Azaz Tuition
10 ஆம் வகுப்பு: ONE MARK - Bookpack & Solutions
அலகு-1: உறவுகளும் சார்புகளும்
-
\(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\) எனில், \(n(B)\) ஆனது
-
\(A = \{a,b,p\}\), \(B = \{2,3\}\), \(C = \{p,q,r,s\}\) எனில், \(n[(A \cup C) \times B]\) ஆனது
-
\(A = \{1,2\}\), \(B = \{1,2,3,4\}\), \(C = \{5,6\}\) மற்றும் \(D = \{5,6,7,8\}\) எனில், கீழே கொடுக்கப்பட்டவைகளில் எது சரியான கூற்று
-
\(A = \{1,2,3,4,5\}\) -லிருந்து, B என்ற கணத்திற்கு \(1024\) உறவுகள் உள்ளது எனில், B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
-
\(R = \{(x, x^2)|x \text{ ஆனது 13-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்}\}\) என்ற உறவின் வீச்சகமானது
-
\( (a + 2, 4)\) மற்றும் \( (5, 2a + b)\) ஆகிய வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில், \((a,b)\) என்பது
-
\(n(A) = m\) மற்றும் \(n(B) = n\) என்க. A -யிலிருந்து B -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
-
\(\{(a, 8), (6,b)\}\) ஆனது ஒரு சமனிச் சார்பு எனில், a மற்றும் b மதிப்புகளாவன முறையே
-
\(A = \{1,2,3,4\}, B = \{4,8,9,10\}\) என்க. சார்பு \(f : A \rightarrow B\) ஆனது \(f = \{(1,4), (2, 8), (3,9), (4,10)\}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் \(f\) என்பது
-
\(f (x) = 2x^2\) மற்றும் \(g(x) = \frac{1}{3x}\) எனில் \(f \circ g\) ஆனது
-
\(f : A \rightarrow B\) ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் \(n(B) = 7\) எனில் \(n(A)\) ஆனது
-
f மற்றும் g என்ற இரண்டு சார்புகளும் \(f = \{(0,1), (2, 0), (3, -4), (4, 2), (5, 7)\}\), \(g = \{(0, 2), (1, 0), (2, 4), (-4, 2), (7,0)\}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் \(f \circ g\) -ன் வீச்சகமானது
-
\(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\) எனில்,
-
\(g = \{(1,1), (2, 3), (3,5), (4,7)\}\) என்ற சார்பானது \(g(x) = \alpha x + \beta\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் \(\alpha, \beta\) -ன் மதிப்பானது
-
\(f(x) = (x + 1)^3 - (x - 1)^3\) குறிப்பிடும் சார்பானது
Answer Key
அலகு-1: உறவுகளும், சார்புகளும்
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (3) | (3) | (1) | (2) | (3) | (4) | (3) | (1) | (3) | (3) | (1) | (4) | (3) | (2) | (4) |
விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)
அலகு-1: உறவுகளும் சார்புகளும்
கேள்வி 1
கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\).
A கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, \(n(A) = 2\).
கார்டீசியன் பெருக்கலின் பண்பு: \(n(A \times B) = n(A) \times n(B)\).
மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
\(6 = 2 \times n(B)\)
\(n(B) = \frac{6}{2} = 3\).
சரியான விடை: (3) 3
A கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, \(n(A) = 2\).
கார்டீசியன் பெருக்கலின் பண்பு: \(n(A \times B) = n(A) \times n(B)\).
மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
\(6 = 2 \times n(B)\)
\(n(B) = \frac{6}{2} = 3\).
சரியான விடை: (3) 3
கேள்வி 2
கொடுக்கப்பட்டவை: \(A = \{a,b,p\}\), \(B = \{2,3\}\), \(C = \{p,q,r,s\}\).
முதலில், \(A \cup C\) கணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
\(A \cup C = \{a,b,p\} \cup \{p,q,r,s\} = \{a,b,p,q,r,s\}\).
எனவே, \(n(A \cup C) = 6\).
மேலும், \(B = \{2,3\}\), எனவே, \(n(B) = 2\).
நாம் கண்டறிய வேண்டியது \(n[(A \cup C) \times B]\).
\(n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) = 6 \times 2 = 12\).
சரியான விடை: (3) 12
முதலில், \(A \cup C\) கணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.
