10th Maths 2nd Mid Term Exam 2024 Question Paper with Answer Key - Virudhunagar District

வகுப்பு 10 - இரண்டாம் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024 (விடைக்குறிப்பு)

பகுதி I - சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக (7 x 1 = 7)

1) நிரல்கள் மற்றும் நிரைகள் சம எண்ணிக்கையில் இல்லாத அணி

விடை: b) செவ்வக அணி

விளக்கம்: ஒரு அணியில் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.

2) A என்ற அணியின் வரிசை 2x8 எனில், A என்ற அணியில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

விடை: a) 16

விளக்கம்: உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = நிரைகளின் எண்ணிக்கை × நிரல்களின் எண்ணிக்கை = 2 × 8 = 16.

3) வட்டத்தின் வெளிப்புறப் புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு எத்தனை தொடுகோடுகள் வரையலாம்?

விடை: b) இரண்டு

விளக்கம்: வட்டத்தின் வெளிப்புறத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு இரண்டு தொடுகோடுகள் வரையலாம்.

4) ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \( \sqrt{3}:1 \), எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றக்கோண அளவானது.

விடை: d) 60°

விளக்கம்:

$$ \tan \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} = \frac{\text{கோபுரத்தின் உயரம்}}{\text{நிழலின் நீளம்}} $$ $$ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} $$ $$ \theta = 60^\circ $$

5) ஒரு கூம்பின் அடிப்புற ஆரம் மும்மடங்காகவும் உயரம் இரு மடங்காகவும் மாறினால் கனஅளவு எத்தனை மடங்காக மாறும்?

விடை: b) 18 மடங்கு

விளக்கம்:

கூம்பின் கனஅளவு \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
புதிய ஆரம் \( r' = 3r \), புதிய உயரம் \( h' = 2h \).
புதிய கனஅளவு \( V' = \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi (3r)^2 (2h) \)
$$ V' = \frac{1}{3}\pi (9r^2)(2h) = 18 \left( \frac{1}{3}\pi r^2 h \right) = 18V $$

6) ஓர் உருளையின் ஆரம் அதன் உயரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பு

விடை: c) \( \frac{8\pi h^2}{9} \) ச.அ

விளக்கம்:

ஆரம் \( r = \frac{h}{3} \).
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = \( 2\pi r(h+r) \)
$$ = 2\pi \left( \frac{h}{3} \right) \left( h + \frac{h}{3} \right) = 2\pi \left( \frac{h}{3} \right) \left( \frac{3h+h}{3} \right) $$ $$ = 2\pi \left( \frac{h}{3} \right) \left( \frac{4h}{3} \right) = \frac{8\pi h^2}{9} \text{ ச.அ} $$

7) பின்வருவனவற்றுள் எவை செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமையாது?

விடை: d) 4, 7, 8

விளக்கம்: பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி, \( a^2 + b^2 = c^2 \).
\( 4^2 + 7^2 = 16 + 49 = 65 \).
\( 8^2 = 64 \).
இங்கு \( 65 \neq 64 \), எனவே இது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் அல்ல.

பகுதி II - எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி (5 x 2 = 10)

(வினா எண் 14க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்)

8) \( a_{ij} = i^2j^2 \) என்ற அமைப்பைக் கொண்ட 3x3 வரிசையுடைய அணியைக் காண்க.

தீர்வு:

$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} $$ $$ a_{11} = 1^2 \cdot 1^2 = 1 \quad a_{12} = 1^2 \cdot 2^2 = 4 \quad a_{13} = 1^2 \cdot 3^2 = 9 $$ $$ a_{21} = 2^2 \cdot 1^2 = 4 \quad a_{22} = 2^2 \cdot 2^2 = 16 \quad a_{23} = 2^2 \cdot 3^2 = 36 $$ $$ a_{31} = 3^2 \cdot 1^2 = 9 \quad a_{32} = 3^2 \cdot 2^2 = 36 \quad a_{33} = 3^2 \cdot 3^2 = 81 $$ $$ \therefore A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 9 \\ 4 & 16 & 36 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} $$

9) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 9 \\ 8 & 3 & 7 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 7 & 3 & 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} \) எனில், 3A-9B யைக் காண்க.

