Azaz Tuition
10 ஆம் வகுப்பு: ONE MARK - Bookpack & Solutions
அலகு -6: முக்கோணவியல்
-
\(\sin^2\theta + \frac{1}{1+\tan^2\theta}\)-ன் மதிப்பு
-
\(\tan\theta \csc^2\theta - \tan\theta\)-ன் மதிப்பு
-
\((\sin\alpha + \csc\alpha)^2 + (\cos\alpha + \sec\alpha)^2 = k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\) எனில் k –ன் மதிப்பு
-
\(\sin\theta + \cos\theta = a\) மற்றும் \(\sec\theta + \csc\theta = b\) எனில் \(b(a^2 - 1)\)-ன் மதிப்பு
-
\(5x = \sec\theta\) மற்றும் \(\frac{5}{x} = \tan\theta\) எனில், \(x^2 - \frac{1}{x^2}\)-ன் மதிப்பு
-
\(\sin\theta = \cos\theta\) எனில், \(2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1\)-ன் மதிப்பு
-
\(x = a\tan\theta\) மற்றும் \(y = b\sec\theta\) எனில்
-
\((1 + \tan \theta + \sec \theta)(1 + \cot \theta - \csc \theta)\)-ன் மதிப்பு
-
\(a \cot\theta + b \csc\theta = p\) மற்றும் \(b \cot\theta + a \csc\theta = q\) எனில், \(p^2 - q^2\)-ன் மதிப்பு
-
ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும், அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \(\sqrt{3} : 1\), எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோண அளவானது
-
ஒரு மின்கம்பமானது அதன் அடியில் சமதளப் பரப்பில் உள்ள ஒரு புள்ளியில் \(30^\circ\) கோணத்தை ஏற்படுத்துகிறது. முதல் புள்ளிக்கு ‘b’ மீ உயரத்தில் உள்ள இரண்டாவது புள்ளியிலிருந்து மின்கம்பத்தின் அடிக்கு இறக்ககோணம் \(60^\circ\). எனில், மின் கம்பத்தின் உயரமானது
-
ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் 60 மீ ஆகும். சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோணம் \(30^\circ\)-யிலிருந்து \(45^\circ\) ஆக உயரும்போது, கோபுரத்தின் நிழலானது x-மீ குறைகிறது எனில், x -ன் மதிப்பு
-
பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உச்சியிலிருந்து 20 மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சி, அடி ஆகியவற்றின் இறக்கக்கோணங்கள் முறையே \(30^\circ\) மற்றும் \(60^\circ\) எனில், பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உயரம் மற்றும் இரு கட்டடங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவானது (மீட்டரில்)
-
இரண்டு நபர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு ‘x’ மீ ஆகும். முதல் நபரின் உயரமானது இரண்டாவது நபரின் உயரத்தைப் போல இரு மடங்காக உள்ளது. அவர்களுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு நேர்கோட்டின் மையப் புள்ளியிலிருந்து இரு நபர்களின் உச்சியின் ஏற்றக் கோணங்கள் நிரப்புக்கோணங்கள் எனில், குட்டையாக உள்ள நபரின் உயரம் (மீட்டரில்) காண்க.
-
ஓர் ஏரியின் மேலே h மீ உயரத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து மேகத்திற்கு உள்ள ஏற்றக்கோணம் \(\beta\). மேக பிம்பத்தின் இறக்கக் கோணம் \(45^\circ\) எனில், ஏரியில் இருந்து மேகத்திற்கு உள்ள உயரமானது
Answer Key
அலகு-6: முக்கோணவியல்
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (2) | (4) | (2) | (1) | (2) | (2) | (1) | (3) | (2) | (4) | (2) | (2) | (4) | (2) | (1) |
விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)
அலகு-6: முக்கோணவியல்
கேள்வி 1
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: \(1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\).
எனவே, \(\frac{1}{1+\tan^2\theta} = \frac{1}{\sec^2\theta} = \cos^2\theta\).
இப்போது கோவையை மீண்டும் எழுதலாம்: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta\).
மற்றொரு அடிப்படை முற்றொருமையின்படி, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).
