Azaz Tuition
10 ஆம் வகுப்பு: ONE MARK - Bookpack & Solutions
அலகு- 2: எண்களும் தொடர்வரிசைகளும்
-
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின் படி, a மற்றும் b என்ற மிகை முழுக்களுக்கு, தனித்த மிகை முழுக்கள் q மற்றும் r, \(a = bq + r\) என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு r ஆனது,
-
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்
-
65 மற்றும் 117-யின் மீ.பொ.வ.-வை \(65m - 117\) என்ற வடிவில் எழுதும்போது m -ன் மதிப்பு
-
1729 -ஐ பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்
-
1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட ) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்
-
\(7^{4k} \equiv \text{_______} \pmod{100}\)
-
\(F_1 = 1, F_2 = 3\) மற்றும் \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) எனக் கொடுக்கப்படின் \(F_5\) ஆனது
-
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4 எனில், பின்வரும் எண்களில் எது இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும்?
-
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6-வது உறுப்பின் 6 மடங்கும், 7-வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் 13-வது உறுப்பு
-
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு m எனில், அந்தக் கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்
-
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் முதல் உறுப்பு 1 மற்றும் பொது வித்தியாசம் 4. இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் எத்தனை உறுப்புகளைக் கூட்டினால் அதன் கூடுதல் 120 கிடைக்கும்?
-
\(A = 2^{65}\) மற்றும் \(B = 2^{64} + 2^{63} + 2^{62} + \ldots + 2^0\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?
-
\(\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \ldots\) என்ற தொடர்வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
-
\(t_1, t_2, t_3, \ldots\) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை எனில், \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots\) என்பது
-
\((1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 15^3) - (1 + 2 + 3 + \ldots + 15)\) -ன் மதிப்பு
Answer Key
அலகு-2: எண்களும், தொடர்வரிசைகளும்
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (3) | (1) | (2) | (3) | (4) | (1) | (4) | (3) | (1) | (3) | (3) | (4) | (2) | (2) | (3) |
விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)
அலகு-2: எண்களும் தொடர்வரிசைகளும்
கேள்வி 1
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின் வரையறையின்படி, a மற்றும் b என்ற மிகை முழுக்களுக்கு, \(a = bq + r\) என்ற சமன்பாட்டில், மீதி 'r' ஆனது வகுக்கும் எண் 'b'-ஐ விடக் குறைவாகவும், பூச்சியத்திற்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்க வேண்டும்.
அதாவது, \(0 \le r < b\).
சரியான விடை: (3) \(0 \le r < b\)
அதாவது, \(0 \le r < b\).
சரியான விடை: (3) \(0 \le r < b\)
கேள்வி 2
ഏതൊരു மிகை முழுவும் \(3k, 3k+1\) அல்லது \(3k+2\) என்ற வடிவில் இருக்கும். அதன் கனங்களை 9 ஆல் வகுப்போம்.
நிலை 1: எண் = \(3k\)
\((3k)^3 = 27k^3 = 9(3k^3)\). இது 9 ஆல் வகுபடும். மீதி = 0.
நிலை 2: எண் = \(3k+1\)
\((3k+1)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(1) + 3(3k)(1)^2 + 1^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9(3k^3+3k^2+k) + 1\). மீதி = 1.
நிலை 3: எண் = \(3k+2\)
\((3k+2)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(2) + 3(3k)(2)^2 + 2^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 9(3k^3+6k^2+4k) + 8\). மீதி = 8.
எனவே, கிடைக்கக்கூடிய மீதிகள் 0, 1, மற்றும் 8.
சரியான விடை: (1) 0, 1, 8
நிலை 1: எண் = \(3k\)
\((3k)^3 = 27k^3 = 9(3k^3)\). இது 9 ஆல் வகுபடும். மீதி = 0.
நிலை 2: எண் = \(3k+1\)
\((3k+1)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(1) + 3(3k)(1)^2 + 1^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9(3k^3+3k^2+k) + 1\). மீதி = 1.