\(A \cup C = \{a,b,p\} \cup \{p,q,r,s\} = \{a,b,p,q,r,s\}\).
எனவே, \(n(A \cup C) = 6\).
மேலும், \(B = \{2,3\}\), எனவே, \(n(B) = 2\).
நாம் கண்டறிய வேண்டியது \(n[(A \cup C) \times B]\).
\(n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) = 6 \times 2 = 12\).
சரியான விடை: (3) 12
கேள்வி 3
கொடுக்கப்பட்டவை: \(A = \{1,2\}\), \(B = \{1,2,3,4\}\), \(C = \{5,6\}\), \(D = \{5,6,7,8\}\).
ஒவ்வொரு கூற்றையும் சரிபார்ப்போம்.
(1) \((A \times C) \subset (B \times D)\):
\(A \times C = \{(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\}\).
\(B \times D\) என்பது B மற்றும் D-இன் கார்டீசியன் பெருக்கல். B-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் D-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் ஜோடி சேரும்.
\(B \times D = \{(1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), \dots\}\).
\(A \times C\)-ல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் \((1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\) \(B \times D\)-ல் உள்ளன. எனவே, இந்தக் கூற்று சரியானது.
மற்ற கூற்றுகளை சரிபார்த்தால் அவை தவறாக இருப்பதை அறியலாம்.
சரியான விடை: (1) \((A \times C) \subset (B \times D)\)
ஒவ்வொரு கூற்றையும் சரிபார்ப்போம்.
(1) \((A \times C) \subset (B \times D)\):
\(A \times C = \{(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\}\).
\(B \times D\) என்பது B மற்றும் D-இன் கார்டீசியன் பெருக்கல். B-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் D-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் ஜோடி சேரும்.
\(B \times D = \{(1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), \dots\}\).
\(A \times C\)-ல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் \((1,5), (1,6), (2,5), (2,6)\) \(B \times D\)-ல் உள்ளன. எனவே, இந்தக் கூற்று சரியானது.
மற்ற கூற்றுகளை சரிபார்த்தால் அவை தவறாக இருப்பதை அறியலாம்.
சரியான விடை: (1) \((A \times C) \subset (B \times D)\)
கேள்வி 4
கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(A) = 5\). A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.
A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம் \(2^{n(A) \times n(B)}\).
\(2^{n(A) \times n(B)} = 1024\).
நமக்குத் தெரியும் \(1024 = 2^{10}\).
எனவே, \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{10}\).
அடிமானங்கள் சமம் என்பதால், அடுக்குகளை சமப்படுத்தலாம்: \(n(A) \times n(B) = 10\).
\(n(A) = 5\) எனப் பிரதியிட: \(5 \times n(B) = 10\).
\(n(B) = \frac{10}{5} = 2\).
சரியான விடை: (2) 2
A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம் \(2^{n(A) \times n(B)}\).
\(2^{n(A) \times n(B)} = 1024\).
நமக்குத் தெரியும் \(1024 = 2^{10}\).
எனவே, \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{10}\).
அடிமானங்கள் சமம் என்பதால், அடுக்குகளை சமப்படுத்தலாம்: \(n(A) \times n(B) = 10\).
\(n(A) = 5\) எனப் பிரதியிட: \(5 \times n(B) = 10\).
\(n(B) = \frac{10}{5} = 2\).
சரியான விடை: (2) 2
கேள்வி 5
கொடுக்கப்பட்டவை: \(R = \{(x, x^2)|x \text{ ஆனது 13-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்}\}\).
13-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்: 2, 3, 5, 7, 11.
இந்த உறவில், மதிப்பகம் (domain) \(x\) = {2, 3, 5, 7, 11}.
வீச்சகம் (range) என்பது \(x^2\)-இன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு.
\(x=2 \implies x^2 = 4\)
\(x=3 \implies x^2 = 9\)
\(x=5 \implies x^2 = 25\)
\(x=7 \implies x^2 = 49\)
\(x=11 \implies x^2 = 121\)
எனவே, வீச்சகம் \(\{4, 9, 25, 49, 121\}\).
சரியான விடை: (3) \(\{4, 9, 25, 49, 121\}\)
13-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்: 2, 3, 5, 7, 11.
இந்த உறவில், மதிப்பகம் (domain) \(x\) = {2, 3, 5, 7, 11}.