சரியான விடை: (2) 1
எனவே, \(\frac{1}{1+\tan^2\theta} = \frac{1}{\sec^2\theta} = \cos^2\theta\).
இப்போது கோவையை மீண்டும் எழுதலாம்: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta\).
மற்றொரு அடிப்படை முற்றொருமையின்படி, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).
சரியான விடை: (2) 1
கேள்வி 2
கோவையிலிருந்து \(\tan\theta\)-ஐ பொதுவாக வெளியே எடுப்போம்:
\(\tan\theta (\csc^2\theta - 1)\).
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: \(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\), எனவே \(\csc^2\theta - 1 = \cot^2\theta\).
பிரதியிட: \(\tan\theta \cdot \cot^2\theta\).
நமக்குத் தெரியும் \(\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}\).
எனவே, \(\tan\theta \cdot \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta\).
சரியான விடை: (4) \(\cot\theta\)
\(\tan\theta (\csc^2\theta - 1)\).
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: \(1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta\), எனவே \(\csc^2\theta - 1 = \cot^2\theta\).
பிரதியிட: \(\tan\theta \cdot \cot^2\theta\).
நமக்குத் தெரியும் \(\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}\).
எனவே, \(\tan\theta \cdot \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta\).
சரியான விடை: (4) \(\cot\theta\)
கேள்வி 3
இடது பக்கத்தை விரிவாக்குவோம்:
\((\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha)\)
\(\sin\alpha\csc\alpha = 1\) மற்றும் \(\cos\alpha\sec\alpha = 1\) என்பதால்:
\(= (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\csc^2\alpha + \sec^2\alpha) + 2(1) + 2(1)\)
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) என்பதால்:
\(= 1 + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 4\)
மேலும், \(\csc^2\alpha = 1+\cot^2\alpha\) மற்றும் \(\sec^2\alpha = 1+\tan^2\alpha\).
\(= 5 + (1+\cot^2\alpha) + (1+\tan^2\alpha)\)
\(= 7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\).
இதை \(k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\) உடன் ஒப்பிடும்போது, \(k=7\).
சரியான விடை: (2) 7
\((\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha)\)
\(\sin\alpha\csc\alpha = 1\) மற்றும் \(\cos\alpha\sec\alpha = 1\) என்பதால்:
\(= (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\csc^2\alpha + \sec^2\alpha) + 2(1) + 2(1)\)
\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) என்பதால்:
\(= 1 + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 4\)
மேலும், \(\csc^2\alpha = 1+\cot^2\alpha\) மற்றும் \(\sec^2\alpha = 1+\tan^2\alpha\).
\(= 5 + (1+\cot^2\alpha) + (1+\tan^2\alpha)\)
\(= 7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\).
இதை \(k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\) உடன் ஒப்பிடும்போது, \(k=7\).
சரியான விடை: (2) 7
கேள்வி 4
\(a = \sin\theta + \cos\theta\). இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த: \(a^2 = (\sin\theta+\cos\theta)^2 = \sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta = 1+2\sin\theta\cos\theta\).
எனவே, \(a^2 - 1 = 2\sin\theta\cos\theta\).
\(b = \sec\theta+\csc\theta = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{a}{\sin\theta\cos\theta}\).
இப்போது, \(b(a^2-1) = \left(\frac{a}{\sin\theta\cos\theta}\right) (2\sin\theta\cos\theta)\).
\(\sin\theta\cos\theta\) நீக்கப்படும். எனவே, \(b(a^2-1) = 2a\).
சரியான விடை: (1) \(2a\)
எனவே, \(a^2 - 1 = 2\sin\theta\cos\theta\).
\(b = \sec\theta+\csc\theta = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{a}{\sin\theta\cos\theta}\).
இப்போது, \(b(a^2-1) = \left(\frac{a}{\sin\theta\cos\theta}\right) (2\sin\theta\cos\theta)\).
\(\sin\theta\cos\theta\) நீக்கப்படும். எனவே, \(b(a^2-1) = 2a\).
சரியான விடை: (1) \(2a\)
கேள்வி 5
\(5x = \sec\theta \implies x = \frac{\sec\theta}{5}\).