தீர்வு:

$$ 3A = 3 \begin{pmatrix} 0 & 4 & 9 \\ 8 & 3 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 27 \\ 24 & 9 & 21 \end{pmatrix} $$ $$ 9B = 9 \begin{pmatrix} 7 & 3 & 8 \\ 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 63 & 27 & 72 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} $$ $$ 3A - 9B = \begin{pmatrix} 0 & 12 & 27 \\ 24 & 9 & 21 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 63 & 27 & 72 \\ 9 & 36 & 81 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0-63 & 12-27 & 27-72 \\ 24-9 & 9-36 & 21-81 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -63 & -15 & -45 \\ 15 & -27 & -60 \end{pmatrix} $$

10) இரண்டு பொதுமைய வட்டங்களின் ஆரங்கள் 4 செ.மீ, 5 செ.மீ ஆகும். ஒரு வட்டத்தின் நாணானது மற்றொரு வட்டத்திற்குத் தொடுகோடாக அமைந்தால் அவ்வட்டத்தின் நாணின் நீளம் காண்க.

தீர்வு:

பெரிய வட்டத்தின் ஆரம் R = 5 செ.மீ. சிறிய வட்டத்தின் ஆரம் r = 4 செ.மீ.
நாணின் நீளம் AB என்க. O என்பது மையம். OP என்பது சிறிய வட்டத்தின் ஆரம் மற்றும் நாண் ABக்கு செங்குத்து.
செங்கோண முக்கோணம் OPA இல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( OA^2 = OP^2 + AP^2 \)
\( 5^2 = 4^2 + AP^2 \)
\( 25 = 16 + AP^2 \)
\( AP^2 = 25 - 16 = 9 \)
\( AP = \sqrt{9} = 3 \) செ.மீ.
நாணின் நீளம் AB = 2 × AP = 2 × 3 = 6 செ.மீ.

11) 20மீ உயரமுள்ள கட்டடத்தின் உச்சியில் ஒரு விளையாட்டு வீரர் அமர்ந்து கொண்டு தரையிலுள்ள ஒரு பந்தை 60° இறக்கக்கோணத்தில் காண்கிறார் எனில், கட்டட அடிப்பகுதிக்கும் பந்திற்கும் இடையேயுள்ள தொலைவைக் காண்க. \((\sqrt{3} = 1.732)\)

தீர்வு:

கட்டடத்தின் உயரம் = 20 மீ.
இறக்கக்கோணம் = 60°. எனவே, ஏற்றக்கோணம் = 60°.
கட்டட அடிப்பகுதிக்கும் பந்திற்கும் உள்ள தொலைவு d என்க.
\( \tan 60^\circ = \frac{\text{உயரம்}}{\text{தொலைவு}} \)
\( \sqrt{3} = \frac{20}{d} \)
\( d = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20 \times \sqrt{3}}{3} = \frac{20 \times 1.732}{3} = \frac{34.64}{3} \approx 11.547 \) மீ.

12) 18 மீ உயரமுள்ள ஏணியானது செங்குத்துச் சுவரின் மீது சாய்த்து வைக்கப்படுகிறது. ஏணி தரையில் ஏற்படுத்தும் கோணம் 60° எனில் சுவரின் உயரத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

ஏணியின் நீளம் (கர்ணம்) = 18 மீ.
கோணம் \( \theta = 60^\circ \).
சுவரின் உயரம் h என்க.
\( \sin \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{கர்ணம்}} \)
\( \sin 60^\circ = \frac{h}{18} \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{18} \)
\( h = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \) மீ.

13) 704 ச.செ.மீ மொத்தப்புறப்பரப்பு கொண்ட ஒரு கூம்பின் ஆரம் 7 செ.மீ எனில், அதன் சாயுயரம் காண்க.

