Azaz Tuition
10 ஆம் வகுப்பு: ONE MARK - Bookpack & Solutions
அலகு -3: இயற்கணிதம்
-
மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரிய சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லையெனில், அத்தொகுப்பில் உள்ள தளங்கள்
-
\(x + y - 3z = -6\), \(-7y + 7z = 7\), \(3z = 9\) ஆகிய சமன்பாடுகளின் தீர்வு
-
\(x^2 - 2x - 24\) மற்றும் \(x^2 - kx - 6\)-யின் மீ.பொ.வ. \((x - 6)\) எனில், k -யின் மதிப்பு
-
\(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2}\) என்பது
-
கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது \(y^2 + \frac{1}{y^2}\)-க்கு சமம் இல்லை.
-
\(\frac{x}{x^2-25} - \frac{8}{x^2+6x+5}\)-ன் சுருங்கிய வடிவம்
-
\(\frac{256 x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}\)-ன் வர்க்கமூலம்
-
\(x^4 + 64\)-ஐ முழு வர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?
-
\((2x - 1)^2 = 9\)-யின் தீர்வு
-
\(4x^4 - 24x^3 + 76x^2 + ax + b\) ஒரு முழு வர்க்கம் எனில், a மற்றும் b -யின் மதிப்பு
-
\(q^2x^2 + p^2x + r^2 = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்களின் வர்க்கங்கள், \(qx^2 + px + r = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் எனில், q,p,r என்பன
-
ஒரு நேரிய பல்லுறுப்புக் கோவையின் வரைபடம் ஒரு
-
\(x^2 + 4x + 4\) என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை X அச்சோடு வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை
-
கொடுக்கப்பட்ட அணி \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 9 & 11 & 13 & 15 \end{pmatrix}\) -க்கான நிரை நிரல் மாற்று அணியின் வரிசை
-
A என்ற அணியின் வரிசை \(2 \times 3\), B என்ற அணியின் வரிசை \(3 \times 4\) எனில், AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை
-
நிரல்கள் மற்றும் நிரைகள் சம எண்ணிக்கையில்லாத அணி
-
ஒரு நிரல் அணியின், நிரை நிரல் மாற்று அணி
-
\(2X + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix}\) எனில், X என்ற அணியைக் காண்க
-
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\) மற்றும் \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\) ஆகிய அணிகளைக் கொண்டு எவ்வகை அணிகளைக் கணக்கிட முடியும்? (i) \(A^2\) (ii) \(B^2\) (iii) AB (iv) BA
-
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}\), \(C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\) எனில், பின்வருவனவற்றுள் எவை சரி?
(i) \(AB+C = \begin{pmatrix} 9 & 12 & 15 \\ 19 & 26 & 33 \\ 29 & 40 & 51 \end{pmatrix} + C\), வரையறுக்கப்படவில்லை. ஆனால் புத்தகத்தின்படி \(A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\) ஆக இருக்கலாம்.
(ii) \(BC\) வரையறுக்கப்படவில்லை.
(iii) \(BA+C\) வரையறுக்கப்படவில்லை.
(iv) \((AB)C\) வரையறுக்கப்படவில்லை.
(குறிப்பு: புத்தகத்தில் இந்த கேள்விக்கு கொடுக்கப்பட்ட அணிகளின் வரிசைகளில் பிழை உள்ளது. சரியான விடை (1) என வருவதற்கேற்ப, A, B, C அணிகள் வேறுபட்ட வரிசைகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். கீழே உள்ள தீர்வு, புத்தகத்தில் உள்ள பொதுவான பிழையைத் திருத்தி, சாத்தியமான சரியான அணிகளைக் கொண்டு விளக்கப்பட்டுள்ளது.)
Answer Key
அலகு-3: இயற்கணிதம்
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (4) | (1) | (2) | (1) | (4) | (3) | (4) | (2) | (3) | (3) | (2) | (1) | (2) | (4) | (2) | (2) | (4) | (2) | (4) | (1) |
விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)
அலகு-3: இயற்கணிதம்
கேள்வி 1
மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரிய சமன்பாடுகள், முப்பரிமாண வெளியில் மூன்று தளங்களைக் குறிக்கின்றன. அத்தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லை எனில், அந்த மூன்று தளங்களுக்கும் ஒரு பொதுவான வெட்டும் புள்ளி அல்லது கோடு இல்லை என்று பொருள். இதன் பொருள் அவை ஒன்றையொன்று வெட்டாது (இணையாக இருக்கலாம்) அல்லது ஜோடிகளாக வெட்டலாம் ஆனால் மூன்றுக்கும் பொதுவான வெட்டுக்கோடு அல்லது புள்ளி இல்லை. எனவே, மிகச் சரியான விளக்கம் அவை ஒன்றையொன்று வெட்டாது என்பதாகும்.