நிலை 3: எண் = \(3k+2\)
\((3k+2)^3 = (3k)^3 + 3(3k)^2(2) + 3(3k)(2)^2 + 2^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 9(3k^3+6k^2+4k) + 8\). மீதி = 8.
எனவே, கிடைக்கக்கூடிய மீதிகள் 0, 1, மற்றும் 8.
சரியான விடை: (1) 0, 1, 8
கேள்வி 3
முதலில், 65 மற்றும் 117-யின் மீ.பொ.வ (GCD) -வை யூக்ளிடின் வழிமுறையில் காண்போம்.
\(117 = 1 \times 65 + 52\)
\(65 = 1 \times 52 + 13\)
\(52 = 4 \times 13 + 0\)
மீதி பூச்சியம் என்பதால், மீ.பொ.வ = 13.
இப்போது, \(65m - 117 = 13\) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(65m = 117 + 13\)
\(65m = 130\)
\(m = \frac{130}{65} = 2\).
சரியான விடை: (2) 2
\(117 = 1 \times 65 + 52\)
\(65 = 1 \times 52 + 13\)
\(52 = 4 \times 13 + 0\)
மீதி பூச்சியம் என்பதால், மீ.பொ.வ = 13.
இப்போது, \(65m - 117 = 13\) என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
\(65m = 117 + 13\)
\(65m = 130\)
\(m = \frac{130}{65} = 2\).
சரியான விடை: (2) 2
கேள்வி 4
1729-ஐ பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்.
\(1729 = 7 \times 247\)
\(1729 = 7 \times 13 \times 19\)
எனவே, \(1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1\).
பகா எண்களின் அடுக்குகள் 1, 1, மற்றும் 1 ஆகும்.
அடுக்குகளின் கூடுதல் = \(1 + 1 + 1 = 3\).
(குறிப்பு: 1729 ஹார்டி-ராமானுஜன் எண் எனப்படும்).
சரியான விடை: (3) 3
\(1729 = 7 \times 247\)
\(1729 = 7 \times 13 \times 19\)
எனவே, \(1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1\).
பகா எண்களின் அடுக்குகள் 1, 1, மற்றும் 1 ஆகும்.
அடுக்குகளின் கூடுதல் = \(1 + 1 + 1 = 3\).
(குறிப்பு: 1729 ஹார்டி-ராமானுஜன் எண் எனப்படும்).
சரியான விடை: (3) 3
கேள்வி 5
1 முதல் 10 வரையுள்ள அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண் என்பது அந்த எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) ஆகும்.
அதாவது, மீ.சி.ம (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) -ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.
பகா காரணிகளை அவற்றின் உயர்ந்த அடுக்குடன் பெருக்குவோம்:
\(2^3\) (8-லிருந்து), \(3^2\) (9-லிருந்து), \(5^1\) (5-லிருந்து), \(7^1\) (7-லிருந்து).
மீ.சி.ம = \(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
= \(8 \times 9 \times 5 \times 7\)
= \(72 \times 35\)
= 2520.
சரியான விடை: (4) 2520
அதாவது, மீ.சி.ம (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) -ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.
பகா காரணிகளை அவற்றின் உயர்ந்த அடுக்குடன் பெருக்குவோம்:
\(2^3\) (8-லிருந்து), \(3^2\) (9-லிருந்து), \(5^1\) (5-லிருந்து), \(7^1\) (7-லிருந்து).
மீ.சி.ம = \(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7\)
= \(8 \times 9 \times 5 \times 7\)
= \(72 \times 35\)
= 2520.
சரியான விடை: (4) 2520
கேள்வி 6
நாம் \(7^{4k} \pmod{100}\) -ன் மதிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும். முதலில் 7-இன் அடுக்குகளை 100-ஐப் பொறுத்து கணக்கிடுவோம்.
\(7^1 \equiv 7 \pmod{100}\)
\(7^2 = 49 \equiv 49 \pmod{100}\)
\(7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}\)
\(7^4 = 7^2 \times 7^2 = 49 \times 49 = 2401\).
\(2401 = 24 \times 100 + 1\), எனவே, \(7^4 \equiv 1 \pmod{100}\).
இப்போது, \(7^{4k} = (7^4)^k\).
