Mathematics & Statistics (Commerce) - 2025 Board Paper Solution (Marathi Medium)
Paper Code: J-317 | Max Marks: 80 | Time: 3 Hrs
विभाग - १ (SECTION - I)
प्र. १. (अ) खालील दिलेल्या प्रत्येक प्रश्नासाठी सर्वात योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण) :
(i) जर \(p\): तो बुद्धिमान आहे, \(q\): तो बलवान आहे.
तर "तो बुद्धिमान किंवा बलवान आहे हे चुकीचे आहे" या विधानाचे प्रतीकात्मक रूप _____ आहे.
स्पष्टीकरण: "बुद्धिमान किंवा बलवान" म्हणजे \(p \lor q\). "हे चुकीचे आहे" म्हणजे नकार. म्हणून \(\sim (p \lor q)\).
(ii) \(\int (x + \frac{1}{x})^3 dx =\)
उकल: विस्तार (Expand): \((x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + x^{-3}\).
समाकलन (Integration): \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} + c\).
(iii) \(\int_{2}^{7} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{9-x}} dx =\)
उकल: गुणधर्म (Property) वापरून \(I = \frac{b-a}{2} = \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2}\).
(iv) वक्र \(y = x^2\) आणि रेषा \(y = 4\) ने बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ _____ आहे.
उकल: क्षेत्रफळ \(= 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\).
(v) विकलनीय समीकरण \((\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^2 = a^x\) चा क्रम आणि कोटी क्रमशः _____ आहे.
(vi) विकलनीय समीकरण \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3\) एकत्रीकरण घटक (I.F.) _____ आहे.
उकल: I.F. \(= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x\).
प्र. १. (ब) खालीलपैकी प्रत्येक विधान सत्य किंवा असत्य आहे ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण):
(i) जर \(A\) एक सारणी आणि \(K\) एक स्थिरांक असेल तर \((KA)^T = K A^T\).
(ii) \(\int \log x dx = x \log x + x + c\).
(iii) \(bx + ay = ab\) पासून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून प्राप्त केलेले विकलन समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) आहे.
प्र. १. (क) खालील दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण):
(i) जर सरासरी महसूल \(R_A\) = 50 असेल आणि मागणीची लवचिकता \(\eta = 5\) असेल तर किरकोळ महसूल \(R_M\) _____ आहे.
(\(R_M = R_A(1 - \frac{1}{\eta}) = 50(1 - \frac{1}{5}) = 40\))
(ii) \(\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = \) _____ \(+ c\)
(iii) जर \(f'(x) = x^2 + 5\) आणि \(f(0) = -1\) तर \(f(x) = \) _____.
प्र. २. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):
(i) "जर त्रिकोण समभुज असेल तर तो समकोण असेल." ह्या विधानाचे विरुद्ध (converse), व्यस्त (inverse) आणि विपरीत (contrapositive) विधाने लिहा.
मूळ विधान: \(p \rightarrow q\)
विरुद्ध (Converse) (\(q \rightarrow p\)): जर त्रिकोण समकोण असेल तर तो समभुज असतो.
व्यस्त (Inverse) (\(\sim p \rightarrow \sim q\)): जर त्रिकोण समभुज नसेल तर तो समकोण नसतो.
विपरीत (Contrapositive) (\(\sim q \rightarrow \sim p\)): जर त्रिकोण समकोण नसेल तर तो समभुज नसतो.
(ii) जर \(\left\{ 5 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \right\} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-1 \\ y+1 \\ 2z \end{bmatrix}\) तर \(x, y, z\) शोधा.