தீர்வு:

கூம்பின் மொத்தப் புறப்பரப்பு = 704 ச.செ.மீ.
ஆரம் r = 7 செ.மீ.
சாயுயரம் l காண்க.
மொத்தப் புறப்பரப்பு = \( \pi r (l+r) \)
\( 704 = \frac{22}{7} \times 7 \times (l+7) \)
\( 704 = 22 (l+7) \)
\( l+7 = \frac{704}{22} = 32 \)
\( l = 32 - 7 = 25 \) செ.மீ.

14) இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில், அவற்றின் கனஅளவுகளின் விகிதம் காண்க.

தீர்வு:

கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் \( r_1 : r_2 = 4:7 \).
கனஅளவுகளின் விகிதம் \( V_1 : V_2 \) காண்க.
கோளத்தின் கனஅளவு \( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \).
$$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 $$ $$ = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343} $$ எனவே, கனஅளவுகளின் விகிதம் 64:343.

பகுதி III - எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும் (5 x 5 = 25)

(வினா எண் 21க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்)

15) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \) எனில் \( (AB)^T = B^T A^T \) என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு:

LHS = (AB)^T

$$ AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} (1)(2)+(2)(-1)+(1)(0) & (1)(-1)+(2)(4)+(1)(2) \\ (2)(2)+(-1)(-1)+(1)(0) & (2)(-1)+(-1)(4)+(1)(2) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 2-2+0 & -1+8+2 \\ 4+1+0 & -2-4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 5 & -4 \end{pmatrix} $$ $$ (AB)^T = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 9 & -4 \end{pmatrix} \quad ...(1) $$

RHS = B^T A^T

$$ B^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ B^T A^T = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} (2)(1)+(-1)(2)+(0)(1) & (2)(2)+(-1)(-1)+(0)(1) \\ (-1)(1)+(4)(2)+(2)(1) & (-1)(2)+(4)(-1)+(2)(1) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 2-2+0 & 4+1+0 \\ -1+8+2 & -2-4+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 9 & -4 \end{pmatrix} \quad ...(2) $$

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \( (AB)^T = B^T A^T \) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) பிதாகரஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தேற்றம்: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

நிரூபணம்:

கொடுக்கப்பட்டவை: \( \triangle ABC \) இல், \( \angle A = 90^\circ \).

நிரூபிக்க வேண்டியது: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)

அமைப்பு: \( AD \perp BC \) வரைக.

\( \triangle ABC \) மற்றும் \( \triangle DBA \) இல்,
\( \angle B \) பொதுவானது.
\( \angle BAC = \angle BDA = 90^\circ \).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி, \( \triangle ABC \sim \triangle DBA \).
ஆகவே, பக்கங்களின் விகிதம் சமம். \( \frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB \quad ...(1) \)

\( \triangle ABC \) மற்றும் \( \triangle DAC \) இல்,
\( \angle C \) பொதுவானது.
\( \angle BAC = \angle ADC = 90^\circ \).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி, \( \triangle ABC \sim \triangle DAC \).
ஆகவே, பக்கங்களின் விகிதம் சமம். \( \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC \quad ...(2) \)

(1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட,
\( AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC) \)
\( AB^2 + AC^2 = BC (DB + DC) \)
படத்தில் இருந்து, \( DB + DC = BC \).
\( \therefore AB^2 + AC^2 = BC(BC) = BC^2 \).
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

17) இரு கப்பல்கள் கலங்கரை விளக்கத்தின் இரு பக்கங்களிலும் கடலில் பயணம் செய்கின்றன. இரு கப்பல்களிலிருந்து கலங்கரை விளக்கத்தின் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 30° மற்றும் 45° ஆகும். கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் 200மீ எனில், இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவைக் காண்க. \((\sqrt{3} = 1.732)\)

தீர்வு:

கலங்கரை விளக்கத்தின் உயரம் AB = 200 மீ.
கப்பல்கள் C மற்றும் D என்க.
\( \angle ACB = 45^\circ \) மற்றும் \( \angle ADB = 30^\circ \).
செங்கோண \( \triangle ABC \) இல்,
\( \tan 45^\circ = \frac{AB}{AC} \implies 1 = \frac{200}{AC} \implies AC = 200 \) மீ.
செங்கோண \( \triangle ABD \) இல்,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{AD} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{200}{AD} \implies AD = 200\sqrt{3} \) மீ.
இரு கப்பல்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவு = CD = AC + AD
= \( 200 + 200\sqrt{3} = 200(1+\sqrt{3}) \)
= \( 200(1+1.732) = 200(2.732) = 546.4 \) மீ.

