10ஆம் வகுப்பு கணிதம் - இரண்டாம் இடைப் பருவத் தேர்வு 2024 வினாத்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்
TVL10M - திருநெல்வேலி மாவட்டம்
இரண்டாம் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024
வகுப்பு 10 - கணிதம்
காலம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50
இரண்டாம் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024
வகுப்பு 10 - கணிதம்
காலம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50
பகுதி - I
அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி: (7×1=7)
1) நிரல்கள் மற்றும் நிரைகள் சம எண்ணிக்கையில் இல்லாத அணி
விடை: b) செவ்வக அணி
விளக்கம்: ஒரு அணியில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.
விளக்கம்: ஒரு அணியில் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் நிரைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இல்லையெனில், அது செவ்வக அணி எனப்படும்.
2) A என்ற அணியின் வரிசை 2×3, B என்ற அணியின் வரிசை 3×4 எனில், AB என்ற அணியின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை
விடை: b) 4
விளக்கம்: A-யின் வரிசை m×n, B-யின் வரிசை n×p எனில், AB-யின் வரிசை m×p ஆகும். இங்கு A-யின் வரிசை 2×3, B-யின் வரிசை 3×4. எனவே, AB-யின் வரிசை 2×4 ஆகும். AB-யின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4.
விளக்கம்: A-யின் வரிசை m×n, B-யின் வரிசை n×p எனில், AB-யின் வரிசை m×p ஆகும். இங்கு A-யின் வரிசை 2×3, B-யின் வரிசை 3×4. எனவே, AB-யின் வரிசை 2×4 ஆகும். AB-யின் நிரல்களின் எண்ணிக்கை 4.
3) வட்டத்தின் தொடுகோடும் அதன் ஆரமும் செங்குத்தாக அமையும் இடம்
விடை: b) தொடுபுள்ளி
விளக்கம்: வட்டத்தின் எந்தவொரு புள்ளியிடத்தும் வரையப்படும் தொடுகோடு, அப்புள்ளி வழியே செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும். அந்தப் புள்ளி தொடுபுள்ளி எனப்படும்.
விளக்கம்: வட்டத்தின் எந்தவொரு புள்ளியிடத்தும் வரையப்படும் தொடுகோடு, அப்புள்ளி வழியே செல்லும் ஆரத்திற்குச் செங்குத்தாக இருக்கும். அந்தப் புள்ளி தொடுபுள்ளி எனப்படும்.
4) கணிதத்தின் முதல் தேற்றம்
விடை: c) தேல்ஸ்
விளக்கம்: தேல்ஸ் தேற்றம் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) வடிவவியலில் ஒரு முக்கியமான மற்றும் பழமையான தேற்றமாகக் கருதப்படுகிறது.
விளக்கம்: தேல்ஸ் தேற்றம் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) வடிவவியலில் ஒரு முக்கியமான மற்றும் பழமையான தேற்றமாகக் கருதப்படுகிறது.
5) ஒரு கோபுரத்தின் உயரத்திற்கும் அதன் நிழலின் நீளத்திற்கும் உள்ள விகிதம் \(\sqrt{3}:1\) எனில் சூரியனைக் காணும் ஏற்றகோண அளவானது
விடை: d) 60°
விளக்கம்: \(\tan \theta = \frac{\text{உயரம்}}{\text{நிழலின் நீளம்}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). எனவே, \(\theta = 60°\).
விளக்கம்: \(\tan \theta = \frac{\text{உயரம்}}{\text{நிழலின் நீளம்}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). எனவே, \(\theta = 60°\).
6) ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்ட கூம்பின் ஆரம்
விடை: d) 5 செ.மீ
விளக்கம்: கேள்வியிலேயே கூம்பின் ஆரம் 5 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (குறிப்பு: இந்த வினாவில் 'உயரம்' என்பதற்குப் பதிலாக 'ஆரம்' எனக் கேட்கப்பட்டுள்ளது ஒரு அச்சுப்பிழையாக இருக்கலாம். உயரம் கேட்டால், \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) செ.மீ. அப்போது விடை (a) ஆக இருக்கும்.)
