10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions | Mayiladuthurai District
பகுதி - அ (Part - A)
சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக. (14 x 1 = 14)
கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:
\( A = \{a, b, p\} \)
\( B = \{2, 3\} \)
\( C = \{p, q, r, s\} \)
முதலில், A ∪ C ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
\( A \cup C = \{a, b, p\} \cup \{p, q, r, s\} = \{a, b, p, q, r, s\} \)
இப்போது, கணங்களின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவோம்:
\( n(A \cup C) = 6 \)
\( n(B) = 2 \)
n[(A ∪ C) x B] ஐக் கணக்கிட, கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்:
\( n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) \)
\( = 6 \times 2 = 12 \)
f(x) = (x + 1)³ - (x - 1)³
நாம் \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) மற்றும் \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.
\( (x+1)^3 = x^3 + 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)
\( (x-1)^3 = x^3 - 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)
இப்போது, f(x) ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\( f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \)
\( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \)
\( f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1) \)
\( f(x) = 6x^2 + 2 \)
இது \(ax^2+bx+c\) என்ற வடிவில் உள்ளதால், இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.
ஒரு கணத்திலிருந்து மற்றொரு கணத்திற்கு உள்ள உறவு என்பது அவற்றின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் उपகணமாகும்.
n(A) = p மற்றும் n(B) = q எனில்,
A x B என்ற கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை:
\( n(A \times B) = n(A) \times n(B) = pq \)
A x B இன் மொத்த उपகணங்களின் எண்ணிக்கை, A இலிருந்து B க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம்.
ஒரு கணத்தில் 'n' உறுப்புகள் இருந்தால், அதன் மொத்த उपகணங்களின் எண்ணிக்கை \(2^n\).
இங்கு \( n(A \times B) = pq \) என்பதால், மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{pq}\).
1729 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்.
1729 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும்:
\( 1729 \div 7 = 247 \)
247 ஆனது 13 ஆல் வகுபடும்:
\( 247 \div 13 = 19 \)
19 ஒரு பகா எண்.
எனவே, 1729 இன் பகாக் காரணிகள் \( 7 \times 13 \times 19 \).
இதை அடுக்குகள் வடிவில் எழுதினால்:
\( 1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1 \)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3.
ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n = 31\).
16-வது உறுப்பு, \(t_{16} = m\).
\( t_{16} = a + (16-1)d = a + 15d = m \).
கூட்டுத் தொடரின் கூடுதல் சூத்திரம்: \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \).
இங்கு \( n = 31 \):
\( S_{31} = \frac{31}{2}[2a + (31-1)d] \)
\( S_{31} = \frac{31}{2}[2a + 30d] \)
\( S_{31} = \frac{31}{2} \times 2(a + 15d) \)
\( S_{31} = 31(a + 15d) \)
நமக்கு \( a + 15d = m \) என்று தெரியும். அதை பிரதியிட:
\( S_{31} = 31m \).
மாற்று முறை: ஒரு கூட்டுத் தொடரில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் இருந்தால், அதன் கூடுதல் = (உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) x (நடு உறுப்பு).
இங்கு 31 உறுப்புகள் உள்ளன, நடு உறுப்பு \( \frac{31+1}{2} = 16 \)-வது உறுப்பு ஆகும். நடு உறுப்பு m.
கூடுதல் = \( 31 \times m = 31m \).
முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல்: \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \)
முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல்: \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)
இங்கு n = 15.
\( 1^3 + 2^3 + ... + 15^3 = \left( \frac{15(15+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{15 \times 16}{2} \right)^2 = (15 \times 8)^2 = 120^2 = 14400 \)
\( 1 + 2 + ... + 15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120 \)
தேவையான மதிப்பு = 14400 - 120 = 14280.