வீச்சகம் (range) என்பது \(x^2\)-இன் மதிப்புகளின் தொகுப்பு.
\(x=2 \implies x^2 = 4\)
\(x=3 \implies x^2 = 9\)
\(x=5 \implies x^2 = 25\)
\(x=7 \implies x^2 = 49\)
\(x=11 \implies x^2 = 121\)
எனவே, வீச்சகம் \(\{4, 9, 25, 49, 121\}\).
சரியான விடை: (3) \(\{4, 9, 25, 49, 121\}\)
கேள்வி 6
கொடுக்கப்பட்டவை: \((a+2, 4) = (5, 2a+b)\).
இரு வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில், அவற்றின் ஒத்த உறுப்புகள் சமமாக இருக்கும்.
முதல் உறுப்புகளை சமப்படுத்த: \(a+2 = 5 \implies a = 5-2 = 3\).
இரண்டாம் உறுப்புகளை சமப்படுத்த: \(4 = 2a+b\).
இதில் \(a=3\) எனப் பிரதியிட: \(4 = 2(3)+b \implies 4 = 6+b\).
\(b = 4-6 = -2\).
எனவே, \((a,b) = (3, -2)\).
சரியான விடை: (4) (3,-2)
இரு வரிசைச் சோடிகள் சமம் எனில், அவற்றின் ஒத்த உறுப்புகள் சமமாக இருக்கும்.
முதல் உறுப்புகளை சமப்படுத்த: \(a+2 = 5 \implies a = 5-2 = 3\).
இரண்டாம் உறுப்புகளை சமப்படுத்த: \(4 = 2a+b\).
இதில் \(a=3\) எனப் பிரதியிட: \(4 = 2(3)+b \implies 4 = 6+b\).
\(b = 4-6 = -2\).
எனவே, \((a,b) = (3, -2)\).
சரியான விடை: (4) (3,-2)
கேள்வி 7
கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(A) = m, n(B) = n\).
A-யிலிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்படும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}\).
இந்த மொத்த உறவுகளில், ஒன்று மட்டும் வெற்று உறவு (empty relation) ஆகும்.
கேள்வியில், வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை கேட்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, மொத்த உறவுகளிலிருந்து வெற்று உறவை நீக்க வேண்டும்.
வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = \(2^{mn} - 1\).
சரியான விடை: (3) \(2^{mn} - 1\)
A-யிலிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்படும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}\).
இந்த மொத்த உறவுகளில், ஒன்று மட்டும் வெற்று உறவு (empty relation) ஆகும்.
கேள்வியில், வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை கேட்கப்பட்டுள்ளது.
எனவே, மொத்த உறவுகளிலிருந்து வெற்று உறவை நீக்க வேண்டும்.
வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = \(2^{mn} - 1\).
சரியான விடை: (3) \(2^{mn} - 1\)
கேள்வி 8
ஒரு சமனிச் சார்பு (identity function) \(f(x) = x\) என்ற வடிவில் இருக்கும். அதாவது, ஒவ்வொரு உறுப்பும் தனக்கே உரிய நிழலுருவாக இருக்கும்.
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(\{(a, 8), (6,b)\}\).
இது ஒரு சமனிச் சார்பு என்பதால், \(f(a)=a\) மற்றும் \(f(b)=b\).
\((a,8)\) என்ற வரிசைச் சோடியில், உள்ளீடு 'a' மற்றும் வெளியீடு '8'. சமனிச் சார்பு என்பதால், உள்ளீடும் வெளியீடும் சமம். எனவே, \(a=8\).
\((6,b)\) என்ற வரிசைச் சோடியில், உள்ளீடு '6' மற்றும் வெளியீடு 'b'. எனவே, \(b=6\).
ஆக, a மற்றும் b மதிப்புகள் முறையே (8, 6).
சரியான விடை: (1) (8, 6)
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(\{(a, 8), (6,b)\}\).
இது ஒரு சமனிச் சார்பு என்பதால், \(f(a)=a\) மற்றும் \(f(b)=b\).
\((a,8)\) என்ற வரிசைச் சோடியில், உள்ளீடு 'a' மற்றும் வெளியீடு '8'. சமனிச் சார்பு என்பதால், உள்ளீடும் வெளியீடும் சமம். எனவே, \(a=8\).