விளக்கம்: கேள்வியிலேயே கூம்பின் ஆரம் 5 செ.மீ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. (குறிப்பு: இந்த வினாவில் 'உயரம்' என்பதற்குப் பதிலாக 'ஆரம்' எனக் கேட்கப்பட்டுள்ளது ஒரு அச்சுப்பிழையாக இருக்கலாம். உயரம் கேட்டால், \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) செ.மீ. அப்போது விடை (a) ஆக இருக்கும்.)
7) ஒரு கூம்பின் வளைபரப்பு மற்றும் மொத்தப் புறப்பரப்பு ஆகியவற்றின் வித்தியாசம்
விடை: c) \(\pi r^2\)
விளக்கம்: மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) = \(\pi r (l+r) = \pi r l + \pi r^2\). வளைபரப்பு (CSA) = \(\pi r l\). வித்தியாசம் = TSA - CSA = \((\pi r l + \pi r^2) - \pi r l = \pi r^2\).
விளக்கம்: மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) = \(\pi r (l+r) = \pi r l + \pi r^2\). வளைபரப்பு (CSA) = \(\pi r l\). வித்தியாசம் = TSA - CSA = \((\pi r l + \pi r^2) - \pi r l = \pi r^2\).
பகுதி - II
எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (5×2=10)
கேள்வி எண் 14 கட்டாய வினா.
8) \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) எனில் \((A^T)^T = A\) என்பதனைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட அணி, \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \).
A-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( A^T = \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{17} & 8 \\ 2 & 0.7 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \).
\(A^T\)-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} = A \).
எனவே, \((A^T)^T = A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
கொடுக்கப்பட்ட அணி, \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \).
A-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( A^T = \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{17} & 8 \\ 2 & 0.7 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \).
\(A^T\)-யின் நிரை நிரல் மாற்று அணி,
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} = A \).
எனவே, \((A^T)^T = A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
9) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) எனில் \(A+B = B+A\) என்பதனைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:
\( A+B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (1)
\( B+A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(A+B = B+A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
\( A+B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (1)
\( B+A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(A+B = B+A\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
10) 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 5 செ.மீ தொலைவில் உள்ள புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் காண்க.
தீர்வு:
வட்டத்தின் ஆரம் (r) = 3 செ.மீ.
மையத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம் (d) = 5 செ.மீ.
தொடுகோடு, ஆரம் மற்றும் மையத்தை புள்ளியுடன் இணைக்கும் கோடு ஆகியவை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
தொடுகோட்டின் நீளம் \( = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) செ.மீ.
எனவே, தொடுகோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ.
வட்டத்தின் ஆரம் (r) = 3 செ.மீ.
மையத்திலிருந்து புள்ளி வரையிலான தூரம் (d) = 5 செ.மீ.
தொடுகோடு, ஆரம் மற்றும் மையத்தை புள்ளியுடன் இணைக்கும் கோடு ஆகியவை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்கும்.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
தொடுகோட்டின் நீளம் \( = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) செ.மீ.
எனவே, தொடுகோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ.
11) ஒரு கோபுரம் தரைக்குச் செங்குத்தாக உள்ளது. கோபுரத்தின் அடிப்பகுதியிலிருந்து தரையில் 48மீ. தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து கோபுர உச்சியின் ஏற்றக்கோணம் 30° எனில், கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க.
தீர்வு:
கோபுரத்தின் உயரம் h மீ என்க.
தொலைவு = 48 மீ, ஏற்றக்கோணம் \(\theta = 30°\).
\( \tan \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \(16\sqrt{3}\) மீ ஆகும்.
கோபுரத்தின் உயரம் h மீ என்க.
தொலைவு = 48 மீ, ஏற்றக்கோணம் \(\theta = 30°\).
\( \tan \theta = \frac{\text{எதிர்ப்பக்கம்}}{\text{அடுத்துள்ள பக்கம்}} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் \(16\sqrt{3}\) மீ ஆகும்.
12) 88 ச.செ.மீ வளைபரப்புடைய ஒரு நேர்வட்ட உருளையின் உயரம் 14 செ.மீ எனில் உருளையின் விட்டம் காண்க.
தீர்வு:
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 88 ச.செ.மீ.