गुणाकार करा \(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\):
\(\begin{bmatrix} -6(2) + 2(1) \\ -4(2) + 6(1) \\ 2(2) + (-4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
तुलना करून:
\(x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9\)
\(y + 1 = -2 \Rightarrow y = -3\)
\(2z = 0 \Rightarrow z = 0\)
(iii) सोडवा: \(\int \frac{1}{x(x^6+1)} dx\)
समजा \(x^6 = t \Rightarrow 6x^5 dx = dt\)
\(I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{6} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt\)
\(I = \frac{1}{6} (\log|t| - \log|t+1|) + c = \frac{1}{6} \log|\frac{x^6}{x^6+1}| + c\)
प्र. २. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) Solve the following equations by the method of inversion:
\(2x - y + z = 1\)
\(x + 2y + 3z = 8\)
\(3x + y - 4z = 1\)
The given system of equations can be written in matrix form \(AX = B\), where
\(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)
Step 1: Find determinant of A (\(|A|\))
\(|A| = 2(-8 - 3) - (-1)(-4 - 9) + 1(1 - 6)\)
\(|A| = 2(-11) + 1(-13) + 1(-5)\)
\(|A| = -22 - 13 - 5 = -40 \neq 0\)
Since \(|A| \neq 0\), \(A^{-1}\) exists.
Step 2: Find Matrix of Cofactors
\(A_{11} = -11, \quad A_{12} = 13, \quad A_{13} = -5\)
\(A_{21} = -3, \quad A_{22} = -11, \quad A_{23} = -5\)
\(A_{31} = -5, \quad A_{32} = -5, \quad A_{33} = 5\)
Cofactor Matrix \(C = \begin{bmatrix} -11 & 13 & -5 \\ -3 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
\(\text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
Step 3: Find X using \(X = A^{-1}B\)
\(X = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) B\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11(1) -3(8) -5(1) \\ 13(1) -11(8) -5(1) \\ -5(1) -5(8) + 5(1) \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 - 24 - 5 \\ 13 - 88 - 5 \\ -5 - 40 + 5 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -40 \\ -80 \\ -40 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore x = 1, y = 2, z = 1\)
(ii) जर एका व्यक्तीचा खर्च \(E_c\), त्याचे उत्पन्न \(I\) बरोबर असे दिलेले आहे की \(E_c = (0.0003)I^2 + (0.075)I\); जेव्हा \(I = 1000\) असेल तर MPC, MPS, APC आणि APS शोधा.
APC \(= \frac{E_c}{I} = 0.0003I + 0.075\)
\(I=1000\) असताना: APC \(= 0.0003(1000) + 0.075 = 0.3 + 0.075 = 0.375\)
APS \(= 1 - APC = 1 - 0.375 = 0.625\)
MPC \(= \frac{dE_c}{dI} = 0.0006I + 0.075\)
\(I=1000\) असताना: MPC \(= 0.0006(1000) + 0.075 = 0.6 + 0.075 = 0.675\)
MPS \(= 1 - MPC = 1 - 0.675 = 0.325\)
(iii) सोडवा: \(\int_1^2 \frac{dx}{x^2+6x+5}\)
Partial Fractions: \(\frac{1}{(x+1)(x+5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+5})\)
\(I = \frac{1}{4} [\log|x+1| - \log|x+5|]_1^2 = \frac{1}{4} [\log(\frac{x+1}{x+5})]_1^2\)
वरची सीमा: \(\log(\frac{3}{7})\), खालची सीमा: \(\log(\frac{2}{6}) = \log(\frac{1}{3})\)
\(I = \frac{1}{4} (\log \frac{3}{7} - \log \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} \log(\frac{9}{7})\).
प्र. ३. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):
(i) जर \(y = (x)^x + (a)^x\) तर \(\frac{dy}{dx}\) शोधा.
\(u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \Rightarrow \frac{du}{dx} = x^x(1+\log x)\)
\(v = a^x \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a^x \log a\)
\(\frac{dy}{dx} = x^x(1+\log x) + a^x \log a\)
(ii) अन्वस्त (parabola) \(y^2 = 25x\) आणि रेषा \(x = 5\) मधील बंदिस्त क्षेत्राचे क्षेत्रफळ शोधा.
क्षेत्रफळ \(= 2 \int_0^5 y dx = 2 \int_0^5 5\sqrt{x} dx = 10 \int_0^5 x^{1/2} dx\)
\(= 10 [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^5 = \frac{20}{3} [5^{3/2}] = \frac{100\sqrt{5}}{3}\) चौ. एकक.
(iii) \(y = Ae^{3x} + Be^{-3x}\) संबंधातून अनियंत्रित स्थिरांक काढून टाकून विकलन समीकरण शोधा.