\((6,b)\) என்ற வரிசைச் சோடியில், உள்ளீடு '6' மற்றும் வெளியீடு 'b'. எனவே, \(b=6\).
ஆக, a மற்றும் b மதிப்புகள் முறையே (8, 6).
சரியான விடை: (1) (8, 6)
கேள்வி 9
கொடுக்கப்பட்டவை: \(f = \{(1,4), (2, 8), (3,9), (4,10)\}\).
மதிப்பகம் \(A = \{1,2,3,4\}\) மற்றும் துணை மதிப்பகம் \(B = \{4,8,9,10\}\).
ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு (One-to-one function): மதிப்பகத்தில் உள்ள வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறு நிழலுருக்கள் உள்ளன. இங்கு, 1, 2, 3, 4 ஆகிய வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு 4, 8, 9, 10 என வெவ்வேறு நிழலுருக்கள் உள்ளன. எனவே இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு.
மேல்சார்பு (Onto function): துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் முன்-உரு இருக்க வேண்டும். இங்கு, துணை மதிப்பகமான B-ல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் (4, 8, 9, 10) முன்-உரு உள்ளது. எனவே இது மேல்சார்பு.
ஒரு சார்பு ஒன்றுக்கொன்றாகவும் மற்றும் மேல்சார்பாகவும் இருந்தால், அது இருபுறச் சார்பு எனப்படும். கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில், "ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு" மிகவும் பொருத்தமானது.
சரியான விடை: (3) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு
மதிப்பகம் \(A = \{1,2,3,4\}\) மற்றும் துணை மதிப்பகம் \(B = \{4,8,9,10\}\).
ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு (One-to-one function): மதிப்பகத்தில் உள்ள வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு துணை மதிப்பகத்தில் வெவ்வேறு நிழலுருக்கள் உள்ளன. இங்கு, 1, 2, 3, 4 ஆகிய வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு 4, 8, 9, 10 என வெவ்வேறு நிழலுருக்கள் உள்ளன. எனவே இது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு.
மேல்சார்பு (Onto function): துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் முன்-உரு இருக்க வேண்டும். இங்கு, துணை மதிப்பகமான B-ல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் (4, 8, 9, 10) முன்-உரு உள்ளது. எனவே இது மேல்சார்பு.
ஒரு சார்பு ஒன்றுக்கொன்றாகவும் மற்றும் மேல்சார்பாகவும் இருந்தால், அது இருபுறச் சார்பு எனப்படும். கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில், "ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு" மிகவும் பொருத்தமானது.
சரியான விடை: (3) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு
கேள்வி 10
கொடுக்கப்பட்டவை: \(f(x) = 2x^2\) மற்றும் \(g(x) = \frac{1}{3x}\).
\(f \circ g\) என்பது \(f(g(x))\) ஆகும்.
\(f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right)\).
இப்போது, \(f(x)\) சார்பின் \(x\)-க்கு பதிலாக \(g(x)\)-ன் மதிப்பான \(\frac{1}{3x}\) ஐ பிரதியிட வேண்டும்.
\(f\left(\frac{1}{3x}\right) = 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2\)
\(= 2\left(\frac{1^2}{(3x)^2}\right) = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right)\)
\(= \frac{2}{9x^2}\).
சரியான விடை: (3) \(\frac{2}{9x^2}\)
\(f \circ g\) என்பது \(f(g(x))\) ஆகும்.
\(f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right)\).
இப்போது, \(f(x)\) சார்பின் \(x\)-க்கு பதிலாக \(g(x)\)-ன் மதிப்பான \(\frac{1}{3x}\) ஐ பிரதியிட வேண்டும்.
\(f\left(\frac{1}{3x}\right) = 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2\)
\(= 2\left(\frac{1^2}{(3x)^2}\right) = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right)\)
\(= \frac{2}{9x^2}\).
சரியான விடை: (3) \(\frac{2}{9x^2}\)
கேள்வி 11
ஒரு சார்பு \(f : A \rightarrow B\) இருபுறச் சார்பு (bijective function) எனில், அது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு (one-to-one) மற்றும் மேல்சார்பு (onto) ஆகும்.
ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு: மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் தனித்தனி நிழலுரு இருக்கும். \(\implies n(A) \le n(B)\).