உயரம் (h) = 14 செ.மீ.
CSA சூத்திரம்: \( 2\pi rh = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 88 \)
\( 2 \times 22 \times r \times 2 = 88 \)
\( 88r = 88 \)
\( r = 1 \) செ.மீ.
விட்டம் (d) = 2r = 2 \(\times\) 1 = 2 செ.மீ.
உருளையின் விட்டம் 2 செ.மீ.
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 88 ச.செ.மீ.
உயரம் (h) = 14 செ.மீ.
CSA சூத்திரம்: \( 2\pi rh = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 88 \)
\( 2 \times 22 \times r \times 2 = 88 \)
\( 88r = 88 \)
\( r = 1 \) செ.மீ.
விட்டம் (d) = 2r = 2 \(\times\) 1 = 2 செ.மீ.
உருளையின் விட்டம் 2 செ.மீ.
13) ஒரு திண்ம அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு 1386 ச.மீ எனில், அதன் மொத்தப்புறப்பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு (வட்டத்தின் பரப்பு) = \(\pi r^2 = 1386\) ச.மீ.
அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்புறப்பரப்பு (TSA) = \(3\pi r^2\).
TSA = \(3 \times (\pi r^2) = 3 \times 1386 = 4158\) ச.மீ.
எனவே, மொத்தப்புறப்பரப்பு 4158 ச.மீ.
அரைக்கோளத்தின் அடிப்பரப்பு (வட்டத்தின் பரப்பு) = \(\pi r^2 = 1386\) ச.மீ.
அரைக்கோளத்தின் மொத்தப்புறப்பரப்பு (TSA) = \(3\pi r^2\).
TSA = \(3 \times (\pi r^2) = 3 \times 1386 = 4158\) ச.மீ.
எனவே, மொத்தப்புறப்பரப்பு 4158 ச.மீ.
14) இரு கோளங்களின் ஆரங்களின் விகிதம் 4:7 எனில், அவற்றின் கனஅளவுகளின் விகிதம் காண்க. (கட்டாய வினா)
தீர்வு:
இரு கோளங்களின் ஆரங்கள் \(r_1\) மற்றும் \(r_2\) என்க.
ஆரங்களின் விகிதம், \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{7}\).
கோளத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
கனஅளவுகளின் விகிதம், \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343}\).
எனவே, கனஅளவுகளின் விகிதம் 64:343.
இரு கோளங்களின் ஆரங்கள் \(r_1\) மற்றும் \(r_2\) என்க.
ஆரங்களின் விகிதம், \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{7}\).
கோளத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
கனஅளவுகளின் விகிதம், \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343}\).
எனவே, கனஅளவுகளின் விகிதம் 64:343.
பகுதி - III
எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (5×5=25)
கேள்வி எண் 21 கட்டாய வினா.
15) \( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) மற்றும் \( C = \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \) எனில், A+(B+C) = (A+B)+C என்பதனைச் சரிபார்க்க.
தீர்வு:
இடது கை பக்கம் (LHS): A+(B+C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} \)
\( A+(B+C) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (1)
வலது கை பக்கம் (RHS): (A+B)+C
\( A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} \)
\( (A+B)+C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A+(B+C) = (A+B)+C என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
இடது கை பக்கம் (LHS): A+(B+C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} \)
\( A+(B+C) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (1)
வலது கை பக்கம் (RHS): (A+B)+C
\( A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} \)
\( (A+B)+C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, A+(B+C) = (A+B)+C என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
16) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) எனில் CD-AB = 0 எனுமாறு அணி Dஐக் காண்க.
தீர்வு:
CD - AB = 0 எனில், CD = AB.
முதலில் AB ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\( AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(6)+(0)(8) & (3)(3)+(0)(5) \\ (4)(6)+(5)(8) & (4)(3)+(5)(5) \end{pmatrix} \)
\( AB = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 24+40 & 12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
D என்பது 2x2 வரிசையுடைய அணி. \( D = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) என்க.
