीं है।

(ii) यदि \(\left\{ 5 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \right\} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-1 \\ y+1 \\ 2z \end{bmatrix}\) तो \(x, y, z\) ज्ञात कीजिए।

\(5A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}, \quad 3B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & -6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}\)
\(5A - 3B = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -4 & 6 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\) से गुणा करने पर:
\(\begin{bmatrix} -6(2) + 2(1) \\ -4(2) + 6(1) \\ 2(2) + (-4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
RHS से तुलना करने पर:
\(x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9\)
\(y + 1 = -2 \Rightarrow y = -3\)
\(2z = 0 \Rightarrow z = 0\)

(iii) मूल्यांकन कीजिए: \(\int \frac{1}{x(x^6+1)} dx\)

अंश और हर को \(x^5\) से गुणा करने पर: \(\int \frac{x^5}{x^6(x^6+1)} dx\)
माना \(x^6 = t \Rightarrow 6x^5 dx = dt\)
\(I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{6} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt\)
\(I = \frac{1}{6} (\log|t| - \log|t+1|) + c = \frac{1}{6} \log|\frac{x^6}{x^6+1}| + c\)

प्र. २. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) निम्नलिखित समीकरणों को प्रतिलोम विधि (method of inversion) से हल कीजिए:
\(2x - y + z = 1\)
\(x + 2y + 3z = 8\)
\(3x + y - 4z = 1\)

हल:
दिए गए समीकरणों को आव्यूह रूप \(AX = B\) में लिखा जा सकता है, जहाँ
\(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)

चरण 1: A का सारणिक (\(|A|\)) ज्ञात करें
\(|A| = 2(-8 - 3) - (-1)(-4 - 9) + 1(1 - 6)\)
\(|A| = 2(-11) + 1(-13) + 1(-5)\)
\(|A| = -22 - 13 - 5 = -40 \neq 0\)
चूंकि \(|A| \neq 0\), इसलिए \(A^{-1}\) का अस्तित्व है।

चरण 2: सहखंडों (Cofactors) का आव्यूह ज्ञात करें
\(A_{11} = -11, \quad A_{12} = 13, \quad A_{13} = -5\)
\(A_{21} = -3, \quad A_{22} = -11, \quad A_{23} = -5\)
\(A_{31} = -5, \quad A_{32} = -5, \quad A_{33} = 5\)

सहखंड आव्यूह \(C = \begin{bmatrix} -11 & 13 & -5 \\ -3 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
\(\text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)

चरण 3: \(X = A^{-1}B\) का उपयोग करके X ज्ञात करें
\(X = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) B\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11(1) -3(8) -5(1) \\ 13(1) -11(8) -5(1) \\ -5(1) -5(8) + 5(1) \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 - 24 - 5 \\ 13 - 88 - 5 \\ -5 - 40 + 5 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -40 \\ -80 \\ -40 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\therefore x = 1, y = 2, z = 1\)

(ii) एक व्यक्ति के व्यय (expenditure) \(E_c\) के साथ आय (income) \(I\) इस प्रकार दी गई है: \(E_c = (0.0003)I^2 + (0.075)I\); जब \(I = 1000\) तब MPC, MPS, APC और APS ज्ञात कीजिए।

दिया गया है \(I = 1000\).
APC \(= \frac{E_c}{I} = 0.0003I + 0.075\)
\(I=1000\) पर: APC \(= 0.0003(1000) + 0.075 = 0.3 + 0.075 = 0.375\)
APS \(= 1 - APC = 1 - 0.375 = 0.625\)
MPC \(= \frac{dE_c}{dI} = 0.0006I + 0.075\)
\(I=1000\) पर: MPC \(= 0.0006(1000) + 0.075 = 0.6 + 0.075 = 0.675\)
MPS \(= 1 - MPC = 1 - 0.675 = 0.325\)

(iii) मूल्यांकन कीजिए: \(\int_1^2 \frac{dx}{x^2+6x+5}\)

\(x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)\).
आंशिक भिन्न (Partial Fractions): \(\frac{1}{(x+1)(x+5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+5})\)
\(I = \frac{1}{4} [\log|x+1| - \log|x+5|]_1^2 = \frac{1}{4} [\log(\frac{x+1}{x+5})]_1^2\)
ऊपरी सीमा: \(\log(\frac{3}{7})\), निचली सीमा: \(\log(\frac{2}{6}) = \log(\frac{1}{3})\)
\(I = \frac{1}{4} (\log \frac{3}{7} - \log \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} \log(\frac{3}{7} \times 3) = \frac{1}{4} \log(\frac{9}{7})\).

प्र. ३. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) यदि \(y = (x)^x + (a)^x\) तब \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

माना \(u = x^x\) और \(v = a^x\).
\(u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \Rightarrow \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = 1 + \log x \Rightarrow \frac{du}{dx} = x^x(1+\log x)\)
\(v = a^x \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a^x \log a\)
\(\frac{dy}{dx} = x^x(1+\log x) + a^x \log a\)

(ii) परवलय (parabola) \(y^2 = 25x\) एवं रेखा \(x = 5\) से बद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

परवलय X-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल \(= 2 \int_0^5 y dx = 2 \int_0^5 5\sqrt{x} dx = 10 \int_0^5 x^{1/2} dx\)
\(= 10 [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^5 = \frac{20}{3} [5^{3/2}] = \frac{20}{3} (5\sqrt{5}) = \frac{100\sqrt{5}}{3}\) वर्ग इकाइयाँ।

(iii) \(y = Ae^{3x} + Be^{-3x}\) से अनियंत्रित (मनमाना) स्थिरांक को हटाकर अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

\(x\) के सापेक्ष अवकलन: \(y' = 3Ae^{3x} - 3Be^{-3x}\)
पुनः अवकलन: \(y'' = 9Ae^{3x} + 9Be^{-3x} = 9(Ae^{3x} + Be^{-3x})\)
\(y'' = 9y \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0\)

प्र. ३. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) सत्य तालिका का उपयोग करके सत्यापन करें :
\(p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\)

हल:
हम दी गई तार्किक अभिव्यक्ति के लिए सत्य तालिका बनाते हैं।

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \land r\)	\(p \lor (q \land r)\) (LHS)	\(p \lor q\)	\(p \lor r\)	\((p \lor q) \land (p \lor r)\) (RHS)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	F	F	T	F	F
F	F	T	F	F	F	T	F
F	F	F	F	F	F	F	F

