10th Standard Book Back Maths One Questions with solutions. Samacheer Kalvi Tamil Medium TM. அலகு 4 - வடிவியல் - Solutions

Azaz Tuition

10 ஆம் வகுப்பு: ONE MARK - Bookpack & Solutions

YouTube.com/@azaztuition azaztuition.com

அலகு -4: வடிவியல்

1. \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}\) எனில், ABC மற்றும் EDF எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்?

   (1) \(\angle B = \angle E\)

   (2) \(\angle A = \angle D\)

   (3) \(\angle B = \angle D\)

   (4) \(\angle A = \angle F\)

2. \(\triangle LMN\) -யில் \(\angle L = 60^\circ\), \(\angle M = 50^\circ\), மேலும், \(\triangle LMN \sim \triangle PQR\) எனில், \(\angle R\) -யின் மதிப்பு

   (1) \(40^\circ\)

   (2) \(70^\circ\)

   (3) \(30^\circ\)

   (4) \(110^\circ\)

3. இருசமபக்க முக்கோணம் \(\triangle ABC\) -யில் \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் AC = 5 செ.மீ, எனில் AB ஆனது

   (1) 2.5 செ.மீ

   (2) 5 செ.மீ

   (3) 10 செ.மீ

   (4) \(5 \sqrt{2}\) செ.மீ

4. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் ST \(||\) QR, PS = 2 செ.மீ மற்றும் SQ = 3 செ.மீ. எனில், \(\triangle PQR\) -யின் பரப்பளவுக்கும், \(\triangle PST\) -யின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதம்

   படம் தேவை. ஒரு முக்கோணம் PQR மற்றும் அதில் ST என்ற கோடு QR-க்கு இணையாக உள்ளது.

   (1) 25:4

   (2) 25:7

   (3) 25:11

   (4) 25:13

5. இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் \(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle PQR\)-யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில், AB -யின் நீளம்

   (1) \(6\frac{2}{3}\) செ.மீ

   (2) \(\frac{10\sqrt{6}}{3}\) செ.மீ

   (3) \(66\frac{2}{3}\) செ.மீ

   (4) 15 செ.மீ

6. \(\triangle ABC\) -யில் DE \(||\) BC. AB = 3.6 செ.மீ AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில், AE-யின் நீளம்

   (1) 1.4 செ.மீ

   (2) 1.8 செ.மீ

   (3) 1.2 செ.மீ

   (4) 1.05 செ.மீ

7. \(\triangle ABC\) -யில் AD ஆனது, \(\angle BAC\) -யின் இருசமவெட்டி. AB = 8 செ.மீ, BD = 6 செ.மீ மற்றும் DC = 3 செ.மீ. எனில், பக்கம் AC-யின் நீளம்

   (1) 6 செ.மீ

   (2) 4 செ.மீ

   (3) 3 செ.மீ

   (4) 8 செ.மீ

8. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், \(\angle BAC = 90^\circ\) மற்றும் AD \(\perp\) BC எனில்,

   படம் தேவை. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ABC, அதில் கர்ணம் BC-க்கு செங்குத்துக்கோடு AD வரையப்பட்டுள்ளது.

   (1) \(BD \cdot CD = BC^2\)

   (2) \(AB \cdot AC = BC^2\)

   (3) \(BD \cdot CD = AD^2\)

   (4) \(AB \cdot AC = AD^2\)

9. 6மீ மற்றும் 11மீ உயரமுள்ள இரு கம்பங்கள் சமதளத் தரையில் செங்குத்தாக உள்ளன. அவற்றின் அடிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு 12மீ எனில், அவற்றின் உச்சிகளுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு என்ன?

   (1) 13 மீ

   (2) 14 மீ

   (3) 15 மீ

   (4) 12.8 மீ

10. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில், PR = 26 செ.மீ, QR = 24 செ.மீ, \(\angle PAQ = 90^\circ\), PA = 6 செ.மீ மற்றும் QA = 8 செ.மீ. \(\angle PQR\) –ஐக் காண்க.