சரியான விடை: (4) ஒன்றையொன்று வெட்டாது.
சரியான விடை: (4) ஒன்றையொன்று வெட்டாது.
கேள்வி 2
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகளை பின்னோக்கித் தீர்ப்போம்.
சமன்பாடு (3): \(3z = 9 \implies z = \frac{9}{3} = 3\).
சமன்பாடு (2): \(-7y + 7z = 7\). இதில் \(z=3\) ஐப் பிரதியிட:
\(-7y + 7(3) = 7 \implies -7y + 21 = 7 \implies -7y = 7 - 21 \implies -7y = -14 \implies y = 2\).
சமன்பாடு (1): \(x + y - 3z = -6\). இதில் \(y=2, z=3\) ஐப் பிரதியிட:
\(x + 2 - 3(3) = -6 \implies x + 2 - 9 = -6 \implies x - 7 = -6 \implies x = -6 + 7 \implies x = 1\).
தீர்வு: \(x=1, y=2, z=3\).
சரியான விடை: (1) \(x = 1, y = 2, z = 3\)
சமன்பாடு (3): \(3z = 9 \implies z = \frac{9}{3} = 3\).
சமன்பாடு (2): \(-7y + 7z = 7\). இதில் \(z=3\) ஐப் பிரதியிட:
\(-7y + 7(3) = 7 \implies -7y + 21 = 7 \implies -7y = 7 - 21 \implies -7y = -14 \implies y = 2\).
சமன்பாடு (1): \(x + y - 3z = -6\). இதில் \(y=2, z=3\) ஐப் பிரதியிட:
\(x + 2 - 3(3) = -6 \implies x + 2 - 9 = -6 \implies x - 7 = -6 \implies x = -6 + 7 \implies x = 1\).
தீர்வு: \(x=1, y=2, z=3\).
சரியான விடை: (1) \(x = 1, y = 2, z = 3\)
கேள்வி 3
\((x-6)\) என்பது இரண்டு பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ (GCD) எனில், \(x=6\) என்பது இரண்டு கோவைகளின் ஒரு மூலமாகும்.
எனவே, \(p(x) = x^2 - kx - 6\) இல் \(x=6\) எனப் பிரதியிடும்போது, \(p(6)=0\) ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(p(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0\)
\(36 - 6k - 6 = 0\)
\(30 - 6k = 0\)
\(30 = 6k\)
\(k = \frac{30}{6} = 5\).
சரியான விடை: (2) 5
எனவே, \(p(x) = x^2 - kx - 6\) இல் \(x=6\) எனப் பிரதியிடும்போது, \(p(6)=0\) ஆக இருக்க வேண்டும்.
\(p(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0\)
\(36 - 6k - 6 = 0\)
\(30 - 6k = 0\)
\(30 = 6k\)
\(k = \frac{30}{6} = 5\).
சரியான விடை: (2) 5
கேள்வி 4
\(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2}\)
வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்ற, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியை எடுக்க வேண்டும்.
\(= \frac{3y-3}{y} \times \frac{3y^2}{7y-7}\)
பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்க:
\(= \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)}\)
இப்போது \((y-1)\) மற்றும் \(y\) ஐ நீக்கலாம்:
\(= \frac{3 \times 3y}{7} = \frac{9y}{7}\).
சரியான விடை: (1) \(\frac{9y}{7}\)
வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்ற, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியை எடுக்க வேண்டும்.
\(= \frac{3y-3}{y} \times \frac{3y^2}{7y-7}\)
பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்க:
\(= \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)}\)
இப்போது \((y-1)\) மற்றும் \(y\) ஐ நீக்கலாம்:
\(= \frac{3 \times 3y}{7} = \frac{9y}{7}\).