\( \frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} \)
வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்ற, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியைப் பயன்படுத்தவும்:
\( = \frac{3y-3}{y} \times \frac{3y^2}{7y-7} \)
பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்கவும்:
\( = \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)} \)
பொதுவான காரணிகளான (y-1) மற்றும் y ஐ நீக்கவும்:
\( = \frac{3 \times 3y}{7} = \frac{9y}{7} \)
முதலில் கோவையைச் சுருக்குவோம்:
\( \frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6} = \frac{256}{25} x^{8-6} y^{4-6} z^{10-6} \)
\( = \frac{256}{25} x^2 y^{-2} z^4 = \frac{256x^2z^4}{25y^2} \)
இப்போது வர்க்கமூலம் எடுக்கவும்:
\( \sqrt{\frac{256x^2z^4}{25y^2}} = \frac{\sqrt{256} \sqrt{x^2} \sqrt{z^4}}{\sqrt{25} \sqrt{y^2}} \)
\( = \frac{16 |x| z^2}{5 |y|} \)
வழக்கமாக நேர்மறை மதிப்புகளைக் கருதுவதால், பதில் \( \frac{16xz^2}{5y} \) என எழுதப்படுகிறது. சரியான குறியீடு \( \frac{16}{5} \frac{xz^2}{|y|} \) ஆகும்.
\( (2x-1)^2 = 9 \)
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:
\( 2x-1 = \pm\sqrt{9} \)
\( 2x-1 = \pm 3 \)
இரண்டு நேர்வுகள் உள்ளன:
நேர்வு 1: \( 2x-1 = 3 \)
\( 2x = 3+1 = 4 \)
\( x = \frac{4}{2} = 2 \)
நேர்வு 2: \( 2x-1 = -3 \)
\( 2x = -3+1 = -2 \)
\( x = \frac{-2}{2} = -1 \)
ஆகவே, தீர்வுகள் x = 2 மற்றும் x = -1.
ΔABC யில், DE || BC.
அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்),
\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
\( \frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4} \)
\( AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} \)
\( AE = \frac{5.04}{3.6} = \frac{50.4}{36} = 1.4 \)
எனவே, AE = 1.4 செ.மீ.
சமன்பாடு 1: \( 3x - y = 4 \)
சமன்பாடு 2: \( x + y = 8 \)
இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டவும்:
\( (3x - y) + (x + y) = 4 + 8 \)
\( 4x = 12 \)
\( x = 3 \)
x = 3 ஐ சமன்பாடு 2 இல் பிரதியிட:
\( 3 + y = 8 \)
\( y = 8 - 3 = 5 \)
சந்திக்கும் புள்ளி (3, 5).
ஒரு நாற்கரம் இணைகரமாக இருக்க, அதன் இரு சோடி எதிர் பக்கங்களும் இணையாக இருக்க வேண்டும்.
இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருந்தால், அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்கும்.
எனவே, நாற்கரத்தின் இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள் சமம் என நிரூபித்தால், அது ஒரு இணைகரம் ஆகும்.
முக்கோணத்தின் பரப்புக்கான சூத்திரம்:
\( \text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)
புள்ளிகள்: \( (x_1, y_1) = (-2, 0) \), \( (x_2, y_2) = (0, -2) \), \( (x_3, y_3) = (2, 0) \)
\( \text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-2-0) + 0(0-0) + 2(0-(-2))| \)
\( \text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-2) + 0 + 2(2)| \)
\( \text{Area} = \frac{1}{2} |4 + 4| = \frac{1}{2} |8| = 4 \)
பரப்பு = 4 சதுர அலகுகள்.
குறிப்பு: கேள்வித்தாளில் கொடுக்கப்பட்ட விடை சரி. கணக்கீட்டில் தவறு இல்லை.
LHS = \( (\sin\alpha + \csc\alpha)^2 + (\cos\alpha + \sec\alpha)^2 \)
விரிவுபடுத்தவும்:
\( = (\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha) \)
நமக்கு \( \sin\alpha\csc\alpha = 1 \) மற்றும் \( \cos\alpha\sec\alpha = 1 \) எனத் தெரியும்.
\( = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 2(1) + 2(1) \)
\( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) ஐ பிரதியிட:
\( = 1 + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 4 \)
முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தவும்: \( \csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha \) மற்றும் \( \sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \).