18) 66 மீ உயரமான அடுக்குமாடிக் குடியிருப்பின் உச்சியிலிருந்து ஒரு விளக்குக் கம்பத்தின் உச்சி மற்றும் அடியின் ஏற்றக்கோணம் மற்றும் இறக்கக்கோணம் முறையே 60°, 30° எனில் பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம்
ii) விளக்குக் கம்ப உயரத்திற்கும் அடுக்கு மாடியின் உயரத்திற்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசம்
iii) விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்கு மாடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு \((\sqrt{3} = 1.732)\)

தீர்வு:

அடுக்குமாடி உயரம் AB = 66 மீ. விளக்குக் கம்பம் CD என்க.
உச்சியிலிருந்து (B) விளக்குக் கம்பத்தின் உச்சிக்கு (D) ஏற்றக்கோணம் = 60°.
உச்சியிலிருந்து (B) விளக்குக் கம்பத்தின் அடிக்கு (C) இறக்கக்கோணம் = 30°.
BE என்பது கிடைமட்டக்கோடு. \( \angle DBE = 60^\circ, \angle EBC = 30^\circ \).
\( \angle ACB = \angle EBC = 30^\circ \) (ஒன்றுவிட்ட கோணங்கள்).
iii) தொலைவு: செங்கோண \( \triangle ABC \) இல்,
\( \tan 30^\circ = \frac{AB}{AC} \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{66}{AC} \)
\( AC = 66\sqrt{3} \) மீ. விளக்குக் கம்பத்திற்கும் அடுக்கு மாடிக்கும் இடையே உள்ள தொலைவு \( = 66\sqrt{3} = 66 \times 1.732 = 114.312 \) மீ.
i) விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம்:
\( BE = AC = 66\sqrt{3} \) மீ. செங்கோண \( \triangle BDE \) இல்,
\( \tan 60^\circ = \frac{DE}{BE} \implies \sqrt{3} = \frac{DE}{66\sqrt{3}} \)
\( DE = \sqrt{3} \times 66\sqrt{3} = 66 \times 3 = 198 \) மீ.
விளக்குக் கம்பத்தின் உயரம் CD = CE + DE = AB + DE = 66 + 198 = 264 மீ.
ii) உயர வித்தியாசம்:
= விளக்குக் கம்ப உயரம் - அடுக்குமாடி உயரம்
= 264 - 66 = 198 மீ. (இது DE இன் உயரத்திற்கு சமம்).

19) 45 செ.மீ உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ எனில், இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவைக் காண்க.

தீர்வு:

இடைக்கண்டத்தின் உயரம் h = 45 செ.மீ.
ஆரங்கள் R = 28 செ.மீ, r = 7 செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \( V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr) \)
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22}{7} \times 15 \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (1029) \)
\( V = 22 \times 15 \times 147 \quad (1029/7 = 147) \)
\( V = 330 \times 147 = 48510 \) க.செ.மீ.

20) ஒரு சிறுமி தனது பிறந்த நாளைக் கொண்டாடக் கூம்பு வடிவத் தொப்பிகளை 5720 ச.செ.மீ பரப்புள்ள காகிதத்தாளை பயன்படுத்தித் தயாரிக்கிறாள். 5 செ.மீ ஆரமும், 12 செ.மீ உயரமும் கொண்ட எத்தனை தொப்பிகள் தயாரிக்க முடியும்?