दुसरे विकलन: \(y'' = 9Ae^{3x} + 9Be^{-3x} = 9(Ae^{3x} + Be^{-3x})\)
\(y'' = 9y \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0\)
प्र. ३. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) Using the truth table, verify \(p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\)
We construct the truth table for the given logical statement.
| \(p\) | \(q\) | \(r\) | \(q \land r\) | \(p \lor (q \land r)\) (LHS) |
\(p \lor q\) | \(p \lor r\) | \((p \lor q) \land (p \lor r)\) (RHS) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | T | T | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F | T | F | F |
| F | F | T | F | F | F | T | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
From the table, the entries in column 5 (LHS) and column 8 (RHS) are identical.
\(\therefore p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\) is verified.
(ii) जर \(x = \frac{4t}{1+t^2}, y = 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})\), तर दाखवा \(\frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).
म्हणून \(\frac{x}{2} = \sin 2\theta\) आणि \(\frac{y}{3} = \cos 2\theta\).
वर्ग करून बेरीज केल्यास: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\).
विकलन केल्यास: \(\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0\).
\(\frac{x}{2} = -\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).
प्र. ३. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृति सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) संख्या 84 दोन भागांमध्ये अशा प्रकारे विभाजित करा जेणेकरून पहिला भाग आणि दुसऱ्या भागाच्या वर्गाचा गुणाकार जास्तीत जास्त असेल.
\(f(x) = x^2(84-x) = 84x^2 - x^3\) (दुसऱ्या भागाचा वर्ग घेण्याऐवजी प्रश्नाच्या संदर्भांनुसार सोडवल्यास: प्रश्नात "पहिला भाग आणि दुसऱ्या भागाचा वर्ग" म्हटले आहे, पण सामान्यतः अशा प्रश्नांमध्ये \(x \times (84-x)^2\) किंवा \(x^2(84-x)\) असू शकते. दिलेल्या स्टेप्समध्ये \(f'(x)=168x-3x^2\) आहे, याचा अर्थ \(f(x) = 84x^2 - x^3\) घेतले आहे, म्हणजे एका भागाचा वर्ग आणि दुसरा भाग).
\(f'(x) = 168x - 3x^2\)
कमाल मूल्यासाठी \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(56-x) = 0\)
\(x = 0\) किंवा \(x = 56\)
\(f''(x) = 168 - 6x\)
जर \(x=56, f''(56) = 168 - 336 = -168 < 0\)
म्हणून \(x = 56\) वर फलन कमाल आहे.
84 चे दोन भाग 56 आणि 28 आहेत.
(ii) Solve the following differential equation
\((x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0\)
Separating the variables, the given equation can be written as:
\(x^2(1-y)dy + y^2(1+x)dx = 0\)
Dividing by \(x^2y^2\),
\(\left[ \frac{1-y}{y^2} \right] dy + \left[ \frac{1+x}{x^2} \right] dx = 0\)
\(\therefore (y^{-2} - \frac{1}{y})dy + (x^{-2} + \frac{1}{x})dx = 0\)
\(\left[ y^{-2} \right] dy - \frac{1}{y}dy + x^{-2}dx + \left[ \frac{1}{x} \right] dx = 0\)
Integrating we get,
\(\int y^{-2}dy - \int \frac{1}{y}dy + \int x^{-2}dx + \int \frac{1}{x}dx = 0\)
\(\therefore \frac{y^{-1}}{-1} - \left[ \log y \right] + \frac{x^{-1}}{-1} + \left[ \log x \right] = c\)
\(-\frac{1}{y} - \frac{1}{x} + \log x - \log y = c\)
\(\log x - \log y = \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] + c\)
is the required solution.
विभाग - २ (SECTION - II)
प्र. ४. (अ) खालील दिलेल्या प्रत्येक प्रश्नासाठी सर्वात योग्य पर्याय निवडा आणि लिहा (प्रत्येकी १ गुण):
(i) दलाल जो त्याच्या मालकाला हमी देतो की पक्ष मालाची विक्री किंमत देईल त्याला _____ असे म्हणतात.
(ii) सामान्य वार्षिकी मध्ये देणे किंवा पावत्या _____ होतात.