\( = 5 + (1 + \cot^2\alpha) + (1 + \tan^2\alpha) \)
\( = 7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \)
RHS உடன் ஒப்பிட: \( k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \)
எனவே, k = 7.
பகுதி - ஆ (Part - B)
எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 28 கட்டாய வினா) (10 x 2 = 20)
A x B என்பது A மற்றும் B கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஆகும்.
கணம் A என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள முதல் உறுப்புகளின் கணம்.
A = {3, 5}
கணம் B என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.
B = {2, 4}
சார்பு எனக்காட்டுதல்:
R என்ற உறவில், X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y இல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது.
- 1-ன் நிழல் உரு 2
- 2-ன் நிழல் உரு 4
- 3-ன் நிழல் உரு 6
- 4-ன் நிழல் உரு 8
X இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் தனித்த நிழல் உரு Y இல் இருப்பதால், R ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் (Domain): X இல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கணம்.
மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}
துணை மதிப்பகம் (Co-domain): Y கணம் முழுவதும்.
துணை மதிப்பகம் = {2, 4, 6, 8, 10}
வீச்சகம் (Range): நிழல் உருக்களின் கணம்.
வீச்சகம் = {2, 4, 6, 8}
கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத் தொடர் வரிசை (GP): 9, 3, 1, ...
முதல் உறுப்பு, a = 9
பொது விகிதம், \( r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
ஒரு GP-யின் n-வது உறுப்பு: \( t_n = ar^{n-1} \)
8-வது உறுப்பைக் காண, n = 8:
\( t_8 = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{8-1} = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^7 \)
\( t_8 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^{7-2}} = \frac{1}{3^5} \)
\( t_8 = \frac{1}{243} \)
முதல் கோவையை காரணிப்படுத்துக:
\(5x - 10 = 5(x - 2)\)
இரண்டாவது கோவையை காரணிப்படுத்துக:
\(5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4)\)
இங்கு \( (a^2 - b^2) = (a+b)(a-b) \) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,
\( = 5(x-2)(x+2) \)
மீ.சி.ம (LCM) என்பது அனைத்து காரணிகளின் உயர்ந்தபட்ச அடுக்கின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.
காரணிகள்: 5, (x-2), (x+2)
மீ.சி.ம = \(5(x-2)(x+2) = 5(x^2 - 4)\)
\( \frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} \)
எண்களைத் தனியாகவும், மாறிகளைத் தனியாகவும் பெருக்குவோம்:
\( = \left(\frac{4 \times 6}{2 \times 20}\right) \times \left(\frac{x^2 \times x}{1}\right) \times \left(\frac{y}{y^4}\right) \times \left(\frac{z^3}{z^2}\right) \)
\( = \left(\frac{24}{40}\right) \times (x^{2+1}) \times (y^{1-4}) \times (z^{3-2}) \)
\( = \frac{3}{5} \times x^3 \times y^{-3} \times z^1 \)
\( = \frac{3x^3z}{5y^3} \)
கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி (Angle Bisector Theorem), ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
அதன்படி, \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
\( \frac{6}{AC} = \frac{4}{3} \)
\( AC = \frac{6 \times 3}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 \)
எனவே, AC = 4.5 செ.மீ.
கம்பம் மற்றும் அதன் நிழல், கோபுரம் மற்றும் அதன் நிழல் ஆகியவை இரு வடிவொத்த செங்கோண முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன.
கம்பத்தின் உயரம் (h₁) = 6 மீ
கம்பத்தின் நிழல் (s₁) = 400 செ.மீ = 4 மீ
கோபுரத்தின் உயரம் (h₂) = ?
கோபுரத்தின் நிழல் (s₂) = 28 மீ
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி,
\( \frac{\text{உயரம்}}{\text{நிழல்}} \) விகிதம் சமமாக இருக்கும்.