\((7^4)^k \equiv (1)^k \pmod{100}\)
\(7^{4k} \equiv 1 \pmod{100}\).
சரியான விடை: (1) 1
\(7^1 \equiv 7 \pmod{100}\)
\(7^2 = 49 \equiv 49 \pmod{100}\)
\(7^3 = 343 \equiv 43 \pmod{100}\)
\(7^4 = 7^2 \times 7^2 = 49 \times 49 = 2401\).
\(2401 = 24 \times 100 + 1\), எனவே, \(7^4 \equiv 1 \pmod{100}\).
இப்போது, \(7^{4k} = (7^4)^k\).
\((7^4)^k \equiv (1)^k \pmod{100}\)
\(7^{4k} \equiv 1 \pmod{100}\).
சரியான விடை: (1) 1
கேள்வி 7
கொடுக்கப்பட்டவை: \(F_1 = 1, F_2 = 3\) மற்றும் \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\).
நாம் \(F_5\)-ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.
\(F_3 = F_{3-1} + F_{3-2} = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4\).
\(F_4 = F_{4-1} + F_{4-2} = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7\).
\(F_5 = F_{5-1} + F_{5-2} = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11\).
சரியான விடை: (4) 11
நாம் \(F_5\)-ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.
\(F_3 = F_{3-1} + F_{3-2} = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4\).
\(F_4 = F_{4-1} + F_{4-2} = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7\).
\(F_5 = F_{5-1} + F_{5-2} = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11\).
சரியான விடை: (4) 11
கேள்வி 8
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் பொது வடிவம் \(t_n = a + (n-1)d\).
இங்கு, \(a=1, d=4\).
\(t_n = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3\).
ஒரு எண் இந்த தொடர்வரிசையில் உள்ளதா எனச் சோதிக்க, அந்த எண்ணிலிருந்து 'a'-ஐக் கழித்து வரும் மதிப்பு 'd'-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
\(\frac{t_n - a}{d}\) ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.
(1) \(4551-1 = 4550\). \(4550 / 4 = 1137.5\) (தவறு).
(2) \(10091-1 = 10090\). \(10090 / 4 = 2522.5\) (தவறு).
(3) \(7881-1 = 7880\). \(7880 / 4 = 1970\) (சரி).
(4) \(13531-1 = 13530\). \(13530 / 4 = 3382.5\) (தவறு).
சரியான விடை: (3) 7881
இங்கு, \(a=1, d=4\).
\(t_n = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3\).
ஒரு எண் இந்த தொடர்வரிசையில் உள்ளதா எனச் சோதிக்க, அந்த எண்ணிலிருந்து 'a'-ஐக் கழித்து வரும் மதிப்பு 'd'-ஆல் வகுபட வேண்டும்.
\(\frac{t_n - a}{d}\) ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும்.
(1) \(4551-1 = 4550\). \(4550 / 4 = 1137.5\) (தவறு).
(2) \(10091-1 = 10090\). \(10090 / 4 = 2522.5\) (தவறு).
(3) \(7881-1 = 7880\). \(7880 / 4 = 1970\) (சரி).
(4) \(13531-1 = 13530\). \(13530 / 4 = 3382.5\) (தவறு).
சரியான விடை: (3) 7881
கேள்வி 9
கொடுக்கப்பட்டவை: \(6 \times t_6 = 7 \times t_7\).
\(t_n = a + (n-1)d\) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.
\(6(a + (6-1)d) = 7(a + (7-1)d)\)
\(6(a + 5d) = 7(a + 6d)\)
\(6a + 30d = 7a + 42d\)
\(0 = 7a - 6a + 42d - 30d\)
\(0 = a + 12d\).
நாம் கண்டறிய வேண்டியது 13-வது உறுப்பு, அதாவது \(t_{13}\).
\(t_{13} = a + (13-1)d = a + 12d\).
நாம் ஏற்கனவே \(a + 12d = 0\) எனக் கண்டறிந்துள்ளோம். எனவே, \(t_{13} = 0\).
சரியான விடை: (1) 0
\(t_n = a + (n-1)d\) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.