\(\frac{5}{x} = \tan\theta \implies \frac{1}{x} = \frac{\tan\theta}{5}\).
நாம் கண்டறிய வேண்டியது \(x^2 - \frac{1}{x^2}\):
\(x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(\frac{\sec\theta}{5}\right)^2 - \left(\frac{\tan\theta}{5}\right)^2 = \frac{\sec^2\theta}{25} - \frac{\tan^2\theta}{25}\)
\(= \frac{\sec^2\theta - \tan^2\theta}{25}\).
முற்றொருமைப்படி \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\).
எனவே, மதிப்பு \(\frac{1}{25}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{1}{25}\)
\(\frac{5}{x} = \tan\theta \implies \frac{1}{x} = \frac{\tan\theta}{5}\).
நாம் கண்டறிய வேண்டியது \(x^2 - \frac{1}{x^2}\):
\(x^2 - \frac{1}{x^2} = \left(\frac{\sec\theta}{5}\right)^2 - \left(\frac{\tan\theta}{5}\right)^2 = \frac{\sec^2\theta}{25} - \frac{\tan^2\theta}{25}\)
\(= \frac{\sec^2\theta - \tan^2\theta}{25}\).
முற்றொருமைப்படி \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\).
எனவே, மதிப்பு \(\frac{1}{25}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{1}{25}\)
கேள்வி 6
\(\sin\theta = \cos\theta \implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1 \implies \tan\theta = 1\).
எனவே, \(\theta=45^\circ\).
இப்போது கோவையில் மதிப்புகளைப் பிரதியிடுவோம்: \(2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1\).
\(2(\tan 45^\circ)^2 + (\sin 45^\circ)^2 - 1\)
\(= 2(1)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 1\)
\(= 2(1) + \frac{1}{2} - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{3}{2}\)
எனவே, \(\theta=45^\circ\).
இப்போது கோவையில் மதிப்புகளைப் பிரதியிடுவோம்: \(2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1\).
\(2(\tan 45^\circ)^2 + (\sin 45^\circ)^2 - 1\)
\(= 2(1)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - 1\)
\(= 2(1) + \frac{1}{2} - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{3}{2}\)
கேள்வி 7
\(x = a\tan\theta \implies \tan\theta = \frac{x}{a}\).
\(y = b\sec\theta \implies \sec\theta = \frac{y}{b}\).
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\).
மதிப்புகளைப் பிரதியிட: \(\left(\frac{y}{b}\right)^2 - \left(\frac{x}{a}\right)^2 = 1\).
\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\).
சரியான விடை: (1) \(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)
\(y = b\sec\theta \implies \sec\theta = \frac{y}{b}\).
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\).
மதிப்புகளைப் பிரதியிட: \(\left(\frac{y}{b}\right)^2 - \left(\frac{x}{a}\right)^2 = 1\).
\(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\).
சரியான விடை: (1) \(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\)
கேள்வி 8
அனைத்தையும் sin மற்றும் cos ஆக மாற்றுவோம்:
\(\left(1 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta}\right)\left(1 + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta}\right)\)
\(= \left(\frac{\cos\theta+\sin\theta+1}{\cos\theta}\right)\left(\frac{\sin\theta+\cos\theta-1}{\sin\theta}\right)\)
தொகுதியானது \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\) வடிவில் உள்ளது. இங்கு \(a=\sin\theta+\cos\theta\) மற்றும் \(b=1\).
\(= \frac{(\sin\theta+\cos\theta)^2 - 1^2}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta\cos\theta}\)
\(= \frac{1+2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 2\).
சரியான விடை: (3) 2
\(\left(1 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta}\right)\left(1 + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta}\right)\)
\(= \left(\frac{\cos\theta+\sin\theta+1}{\cos\theta}\right)\left(\frac{\sin\theta+\cos\theta-1}{\sin\theta}\right)\)
தொகுதியானது \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\) வடிவில் உள்ளது. இங்கு \(a=\sin\theta+\cos\theta\) மற்றும் \(b=1\).
\(= \frac{(\sin\theta+\cos\theta)^2 - 1^2}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta+2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta\cos\theta}\)
\(= \frac{1+2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 2\).