\( \frac{h_1}{s_1} = \frac{h_2}{s_2} \)
\( \frac{6}{4} = \frac{h_2}{28} \)
\( h_2 = \frac{6 \times 28}{4} = 6 \times 7 = 42 \)
எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் 42 மீ ஆகும்.
புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையுமானால், PQ-ன் சாய்வும் QR-ன் சாய்வும் சமமாக இருக்கும்.
சாய்வு સૂત્રం: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
PQ-ன் சாய்வு:
\( m_{PQ} = \frac{-2 - 3}{6 - (-1.5)} = \frac{-5}{6 + 1.5} = \frac{-5}{7.5} = \frac{-5}{15/2} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3} \)
QR-ன் சாய்வு:
\( m_{QR} = \frac{4 - (-2)}{-3 - 6} = \frac{4+2}{-9} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3} \)
PQ-ன் சாய்வும் QR-ன் சாய்வும் சமமாக இருப்பதால், P, Q, மற்றும் R ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.
சாய்வு સૂત્રం: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
இங்கே \( (x_1, y_1) = (-6, 1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) = (14, 10) \)
\( m = \frac{10 - 1}{14 - (-6)} = \frac{9}{14 + 6} = \frac{9}{20} \)
எனவே, சாய்வு \( \frac{9}{20} \) ஆகும்.
இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்க, அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு Ax + By + C = 0 எனில், அதன் சாய்வு \( m = -\frac{A}{B} \).
முதல் கோடு (2x + 3y - 8 = 0) இன் சாய்வு:
\( m_1 = -\frac{2}{3} \)
இரண்டாவது கோடு (4x + 6y + 18 = 0) இன் சாய்வு:
\( m_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \)
இங்கு \( m_1 = m_2 \) என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகள் இணை ஆகும்.
f(x) = x² - 5x + 6
i) f(-1) இன் மதிப்பு:
\( f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \)
ii) f(2) இன் மதிப்பு:
\( f(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \)
13824 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்:
\( 13824 = 2 \times 6912 \)
\( = 2^2 \times 3456 \)
\( = 2^3 \times 1728 \)
\( = 2^4 \times 864 \)
\( = 2^5 \times 432 \)
\( = 2^6 \times 216 \)
\( = 2^7 \times 108 \)
\( = 2^8 \times 54 \)
\( = 2^9 \times 27 \)
\( = 2^9 \times 3^3 \)
எனவே, \( 13824 = 2^9 \times 3^3 \). இதை \( 2^a \times 3^b \) உடன் ஒப்பிட,
a = 9 மற்றும் b = 3.
LHS = \( \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} \)
தொகுதி மற்றும் பகுதியை \( (1+\cos\theta) \) ஆல் பெருக்கவும்:
\( = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}} \)
\( = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}} \)
நமக்கு \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \), எனவே \( \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \)
\( = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} \)
\( = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} \)
\( = \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)
\( = \csc\theta + \cot\theta = \) RHS
எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசை (AP).
முதல் உறுப்பு, a = 1
பொது வித்தியாசம், d = 3 - 1 = 2
கடைசி உறுப்பு, l = 51
முதலில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை (n) காண்போம்:
\( l = a + (n-1)d \)
\( 51 = 1 + (n-1)2 \)
\( 50 = (n-1)2 \)
\( 25 = n-1 \implies n = 26 \)
கூடுதல் \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \)
\( S_{26} = \frac{26}{2}(1+51) = 13 \times 52 = 676 \)
மாற்று முறை: முதல் n ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் \( n^2 \). இங்கு 26 ஒற்றை எண்கள் உள்ளன. எனவே, கூடுதல் = \( 26^2 = 676 \).
பகுதி - இ (Part - C)
எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 42 கட்டாய வினா) (10 x 5 = 50)
f(x) = x/2 - 1
f(2) = 2/2 - 1 = 1 - 1 = 0
f(4) = 4/2 - 1 = 2 - 1 = 1
f(6) = 6/2 - 1 = 3 - 1 = 2
f(10) = 10/2 - 1 = 5 - 1 = 4
f(12) = 12/2 - 1 = 6 - 1 = 5
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:
f = {(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)}
(ii) அட்டவணை:
| x | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 |
(iii) அம்புக்குறி படம்:
(மாணவர்கள் A மற்றும் B கணங்களுக்கான வட்டங்களை வரைந்து, A-இலிருந்து B-க்கு அம்புக்குறிகளை வரைய வேண்டும்.)