(iii) चलित सरासरी (Moving averages) _____ ओळखण्यासाठी उपयुक्त आहेत.
(iv) जर \(P_{01}(L)=90\) आणि \(P_{01}(P)=40\) तर \(P_{01}(D-B)\) तर _____ आहे.
(v) सोपवणी समस्येचे उद्दिष्ट _____ नियुक्त करणे आहे.
(vi) दोन निष्पक्ष फासे फेकले जातात तेव्हा मिळणाऱ्या दोन संख्यांच्या बेरजेचे अपेक्षित मूल्य _____ असते.
प्र. ४. (ब) खालील दिलेली विधाने सत्य किंवा असत्य आहेत ते सांगा (प्रत्येकी १ गुण):
(i) जर \(b_{yx} + b_{xy} = 1.30\) आणि \(r = 0.75\) तर दिलेली माहिती विसंगत आहे. उत्तर: सत्य (True).
(ii) चक्रीय भिन्नता वर्षातून अनेक वेळा येऊ शकते. उत्तर: असत्य (False).
(iii) जीवनावश्यक निर्देशांक क्रमांक पैशाची क्रयशक्ती मोजण्यासाठी वापरला जातो. उत्तर: सत्य (True).
प्र. ४. (क) खालील दिलेल्या रिक्त जागा भरा (प्रत्येकी १ गुण):
(i) बँकेची सवलत वजा केल्यावर हुंडी धारकास दिलेली रक्कम तात्काळ मूल्य (Cash Value) म्हणून ओळखली जाते.
(ii) वेळ मालिकेचा कल मोजण्याची सोपी पद्धत आलेख पद्धत (Graphical Method) आहे.
(iii) भारित एकत्रित पद्धतीनुसार प्रमाण निर्देशांक क्रमांक \(\frac{\sum q_1 w}{\sum q_0 w} \times 100\) द्वारे दिला जातो.
प्र. ५. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):
(i) खालील माहितीसाठी योग्य प्रतिगमन समीकरणाची गणना करा.
X: 1, 2, 3, 4, 5 आणि Y: 5, 7, 9, 11, 13.
\(b_{yx} = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum(X-\bar{X})^2} = \frac{20}{10} = 2\).
Y चे X वरील समीकरण: \(Y - 9 = 2(X - 3) \Rightarrow Y = 2X + 3\).
(ii) L.P.P. तयार करा: कंपनी सिमेंट आणि वाळूच्या ठोस विटा बनवते...
Minimize \(Z = 20x + 6y\)
अटी:
\(x + y \ge 5\) (वजन)
\(x \ge 4\) (किमान सिमेंट)
\(y \le 2\) (कमाल वाळू)
\(x, y \ge 0\).
(iii) नि:पक्षपाती नाण्याच्या तीन नाणेफेकमध्ये छायाच्या संख्येचा मध्य (mean) शोधा.
मध्य \(E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5\).
प्र. ५. (ब) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) 4-वर्षीय केंद्रिम चलित सरासरीचा (4-yearly centered moving average) वापर करून खालील माहितीसाठी कल मूल्ये (trend values) मिळवा:
| वर्ष | 1976 | 1977 | 1978 | 1979 | 1980 | 1981 | 1982 | 1983 | 1984 | 1985 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| निर्देशांक | 0 | 2 | 3 | 3 | 2 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 |
| वर्ष (t) | निर्देशांक (y) | 4-वर्षीय बेरीज | 2-गटांची बेरीज (Centered) | कल मूल्य (Trend) = बेरीज/8 |
|---|---|---|---|---|
| 1976 | 0 | - | - | - |
| 1977 | 2 | - | - | - |
| 1978 | 3 | 8 (0+2+3+3) | 18 (8+10) | 2.25 |
| 1979 | 3 | 10 (2+3+3+2) | 22 (10+12) | 2.75 |
| 1980 | 2 | 12 (3+3+2+4) | 26 (12+14) | 3.25 |
| 1981 | 4 | 14 (3+2+4+5) | 31 (14+17) | 3.875 |
| 1982 | 5 | 17 (2+4+5+6) | 39 (17+22) | 4.875 |
| 1983 | 6 | 22 (4+5+6+7) | 50 (22+28) | 6.25 |
| 1984 | 7 | 28 (5+6+7+10) | - | - |
| 1985 | 10 | - | - | - |
(ii) खालील कार्ये पूर्ण करण्यासाठी AB या क्रमाने एकूण व्यतीत वेळ कमी करणारा कार्याचा क्रम शोधा. एकूण व्यतीत वेळ आणि यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ शोधा:
| कार्ये | I | II | III | IV | V | VI | VII |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| यंत्र A | 7 | 16 | 19 | 10 | 14 | 15 | 5 |
| यंत्र B | 12 | 14 | 14 | 10 | 16 | 5 | 7 |
सर्वात लहान वेळ 5 आहे (कार्ये VII वर A आणि VI वर B).