சரியான விடை: (3) 2
கேள்வி 9
\(p^2 = (a \cot\theta + b \csc\theta)^2 = a^2\cot^2\theta + b^2\csc^2\theta + 2ab\cot\theta\csc\theta\).
\(q^2 = (b \cot\theta + a \csc\theta)^2 = b^2\cot^2\theta + a^2\csc^2\theta + 2ab\cot\theta\csc\theta\).
\(p^2 - q^2 = (a^2\cot^2\theta - b^2\cot^2\theta) + (b^2\csc^2\theta - a^2\csc^2\theta)\)
\(= \cot^2\theta(a^2-b^2) - \csc^2\theta(a^2-b^2)\)
\(= (a^2-b^2)(\cot^2\theta - \csc^2\theta)\).
முற்றொருமை \(\csc^2\theta - \cot^2\theta = 1\), எனவே \(\cot^2\theta - \csc^2\theta = -1\).
\(= (a^2-b^2)(-1) = b^2 - a^2\).
சரியான விடை: (2) \(b^2 - a^2\)
\(q^2 = (b \cot\theta + a \csc\theta)^2 = b^2\cot^2\theta + a^2\csc^2\theta + 2ab\cot\theta\csc\theta\).
\(p^2 - q^2 = (a^2\cot^2\theta - b^2\cot^2\theta) + (b^2\csc^2\theta - a^2\csc^2\theta)\)
\(= \cot^2\theta(a^2-b^2) - \csc^2\theta(a^2-b^2)\)
\(= (a^2-b^2)(\cot^2\theta - \csc^2\theta)\).
முற்றொருமை \(\csc^2\theta - \cot^2\theta = 1\), எனவே \(\cot^2\theta - \csc^2\theta = -1\).
\(= (a^2-b^2)(-1) = b^2 - a^2\).
சரியான விடை: (2) \(b^2 - a^2\)
கேள்வி 10
ஏற்றக்கோணம் \(\theta\) என்க. கோபுரத்தின் உயரம் \(h\), நிழலின் நீளம் \(l\).
\(\tan\theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} = \frac{h}{l}\).
கொடுக்கப்பட்ட விகிதம் \(h:l = \sqrt{3}:1\). அதாவது \(\frac{h}{l} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\).
\(\tan\theta = \sqrt{3}\).
\(\tan\) சார்பின் எந்தக் கோணத்தில் மதிப்பு \(\sqrt{3}\) எனில், \(\theta = 60^\circ\).
சரியான விடை: (4) \(60^\circ\)
\(\tan\theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} = \frac{h}{l}\).
கொடுக்கப்பட்ட விகிதம் \(h:l = \sqrt{3}:1\). அதாவது \(\frac{h}{l} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\).
\(\tan\theta = \sqrt{3}\).
\(\tan\) சார்பின் எந்தக் கோணத்தில் மதிப்பு \(\sqrt{3}\) எனில், \(\theta = 60^\circ\).
சரியான விடை: (4) \(60^\circ\)
கேள்வி 11
மின் கம்பத்தின் உயரம் h, அடியிலிருந்து உள்ள தொலைவு x என்க. முதல் புள்ளியில் ஏற்றக்கோணம் \(30^\circ\), எனவே \(\tan 30^\circ = \frac{h}{x}\).
இரண்டாவது புள்ளி b மீ உயரத்தில் உள்ளது. அங்கிருந்து மின்கம்பத்தின் அடிக்கு இறக்கக்கோணம் \(60^\circ\). இது மாற்று கோணத்தின்படி, மின்கம்பத்தின் அடியிலிருந்து இரண்டாவது புள்ளிக்கு ஏற்றக்கோணம் \(60^\circ\) க்கு சமம்.
எனவே, \(\tan 60^\circ = \frac{b}{x}\).
இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து: \(\sqrt{3} = \frac{b}{x} \implies x = \frac{b}{\sqrt{3}}\).
முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{b/\sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{b}\).