    படம் தேவை. முக்கோணம் PQR மற்றும் அதன் உள்ளே ஒரு புள்ளி A உள்ளது.

    (1) \(80^\circ\)

    (2) \(85^\circ\)

    (3) \(75^\circ\)

    (4) \(90^\circ\)

11. வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம்

    (1) மையம்

    (2) தொடுபுள்ளி

    (3) முடிவிலி

    (4) நாண்

12. வட்டத்தின் வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு எத்தனை தொடுகோடுகள் வரையலாம்?

    (1) ஒன்று

    (2) இரண்டு

    (3) முடிவற்ற எண்ணிக்கை

    (4) பூஜ்ஜியம்

13. O -வை மையமாக உடைய வட்டத்திற்கு, வெளியேயுள்ள புள்ளி P –யிலிருந்து வரையப்பட்ட தொடுகோடுகள் PA மற்றும் PB ஆகும். \(\angle APB = 70^\circ\) எனில், \(\angle AOB\) -யின் மதிப்பு

    (1) \(100^\circ\)

    (2) \(110^\circ\)

    (3) \(120^\circ\)

    (4) \(130^\circ\)

14. படத்தில் O –ஐ மையமாக உடைய வட்டத்தின் தொடுகோடுகள் CP மற்றும் CQ ஆகும். ARB ஆனது வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளி R வழியாகச் செல்லும் மற்றொரு தொடுகோடு ஆகும் . CP = 11 செ.மீ மற்றும் BC = 7 செ.மீ, எனில் BR –யின் நீளம்

    படம் தேவை. C என்ற வெளிப்புற புள்ளியிலிருந்து CP, CQ தொடுகோடுகள். R என்ற தொடுபுள்ளியில் ARB என்ற மற்றொரு தொடுகோடு.

    (1) 6 செ.மீ

    (2) 5 செ.மீ

    (3) 8 செ.மீ

    (4) 4 செ.மீ

15. படத்தில் உள்ளவாறு O –ஐ மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் தொடுகோடு PR எனில், \(\angle POQ\) ஆனது

    படம் தேவை. வட்டம் O, தொடுகோடு PR, நாண் PQ. \(\angle RQP = 60^\circ\) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

    (1) \(120^\circ\)

    (2) \(100^\circ\)

    (3) \(110^\circ\)

    (4) \(90^\circ\)

Answer Key

அலகு-4: வடிவியல்

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
(3)	(2)	(4)	(1)	(4)	(1)	(2)	(3)	(1)	(4)	(2)	(2)	(2)	(4)	(1)

விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)

அலகு-4: வடிவியல்

கேள்வி 1

வடிவொத்த முக்கோணங்களுக்கான SAS (பக்கம்-கோணம்-பக்கம்) விதிமுறையின்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்ட விகிதம்: \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}\).
\(\triangle ABC\)-ல், பக்கங்கள் AB மற்றும் BC-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\angle B\).
\(\triangle EDF\)-ல், பக்கங்கள் DE மற்றும் FD-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் \(\angle D\).
எனவே, முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவையாக அமைய, \(\angle B = \angle D\) ஆக இருக்க வேண்டும்.

சரியான விடை: (3) \(\angle B = \angle D\)

கேள்வி 2

கொடுக்கப்பட்டவை: \(\triangle LMN \sim \triangle PQR\).
வடிவொத்த முக்கோணங்களில், ஒத்த கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். எனவே, \(\angle L = \angle P\), \(\angle M = \angle Q\), மற்றும் \(\angle N = \angle R\).
\(\triangle LMN\)-ல், \(\angle L = 60^\circ\) மற்றும் \(\angle M = 50^\circ\).
ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் \(180^\circ\) ஆகும்.
\(\angle N = 180^\circ - (\angle L + \angle M) = 180^\circ - (60^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).
\(\angle N = \angle R\) என்பதால், \(\angle R = 70^\circ\).

சரியான விடை: (2) \(70^\circ\)

கேள்வி 3

கொடுக்கப்பட்டவை: \(\triangle ABC\) ஒரு இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம், \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் \(AC = 5\) செ.மீ.
செங்கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம் AB கர்ணம் ஆகும். இருசமபக்கம் என்பதால், மற்ற இரு பக்கங்களும் சமம். \(AC = BC = 5\) செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).
\(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) செ.மீ.