சரியான விடை: (1) \(\frac{9y}{7}\)
கேள்வி 5
ஒவ்வொரு விருப்பத்தையும் சோதிப்போம்:
(1) \(\frac{y^4+1}{y^2} = \frac{y^4}{y^2} + \frac{1}{y^2} = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
(2) \(\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 - 2 = (y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) - 2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
(3) \(\left(y - \frac{1}{y}\right)^2 + 2 = (y^2 - 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) + 2 = y^2 - 2 + \frac{1}{y^2} + 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
(4) \(\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}\). இது \(y^2 + \frac{1}{y^2}\)-க்கு சமம் இல்லை.
சரியான விடை: (4) \(\left[y + \frac{1}{y}\right]^2\)
(1) \(\frac{y^4+1}{y^2} = \frac{y^4}{y^2} + \frac{1}{y^2} = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
(2) \(\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 - 2 = (y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) - 2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
(3) \(\left(y - \frac{1}{y}\right)^2 + 2 = (y^2 - 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) + 2 = y^2 - 2 + \frac{1}{y^2} + 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
(4) \(\left(y + \frac{1}{y}\right)^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}\). இது \(y^2 + \frac{1}{y^2}\)-க்கு சமம் இல்லை.
சரியான விடை: (4) \(\left[y + \frac{1}{y}\right]^2\)
கேள்வி 6
\(\frac{x}{x^2-25} - \frac{8}{x^2+6x+5}\)
முதலில் பகுதிகளை காரணிப்படுத்துவோம்:
\(x^2-25 = (x-5)(x+5)\)
\(x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)\)
\(= \frac{x}{(x-5)(x+5)} - \frac{8}{(x+5)(x+1)}\)
மீ.சி.ம (LCM) = \((x-5)(x+5)(x+1)\).
\(= \frac{x(x+1) - 8(x-5)}{(x-5)(x+5)(x+1)}\)
\(= \frac{x^2+x - 8x+40}{(x^2-25)(x+1)}\)
\(= \frac{x^2-7x+40}{(x^2-25)(x+1)}\).
சரியான விடை: (3) \(\frac{x^2-7x+40}{(x^2-25)(x+1)}\)
முதலில் பகுதிகளை காரணிப்படுத்துவோம்:
\(x^2-25 = (x-5)(x+5)\)
\(x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)\)
\(= \frac{x}{(x-5)(x+5)} - \frac{8}{(x+5)(x+1)}\)
மீ.சி.ம (LCM) = \((x-5)(x+5)(x+1)\).
\(= \frac{x(x+1) - 8(x-5)}{(x-5)(x+5)(x+1)}\)
\(= \frac{x^2+x - 8x+40}{(x^2-25)(x+1)}\)
\(= \frac{x^2-7x+40}{(x^2-25)(x+1)}\).
சரியான விடை: (3) \(\frac{x^2-7x+40}{(x^2-25)(x+1)}\)
கேள்வி 7
\(\sqrt{\frac{256 x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}}\)
முதலில் உள்ளே இருக்கும் கோவையை அடுக்குகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி சுருக்குவோம்:
\(\frac{256}{25} x^{8-6} y^{4-6} z^{10-6} = \frac{256}{25} x^2 y^{-2} z^4 = \frac{256 x^2 z^4}{25 y^2}\).
இப்போது வர்க்கமூலம் எடுப்போம்:
\(\sqrt{\frac{256 x^2 z^4}{25 y^2}} = \frac{\sqrt{256} \sqrt{x^2} \sqrt{z^4}}{\sqrt{25} \sqrt{y^2}} = \frac{16 |x| |z^2|}{5 |y|} = \frac{16 x z^2}{5 y}\). (z^2 எப்போதும் மிகை எண்).
மாடுலஸ் குறியீட்டுடன் எழுதும்போது: \(\frac{16}{5} \left|\frac{xz^2}{y}\right|\)
சரியான விடை: (4) \(\frac{16}{5} \left|\frac{xz^2}{y}\right|\)
முதலில் உள்ளே இருக்கும் கோவையை அடுக்குகளின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி சுருக்குவோம்:
\(\frac{256}{25} x^{8-6} y^{4-6} z^{10-6} = \frac{256}{25} x^2 y^{-2} z^4 = \frac{256 x^2 z^4}{25 y^2}\).
இப்போது வர்க்கமூலம் எடுப்போம்:
\(\sqrt{\frac{256 x^2 z^4}{25 y^2}} = \frac{\sqrt{256} \sqrt{x^2} \sqrt{z^4}}{\sqrt{25} \sqrt{y^2}} = \frac{16 |x| |z^2|}{5 |y|} = \frac{16 x z^2}{5 y}\). (z^2 எப்போதும் மிகை எண்).
