10th Standard Book Back Maths One Questions with solutions. Samacheer Kalvi Tamil Medium TM. அலகு 5 - ஆயத்தொலை வடிவியல்

N Azaz Tuition - 10 ஆம் வகுப்பு: அலகு 5 - ஆயத்தொலை வடிவியல் - Solutions
Azaz Tuition
10 ஆம் வகுப்பு: ONE MARK - Bookpack & Solutions
YouTube.com/@azaztuition azaztuition.com

அலகு -5: ஆயத்தொலை வடிவியல்

  1. \((-5, 0), (0, -5)\) மற்றும் \((5, 0)\) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு

    (1) 0 ச.அலகுகள்

    (2) 25 ச.அலகுகள்

    (3) 5 ச.அலகுகள்

    (4) எதுவுமில்லை

  2. ஒரு சுவரின் அருகே நடந்து சென்று கொண்டிருக்கும் ஒரு நபருக்கும் சுவருக்கும் இடையே உள்ள தூரம் 10 அலகுகள். சுவரை Y –அச்சாகக் கருதினால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை என்பது

    (1) \(x = 10\)

    (2) \(y = 10\)

    (3) \(x = 0\)

    (4) \(y = 0\)

  3. \(x = 11\) எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது

    (1) X –அச்சுக்கு இணை

    (2) Y –அச்சுக்கு இணை

    (3) ஆதிப் புள்ளி வழிச் செல்லும்

    (4) \((0,11)\) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

  4. \((5,7), (3,p)\) மற்றும் \((6,6)\) என்பன ஒரு கோட்டமைந்தவை எனில், p -யின் மதிப்பு

    (1) \(3\)

    (2) \(6\)

    (3) \(9\)

    (4) \(12\)

  5. \(3x - y = 4\) மற்றும் \(x + y = 8\) ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி

    (1) \((5, 3)\)

    (2) \((2, 4)\)

    (3) \((3, 5)\)

    (4) \((4, 4)\)

  6. \((12,3), (4,a)\) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு \(\frac{1}{8}\) எனில் ‘a’ –யின் மதிப்பு

    (1) \(1\)

    (2) \(4\)

    (3) \(-5\)

    (4) \(2\)

  7. \((0, 0)\) மற்றும் \((-8,8)\) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு

    (1) \(-1\)

    (2) \(1\)

    (3) \(\frac{1}{3}\)

    (4) \(-8\)

  8. கோட்டுத்துண்டு PQ–யின் சாய்வு \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) எனில், PQ -க்கு செங்குத்தான இரு சம வெட்டியின் சாய்வு

    (1) \(\sqrt{3}\)

    (2) \(-\sqrt{3}\)

    (3) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

    (4) \(0\)

  9. Y அச்சில் அமையும் புள்ளி A –யின் செங்குத்துத் தொலைவு 8 மற்றும் X-அச்சில் அமையும் புள்ளி B -யின் கிடைமட்டத் தொலைவு 5 எனில், AB என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

    (1) \(8x + 5y = 40\)

    (2) \(8x - 5y = 40\)

    (3) \(x = 8\)

    (4) \(y = 5\)

  10. \(7x-3y+4=0\) என்ற நேர்கோட்டிற்குச் செங்குத்தாகவும், ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு

    (1) \(7x-3y+4=0\)

    (2) \(3x-7y+4=0\)

    (3) \(3x+7y=0\)

    (4) \(7x-3y=0\)

  11. (i) \(l_1: 3y = 4x + 5\) (ii) \(l_2: 4y = 3x-1\) (iii) \(l_3: 4y + 3x = 7\) (iv) \(l_4 : 4x + 3y = 2\) எனக் கொடுக்கப்பட்ட நான்கு நேர்கோடுகளுக்குக் கீழ்க்கண்ட கூற்றுகளில் எது உண்மை?

    (1) \(l_1\) மற்றும் \(l_2\) செங்குத்தானவை

    (2) \(l_1\) மற்றும் \(l_4\) இணையானவை

    (3) \(l_2\) மற்றும் \(l_4\) செங்குத்தானவை

    (4) \(l_2\) மற்றும் \(l_3\) இணையானவை

  12. \(8y = 4x + 21\). என்ற நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டிற்குக் கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது உண்மை?

    (1) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6

    (2) சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6

    (3) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 1.6

    (4) சாய்வு 5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6

  13. ஒரு நாற்கரமானது ஒரு சரிவகமாக அமையத் தேவையான நிபந்தனை

    (1) இரு பக்கங்கள் இணை

    (2) இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை

    (3) எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணை

    (4) அனைத்துப் பக்கங்களும் சமம்.

  14. சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை.