\(6(a + (6-1)d) = 7(a + (7-1)d)\)
\(6(a + 5d) = 7(a + 6d)\)
\(6a + 30d = 7a + 42d\)
\(0 = 7a - 6a + 42d - 30d\)
\(0 = a + 12d\).
நாம் கண்டறிய வேண்டியது 13-வது உறுப்பு, அதாவது \(t_{13}\).
\(t_{13} = a + (13-1)d = a + 12d\).
நாம் ஏற்கனவே \(a + 12d = 0\) எனக் கண்டறிந்துள்ளோம். எனவே, \(t_{13} = 0\).
சரியான விடை: (1) 0
கேள்வி 10
கொடுக்கப்பட்டவை: உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n = 31\), 16-வது உறுப்பு \(t_{16} = m\).
\(t_{16} = a + (16-1)d = a + 15d = m\).
31 உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_{31}\) கண்டறிய வேண்டும்.
கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\).
\(S_{31} = \frac{31}{2}[2a + (31-1)d]\)
\(S_{31} = \frac{31}{2}[2a + 30d]\)
\(S_{31} = \frac{31}{2} \times 2(a + 15d)\)
\(S_{31} = 31 \times (a + 15d)\)
\(a+15d = m\) என நமக்குத் தெரியும். எனவே, \(S_{31} = 31m\).
சரியான விடை: (3) 31 m
\(t_{16} = a + (16-1)d = a + 15d = m\).
31 உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_{31}\) கண்டறிய வேண்டும்.
கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\).
\(S_{31} = \frac{31}{2}[2a + (31-1)d]\)
\(S_{31} = \frac{31}{2}[2a + 30d]\)
\(S_{31} = \frac{31}{2} \times 2(a + 15d)\)
\(S_{31} = 31 \times (a + 15d)\)
\(a+15d = m\) என நமக்குத் தெரியும். எனவே, \(S_{31} = 31m\).
சரியான விடை: (3) 31 m
கேள்வி 11
கொடுக்கப்பட்டவை: \(a=1, d=4, S_n = 120\).
கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\).
\(120 = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)4]\)
\(240 = n[2 + 4n - 4]\)
\(240 = n(4n - 2)\)
\(240 = 4n^2 - 2n\)
\(4n^2 - 2n - 240 = 0\). சமன்பாட்டை 2-ஆல் வகுக்க:
\(2n^2 - n - 120 = 0\).
காரணிப்படுத்த: \((2n+15)(n-8) = 0\).
\(n = 8\) அல்லது \(n = -15/2\). உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே, \(n=8\).
சரியான விடை: (3) 8
கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\).
\(120 = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)4]\)
\(240 = n[2 + 4n - 4]\)
\(240 = n(4n - 2)\)
\(240 = 4n^2 - 2n\)
\(4n^2 - 2n - 240 = 0\). சமன்பாட்டை 2-ஆல் வகுக்க:
\(2n^2 - n - 120 = 0\).
காரணிப்படுத்த: \((2n+15)(n-8) = 0\).
\(n = 8\) அல்லது \(n = -15/2\). உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே, \(n=8\).
சரியான விடை: (3) 8
கேள்வி 12
கொடுக்கப்பட்டவை: \(A = 2^{65}\) மற்றும் \(B = 2^{64} + 2^{63} + \ldots + 2^0\).
B என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் (GP) கூடுதல் ஆகும்.
முதல் உறுப்பு \(a = 2^0 = 1\), பொது விகிதம் \(r=2\), உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n = 65\) (0 முதல் 64 வரை).
GP கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\).
\(B = 1 \times \frac{2^{65} - 1}{2 - 1} = \frac{2^{65} - 1}{1} = 2^{65} - 1\).
நமக்கு \(A = 2^{65}\) எனத் தெரியும்.
எனவே, \(B = A - 1\). இதை மாற்றி எழுதினால், \(A = B + 1\).
அதாவது, A ஆனது B -ஐ விட 1 அதிகம்.
சரியான விடை: (4) A ஆனது B -ஐ விட 1 அதிகம்
B என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் (GP) கூடுதல் ஆகும்.