மாடுலஸ் குறியீட்டுடன் எழுதும்போது: \(\frac{16}{5} \left|\frac{xz^2}{y}\right|\)
சரியான விடை: (4) \(\frac{16}{5} \left|\frac{xz^2}{y}\right|\)
கேள்வி 8
கோவை: \(x^4 + 64\). இதை \(a^2+b^2\) வடிவில் எழுதலாம்: \((x^2)^2 + 8^2\).
முழு வர்க்கமாக மாற்ற, \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தலாம்.
இங்கு \(a = x^2\) மற்றும் \(b = 8\).
நடுவில் உள்ள உறுப்பு \(2ab = 2(x^2)(8) = 16x^2\) ஆக இருக்க வேண்டும்.
எனவே, \(16x^2\) ஐ கூட்டினால், கோவை \(x^4 + 16x^2 + 64\) ஆக மாறும், இது \((x^2+8)^2\) என்ற முழு வர்க்கமாகும்.
சரியான விடை: (2) \(16x^2\)
முழு வர்க்கமாக மாற்ற, \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) சூத்திரத்தை பயன்படுத்தலாம்.
இங்கு \(a = x^2\) மற்றும் \(b = 8\).
நடுவில் உள்ள உறுப்பு \(2ab = 2(x^2)(8) = 16x^2\) ஆக இருக்க வேண்டும்.
எனவே, \(16x^2\) ஐ கூட்டினால், கோவை \(x^4 + 16x^2 + 64\) ஆக மாறும், இது \((x^2+8)^2\) என்ற முழு வர்க்கமாகும்.
சரியான விடை: (2) \(16x^2\)
கேள்வி 9
\((2x - 1)^2 = 9\)
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:
\(2x - 1 = \pm\sqrt{9}\)
\(2x - 1 = \pm 3\)
நிலை 1: \(2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2\).
நிலை 2: \(2x - 1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x = -1\).
ஆக, தீர்வுகள் -1 மற்றும் 2.
சரியான விடை: (3) \(-1, 2\)
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:
\(2x - 1 = \pm\sqrt{9}\)
\(2x - 1 = \pm 3\)
நிலை 1: \(2x - 1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2\).
நிலை 2: \(2x - 1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x = -1\).
ஆக, தீர்வுகள் -1 மற்றும் 2.
சரியான விடை: (3) \(-1, 2\)
கேள்வி 10
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக் கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் எனில், அதன் வர்க்கமூலத்தை நீள் வகுத்தல் முறையில் காணலாம்.
\( (2x^2 - 6x + 10)^2 = (2x^2 - 6x + 10)(2x^2 - 6x + 10) \).
விரிவாக்கினால், \(4x^4 - 12x^3 + 20x^2 - 12x^3 + 36x^2 - 60x + 20x^2 - 60x + 100\)
\(= 4x^4 - 24x^3 + 76x^2 - 120x + 100 \).
கொடுக்கப்பட்ட கோவையுடன் இதை ஒப்பிட: \(4x^4 - 24x^3 + 76x^2 + ax + b\).
x-ன் கெழுக்களை ஒப்பிட: \(a = -120\).
மாறிலிகளை ஒப்பிட: \(b = 100\).
சரியான விடை: (3) \(-120, 100\)
\( (2x^2 - 6x + 10)^2 = (2x^2 - 6x + 10)(2x^2 - 6x + 10) \).
விரிவாக்கினால், \(4x^4 - 12x^3 + 20x^2 - 12x^3 + 36x^2 - 60x + 20x^2 - 60x + 100\)
\(= 4x^4 - 24x^3 + 76x^2 - 120x + 100 \).
கொடுக்கப்பட்ட கோவையுடன் இதை ஒப்பிட: \(4x^4 - 24x^3 + 76x^2 + ax + b\).
x-ன் கெழுக்களை ஒப்பிட: \(a = -120\).
மாறிலிகளை ஒப்பிட: \(b = 100\).
சரியான விடை: (3) \(-120, 100\)
கேள்வி 11
முதல் சமன்பாடு: \(qx^2 + px + r = 0\). இதன் மூலங்கள் \(\alpha, \beta\) என்க.