तालिका से, कॉलम 5 (LHS) और कॉलम 8 (RHS) की प्रविष्टियाँ समान हैं।
\(\therefore p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\) सत्यापित हुआ।

(ii) यदि \(x = \frac{4t}{1+t^2}, y = 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})\), तब दर्शाइए कि \(\frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

माना \(t = \tan \theta\). तब \(x = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta\) और \(y = 3 \cos 2\theta\).
अतः \(\frac{x}{2} = \sin 2\theta\) और \(\frac{y}{3} = \cos 2\theta\).
वर्ग करके जोड़ने पर: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन: \(\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0\).
\(\frac{x}{2} = -\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

प्र. ३. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) संख्या 84 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि पहले भाग और दूसरे भाग के वर्ग का गुणनफल अधिकतम हो।

माना कि एक भाग \(x\) है तो दूसरा भाग \(84 - x\) है।
\(f(x) = x^2(84-x) = 84x^2 - x^3\)
\(f'(x) = 168x - 3x^2\)
उच्चतम मूल्य के लिए \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(56-x) = 0\)
\(x = 0\) या \(x = 56\)
\(f''(x) = 168 - 6x\)
यदि \(x=56, f''(56) = 168 - 336 = -168 < 0\)
फलन \(x = 56\) पर अधिकतम प्राप्त करता है।
84 के दो भाग 56 और 28 हैं।

(ii) निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए
\((x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0\)

हल:
चरों को अलग करते हुए (Separating variables):
\(x^2(1-y)dy + y^2(1+x)dx = 0\)
\(x^2y^2\) से भाग देने पर,

\(\left[ \frac{1-y}{y^2} \right] dy + \left[ \frac{1+x}{x^2} \right] dx = 0\)

\(\therefore (y^{-2} - \frac{1}{y})dy + (x^{-2} + \frac{1}{x})dx = 0\)

\(\left[ y^{-2} \right] dy - \frac{1}{y}dy + x^{-2}dx + \left[ \frac{1}{x} \right] dx = 0\)

समाकलन करने पर,
\(\int y^{-2}dy - \int \frac{1}{y}dy + \int x^{-2}dx + \int \frac{1}{x}dx = 0\)

\(\therefore \frac{y^{-1}}{-1} - \left[ \log y \right] + \frac{x^{-1}}{-1} + \left[ \log x \right] = c\)

\(-\frac{1}{y} - \frac{1}{x} + \log x - \log y = c\)

\(\log x - \log y = \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] + c\)

यह इच्छित (required) हल है।

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) एक दलाल जो अपने मालिक को विश्वास (guarantee) दिलाता है कि पक्ष (party) माल के बिक्री मूल्य का भुगतान करेगा उसे _____ कहा जाता है।

• (अ) नीलामकर्ता (Auctioneer)
• (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)
• (क) कारक (Factor)
• (ड) दलाल (Broker)

उत्तर: (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)

(ii) एक सामान्य वार्षिकी में भुगतान या रसीदें _____ में होती हैं।

• (अ) प्रत्येक अवधि की शुरूआत
• (ब) प्रत्येक अवधि के अंत
• (क) प्रत्येक अवधि के मध्य
• (ड) तिमाही आधार पर

उत्तर: (ब) प्रत्येक अवधि के अंत

(iii) चलित औसत (moving averages) _____ पहचानने में उपयोगी होते हैं।

• (अ) मौसमी घटक
• (ब) अनियमित घटक
• (क) प्रवृत्ति घटक (Trend component)
• (ड) चक्रीय घटक

उत्तर: (क) प्रवृत्ति घटक

(iv) यदि \(P_{01}(L)=90\) तथा \(P_{01}(P)=40\) तब \(P_{01}(D-B)\) _____ है।

• (अ) 65
• (ब) 50
• (क) 25
• (ड) 130

उत्तर: (अ) 65 (L और P का औसत: \(\frac{90+40}{2}\))

(v) स्वत्वार्पण समस्या (assignment problem) का उद्देश्य _____ सौंपना है।

• (अ) अधिकतम लागत पर कार्यों की संख्या बराबर व्यक्तियों की संख्या
• (ब) न्यूनतम लागत पर कार्यों की संख्या बराबर व्यक्तियों की संख्या
• (क) केवल लागत को अधिकतम करने के लिए
• (ड) केवल लागत को न्यूनतम करने के लिए

उत्तर: (ब) / (ड) (मानक उद्देश्य लागत को कम करना है।)

(vi) दो निष्पक्ष पासों को उछालने पर प्राप्त दो संख्याओं के योग का अपेक्षित मूल्य _____ है।

• (अ) 5
• (ब) 6
• (क) 7
• (ड) 8

उत्तर: (क) 7

प्र. ४. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) यदि \(b_{yx} + b_{xy} = 1.30\) तथा \(r = 0.75\) हो तो दी गई जानकारी असंगत है। उत्तर: सत्य (यदि योग 1.3 है, तो गुणनफल \(0.65^2 = 0.4225\) हो सकता है, लेकिन \(r^2 = 0.75^2 = 0.5625\)। यह संभव नहीं है)।

(ii) चक्रीय भिन्नता एक वर्ष में कई बार हो सकती है। उत्तर: असत्य

(iii) जीवनयापन की लागत सूचकांक का उपयोग रुपए (money) की क्रय शक्ति की गणना में किया जाता है। उत्तर: सत्य

प्र. ४. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) बैंकर की छूट काटने के बाद बिल धारक को भुगतान की गई राशि रोख मूल्य (Cash Value) कहलाती है।

(ii) समय श्रृंखला की प्रवृत्ति को मापने की सरल विधि आलेखीय विधि (Graphical Method) है।

(iii) भारित समुच्चय विधि द्वारा मात्रा (quantity) सूचकांक संख्या _____ से दी जाती है। \(\frac{\sum q_1 w}{\sum q_0 w} \times 100\)

प्र. ५. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) निम्नलिखित जानकारी के लिए उपयुक्त प्रतिगमन समीकरण की गणना कीजिए :
X: 1, 2, 3, 4, 5 और Y: 5, 7, 9, 11, 13.

माध्य: \(\bar{X}=3, \bar{Y}=9\).
\(b_{yx} = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum(X-\bar{X})^2} = \frac{20}{10} = 2\).
Y की X पर प्रतिगमन रेखा: \(Y - 9 = 2(X - 3) \Rightarrow Y = 2X + 3\).