சரியான விடை: (4) \(5 \sqrt{2}\) செ.மீ

கேள்வி 4

கொடுக்கப்பட்டவை: ST \(||\) QR, PS = 2 செ.மீ, SQ = 3 செ.மீ.
ST \(||\) QR என்பதால், \(\triangle PST \sim \triangle PQR\).
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.
\(\frac{\text{பரப்பளவு}(\triangle PQR)}{\text{பரப்பளவு}(\triangle PST)} = \left(\frac{PQ}{PS}\right)^2\).
இங்கு, \(PQ = PS + SQ = 2 + 3 = 5\) செ.மீ.
\(\frac{\text{பரப்பளவு}(\triangle PQR)}{\text{பரப்பளவு}(\triangle PST)} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\).
எனவே, விகிதம் 25:4.

சரியான விடை: (1) 25:4

கேள்வி 5

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம், அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.
\(\frac{\text{சுற்றளவு}(\triangle ABC)}{\text{சுற்றளவு}(\triangle PQR)} = \frac{AB}{PQ}\).
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:
\(\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}\).
\(\frac{3}{2} = \frac{AB}{10}\).
\(AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15\) செ.மீ.

சரியான விடை: (4) 15 செ.மீ

கேள்வி 6

DE \(||\) BC என்பதால், அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின் (தேல்ஸ் தேற்றம்) படி, \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\).
எனவே, ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் சமம்.
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\).
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\).
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{2.1 \times 24}{36} = \frac{2.1 \times 2}{3} = 0.7 \times 2 = 1.4\) செ.மீ.

சரியான விடை: (1) 1.4 செ.மீ

கேள்வி 7

கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி (Angle Bisector Theorem), ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது, எதிர் பக்கத்தை மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\).
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:
\(\frac{8}{AC} = \frac{6}{3}\).
\(\frac{8}{AC} = 2\).
\(AC = \frac{8}{2} = 4\) செ.மீ.

சரியான விடை: (2) 4 செ.மீ

கேள்வி 8

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணத்தின் உச்சியிலிருந்து கர்ணத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு தொடர்பான ஒரு முக்கிய பண்பு உள்ளது. \(\triangle ADB \sim \triangle CDA\).
இதன் விளைவாக, ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் சமம்: \(\frac{AD}{CD} = \frac{BD}{AD}\).
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்தால், \(AD \times AD = BD \times CD\), அதாவது \(AD^2 = BD \cdot CD\).
இது வடிவியல் சராசரி தேற்றம் (Geometric Mean Theorem) எனப்படும்.

சரியான விடை: (3) \(BD \cdot CD = AD^2\)

கேள்வி 9

இரு கம்பங்களின் உயரங்கள் 6 மீ மற்றும் 11 மீ. அடிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு 12 மீ. இது ஒரு சரிவகத்தை (trapezoid) உருவாக்கும்.
சிறிய கம்பத்தின் உச்சியிலிருந்து பெரிய கம்பத்திற்கு ஒரு கிடைமட்ட கோடு வரைந்தால், ஒரு செங்கோண முக்கோணம் உருவாகும்.
அந்த முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் = 12 மீ.
முக்கோணத்தின் உயரம் = உயரங்களின் வித்தியாசம் = \(11 - 6 = 5\) மீ.
கம்பங்களின் உச்சிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு இந்த செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் ஆகும்.
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, \(கர்ணம்^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\).
கர்ணம் = \(\sqrt{169} = 13\) மீ.