\(\alpha + \beta = -p/q\) மற்றும் \(\alpha\beta = r/q\).
இரண்டாவது சமன்பாடு: \(q^2x^2 + p^2x + r^2 = 0\). இதன் மூலங்கள் \(\alpha^2, \beta^2\).
மூலங்களின் கூடுதல்: \(\alpha^2 + \beta^2 = -p^2/q^2\).
மூலங்களின் பெருக்கல்: \(\alpha^2\beta^2 = r^2/q^2\), இது \((\alpha\beta)^2 = (r/q)^2\) என்பதுடன் பொருந்துகிறது.
இப்போது கூடுதல் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்: \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\).
\(\frac{-p^2}{q^2} = \left(\frac{-p}{q}\right)^2 - 2\left(\frac{r}{q}\right)\)
\(\frac{-p^2}{q^2} = \frac{p^2}{q^2} - \frac{2r}{q}\)
\(\frac{2r}{q} = \frac{p^2}{q^2} + \frac{p^2}{q^2} = \frac{2p^2}{q^2}\)
\(\frac{r}{q} = \frac{p^2}{q^2} \implies rq = p^2\).
இது q, p, r ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் (GP) இருப்பதற்கான நிபந்தனை ஆகும் (\(p/q = r/p\)).
சரியான விடை: (2) ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன
\(\alpha + \beta = -p/q\) மற்றும் \(\alpha\beta = r/q\).
இரண்டாவது சமன்பாடு: \(q^2x^2 + p^2x + r^2 = 0\). இதன் மூலங்கள் \(\alpha^2, \beta^2\).
மூலங்களின் கூடுதல்: \(\alpha^2 + \beta^2 = -p^2/q^2\).
மூலங்களின் பெருக்கல்: \(\alpha^2\beta^2 = r^2/q^2\), இது \((\alpha\beta)^2 = (r/q)^2\) என்பதுடன் பொருந்துகிறது.
இப்போது கூடுதல் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவோம்: \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\).
\(\frac{-p^2}{q^2} = \left(\frac{-p}{q}\right)^2 - 2\left(\frac{r}{q}\right)\)
\(\frac{-p^2}{q^2} = \frac{p^2}{q^2} - \frac{2r}{q}\)
\(\frac{2r}{q} = \frac{p^2}{q^2} + \frac{p^2}{q^2} = \frac{2p^2}{q^2}\)
\(\frac{r}{q} = \frac{p^2}{q^2} \implies rq = p^2\).
இது q, p, r ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் (GP) இருப்பதற்கான நிபந்தனை ஆகும் (\(p/q = r/p\)).
சரியான விடை: (2) ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன
கேள்வி 12
ஒரு நேரிய பல்லுறுப்புக் கோவை \(p(x) = ax+b\) (இங்கு \(a \neq 0\)) என்ற வடிவில் இருக்கும். இதன் வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்கோடு ஆகும்.
சரியான விடை: (1) நேர்கோடு
சரியான விடை: (1) நேர்கோடு
கேள்வி 13
கோவை: \(y = x^2 + 4x + 4\).
இது \((x+2)^2\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
X அச்சில் வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண, \(y=0\) எனப் பிரதியிட வேண்டும்.
\((x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2\).
இங்கு ஒரே ஒரு தீர்வு (சமமான மூலங்கள்) இருப்பதால், பரவளையம் X அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொட்டுச் செல்லும். வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1.
சரியான விடை: (2) 1
இது \((x+2)^2\) என்ற வடிவில் உள்ளது.
X அச்சில் வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண, \(y=0\) எனப் பிரதியிட வேண்டும்.
\((x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2\).
இங்கு ஒரே ஒரு தீர்வு (சமமான மூலங்கள்) இருப்பதால், பரவளையம் X அச்சை ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொட்டுச் செல்லும். வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 1.
சரியான விடை: (2) 1
கேள்வி 14
கொடுக்கப்பட்ட அணி A-யின் வரிசை, அதன் நிரைகளின் (rows) எண்ணிக்கை \(\times\) நிரல்களின் (columns) எண்ணிக்கை ஆகும்.
A-யில் 3 நிரைகளும் 4 நிரல்களும் உள்ளன. எனவே, A-யின் வரிசை \(3 \times 4\).