कार्ये VII प्रथम आणि VI शेवटी येईल: VII ... VI
उर्वरित कार्यांमधून (I, II, III, IV, V), किमान वेळ 7 आहे (कार्य I, यंत्र A). म्हणून VII नंतर I येईल.
क्रम: VII - I ... VI
उर्वरित कार्यांमधून (II, III, IV, V), किमान वेळ 10 आहे (कार्य IV, दोन्ही यंत्रांवर). आपण ते I नंतर घेऊ.
क्रम: VII - I - IV ... VI
त्यानंतर किमान वेळ 14 आहे (कार्य V-A वर, II आणि III-B वर). V ला डावीकडे आणि II, III ला उजवीकडे घेऊ.
इष्टतम क्रम: VII - I - IV - V - II - III - VI
एकूण व्यतीत वेळ गणना:
| कार्य | यंत्र A | यंत्र B | ||
|---|---|---|---|---|
| आत | बाहेर | आत | बाहेर | |
| VII | 0 | 5 | 5 | 12 (5+7) |
| I | 5 | 12 (5+7) | 12 | 24 (12+12) |
| IV | 12 | 22 (12+10) | 24 | 34 (24+10) |
| V | 22 | 36 (22+14) | 36 | 52 (36+16) |
| II | 36 | 52 (36+16) | 52 | 66 (52+14) |
| III | 52 | 71 (52+19) | 71 | 85 (71+14) |
| VI | 71 | 86 (71+15) | 86 | 91 (86+5) |
एकूण व्यतीत वेळ (Total Elapsed Time): 91 तास/मिनिटे.
यंत्र B साठी निष्क्रिय वेळ (Idle Time):
(5 - 0) + (12 - 12) + (24 - 24) + (36 - 34) + (52 - 52) + (71 - 66) + (86 - 85)
= 5 + 0 + 0 + 2 + 0 + 5 + 1 = 13 तास/मिनिटे.
(iii) 52 पत्त्यांच्या चांगल्या फेरफार केलेल्या गड्डीमधून 5 पत्ते एकापाठोपाठ काढली जातात. (अ) पाचही पत्ते इस्पिक आहेत. (ब) फक्त 3 पत्ते इस्पिक आहेत. त्याची संभाव्यता शोधा.
एकूण पत्ते \(n(S) = 52\). काढलेले पत्ते \(r = 5\).
एकूण प्रकार = \({}^{52}C_5\).
इस्पिक पत्त्यांची संख्या = 13, इतर पत्ते = 39.
(अ) पाचही पत्ते इस्पिक असण्याची संभाव्यता:
इस्पिकमधून 5 निवडणे = \({}^{13}C_5\).
\(P(A) = \frac{{}^{13}C_5}{{}^{52}C_5}\).
(ब) फक्त 3 पत्ते इस्पिक असण्याची संभाव्यता:
13 इस्पिकमधून 3 निवडणे आणि 39 इतर पत्त्यांमधून 2 निवडणे.
प्रकार = \({}^{13}C_3 \times {}^{39}C_2\).
\(P(B) = \frac{{}^{13}C_3 \times {}^{39}C_2}{{}^{52}C_5}\).
प्र. ६. (अ) खालीलपैकी कोणतेही दोन उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ३ गुण):
(i) विमा गणना.
हप्ता (Premium) = 6,00,000 चे \(0.80\%\) = 4,800.
दलालाची दलाली = 4,800 चे \(9\%\) = 432.