A = {2, 4, 6, 10, 12} → B = {0, 1, 2, 4, 5, 9}
2 → 0, 4 → 1, 6 → 2, 10 → 4, 12 → 5
(iv) வரைபடம்:
(மாணவர்கள் ஒரு வரைபடத்தில் (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.)
LHS = gff(x)
ff(x) = f(f(x)) = f(3x+1) = 3(3x+1) + 1 = 9x + 3 + 1 = 9x + 4
gff(x) = g(ff(x)) = g(9x+4) = (9x+4) + 3 = 9x + 7
RHS = fgg(x)
gg(x) = g(g(x)) = g(x+3) = (x+3) + 3 = x + 6
fgg(x) = f(gg(x)) = f(x+6) = 3(x+6) + 1 = 3x + 18 + 1 = 3x + 19
gff(x) = fgg(x)
9x + 7 = 3x + 19
9x - 3x = 19 - 7
6x = 12
x = 2
113400 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்:
\( 113400 = 1134 \times 100 \)
\( = 1134 \times 10^2 = 1134 \times (2 \times 5)^2 = 1134 \times 2^2 \times 5^2 \)
இப்போது 1134 ஐக் காரணிப்படுத்துவோம்:
\( 1134 = 2 \times 567 \)
\( 567 = 3 \times 189 = 3 \times 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 3 \times 21 = 3^4 \times 7 \)
எனவே, \( 1134 = 2 \times 3^4 \times 7 \)
இதை பிரதியிட:
\( 113400 = (2 \times 3^4 \times 7) \times 2^2 \times 5^2 = 2^3 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1 \)
பகா எண்களை ஏறு வரிசையில் எழுத:
p₁=2, p₂=3, p₃=5, p₄=7
அவற்றின் அடுக்குகளை எழுத:
x₁=3, x₂=4, x₃=2, x₄=1
மொத்த பரப்பு = \( 10^2 + 11^2 + 12^2 + ... + 24^2 \)
முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் સૂત્રం: \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
தேவையான கூடுதல் = \( (1^2 + 2^2 + ... + 24^2) - (1^2 + 2^2 + ... + 9^2) \)
n = 24 எனில்,
\( S_{24} = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900 \)
n = 9 எனில்,
\( S_9 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285 \)
மொத்த பரப்பு = \( S_{24} - S_9 = 4900 - 285 = 4615 \) சதுர செ.மீ.
நான்கு உறுப்புகளை \( a-3d, a-d, a+d, a+3d \) எனக்கொள்க.
கூடுதல்:
\( (a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 28 \)
\( 4a = 28 \implies a = 7 \)
வர்க்கங்களின் கூடுதல்:
\( (a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 276 \)
\( (a^2-6ad+9d^2) + (a^2-2ad+d^2) + (a^2+2ad+d^2) + (a^2+6ad+9d^2) = 276 \)
\( 4a^2 + 20d^2 = 276 \)
a = 7 எனப் பிரதியிட,
\( 4(7^2) + 20d^2 = 276 \)
\( 4(49) + 20d^2 = 276 \)
\( 196 + 20d^2 = 276 \)
\( 20d^2 = 276 - 196 = 80 \)
\( d^2 = 4 \implies d = \pm 2 \)
d = 2 எனில், எண்கள்: 7-6, 7-2, 7+2, 7+6 ⇒ 1, 5, 9, 13
d = -2 எனில், எண்கள்: 7+6, 7+2, 7-2, 7-6 ⇒ 13, 9, 5, 1
தேவையான நான்கு எண்கள் 1, 5, 9, 13 ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், அதன் வர்க்கமூலம் காணும்போது மீதி பூச்சியமாகும். வர்க்கமூலம் காணும் நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.