முதல் உறுப்பு \(a = 2^0 = 1\), பொது விகிதம் \(r=2\), உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n = 65\) (0 முதல் 64 வரை).
GP கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\).
\(B = 1 \times \frac{2^{65} - 1}{2 - 1} = \frac{2^{65} - 1}{1} = 2^{65} - 1\).
நமக்கு \(A = 2^{65}\) எனத் தெரியும்.
எனவே, \(B = A - 1\). இதை மாற்றி எழுதினால், \(A = B + 1\).
அதாவது, A ஆனது B -ஐ விட 1 அதிகம்.
சரியான விடை: (4) A ஆனது B -ஐ விட 1 அதிகம்
கேள்வி 13
கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசை: \(\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \ldots\)
இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையா எனச் சோதிப்போம்.
பொது விகிதம் \(r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{1/8}{3/16} = \frac{1}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{2}{3}\).
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கும் சரிபார்ப்போம்: \(\frac{t_3}{t_2} = \frac{1/12}{1/8} = \frac{1}{12} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
எனவே, இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை. பொது விகிதம் \(r = \frac{2}{3}\).
அடுத்த உறுப்பு = கடைசி உறுப்பு \(\times r = \frac{1}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{1}{27}\)
இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசையா எனச் சோதிப்போம்.
பொது விகிதம் \(r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{1/8}{3/16} = \frac{1}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{2}{3}\).
அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கும் சரிபார்ப்போம்: \(\frac{t_3}{t_2} = \frac{1/12}{1/8} = \frac{1}{12} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
எனவே, இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை. பொது விகிதம் \(r = \frac{2}{3}\).
அடுத்த உறுப்பு = கடைசி உறுப்பு \(\times r = \frac{1}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}\).
சரியான விடை: (2) \(\frac{1}{27}\)
கேள்வி 14
\(t_1, t_2, \ldots\) ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை (AP) என்க. அதன் முதல் உறுப்பு 'a' மற்றும் பொது வித்தியாசம் 'd'.
புதிய தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள்: \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots\)
\(t_6 = a + 5d\)
\(t_{12} = a + 11d\)
\(t_{18} = a + 17d\)
இந்த புதிய தொடர்வரிசையின் பொது வித்தியாசத்தைக் காண்போம்:
\(t_{12} - t_6 = (a + 11d) - (a + 5d) = 6d\).
\(t_{18} - t_{12} = (a + 17d) - (a + 11d) = 6d\).
உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் மாறிலியாக (\(6d\)) இருப்பதால், இதுவும் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
சரியான விடை: (2) ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை
புதிய தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள்: \(t_6, t_{12}, t_{18}, \ldots\)
\(t_6 = a + 5d\)
\(t_{12} = a + 11d\)
\(t_{18} = a + 17d\)
இந்த புதிய தொடர்வரிசையின் பொது வித்தியாசத்தைக் காண்போம்:
\(t_{12} - t_6 = (a + 11d) - (a + 5d) = 6d\).
\(t_{18} - t_{12} = (a + 17d) - (a + 11d) = 6d\).
உறுப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசம் மாறிலியாக (\(6d\)) இருப்பதால், இதுவும் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஆகும்.
சரியான விடை: (2) ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை
கேள்வி 15
நாம் கண்டறிய வேண்டியது: \((1^3 + 2^3 + \ldots + 15^3) - (1 + 2 + \ldots + 15)\).
முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\).
\(1 + 2 + \ldots + 15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120\).
முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\).
\(1^3 + 2^3 + \ldots + 15^3 = \left(\frac{15(15+1)}{2}\right)^2 = (120)^2 = 14400\).
தேவையான மதிப்பு = \(14400 - 120 = 14280\).
சரியான விடை: (3) 14280
முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}\).
\(1 + 2 + \ldots + 15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120\).
முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\).
\(1^3 + 2^3 + \ldots + 15^3 = \left(\frac{15(15+1)}{2}\right)^2 = (120)^2 = 14400\).
தேவையான மதிப்பு = \(14400 - 120 = 14280\).
சரியான விடை: (3) 14280