\( CD = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} \)
CD = AB என்பதால்,
\( \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
ஒத்த உறுப்புகளை சமன்படுத்த,
3a + 6c = 18 => a + 2c = 6 --- (1)
a + c = 64 --- (2)
(2) - (1) => (a+c) - (a+2c) = 64-6 => -c = 58 => c = -58
c = -58 ஐ (2) இல் பிரதியிட, a - 58 = 64 => a = 122.
3b + 6d = 9 => b + 2d = 3 --- (3)
b + d = 37 --- (4)
(4) - (3) => (b+d) - (b+2d) = 37-3 => -d = 34 => d = -34
d = -34 ஐ (4) இல் பிரதியிட, b - 34 = 37 => b = 71.
எனவே, \( D = \begin{pmatrix} 122 & 71 \\ -58 & -34 \end{pmatrix} \).
CD - AB = 0 எனில், CD = AB.
முதலில் AB ஐக் கணக்கிடுவோம்:
\( AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(6)+(0)(8) & (3)(3)+(0)(5) \\ (4)(6)+(5)(8) & (4)(3)+(5)(5) \end{pmatrix} \)
\( AB = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 24+40 & 12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
D என்பது 2x2 வரிசையுடைய அணி. \( D = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) என்க.
\( CD = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} \)
CD = AB என்பதால்,
\( \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
ஒத்த உறுப்புகளை சமன்படுத்த,
3a + 6c = 18 => a + 2c = 6 --- (1)
a + c = 64 --- (2)
(2) - (1) => (a+c) - (a+2c) = 64-6 => -c = 58 => c = -58
c = -58 ஐ (2) இல் பிரதியிட, a - 58 = 64 => a = 122.
3b + 6d = 9 => b + 2d = 3 --- (3)
b + d = 37 --- (4)
(4) - (3) => (b+d) - (b+2d) = 37-3 => -d = 34 => d = -34
d = -34 ஐ (4) இல் பிரதியிட, b - 34 = 37 => b = 71.
எனவே, \( D = \begin{pmatrix} 122 & 71 \\ -58 & -34 \end{pmatrix} \).
18) தரையின் மீது ஒரு புள்ளியிலிருந்து 30மீ உயரமுள்ள கட்டிடத்தின் மேலுள்ள ஒரு கோபுரத்தின் அடி மற்றும் உச்சியின் ஏற்றக்கோணங்கள் முறையே 45° மற்றும் 60° எனில் கோபுரத்தின் உயரத்தைக் காண்க. (\(\sqrt{3}=1.732\))
தீர்வு:
கட்டிடத்தின் உயரம் (BC) = 30 மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் (CD) = h மீ என்க.
புள்ளி A யிலிருந்து கட்டிடத்தின் அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரம் AB = x மீ.
செங்கோண முக்கோணம் ABC இல்,
\(\tan 45° = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{x}\)
\(1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) மீ.
செங்கோண முக்கோணம் ABD இல்,
\(\tan 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BC+CD}{AB} = \frac{30+h}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30+h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30+h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)\)
\(h = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96\) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் 21.96 மீ ஆகும்.
கட்டிடத்தின் உயரம் (BC) = 30 மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் (CD) = h மீ என்க.
புள்ளி A யிலிருந்து கட்டிடத்தின் அடிப்பகுதிக்கு உள்ள தூரம் AB = x மீ.
செங்கோண முக்கோணம் ABC இல்,
\(\tan 45° = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{x}\)
\(1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) மீ.
செங்கோண முக்கோணம் ABD இல்,
\(\tan 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BC+CD}{AB} = \frac{30+h}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30+h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30+h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)\)
\(h = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96\) மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் 21.96 மீ ஆகும்.
19) ஒரு உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரங்களின் விகிதம் 5:7 ஆகும். அதன் வளைபரப்பு 5500 ச.செ.மீ எனில், உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரம் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை:
உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரத்தின் விகிதம் = 5:7.
ஆரம் \(r = 5x\) என்க.
உயரம் \(h = 7x\) என்க.
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 5500 ச.செ.மீ.
உருளையின் வளைபரப்புக்கான சூத்திரம் \(2\pi rh\).
\( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x \times x = 5500 \) (7-ஐ நீக்கிய பிறகு)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} \)
\( x^2 = \frac{550}{22} \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = \sqrt{25} = 5 \)
இப்போது, ஆரம் மற்றும் உயரத்தைக் கணக்கிடுவோம்:
ஆரம் \(r = 5x = 5 \times 5 = 25\) செ.மீ.
உயரம் \(h = 7x = 7 \times 5 = 35\) செ.மீ.
விடை:
உருளையின் ஆரம் 25 செ.மீ మరియు உயரம் 35 செ.மீ ஆகும்.
கொடுக்கப்பட்டவை:
உருளையின் ஆரம் மற்றும் உயரத்தின் விகிதம் = 5:7.
ஆரம் \(r = 5x\) என்க.
உயரம் \(h = 7x\) என்க.
உருளையின் வளைபரப்பு (CSA) = 5500 ச.செ.மீ.
உருளையின் வளைபரப்புக்கான சூத்திரம் \(2\pi rh\).
\( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x \times x = 5500 \) (7-ஐ நீக்கிய பிறகு)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} \)
\( x^2 = \frac{550}{22} \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = \sqrt{25} = 5 \)
இப்போது, ஆரம் மற்றும் உயரத்தைக் கணக்கிடுவோம்:
ஆரம் \(r = 5x = 5 \times 5 = 25\) செ.மீ.
உயரம் \(h = 7x = 7 \times 5 = 35\) செ.மீ.
விடை:
உருளையின் ஆரம் 25 செ.மீ మరియు உயரம் 35 செ.மீ ஆகும்.
20) பிதாகரஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.
தீர்வு:
கூற்று: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
நிறுவல்:
\(\triangle ABC\)-யில் \(\angle A = 90^\circ\).
நாம் நிறுவ வேண்டியது: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
வரைதல்: \(AD \perp BC\) வரைக.
நிறுபணம்:
\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DBA\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle B\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle BDA = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\).
\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB\) --- (1)
\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DAC\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle C\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DAC\).
\(\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC\) --- (2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-ஐக் கூட்ட,
\(AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC)\)
\( = BC(DB+DC)\)
\( = BC(BC) = BC^2\)
எனவே, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
கூற்று: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
நிறுவல்:
\(\triangle ABC\)-யில் \(\angle A = 90^\circ\).
நாம் நிறுவ வேண்டியது: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
வரைதல்: \(AD \perp BC\) வரைக.
நிறுபணம்:
\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DBA\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle B\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle BDA = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\).
\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB\) --- (1)
\(\triangle ABC\) மற்றும் \(\triangle DAC\)-ஐக் கருதுக.
\(\angle C\) பொதுவானது.
\(\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ\).
எனவே, AA விதிமுறைப்படி \(\triangle ABC \sim \triangle DAC\).
\(\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC\) --- (2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-ஐக் கூட்ட,
\(AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC)\)
\( = BC(DB+DC)\)
\( = BC(BC) = BC^2\)
எனவே, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
21) 45 செ.மீ உயரமுள்ள ஓர் இடைக்கண்டத்தின் இருபுற ஆரங்கள் முறையே 28 செ.மீ மற்றும் 7 செ.மீ எனில் இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவைக் காண்க. (கட்டாய வினா)
தீர்வு:
இடைக்கண்டத்தின் உயரம் (h) = 45 செ.மீ.
பெரிய ஆரம் (R) = 28 செ.மீ.
சிறிய ஆரம் (r) = 7 செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{330}{7} \times (1029) \)
\( V = 330 \times 147 \)
\( V = 48510 \) க.செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு 48510 க.செ.மீ. ஆகும்.
இடைக்கண்டத்தின் உயரம் (h) = 45 செ.மீ.
பெரிய ஆரம் (R) = 28 செ.மீ.
சிறிய ஆரம் (r) = 7 செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{330}{7} \times (1029) \)
\( V = 330 \times 147 \)
\( V = 48510 \) க.செ.மீ.
இடைக்கண்டத்தின் கனஅளவு 48510 க.செ.மீ. ஆகும்.