(ii) रेखीय संयोजन प्रश्न (L.P.P.) तैयार कीजिए। (न्यूनतम लागत)

माना \(x\) सीमेंट (किलोग्राम), \(y\) रेत (किलोग्राम) है।
उद्देश्य फलन (न्यूनतम): \(Z = 20x + 6y\)
शर्तें (Constraints):
\(x + y \ge 5\) (वजन)
\(x \ge 4\) (सीमेंट की न्यूनतम मात्रा)
\(y \le 2\) (रेत की अधिकतम मात्रा)
\(x, y \ge 0\).

(iii) एक निष्पक्ष सिक्के की तीन उछालों में चित्त की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।

\(n=3, p=0.5\). यह द्विपद वितरण का पालन करता है।
माध्य \(E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5\).

प्र. ५. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) 4 वार्षिक केंद्रित चलित औसत का उपयोग करके निम्नलिखित जानकारी के लिए प्रवृत्ति मान प्राप्त कीजिए :

वर्ष	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
सूचकांक	0	2	3	3	2	4	5	6	7	10

हल:
4-वार्षिक केंद्रित चलित औसत की गणना:

वर्ष	सूचकांक (Y)	4-वर्षीय चलित योग	केंद्रित योग (2 का योग)	प्रवृत्ति मान (केंद्रित औसत)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
1978	3	8	18	2.25
1979	3	10	22	2.75
1980	2	12	26	3.25
1981	4	14	31	3.875
1982	5	17	39	4.875
1983	6	22	50	6.25
1984	7	28	-	-
1985	10	-	-	-

(ii) वह क्रम ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित कार्यों को क्रम AB में पूरा करने के लिए व्यतीत किए गए कुल समय को न्यूनतम करता है। बीता हुआ कुल समय और यंत्र B के लिए निष्क्रिय समय ज्ञात कीजिए :

हल:
चरण 1: इष्टतम अनुक्रम (Optimal Sequence)
जॉनसन एल्गोरिदम का उपयोग करके:
- न्यूनतम समय 5 है: कार्य VII यंत्र A पर (प्रथम) और कार्य VI यंत्र B पर (अंतिम)।
- अगला न्यूनतम 7 है: कार्य I यंत्र A पर (द्वितीय)।
इष्टतम अनुक्रम: VII \(\to\) I \(\to\) IV \(\to\) V \(\to\) III \(\to\) II \(\to\) VI

चरण 2: कार्य तालिका

कार्य क्रम	यंत्र A		यंत्र B
	अंदर	बाहर	अंदर	बाहर
VII	0	5	5	12
I	5	12	12	24
IV	12	22	24	34
V	22	36	36	52
III	36	55	55	69
II	55	71	71	85
VI	71	86	86	91

कुल व्यतीत समय (T) = 91 घंटे/इकाइयां

यंत्र B के लिए निष्क्रिय समय:
कुल समय - B पर प्रसंस्करण समय का योग
\(= 91 - (12+14+14+10+16+5+7)\)
\(= 91 - 78\)
\(= 13 \text{ घंटे/इकाइयां}\)

(iii) 52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से प्रतिस्थापन के साथ क्रमिक रूप से पाँच पत्ते निकाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि :
(अ) सभी पाँच पत्ते हुक्म के हों
(ब) केवल तीन पत्ते हुक्म के हों

हल:
माना \(X\) हुक्म के पत्तों की संख्या को दर्शाता है।
सफलता की प्रायिकता (हुक्म का पत्ता) \(p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\).
असफलता की प्रायिकता \(q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
\(n = 5\).
द्विपद वितरण: \(P(X=x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}\).

(अ) सभी पाँच पत्ते हुक्म के हों (\(x=5\)):
\(P(X=5) = {}^5C_5 (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^0 = \frac{1}{1024}\)

(ब) केवल 3 पत्ते हुक्म के हों (\(x=3\)):
\(P(X=3) = {}^5C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^2\)
\(= \frac{10 \times 9}{1024} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}\)

प्र. ६. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) ₹ 8,00,000 मूल्य के एक मकान का बीमा उसके मूल्य के 75% तक किया गया। यदि बीमा की किस्त की दर 0.80% हो तो मकान मालिक के भरे हुए बीमे की किस्त की राशि ज्ञात कीजिए। यदि दलाल की दर बीमा की किस्त की 9% हो तो दलाल की दलाली की राशि ज्ञात कीजिए।

संपत्ति का मूल्य = 8,00,000.
पॉलिसी मूल्य = 8,00,000 का \(75\%\) = 6,00,000.
प्रीमियम (किस्त) = 6,00,000 का \(0.80\%\) = 4,800.
एजेंट का कमीशन = 4,800 का \(9\%\) = 432.

(ii) निम्नलिखित रेखीय संयोजन प्रश्न (L.P.P.) को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
अधिकतम कीजिए: \(z = 4x + 6y\)

रेखाएँ: \(3x + 2y = 12\) (बिंदु (4,0), (0,6)) और \(x + y = 4\) (बिंदु (4,0), (0,4)).
सुसंगत क्षेत्र (Feasible region) त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(4,0), B(0,4), C(0,6) हैं।
\(Z\) का मान A(4,0) पर = 16.
\(Z\) का मान B(0,4) पर = 24.
\(Z\) का मान C(0,6) पर = 36.
अधिकतम मान 36 है जो बिंदु (0,6) पर प्राप्त होता है।

(iii) प्लाइवुड पट्टी पर दोष यादृच्छिक रूप से 50 वर्ग फुट के लिए एक दोष के औसत के साथ होते हैं। ऐसी पट्टी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें :
(अ) कोई दोष नहीं हो
(ब) कम-से-कम एक दोष हो।
(उपयोग करें \(e^{-1} = 0.3678\))

हल:
माना \(X\) दोषों की संख्या है। औसत \(m = 1\).
प्वासों वितरण (Poisson Distribution): \(P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!} = \frac{e^{-1}}{x!}\).