    (1) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்

    (2) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்

    (3) அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்

    (4) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்

  15. \((2,1)\) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்கோடுகள்

    (1) \(x - y -3 = 0; 3x - y -7=0\)

    (2) \(x + y = 3; 3x + y = 7\)

    (3) \(3x + y = 3; x + y = 7\)

    (4) \(x + 3y - 3 = 0; x - y - 7 = 0\)

Answer Key

அலகு-5: ஆயத்தொலை வடிவியல்

123456789101112131415
(2)(1)(2)(3)(3)(4)(2)(2)(1)(3)(3)(1)(2)(2) (2)

விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)

அலகு-5: ஆயத்தொலை வடிவியல்

கேள்வி 1

முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் சூத்திரம்: \(A = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|\).
புள்ளிகள் \((x_1, y_1) = (-5, 0)\), \((x_2, y_2) = (0, -5)\), \((x_3, y_3) = (5, 0)\).
\(A = \frac{1}{2} |-5(-5-0) + 0(0-0) + 5(0-(-5))|\)
\(A = \frac{1}{2} |-5(-5) + 0 + 5(5)|\)
\(A = \frac{1}{2} |25 + 0 + 25| = \frac{1}{2} |50| = 25\).

சரியான விடை: (2) 25 ச.அலகுகள்

கேள்வி 2

சுவர் Y-அச்சாகக் கருதப்படுகிறது. நபர் சுவரிலிருந்து 10 அலகுகள் தொலைவில் நடந்து செல்கிறார். அதாவது, Y-அச்சிலிருந்து 10 அலகுகள் தொலைவில் அவர் இருக்கிறார்.
Y-அச்சிலிருந்து ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைவில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் \(x = k\) அல்லது \(x = -k\) என்ற சமன்பாட்டைக் கொண்டிருக்கும். இங்கு தொலைவு 10 அலகுகள் என்பதால், அந்த நபர் செல்லும் பாதை \(x = 10\) அல்லது \(x = -10\) ஆகும். விருப்பங்களில் \(x=10\) உள்ளது.

சரியான விடை: (1) \(x = 10\)

கேள்வி 3

\(x = 11\) என்பது ஒரு செங்குத்துக் கோடு (vertical line). செங்குத்துக் கோடுகள் எப்போதும் Y-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

சரியான விடை: (2) Y –அச்சுக்கு இணை

கேள்வி 4

மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோட்டமைந்தவை எனில், அவற்றால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம். அல்லது, இரு சோடி புள்ளிகளின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்கும். சாய்வு முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.
A(5,7), B(3,p), C(6,6) என்க.
சாய்வு (AB) = சாய்வு (AC)
\(\frac{p - 7}{3 - 5} = \frac{6 - 7}{6 - 5}\)
\(\frac{p - 7}{-2} = \frac{-1}{1}\)
\(p - 7 = (-1)(-2) = 2\)
\(p = 2 + 7 = 9\).

சரியான விடை: (3) 9

கேள்வி 5

இரு நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியைக் காண, இரண்டு சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க வேண்டும்.
(1) \(3x - y = 4\)
(2) \(x + y = 8\)
இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டினால்:
\((3x - y) + (x + y) = 4 + 8\)
\(4x = 12 \implies x = 3\).
\(x=3\) என்பதை சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட: \(3 + y = 8 \implies y = 5\).
சந்திக்கும் புள்ளி \((3, 5)\).

சரியான விடை: (3) \((3, 5)\)

கேள்வி 6

சாய்வு சூத்திரம்: \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).
புள்ளிகள் \((12, 3), (4, a)\) மற்றும் சாய்வு \(m = \frac{1}{8}\).
\(\frac{a - 3}{4 - 12} = \frac{1}{8}\)
\(\frac{a - 3}{-8} = \frac{1}{8}\)
\(a - 3 = \frac{-8}{8} = -1\)
\(a = -1 + 3 = 2\).

சரியான விடை: (4) 2

கேள்வி 7

முதலில், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வைக் காண்போம் (\(m_1\)).
புள்ளிகள் \((0, 0), (-8, 8)\).
\(m_1 = \frac{8 - 0}{-8 - 0} = \frac{8}{-8} = -1\).
இதற்கு செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு \(m_2\).
செங்குத்து கோடுகளின் சாய்வுகளின் பெருக்கல் -1 ஆகும். \(m_1 \times m_2 = -1\).
\(-1 \times m_2 = -1 \implies m_2 = 1\).

சரியான விடை: (2) 1

கேள்வி 8

கோட்டுத்துண்டு PQ-யின் சாய்வு \(m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}\).
PQ-க்கு செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு \(m_2\).
\(m_1 \times m_2 = -1\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}} \times m_2 = -1\)
\(m_2 = -\sqrt{3}\).
செங்குத்தான இரு சம வெட்டியும் PQ-க்கு செங்குத்தாகவே இருக்கும். எனவே அதன் சாய்வும் \(-\sqrt{3}\) ஆகும்.