நிரை நிரல் மாற்று அணியின் (\(A^T\)) வரிசையானது, மூல அணியின் வரிசையை மாற்றிப் போட்டால் கிடைக்கும்.
எனவே, \(A^T\)-யின் வரிசை \(4 \times 3\).
சரியான விடை: (4) \(4 \times 3\)
A-யில் 3 நிரைகளும் 4 நிரல்களும் உள்ளன. எனவே, A-யின் வரிசை \(3 \times 4\).
நிரை நிரல் மாற்று அணியின் (\(A^T\)) வரிசையானது, மூல அணியின் வரிசையை மாற்றிப் போட்டால் கிடைக்கும்.
எனவே, \(A^T\)-யின் வரிசை \(4 \times 3\).
சரியான விடை: (4) \(4 \times 3\)
கேள்வி 15
அணிப் பெருக்கல் AB வரையறுக்கப்பட, A-யின் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் B-யின் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
A-யின் வரிசை: \(m_A \times n_A = 2 \times 3\). B-யின் வரிசை: \(m_B \times n_B = 3 \times 4\). இங்கு A-யின் நிரல்கள் (3) = B-யின் நிரைகள் (3). எனவே பெருக்கல் சாத்தியம்.
விளைவாக வரும் அணி AB-யின் வரிசை, (A-யின் நிரைகள்) \(\times\) (B-யின் நிரல்கள்) ஆகும்.
AB-யின் வரிசை: \(2 \times 4\).
எனவே, AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.
சரியான விடை: (2) 4
A-யின் வரிசை: \(m_A \times n_A = 2 \times 3\). B-யின் வரிசை: \(m_B \times n_B = 3 \times 4\). இங்கு A-யின் நிரல்கள் (3) = B-யின் நிரைகள் (3). எனவே பெருக்கல் சாத்தியம்.
விளைவாக வரும் அணி AB-யின் வரிசை, (A-யின் நிரைகள்) \(\times\) (B-யின் நிரல்கள்) ஆகும்.
AB-யின் வரிசை: \(2 \times 4\).
எனவே, AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4 ஆகும்.
சரியான விடை: (2) 4
கேள்வி 16
வரையறைப்படி, ஒரு அணியில் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.
மூலைவிட்ட அணி, சதுர அணி, அலகு அணி ஆகியவை நிரை, நிரல் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும் சிறப்பு வகை சதுர அணிகளாகும்.
சரியான விடை: (2) செவ்வக அணி
மூலைவிட்ட அணி, சதுர அணி, அலகு அணி ஆகியவை நிரை, நிரல் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும் சிறப்பு வகை சதுர அணிகளாகும்.
சரியான விடை: (2) செவ்வக அணி
கேள்வி 17
ஒரு நிரல் அணி (column matrix) என்பது ஒரே ஒரு நிரலைக் கொண்ட அணியாகும். அதன் வரிசை \(m \times 1\) ஆக இருக்கும்.
அதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது நிரைகளை நிரல்களாகவும், நிரல்களை நிரைகளாகவும் மாற்றுவதாகும்.
எனவே, \(m \times 1\) அணியின் மாற்று அணி \(1 \times m\) வரிசையைக் கொண்டிருக்கும். இது ஒரு நிரை அணி (row matrix) ஆகும்.
சரியான விடை: (4) நிரை அணி
அதன் நிரை நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது நிரைகளை நிரல்களாகவும், நிரல்களை நிரைகளாகவும் மாற்றுவதாகும்.
எனவே, \(m \times 1\) அணியின் மாற்று அணி \(1 \times m\) வரிசையைக் கொண்டிருக்கும். இது ஒரு நிரை அணி (row matrix) ஆகும்.
சரியான விடை: (4) நிரை அணி
கேள்வி 18
\(2X + \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix}\)
\(2X = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\)
\(2X = \begin{pmatrix} 5-1 & 7-3 \\ 9-5 & 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}\)
\(X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/2 & 4/2 \\ 4/2 & -2/2 \end{pmatrix}\)
\(X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\).
சரியான விடை: (2) \(\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)
\(2X = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 9 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}\)
\(2X = \begin{pmatrix} 5-1 & 7-3 \\ 9-5 & 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}\)
\(X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/2 & 4/2 \\ 4/2 & -2/2 \end{pmatrix}\)
\(X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\).
சரியான விடை: (2) \(\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\)
கேள்வி 19
A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு அணிகளும் \(3 \times 3\) வரிசை கொண்ட சதுர அணிகள்.