(अ) कोई दोष नहीं (\(x=0\)):
\(P(X=0) = \frac{0.3678}{1} = 0.3678\)

(ब) कम-से-कम एक दोष (\(x \ge 1\)):
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.3678 = 0.6322\)

प्र. ६. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) दो प्रतिगमन रेखाओं के समीकरण \(10x - 4y = 80\) तथा \(10y - 9x = -40\) है। ज्ञात कीजिए :
(अ) \(\bar{x}\) तथा \(\bar{y}\)
(ब) \(b_{yx}\) तथा \(b_{xy}\)
(क) \(r\)
(ड) यदि \(var(Y) = 36\) हो तो \(var(X)\) प्राप्त कीजिए।

हल:
(अ) \(\bar{x}\) और \(\bar{y}\):
समीकरणों को हल करने पर: \(x = 10\) और \(y = 5\).

(ब) \(b_{yx}\) और \(b_{xy}\):
\(10x - 4y = 80 \Rightarrow x\) on \(y \Rightarrow b_{xy} = 0.4\)
\(10y - 9x = -40 \Rightarrow y\) on \(x \Rightarrow b_{yx} = 0.9\)

(क) \(r\):
\(r = \sqrt{0.9 \times 0.4} = \sqrt{0.36} = 0.6\)

(ड) \(var(X)\):
\(b_{yx} = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.9 = 0.6 \cdot \frac{6}{\sigma_x}\)
\(\sigma_x = 4 \Rightarrow var(X) = 16\).

(ii) यदि जीवन निर्वाह सूचकांक (Cost of Living Index) 150 है तो \(x\) ज्ञात कीजिए:

समूह	खाना	कपड़े	ईंधन और बिजली	मकान किराया	मिश्रित
I	180	120	300	100	160
W	4	5	6	\(x\)	3

हल:
\(\sum W = 18 + x\)
\(\sum IW = 720 + 600 + 1800 + 100x + 480 = 3600 + 100x\)
\(CLI = \frac{\sum IW}{\sum W} \Rightarrow 150 = \frac{3600 + 100x}{18 + x}\)
\(150(18+x) = 3600 + 100x\)
\(2700 + 150x = 3600 + 100x\)
\(50x = 900 \Rightarrow x = 18\)

प्र. ६. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) 25 अक्टूबर 2017 को एक बैंक में ₹ 18,000 का बिल ₹ 17,568 में रियायत (discounted) किया गया। यदि ब्याज की दर 12% प्रतिवर्ष थी तो कानूनी देय तिथि क्या है?

हल:

दिया गया है: \(SD = 18,000; CV = 17,568\)

\(r = 12\%\) प्रतिवर्ष

अब, \(BD = SD - CV\)

\(\quad = 18,000 - 17,568\)

\(\quad = \) ₹ 432

तथा \(BD = \frac{SD \times n \times r}{100}\)

\(\therefore \quad 432 = \frac{18,000 \times n \times 12}{100}\)

\(n = \frac{432 \times 100}{18,000 \times 12}\)

\(n = \frac{1}{5}\) वर्ष = 73 दिन

जिस अवधि के लिए छूट काटी गई है वह 73 दिन है जिसे छूट की तारीख अर्थात् 25 अक्टूबर 2017 से गिना जाता है:

अक्टूबर	नवम्बर	दिसम्बर	जनवरी	कुल
6	30	31	6	73

इसलिए कानूनी देय तिथि 6 जनवरी 2018 है।

(ii) न्यूनतमकरण के लिए निम्नलिखित स्वत्वार्पण समस्या (Assignment Problem) को हल कीजिए :

	I	II	III	IV	V
1	18	24	19	20	23
2	19	21	20	18	22
3	22	23	20	21	23
4	20	18	21	19	19
5	18	22	23	22	21

हल:

चरण-I (Row Reduction): उस पंक्ति के प्रत्येक तत्त्व में से प्रत्येक पंक्ति का सबसे छोटा तत्त्व घटाएँ:

0	6	1	2	5
1	3	2	0	4
2	3	0	1	3
2	0	3	1	1
0	4	5	4	3

चरण-II (Column Reduction): प्रत्येक स्तंभ के प्रत्येक तत्त्व में से उस स्तंभ के सबसे छोटे तत्त्व को घटाएँ:

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	2
2	0	3	1	0
0	4	5	4	2

चरण-III & IV: सभी शून्यों का आच्छादन करने वाली न्यूनतम रेखाएँ खींचे और मैट्रिक्स में सुधार करें। (यहाँ रेखाओं की न्यूनतम संख्या (4) < आव्यूह का क्रम (5) है, अतः सुधार आवश्यक है)।

चरण-VI (इष्टतम हल): अब रेखाओं की न्यूनतम संख्या = आव्यूह का क्रम। इष्टतम स्वत्वार्पण बनाया जा सकता है।

इष्टतम हल (Optimal Assignment):

• 1 \(\rightarrow\) I
• 2 \(\rightarrow\) IV
• 3 \(\rightarrow\) III
• 4 \(\rightarrow\) II
• 5 \(\rightarrow\) V \(\quad\) है।

न्यूनतम मूल्य (Minimum Value) =

\(18 + 18 + 20 + 18 + 21 =\) 95

HSC Commerce Mathematics & Statistics 2025 Board Exam Question Paper Solution

Mathematics & Statistics (Commerce) - 2025 Board Paper Solution

Paper Code: J-316 | Max Marks: 80 | Time: 3 Hrs

SECTION - I

Q. 1. (A) Select and write the correct answer of the following multiple choice type of questions (1 mark each):

(i) If \(p\): He is intelligent, \(q\): He is strong. Then, symbolic form of statement "It is wrong that, he is intelligent or strong" is:

• (a) \(\sim p \lor \sim q\)
• (b) \(\sim (p \land q)\)
• (c) \(\sim (p \lor q)\)
• (d) \(p \lor \sim q\)

Answer: (c) \(\sim (p \lor q)\)
Explanation: "Intelligent or strong" is \(p \lor q\). "It is wrong that" implies negation. Thus, \(\sim (p \lor q)\).

(ii) \(\int (x + \frac{1}{x})^3 dx =\)

• (a) \(\frac{1}{4}(x + \frac{1}{x})^4 + c\)
• (b) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x - \frac{1}{2x^2} + c\)
• (c) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x + \frac{1}{x^2} + c\)
• (d) \((x - x^{-1})^3 + c\)

Answer: (b)
Solution: Expand \((x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + x^{-3}\).
Integrate term by term: \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} + c\).

(iii) \(\int_{2}^{7} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{9-x}} dx =\)

• (a) \(\frac{7}{2}\)
• (b) \(\frac{5}{2}\)
• (c) 7
• (d) 2

Answer: (b) \(\frac{5}{2}\)
Solution: Using property \(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx\). The integral \(I = \frac{b-a}{2} = \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2}\).