பகுதி - IV
ஏதேனும் ஒரு வினாவிற்கு மட்டும் விடையளிக்கவும்: (1×8=8)
22) a) 6 செ.மீ விட்டமுள்ள வட்டம் வரைந்து வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். அப்புள்ளியிலிருந்து PA மற்றும் PB என்ற இரு தொடுகோடுகள் வரைந்து அவற்றின் நீளங்களை அளவிடுக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை: விட்டம் = 6 செ.மீ, எனவே ஆரம் (r) = 3 செ.மீ. மையத்திலிருந்து புள்ளி P-யின் தொலைவு (OP) = 8 செ.மீ.
வரைமுறை:
1. O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
2. O-விலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். OP-ஐ இணைக்கவும்.
3. OP-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
4. M-ஐ மையமாகவும் MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
5. PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்கவும். இவையே தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும்.
அளவிடுதல்: அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி அளந்தால், PA = PB = 7.4 செ.மீ (தோராயமாக).
சரிபார்த்தல்:
செங்கோண முக்கோணம் OAP-ல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \)
\( PA = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} \)
\( \sqrt{55} \approx 7.416 \) செ.மீ.
எனவே, வரைமுறை சரிபார்க்கப்பட்டது.
கொடுக்கப்பட்டவை: விட்டம் = 6 செ.மீ, எனவே ஆரம் (r) = 3 செ.மீ. மையத்திலிருந்து புள்ளி P-யின் தொலைவு (OP) = 8 செ.மீ.
வரைமுறை:
1. O-வை மையமாகக் கொண்டு 3 செ.மீ ஆரமுள்ள வட்டம் வரைக.
2. O-விலிருந்து 8 செ.மீ தொலைவில் P என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும். OP-ஐ இணைக்கவும்.
3. OP-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது OP-ஐ M என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
4. M-ஐ மையமாகவும் MO-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் முந்தைய வட்டத்தை A மற்றும் B ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
5. PA மற்றும் PB-ஐ இணைக்கவும். இவையே தேவையான தொடுகோடுகள் ஆகும்.
அளவிடுதல்: அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி அளந்தால், PA = PB = 7.4 செ.மீ (தோராயமாக).
சரிபார்த்தல்:
செங்கோண முக்கோணம் OAP-ல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,
\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \)
\( PA = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} \)
\( \sqrt{55} \approx 7.416 \) செ.மீ.
எனவே, வரைமுறை சரிபார்க்கப்பட்டது.
(அல்லது)
b) இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வுகளின் தன்மையை வரைபடம் மூலம் காண்க: \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
தீர்வு:
\(y = x^2 - 9x + 20\) என்க.
முதலில் x-க்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுத்து y-யின் மதிப்புகளைக் காண அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.
வரைபடம்:
மேற்கண்ட புள்ளிகளை (-1,30), (0,20), (1,12), (2,6), (3,2), (4,0), (4.5, -0.25), (5,0), (6,2) வரைபடத்தாளில் குறித்து, அவற்றை ஒரு மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். நமக்கு ஒரு பரவளையம் (parabola) கிடைக்கும்.
தீர்வின் தன்மை:
வரைபடம் x-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை. (மூலங்கள் 4 மற்றும் 5).
\(y = x^2 - 9x + 20\) என்க.
முதலில் x-க்கு வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுத்து y-யின் மதிப்புகளைக் காண அட்டவணையை உருவாக்குவோம்.
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 20.25 | 25 | 36 |
| -9x | 9 | 0 | -9 | -18 | -27 | -36 | -40.5 | -45 | -54 |
| +20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| y | 30 | 20 | 12 | 6 | 2 | 0 | -0.25 | 0 | 2 |
மேற்கண்ட புள்ளிகளை (-1,30), (0,20), (1,12), (2,6), (3,2), (4,0), (4.5, -0.25), (5,0), (6,2) வரைபடத்தாளில் குறித்து, அவற்றை ஒரு மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். நமக்கு ஒரு பரவளையம் (parabola) கிடைக்கும்.
தீர்வின் தன்மை:
வரைபடம் x-அச்சை (4, 0) மற்றும் (5, 0) ஆகிய இரண்டு வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது.
எனவே, சமன்பாட்டின் மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை. (மூலங்கள் 4 மற்றும் 5).