(ii) खालील रेषीय उपयोजन समस्या (L.P.P.) आलेखीय पद्धतीने सोडवा. महत्तम \(z = 4x + 6y\).
शिरोबिंदू A(4,0), B(0,4), C(0,6) आहेत.
\(Z\) at A(4,0) = 16.
\(Z\) at B(0,4) = 24.
\(Z\) at C(0,6) = 36.
महत्तम मूल्य 36 आहे.
(iii) प्लायवुड पाटीवरील दोष यादृच्छिकपणे आढळतात आणि सरासरी एक दोष प्रति 50 चौरस फूट आहे. अशा पाटीची संभाव्यता शोधा ज्यामध्ये:
(अ) दोष नाही
(ब) किमान एक दोष आहे.
(वापरा \(e^{-1} = 0.3678\))
हे पॉयझन वितरण (Poisson Distribution) आहे.
सरासरी \(m = 1\).
सूत्र: \(P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!}\)
(अ) दोष नाही \((X=0)\):
\(P(X=0) = \frac{e^{-1} (1)^0}{0!} = \frac{0.3678 \times 1}{1} = 0.3678\).
(ब) किमान एक दोष आहे \((X \ge 1)\):
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X=0)\)
\(P(X \ge 1) = 1 - 0.3678 = 0.6322\).
प्र. ६. (ब) खालीलपैकी कोणताही एक उपप्रश्न सोडवा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) दोन प्रतिगमन रेषांचे समीकरण \(10x - 4y = 80\) आणि \(10y - 9x = -40\) आहे. शोधा :
(अ) \(\bar{x}\) आणि \(\bar{y}\)
(ब) \(b_{yx}\) आणि \(b_{xy}\)
(क) \(r\)
(ड) जर \(var(Y) = 36\) तर \(var(X)\) मिळवा.
(अ) मध्य \(\bar{x}\) आणि \(\bar{y}\) शोधणे:
दिलेली समीकरणे एकाच वेळी सोडवून (Intersection point is the mean):
(I) \(10x - 4y = 80 \Rightarrow 5x - 2y = 40\)
(II) \(-9x + 10y = -40\)
समीकरण (I) ला 5 ने गुणून: \(25x - 10y = 200\)
समीकरण (II) मिळवून: \(-9x + 10y = -40\)
बेरीज: \(16x = 160 \Rightarrow \bar{x} = 10\).
\(x\) ची किंमत (I) मध्ये ठेवून: \(5(10) - 2y = 40 \Rightarrow 50 - 40 = 2y \Rightarrow y = 5\).
म्हणून \(\bar{x} = 10\) आणि \(\bar{y} = 5\).
(ब) \(b_{yx}\) आणि \(b_{xy}\) शोधणे:
समजा \(10x - 4y = 80\) हे \(X\) चे \(Y\) वरील समीकरण आहे:
\(10x = 4y + 80 \Rightarrow x = 0.4y + 8\). म्हणून \(b_{xy} = 0.4\).
समजा \(10y - 9x = -40\) हे \(Y\) चे \(X\) वरील समीकरण आहे:
\(10y = 9x - 40 \Rightarrow y = 0.9x - 4\). म्हणून \(b_{yx} = 0.9\).
तपासणी: \(b_{xy} \times b_{yx} = 0.4 \times 0.9 = 0.36 < 1\). हे वैध आहे.
म्हणून \(b_{xy} = 0.4\) आणि \(b_{yx} = 0.9\).
(क) \(r\) शोधणे:
\(r = \pm\sqrt{b_{xy} \times b_{yx}} = \sqrt{0.36} = 0.6\).
(दोन्ही प्रतिगमन सहगुणक धन आहेत, म्हणून \(r\) धन आहे).
\(r = 0.6\).
(ड) \(var(X)\) शोधणे:
दिलेले \(var(Y) = 36 \Rightarrow \sigma_y = 6\).
सूत्र: \(b_{yx} = r \frac{\sigma_y}{\sigma_x}\)
\(0.9 = 0.6 \times \frac{6}{\sigma_x}\)
\(\sigma_x = \frac{3.6}{0.9} = 4\).
\(var(X) = \sigma_x^2 = 16\).