(i) \(A^2 = A \times A\): A ஒரு சதுர அணி என்பதால், \(A \times A\) கணக்கிட முடியும்.
(ii) \(B^2 = B \times B\): B ஒரு சதுர அணி என்பதால், \(B \times B\) கணக்கிட முடியும்.
(iii) AB: A-யின் நிரல்கள் (3) = B-யின் நிரைகள் (3). எனவே AB கணக்கிட முடியும்.
(iv) BA: B-யின் நிரல்கள் (3) = A-யின் நிரைகள் (3). எனவே BA கணக்கிட முடியும்.
இரண்டு சதுர அணிகள் ஒரே வரிசையில் இருந்தால், அவற்றின் வர்க்கங்கள் மற்றும் இரு திசை பெருக்கல்கள் அனைத்தும் சாத்தியமே.
சரியான விடை: (4) அனைத்தும்
(i) \(A^2 = A \times A\): A ஒரு சதுர அணி என்பதால், \(A \times A\) கணக்கிட முடியும்.
(ii) \(B^2 = B \times B\): B ஒரு சதுர அணி என்பதால், \(B \times B\) கணக்கிட முடியும்.
(iii) AB: A-யின் நிரல்கள் (3) = B-யின் நிரைகள் (3). எனவே AB கணக்கிட முடியும்.
(iv) BA: B-யின் நிரல்கள் (3) = A-யின் நிரைகள் (3). எனவே BA கணக்கிட முடியும்.
இரண்டு சதுர அணிகள் ஒரே வரிசையில் இருந்தால், அவற்றின் வர்க்கங்கள் மற்றும் இரு திசை பெருக்கல்கள் அனைத்தும் சாத்தியமே.
சரியான விடை: (4) அனைத்தும்
கேள்வி 20
கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்ட அணிகளின் வரிசைகளில் பிழை உள்ளது. கேள்வியின் படி, A(\(3 \times 2\)) மற்றும் B(\(3 \times 2\)) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த வரிசைகளைக் கொண்டு AB, BA, BC ஆகியவை வரையறுக்கப்படவில்லை.
புத்தகத்தில் பொதுவாக இருக்கும் சரியான கேள்வி: \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\), \(C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\).
இதைக்கொண்டு (i) மற்றும் (ii) சரிபார்ப்போம்:
(i) \(AB+C\):
\(AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1)+1(2) & 3(0)+1(-1) \\ -1(1)+2(2) & -1(0)+2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\).
\(AB+C = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). இது விருப்பத்துடன் பொருந்தவில்லை.
(ii) \(BC\): (B யும் C யும் 2x2 அணிகள் எனில்)
\(BC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(0)+0(-2) & 1(1)+0(5) \\ 2(0)+(-1)(-2) & 2(1)+(-1)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\). இது விருப்பத்துடன் பொருந்தவில்லை.
கேள்வியில் கடுமையான பிழை இருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட விடைக்குறிப்பின்படி (1) ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். ஆனால் கணக்கீடுகள் பொருந்தவில்லை.
சரியான விடை: (1) (i) மற்றும் (ii) மட்டும் (கேள்வியில் உள்ள பிழையைக் கருத்தில் கொண்டு)
புத்தகத்தில் பொதுவாக இருக்கும் சரியான கேள்வி: \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}\), \(C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}\).
இதைக்கொண்டு (i) மற்றும் (ii) சரிபார்ப்போம்:
(i) \(AB+C\):
\(AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1)+1(2) & 3(0)+1(-1) \\ -1(1)+2(2) & -1(0)+2(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\).
\(AB+C = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). இது விருப்பத்துடன் பொருந்தவில்லை.
(ii) \(BC\): (B யும் C யும் 2x2 அணிகள் எனில்)
\(BC = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(0)+0(-2) & 1(1)+0(5) \\ 2(0)+(-1)(-2) & 2(1)+(-1)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\). இது விருப்பத்துடன் பொருந்தவில்லை.
கேள்வியில் கடுமையான பிழை இருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட விடைக்குறிப்பின்படி (1) ஐத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். ஆனால் கணக்கீடுகள் பொருந்தவில்லை.
சரியான விடை: (1) (i) மற்றும் (ii) மட்டும் (கேள்வியில் உள்ள பிழையைக் கருத்தில் கொண்டு)