| \(3x^2 + 2x + 4\) | \(3x^2 + 2x + 4\) |
| \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) | |
| \(9x^4\) | |
| (-) | |
| \(6x^2+2x\) | \(12x^3 + 28x^2\) |
| \(12x^3 + 4x^2\) | |
| (-) (-) | |
| \(6x^2+4x+4\) | \(24x^2 + ax + b\) |
| \(24x^2 + 16x + 16\) | |
| (-) (-) (-) | |
| \( (a-16)x + (b-16) \) |
பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், மீதி பூச்சியமாகும்.
எனவே, \( (a-16)x + (b-16) = 0 \)
ஒத்த கெழுக்களை ஒப்பிட:
\( a - 16 = 0 \implies a = 16 \)
\( b - 16 = 0 \implies b = 16 \)
ஆகவே, a=16, b=16.
₹5, ₹10, ₹20 நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை முறையே x, y, z என்க.
கொடுக்கப்பட்டவை:
மொத்த மதிப்பு: \(5x + 10y + 20z = 105\)
இதை 5 ஆல் வகுக்க: \(x + 2y + 4z = 21\) --- (1)
மொத்த எண்ணிக்கை: \(x + y + z = 12\) --- (2)
முதல் இருவகை நோட்டுகளை இடமாற்றம் செய்தால், புதிய மதிப்பு = பழைய மதிப்பு + 20.
புதிய மதிப்பு (\(10x + 5y + 20z\)) = பழைய மதிப்பு (\(5x + 10y + 20z\)) + 20
\(10x + 5y = 5x + 10y + 20\)
\(5x - 5y = 20 \implies x - y = 4\) --- (3)
சமன்பாடு (2) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்க:
\((x + 2y + 4z) - (x + y + z) = 21 - 12\)
\(y + 3z = 9 \implies y = 9 - 3z\) --- (4)
சமன்பாடு (3) இலிருந்து: \(x = y + 4\). இதில் y-ன் மதிப்பை பிரதியிட,
\(x = (9 - 3z) + 4 = 13 - 3z\)
x, y மதிப்புகளை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட:
\((13 - 3z) + (9 - 3z) + z = 12\)
\(22 - 5z = 12\)
\(5z = 10 \implies z = 2\)
z=2 எனில், \(y = 9 - 3(2) = 9 - 6 = 3\)
z=2 எனில், \(x = 13 - 3(2) = 13 - 6 = 7\)
விடை: ₹5 நோட்டுகள் = 7, ₹10 நோட்டுகள் = 3, ₹20 நோட்டுகள் = 2.
புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து கடிகார எதிர் திசையில் வரிசைப்படுத்துவோம்: A(-4,3), B(5,11), C(8,6), D(-5,12). (குறிப்பு: கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையைப் பயன்படுத்தினால் எதிர்மறை மதிப்பு வரலாம், பரப்பளவு மிகை என்பதால் மட்டு மதிப்பு எடுக்க வேண்டும். வரிசை மாற்றி எடுப்பது குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும்.)
நாம் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையிலேயே கணக்கிடுவோம்: A(8,6), B(5,11), C(-5,12), D(-4,3).
நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right| \)
= \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 5 & -5 & -4 & 8 \\ 6 & 11 & 12 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \)
= \( \frac{1}{2} |((8)(11)+(5)(12)+(-5)(3)+(-4)(6)) - ((6)(5)+(11)(-5)+(12)(-4)+(3)(8)))| \)
= \( \frac{1}{2} |(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)| \)
= \( \frac{1}{2} |(148 - 39) - (54 - 103)| \)
= \( \frac{1}{2} |(109) - (-49)| \)
= \( \frac{1}{2} |109 + 49| = \frac{1}{2} |158| = 79 \)
எனவே, நாற்கரத்தின் பரப்பு 79 சதுர அலகுகள்.
மிகக்குறுகிய தூரம் என்பது இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோடு ஆகும்.