(iv) The area of the region bounded by the curve \(y = x^2\) and the line \(y = 4\) is

• (a) \(\frac{32}{3}\) sq. units
• (b) \(\frac{64}{3}\) sq. units
• (c) \(\frac{16}{3}\) sq. units
• (d) 64 sq. units

Answer: (a) \(\frac{32}{3}\) sq. units
Solution: Area \(= 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\).

(v) The order and degree of the differential equation \((\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^2 = a^x\) are _____ respectively.

• (a) 1, 1
• (b) 1, 2
• (c) 2, 2
• (d) 2, 1

Answer: (c) 2, 2

(vi) The integrating factor of the differential equation \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3\) is

• (a) \(\log x\)
• (b) \(e^x\)
• (c) \(\frac{1}{x}\)
• (d) \(x\)

Answer: (d) \(x\)
Solution: I.F. \(= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x\).

Q. 1. (B) State whether the following statements are true or false (1 mark each):

(i) If \(A\) is a matrix and \(K\) is a constant, then \((KA)^T = K A^T\).

Answer: True

(ii) \(\int \log x dx = x \log x + x + c\).

Answer: False (Correct is \(x \log x - x + c\)).

(iii) The differential equation obtained by eliminating arbitrary constants from \(bx + ay = ab\) is \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\).

Answer: True

Q. 1. (C) Fill in the following blanks (1 mark each):

(i) The average revenue \(R_A\) is 50 and elasticity of demand \(\eta\) is 5, the marginal revenue \(R_M\) is _____.

Answer: 40
(\(R_M = R_A(1 - \frac{1}{\eta}) = 50(1 - \frac{1}{5}) = 40\))

(ii) \(\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = \) _____ \(+ c\)

Answer: \(\frac{e^x}{x}\)

(iii) If \(f'(x) = x^2 + 5\) and \(f(0) = -1\) then \(f(x) = \) _____.

Answer: \(\frac{x^3}{3} + 5x - 1\)

Q. 2. (A) Attempt any TWO of the following questions (3 marks each):

(i) Write the converse, inverse and contrapositive of the statement "If a triangle is equilateral then it is equiangular".

Let \(p\): A triangle is equilateral, \(q\): It is equiangular.
Statement: \(p \rightarrow q\)
Converse (\(q \rightarrow p\)): If a triangle is equiangular then it is equilateral.
Inverse (\(\sim p \rightarrow \sim q\)): If a triangle is not equilateral then it is not equiangular.
Contrapositive (\(\sim q \rightarrow \sim p\)): If a triangle is not equiangular then it is not equilateral.

(ii) Find \(x, y, z\) if \(\left\{ 5 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \right\} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-1 \\ y+1 \\ 2z \end{bmatrix}\)

\(5A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}, \quad 3B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & -6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}\)
\(5A - 3B = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -4 & 6 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\)
Multiply by \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\):
\(\begin{bmatrix} -6(2) + 2(1) \\ -4(2) + 6(1) \\ 2(2) + (-4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
Equating to RHS:
\(x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9\)
\(y + 1 = -2 \Rightarrow y = -3\)
\(2z = 0 \Rightarrow z = 0\)

(iii) Evaluate: \(\int \frac{1}{x(x^6+1)} dx\)

Multiply numerator and denominator by \(x^5\): \(\int \frac{x^5}{x^6(x^6+1)} dx\)
Put \(x^6 = t \Rightarrow 6x^5 dx = dt\)
\(I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{6} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt\)
\(I = \frac{1}{6} (\log|t| - \log|t+1|) + c = \frac{1}{6} \log|\frac{x^6}{x^6+1}| + c\)

Q. 2. (B) Attempt any TWO of the following questions (4 marks each):

(i) Solve the following equations by the method of inversion:
\(2x - y + z = 1\)
\(x + 2y + 3z = 8\)
\(3x + y - 4z = 1\)

Solution:
The given system of equations can be written in matrix form \(AX = B\), where
\(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Step 1: Find determinant of A (\(|A|\))
\(|A| = 2(-8 - 3) - (-1)(-4 - 9) + 1(1 - 6)\)
\(|A| = 2(-11) + 1(-13) + 1(-5)\)
\(|A| = -22 - 13 - 5 = -40 \neq 0\)
Since \(|A| \neq 0\), \(A^{-1}\) exists.

Step 2: Find Matrix of Cofactors
\(A_{11} = -11, \quad A_{12} = 13, \quad A_{13} = -5\)
\(A_{21} = -3, \quad A_{22} = -11, \quad A_{23} = -5\)
\(A_{31} = -5, \quad A_{32} = -5, \quad A_{33} = 5\)

Cofactor Matrix \(C = \begin{bmatrix} -11 & 13 & -5 \\ -3 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
\(\text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)

Step 3: Find X using \(X = A^{-1}B\)
\(X = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) B\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11(1) -3(8) -5(1) \\ 13(1) -11(8) -5(1) \\ -5(1) -5(8) + 5(1) \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 - 24 - 5 \\ 13 - 88 - 5 \\ -5 - 40 + 5 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -40 \\ -80 \\ -40 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\therefore x = 1, y = 2, z = 1\)

(ii) Find MPC, MPS, APC and APS, if the expenditure \(E_c\) of a person with income \(I\) is given as: \(E_c = (0.0003)I^2 + (0.075)I\); when \(I = 1000\).

Given \(I = 1000\).
APC \(= \frac{E_c}{I} = 0.0003I + 0.075\)
At \(I=1000\): APC \(= 0.0003(1000) + 0.075 = 0.3 + 0.075 = 0.375\)
APS \(= 1 - APC = 1 - 0.375 = 0.625\)
MPC \(= \frac{dE_c}{dI} = 0.0006I + 0.075\)
At \(I=1000\): MPC \(= 0.0006(1000) + 0.075 = 0.6 + 0.075 = 0.675\)
MPS \(= 1 - MPC = 1 - 0.675 = 0.325\)

(iii) Evaluate: \(\int_1^2 \frac{dx}{x^2+6x+5}\)

\(x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)\).
Partial Fractions: \(\frac{1}{(x+1)(x+5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+5})\)
\(I = \frac{1}{4} [\log|x+1| - \log|x+5|]_1^2 = \frac{1}{4} [\log(\frac{x+1}{x+5})]_1^2\)
Upper limit: \(\log(\frac{3}{7})\), Lower limit: \(\log(\frac{2}{6}) = \log(\frac{1}{3})\)
\(I = \frac{1}{4} (\log \frac{3}{7} - \log \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} \log(\frac{3}{7} \times 3) = \frac{1}{4} \log(\frac{9}{7})\).