(ii) राहणीमान किंमत निर्देशांकाची किंमत 150 असल्यास \(x\) शोधा :
| गट | अन्न | कपडे | इंधन आणि विद्युत | घरभाडे | इतर |
|---|---|---|---|---|---|
| I | 180 | 120 | 300 | 100 | 160 |
| W | 4 | 5 | 6 | \(x\) | 3 |
सूत्र: \(\text{CLI} = \frac{\sum IW}{\sum W}\)
दिलेले \(\text{CLI} = 150\).
गणना सारणी:
\(\sum W = 4 + 5 + 6 + x + 3 = 18 + x\)
\(\sum IW = (180 \times 4) + (120 \times 5) + (300 \times 6) + (100 \times x) + (160 \times 3)\)
\(\sum IW = 720 + 600 + 1800 + 100x + 480\)
\(\sum IW = 3600 + 100x\)
किंमती सूत्रामध्ये ठेवून:
\(150 = \frac{3600 + 100x}{18 + x}\)
\(150(18 + x) = 3600 + 100x\)
\(2700 + 150x = 3600 + 100x\)
\(150x - 100x = 3600 - 2700\)
\(50x = 900\)
\(x = \frac{900}{50} = 18\).
उत्तर: \(x = 18\).
प्र. ६. (क) खालीलपैकी कोणतीही एक कृती पूर्ण करा (प्रत्येकी ४ गुण):
(i) हुंडी (Bill of Exchange) कृती.
\(n = \frac{432 \times 100}{18000 \times 12} = \frac{1}{5}\) वर्षे = 73 दिवस.
वटवल्याची तारीख: 25 ऑक्टोबर.
ऑक्टोबर(6) + नोव्हेंबर(30) + डिसेंबर(31) = 67 दिवस.
उर्वरित = \(73 - 67 = 6\) दिवस.
कायदेशीर देय तारीख = 6 जानेवारी 2018.
(ii) न्यूनतम करण्यासाठी खालील सोपवणी समस्या सोडवा (Activity):
| I | II | III | IV | V | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 18 | 24 | 19 | 20 | 23 |
| 2 | 19 | 21 | 20 | 18 | 22 |
| 3 | 22 | 23 | 20 | 21 | 23 |
| 4 | 20 | 18 | 21 | 19 | 19 |
| 5 | 18 | 22 | 23 | 22 | 21 |
पायरी - I : त्या रांगेतील प्रत्येक घटकातून प्रत्येक रांगेतील सर्वात लहान घटक वजा करा.
| 0 | 6 | 1 | 2 | 4 |
| 1 | 3 | 2 | 0 | 3 |
| 2 | 3 | 0 | 1 | 3 |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 1 |
| 0 | 4 | 5 | 4 | 3 |
| 0 | 6 | 1 | 2 | 4 |
| 1 | 3 | 2 | 0 | 3 |
| 2 | 3 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 3 | 1 | 0 |
| 0 | 4 | 5 | 4 | 2 |
येथे कमीत कमी रेषांची संख्या (4) < सारणीचा क्रम (5).
पायरी - IV : सर्वात लहान न व्यापलेला घटक 1 आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदनबिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.
| 0 | 5 | 0 | 2 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 0 | 3 |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 2 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 0 |
| 0 | 3 | 4 | 3 | 1 |
येथे कमीत कमी रेषांची संख्या \(\ne\) सारणीचा क्रम.
पायरी - VI : सर्वात लहान न व्यापलेला घटक (1) आहे, जो सर्व न व्यापलेल्या घटकांमधून वजा करून दोन रेषांच्या छेदन बिंदूवर असलेल्या सर्व घटकांमध्ये जोडायचा आहे.
आता कमीत कमी रेषांची संख्या = सारणीचा क्रम.
इष्टतम सोपवणी केली जाऊ शकते.
इष्टतम उकल:
\(1 \rightarrow\) I (मूल्य: 18)
\(2 \rightarrow\) IV (मूल्य: 18)
\(3 \rightarrow\) III (मूल्य: 20)
\(4 \rightarrow\) II (मूल्य: 18)
\(5 \rightarrow\) V (मूल्य: 21)
न्यूनतम मूल्य = 95