புள்ளிகள் A(-6,-4) மற்றும் B(5,11).
இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு:
\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
\( \frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)} \)
\( \frac{y + 4}{15} = \frac{x + 6}{11} \)
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய,
\( 11(y + 4) = 15(x + 6) \)
\( 11y + 44 = 15x + 90 \)
\( 15x - 11y + 90 - 44 = 0 \)
\( 15x - 11y + 46 = 0 \)
தேவையான பாதையின் சமன்பாடு \(15x - 11y + 46 = 0\) ஆகும்.
ஒரு நாற்கரத்தில் ஒரு சோடி எதிர்பக்கங்கள் இணையாக இருந்தால் அது ஒரு சரிவகம் ஆகும். சாய்வுகளைக் காண்போம்.
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
AB-ன் சாய்வு (A(3,-4), B(9,-4)):
\( m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9 - 3} = \frac{0}{6} = 0 \)
BC-ன் சாய்வு (B(9,-4), C(5,-7)):
\( m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5 - 9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \)
CD-ன் சாய்வு (C(5,-7), D(7,-7)):
\( m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0 \)
DA-ன் சாய்வு (D(7,-7), A(3,-4)):
\( m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3 - 7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \)
இங்கு, AB-ன் சாய்வு = CD-ன் சாய்வு = 0. எனவே, AB || CD.
BC-ன் சாய்வு ≠ DA-ன் சாய்வு. எனவே, BC மற்றும் DA இணை அல்ல.
ஒரு சோடி எதிர்பக்கங்கள் (AB மற்றும் CD) இணையாக இருப்பதால், ABCD ஒரு சரிவகம் ஆகும்.
முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துவோம்:
- \(b^2 + 3b - 28 = (b+7)(b-4)\)
- \(b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2 = (b+2)(b+2)\)
- \(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\)
- \(b^2 - 5b - 14 = (b-7)(b+2)\)
இப்போது கோவையில் பிரதியிட:
\( \frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \div \frac{(b+7)(b-7)}{(b-7)(b+2)} \)
வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்றி, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியை எடுக்கவும்:
\( = \frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \times \frac{(b-7)(b+2)}{(b+7)(b-7)} \)
பொதுவான காரணிகளை நீக்கவும்:
\( = \frac{\cancel{(b+7)}(b-4)}{(b+2)\cancel{(b+2)}} \times \frac{\cancel{(b-7)}\cancel{(b+2)}}{\cancel{(b+7)}\cancel{(b-7)}} \)
\( = \frac{b-4}{b+2} \)
நாம் \( a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \) மற்றும் \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) என்ற முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.
LHS = \( \frac{\sin^3 A + \cos^3 A}{\sin A + \cos A} + \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} \)
முதல் உறுப்பு:
\( \frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A - \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A + \cos A} \)
\( = (\sin^2 A + \cos^2 A) - \sin A \cos A = 1 - \sin A \cos A \)
இரண்டாம் உறுப்பு:
\( \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A - \cos A} \)
\( = (\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin A \cos A = 1 + \sin A \cos A \)
இரு உறுப்புகளையும் கூட்ட:
LHS = \( (1 - \sin A \cos A) + (1 + \sin A \cos A) \)
\( = 1 - \sin A \cos A + 1 + \sin A \cos A = 2 \)
LHS = 2 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.
கொடுக்கப்பட்ட கணங்களை வரையறுப்போம்:
A = {8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்கள்} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
B = {8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்} = {2, 3, 5, 7}
C = {இரட்டைப்படை பகா எண்கள்} = {2}
LHS = A x (B - C)
முதலில், B - C ஐக் காண்போம்.
B - C = {2, 3, 5, 7} - {2} = {3, 5, 7}
இப்போது, A x (B - C):
A x (B - C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {3, 5, 7}
= {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} --- (1)
RHS = (A x B) – (A x C)
முதலில், A x B ஐக் காண்போம்.