Q. 3. (A) Attempt any TWO of the following questions (3 marks each):

(i) Find \(\frac{dy}{dx}\) if \(y = (x)^x + (a)^x\)

Let \(u = x^x\) and \(v = a^x\).
\(u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \Rightarrow \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = 1 + \log x \Rightarrow \frac{du}{dx} = x^x(1+\log x)\)
\(v = a^x \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a^x \log a\)
\(\frac{dy}{dx} = x^x(1+\log x) + a^x \log a\)

(ii) Find the area of the region bounded by the parabola \(y^2 = 25x\) and the line \(x = 5\).

The parabola is symmetric about X-axis.
Area \(= 2 \int_0^5 y dx = 2 \int_0^5 5\sqrt{x} dx = 10 \int_0^5 x^{1/2} dx\)
\(= 10 [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^5 = \frac{20}{3} [5^{3/2}] = \frac{20}{3} (5\sqrt{5}) = \frac{100\sqrt{5}}{3}\) sq. units.

(iii) Find the differential equation by eliminating arbitrary constants from the relation \(y = Ae^{3x} + Be^{-3x}\).

Diff. w.r.t \(x\): \(y' = 3Ae^{3x} - 3Be^{-3x}\)
Diff. again: \(y'' = 9Ae^{3x} + 9Be^{-3x} = 9(Ae^{3x} + Be^{-3x})\)
\(y'' = 9y \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0\)

Q. 3. (B) Attempt any ONE of the following questions (4 marks each):

(i) Using the truth table, verify \(p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\)

Solution:
We construct the truth table for the given logical statement.

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \land r\)	\(p \lor (q \land r)\) (LHS)	\(p \lor q\)	\(p \lor r\)	\((p \lor q) \land (p \lor r)\) (RHS)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	F	F	T	F	F
F	F	T	F	F	F	T	F
F	F	F	F	F	F	F	F

From the table, the entries in column 5 (LHS) and column 8 (RHS) are identical.
\(\therefore p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\) is verified.

(ii) If \(x = \frac{4t}{1+t^2}, y = 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})\), then show that \(\frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

Let \(t = \tan \theta\). Then \(x = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta\) and \(y = 3 \cos 2\theta\).
Thus \(\frac{x}{2} = \sin 2\theta\) and \(\frac{y}{3} = \cos 2\theta\).
Squaring and adding: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\).
Differentiate w.r.t \(x\): \(\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0\).
\(\frac{x}{2} = -\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

Q. 3. (C) Attempt any ONE of the following questions (Activity):

(i) Divide the number 84 into two parts such that the product of one part and square of the other is maximum.

Let one part be \(x\), then the other part will be \(84 - x\).
\(f(x) = x^2(84-x) = 84x^2 - x^3\) (Note: Maximizing square of one times other).
\(f'(x) = 168x - 3x^2\)
For extreme values \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(56-x) = 0\)
\(x = 0\) OR \(x = 56\)
\(f''(x) = 168 - 6x\)
If \(x=56, f''(56) = 168 - 336 = -168 < 0\)
Function attains maximum at \(x = 56\).
Two parts of 84 are 56 and 28.

(ii) Solve the following differential equation
\((x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0\)

Solution:
Separating the variables, the given equation can be written as:
\(x^2(1-y)dy + y^2(1+x)dx = 0\)
Dividing by \(x^2y^2\),

\(\left[ \frac{1-y}{y^2} \right] dy + \left[ \frac{1+x}{x^2} \right] dx = 0\)

\(\therefore (y^{-2} - \frac{1}{y})dy + (x^{-2} + \frac{1}{x})dx = 0\)

\(\left[ y^{-2} \right] dy - \frac{1}{y}dy + x^{-2}dx + \left[ \frac{1}{x} \right] dx = 0\)

Integrating we get,
\(\int y^{-2}dy - \int \frac{1}{y}dy + \int x^{-2}dx + \int \frac{1}{x}dx = 0\)

\(\therefore \frac{y^{-1}}{-1} - \left[ \log y \right] + \frac{x^{-1}}{-1} + \left[ \log x \right] = c\)

\(-\frac{1}{y} - \frac{1}{x} + \log x - \log y = c\)

\(\log x - \log y = \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] + c\)

is the required solution.

SECTION - II

Q. 4. (A) Select and write the correct answer (1 mark each):

(i) An agent who gives guarantee to his principal that the party will pay the sale price of goods is called –

• (a) Auctioneer
• (b) Del credere agent
• (c) Factor
• (d) Broker

Answer: (b) Del credere agent

(ii) In an ordinary annuity, payments or receipts occur at

• (a) Beginning of each period
• (b) End of each period
• (c) Mid of each period
• (d) Quarterly basis

Answer: (b) End of each period

(iii) Moving averages are useful in identifying

• (a) Seasonal component
• (b) Irregular component
• (c) Trend component
• (d) Cyclical component

Answer: (c) Trend component

(iv) If \(P_{01}(L)=90\) and \(P_{01}(P)=40\), then \(P_{01}(D-B)\) is

• (a) 65
• (b) 50
• (c) 25
• (d) 130

Answer: (a) 65 (Average of L and P: \(\frac{90+40}{2}\))

(v) The objective of an assignment problem is to assign

• (a) Number of jobs to equal number of persons at maximum cost
• (b) Number of jobs to equal number of persons at minimum cost
• (c) Only to maximize the cost
• (d) Only to minimize the cost

Answer: (d) Only to minimize the cost (Standard objective, though maximization is possible via conversion) / (b) is also a valid definition. Given standard multiple choice logic in textbooks, (b) is descriptive, but (d) is the mathematical objective function. In this specific paper context, (b) is likely the intended descriptive answer. However, strictly "objective" is minimization.