\(b = h\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3h \implies h = \frac{b}{3}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{b}{3}\)
இரண்டாவது புள்ளி b மீ உயரத்தில் உள்ளது. அங்கிருந்து மின்கம்பத்தின் அடிக்கு இறக்கக்கோணம் \(60^\circ\). இது மாற்று கோணத்தின்படி, மின்கம்பத்தின் அடியிலிருந்து இரண்டாவது புள்ளிக்கு ஏற்றக்கோணம் \(60^\circ\) க்கு சமம்.
எனவே, \(\tan 60^\circ = \frac{b}{x}\).
இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து: \(\sqrt{3} = \frac{b}{x} \implies x = \frac{b}{\sqrt{3}}\).
முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{b/\sqrt{3}} = \frac{h\sqrt{3}}{b}\).
\(b = h\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3h \implies h = \frac{b}{3}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{b}{3}\)
கேள்வி 12
கோபுரத்தின் உயரம் H = 60 மீ. ஆரம்ப நிழல் நீளம் \(d_1\), இறுதி நிழல் நீளம் \(d_2\).
\(\tan 30^\circ = \frac{H}{d_1} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{d_1} \implies d_1 = 60\sqrt{3}\) மீ.
\(\tan 45^\circ = \frac{H}{d_2} \implies 1 = \frac{60}{d_2} \implies d_2 = 60\) மீ.
நிழலின் குறைவு \(x = d_1 - d_2 = 60\sqrt{3} - 60 = 60(\sqrt{3} - 1)\).
\(\sqrt{3} \approx 1.732\) எனப் பயன்படுத்த: \(x = 60(1.732 - 1) = 60(0.732) = 43.92\) மீ.
சரியான விடை: (2) 43.92 மீ
\(\tan 30^\circ = \frac{H}{d_1} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60}{d_1} \implies d_1 = 60\sqrt{3}\) மீ.
\(\tan 45^\circ = \frac{H}{d_2} \implies 1 = \frac{60}{d_2} \implies d_2 = 60\) மீ.
நிழலின் குறைவு \(x = d_1 - d_2 = 60\sqrt{3} - 60 = 60(\sqrt{3} - 1)\).
\(\sqrt{3} \approx 1.732\) எனப் பயன்படுத்த: \(x = 60(1.732 - 1) = 60(0.732) = 43.92\) மீ.
சரியான விடை: (2) 43.92 மீ
கேள்வி 13
பல அடுக்குக் கட்டடத்தின் உயரம் H, தொலைவு d என்க. சிறிய கட்டடத்தின் உயரம் 20 மீ.
அடிக்கு இறக்கக்கோணம் \(60^\circ \implies \tan 60^\circ = \frac{H}{d} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{d} \implies H = d\sqrt{3}\).
உச்சிக்கு இறக்கக்கோணம் \(30^\circ \implies \tan 30^\circ = \frac{H-20}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H-20}{d}\).
\(d = \sqrt{3}(H-20)\).
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து \(d = H/\sqrt{3}\) எனப் பிரதியிட:
\(\frac{H}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(H-20) \implies H = 3(H-20) \implies H = 3H - 60 \implies 2H = 60 \implies H = 30\) மீ.
\(d = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{10 \times 3}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\) மீ.
சரியான விடை: (4) \(30, 10 \sqrt{3}\)
அடிக்கு இறக்கக்கோணம் \(60^\circ \implies \tan 60^\circ = \frac{H}{d} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{d} \implies H = d\sqrt{3}\).
உச்சிக்கு இறக்கக்கோணம் \(30^\circ \implies \tan 30^\circ = \frac{H-20}{d} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H-20}{d}\).
\(d = \sqrt{3}(H-20)\).
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து \(d = H/\sqrt{3}\) எனப் பிரதியிட:
\(\frac{H}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(H-20) \implies H = 3(H-20) \implies H = 3H - 60 \implies 2H = 60 \implies H = 30\) மீ.
\(d = \frac{H}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{10 \times 3}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\) மீ.
சரியான விடை: (4) \(30, 10 \sqrt{3}\)
கேள்வி 14
குட்டையான நபரின் உயரம் h, உயரமான நபரின் உயரம் 2h. தொலைவு x. மையப்புள்ளி ஒவ்வொருவரிடமிருந்தும் x/2 தொலைவில் உள்ளது.