A x B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {2, 3, 5, 7}
= {(1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (4,2), (4,3), (4,5), (4,7), (5,2), (5,3), (5,5), (5,7), (6,2), (6,3), (6,5), (6,7), (7,2), (7,3), (7,5), (7,7)}
அடுத்து, A x C ஐக் காண்போம்.
A x C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {2}
= {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}
இப்போது, (A x B) – (A x C) என்பது (A x B) கணத்திலிருந்து (A x C) கணத்தின் உறுப்புகளை நீக்குவதாகும்.
(A x B) – (A x C) = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} --- (2)
சரிபார்த்தல்:
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, A x (B - C) = (A x B) – (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
பகுதி - ஈ (Part - D)
அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)
வரைமுறை:
- ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
- QR என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை P என்ற முனைக்கு എതിർ திசையில் வரைக.
- QX-ல் Q₁, Q₂, ..., Q₇ என்ற 7 புள்ளிகளை (7/3-ல் பெரிய எண் 7) சம இடைவெளியில் இருக்குமாறு குறிக்கவும்.
- Q₃ மற்றும் R-ஐ இணைக்கவும் (7/3-ல் சிறிய எண் 3).
- Q₃R-க்கு இணையாக Q₇-லிருந்து ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமாறு வரைக.
- PR-க்கு இணையாக R'-லிருந்து ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QP-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமாறு வரைக.
- ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களைப் போல 7/3 மடங்கு இருக்கும்.
(அல்லது)
வரைமுறை:
- QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
- Q-வில் ∠RQE = 30° என்ற கோணத்தை வரைக.
- Q-வில் QE-க்கு செங்குத்தாக QF என்ற கோட்டை வரைக.
- QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்து, அது QF-ஐ O என்ற புள்ளியிலும் QR-ஐ M என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கட்டும்.
- O-வை மையமாகவும் OQ-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
- மையக்குத்துக்கோட்டில் M-லிருந்து 4.2 செ.மீ உயரத்திற்கு G என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
- G-வழியாக QR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக.
- இந்த இணைக்கோடு வட்டத்தை P மற்றும் P' ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
- PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்கவும். ΔPQR என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
தூரம் (y) = வேகம் × நேரம் (x)
y = 50x. இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும்.
அட்டவணை:
| நேரம் x (மணி) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| தூரம் y (கி.மீ) | 50 | 100 | 150 | 200 |
(1,50), (2,100), (3,150), (4,200) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு நேர்க்கோடு வரைக.
(i) விகிதசம மாறிலி:
k = y/x = 50/1 = 50. விகிதசம மாறிலி k = 50.
(ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம்:
90 நிமிடங்கள் = 1.5 மணி நேரம். வரைபடத்தில் x = 1.5-க்கு நேராக y-அச்சில் உள்ள மதிப்பு 75 ஆகும். எனவே, தூரம் 75 கி.மீ.
(iii) 300 கி.மீ தூரத்தைப் பயணிக்க ஆகும் நேரம்:
வரைபடத்தில் y = 300-க்கு நேராக x-அச்சில் உள்ள மதிப்பு 6 ஆகும். எனவே, நேரம் 6 மணி ஆகும்.
(அல்லது)
பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x) அதிகரிக்கும்போது, ஒவ்வொருவரும் பெறும் தொகை (y) குறைகிறது. இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு ஆகும். xy = k.
அட்டவணையிலிருந்து, k = 2 × 180 = 360.
(i) விகித சம மாறிலி:
விகித சம மாறிலி k = 360.
வரைபடம்:
அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு வளைவரை (செவ்வக அதிபரவளையம்) வரைக.
(ii) 12 பங்கேற்பாளர்கள் எனில் பரிசுத்தொகை:
வரைபடத்தில் x = 12-க்கு நேராக y-அச்சில் உள்ள மதிப்பைக் கண்டறியவும். அது 30 ஆக இருக்கும்.
எனவே, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொருவரும் ₹30 பெறுவர்.
கணக்கீடு: xy = 360 ⇒ 12 × y = 360 ⇒ y = 360/12 = 30.