(vi) The expected value of the sum of two numbers obtained when two fair dice are rolled is

• (a) 5
• (b) 6
• (c) 7
• (d) 8

Answer: (c) 7

Q. 4. (B) State whether true or false (1 mark each):

(i) If \(b_{yx} + b_{xy} = 1.30\) and \(r = 0.75\), data is inconsistent. Answer: True (If sum is 1.3, max product is \(0.65^2 = 0.4225\), but \(r^2 = 0.75^2 = 0.5625\). Impossible).

(ii) Cyclic variation can occur several times in a year. Answer: False

(iii) Cost of living index number is used in calculating purchasing power of money. Answer: True

Q. 4. (C) Fill in the blanks (1 mark each):

(i) The amount paid to the holder of the bill after deducting banker's discount is known as Cash Value.

(ii) The simplest method of measuring trend of time series is Graphical Method.

(iii) Quantity index number by weighted aggregate method is given by \(\frac{\sum q_1 w}{\sum q_0 w} \times 100\).

Q. 5. (A) Attempt any TWO (3 marks each):

(i) Compute the appropriate regression equation for X: 1, 2, 3, 4, 5 and Y: 5, 7, 9, 11, 13.

Means: \(\bar{X}=3, \bar{Y}=9\).
\(b_{yx} = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum(X-\bar{X})^2} = \frac{20}{10} = 2\).
Equation of Y on X: \(Y - 9 = 2(X - 3) \Rightarrow Y = 2X + 3\).

(ii) L.P.P. Formulation: Min Cost.

Let \(x\) be kg of cement, \(y\) be kg of sand.
Minimize \(Z = 20x + 6y\)
Subject to:
\(x + y \ge 5\) (Weight)
\(x \ge 4\) (Min cement)
\(y \le 2\) (Max sand)
\(x, y \ge 0\).

(iii) Find the mean of number of heads in three tosses of a fair coin.

\(n=3, p=0.5\). It follows Binomial Distribution.
Mean \(E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5\).

Q. 5. (B) Attempt any TWO of the following questions (4 marks each):

(i) Obtain the trend value for the following data using 4-yearly centered moving averages :

Years	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
Index	0	2	3	3	2	4	5	6	7	10

Solution:
Calculation of 4-Yearly Centered Moving Averages:

Year	Index (Y)	4-Year Moving Total	Centered Total (Sum of 2)	Trend Value (Centered Avg / 8)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
1978	3	8	18	2.25
1979	3	10	22	2.75
1980	2	12	26	3.25
1981	4	14	31	3.875
1982	5	17	39	4.875
1983	6	22	50	6.25
1984	7	28	-	-
1985	10	-	-	-

Note:
1. First 4-Year Total: \(0+2+3+3 = 8\)
2. Second 4-Year Total: \(2+3+3+2 = 10\) ... and so on.
3. Centered Total: \(8+10=18\), \(10+12=22\) ... and so on.
4. Trend Value = Centered Total \(\div 8\).

(ii) Find the sequence that minimizes the total elapsed time to complete the following jobs in the order AB. Find the total elapsed time and idle time for machine B.

Solution:
Step 1: Determine the Optimal Sequence
Using Johnson's Algorithm:
- Min time is 5: Job VII on A (First) and Job VI on B (Last).
- Next min is 7: Job I on A (Second) and Job VII (Done).
- Next min is 10: Job IV on A and B. Place IV after I.
- Next min is 14: Job V on A (After IV), Job II on B (Before VI), Job III on B (Before II).
Optimal Sequence: VII \(\to\) I \(\to\) IV \(\to\) V \(\to\) III \(\to\) II \(\to\) VI

Step 2: Work Table

Job Sequence	Machine A		Machine B
	In	Out	In	Out
VII	0	5	5	12
I	5	12	12	24
IV	12	22	24	34
V	22	36	36	52
III	36	55	55	69
II	55	71	71	85
VI	71	86	86	91

Total Elapsed Time (T) = 91 hours/units

Idle Time for Machine B:
Total time - Sum of processing times on B
\(= 91 - (12+14+14+10+16+5+7)\)
\(= 91 - 78\)
\(= 13 \text{ hours/units}\)

(iii) Five cards are drawn successively with replacement from a well shuffled deck of 52 cards. Find the probability that :
(a) all the five cards are spades
(b) only 3 cards are spades.

Solution:
Let \(X\) denote the number of spades.
Total cards = 52, Spades = 13.
Probability of success (getting a spade) \(p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\).
Probability of failure \(q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Number of trials \(n = 5\).
This is a Binomial Distribution: \(P(X=x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}\).

(a) Probability that all five cards are spades (\(x=5\)):
\(P(X=5) = {}^5C_5 (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^0\)
\(= 1 \cdot \frac{1}{1024} \cdot 1\)
\(= \frac{1}{1024}\)

(b) Probability that only 3 cards are spades (\(x=3\)):
\(P(X=3) = {}^5C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^2\)
\(= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16}\)
\(= 10 \cdot \frac{9}{1024}\)
\(= \frac{90}{1024}\)
\(= \frac{45}{512}\)

Q. 6. (A) Attempt any TWO (3 marks each):

(i) Insurance calculation.

Value = 8,00,000. Insured Value = \(75\%\) of 8,00,000 = 6,00,000.
Premium = \(0.80\%\) of 6,00,000 = 4,800.
Agent Commission = \(9\%\) of 4,800 = 432.

(ii) Solve LPP graphically. Max \(z = 4x + 6y\).

Lines: \(3x + 2y = 12\) (cuts axes at (4,0), (0,6)) and \(x + y = 4\) (cuts axes at (4,0), (0,4)).
Constraints: \(3x+2y \le 12\) (towards origin), \(x+y \ge 4\) (away from origin).
Feasible region is triangle with vertices A(4,0), B(0,4), C(0,6).
\(Z\) at A(4,0) = 16.
\(Z\) at B(0,4) = 24.
\(Z\) at C(0,6) = 36.
Maximum value is 36 at point (0,6).

(iii) Defects on plywood sheet occur at random with the average of one defect per 50 sq.ft. Find the probability that such a sheet has :
(a) no defect
(b) at least one defect
(use \(e^{-1} = 0.3678\))

Solution:
Let \(X\) denote the number of defects on a plywood sheet.
Given average number of defects \(m = 1\) (per 50 sq.ft).
This follows a Poisson Distribution with parameter \(m=1\).
The probability mass function is \(P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!} = \frac{e^{-1} (1)^x}{x!} = \frac{e^{-1}}{x!}\).