மேல்சார்பு: துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன்-உரு இருக்கும். \(\implies n(A) \ge n(B)\).
இரண்டும் உண்மையாக இருக்க வேண்டும் எனில், \(n(A) = n(B)\) ஆக இருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(B) = 7\).
எனவே, \(n(A) = 7\).
சரியான விடை: (1) 7
ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு: மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் தனித்தனி நிழலுரு இருக்கும். \(\implies n(A) \le n(B)\).
மேல்சார்பு: துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் முன்-உரு இருக்கும். \(\implies n(A) \ge n(B)\).
இரண்டும் உண்மையாக இருக்க வேண்டும் எனில், \(n(A) = n(B)\) ஆக இருக்க வேண்டும்.
கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(B) = 7\).
எனவே, \(n(A) = 7\).
சரியான விடை: (1) 7
கேள்வி 12
கொடுக்கப்பட்டவை: \(f = \{(0,1), (2, 0), (3, -4), (4, 2), (5, 7)\}\), \(g = \{(0, 2), (1, 0), (2, 4), (-4, 2), (7,0)\}\).
\(f \circ g\) -ன் வீச்சகத்தைக் கண்டறிய, \(f(g(x))\) -ஐ கணக்கிட வேண்டும். g-ன் மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இதைச் செய்வோம்.
\(g\)-ன் மதிப்பகம் = \(\{0, 1, 2, -4, 7\}\).
\(g(0) = 2 \implies f(g(0)) = f(2) = 0\).
\(g(1) = 0 \implies f(g(1)) = f(0) = 1\).
\(g(2) = 4 \implies f(g(2)) = f(4) = 2\).
\(g(-4) = 2 \implies f(g(-4)) = f(2) = 0\).
\(g(7) = 0 \implies f(g(7)) = f(0) = 1\).
\(f \circ g\)-ன் வெளியீடுகளின் தொகுப்பே அதன் வீச்சகம் ஆகும்.
வீச்சகம் = \(\{0, 1, 2\}\).
சரியான விடை: (4) \(\{0, 1, 2\}\)
\(f \circ g\) -ன் வீச்சகத்தைக் கண்டறிய, \(f(g(x))\) -ஐ கணக்கிட வேண்டும். g-ன் மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இதைச் செய்வோம்.
\(g\)-ன் மதிப்பகம் = \(\{0, 1, 2, -4, 7\}\).
\(g(0) = 2 \implies f(g(0)) = f(2) = 0\).
\(g(1) = 0 \implies f(g(1)) = f(0) = 1\).
\(g(2) = 4 \implies f(g(2)) = f(4) = 2\).
\(g(-4) = 2 \implies f(g(-4)) = f(2) = 0\).
\(g(7) = 0 \implies f(g(7)) = f(0) = 1\).
\(f \circ g\)-ன் வெளியீடுகளின் தொகுப்பே அதன் வீச்சகம் ஆகும்.
வீச்சகம் = \(\{0, 1, 2\}\).
சரியான விடை: (4) \(\{0, 1, 2\}\)
கேள்வி 13
கொடுக்கப்பட்டவை: \(f(x) = \sqrt{1 + x^2}\).
ஒவ்வொரு விருப்பத்தையும் சோதிப்போம்.
(1) \(f(xy) = f(x) \cdot f(y)\):
இடது பக்கம்: \(f(xy) = \sqrt{1 + (xy)^2} = \sqrt{1 + x^2y^2}\).
வலது பக்கம்: \(f(x) \cdot f(y) = \sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt{1+y^2} = \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} = \sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2}\).
இவை சமம் அல்ல. எனவே (1) தவறு.
(3) \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\):
இடது பக்கம்: \(\sqrt{1 + x^2y^2}\).
வலது பக்கம்: \(\sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2}\).
\(x^2 \ge 0\) மற்றும் \(y^2 \ge 0\) என்பதால், \(1+x^2+y^2+x^2y^2 \ge 1+x^2y^2\).
எனவே, \(\sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2} \ge \sqrt{1 + x^2y^2}\).
அதாவது, \(f(x) \cdot f(y) \ge f(xy)\) அல்லது \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\). இது சரியானது.
சரியான விடை: (3) \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\)
ஒவ்வொரு விருப்பத்தையும் சோதிப்போம்.