சரியான விடை: (2) \(-\sqrt{3}\)

கேள்வி 9

Y அச்சில் அமையும் புள்ளி A-யின் செங்குத்துத் தொலைவு (ordinate) 8. எனவே புள்ளி A = (0, 8). இது y-வெட்டுத்துண்டு ஆகும் (\(b=8\)).
X அச்சில் அமையும் புள்ளி B-யின் கிடைமட்டத் தொலைவு (abscissa) 5. எனவே புள்ளி B = (5, 0). இது x-வெட்டுத்துண்டு ஆகும் (\(a=5\)).
வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
\(\frac{x}{5} + \frac{y}{8} = 1\).
மீ.சி.ம (40) ஆல் பெருக்க: \(8x + 5y = 40\).

சரியான விடை: (1) \(8x + 5y = 40\)

கேள்வி 10

கொடுக்கப்பட்ட கோடு: \(7x - 3y + 4 = 0\).
\(ax+by+c=0\) வடிவ கோட்டிற்கு செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு \(bx - ay + k = 0\) வடிவில் இருக்கும்.
எனவே, செங்குத்தான கோட்டின் சமன்பாடு: \(-3x - 7y + k = 0\) அல்லது \(3x + 7y - k = 0\).
இந்தக் கோடு ஆதிப்புள்ளி (0,0) வழிச் செல்கிறது. எனவே \(x=0, y=0\) எனப் பிரதியிட:
\(3(0) + 7(0) - k = 0 \implies k=0\).
தேவையான சமன்பாடு: \(3x + 7y = 0\).

சரியான விடை: (3) \(3x+7y=0\)

கேள்வி 11

நான்கு கோடுகளின் சாய்வுகளைக் காண்போம். சாய்வு \(m = -(\text{x-ன் கெழு}) / (\text{y-ன் கெழு})\).
\(l_1: 4x - 3y - 5 = 0 \implies m_1 = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}\).
\(l_2: 3x - 4y - 1 = 0 \implies m_2 = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}\).
\(l_3: 3x + 4y - 7 = 0 \implies m_3 = \frac{-3}{4}\).
\(l_4: 4x + 3y - 2 = 0 \implies m_4 = \frac{-4}{3}\).
செங்குத்து நிபந்தனை: \(m_a \times m_b = -1\).
\(m_2 \times m_4 = \frac{3}{4} \times \frac{-4}{3} = -1\).
எனவே, \(l_2\) மற்றும் \(l_4\) செங்குத்தானவை.

சரியான விடை: (3) \(l_2\) மற்றும் \(l_4\) செங்குத்தானவை

கேள்வி 12

சமன்பாடு: \(8y = 4x + 21\).
சாய்வு-வெட்டுத்துண்டு வடிவமான \(y = mx + c\) க்கு மாற்றுவோம்.
\(y = \frac{4}{8}x + \frac{21}{8}\).
\(y = 0.5x + 2.625\).
ஒப்பிடும்போது, சாய்வு \(m = 0.5\).
y வெட்டுத்துண்டு \(c = 2.625\). இது தோராயமாக 2.6 ஆகும்.

சரியான விடை: (1) சாய்வு 0.5 மற்றும் y வெட்டுத்துண்டு 2.6

கேள்வி 13

ஒரு சரிவகம் (trapezoid) என்பது ஒரு சோடி எதிர் பக்கங்கள் மட்டும் இணையாகவும், மற்றொரு சோடி எதிர் பக்கங்கள் இணையற்றவையாகவும் உள்ள ஒரு நாற்கரம் ஆகும். எனவே, மிகச் சரியான நிபந்தனை விருப்பம் (2) ஆகும்.

சரியான விடை: (2) இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணையற்றவை

கேள்வி 14

ஓர் இணைகரத்தின் (parallelogram) பண்பு என்னவென்றால், அதன் எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணையாக இருக்கும். சாய்வைப் பயன்படுத்தி இதை நிறுவ, இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகளும் சமம் எனக் காட்ட வேண்டும்.

சரியான விடை: (2) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்

கேள்வி 15

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளி \((2,1)\) ஐ ஒவ்வொரு சோடி சமன்பாடுகளிலும் பிரதியிட்டு சரிபார்க்க வேண்டும்.
விருப்பம் (2): \(x+y=3; 3x+y=7\)
முதல் சமன்பாடு: \(2+1 = 3\). (சரி)
இரண்டாவது சமன்பாடு: \(3(2)+1 = 6+1 = 7\). (சரி)
புள்ளி \((2,1)\) இரண்டு சமன்பாடுகளையும் நிறைவு செய்வதால், இதுவே சரியான விடை.

சரியான விடை: (2) \(x + y = 3; 3x + y = 7\)
Download PDF Version