குட்டையான நபரின் உச்சிக்கு ஏற்றக்கோணம் \(\theta\), உயரமான நபருக்கு \(90^\circ-\theta\).
\(\tan\theta = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}\) -- (1)
\(\tan(90^\circ-\theta) = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}\).
\(\cot\theta = \frac{4h}{x}\). \(\cot\theta = 1/\tan\theta\) என்பதால், \(\frac{1}{\tan\theta} = \frac{4h}{x}\).
\(\tan\theta = \frac{x}{4h}\) -- (2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ சமப்படுத்த: \(\frac{2h}{x} = \frac{x}{4h} \implies 8h^2 = x^2 \implies h^2 = \frac{x^2}{8}\).
\(h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{\sqrt{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{x}{2\sqrt{2}}\)
குட்டையான நபரின் உச்சிக்கு ஏற்றக்கோணம் \(\theta\), உயரமான நபருக்கு \(90^\circ-\theta\).
\(\tan\theta = \frac{h}{x/2} = \frac{2h}{x}\) -- (1)
\(\tan(90^\circ-\theta) = \frac{2h}{x/2} = \frac{4h}{x}\).
\(\cot\theta = \frac{4h}{x}\). \(\cot\theta = 1/\tan\theta\) என்பதால், \(\frac{1}{\tan\theta} = \frac{4h}{x}\).
\(\tan\theta = \frac{x}{4h}\) -- (2)
(1) மற்றும் (2)-ஐ சமப்படுத்த: \(\frac{2h}{x} = \frac{x}{4h} \implies 8h^2 = x^2 \implies h^2 = \frac{x^2}{8}\).
\(h = \sqrt{\frac{x^2}{8}} = \frac{x}{\sqrt{8}} = \frac{x}{2\sqrt{2}}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{x}{2\sqrt{2}}\)
கேள்வி 15
மேகத்தின் உயரம் H, ஏரிக்கு மேலே உள்ள புள்ளி h, கிடைமட்ட தூரம் d என்க.
மேகத்திற்கான ஏற்றக்கோணம் \(\beta\). \(\tan\beta = \frac{H-h}{d}\) -- (1)
மேக பிம்பத்திற்கான இறக்கக்கோணம் \(45^\circ\). ஏரிக்கு கீழே பிம்பத்தின் தூரம் H. எனவே மொத்த செங்குத்து தூரம் \(H+h\).
\(\tan 45^\circ = \frac{H+h}{d} \implies 1 = \frac{H+h}{d} \implies d = H+h\).
d-ன் மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட: \(\tan\beta = \frac{H-h}{H+h}\).
\((H+h)\tan\beta = H-h\)
\(H\tan\beta + h\tan\beta = H-h\)
\(h+h\tan\beta = H-H\tan\beta = H(1-\tan\beta)\)
\(h(1+\tan\beta) = H(1-\tan\beta)\)
\(H = \frac{h(1+\tan\beta)}{1-\tan\beta}\).
சரியான விடை: (1) \(\frac{h(1+\tan\beta)}{1-\tan\beta}\)
மேகத்திற்கான ஏற்றக்கோணம் \(\beta\). \(\tan\beta = \frac{H-h}{d}\) -- (1)
மேக பிம்பத்திற்கான இறக்கக்கோணம் \(45^\circ\). ஏரிக்கு கீழே பிம்பத்தின் தூரம் H. எனவே மொத்த செங்குத்து தூரம் \(H+h\).
\(\tan 45^\circ = \frac{H+h}{d} \implies 1 = \frac{H+h}{d} \implies d = H+h\).
d-ன் மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட: \(\tan\beta = \frac{H-h}{H+h}\).
\((H+h)\tan\beta = H-h\)
\(H\tan\beta + h\tan\beta = H-h\)
\(h+h\tan\beta = H-H\tan\beta = H(1-\tan\beta)\)
\(h(1+\tan\beta) = H(1-\tan\beta)\)
\(H = \frac{h(1+\tan\beta)}{1-\tan\beta}\).
சரியான விடை: (1) \(\frac{h(1+\tan\beta)}{1-\tan\beta}\)