தீர்வு:

ஒரு தொப்பியின் ஆரம் r = 5 செ.மீ, உயரம் h = 12 செ.மீ.
முதலில் சாயுயரம் \(l\) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
\( l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \) செ.மீ.
ஒரு தொப்பி செய்யத் தேவையான காகிதத்தின் பரப்பு (வளைபரப்பு) = \( \pi r l \)
= \( \frac{22}{7} \times 5 \times 13 = \frac{1430}{7} \) ச.செ.மீ.
மொத்தமுள்ள காகிதத்தின் பரப்பு = 5720 ச.செ.மீ.
தயாரிக்கக்கூடிய தொப்பிகளின் எண்ணிக்கை = \( \frac{\text{மொத்தப் பரப்பு}}{\text{ஒரு தொப்பியின் பரப்பு}} \)
$$ = \frac{5720}{\frac{1430}{7}} = 5720 \times \frac{7}{1430} $$ $$ = 4 \times 7 = 28 $$ எனவே, 28 தொப்பிகள் தயாரிக்க முடியும்.

21) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \) எனில், \( A^2 - 5A + 10I_2 = 0 \) என நிறுவுக.

தீர்வு:

$$ A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} (3)(3)+(2)(-2) & (3)(2)+(2)(2) \\ (-2)(3)+(2)(-2) & (-2)(2)+(2)(2) \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 9-4 & 6+4 \\ -6-4 & -4+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ 5A = 5 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 10 \\ -10 & 10 \end{pmatrix} $$ $$ 10I_2 = 10 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} $$

இப்போது, \( A^2 - 5A + 10I_2 \):

$$ = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -10 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 & 10 \\ -10 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 5-15+10 & 10-10+0 \\ -10-(-10)+0 & 0-10+10 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0 $$

எனவே, \( A^2 - 5A + 10I_2 = 0 \) என்பது நிறுவப்பட்டது.

பகுதி IV - ஏதேனும் ஒரு வினாவிற்கு விடையளிக்கவும் (1 x 8 = 8)

22) 6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவிலுள்ள ஒரு புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்குத் தொடுகோடுகள் வரைந்து, தொடுகோட்டின் நீளங்களைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை: விட்டம் = 6 செ.மீ, எனவே ஆரம் r = 3 செ.மீ.
மையத்திலிருந்து புள்ளி P இன் தொலைவு d = 5 செ.மீ.

வரைமுறை:

1. O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
2. O-விலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். OP-ஐ இணைக்கவும்.
3. OP-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
4. M-ஐ மையமாகவும், MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு மற்றொரு வட்டம் வரைக.
5. இந்த புதிய வட்டம், முதலில் வரைந்த வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
6. PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்கவும். PA மற்றும் PB ஆகியவை தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும்.

கணக்கீடு:

செங்கோண முக்கோணம் OAP-இல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( OP^2 = OA^2 + AP^2 \)
\( 5^2 = 3^2 + AP^2 \)
\( 25 = 9 + AP^2 \)
\( AP^2 = 16 \)
\( AP = 4 \) செ.மீ.
தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் PA = PB = 4 செ.மீ.

(வரைபடம் மாணவர்களால் வரையப்பட வேண்டும்)

(அல்லது)
\( x^2+x-12 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் தன்மையை வரைபடம் மூலம் ஆராய்க.

தீர்வு:

\( y = x^2+x-12 \) என எடுத்துக்கொள்வோம்.

மதிப்பு அட்டவணை:

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
x²	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16
+x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12	-12
y	8	0	-6	-10	-12	-12	-10	-6	0	8

புள்ளிகள்: (-5, 8), (-4, 0), (-3, -6), (-2, -10), (-1, -12), (0, -12), (1, -10), (2, -6), (3, 0), (4, 8)

வரைமுறை:

1. அளவுத்திட்டம் எழுதி x-அச்சு மற்றும் y-அச்சு வரைக.
2. மேற்கண்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
3. இப்புள்ளிகளை ஒரு வளைவான பரவளையம் (parabola) கிடைக்கும் வகையில் மென்மையாக இணைக்கவும்.

தீர்வு மற்றும் தீர்வுகளின் தன்மை:

பரவளையமானது x-அச்சை x = -4 மற்றும் x = 3 ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.

எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை ஆகும்.

தீர்வு: {-4, 3}

(வரைபடம் மாணவர்களால் வரையப்பட வேண்டும்)