(a) Probability of no defect (\(x=0\)):
\(P(X=0) = \frac{e^{-1}}{0!} = \frac{0.3678}{1}\)
\(\therefore P(X=0) = 0.3678\)

(b) Probability of at least one defect (\(x \ge 1\)):
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\)
\(= 1 - 0.3678\)
\(\therefore P(X \ge 1) = 0.6322\)

Q. 6. (B) Attempt any ONE of the following questions (4 marks each):

(i) The equations of two regression lines are \(10x - 4y = 80\) and \(10y - 9x = -40\). Find
(a) \(\bar{x}\) and \(\bar{y}\)
(b) \(b_{yx}\) and \(b_{xy}\)
(c) \(r\)
(d) If \(var(Y) = 36\), obtain \(var(X)\).

Solution:
(a) Finding \(\bar{x}\) and \(\bar{y}\):
Since the regression lines intersect at \((\bar{x}, \bar{y})\), we solve the equations simultaneously:
1) \(10x - 4y = 80\)   (Multiply by 5) \(\Rightarrow 50x - 20y = 400\)
2) \(-9x + 10y = -40\)   (Multiply by 2) \(\Rightarrow -18x + 20y = -80\)
Adding the two new equations:
\(32x = 320 \Rightarrow x = 10\)
Substitute \(x = 10\) in equation (1):
\(10(10) - 4y = 80 \Rightarrow 100 - 80 = 4y \Rightarrow 4y = 20 \Rightarrow y = 5\)
\(\therefore \bar{x} = 10\) and \(\bar{y} = 5\)

(b) Finding \(b_{yx}\) and \(b_{xy}\):
Let \(10x - 4y = 80\) be the regression line of X on Y.
\(10x = 4y + 80 \Rightarrow x = 0.4y + 8\)
\(\therefore b_{xy} = 0.4\)
Let \(10y - 9x = -40\) be the regression line of Y on X.
\(10y = 9x - 40 \Rightarrow y = 0.9x - 4\)
\(\therefore b_{yx} = 0.9\)
(Check: \(b_{xy} \times b_{yx} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 < 1\), assumption is correct).
\(\therefore b_{yx} = 0.9\) and \(b_{xy} = 0.4\)

(c) Finding \(r\):
\(r = \pm \sqrt{b_{yx} \times b_{xy}}\)
Since both regression coefficients are positive, \(r\) is positive.
\(r = \sqrt{0.9 \times 0.4} = \sqrt{0.36} = 0.6\)
\(\therefore r = 0.6\)

(d) Finding \(var(X)\):
Given \(var(Y) = \sigma_y^2 = 36 \Rightarrow \sigma_y = 6\)
We know, \(b_{yx} = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x}\)
\(0.9 = 0.6 \cdot \frac{6}{\sigma_x} \Rightarrow \sigma_x = \frac{3.6}{0.9} = 4\)
\(var(X) = \sigma_x^2 = 4^2 = 16\)
\(\therefore var(X) = 16\)

(ii) Find \(x\) if the cost of living index is 150 :

Group	Food	Clothing	Fuel and electricity	House Rent	Miscellaneous
I	180	120	300	100	160
W	4	5	6	\(x\)	3

Solution:
We prepare the table for \(\sum W\) and \(\sum IW\):

Group	I	W	IW
Food	180	4	720
Clothing	120	5	600
Fuel & Elec.	300	6	1800
House Rent	100	\(x\)	\(100x\)
Miscellaneous	160	3	480
Total		\(\sum W = 18 + x\)	\(\sum IW = 3600 + 100x\)

Cost of Living Index (CLI) \(= \frac{\sum IW}{\sum W}\)
Given, CLI = 150.
\(150 = \frac{3600 + 100x}{18 + x}\)
\(150(18 + x) = 3600 + 100x\)
\(2700 + 150x = 3600 + 100x\)
\(150x - 100x = 3600 - 2700\)
\(50x = 900\)
\(x = \frac{900}{50}\)
\(\therefore x = 18\)

Q. 6. (C) Activity (4 marks each):

(i) Bills of Exchange activity.

Solution:

Given:
Sum Due (S.D.) = 18,000
Cash Value (C.V.) = 17,568
Rate (R) = 12% p.a.
Date of Discounting = 25th October 2017

Step 1: Calculate Banker's Discount (B.D.)
\(B.D. = \text{S.D.} - \text{C.V.}\)
\(B.D. = 18,000 - 17,568\)
\(\therefore B.D. = 432\)

Step 2: Calculate Period (n)
We know that, \(B.D. = \frac{\text{S.D.} \times n \times R}{100}\)
Substituting the values:
\(432 = \frac{18,000 \times n \times 12}{100}\)
\(n = \frac{432 \times 100}{18,000 \times 12}\)
\(n = \frac{1}{5} \text{ years}\)
Converting years to days: \(n = \frac{1}{5} \times 365 = 73 \text{ days}\)

Step 3: Calculate Legal Due Date
The period is 73 days from 25th October 2017.

Month	Days Calculation	Days Taken
Oct 2017	(31 - 25)	6
Nov 2017	Full Month	30
Dec 2017	Full Month	31
Jan 2018	(Remaining to reach 73)	6
Total		73

\(\therefore\) Legal Due Date = 6th January 2018

(ii) Solve the following assignment problem for minimization:

	I	II	III	IV	V
1	18	24	19	20	23
2	19	21	20	18	22
3	22	23	20	21	23
4	20	18	21	19	19
5	18	22	23	22	21

Solution:

Step-I: Row Reduction
Subtract the smallest element of each row from every element of that row:

0	6	1	2	5
1	3	2	0	4
2	3	0	1	3
2	0	3	1	1
0	4	5	4	3

Step-II: Column Reduction
Subtract the smallest element of each column from every element of that column (Smallest elements for all columns are 0, except column V where it is 1):

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	2
2	0	3	1	0
0	4	5	4	2

Step-III & IV: Cover Zeros and Improve Matrix
Draw minimum lines to cover zeros. Here, minimum lines (4) < order of matrix (5). The smallest uncovered element is 1. Subtract it from uncovered elements and add to intersections.

Step-V: Final Assignment Matrix

	5	0	1	3
2	3	2		3
3	3		0	2
3		3	1	0
0	3	4	3

Optimal Assignment:
1 → I (18)
2 → IV (18)
3 → III (20)
4 → II (18)
5 → V (21)

Minimum Value: 18 + 18 + 20 + 18 + 21 = 95