(1) \(f(xy) = f(x) \cdot f(y)\):
இடது பக்கம்: \(f(xy) = \sqrt{1 + (xy)^2} = \sqrt{1 + x^2y^2}\).
வலது பக்கம்: \(f(x) \cdot f(y) = \sqrt{1+x^2} \cdot \sqrt{1+y^2} = \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)} = \sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2}\).
இவை சமம் அல்ல. எனவே (1) தவறு.
(3) \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\):
இடது பக்கம்: \(\sqrt{1 + x^2y^2}\).
வலது பக்கம்: \(\sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2}\).
\(x^2 \ge 0\) மற்றும் \(y^2 \ge 0\) என்பதால், \(1+x^2+y^2+x^2y^2 \ge 1+x^2y^2\).
எனவே, \(\sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2} \ge \sqrt{1 + x^2y^2}\).
அதாவது, \(f(x) \cdot f(y) \ge f(xy)\) அல்லது \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\). இது சரியானது.
சரியான விடை: (3) \(f(xy) \le f(x) \cdot f(y)\)
கேள்வி 14
கொடுக்கப்பட்டவை: \(g = \{(1,1), (2, 3), (3,5), (4,7)\}\) மற்றும் \(g(x) = \alpha x + \beta\).
புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.
புள்ளி (1,1): \(x=1, g(x)=1 \implies 1 = \alpha(1) + \beta \implies \alpha + \beta = 1\) ---(i)
புள்ளி (2,3): \(x=2, g(x)=3 \implies 3 = \alpha(2) + \beta \implies 2\alpha + \beta = 3\) ---(ii)
சமன்பாடு (ii) -லிருந்து (i) -ஐ கழிக்க:
\((2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 3 - 1\)
\(\alpha = 2\).
\(\alpha=2\) ஐ சமன்பாடு (i) -ல் பிரதியிட: \(2 + \beta = 1 \implies \beta = 1 - 2 = -1\).
எனவே, \(\alpha = 2, \beta = -1\). அதாவது \((2, -1)\).
சரியான விடை: (2) (2, -1)
புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி இரண்டு சமன்பாடுகளை உருவாக்குவோம்.
புள்ளி (1,1): \(x=1, g(x)=1 \implies 1 = \alpha(1) + \beta \implies \alpha + \beta = 1\) ---(i)
புள்ளி (2,3): \(x=2, g(x)=3 \implies 3 = \alpha(2) + \beta \implies 2\alpha + \beta = 3\) ---(ii)
சமன்பாடு (ii) -லிருந்து (i) -ஐ கழிக்க:
\((2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 3 - 1\)
\(\alpha = 2\).
\(\alpha=2\) ஐ சமன்பாடு (i) -ல் பிரதியிட: \(2 + \beta = 1 \implies \beta = 1 - 2 = -1\).
எனவே, \(\alpha = 2, \beta = -1\). அதாவது \((2, -1)\).
சரியான விடை: (2) (2, -1)
கேள்வி 15
கொடுக்கப்பட்டவை: \(f(x) = (x + 1)^3 - (x - 1)^3\).
இதை விரிவாக்க, \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) மற்றும் \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.
\((x+1)^3 = x^3 + 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\).
\((x-1)^3 = x^3 - 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\).
இப்போது, கழிப்போம்:
\(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
\(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)
\(f(x) = (x^3-x^3) + (3x^2+3x^2) + (3x-3x) + (1+1)\)
\(f(x) = 6x^2 + 2\).
இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு (\(ax^2+bx+c\) வடிவில் உள்ளது). எனவே, இது ஒரு இருபடிச் சார்பு (quadratic function).
சரியான விடை: (4) இருபடிச் சார்பு
இதை விரிவாக்க, \((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) மற்றும் \((a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.
\((x+1)^3 = x^3 + 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\).
\((x-1)^3 = x^3 - 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\).
இப்போது, கழிப்போம்:
\(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
\(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)
\(f(x) = (x^3-x^3) + (3x^2+3x^2) + (3x-3x) + (1+1)\)
\(f(x) = 6x^2 + 2\).
இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு (\(ax^2+bx+c\) வடிவில் உள்ளது). எனவே, இது ஒரு இருபடிச் சார்பு (quadratic function).
சரியான விடை: (4) இருபடிச் சார்பு