சரியான விடை: (1) 13 மீ

கேள்வி 10

முதலில், \(\triangle PAQ\)-ஐக் கருதுவோம். \(\angle PAQ = 90^\circ\) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, \(PQ^2 = PA^2 + QA^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
எனவே, \(PQ = \sqrt{100} = 10\) செ.மீ.
இப்போது, பெரிய முக்கோணம் \(\triangle PQR\)-ஐக் கருதுவோம். அதன் பக்கங்கள்: \(PQ=10\), \(QR=24\), \(PR=26\).
பிதாகரஸ் தேற்றத்தின் மறுதலையைச் சோதிப்போம்:
\(PQ^2 + QR^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
\(PR^2 = 26^2 = 676\).
\(PQ^2 + QR^2 = PR^2\) என்பதால், \(\triangle PQR\) ஒரு செங்கோண முக்கோணம். மேலும், கர்ணம் PR-க்கு எதிரே உள்ள கோணம், அதாவது \(\angle PQR\), செங்கோணமாகும்.
எனவே, \(\angle PQR = 90^\circ\).

சரியான விடை: (4) \(90^\circ\)

கேள்வி 11

இது வட்டத்தின் தொடுகோடுகளின் அடிப்படைப் பண்பு. ஒரு வட்டத்தின் எந்தவொரு புள்ளியிலும் வரையப்படும் தொடுகோடு, அந்தப் புள்ளி வழியாகச் செல்லும் ஆரத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். ஆரம் மற்றும் தொடுகோடு சந்திக்கும் இடம் தொடுபுள்ளி (point of contact) ஆகும்.

சரியான விடை: (2) தொடுபுள்ளி

கேள்வி 12

வடிவியலின் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி, வட்டத்திற்கு வெளியே உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்குச் சரியாக இரண்டு தொடுகோடுகளை மட்டுமே வரைய முடியும்.

சரியான விடை: (2) இரண்டு

கேள்வி 13

PA மற்றும் PB என்பன தொடுகோடுகள். OA மற்றும் OB ஆரங்கள். எனவே, \(\angle OAP = 90^\circ\) மற்றும் \(\angle OBP = 90^\circ\).
OAPB ஒரு நாற்கரம் (quadrilateral) ஆகும். ஒரு நாற்கரத்தின் நான்கு கோணங்களின் கூடுதல் \(360^\circ\).
\(\angle AOB + \angle OBP + \angle APB + \angle OAP = 360^\circ\).
\(\angle AOB + 90^\circ + 70^\circ + 90^\circ = 360^\circ\).
\(\angle AOB + 250^\circ = 360^\circ\).
\(\angle AOB = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ\).

சரியான விடை: (2) \(110^\circ\)

கேள்வி 14

வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமம்.
C என்ற புள்ளியிலிருந்து: \(CP = CQ = 11\) செ.மீ.
B என்ற புள்ளியிலிருந்து: \(BC\) அல்ல, \(BQ\) மற்றும் \(BR\) தொடுகோடுகளாகும். எனவே \(BQ = BR\).
கொடுக்கப்பட்டவை: \(CP = 11\) செ.மீ, \(BC = 7\) செ.மீ.
படத்தில், \(CQ = CB + BQ\).
\(11 = 7 + BQ\).
\(BQ = 11 - 7 = 4\) செ.மீ.
\(BQ = BR\) என்பதால், \(BR = 4\) செ.மீ.

சரியான விடை: (4) 4 செ.மீ

கேள்வி 15

மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றத்தின்படி (Alternate Segment Theorem), தொடுபுள்ளியில் தொடுகோட்டிற்கும் நாணுக்கும் இடையே உள்ள கோணம், மாற்று வட்டத்தில் அந்த நாணால் உருவாக்கப்படும் கோணத்திற்கு சமம்.
இங்கு, தொடுகோடு PR, நாண் PQ. தொடுபுள்ளி Q. \(\angle RQP = 60^\circ\).
எனவே, வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி S-ல், \(\angle PSQ = 60^\circ\).
ஒரு வட்டத்தின் மையத்தில் ஒரு நாணால் உருவாக்கப்படும் கோணம், பரிதியில் அதே நாணால் உருவாக்கப்படும் கோணத்தைப் போல இருமடங்கு ஆகும்.
\(\angle POQ = 2 \times \angle PSQ = 2 \times 60^\circ = 120^\circ\).

சரியான விடை: (1) \(120^\circ\)

Download PDF Version